aX
a X
=+-1
2
1()，则
称X 为D 的极点。
三角形、四面体等点集的顶点都是极点，这些极点的个数是有限的。圆的圆周和球体表面上的点也都是极点，但这些极点的个数是无限的。线性规划问题的可行域D 若不是空集，则极点个数一定是有限个。 ３．基本解
b AX =，B
为A 的一个可逆子阵
（1）B 称为)(LP 的一个基；
（2）与B 的列对应的变量称为基（本）变量，其余为非基（本）变量；
（3）令非基（本）变量为0，得b AX =的解X 称为)
(LP 的基本解。
问：基本解是可行解吗？
例２－３ 求下面约束方程组的基本解
??
?=++=++16
26063421321x x x x x x
解 本例中
n m ==42
，。为求基本解，因
n m -=-=()422
，令2个变量为０，余下2个变量2
个方程的方程组，若此时的系数矩阵非奇异，就可求解，其结果列于表2-3，备注中的0、、、a b c 对应于图2-2相应的顶点。4个变量令其中2个变量为0的方法有6种,所以本例中基本解也是6个。一般情况下，基本解个数不超过)!
(!!m n m n C
m
n
-=
个。
表2－２ 例2－１的基本解
由表2－２可知，基本解不一定是可行解。本例
中６个基本解中只有４个是可行解。在基本解中，若变量为０的个数刚好是n m -个，此解就称为非退化的基本解。本例中的6个基本解均是非退化的。 4、基本可行解：满足非负条件0≥X
的基本可行解。
基本可行解----可行域的顶点(极点)。 5、基本最优解：使目标函数取最大值的基本可行解
X 称为基本最优解。
考虑各种解之间的关系： 基本最优解 最优解 基本可行解 可行解
基本解
(二)基本定理
定理2.1线性规划问题)(LP 的可行域D 是凸集。 证明：设D X X ∈2
1，是问题)(LP 的任意两个可行解，
即要证明X
aX
a X D
=+-∈1
2
1()，01≤≤a , 显然
X aX
a X =+-≥1
2
10
()
又因为AX
b AX
b
1
2
==，所以
AX A aX
a X =+-[()]1
2
1
=+-aAX a AX
1
2
1()
=+-ab a b ()]1
=b
从而D
X
∈，故问题)(LP 的可行域D 是凸集。
定理2.2 设D 是问题)(LP 的可行域,则X 是问题
)
(LP 的基本可行解的充分必要条件是X 为D 的顶点
（极点）.
定理2.3 如果问题)(LP 有最优解，则目标函的最大值一定可在某个顶点（极点）上达到。
对于二维情况，定理2.2、定理2.3从图形上即知是正确的。对二维以上情况结论仍然是正确的，略去证明。 二、单纯形法
1.（分析）例２－４ 求解下述线性规划问题)(LP
???
??
?
?=≥=+-=+-++-=4,3,2,1,0448633203max )(43243143j x x x x x x x x x f LP j 解：问题)(LP 的特点是x i 只在第i 个约束方程中出现,2,1=i ，其系数为1。设Ａ表示系数矩阵，即
123410 33(,,,)0
1 8
4A P P P P -??
==?
?-??
则
B P P 0121
00
1==???
??
?(,) 是二阶单位矩阵。B 0 是问题)
(LP 的一个基,21,x x 是基变量。从而有
x x x x x x 134234336
844=-+=-+ （*）
令非基变量34
00x x ==，得一基本可行解
T X
)
0,0,46(0
，=
为判断X 0
是不是最优解,将目标函数用非基变量表示，得
f x x =-++32034
由于x 4的系数为正,因此当x 4增大时, f 将增大，所以X 0
不是最优解。
x 4的增加应保持12, 0x x ≥。在式（*）中令非基
变量x 30=,可确定x 4的取值，即
??
?≥-=≥-=0440364241x x x x
即x 4
63
2
≤=，x 4
44
1≤
=。由此知，保持可行性
的x 4最大取值为1。x 4增大到1时x 2 (比x 1)先为0，故x 2为出基变量。对应地得到新的基本可行解
T
x )1003(1
，，，=。
具体步骤为，在（*）式中用4除第二式两端，约束方程变为
x x x x x x 134********
21-+=-+=
变形得
x x x x x x 123234
34
33
14
21
-+=-+= 由上面两式易得新的基本可行解
1
(3001)
T
X
=，，，。
1
X
是否为最优解？
将目标函数式写成
f x x +-=32034
代入得
f x x +
+=14
21
23
此时非基变量x x 23、的系数非负，故f
=21是最
大值，1
(3001)T
X =，
，，是最优解。 上面求解过程用表格表示：单纯形法。
1
初始单纯形表
因检验数-1<0，所以
T
X
)
0,0,46(0
，=不是最优解。
2
确定迭代元素得新表
检验数已经非负，因此1
(3001)
T
X
=，，，就是最优
解，最优值21m ax =f
从几何上看，上面的求解过程就是从凸多面体的一个顶点到另一个顶点的迭代。凸多面体在几何上也称为单纯形，因此上面的求解过程称为单纯形法，所用的表格称为单纯形表。
2．规范场合线性规划问题)(LP ，的迭代步骤（自己看）。
112211,11112
2,1122
m ,11m ax ()() 0,1,2,,n n m m n n m m n n m m m m n n m j c x c x c x x a x a x b x a x a x b L P x a x a x b x j n
+++++++++??
+++=?
?+++=??
??+++=?≥=?? … 进行讨论，式中的b i m i ≥=012，，，…。显然
T
m b b b X
)00(210
，…，，，…，，=
是一个基本可行解，称为初始可行解。
显然基本变量可以表达式为：
∑+==-
=n
m j j ij
i i m
i x a
b x 1
,,2,1…，， (*)
将此式代入目标函数式中得：
∑∑
∑=+=+=+
-
=
m
i n
m j n
m j j
j
j ij i
i
x c
x a b
c f 1
1
1
)( ∑∑=+=-+
=
m
i n
m j j
j j
i
i
x
z c
b
c 1
1
)( (**)
或写成：
(完整版)简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题 [ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一线性规划中的基本概念 知识点二线性规划问题 1．目标函数的最值 线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的 截距是z， b b b 当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值； 当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．
知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种 材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一求线性目标函数的最值 y≤2， 例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( ) x－y≤1， A ． 12 B ．11 C ．3 D ．－ 1 答案 B 解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点 的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经 y＝2，x＝ 3，
高中数学 简单线性规划问题教案 新人教A版必修
3.3.2 简单线性规划问题 从容说课 本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出简单线性规划问题的一些基本概念，由二元一次不等式组的解集可以表示为直角坐标平面上的区域引出问题：在直角坐标系内，如何用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的区域求解问题？再从一个具体的二元一次不等式（组）入手，来研究一元二次不等式表示的区域及确定的方法，作出其平面区域，并通过直线方程的知识得出最值.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生更深刻地理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的知识的巩固. “简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力. 依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次. 本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材. 本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力. 教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域. 教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化.
第1章线性规划及单纯形法
线性规划及单纯形法 一．选择 1. 运筹学应用分析、试验、（C ）的方法，对经济管理系统中人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。 A 统筹 B 量化 C 优化 D 决策 2. 运筹学研究的基本手段是（A ）。 A 建立数学模型 B 进行数学分析 C 进行决策分析 D 建立管理规范 3. 运筹学研究的基本特点是（ C ）。 A 进行系统局部独立分析 B 考虑系统局部优化 C 考虑系统的整体优化 D 进行系统的整体决策 4. 线性规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数、（B ） A 表达式 B 约束条件 C 方程变量 D 价值系数 5. 线性规划问题的基可行解X 对应线性规划问题可行域（凸集）的（ C ） A 边 B 平面 C 顶点 D 内部 6. 目标函数取极小化（Z min ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大化即（C ）的线性规划问题求解 A Z min B )min(Z - C )max(Z - D Z max - 7. 标准形式的线性规划问题，最优解（C ）是可行解 A 一定 B 一定不 C 不一定 D 无法确定 8. 在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为（ C ）。 A 最优解 B 基可行解 C 可行解 D 基解 9. 生产和经营管理中经常提出任何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是所谓的（D ） A 管理问题 B 规划问题 C 决策问题 D 优化问题 10. 在线性规划问题中，图解法适合用于处理变量（ B ）个的线性规划问题 A 1 B 2 C 3 D 4 11. 求解线性规划问题时，解的情况有:唯一最优解、无穷多最优解、（ C ）、无可行解 A 无解B 无基解 C 无界解 D 无基可行解 12. 在用图解法求解的时，找不到满足约束条件的公共范围，这时问题有（D ），其原因是模型本身有错误，约束条件之间相互矛盾，应检查修正。 A 唯一最优解 B 无穷多最优解 C 无界解D 无可行解 13. 线性规划问题的基可行解()T n X X X ,,1 =为基可行解的充要条件是X 的正分量所对 应的系数列向量是（B ） A 线性相关 B 线性独立 C 非线性独立 D 无法判断 14. 线性规划问题进行最优性检验和解的判别时，如果当0≤j σ时，人工变量仍留在基本量中且不为零，（D ） A 唯一最优解 B 无穷多最优解 C 无界解 D 无可行解 15.如果集合C 中任意两个点21,X X 其连线上的所有点也都是集合C 中的点，称C 为（B ）
线性规划化问题的简单解法
简单线性规划问题的几种简单解法 依不拉音。司马义（吐鲁番市三堡中学，838009） “简单的线性规划问题”属于高中数学新课程必修5，进入了高考试题，并且保持了较大的考察比例，几乎是每年高考的必考内容，也是高中数学教学的一个难点。 简单的线性规划是指目标函数只含两个自变量的线性规划。简单线性规划问题的标准型为： 1112220(0)0(0),(),0(0) m m m A x B y C A x B y C m N z Ax By A x B y C +++≥≤??++≥≤?∈=+???++≥≤?L 约束条件 目标函数 ， 下面介绍简单线性规划问题的几种简单解法。 1. 图解法 第一步、画出约束条件表示的可行区域，这里有两种画可行区域的方法。 ⑴代点法：直线Ax+By+C=0（c 不为0）的某侧任取一点，把它的坐标代入不等式，若不等式成立，则不等式表示的区域在该点的那一侧；若不成立，则在另一侧。 ⑵B 判别法：若Ｂ＞0（＜０），则不等式Ax+By+C ＞0（＜０）表示的区域在直 线Ax+By+C ＝0的上方；若Ｂ＞０（＜０），则不等式Ax+By+C ＜０(＞0)表示的区域在直线Ax+By+C ＝0的下方。（即若B 与0的大小方向跟不等式的方向相同，则可行区域是边界线的上方；若B 与0的大小方向与不等式的方向相反，则可信分区域是边界线的下方） 用上面的两种方法画出可行区域是很简单，所以这里不必举例说明。 第二步、在画出的可行区域内求最优解（使目标函数取最大值或最小值的点），这 个可以用下面的两种办法解决。 ⑴y 轴上的截距法：若b >0，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其y 轴上的截距最大（最小）时，便是z 取得最大值（最小值）的点；若b <0，直线y a b x z b =-+所经过可行域上的点使其y 轴上的截距最大（最小）时，是z 取得最小值（最小值）的点（提醒：截距不是距离，截距可以取正负）。 例1．设x,y 满足约束条件x y y x y +≤≤≥???? ?10,,,求z x y =+2的最大值、最小值。 解：如图1作出可行域，因为y 的系数1大于0，目标函数z x y =+2表示直线 y x z =-+2在y 轴上的截距， 当直线过A （1，0）时，截距值最大z max =?+=2102，当直线过点O （0，0）时，截距值最小min 2000z =?+=。
线性规划及单纯形法习题
第一章 线性规划及单纯形法习题 1.用图解法求解下列线性规划问题,并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解还是无可行解。 （1）??? ??≥≥+≥++=0,42266432min 2121212 1x x x x x x x x z (2) ??? ??≥≥+≥++=0,12432 223max 2 121212 1x x x x x x x x (3) ?? ? ??≤≤≤≤≤++=8 3105120 106max 21212 1x x x x x x z (4) ??? ??≥≤+-≥-+=0,2322 265max 1 2212121x x x x x x x x z 2.将下列线性规划问题化成标准形式。 (1)????? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 43214321432143214321,0,,2321422 245243min x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ????? ? ?≥≤≥-++-≤-+-=++-+-=无约束 32143213213213 21,0,023*******min x x x x x x x x x x x x x x x x z 3.对下列线性规划问题找出所有基本解，指出哪些是基可行解，并确定最优解。 (1) ??? ?? ? ?=≥=-=+-+=+++++=)6,,1(0231024893631223min 61432143213 21Λj x x x x x x x x x x x x x x z j (2) ??? ??=≥=+++=+++++-=)4,,1(0102227 4322325min 432143214321Λj x x x x x x x x x x x x x z j 4.分别用图解发法和单纯形法求解下述问题，并对照单纯形表中的各基本可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
线性规划简单线性规划问题的向量解法
高二数学上学期简单的线性规划简单线性规划问题的向量解法 例题解析 ●教学目标 （一）教学知识点 1.线性规划问题，线性规划的意义. 2.线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念. 3.线性规划问题的图解方法. （二）能力训练要求 1.了解简单的线性规划问题. 2.了解线性规划的意义. 3.会用图解法解决简单的线性规划问题. （三）德育渗透目标 让学生树立数形结合思想. ●教学重点 用图解法解决简单的线性规划问题. ●教学难点 准确求得线性规划问题的最优解. ●教学方法 讲练结合法 教师可结合一些典型例题进行讲解，学生再通过练习来掌握用图解法解决一些较简单的线性规划问题. ●教具准备 多媒体课件（或幻灯片） 内容：课本P60图7—23 记作§7.4.2 A 过程：先分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，再找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）.再作直线l0:2x+y=0. 然后，作一组与直线的平行的直线： l:2x+y=t,t∈R （或平行移动直线l0），从而观察t值的变化. ●教学过程 Ⅰ.课题导入 上节课，咱们一起探讨了二元一次不等式表示平面区域，下面，我们再来探讨一下如何应用其解决一些问题. Ⅱ.讲授新课
首先，请同学们来看这样一个问题. 设z =2x +y ，式中变量x 、y 满足下列条件?? ???≥≤+-≤-1255334x y x y x 求z 的最大值和最小值. 分析：从变量x 、y 所满足的条件来看，变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域. (打出投影片§7.4.2 A) ［师］（结合投影片或借助多媒体课件） 从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x =0，y =0时，z =2x +y =0. 点（0，0）在直线l 0：2x +y =0上. 作一组与直线l 0平行的直线（或平行移动直线l 0)l :2x +y =t ,t ∈R . 可知，当t 在l 0的右上方时，直线l 上的点（x ,y )满足2x +y ＞0, 即t ＞0. 而且，直线l 往右平移时，t 随之增大. （引导学生一起观察此规律） 在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （5，2）的直线l 2所对应的t 最大，以经过点B （1，1）的直线l 1所对应的t 最小. 所以：z m ax =2×5+2=12, z m in =2×1+3=3. 诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =2x +y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数. 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示. 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z =2x +y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题. 那么，满足线性约束条件的解（x ,y )叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. Ⅲ.课堂练习 ［师］请同学们结合课本P 64练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题. （1）求z =2x +y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件?? ???-≥≤+≤.1,1,y y x x y 解：不等式组表示的平面区域如图所示： 当x =0,y =0时，z =2x +y =0 点（0，0）在直线l 0:2x +y =0上. 作一组与直线l 0平行的直线 l :2x +y =t ,t ∈R . 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 l
简单线性规划问题教案
3.3.2 “简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力 依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次 本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材 本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的 意识以及解决实际问题的能力 教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域 教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根 据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数 学化、代数问题几何化 课时安排2课时 三维目标 一、知识与技能 1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题 二、过程与方法 1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力 2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新. 三、情感态度与价值观 1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力 2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.
简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题 ［学习目标］1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念2 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题. rjaiwjsa 自圭学习 知识点一线性规划中的基本概念 知识点二线性规划问题 i?目标函数的最值 线性目标函数z = ax+ by(b^0)对应的斜截式直线方程是y= — +§在y轴上的截距是b, 当z变化时，方程表示一组互相平行的直线. 当b>0,截距最大时，z取得最大值，截距最小时, z取得最小值; 当b<0,截距最大时，z取得最小值，截距最小时, z取得最大值. 2 ?解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为： “画、移、求、答”四步，即， (1) 画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域. (2) 移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解.
(3) 求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值. ⑷答：写出答案. 知识点三简单线性规划问题的实际应用 1 ?线性规划的实际问题的类型 (1) 给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2) 给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小. 常见问题有： ①物资调动问题 例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的， 且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题 例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题 例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2 ?解答线性规划实际应用题的步骤 (1) 模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要 在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法. (2) 模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最 优解. (3) 模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案. 歹题型探究 题型一求线性目标函数的最值 y w 2, 例1已知变量x, y满足约束条件x + y> 1, 则z = 3x+y的最大值为() x —y< 1, A. 12 B. 11 C. 3 D.—1 答案B
线性规划单纯形法(例题)
《吉林建筑工程学院城建学院人文素质课线性规划单纯形法例题》 ??? ??≥=++=+++++=?? ? ??≥≤+≤++=0,,,24 261553).(002max ,,0,24 261553).(2max 14.1843214213 214 321432121212 1x x x x x x x x x x t s x x x x z x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。分别用图解法和单纯形）】 （页【为初始基变量，选择43,x x )1000(00)0010(01 )2050(12)6030(24321=?+?-==?+?-==?+?-==?+?-=σσσσ 为出基变量。为进基变量，所以选择41x x
3 /1)6/122/10(00 )0210(03 /1)3/1240(10)1200(24321-=?+-?-==?+?- ==?+?-==?+?-=σσσσ 为出基变量。为进基变量，所以选择32x x 24 /724/528/11012/112/124/1100 021110120124321-=?+-?-=-=-?+?-==?+?-==?+?-=）（）（）（）（σσσσ 433 4341522max ,)4 3,415( ),(2112= +?=+===x x z x x X T T 故有：所以，最优解为
??? ??? ?≥=+ +=+=+ ++++=?????? ?≥≤+≤≤+=0,,,,18232424).(0002max ,,,0 ,182312212 ).(52max 24.185432152142315 43215432121212 1x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z x x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。分别用图解法和单纯形）】 （页【 )000010(00001000000000100520200052300010254321=?+?+?-==?+?+?-==?+?+?-==?+?+?-==?+?+?-=σσσσσ）（）（）（）（ 为出基变量。为进基变量，所以选择42x x
简单的线性规划问题附答案
简单的线性规划问题附 答案 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
简单的线性规划问题 [学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一 线性规划中的基本概念 知识点二1．目标函数的最值 线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z b ，当z 变 化时，方程表示一组互相平行的直线． 当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域． (2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案． 知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；
(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题 例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小 ②产品安排问题 例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A 、B 、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大 ③下料问题 例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小 2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一 求线性目标函数的最值 例1 已知变量x ，y 满足约束条件???? ? y ≤2，x ＋y ≥1， x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( ) A ．12 B ．11 C ．3 D ．－1 答案 B 解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A 时，z 取得最大值．由? ?? ?? y ＝2， x －y ＝1? ?? ?? x ＝3， y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11. 跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件???? ? x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0， 2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．． ，则实数a 的值为( ) 或－1 B ．2或1 2
第一章线性规划及单纯形法习题
第一章 线性规划及单纯形法习题 1.用图解法求解下列线性规划问题,并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解还是无可行解。 （1）??? ??≥≥+≥++=0,42266432min 2121212 1x x x x x x x x z (2) ??? ??≥≥+≥++=0,12432 223max 2 121212 1x x x x x x x x (3) ?? ? ??≤≤≤≤≤++=8 3105120 106max 21212 1x x x x x x z (4) ??? ??≥≤+-≥-+=0,2322 265max 1 2212121x x x x x x x x z 2.将下列线性规划问题化成标准形式。 (1)????? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 43214321432143214321,0,,2321422 245243min x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ????? ? ?≥≤≥-++-≤-+-=++-+-=无约束 32143213213213 21,0,023*******min x x x x x x x x x x x x x x x x z 3.对下列线性规划问题找出所有基本解，指出哪些是基可行解，并确定最优解。 (1) ??? ?? ? ?=≥=-=+-+=+++++=)6,,1(0231024893631223min 61432143213 21 j x x x x x x x x x x x x x x z j (2) ??? ??=≥=+++=+++++-=)4,,1(0102227 4322325min 432143214321 j x x x x x x x x x x x x x z j 4.分别用图解发法和单纯形法求解下述问题，并对照单纯形表中的各基本可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
1 绪 论
1 绪论 1.1 什么是军事运筹学 1.1.1 名称由来 军事运筹学，起源于第二次世界大战期间，为满足战争需要而用自然科学方法对战术性问题进行的专门研究。这类研究当时被称为作战研究（英文原词是Operational Research，在美国称为Operations Research）。第二次世界大战后，在用于作战研究的理论方法基础上形成了既可用于军事领域又可用于非军事领域的独立学科，这个学科仍被称为Operational Research或Operations Research，直译为作业研究。1956年，我国学术界通过钱学森、许国志等科学家的倡导，开展这门学科研究后，十分贴切地将其译为运筹学。运筹一词出自《史记·高祖本纪》：“夫运筹帷幄之中，决胜于千里之外”，词意是运用筹划。在运筹学这门学科迅速发展的同时，直接结合军事领域问题的运筹学研究也不断向广度和深度发展，逐渐形成军事科学体系中一门独立的军事学科，而被称之为军事运筹学（Military Operations Research）。 1.1.2 定义 军事运筹学是一门正在不断发展的学科，关于它的定义，目前较一致的看法是：军事运筹学是应用以数学和计算机技术为手段的科学技术方法研究各类军事活动，为决策优化提供理论、方法、工具或对策建议等帮助的一门军事学科。这个定义说明了： （1）军事运筹学的研究对象是军事活动中的决策优化问题。所有军事活动不论是作战或建设从本质上说，都是运用资源达到一定军事目的。而决策优化则在于寻求合理有效的资源运用方案或使方案得到最大程度的改进。在军事运筹学奠基性专著《运筹学方法》中有一个例子可说明军事运筹学研究对象的特点。 士兵饭后洗涮餐具，有四个盆可供使用。当两个是洗盆，两个是涮盆时，士兵为等待洗涮而不得不排长队。仔细观察后发现洗餐具比涮餐具平均慢三倍。因此，人们建议四个盆中三个作洗盆，一个作涮盆，这样改变以后，排队现象就消除了。这个例子一定程度上说明了军事运筹学研究问题的角度，即在不要求增加装备的条件下，通过合理使用装备使情况得到改善。对于简单情况，人们固然可以通过直接观察提出改善建议。但情况复杂时，就需要有一套理论方法，使人们通过对实际军事活动的运筹研究，提出决策优化的建议。提供这样一套理论方法就是军事运筹学的基本研究任务。 （2）军事运筹学的研究方法是以数学和计算机技术为手段的科学技术方法。这个方法的特点有三；一是强调从实践开始，又回到实践中去。即分析现象，创造理论，用于实践，证实理论，指导行动；二是强调系统思考方式，通过结构优化达到系统整体功能的优化；三是强调以数学方法和现代计算机技术为工具进行定量分析，主要在定量分析基础上提出决策优化的方案。 属于自然科学范畴的科学技术方法积极地渗进了传统上属于社会科学范畴的军事科学，这一点正反映了在二战以来军事技术革命推动下，军事科学发展的新特点。 （3）军事运筹学的研究目的是为决策者作出科学或优化的决策提供帮助。帮助的方式可以是理论方法。辅助决策工具或决策方案建议。为了达到帮助的目的，无论哪种形式都必须注意把握以下几点：一是紧紧围绕决策者的需求；二是给出的帮助必须有成效，即取得目标优化及达到目标行动的优化的成效；三是使决策者能够理解所提供的帮助并便于操作使用。 1.2 军事运筹学的内容体系 军事运筹学是自然科学与军事科学相结合而发展起来的一门交叉学科，它的内容十分广泛，且在不断发展中。关于其内容体系，目前还没有形成统一的看法。但大致说来，其理论包括以下三大部分：
非线性规划的论文
摘要 本文旨在对非线性规划的算法和应用进行研究。非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。1951年库恩和塔克发表的关于最优性条件(后来称为库恩－塔克条件，又称为K-T条件)的论文是非线性规划正式诞生的一个重要标志。非线性规划在管理、工程、科研、军事、经济等方面都有广泛的应用，并且为最优设计提供了有力的工具。 在第一章我们主要介绍了非线性规划的基础知如非线性规划的数学模型，凸函数和凹函数，极值问题以及下降迭代算法等。 在第二章我们主要对约束条件的线性规划进行了具体介绍。在无约束非线性规划中主要讨论了一维搜索法和多变量函数极值的下降方法。 第三章介绍了求解非线性规划的计算机软件并通过一些基本的例子，从而进一步加深对非线性规划进行理解。 关键词：非线性规划；约束非线性规划；最优解
第一章绪论 1.1非线性规划综述 非线性规划是具有非线性目标函数或约束条件的数学规划，是运筹学的一个重要分支[1]。非线性规划属于最优化方法的一种，是线性规划的延伸。早在17世纪，Newton和Leibniz发明微积分的时代，已经提出函数的极值问题，后来又出现了Lagrange乘子法，Cauchy的最速下降法。但直到20世纪30年代，最优化的理论和方法才得以迅速发展，并不断完善，逐步成为一门系统的学科[2]。 1939年，Kantorovich和Hitchcock等人在生产组织管理和制定交通运输方案方面首先研究和应用了线性规划。 1947年，Dantzig提出了求解线性规划的单纯形法，为线性规划的理论和算法奠定了基础，单纯形法被誉为“20世纪最伟大的创造之一”。 1951年，由Kuhn和Tucker完成了非线性规划的基础性工作[3]。 1959—1963年，由三位数学家共同研究成功求解无约束问题的DFP变尺度法(该算法是由英国数学家W．C．Davidon提出，由法国数学家R．Fletcher和美国数学家M．J．D.Powell加以简化)，该算法的研究成功是无约束优化算法的一个大飞跃，引起了一系列的理论工作，并陆续出现了多种新的算法[4]。 1965年，德国数学家C．G Broyden提出了求解非线性方程组的拟牛顿算法，并且该算法还包含了DFP算法。 1970年，四位数学家以不同角度对变尺度算法进行了深入研究，提出了BFGS公式(C．G Broyden，R Fletcher，D．Goldfarb，D．E Shanno) 。实践表明该算法较之DFP算法和拟Newton法具有更好的数值稳定性。 1970年，无约束优化方法的研究出现了引入注目的成果，英国数学家L．C．W Dixon和美籍华人H．Y．Huang提出了关于“二阶收敛算法的统一研究”的研究成果，提出了一个令三个自由参数的公式族．Huang族和拟牛顿公式，它可包容前面所介绍的所有无约束优化算法。 20世纪70年代，最优化无论在理论和算法上，还是在应用的深度和广度上都有了进一步的发展。随着电子计算机的飞速发展，最优化的应用能力越来越强，从而成为一门十分活跃的学科[5]。 近代最优化方法的形成和发展过程中最重要的事件有： 1、以苏联康托罗维奇和美国丹齐克为代表的线性规划； 2、以美国库恩和塔克尔为代表的非线性规划；
简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题 [学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一 线性规划中的基本概念 知识点二 线性规划问题 1．目标函数的最值 线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z b ， 当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域． (2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．
知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题 例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题 例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A 、B 、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题 例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一 求线性目标函数的最值 例1 已知变量x ，y 满足约束条件???? ? y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( ) A ．12 B ．11 C ．3 D ．－1 答案 B 解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经 过点A 时，z 取得最大值．由????? y ＝2，x －y ＝1????? ? x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.
简单线性规划问题教案.
3.3.2 教材分析“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上, 介绍直线方程的一个简单应用,这是《新大纲》对数学知识应用的重视 . 线性规划是利用数学为工具,来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下,如何精打细算巧安排,用最少的资源,取得最大的经济效益 . 本节内容渗透了多种数学思想, 是向学生进行数学思想方法教学的好教材, 也是 培养学生观察、作图等能力的好教材 三维目标 一、知识与技能 1. 掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念; 2. 运用线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题 . 二、过程与方法
1. 培养学生观察、联想以及作图的能力, 渗透集合、化归、数形结合的数学思想, 提高学生“建模”和解决实际问题的能力; 2. 结合教学内容, 培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识, 激励学生创新 . 三、情感态度与价值观 1. 通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想,尽管侧重于用“数”研究“形”,但同时也用“形”去研究“数”,培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力; 2. 结合教学内容, 培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识, 激励学生勇于创新 . 教学重点 重点是二元一次不等式(组表示平面的区域 教学难点难点是解线性规划问题,找出约束条件和目标函数,利用图解法求得最优解 . 本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将问题数学化、代 数问题几何化
课时安排 2课时 教学过程 第 1 课时 复习 1.师:请大家找出不等式 x+y-1>0表示的平面区域 (生回答 2. 判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法 (选点法 导入新课 画出二元一次不等式组表示平面区域 . 师 如何将上述不等式组表示成平面上的区域?
