广州市2012届高三下学期一模调研
数学（文）试题
本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟，
参考公式：1．锥体的体积公式Sh V 31=
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．
2．数据x 1，x l ，…，x n 的方差])()()[(12
22212
x x x x x x n
s n -++-+-=
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合A={(x ，y)| x ，y ∈z ，且|x|+|y|<1}的元素个数为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．函数1ln )(-=
x x f 的定义域为
A.(e ，+∞）
B.[e ，+∞)
C. (O ，e]
D.(-∞，e] 3．已知复数z 满足(l-i)z=1+3i （i 是虚数单位），则z= A ．-2+i B ．2-i C ．1-2i D ．-1+2i
4．等差数列{a n }的前n 项和为s n =n 2
+2n+a+2，则常数a= A. -2 B.2 C.0 D.不确定
5．已知平面向量),3(),3,1(x b a -==，且=b a //，则=?b a A. -30 B. 20 C. 15 D.0
6．已知直线l ：x+y=m 经过原点，则直线l 被圆x 2+y Z
-2y=0截得的弦长是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．2
7．己知点F 1、F 2分别是双曲线C ：122
22
=-b
y
a x 的两个焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与
双曲线C 交于A 、B 两点，若△ABF 2为等边三角形，则该双曲线的离心率e= A ．2 B ．32 C ．
3
2 D ．3
8．已知x ∈R ，“x=l ”是"01"
2
=-x
x 的
A.充分不必要条件 B 。必要不充分条件
C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件
9．某个锥体（图1）的三视图如图根所示，据图中标出的尺寸，这个锥体的侧面积S= A ．6 B ．π132 C ．π136+ D ．π1326+
10．a ?，b ，c ，d ∈R ，定义行列式运算
bc ad d
c
b a -=。将函数x
x x f sin cos 1
3)(=
的
图象向右平移?(?>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则?的最小值为 A ．
6
π
B ．
3
π
C ．
3
2π D ．
6
5π
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。 （一）必做题（11~13题）
11．如图2是求12+22+32+...+1002值的程序框图， 则判断框中正整数，n=____
12。现有三台自动包装机，包装每袋100克药品。
为了解它们的质量，对它们包装出来的产品进行 抽样调查，将得到的数据分别绘制成频率分布直 方图（如图3），根据直方图可知，这三台药品包装机的质量从高到低的顺序是____．
13．锐角△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 所对的边，ac B b c a 3tan )(.2
22=
?-+
则B=____
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图4，四边形ABCD 中， ∠A=∠B=90°,AD:AB:BC=3:4:6,E 、F 分
别是AB 、CD 上的点，AE ：AB=DF ：DC =1：3．
若四边形ABCD 的周长为1，则四边形AEFD 的周长为____ 15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系(p ，θ)（0<θ<2π）中，圆C 的极坐标方程为
θθρsin 32cos 2-=，则圆心的极坐标为____
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（三角函数14分）
如图5，某地一天6～16时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+?)+b ， 其中A>O ，ω>O ， 0<ω<π．
(1)求这一天6～16时的最大温差； (2)根据图象确定这段曲线的函数解析式， 并估计16时的气温大概是多少℃？
（结果精确到0.1 ℃.，参考数据：414.12≈
)732.13≈
17．（本小题满分12分）
某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：
(1)由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？
(2)据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？
(3)按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率。
18．（本小题满分14分）
如图6，在四面体PABC 中，PA=PB ，CA=CB ，D 、E 、F 、G 分别是PA ，AC 、CB 、BP 的中点． (1)求证：D 、E 、F 、G 四点共面； (2)求证：PC ⊥AB ；
(3)若△ABC 和PAB 都是等腰直角三角形，且AB=2，2=
PC ，求四面体PABC 的体积．
19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C:)0(122
22
>>=+b a b y a x 的离心率为3
6短轴一个端点到
右焦点的距离为3．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)直线y=x 与椭圆C 在第一象限相交于点A ，试探究在椭圆C 上存在多少个点B ，使△OAB 为等腰三角形．（简要说明理由，不必求出这些点的坐标）
20．（本小题满分14分）
数列{a n }中，a 1=2，a n+1=a n +c n （c 是不为零的常数，n ∈N*），且a 1，a 2．a 3成等比数列． (1)求c 的值； (2)求{a n }的通项公式；
(3)求数列}{n
n c
n c a ?-的前n 项之和T n ．
21（本小题满分14分） 设函数x ax x x f +-
=2
2
1ln )(
(1)当a=2时，求f(x)的最大值； (2)令)30(2
1)()(2
≤<+
-+
=x x
a x ax x f x F ，以其图象上任意一点P(x o ，y o )为切点的
切线的斜率2
1
k 恒成立，求实数a 的取值范围：
(3)当a=0时，方程mf(x)=x 2
有唯一实数解，求正数m 的值．
文科数学参考答案
一、选择题 CBDAA BDCCB
二、填空题 11.101 12．甲丙乙（只对一个，例如“甲乙丙”，给2分） 13．
3
π
14.
9
5 15．)3
5,
2(π
三、解答题（以下解答与评分供参考，等价或有效解答都要相应给分）
16．解(1)最大温差为15-(-5)=20(℃)……3分（列式1分，结果数值1分，单位1分） (2)依题意，A=10，b=5……5分 T=2×(14-6)=16 ………6分 , 8
,162π
ωω
π
=
==
T ……7分，
由55)68
sin(
10-=++??π
……8分，且0
3π?=
……10分
]16,6[,5)4
38
sin(
10∈++
=x x y ππ
……12分（函数解析式与定义域各1分）
x=16时，5)4
3168
sin(
10++
?=ππ
y ……13分，
≈ 12.1 ( ℃ ) 14分
17．解(1)因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，
54
9与
46
36相差较大……1分，所以节能意识强弱与年龄有关……3分
(2)年龄大于50岁的有
28035045
36=?（人）……6分（列式2分，结果1分）
(3)抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的145
95=?
（人）……7分，
年龄大于50岁的4人……8分，记这5人分别为A ，B 1，B 2，B 3，B 4。
从这5人中任取2人，共有10种不同取法…9分，完全正确列举…10分，设A 表示随机事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20至50岁”，则A 中的基本事件有4种：完全正确列举…11分，故所求概率为5
210
4)(==
A P ……12分
18．证明与求解(1)依题意DG//AB ……1分，EF ∥AB …2分，
所以DG//EF ……3分，DG 、EF 共面，从而D 、E 、F 、G 四点共面……4分。 (2)取AB 中点为O ，连接PO 、CO ……5分
因为PA=PB ，CA=CB ，所以PO ⊥AB ，CO ⊥AB ……7分， 因为PO ∩CO=D ，所以AB ⊥面POC ……8分 PC ?面POC ，所以AB ⊥PC ……9分
(3)因为△ABC 和PAB 是等腰直角三角形，所以12
1===AB CO PO …10分，
因为,,22
2
2
PC OC
OP
PC =+=
所以OP ⊥OC ……11分，
又PO ⊥AB ，且AB ∩OC=O ，所以PO ⊥面ABC ……12分 3
1211213
13
1=?
???=
??=
?-ABC ABC P S PO V ……14分（公式1分，其他1分）
19．解(1)由于短轴一个端点到右焦点的距离为3，则a=3……1分， 因为3
6
=
=
a c e ……2分，所以6=c …3分，
b 2=a 2-
c 2
=9-6=3……4分，
所以椭圆C 的方程为：13
92
2
=+y x …5分
(2)解??
???==+x y y
x 1
392
2(x>0)，得,23==y x 即)23,23(A ……6分
以O 为顶点的等腰三角形△OAB 有两个...7分，此时B 为A 关于x 轴或y 轴的对称点 (8)
分，以A 为顶点的等腰三角形△OAB 有两个……9分，此时B 为以A 为圆心、AO 为半径的圆弧与椭圆C 的交点…10分，以AO 为底边的等腰三角形△OAB 有两个……11分，此时B 为AO 的垂直平分线与椭圆C 的交点…12分。因为直线y=x 倾斜角为,4
π
所以以上等腰△OAB 不可
能是等边三角形…13分，即以上6个三角形互不相同，存在6个点B ，使△OAB 为等腰三角形…14分。
20，解(1)c c a a c c a a 322,22312+=+=+=+=……2分，依题意
312
2a a a ?=……3分，即)32(2)2(2
c c +=+，解得c=0（舍去），c=2……4分
(2)n ≥2时，,4,22312=-=-a a a a …)1(21-=--n a a n n 5分，
以上各式相加得)1()1(2421-=-+++=-n n n a a n ……6分，22
+-=n n a n …7分，
n=l 时，21122
1+-==a ，所以2*,2+-=∈?n n a N n n ……8分
(3)
n
n
n n c n c a 21-=
?-……9分，)1(2
12
22
32
22
11
4
3
2
>-+
-+
+
+
=
-n n n T n
n n ……10分
1
2
3
2
2
12
22
32
2
2
12---+
-++
+
=
n n n n n T ……11分，以上两式相减得
n
n n n T 2
12
12
12
12
11
3
2
--
+
++
+
=
- ……12分，n
n 2
11+-
=……l3分，
因为1
1
12
11102
11+-
==-=
T ，所以n
n n T N n 2
11*,+-
=∈?……14分
21解(1)a=2时，x x
x f x x x x f 211)(,ln )(/
2-+=
-+=……1分，
解f'(x)=0得x=l 或2
1-=x （舍去）……2分，当x ∈(0，1)时，f'(x)>0，f(x)单调增加，
当x ∈(1，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调减少……3分， 所以f(x)的最大值为f(l)=0……4分 (2))30(1)('),30(ln )(020
0≤<-
=
=≤<+
=x x a x x F k x x
a x x F ……6分
由2
1≤k 恒成立得2
1)1(2
102
12
02
00+
--
=-
≥x x x a 恒成立……7分
因为2
12
1)1(2
12
0≤
+--
x ，等号当且仅当x o =1时成立……8分，
所以2
1≥a ……9分
(3)a=O 时，方程mf(x)=x 2
即x 2
-mx-mlnx=0，设g(x)=x 2
-mx-mlnx ，解
02)('=-
-=x
m m x x g ……10分，得4
82
1m m m x +-=
(<0舍去)，
4
82
2m m m x ++=
类似(1)的讨论知，g(x)在x ∈(0，X2)单调增加，在x ∈(x 2，+∞)单调
减少，最大值为g(x 2)……11分，
因为mf(x)=x 2有唯一实数解，g(x)有唯一零点，所以g(x 2)=0…12分，
由?
??==0)(0)('22x g x g 得01ln 222=-+x x ，因为h(x)=x+lnx-l 单调递增，且h(1) =O ，所以
x 2=1……13分，从而m=1……14分。