讲授内容: §8.1多元函数基本概念
教学目的与要求:
1、 了解平面点集、n 维空间、多元函数的基本概念.
2、 理解二元函数的极限、连续的的概念.
3、 会利用二元函数的极限的定义、连续的性质求二元函数的极限. 教学重难点:
重点——二元函数的极限与连续. 难点——二元函数极限的定义. 教学方法:讲授
教学建议:讲清二元函数与一元函数极限的区别对理解二元函数极限的定义有很大
的帮助.
学时:2学时 教学过程:
以前我们学习了一元函数的微分学,在本章我们将学习多元函数的微分学的相 关知识.
一、 平面点集 n 维空间
1. 平面点集
坐标平面上具有某种性质的点的集合称为平面点集.记为:
E ={(x ,y )|(x ,y )具有性质P }.
2. 邻域:
U(p 0,δ)= {p| |pp 0|<δ}={(x,y) |2
02
0)()(y y x x -+-<δ,δ>0} ?(p 0,δ)= {p| 0<|pp 0|<δ}={(x,y) |0<2
02
0)()(y y x x -+-<δ,δ>0} 3. 区域:
1) 内点:E(?R 2)为一个点集,若U(p)?E,则称点P 称为E 的内点,显然p ∈E.
2) 外点: E(?R 2)为一个点集,若U(p)∩E=?,则称点P 称为E 的外点,显然p ?E 3) 边界点:若?U(p):
U(P)∩E≠?且U(p)∩E≠?.则称点p 为E 的边界点.
点P 可能属于E,也可能不属于E.边界点的全体称为E 的边界,记为?E. 4) 聚点:若?δ>0,?(p,δ)∩E≠?,则称点p 为E 的聚点.
显然, 点P 可能属于E,也可能不属于E. 5) 开集:点集E 的点都为E 的内点,则称E 为开集. 6) 闭集:若点集E 的余集E c 为开集,则称E 为闭集.
7) 连通集:如果点集E 内任何两点都可以用折线连接起来,且折线上的点都
属于E,则称E 为连通集.
8) 区域:连同的开集称为区域或开区域. 9) 闭区域:区域连同它的边界一起称为闭区域.
10) 有界点集:对点集E,若?r>0,使得U(O,r)?E,则称点集E 为有界集. 11) 无界集:若集E 不是有界集,则称E 为无界集. 4. n 维空间:
1) n 元有序数组(x 1,x 2,…,x n )的全体用
R n =R ?R ?…?R={(x 1,x 2,…,x n )|x i ∈R,i=1,2,…n}表示
可以用x=(x 1,x 2,…,x n )表示R n 中的元素.x i 称为x 的第i 个坐标. 特别地:O =(0,0,…,0)或0=(0,0,…,0) 2) R n 中的线性运算及两点间的距离: 3) 设x=(x 1,x 2,…,x n ),y=(y 1,y 2,…,y n ),λ∈R 定义:
x+y=(x 1+y 1,x 2+y 2,…,x n +y n )
λx=(λx 1,λx 2,…,λx n ).
x=(x 1,x 2,…,x n )和y=(y 1,y 2,…,y n )的距离记为ρ(x,y),则有: ρ(x,y)=
2
2
222
11)()()(n n y x y x y x -++-+-
二、 多元函数的概念
1. 二元函数的定义:
定义:设D 是R 2中的一个非空点集.
称映射:f:D→R 2为定义在D 上的二元函数,记为: z=f(x,y), (x,y)∈D
或z=f(p),
p ∈D.
定义域: D; 自变量: x,y; 因变量: z;
对应法则:f.
值域:f(D)={z|z=f(x,y),(x,y)∈D}. 一般地:设D(≠?)?R n ,称映射f:
D→R 为D 上的n 元函数.记为:
u=f(x 1,x 2,…,x n )
(x 1,x 2,…,x n )∈D.
或
u=f(x ),x =(x 1,x 2,…,x n )∈D
或 u=f(p),p(x 1,x 2,…,x n )∈D.
当n≥2时,称n 元函数为多元函数.
当n=2或3时,将点(x 1,x 2)记为(x,y),将点(x 1,x 2,x 3)记为(x,y ,z). 2. 二元函数的几何意义:
空间点集:M= {(x,y ,z)|z=f(x,y),(x,y)∈D} 称为二元函数的图形,通常表示一张曲面.
例如函数z=x 2+y 2的图形为旋转抛物面.
例1.
求函数z=arcsin(x-y 2)+ln[ln(10-x 2-4y 2)]的定义域.
思想:一般求多元函数的定义域,往往是求自然定义域,即求出使函数有意义的自变量的取值范围.
解:?????>--≤-1
41012
22
y x y x ?
?
??
??<++≤≤-1949
1
12222y x y x y ∴
D=?
?????+≤≤-<+11,1949),(222
2y x y y x y x
注:由此可见,二元函数的定义域是平面上的区域,三元函数的定义域是空间中空间区域. 例2.
设f(x+y ,y/x)=x 2-y 2.求f(x,y)的表达式.
解:(换元法)令u=x+y,v=y/x,则有v
uv y v
u x +=+=1,1,代入函数得:
f(x+y,y/x)=f(u,v)=
v
v u v v
u v u
+-=
+-
+1)1()
1()
1(2
2
222
2
? f(x,y)=
y
y x +-1)1(2
(变形法)
x 2-y 2
=y
x y x y x +-+2
)(=x
y x y y x /1/1)(2
+-+
? f(x,y)=
y
y x +-1)1(2
三、 多元函数的极限
1. 二重极限:z=f(x,y)当x→x 0,y→y 0即p(x,y)→p 0(x 0,y 0)的极限
注:p→p 0表示P 以任何方式趋于P 0,即:
|pp 0|=
2
02
0)()(y y x x -+-→0.
定义: 设函数z=f(p)=f(x,y)的定义域为D,p 0(x 0,y 0)为D 的聚点, 如果?ε>0,?δ>0,使得当 p(x,y)∈D∩?(p 0,δ), 即对满足不等式
0<|pp 0|=
2
020)()(y y x x -+-<δ
的一切点p(x,y)(∈D),都有:
|f(x,y)-A|<ε
则常数A 称为z=f(x,y)当x→x 0,y→y 0即p(x,y)→p 0(x 0,y 0)的极限.记为:
0lim y y x x →→f(x,y)=A 或
f(x,y)→A (当p→p 0).
同理,可定义其他形式的二重极限及多元函数的极限.
注:当p(x,y)以不同的方式趋于p 0(x 0,y 0)时,函数趋于不同的值,则此函数的极限不存在,由此便得判定二重极限不存在的一个重要方法.
例3.
求下列函数的极限
1)x
xy a
y x sin lim 0→→
解:x
xy a y x sin lim
0→→= y xy
xy a
y x ?→→sin lim
0= y xy
xy a
y x a
y x →→→→?00lim sin lim
=a.
2)2
2)
(
lim 2
2
y
x y x y
x xy ++∞
→+∞→
解:设x>0,y>0时,则由2
102
2
≤
+<
y
x xy 得
0<2
2)
(
2
2
y
x y
x xy +≤2
2)
2
1
(y
x →0 (x→+∞,y→+∞)?2
2)
(
lim 2
2
y
x y x y
x xy ++∞
→+∞→=0
3)2
2
0)(lim
y x x x y y x +-→→
解:
0lim
y x →→θ
ρ→0ρ(sinθ-cosθ)?cosθ=0
4)2
2
0lim
y
x xy y x +→→
解:2
2
0lim
y
x xy y x +→→y=kx 2
2
2
20
0lim
x
k x kx
kx y x +→=→=
2
1k
k +
随k 的值不同而不同,从而原极限不存在.
注:二重极限不是二次极限,二次极限存在二重不一定存在,二重极限存
在二次极限也不一定存在.如1lim
lim -=-+∞
→∞→y
x y x y x ,1lim
lim =-+∞
→∞→y
x y x x y ,而
y x y
x y x -+∞
→∞→lim
不存在;又如0)sin 1
sin 1(lim =+∞
→∞→x y y x y x ,而
0)sin 1sin 1(
lim lim =+∞
→∞→x y
y x
x y 却不存在.
四、 多元函数的连续性
1. 二元函数连续的定义
定义:设函数z=f(x,y)的定义域为D,p 0(x 0,y 0)为D 的聚点,且p 0∈D.如果
lim y y x x →→f(x,y)=f(x 0,y 0)
则称函数z=f(x,y)在点p 0(x 0,y 0)连续.
若函数z=f(x,y)在D 内的每一点连续,则称函数在D 内连续,或称z=f(x,y)是D 内的连续函数.
若函数z=f(x,y)在p 0(x 0,y 0)处不连续,则称p 0(x 0,y 0)是函数z=f(x,y)的间断点.
注: 二元函数的间断点可以是一条曲线.
例如:z=1
1sin 2
2
-+y x 的间断点是曲线x 2+y 2
-1=0.
2. 二元连续函数的性质
性质1.(最大值和最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数,在D 上一定有最大值和最小值.
性质2.(介值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数,如果在D 上取得两个不同的函数值,则它在D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次. 3. 多元初等函数:
由多元多项式及一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而且用一个表达式表达的函数.
定理:一切多元初等函数在定义区域内是连续的.
例4. 讨论函数z=f(x,y)=??
???≠+=++0 , 00,222
22
2y x y x y x xy 的连续性.
解:由于2
2
0lim
y
x xy y x +→→不存在,所以函数在(0,0)处不连续.
例5. 讨论函数z=f(x,y)=?????≠+=+++0
, 00,1sin )(2
22
22
222y x y x y x y x 的连续性.
解:由于
220
0sin
)(lim y x y x +→→ρ
ρθ
1
sin
2
0→=0
而 f(0,0)=0
从而
0lim →→y x f(x,y)=f(0,0)=0,所以函数在(0,0)处连续.
例6. 求下列函数的极限
1)2
2
1
02lim
y
x xy y x +-→→
解:由于函数连续,故所求极限为2.
注:利用初等函数在其定义区间上是连续的及连续的定义来求函数的极限是求函数极限的一种常用方法
2)xy
xy y x 11lim
0-+→→
解:2
1)
11(lim
11lim
00
0=
++=-+→→→→xy xy xy xy
xy y x y x
3)2
2
0lim
y
x xy y x +→→
解:由于)0,0(002
2
→→→<+<
y x y y
x xy
所以原极限为0. 或者
0lim
y x →→θ
ρ→0ρcosθsinθ=0
作业:高等数学A 练习册习题四十八 多元函数的基本概念 教学后记:
教学参考书
《高等数学》第五版,同济大学应用数学系主编,高等教育出版按社 《高等数学应用205例》 高等教育出版按社 李心灿 《数学考研题集》 东北大学出版社 史俊贤等
复习思考题
1. 将二元函数与一元函数的极限、连续概念相比较,说明二者之间的区别.
2. 若二元函数),(y x f z =在区域 D 内分别对y x ,都连续,试问在区域 D 上
),(y x f z =是否必定连续?
3. 表达式()()??
????=→→→→y x f y x f y y x x y y x
x ,lim lim ,lim 00
成立吗?
1、答:二元函数与一元函数的极限都是表示某动点P 以任意方式无限靠近定点Q 时,与之相关的一变量无限接近于一个确定的常数,不同的是后者对应P ,Q 点是数轴上的点,前者对应的P ,Q 是平面上的点.
一元函数()x f y =在0x 处连续是表示x 无限靠近0x 时,()x f 无限靠近
()0x f ,二元函数()y x f z ,=在()00,y x 处连续是表示(x ,y )以任意方式无限
靠近()00,y x 时,()y x f ,无限靠近()00,y x f .
2、答:不一定,因为
()00)
,(),(,),(lim
00y x f y x f y x y x =→中()()00,,y x y x →是表
示),(y x 以任意方式趋于),(00y x 而
()00)
,(),(,),(lim
000y x f y x f y x y x =→和
()()
()()00,,,,lim
000y x f y x f y x y x =→中()()000,,y x y x →,()()000,,y x y x →,只代表
()()00,,y x y x →的方式中的一部分,而不是全部.部分成立,全部不一定成立.
3、答:不一定. 例如:2
2
0lim
y
x xy y x +→→不存在,而0lim
lim 220
=?
??
???
+→→y x xy
y x .
讲授内容:§8.2 偏导数
教学目的与要求:
1、 理解偏导数的定义以及偏导数的几何意义.
2、 掌握偏导数的存在与连续之间的关系.
3、 会根据偏导数的定义求偏导数. 教学重难点:
重点——偏导数的计算.
难点——偏导数的存在与函数连续之间的关系. 教学方法:讲授
教学建议:使学生清楚求偏导数与求一元函数的导数的方法基本相同. 学时:2学时 教学过程:
对二元函数考虑关于其中某一变量的变化率时,而将另一变量看作常数,即为偏导数的问题.
一、 偏导数的定义及其计算
1. 偏导数的定义:
定义:设函数z=f(x,y)在点(x 0,y 0)的某一邻域内有定义,如果
x
y x f y x x f x ?-?+→?)
,(),(lim 00000
存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x 0,y 0)处对变量x 的偏导数,记为:
y y x x x
z ==??;
0y y x x x
f ==??;
0y y x x x
z == 或 f x (x 0,y 0)
同理函数z=f(x,y)在点(x 0,y 0)处对变量y 的偏导数,记为:
0y y x x y
z ==??;
0y y x x y
f ==??;
0y y x x y
z == 或 f y (x 0,y 0)
如果函数在区域D 内的每一点(x,y)处对变量x 的偏导数都存在,则此偏导数是x,y 的函数,称为函数z=f(x,y)对变量x 的偏导函数,记为:
x
z ??; x
f ??; z x ; f x (x,y)
同理函数z=f(x,y)对变量y 的偏导函数,记为:
y
z ??; y
f ??; z y ; f y (x,y)
偏导函数简称为偏导数.
同理可定义多元函数的偏导数,例如三元函数u=f(x,y,z)对变量x 的偏导函数为:
x
u ??=x
z y x f z y x x f x ?-?+→?)
,,(),,(lim
2、偏导数的计算
求z x (x,y)时,把函数中的变量y 视为常数,对x 按一元函数的求导方法进行求导.一般地,给n 个变量的函数u=f(x 1,x 2,…,x n )求f xi (x 1,x 2,…,x n )时,把其他的n-1个变量视为常数. 例1.
求函数z=x 2+3xy+y 2在点(1,2)处的偏导数.
解法一::z x =2x+3y ;
z y =3x+2y
?
z x (1,2)=8;
z y (1,2)=7
解法二:z(x,2)=x 2+6x+4; z x (x,2)=2x+6; z x (1,2)=8 z(1,y)=1+3y+y 2
;z y (1,y)=3+2y;z y (1,2)=7 例2.
求函数z=x 2sin2y 的偏导数.
解: z x =2xsin2y;
z y =2x 2cos2y
例3. 设z=x y
(x>0,x≠1),证明:
x
z y x ??+
y
z
x ??ln 1=2z
解:∵
x
z ??=yx y-1
;
y
z ??=x y
lnx
∴
x
z y x ??+
y
z
x ??ln 1=
1
-y yx
y
x +
x x x
y ln ln 1=x y +x y
=2z.
例4. 已知理想气体的状态方程PV=RT(R 为常数),证明:
P
T T
V V
P ????????=-1
证明:因为 P=
V
RT ?
2
V
RT V
P -
=??
V=
P
RT ?
P
R T
V =
??
T=
R
PV ?
P
T ??=
R
V
所以
P
T T
V V
P ???
???
??=R
V P
R V
RT ?
?
-
2
=PV
RT -
=-1
注:此题表明
x
f ??是一个整体,不同于
dx
df 表示微分之商.
3.二元函数z=f(x,y)偏导数的几何意义
二元函数z=f(x,y)在点M 0(x 0,y 0)的偏导数f x (x 0,y 0)几何意义:
平面y=y 0上,曲线?
??==0)
,(y y y x f z 在M 0(x 0,y 0)处的切线M 0T x 对x 轴的斜率.
例5.求曲线?
??=--=112
2x y x z 在点)0,1,1(处的切线与y 轴正向所成的倾角
解:依偏导数的几何意义,函数221y x z --=在点)1,1(处对y 求导的值就等于αtan ,则
=??==1
1y x y
z 221
1-=-==y x y
,所以αtan =-2,2arctan -=πα
4.偏导数存在与函数连续之间的关系
例6.讨论z=f(x,y)=??
???≠+=++0 , 00,222
22
2y x y x y x xy 在(0,0)处的连续性与可导性.
解:由于2
2
0lim
y
x xy y x +→→不存在,所以函数在(0,0)处不连续;
但
0==??y x x
z =0)
0,0()0,0(lim
=?-?+→?x
f x f x
从而f x (0,0)=0,同理f y (0,0)=0
所以,函数在(0,0)处的两个偏导数存在. 例7.讨论函数2
2y x z +=
在(0,0)处的连续性与可导性.
解:由于2
2
0lim
y x y x +→→=0=f(0,0),所以函数在(0,0)处连续;
但
0==??y x x
z =x
f x f x ?-?+→?)
0,0()0,0(lim
=x
x x ??→?0
lim
不存在,
因此f x (0,0)不存在. 同理f y (0,0)不存在; 从而函数在(0,0)处的两个偏导数不存在.
由此可知:函数在某点的偏导数存在与函数连续不存在必然联系.
注:为什么不象一元函数一样,可导一定连续?因为对多元函数而言,可导是
0x x →的一种单方向趋近,连续是0p p →的一种多方式趋近.
二、 高阶偏导数
1. 如果f x (x,y),f y (x,y)对变量x,y 的两个偏导数存在,则
)(
22
x
z
x x
z ????
?
??=f xx (x,y);
)(
2
2
y
z
y y
z ????
?
??=f yy (x,y)
)(
2
x
z
y y
x z ????
?
???=f xy (x,y);
)(
2
y
z
x x
y z ????
?
???=f yx (x,y)
称为函数z=f(x,y)的二阶偏导数. 其中后面两个偏导数称为混合偏导数. 定理
如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数在区域D 内连续,则这
两个混合偏导数必相等.
例8.设z=x 3y 2-3xy 3
-xy+1,求
22
x
z ??;
2
2
y
z ??;
y x z
???2
;
x
y z
???2
.
解: z x =3x 2y 2-3y 3-y;
z y =2x 3y-9xy 2-x;
z xx =6xy 2;
z yy =2x 3-18xy; z xy =6x 2y-9y 2-1;
z yx =6x 2y-9y 2-1
例9.设f(x,y)=?
????=+≠++-0
,00,)(222
22
222y x y x y x y x xy 求x f ??;y f ??.
并证明f xy (0,0)≠f yx (0,0)
解:当x 2+y 2≠0时,
f x (x,y)
=2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(2)()(3(y x x
y x xy y x y x y +?--+-)=
;
2
2
2
5
324)
(4y x y
y x y x +-+ f y (x,y)=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(2)()(3(y x y
y x xy y x y x x +?--+-)=
2
2
2
4
2354)
(y x xy y x x +--
当x 2+y 2=0,即x=y=0时,
f x (0,0)=x
f x f x ?-?→?)
00()0(lim
,,=x
x 0lim
→=0; 同理f y (0,0)=0.
于是x f ??=?????=+≠++-+0 0042
22
22
225324y x y x y x y y x y x ,
,)(
y f ??=?????=+≠++--0 0042
22
22
224235y x y x y x xy y x x ,
,)( f xy (0,0)=y
f y f x x y ?-?→?)
0,0(),0(lim
=5
5
lim
y
y y -→=-1
f yx (0,0)=x
f x f y y x ?-?→?)
0,0()0,(lim
= 5
50
lim
x
x y →=1
所以f xy (0,0)≠f yx (0,0)
作业:高等数学A 练习册习题四十九 教学后记:
教学参考书
《高等数学》第五版,同济大学应用数学系主编,高等教育出版按社 《高等数学应用205例》 高等教育出版按社 李心灿 《数学考研题集》 东北大学出版社 史俊贤等
复习思考题
1. 与一元函数比较,说明二元函数连续、偏导之间的关系.
2. 若22y x z +=,试求
1
1==??y x x
z 且说明其几何意义.
3. 举例说明一元函数的复合函数求导法则在求二元函数的偏导数时仍有效. 1、答:一元函数在可导点处必连续, 但二元函数在偏导数存在处不一定连续. 因为),('00y x f x 只反应),(0y x f 在),(00y x 处连续,),('00y x f y 只反应
),(0y x f 在),(00y x 处连续,即曲面),(y x f z =关于平面0x x =和0y y =的
截线在),(00y x 处连续不能代表曲面),(y x f z =在),(00y x 处连续.反之,二元函数在连续点处也不一定存在偏导数.
2、解:因为x x
z 2=??, 故
1
1
==??y x x
z =2.
上式在几何上表示曲线?
??=+=1,
22y y x z 在(1,1,1)处沿x 轴方向的切线斜率
为2.
3、解:例如x
y z arctan
e
=可看成是由x
y v v u z u =
==,arctan ,e 复合而成,按一
元函数复合函数求导法则有:
2
2
arctan
22e )(11
e )'()'(arctan )'e (y
x y x
y
v x y
v x z
x
y u
x u +-?
=-?+?=??=??
把y 看作常数,直接求导数得:
x x
y x
y x
z )'(arctan
e arctan
?=??)'()
(11e
2
arctan
x
y x
y x
y ?+?
= )(e
2
2
2
2
arctan
x
y y
x x
x
y -
?+?
=2
2
arctan
e
y
x y x
y +-?
=
二者是一样的.
讲授内容:§8.3全微分及其应用
教学目的与要求:
1、理解全微分的定义、函数可微与偏导数之间的关系.
2、掌握求多元函数全微分的方法.
3、了解全微分在近似计算中的应用.
教学重难点:
重点——全微分的计算.
难点——全微分的定义.
教学方法:讲授
教学建议:
1、讲清全微分的定义,函数连续、可导与可微之间的关系.
2、在讲解函数连续、可导与可微之间的关系时可通过逐步设问的方式来进行. 学时:2学时
教学过程:
一、全微分的定义
1.几个概念:
偏增量:
关于变量x的增量: ?x z=f(x+?x,y)-f(x,y)
关于变量y的增量: ?y z=f(x,y+?y)-f(x,y)
全增量:
关于变量x,y的全增量:?z=f(x+?x,y+?y)-f(x,y)
偏微分:
关于变量x的偏微分: f x(x,y)?x
关于变量y的偏微分: f y(x,y)?y
偏增量与偏微分之间的关系:
?x z=f(x+?x,y)-f(x,y) ≈ f x (x,y)?x ?y z=f(x,y+?y)-f(x,y) ≈ f y (x,y)?y
2. 全微分的定义
定义:如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量
?z=f(x+?x,y+?y)-f(x,y)
可表示为
?z=A?x+B?y+o(ρ)
其中A,B 不依赖于?x,?y 而仅于x,y 有关,ρ=2
2)()(y x ?+?,
则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,
而A?x+B?y 称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分,记为dz,即:
dz= A?x+B?y .
若函数z=f(x,y)在区域D 内每一点可微,则称这函数在D 内是可微分的. 3.可微与连续的关系:可微?连续
证明:设函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,则有
?z = f(x+?x,y+?y)-f(x,y)
= f x (x,y)??x+f y (x,y)??y+o(ρ)
令:
?x→0,?y→0,则?z→0,即有:
lim →?→?y x f(x+?x,y+?y)=f(x,y)
4.可微与可导的关系:可微?可导
定理1.(函数可微的必要条件)如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,则该函数在
点(x,y)的偏导数x
z ??,
y
z ??必定存在,且函数z=f(x,y)在点(x,y)全微分为:
dz=
x
z ???x+
y
z ???y
证明:设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分.则?P′(x+?x,y+?y)∈U(P ,δ):总有
?z=A?x+B?y+o(ρ)
成立,特别令?y=0,则有: f(x+?x,y)-f(x,y)=A??x+o(|?x|),
这里ρ=|?x|
于是
x
y x f y x x f x ?-?+→?)
,(),(lim
=A=x
f ??
同理可得:
y
f ??=B
即有: dz=
x
z ???x+
y
z ???y
问题:连续??可微,可导?
?可微
可举例说明,可导不一定可微,连续不一定可微.
例1.
讨论函数f(x,y)=?
????
=≠+(0,0)
),( ,0)0,0(),(,2
2y x y x y x xy 在(0,0)的可导性与可微性.
解:∵
x
f x f x ?-?→?)
0,0()0,(lim
=0
∴ f x (0,0)=0,同理f y (0,0)=0. 即函数在(0,0)的两个偏导数存在.
又w ?=?z-[f x (0,0)?x+f y (0,0)?y]=f(?x,?y)-f(0,0)
=2
2
)
()())((y x y x ?+???
从而 ρ
ρw
?→0
lim
=2
2
0)
()())((lim
y x y x y x ?+???→?→?不存在,
即函数在(0,0)不可微.
第七章:微分方程 一、微分方程的相关概念 1. 微分方程的阶数:方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. 2. 微分方程的解:使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解. 通解:所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解. 特解:确定了任意常数的通解称为微分方程的特解. 3. 特解与通解的关系:可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解; 也可通过方程的表达式直接观察得到特解,因此特解不总包含在通解中. 二、微分方程的常见类型及其解法 1. 可分离变量的微分方程及其解法 (1).方程的形式:dx x f dy y g )()(= . (2). 方程的解法:分离变量法 (3). 求解步骤 ①. 分离变量,将方程写成dx x f dy y g )()(=的形式; ②. 两端积分: ??=dx x f dy y g )()(,得隐式通解C x F y G +=)()(; ③. 将隐函数显化. 2. 齐次方程及其解法 (1).方程的形式: ?? ? ??=x y dx dy ?. (2).方程的解法:变量替换法 (3). 求解步骤 ①.引进新变量x y u = ,有ux y =及dx du x u dx dy +=; ②.代入原方程得:)(u dx du x u ?=+; ③.分离变量后求解,即解方程x dx u u du =-)(?; ④.变量还原,即再用 x y 代替u . 3. 一阶线性微分方程及其解法 (1).方程的形式: )()(x Q y x P dx dy =+. 一阶齐次线性微分方程:0)(=+y x P dx dy . 一阶非齐次线性微分方程: 0)()(≠=+x Q y x P dx dy .
高等数学教案 一、课程的性质与任务 高等数学是计算机科学与技术;信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课,通过本课程的学习,也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”,“微积分”,“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算;同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时,要着眼于提高学生的数学素质,培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。 第一章:函数与极限 教学目的与要求18学时 1.解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。 第一节:映射与函数 一、集合 1、集合概念 word
word 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法:用A ,B ,C ,D 表示集合;用a ,b ,c ,d 表示集合中的元素 1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质= 元素与集合的关系:A a ? A a ∈ 一个集合,若它只含有有限个元素,则称为有限集;不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集:N ,Z ,Q ,R ,N + 元素与集合的关系: A 、B 是两个集合,如果集合A 的元素都是集合B 的元素,则称A 是B 的子集,记作B A ?。 如果集合A 与集合B 互为子集,则称A 与B 相等,记作B A = 若作B A ?且B A ≠则称A 是B 的真子集。 空集φ: A ?φ 2、 集合的运算 并集B A ? :}A x |{x B A B x ∈∈=?或 交集B A ? :}A x |{x B A B x ∈∈=?且 差集 B A \:}|{\B x A x x B A ?∈=且 全集I 、E 补集C A : 集合的并、交、余运算满足下列法则:
授课题目§9.1二重积分的概念与性质 课时安排2教学目的、要求:1.熟悉二重积分的概念,了解二重积分的性质;2.了解二重积分的几何意义。教学重点、难点:二重积分的几何意义教学内容 一、二重积分的概念1.引例与二重积分定义引例:(1).曲顶柱体的体积。(2)已知平面薄板质量(或电荷)面密度的分布时。求总质量(或电荷)。2.二重积分的几何意义 二、二重积分的性质性质1、 ,为非零常数;(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=????k 性质2、;{(,)(,)}D f x y g x y d σ±??(,)(,)D D f x y d g x y d σσ=±????性质3、若,且(除边沿部分外),则12D D D =+12D D φ= 12(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+?? ????性质4、若,,则:;(,)(,)f x y g x y ≥(,)x y D ∈(,)(,)D D f x y d g x y d σσ≥????性质5、估值定理性质6、(中值定理)设在上连续,则在上至少存在一点,使),(y x f D D ),(ηξA f d y x f D ?ηξ=σ??),(),(三、例题 例1 设是由与所围的区域,则D 24x y -=0=y =σ??D d π2例2 求在区域:上的平均值222),(y x R y x f --=D 222R y x ≤+讨论、思考题、作业:思考题:1.将二重积分定义与定积分定义进行比较,找出它们的相同之处与不同之处.2.估计积分的值,其中是圆形区域: .??++=D d y x I σ)94(22D 422≤+y x 习题9-1 P79 4(1),(3),5(1)(3)授课类型: 理论课教学方式:讲授教学资源:多媒体 填表说明:每项页面大小可自行调整。、管路敷设技术通过管线敷设技术,不仅可以解决吊顶层配置不规范问题,而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中,要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等,要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式,为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题,合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则:在分线盒处,当不同电压回路交叉时,应采用金属隔板进行隔开处理;同一线槽内,强电回路须同时切断习题电源,线缆敷设完毕,要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系,根据生产工艺高中资料试卷要求,对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验;对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作;对于继电保护进行整核对定值,审核与校对图纸,编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案,编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案;对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题,作为调试人员,需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料,并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术,电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时,需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全,并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围,或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理,尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作,并且拒绝动作,来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此,电力高中资料试卷保护装置调试技术,要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时,需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。
数,故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称,被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数,故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1): 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意: 如果积分区域关于^轴对称,而被积函数/(x,y)关于y是奇函数,即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0; D 如果积分区域D关于:K轴对称,而被积函数/(x,y)关于:c是奇函数,即/(~x,y)=-/(太,y),则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明: (1)jj da=(其中(7为的面积); IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:,y)do■(其中A:为常数); o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2,, A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"
jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A _____________高等数学_______________课程教案 授课类型 理 论 课 授课时间 2 节 授课题目(教学章节或主题): 第九章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质 本授课单元教学目标或要求: 理解二重积分的概念及几何意义,了解二重积分的性质,知道二重积分中值定理。 本授课单元教学内容(包括基本内容、重点、难点,以及引导学生解决重点难点的方法、例题等): 基本内容: 一、二重积分的概念 1、曲顶柱体的体积 2、平面薄片的质量 3、二重积分的定义 ()()∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 ,lim ,σηξσλ 几何意义:若()0,≥y x f ,二重积分表示以()y x f z ,=为顶,以D 为底的曲顶柱体的体积。如果()y x f ,是负的,柱体就在xoy 面的下方,二重积分的绝对值仍等于柱体的体积,但二重积分的值是负的。如果()y x f ,在D 的若干部分区域上是正的,而在其他的部分区域上是负的,我们可以把xoy 面上方的柱体体积取成正,xoy 下方的柱体体积取成负,则()y x f ,在D 上的二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的代数和。 二、二重积分的性质 1、【线性性】 [(,)(,)](,)(,)]αβσασβσ ?+?=?+???????f x y g x y d f x y d g x y d D D D 其中:α β,是常数。 2、【对区域的可加性】若区域D 分为两个部分区域1D 与2D ,则 f x y d f x y d f x y d D D D (,)(,)(,)σσσ =+??????2 1 3、若在D 上, ()1,=y x f ,σ为区域D 的面积,则: σσσ ==????1d d D D 几何意义: 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。 1、已知函数2,02 ()2,24x f x x ≤≤?=?-<≤? ,试求函数g()(2)(5)x f x f x =+-的定义域。 2、设函数()y f x =的定义域是[]0,8,试求3 ()f x 的定义域。 3、已知函数[]()12f x 的定义域,,试求下列函数的定义域。 (1)(1)f x + (2)()(0)f ax a ≠ (3)(sin )f x (4)(sin 1)f x + 4、要使下列式子有意义,函数()f x 应满足什么条件? 1 (1)() y f x = (2)y = (3)log ()(0a 1)a y f x a =>≠且 (4)arccos ()y f x = 5、求下列函数的定义域。 22(1)16x y x = +- 2 (2)arcsin 3x y -= (3)y =+ 6、在下列各对函数中,哪对函数是相同的函数。 211(1)()ln ;()2ln f x x g x x ==g 2222(2)()1;()sin cos f x g x x x ==+ 33(2)(3) (3)()3;()2 x x f x x g x x -+=+= - 44(4)()()1f x g x x ==- 7、设函数()2,()55x f x g x x ==+,求1(1),(),(()),(())f x g f g x g f x x x +-的表达式。 8、设2 ()23,()45f x x g x x =+=-,求(()),(()),(())f g x g f x f f x 的表达式。 9、设2 2 11 (),()f x x f x x x +=+ 求。 10、设(1)(1),()f x x x f x -=-求。 11、下列函数中,那哪些是奇函数,哪些是偶函数?哪些是非奇非偶函数。 (1)()sin f x x x =g (2)()sin f x x tgx =+ (3)()f x = (4)()ln(f x x = 2(5)()f x x x =- 12、判断下列函数的奇偶性。 3(1)()f x x x =+ (2)()cos f x x x =? (3)()(0)tgx f x x x = ≠ (4)()ln(f x x x =- 13、求下列函数的周期。 高等数学A2 课程教学大纲 课程编号:10009B6 学时:90 学分:5 适用对象:理学类、工科类本科专业 先修课程:高等数学A1 考核要求:闭卷考试,总成绩=平时成绩20%+期末成绩80% 使用教材及主要参考书: 同济大学数学系主编,《高等数学》(下册),高等教育出版社,2002 年, 第五版 黄立宏主编,《高等数学》(上下册),复旦大学出版社,2006 年陈兰祥主编,《高等数学典型题精解》,学苑出版社,2001 年陈文灯主编,《考研数学复习指南(理工类)》,世界图书版公司2006年李远东、刘庆珍编,《高等数学的基本理论与方法》,重庆大学出版社,1995年 钱吉林主编,《高等数学辞典》,华中师范大学出版社,1999 年一、课程的性质和任务 高等数学课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课,为学习后继课程(如大学物理等)奠定必要的基础,是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量、高素质专门人才服务的。二、教学目的与要求 通过本课程的学习,使学生获得向量代数和空间解析几何、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数(包括傅立叶级数)等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。 在传授知识的同时,要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力,还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问 题的能力。 三、学时分配 第八章多元函数微分法及其应用18 第九章重积分16 第十章曲线积分与曲面积分16 第十一章无穷级数18 总复习 6 四、教学中应注意的问题 1. 考虑学生的差异性,注意因材施教; 2. 考虑数学学科的抽象性,注意数形结合; 3. 考虑数学与现实生活的关系,注意在教学中多讲身边的数学, 使学生树立“学数学是为了用数学”的观点,培养学生“用数学”的好习惯。 五、教学内容 第七章:空间解析几何与向量代数 1 ?基本内容: 向量及其线性运算,数量积,向量积,曲面及其方程,空间曲线及其方程,平面及其方程,空间直线及其方程。 2 ?教学基本要求: (1)理解空间直角坐标系、理解向量的概念及其表示; (2)掌握向量的运算(线性运算、点乘法、叉乘法、)了解两个向量垂直、平行的条件; (3)掌握单位向量,方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法; (4)平面的方程和直线的方程及其求法,会利用平面、直线的相互关系解决有关问题 (5)理解曲面的方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形,了解以坐标轴为旋转的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程; (6)了解空间曲线的参数方程和一般方程; (7)了解曲面的交线在坐标平面上的投影。 3 ?教学重点与难点: 教学重点:向量的运算(线性运算、点乘法、叉乘法),两个向量垂直、平行的条件,向量方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算,平面的方程和直线的方程及其求法,曲面方程的 《高等数学》课程教学大纲 授课专业:通信工程专业学时:136学时学分:8学分开课学期:第1、第2学期 适用对象:通信工程专业学生 一、课程性质与任务 本课程是理、工类专业的专业基础课,通过本课程的学习,要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能,为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力,还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。 二、课程教学的基本要求 通过本课程的学习,学生基本了解微积分学的基础理论;充分理解微积分学的背景思想及数学思想。掌握微积分学的基本方法、手段、技巧,并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能较熟练地应用微积分学的思想方法解决应用问题。 三、课程教学内容 高等数学(上) 第一章函数、极限与连续(10学时) 第二章导数和微分(12学时) 第三章微分中值定理与导数的应用(12学时) 第四章函数的积分(16学时) 第五章定积分的应用(8学时) 第六章无穷级数(10学时) 高等数学(下) 第七章向量与空间解析几何(6学时) 第八章多元函数微分学(14学时) 第九章多元函数微分学的应用(10学时) 第十章多元函数积分学(I)(16学时) 第十一章多元函数积分学(II)(10学时) 第十二章常微分方程(12学时) 四、教学重点、难点 重点:极限的概念与性质;函数连续性的概念与性质;闭区间上连续函数的性质;微分中值定理与应用;用导数研究函数的性质;不定积分、定积分的计算;微积分学基本定理;正项级数敛散性的判定;幂级数的收敛定理;二元函数全微分的概念及性质;计算多元复合函数的偏导数与微分;隐函数定理及应用;重积分、曲线积分与曲面积分的计算;曲线积分与路径的无关性。 难点:极限的概念与理论;微分中值定理的应用;一元函数的泰勒定理;二元函数的极限;计算多元复合函数的偏导数与微分;对坐标的曲面积分的概念及计算;高斯公式;斯托克斯公式。 五、教学时数分配:教学时数136学时,其中理论讲授136学时,实践教学0学时。(具体安排见附表) 六、教学方式: 本课程的特点是理论性强,思想性强,与相关基础课及专业课联系较多,教学中应注重启发引导学生掌握重要概念的背景思想,理解重要概念的思想本质,避免学生死记硬背。要善于将有关学科或生活中常遇到的名词概念与微积分学的概念结合起来,使学生体会到学习 高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim (1)l = 0,称f (x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f (x) = 0[)(x g ],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 (3)l = 1,称f (x)与g(x)是等价无穷小,记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x , 1? cos x ~ 2/2^x , x e ?1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α 二.求极限的方法 1.两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.(夹逼定理)设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim 2.两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3.用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4.用泰勒公式 当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5.洛必达法则 《高等数学》教学大纲 (2010年3月讨论稿) 全院专升本各专业适用 一、课程的性质与任务 《高等数学》课程,是成人高等教育本科各专业教学计划中的一门必修基础理论课,它不仅为专业计划中多门后继课程提供必要的数学基础,而且也是为提高学生科学素养而设置的课程。 通过本课程的学习,要使学生获得《高等数学》中的基本概念、基本理论和基本方法。要通过各个教学环节,逐步培养学生具备较熟练的运算能力和运用数学方法处理问题的初步能力。同时,在抽象思维和逻辑推理方面也有一定的提高,以提升学生的数学素质,使自学能力提高一个层次,为以后深造打下坚实的基础。 二、本课程的基本要求与重点 专升本数学教学是比较特殊的一种教学形式,因学生是专科毕业生,已初步获得一元微积分的基本知识。因此,根据成人高等教育以培养应用型人才的目标,按基础理论教材“必需、够用”的原则,本课程的基本要求: 1.加深掌握一元函数微分和积分两大基本数学方法的理解和应用; 2.获得多元函数微积分、常微分方程和无穷级数的系统的基本知识、基本理论和基本方法。 本课程的重点为:微分方程、二元函数微分学、二重积分、曲线积分和无穷级数。(说明:曲线积分和无穷级数经管类不作要求) 三、课程内容和考核要求 第一章函数、极限与连续性 (一)课程内容 1.初等函数与非初等函数; 2.函数的特性; 3.数列的极限; 4.函数的极限; 5.极限的运算法则; 6.两个重要极限; 7.无穷小量及其性质和无穷大量; 8.无穷小量的比较; 9.函数的连续性概念和连续函数的运算; 10.函数的间断点; 11.闭区间上连续函数的性质。 (二)考核要求 1.掌握求函数的定义域和函数值,理解函数记号的运用。 2.了解函数与其图形之间的关系,掌握画常用的简单的函数图像。 《高等数学》说课稿 一、课程分析 1、地位和作用 本课程是通信工程、应用电子工程专业学生专业基础课。根据学生学习的特点,循序渐进,深入浅出,注重工科所需数学知识点的方法的讲解和技能的传授,同时注重教材的实用性,力求适应当前本系工科学生。本教材主要内容包括常系数微分方程、级数、线性代数、概率论。本课程的任务为学生后继课程学习做铺垫,是专业课学习的工具,为培养高技能型人才打下良好的基础。 2、教学目标 (一)知识目标 通过本课程的学习,使学生掌握常微分方程、线性代数、概率统计的基础知识和运算。为学生从事相关工作打下必要的数学基础(二)能力目标 从培养应用型人才的角度来更新教学内容和改革教学体系,高等数学课程不仅要教学生一些数学工具,它更是培养学生的数学思维,数学素质,使学生具有抽象概括能力,逻辑思维能力。 (三)素质目标 培养独立素质和团队协作的素质。 二、课程设计 1、课程设计理念 根据学生的基础和专业需要,我们将高等数学课程的内容进行 合理切割,并对学生的特点加以优化处理和整合,形成三个模块:基础模块,应用模块和提高模块。 2、重点难点 常微分方程:可分离变量的微分方程、常数变易法、二阶微分方程'' =的求解、二阶常系数线性齐次微 f y y f x y y(,') =,''y(,') 分方程的通解。 无穷级数:级数的概念和性质,数项级数收敛性的判定,幂级数 线性代数:行列式的计算、克莱姆法则、矩阵的运算、初等变换求矩 n 线性方程组的唯一解、用矩阵变换解阵的逆矩阵、n 线性方程组、线性方程组解的判定、向量组的线性相关 性、求线性方程组的解。 概率论:随机事件、随即变量及分布。 3、考核方法 书面考试(主要为基本理论和基本知识内容,理解和分析问题)为主。平时作业占课程成绩的30%,期末卷面考试占70% 三、高职高等数学教学理念 根据内容设计,我们选用了人中国计量出版社出版的《高等数学》和高等教育出版社出版的《使用工程数学》,其为高职高专技能紧缺人才培养规划较次,内容符合课程的设计与建设要求。 学情分析:学生参加高考,具备一定初等数学基础知识,但学生学高等数学的基础部扎实。 教学理念:淡化严格的数学论证,把学生从繁琐的数学推导和不 独立学院高等数学课程体系架构的探讨 傅平董丽花 摘要:分析独立学院高等数学课程体系的现状及存在的问题,阐述对独立学院高等数学课程体系构建的原则,并就课程体系中的教学模式、教学内容、与教材建设方面提出一些方案和建议。 关键词:独立学院高等数学课程体系教学改革 独立学院是我国高等教育办学体制、办学思路、办学模式的一次大胆改革创新,它是由公办普通本科院校与社会力量采用新机制、新模式联合举办的,以开展普通本三层次学历教育为主的相对独立的二级学院。随着教育部对独立学院办学的六个独立要求,各独立学院逐步从母体分离自主办学。绝大多数独立学院的人才培养定位为应用型人才。同时,高等数学课程是理工类、经管类专业必修的基础课程,它既能为后续的相关课程奠定基础、又能培养学生的逻辑思维能力,分析问题、解决问题的能力,从而提高自身的科学素质和创新精神。但是,如何针对独立学院的办学特点架构、设计高等数学的课程体系?这里要防止两个极端:一是简单化。认为独立学院的学生,只是简单的降低各项要求,从而影响学生培养质量;二是类同化。把对本一、本二的教学体系,尤其是母体高校的照搬到独立学院的学生上,没有实现因材施教的原则,最终也不能取得预期效果。笔者结合在中国传媒大学南广学院的教学实践,对独立学院高等数学的课程体系的架构提出几点看法,以供探讨。 1 独立学院高等数学课程体系的突出问题 1.1 缺乏独立且完善的教学体系 独立学院是现阶段我国教育事业的一个新生产物,目前处在高速发展时期。但大多数独立学院成立时间还不是很长,各方面的经验还不是很成熟,在教学、 管理等方面大都会借鉴甚至照搬母体高校的模式。作为基础课程的高等数学,在发展初期,一般都会照搬母体高校一致的课程体系。这和独立学院的“独立”极不协调,更不适应“高素质应用型”人才培养目标的要求。实际教学过程中经常会出现某些问题或矛盾在所难免。举例来说,由于母体学校和独立学院学生本身的差距,一个普遍的问题是难以完成与母体学校一致的教学内容,于是往往采取简单的删减课程内容,生硬的拼接教学体系等方法,以应付教学常规的需要。很明显,这样做在很大程度上破坏了基础课程的科学性、基础性与严密性,结果是学生基础课程学得不扎实,真的要用到有关知识解决问题时不会应用,也给后继的专业课学习带来许多困难。同时,又因为缺乏针对独立学院各专业教学而编写的合适教材,独立学院大都采用和母体高校一致的教材。这样做不仅限制了教师对教学内容的选取,也增加了学生学习的难度,使得一些学生对高等数学的学习更增加了畏惧和排斥的心理。 1.2 教学内容和体系一成不变 传统的高等数学课程教学强调内容的完整性和理论的严密性,这不仅不能适应适应独立学院培养目标的需要,而且也超出独立学院的学生的接受能力。尽管近年来我国的教学工作者们对数理课程的教学做了许多有益的改革与尝试。但陈旧的教学内容和体系至今没有根本的改变,突出的问题表现在经典较多、现代不足,分析推导较多、数值计算较不足,运算技巧较多、数学思想不足。目前,独立学院的高等数学教学改革一般也只是对教学内容机械性的删减和增加,即删去一些较为复杂、难懂的内容,增加一些习题的练习。比如,独立学院的高等数学教学中一些定理的证明都被删去不讲,只教给学生定理结论和其简单应用,这样做看似降低了学习难度,实际上治标不治本,反而使学生陷入模仿和死记的深渊,更本谈不上能力培养和素质培养,数学的思维方法得不到有效的训练。 2 独立学院高等数学课程体系构建原则 如前所述,独立学院的教学体系不够独立、不够完善,也没有实现因材施教的原则,难以满足独立学院人才培养的要求。必须对高等数学的课程体系进行调整和优化,其构建的原则笔者认为有以下几点: 2.1 坚持素质教育与能力培养的原则 所谓素质教育,主要是指文化素质教育,具体到高等数学课程,则是以培养 第八章空间解析几何与向量代数 教学目的: 1、理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),掌握两个向量垂直和平行的条件。 3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,熟练掌握用坐标表达式进行向量运 算的方法。 4、掌握平面方程和直线方程及其求法。 5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相互关系(平 行、垂直、相交等)解决有关问题。 6、会求点到直线以及点到平面的距离。 7、理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲 面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。 9、了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程。 教学重点: 1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算; 2、两个向量垂直和平行的条件; 3、平面方程和直线方程; 4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件; 5、点到直线以及点到平面的距离; 6、常用二次曲面的方程及其图形; 7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程; 8、空间曲线的参数方程和一般方程。 教学难点: 1、向量积的向量运算及坐标运算,数量积和向量积的运算; 2、平面方程和直线方程及其求法; 3、空间曲线在坐标面上的投影 4、点到直线的距离; 5、二次曲面图形; 6、旋转曲面及柱面的方程。 §8.1 向量及其线性运算 一、教学目的与要求: 1.理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示。 2.掌握向量的线性运算、掌握单位向量、方向余弦、两向量的夹角、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 二、重点(难点):向量概念、向量的运算 三、教学方式:讲授式教学结合多媒体 讲授内容: 一、向量概念 向量:既有大小,又有方向,这一类量叫做向量. 在数学上,用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的符号: 以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作 → AB.向量可用粗体字母表示,也可用上加箭 头书写体字母表示,例如,a、r、v、F或→a、→r、→v、→F. 自由向量:由于一切向量的共性是它们都有大小和方向,所以在数学上我们只研究与起点无关的向量,并称这种向量为自由向量,简称向量.因此,如果向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a =b.相等的向量经过平移后可以完全重合. 向量的模:向量的大小叫做向量的模. 向量a、→a、→AB的模分别记为|a|、| |→a、| |→AB. 单位向量:模等于1的向量叫做单位向量. 零向量:模等于0的向量叫做零向量,记作0或→0.零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的. 向量的平行:两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b平行,记作a // b.零向量认为是与任何向量都平行. 当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条直线上.因此,两向量平行又称两向量共线. 类似还有共面的概念.设有k(k≥3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果k个终点和公共起点在一个平面上,就称这k个向量共面. 二、向量的线性运算 1.向量的加法 向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a的起点到b 的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b . 三角形法则 平行四边形法则: 习题1-10 1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根. 因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数. f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根; 若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根. 总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b. 3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 |f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)?f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. 证明设x0为(a,b)内任意一点.因为 0||lim |)()(|lim 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(lim 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a 《高等数学》课程教学大纲 课程中文名称:《高等数学》课程英文名称:higher mathematics 课程编号:适用专业:全日制高职(三年制)各专业 学时: 48 学分数:3.5 开设学期:第一学期课程类别:必修 课程性质:公共基础课执笔者:宋红波、王爱亲、任利清 审核人:批准人: 一、课程的地位、作用及任务 我院开设的《高等数学》是一门满足高职教育发展需要同时结合我院教学特点的适应于工程类、经济类以及理工类各专业的重要公共基础理论课,为和谐社会的进步和发展培养创新型高级适应性人才服务。本课程以“深化概念,加强计算,注重应用,提高素质”为特色,充分体现了“以应用为目的,以必须够用为度”的原则;通过本课程的学习,可以使学生获得导数与微积分、极限与连续的基础理论知识和常用运算方法,在此基础上掌握一些重要的积分变换方法。 通过本课程的学习,主要是培养学生运用数学来分析、解决实际问题的数学能力,为后续各课程的学习奠定较好的数学基础,形成一定的数学思想。使学生成为综合能力强,素质全面,能更好地适应未来发展需求的高级应用型人才。 二、本课程的教学目的和要求 高等数学作为高职高专院校中各专业的一门基础课程,对学生思维能力的培养和后继课程的学习有着重要的作用。学生在学完本课程后应达到下列基本要求: 1、掌握函数极限的概念,连续函数及闭区间上连续函数的性质,无穷小量、无穷大量的定义、运算性质及无穷小量的比较,能够运用极限四则运算法则,两个重要极限和函数连续的定义来计算函数的极限,能够判断函数的连续性和间断点。 2、了解隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数,理解可导、连续与可微的关系,掌握微分的概念及其应用,导数概念及其几何意义,能在导数四则运算法则和复合函数求导法则的基础上运用基本导数公式计算函数的导数,会求函数的高阶导数。 3、了解导数在经济分析中应用,理解曲线的凹凸性及拐点,掌握中值定理、洛必达法 数,故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称,被积函数(/+r2)3关于y是偶函数,故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1): 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意: 如果积分区域关于^轴对称,而被积函数/(x,y)关于y是奇函数,即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0; D 如果积分区域D关于:K轴对称,而被积函数/(x,y)关于:c是奇函数,即/(~x,y)=-/(太,y),则 =0. D ? 3.利用二重积分定义证明: (1)jj da=(其中(7为的面积); IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:,y)do■(其中A:为常数); o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr+ jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /)2,, A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n" jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A