南昌二中2011—2012学年度上学期第三次月考
高三数学（文）试题
命题人：敖荣萍 审题人：李天寿
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1. 已知平面向量a ，b 的夹角为60°，(3,1)=a ，||1=b ，则|2|+=a b ( ) A. 27
B ．23
C ． 7
D ．2
2. 已知R m ∈，直线1l ：(21)(1)30m x m y -++-=，2l ：220mx y +-=，则 ( )
A ．当2m =时，12//l l
B ．当2m ≠时，1l 与2l 相交
C ．当2m =时，12l l ⊥
D ．对任意R m ∈，1l 不垂直于2l 3. 命题“函数()()y f x x M =∈是偶函数”的否定是 （ ）
A.,()()x M f x f x ?∈-≠
B.,()()x M f x f x ?∈-≠
C.,()()x M f x f x ?∈-=
D.,()()x M f x f x ?∈-=
4.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x -3y =0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是 ( )
A. (x -2)2+(y -1)2=1
B. (x -2) 2+(y +1) 2=1
C. (x +2) 2+(y -1) 2=1
D. (x -3) 2+(y -1) 2=1
5.设{}n a ，{}n b 均为正项等比数列，将它们的前n 项之积分别记为n A ，n B ，若22n n n n
A
B -=，
则5
5
a b 的值为（ ） A ．32 B ．64 C ．256 D ．512 6.已知0,0,228,x y x y xy >>++=则2x y +的最小值是 （ ）
A.3
B.4
C.
9
2
D.
112
7. 若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如右图所示，其顶点都 在一个球面上，则该球的表面积（ ）
A ．π4
B ．
1912π C ．193π D ．43
π 8．已知函数()2()f x a x x a N *=-+∈, 设()f x 的最大值、最小值分别为,m n ，
若1m n -<, 则正整数a 的取值个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
9定义32414
2
31m m m m m m m － =m ，将函数3cosx
1sinx f(x)=的图象向左平移）＞（0??个单位长度后，得到函数g(x)，若g(x)为奇函数，则?的值可以是（ ）
A ．
6
5π
B ．
3
2π C ．
3
π D ．
6
π
10．已知α、β是三次函数f (x )＝13x 3＋1
2
ax 2＋2bx 的两个极值点，且α∈(0,1)，β∈(1,2)
，
则
b －2
a －1
的取值范围是 （ ） A.1,14??
???
B.1,12??
???
C.11,24??
-
??
? D.11,22??
-
??
? 二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11.已知集合26
1{|()
1},2
x x A x --=< 4{|log ()1},B x x a =+<若x A ∈是x B ∈必要
不充分条件，则实数a 的取值范围是_________．
12. 已知点P 是以12,F F 为焦点的椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点，且
120,PF PF ?=121
tan ,2PF F ∠=则该椭圆的离心率等于________．
13.已知()2
,f x x x =-若()()212f m f --<，则实数m 的取值范围是_________．
14. 如图为一个无盖长方体盒子的展开图(重叠部分不计)，尺寸如图所
示(单位：c m )，则这个长方体的对角线长为 c m.
15. 给出以下四个命题：
①函数'
'
()sin 2(),()()3
f x x xf f x f x π
=+为的导函数，令3log 2a =，1
2
b =
，则()()f a f b <
②若1
(2)0()
f x f x ++
=，则函数y ＝f (x )是以4为周期的周期函数； ③在数列{a n }中，a 1＝1，S n 是其前n 项和，且满足S n ＋1＝1
2
S n ＋2，则数列{a n }是等
比数列；
④函数y ＝3x ＋3-x (x ＜0)的最小值为2. 则正确命题的序号是 ________. 三、解答题：(本大题6小题，共75分) 16．（本小题满分12分） 已知函数x ax x x f 43
1)(23
+-=
（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线的倾斜角为4
π
，求实数a 的值； （Ⅱ）若函数)(x f y =在区间]2,0(上单调递增，求实数实数a 的范围.
F
A
E
C
O
B D
M
在ABC ?三角形ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知
()()cos ,cos ,2,m B C n a c b ==+ 且m n ⊥
（Ⅰ）求角B 的大小及22sin sin y A C =+的取值范围；
（Ⅱ）若b =13,4,a c +=求ABC ?的面积. 18．（本小题12分）
已知数列{}n a 的前n 项和n s ，满足：2s =3,2n s =n +n na ,n N *∈，数列{}n b 是递增的等比数列,且14239,8b b b b +=?= （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求和1122n n n T a b a b a b =++
+.
19.（本题满分12分）
如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，
EF AB //，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面 互相垂直，且2=AB ，1==EF AD .
（Ⅰ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ； （Ⅱ）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的
两个锥体的体积分别为ABCD F V -，CBE F V -，求
ABCD F V -CBE F V -:．
已知椭圆C ：22221x y a b +=（a>b>0）的离心率为6
3
，其左、右焦点分别是F 1、F 2，
点P 是坐标平面内的一点，且｜OP ｜＝10
2
，12
PF PF ＝12（点O 为坐标原点）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）直线:1l y kx =+交椭圆于不同的两点A ，B ．若AOB ?面积为32
7
，求直线l 的方程.
21. （本题满分14分）
设函数()ln 1f x x px =-+ （Ⅰ）求函数()f x 的极值点；
（Ⅱ）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围；
（Ⅲ）证明：).2,()1(21
2ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n n
n
参考答案
一、选择题 BDAAC BCBDA 二、填空题11.(][),36,-∞-?+∞ 12.3
5
13. ()1,1- 14. 14 15.①② 三、解答题 16. 解：（Ⅰ）
14
tan
)1(42)(,43
1)('
2'23
==+-=∴+-=
π
f ax x x f x ax x x f 则
则可得：2=a
（Ⅱ）由函数)(x f y =在区间]2,0[上单调递增
则042)(2'≥+-=ax x x f 对一切的]2,0(∈x 恒成立
即x x a 242+≤恒成立，令2)4
(2124)(2≥+=+=
x x x x x g 当2,4
==x x
x 即时取=，所以2,2)(min ≤∴=a x g
17.解 (1)由余弦定理得COS B=2222a c b ac +-,cos C=222
2a b c ab
+-,将上式代入
(2a +c)cos B+bcos C=0,整理得2a +2c -2
b =-a
c ，
∴cos B=2222a c b ac
+-=2ac ac -=-1
2,
∵角B 为三角形的内角，∴B=2
3
π，
由题知，y =sin 2A+sin 2 C=1cos 21cos 222A c --+=1-1
2
(cos2A+cos2C). 由A+C=3B ππ-=，得C=3
π
-A ，
∵cos2A+cos2C=cos2A+cos(23π-2A )= 12cos2A+3
2
sin2A=sin(2A+6π),
由于0 π)<-1 4, 所以12≤1-12sin(2A+6π)<34 ,故y 的取值范围是[12，34]. (2)将b =13,a +c =4,B=2 3 π代入2b =2a +2c -2ac cosB 即2b =（a +c ） 2 -2a c -2a c cosB ， ∴13=16-2a c （1-12 ），∴a c =3， ∴△ABC 的面积为S △ABC =12a c sin B= 3 4 3. 18. 19. 解 （Ⅰ）设DF 的中点为N ，则MN // CD 21，又AO //CD 2 1 ，则MN //AO ，MNAO 为平行四边形，//OM ∴AN ，又?AN 平面DAF ，?OM 平面DAF ， //OM ∴平面DAF 。 （Ⅱ）过点F 作AB FG ⊥于G ， 平面⊥ABCD 平面ABEF ， ⊥∴FG 平面ABCD ，FG FG S V ABCD ABCD F 3 2 31=?=∴-，⊥CB 平面ABEF ， CB S V V BFE BFE C CBE F ?==∴?--31FG CB FG EF 6 1 2131=???=， ABCD F V -∴1:4:=-CBE F V ． 20. 解：（Ⅰ）设 由得 ， 由得 ， 即 所以 ，又因为 ，所以 椭圆C 的方程为：； （Ⅱ）将1y kx =+代入椭圆方程，整理得22(13)60k x kx ++= 0()?>* ∴12122 6,013k x x x x k -+==+ ∴2221261131k AB k x x k k =+-=++ 21 1O d k =+到直线的距离为 23132 ,2317 AOB k S AB d k ?= ==∴+ ∴2 26 k =± ±或 所求的方程为2221-211-166 y x y x y x y x =+=+= +=+或或或 21. 解：（1）),0()(,1ln )(+∞∴+-=的定义域为x f px x x f ， x px p x x f -=-= '11)( 当),0()(,0)(0+∞>'≤在时，x f x f p 上无极值点 当p>0时，令x x f x f p x x f 随、， )()(),,0(1 0)('+∞∈=∴='的变化情况如下表： x (0，1p ) 1p 1 (,)p +∞ '()f x + 0 － ()f x ↗ 极大值 ↘ 从上表可以看出：当p>0 时，()f x 有唯一的极大值点p x 1 = （Ⅱ）当p>0时在1x=p 处取得极大值11 ()ln f p p =，此极大值也是最大值， 要使()0f x ￡恒成立，只需11 ()ln 0f p p =≤， ∴1p ≥ ∴p 的取值范围为[1，+∞) （Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，2,1 ln ,01ln ≥∈-≤∴≤+-n N n x x x x ， ∴1ln 2 2-≤n n ， ∴222221 11ln n n n n n -=-≤ ∴)1 1()311()211(ln 33ln 22ln 2 22222222n n n -++-+-≤+ ++ )1 3121()1(222n n +++--= ))1(1 431321()1(+++?+?-- )11 141313121()1(+-++-+---=n n n ) 1(21 2)1121()1(2+--= +---=n n n n n ∴结论成立 班级 __ 考场号 __ 座位号 __ 姓名______________ 装 订 线 内 不 要 答 题 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆ 南昌二中2011—2012学年度上学期第三次月考 高三数学（文）试题 答题卷 一、选择题 二、填空题 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 三、解答题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16. 18. F A E C O B D M 20.
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