课时跟踪检测（五） 基本初等函数、函数与方程
[A 级——“12＋4”保分小题提速练]
1．若f (x )是幂函数，且满足f f
＝2，则f ? ??
??19＝( ) A.1
2 B.14 C ．2
D ．4
解析：选B 设f (x )＝x α
，由
f
f
＝9α3α＝3α
＝2，得α＝log 32，∴f ? ????19＝? ??
??19log 32＝14. 2．(2017·云南模拟)设a ＝60.7
，b ＝log 70.6，c ＝log 0.60.7，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c ＞b ＞a
B ．b ＞c ＞a
C ．c ＞a ＞b
D ．a ＞c ＞b
解析：选D 因为a ＝60.7
＞1，b ＝log 70.6＜0,0＜c ＝log 0.60.7＜1，所以a ＞c ＞b . 3．函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选B 函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数，就是方程|log 2x |＋x －2＝0的根的个数．
令h (x )＝|log 2x |，g (x )＝2－x ，画出两函数的图象，如图． 由图象得h (x )与g (x )有2个交点，∴方程|log 2x |＋x －2＝0的解的个数为2.
4．(2017·河南适应性测试)函数y ＝a x
－a (a ＞0，a ≠1)的图象可能是( )
解析：选C 由函数y ＝a x
－a (a ＞0，a ≠1)的图象过点(1,0)，得选项A 、B 、D 一定不可能；C 中0＜a ＜1，有可能，故选C.
5．已知奇函数y ＝
?
??
??
f
x ，x ＞0，g x ，x ＜0.
若f (x )＝a x
(a ＞0，a ≠1)
对应的图象如图所示，则g (x )＝( )
A.? ??
??12－x
B ．－? ??
??12x
C ．2－x
D ．－2x
解析：选D 由图象可知，当x ＞0时，函数f (x )单调递减，则0＜a ＜1，∵f (1)＝1
2，
∴a ＝12，即函数f (x )＝? ????12x ，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝? ??
??12－x
＝－g (x )，即g (x )＝－
? ??
??12－x ＝－2x ，故g (x )＝－2x ，x ＜0，选D. 6．已知f (x )＝a x
和g (x )＝b x
是指数函数，则“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C 由题可得，a ＞0，b ＞0且a ≠1，b ≠1. 充分性：f (2)＝a 2
，g (2)＝b 2
， 由f (2)＞g (2)知，a 2
＞b 2
，
再结合y ＝x 2
在(0，＋∞)上单调递增， 可知a ＞b ，故充分性成立； 必要性：由题可知a ＞b ＞0，
构造函数h (x )＝f x g x ＝a x b x ＝? ????a b x ，显然a
b
＞1，
所以h (x )单调递增，
故h (2)＝a 2
b
＞h (0)＝1，
所以a 2
＞b 2
，故必要性成立．
7．函数f (x )＝e x
＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)
D ．(1,2)
解析：选 C 法一：∵f (0)＝e 0
＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1
＋1－2＝e
－1＞0，∴f (0)f (1)＜0，故函数f (x )＝e x
＋x －2的零点所在的一个区间是(0,1)，选C.
法二：函数f (x )＝e x ＋x －2的零点，即函数y ＝e x
的图象与y ＝－x ＋2
的图象的交点的横坐标，作出函数y ＝e x
与直线y ＝－x ＋2的图象如图所示，由图可知选C.
8．已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *
，则a ＋b
A ．0
B ．2
C ．5
D ．7
解析：选C ∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1＞0，且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为单调递增函数，∴x 0∈[2,3]，即a ＝2，b ＝3，∴
a ＋
b ＝5.
9．(2018届高三·湖南四校联考)设函数f (x )＝?
??
??
log 2x ，x ＞0，
g x ，x ＜0，若f (x )为奇函数，
则g ? ??
??－14的值为( )
A ．－14
B.14 C ．－2
D ．2
解析：选D 法一：当x ＞0时，f (x )＝log 2x ， ∵f (x )为奇函数，
∴当x ＜0时，f (x )＝－log 2(－x )， 即g (x )＝－log 2(－x )， ∴g ? ??
??－14＝－log 214＝2. 法二：g ? ????－14＝f ? ????－14＝－f ? ??
??14＝－log 214＝－log 22－2
＝2.
10．(2017·杭州二模)已知直线x ＝m (m ＞1)与函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，g (x )＝log b x (b ＞0且b ≠1)的图象及x 轴分别交于A ，B ，C 三点，若AB ―→＝2BC ―→
，则( )
A ．b ＝a 2
B ．a ＝b 2
C ．b ＝a 3
D ．a ＝b 3
解析：选C 由于AB ―→＝2BC ―→，则AC ―→＝3BC ―→
，则点A 的坐标为(m,3g (m ))，又点A 在函数f (x )＝log a x 的图象上，故log a m ＝3log b m ，即log a m ＝log b m 3
，由对数运算可知b ＝a 3
.
11．已知f (x )＝???
??
2x ＋1，x ≤0，
|ln x |，x ＞0，
则方程f [f (x )]＝3的根的个数是( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
解析：选B 令f (x )＝t ，则方程f [f (x )]＝3即为f (t )＝3，解得t ＝e －3
或e 3
，作出函数f (x )的图象(如图所示)，由图象可知方程
f (x )＝e －3有3个解，f (x )＝e 3有2个解，则方程f [f (x )]＝3有5个
12．(2017·合肥模拟)已知函数f (x )＝????
?
2x
＋1，x ＜0，?
?????
12x 2
－2x ＋1，x ≥0.方程[f (x )]2
－af (x )
＋b ＝0(b ≠0)有6个不同的实数解，则3a ＋b 的取值范围是( )
A ．[6,11]
B ．[3,11]
C ．(6,11)
D ．(3,11)
解析：选D 作出函数f (x )的图象如图所示，
对于方程[f (x )]2
－af (x )＋b ＝0，可令f (x )＝t ，那么方程根的个数就是f (x )＝t 1与f (x )＝t 2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t 的方程t 2
－at ＋b ＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)
内，由根的分布得出约束条件????
?
b ＞0，1－a ＋b ＜0，
4－2a ＋b ＞0，
画出可行域如图所示，目标函数z ＝3a ＋b 经过?
??
??
1－a ＋b ＝0，
4－2a ＋b ＝0的交点A (3,2)时取得最大值11，经过B (1,0)时取得最小值3.故3a ＋b 的取值范围为(3,11)．
13．函数y ＝log a (x －3)＋3(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点________．
解析：因为函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点(1,0)，所以函数y ＝log a (x －3)＋3(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点(4,3)．
答案：(4,3)
14．(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________. 解析：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92) ＝12log 23＋13log 23? ????log 32＋12log 32
＝56log 23×3
2log 32 ＝54
.
答案：54
15．已知函数f (x )为偶函数且f (x )＝f (x －4)，又在区间[0,2]上f (x )＝?????
－x 2－32x ＋5，0≤x ≤1，2x ＋2－x ，1 ??12|x | ＋a ，若F (x )＝f (x )－g (x )恰有2个零点， 则a ＝________. 解析：由题意可知f (x )是周期为4的偶函数，画出函数f (x )与g (x )的大致图象(图略)．若F (x )＝f (x )－g (x )恰有2个零点，则有g (1)＝f (1)，解得a ＝2. 答案：2 16．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝P 0e －kt .如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19% 需要花费的时间为________小时． 解析：前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t ＝5时，P ＝0.9P 0，代入得(e －k )5 ＝0.9， ∴e －k ＝5 0.9＝0.91 5 ，∴P ＝P 0e －kt ＝P 0????0.91 5t .当污染物减少19%时，污染物剩下81%， 此时P ＝0.81P 0，代入得0.81＝????0.91 5t ，解得t ＝10，即需要花费10小时． 答案：10 [B 级——中档小题强化练] 1．(2017·福州模拟)已知a ＝16ln 8，b ＝1 2ln 5，c ＝ln 6－ln 2，则a ，b ，c 的大小 关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a 解析：选B 因为a ＝16ln 8，b ＝1 2 ln 5，c ＝ln 6－ln 2，所以a ＝ln 2，b ＝ln 5， c ＝ln 62 ＝ln 3.又函数y ＝ln x 在(0，＋∞)上为单调递增函数，由2＜3＜5，得ln 2 ＜ln 3＜ln 5，所以a ＜c ＜b . 2．已知函数f (x )＝ln e x －e －x 2，则f (x )是( ) A ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，且在R 上单调递增 C ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D ．偶函数，且在R 上单调递减 解析：选A 要使函数有意义，则e x ＞e －x ，解得x ＞0，即函数的定义域是(0，＋∞)，故函数是非奇非偶函数．又y ＝e x 与y ＝－e －x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )在(0，＋∞)上递增，故选A. 3．(2017·西宁一检)已知f (x )＝ln(x 2 ＋1)，g (x )＝? ?? ??12x －m ，若对?x 1∈[0,3]，?x 2 ∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( ) A.? ????－∞，－12 B.? ????－∞，14 C.???? ??12，＋∞ D.???? ??14，＋∞ 解析：选 D 对?x 1∈[0,3]，?x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)?f (x 1)min ≥g (x 2)min .又 f (x )min ＝f (0)＝0， g (x )min ＝g (2)＝1 4 －m ，则0≥14 －m ，解得m ≥14 . 4．(2017·沈阳模拟)已知函数f (x )＝????? 2x ＋22，x ≤1，|log 2x －，x ＞1，则函数F (x )＝f [f (x )]－2f (x )－3 2 的零点个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析：选A 令f (x )＝t ，则函数F (x )可化为y ＝f (t )－2t －3 2，则函数F (x )的零点问 题可转化为方程f (t )－2t －32＝0有根的问题．令y ＝f (t )－2t －32＝0，即f (t )＝2t ＋3 2，如 图①，由数形结合得t 1＝0,1＜t 2＜2，如图②，再由数形结合得，当f (x )＝0时，x ＝2，有1个解，当f (x )＝t 2时，有3个解，所以y ＝f [f (x )]－2f (x )－3 2 共有4个零点． 5.(2018届高三·西安八校联考)如图所示，已知函数y ＝log 24x 图象上的两点A ，B 和函数y ＝log 2x 图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当△ABC 为正三角形时，点B 的横坐标为________． 解析：依题意，当AC ∥y 轴，△ABC 为正三角形时，|AC |＝log 24x －log 2x ＝2，点B 到直线AC 的距离为 3 2 ×2＝3，设点B (x 0,2＋log 2x 0)，则点A (x 0＋3，3＋log 2x 0)．由点A 在函数y ＝log 24x 的图象上，得log 24(x 0＋3)＝3＋log 2x 0，则4(x 0＋3)＝8x 0，x 0＝3，即点B 的横坐标是 3. 答案： 3 6．已知函数f (x )＝??? ??? 2x －a 2x 在[0,1]上单调递增，则a 的取值范围为________． 解析：令2x ＝t ，t ∈[1,2]，则y ＝? ??? ?? t －a t 在[1,2]上单调递增．当a ＝0时，y ＝|t |＝t 在[1,2]上单调递增显然成立；当a >0时，函数y ＝? ??? ?? t －a t ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间 是[a ，＋∞)，此时a ≤1，即0 ??? ?? t －a t ＝t －a t ，t ∈(0， ＋∞)的单调递增区间是[－a ，＋∞)，此时－a ≤1，即－1≤a <0时成立．综上可得a 的取值范围是[－1,1]． 答案：[－1,1] 高考数学第二轮复习计划 一、指导思想 高三第一轮复习一般以知识、技能、方法的逐点扫描和梳理为主，通过第一轮复习，学生大都能掌握基本概念的性质、定理及其一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，强化数学的学科特点，同时第二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平、提高综合能力发展的关键时期，因而对讲、练、检测要求较高。 强化高中数学主干知识的复习，形成良好知识网络。整理知识体系，总结解题规律，模拟高考情境，提高应试技巧，掌握通性通法。 第二轮复习承上启下，是知识系统化、条理化，促进灵活运用的关键时期，是促进学生素质、能力发展的关键时期，因而对讲练、检测等要求较高，故有“二轮看水平”之说． “二轮看水平”概括了第二轮复习的思路，目标和要求．具体地说，一是要看教师对《考试大纲》的理解是否深透，研究是否深入，把握是否到位，明确“考什么”、“怎么考”．二是看教师讲解、学生练习是否体现阶段性、层次性和渐进性，做到减少重复，重点突出，让大部分学生学有新意，学有收获，学有发展．三是看知识讲解、练习检测等内容科学性、针对性是否强，使模糊的清晰起来，缺漏的填补起来，杂乱的条理起来，孤立的联系起来，让学生形成系统化、条理化的知识框架．四是看练习检测与高考是否对路，不拔高，不降低，难度适宜，效度良好，重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法． 二、时间安排： 1．第一阶段为重点主干知识的巩固加强与数学思想方法专项训练阶段，时间为3月10——4月30日。 2．第二阶段是进行各种题型的解题方法和技能专项训练，时间为5月1日——5月25日。 3.最后阶段学生自我检查阶段，时间为5月25日——6月6日。 三、怎样上好第二轮复习课的几点建议： （一）.明确“主体”，突出重点。 第二轮复习，教师必须明确重点，对高考“考什么”，“怎样考”，应了若指掌．只有这样，才能讲深讲透，讲练到位．因此,每位教师要研究2009-2010湖南对口高考试题. 第二轮复习的形式和内容 1．形式及内容：分专题的形式，具体而言有以下八个专题。 （1）集合、函数与导数。此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。 （2）三角函数、平面向量和解三角形。此专题中平面向量和三角函数的图像与性质，恒等变换是重点。 （3）数列。此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。 （4）立体几何。此专题注重点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点。 （5）解析几何。此专题中解析几何是重点，以基本性质、基本运算为目标。突出直线和圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等。 （6）不等式、推理与证明。此专题中不等式是重点，注重不等式与其他知识的整合。 （7）排列与组合，二项式定理，概率与统计、复数。此专题中概率统计是重点，以摸球问题为背景理解概率问题。 （（9）高考数学思想方法专题。此专题中函数与方程、数形结合、化归与转化、分类讨论思想方法是重点。 （二）、做到四个转变。 1．变介绍方法为选择方法，突出解法的发现和运用． 2015高考数学专题复习：函数零点 函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标． ()x g x f y -=)(的零点（个数）?函数()x g x f y -=)(的图像与x 轴的交点横坐标（个数） ?方程()()0=-x g x f 即()x g x f =)(的实数根（个数） ?函数)(x f y =与)(x g y =图像的交点横坐标（个数） 1.求下列函数的零点 1.232-+=x x y 2.x y 2log = 3.62 -+=x x y 4.1ln -=x y 5.2 1sin + =x y 2.函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为 3.函数()x f =???>-≤-+) 0(2ln ) 0(322x x x x x 的零点个数为 4.函数() () ???>+-≤-=13.41.44)(2x x x x x x f 的图像和函数()ln g x x =的图像的交点个数是 （ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 5.函数5 ()3f x x x =+-的零点所在区间为 ( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[2,3] D ．[3,4] 6.函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为 （ ） A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 7.函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为 （ ） A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6) 8.方程2|2|lg x x -=的实数根的个数是 9.函数()lg ()72f x x g x x ==-与图像交点的横坐标所在区间是 （ ） A ．()21， B ．()32， C ．()43， D ．()54， 10.若函数2 ()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =______2018年高三数学(理科)二轮复习完整版【精品推荐】
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