专题四 第三讲 空间向量与立体几何
1.(2011·东阳模拟)如图,AC 是圆O 的直径,点B 在圆O 上,∠
BAC =30°,BM ⊥AC 交AC 于点M ,EA ⊥平面ABC ,FC ∥EA ,AC =
4,EA =3,FC =1.
(1)证明:EM ⊥BF ;
(2)求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.
解:(1)证明:因为AC 是圆O 的直径,所以∠ABC =90°,又∠BAC =30°,AC =4,所以AB =23,而BM ⊥AC ,易得AM =3,BM = 3.
如图,以A 为坐标原点,垂直于AC 的直线、AC 、AE 所在的
直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.
由已知条件得A (0,0,0),
M (0,3,0),E (0,0,3),B (3,3,0),F (0,4,1),
∴M E =(0,-3,3),
BF
=(-3,1,1).
由M E ·BF =(0,-3,3)·
(-3,1,1)=0, 得M E ⊥BF ,∴EM ⊥BF .
(2)由(1)知BE =(-3,-3,3),BF =(-3,1,1).
设平面BEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),
由n ·BE =0,n ·BF =0,得??? -3x -3y +3z =0,-3x +y +z =0, 令y =1,得z =2,x =3,∴n =(3,1,2),
由已知EA ⊥平面ABC ,
所以平面ABC 的一个法向量为AE =(0,0,3),
设平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ,
则cos θ=|cos 〈n ,AE 〉|=|3×0+1×0+2×3|3×22
=22, 故平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为22
.
2.(2011·广州模拟)如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD
是矩形,PA ⊥平面ABCD ,PA =AD =2,AB =1,BM ⊥PD 于点M .
(1)求证:AM ⊥PD ;
(2)求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值.
解:(1)证明:∵PA ⊥平面ABCD ,AB ?平面ABCD ,
∴PA ⊥AB .
∵AB ⊥AD ,AD ∩PA =A ,AD ?平面PAD ,PA ?平面PAD ,∴AB ⊥平面PAD . ∵PD ?平面PAD ,∴AB ⊥PD ,
∵BM ⊥PD ,AB ∩BM =B ,AB ?平面ABM ,
BM ?平面ABM ,∴PD ⊥平面ABM .
∵AM ?平面ABM ,∴AM ⊥PD .
(2)如图所示,以点A 为坐标原点,建立空间直角坐标系A -xyz ,
则A (0,0,0),P (0,0,2),B (1,0,0),C (1,2,0),D (0,2,0),M (0,1,1).
∴A C =(1,2,0),AM =(0,1,1),C D =(-1,0,0).
设平面ACM 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),
由n ⊥A C ,n ⊥AM 可得?????
x +2y =0,y +z =0, 令z =1,得x =2,y =-1.∴n =(2,-1,1).
设直线CD 与平面ACM 所成的角为α,
则sin α=|C D ·n ||C D |·|n |=63
. ∴cos α=33
. ∴直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为
33. 3.(2011·海淀模拟)在如图的多面体中,EF ⊥平面AEB ,AE ⊥EB ,
AD ∥EF ,EF ∥BC ,BC =2AD =4,EF =3,AE =BE =2,G 是BC 的
中点.
(1)求证:AB ∥平面DEG ;
(2)求证:BD ⊥EG ;
(3)求二面角C -DF -E 的余弦值.
解:(1)证明:∵AD ∥EF ,EF ∥BC ,∴AD ∥BC .
又∵BC =2AD ,G 是BC 的中点,
∴AD 綊BG ,
∴四边形ADGB 是平行四边形.
∴AB ∥DG .
∵AB ?平面DEG ,DG ?平面DEG ,
∴AB ∥平面DEG .
(2)证明:∵EF ⊥平面AEB ,AE ?平面AEB ,BE ?平面AEB ,
∴EF ⊥AE ,EF ⊥BE ,
又AE ⊥EB ,
∴EB ,EF ,EA 两两垂直.
以点E 为坐标原点,EB ,EF ,EA 分别为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得,A (0,0,2),B (2,0,0),C (2,4,0),F (0,3,0),D (0,2,2),G (2,2,0).
∴E G =(2,2,0),BD =(-2,2,2).
∴BD ·
E G
=-2×2+2×2=0. ∴BD ⊥E G .
(3)由已知得EB =(2,0,0)是平面EFDA 的一个法向量.
设平面DCF 的法向量为n =(x ,y ,z ),
∵FD =(0,-1,2),F C =(2,1,0),
∴??? FD ·n =0, F C ·n =0,即?????
-y +2z =0,2x +y =0, 令z =1,得n =(-1,2,1).
设二面角C -DF -E 的大小为θ,
则cos θ=cos 〈n ,EB 〉=-226
=-66, ∴二面角C -DF -E 的余弦值为-66
.
4.(2011·新课标全国卷)如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为
平行四边形,∠DAB =60°,AB =2AD ,PD ⊥底面ABCD .
(1)证明:PA ⊥BD ;
(2)若PD =AD ,求二面角A -PB -C 的余弦值.
解:(1)证明:因为∠DAB =60°,AB =2AD ,
由余弦定理得BD =3AD .
从而BD 2+AD 2=AB 2,故BD ⊥AD .
又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD .
所以BD ⊥平面PAD .故PA ⊥BD .
(2)如图,以D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D -xyz ,则
A (1,0,0),
B (0,3,0),
C (-1,3,0),P (0,0,1).
AB =(-1,3,0),PB
=(0,3,-1),
B C
=(-1,0,0).
设平面PAB 的法向量为n =(x ,y ,z ),
则??? n ·AB =0,n ·PB =0,即???
-x +3y =0,3y -z =0, 因此可取n =(3,1,3).
设平面PBC 的法向量为m ,则???
m ·PB =0,m ·
B C =0,
可取m =(0,-1,-3).
则cos 〈m ,n 〉=-427=-277. 故二面角A -PB -C 的余弦值为-277
. 5.(2011·嘉兴模拟)如图,ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平
面ABCD ,AF ∥DE ,DE =3AF ,BE 与平面ABCD 所成角为60°.
(1)求证:AC ⊥平面BDE ;
(2)求二面角F -BE -D 的余弦值;
(3)设点M 是线段BD 上一个动点,试确定M 的位置,使得AM
∥平面BEF ,并证明你的结论.
解:(1)证明:因为DE ⊥平面ABCD ,
所以DE ⊥AC .
因为ABCD 是正方形,所以AC ⊥BD ,
从而AC ⊥平面BDE .
(2)因为DA ,DC ,DE 两两垂直,
所以建立空间直角坐标系D -xyz 如图所示.
因为BE 与平面ABCD 所成角为60°,
即∠DBE =60°,
所以ED DB = 3.
因为正方形ABCD 的边长为3,所以BD =32,
所以DE =36,AF = 6.
则A (3,0,0),F (3,0,6),E (0,0,36),B (3,3,0),C (0,3,0),
所以BF =(0,-3,6),EF =(3,0,-26),
设平面BEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),
则??? n ·BF =0,n ·EF =0,即???
-3y +6z =0,3x -26z =0, 令z =6,则n =(4,2,6).
因为AC ⊥平面BDE ,所以C A 为平面BDE 的一个法向量,C A =(3,-3,0), 所以cos 〈n ,C A 〉=n ·C A |n ||C A |=626×32=1313. 因为二面角为锐角,所以二面角F -BE -D 的余弦值为
1313. (3)点M 是线段BD 上一个动点,设M (t ,t,0).
则AM =(t -3,t,0),
因为AM ∥平面BEF ,
所以AM ·n =0,
即4(t -3)+2t =0,解得t =2.
此时,点M 坐标为(2,2,0),BM =13BD ,符合题意.
一、选择题 1.若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点,则这些向量的终点构成的图形是( ) A.一个圆 B.一个点 C.半圆 D.平行四边形 答案:A 2.在长方体1111ABCD A B C D -中,下列关于1AC 的表达中错误的一个是( ) A.11111AA A B A D ++ B.111AB DD D C ++ C.111AD CC D C ++ D.11111 ()2 AB CD AC ++ 答案:B 3.若,,a b c 为任意向量,∈R m ,下列等式不一定成立的是( ) A.()()a b c a b c ++=++ B.()a b c a c b c +=+··· C.()a b a b +=+m m m D.()()a b c a b c =···· 答案:D 4.若三点,,A B C 共线,P 为空间任意一点,且PA PB PC αβ+=,则αβ-的值为( ) A.1 B.1- C. 1 2 D.2- 答案:B 5.设(43)(32)a b ==,,,,,x z ,且∥a b ,则xz 等于( ) A.4- B.9 C.9- D. 649 答案:B 6.已知非零向量12e e ,不共线,如果1222122833e e e e e e =+=+=-, ,AB AC AD ,则四点,,,A B C D ( ) A.一定共圆 B.恰是空间四边形的四个顶点心 C.一定共面 D.肯定不共面 答案:C 7.如图1,空间四边形ABCD 的四条边及对 角线长都是a ,点E F G ,,分别是AB AD CD ,,
的中点,则2a 等于( ) A.2BA AC · B.2AD BD · C.2FG CA · D.2EF CB · 答案:B 8.若123123123=++=-+=+-,,a e e e b e e e c e e e ,12323d e e e =++,且x y z =++d a b c ,则,,x y z 的值分别为( ) A.51122--,, B.51122 -,, C.51122 --,, D.51122 ,, 答案:A 9.若向量(12)λ=,,a 与(212)=-, ,b 的夹角的余弦值为8 9,则λ=( ) A.2 B.2- C.2-或 255 D.2或255 - 答案:C 10.已知ABCD 为平行四边形,且(413)(251)(375)A B C --,,,,,,,,,则顶点D 的坐标为( ) A.7412??- ???,, B.(241),, C.(2141)-,, D.(5133)-,, 答案:D 11.在正方体1111ABCD A B C D -中,O 为AC BD ,的交点,则1C O 与1A D 所成角的( ) A.60° B.90° C.3arccos 3 D.3arccos 6 答案:D 12.给出下列命题: ①已知⊥a b ,则()()a b c c b a b c ++-=···; ②,,,A B M N 为空间四点,若BA BM BN ,,不构成空间的一个基底,那么A B M N ,,,共面; ③已知⊥a b ,则,a b 与任何向量都不构成空间的一个基底; ④若,a b 共线,则,a b 所在直线或者平行或者重合. 正确的结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 二、填空题 13.已知(315)(123)==-,,,,,a b ,向量c 与z 轴垂直,且满足94==-,··c a c b ,则c = . 答案:2221055?? - ??? ,,
2019年高三数学知识点总结:立体几何 由查字典数学网高中频道提供,2019年高三数学知识点总结:立体几何,因此老师及家长请认真阅读,关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台:
定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
2015届高三数学立体几何专题训练 1.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 解析:选A. 原几何体为组合体:上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为V =4×2×2+1 2 π×22×4=16+8π. 2.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器厚度,则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析:选A. 如图,作出球的一个截面,则MC =8-6=2(cm), BM =12AB =1 2 ×8=4(cm). 设球的半径为R cm ,则R 2=OM 2+MB 2=(R -2)2+42,∴R =5, ∴V 球=43π×53=500π 3 (cm 3). 3.(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l ?α,l ?β,则( ) A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥β
C .α与β相交,且交线垂直于l D .α与β相交,且交线平行于l 解析:选D. 根据所给的已知条件作图,如图所示. 由图可知α与β相交,且交线平行于l ,故选D. 4.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析:选A.法一: 如图,连接AC ,交B D 于点O ,由正四棱柱的性质,有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ,所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC =C ,所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ,垂足为H ,则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O =O ,所以CH ⊥平面B D C 1,连接D H ,则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影,所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角.设AA 1=2AB =2.在Rt △COC 1中,由 等面积变换易求得CH =23.在Rt △C D H 中,s in ∠C D H =CH CD =2 3 . 法二: 以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA 1=2AB =2,则D(0,0,0),C (0,1,0), B (1,1,0), C 1(0,1,2),则DC →=(0,1,0),DB →=(1,1,0),DC 1→ =(0,1,2). 设平面B D C 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 n ⊥DB →,n ⊥DC 1→ ,所以有????? x +y =0,y +2z =0, 令y =-2,得平面B D C 1的一个法向量为n =(2, -2,1). 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ,则s in θ=|co s n ,DC → =???? ??n ·DC →|n ||DC →|=23. 5.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33
空间向量与立体几何 一、知识网络: 二.考纲要求: (1)空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; ② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示; ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 (2)空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量; ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理); ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容,高考对本章的考查形式为:以客观题形式考查空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处
理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标:1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘; 2.了解空间向量的基本定理; 3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点:理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法 三、教学方法:探析类比归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况,促使积极参与。 学生阅读复资P128页,教师点评,增强目标和参与意识。 (二)、知识梳理,方法定位。(学生完成复资P128页填空题,教师准对问题讲评)。 1.空间向量的概念 向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移。 2.向量运算和运算率 说明:①引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量 叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意:当我们说a 、b 共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线;当 我们说a 、b 平行时,也具有同样的意义。 共线向量定理:对空间任意两个向量a (a ≠)、b ,a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b =λa (1)对于确定的λ和a ,b =λa 表示空间与a 平行或共线,长度为 |λa |,当λ>0时与a 同向, 当λ<0时与a 反向的所有向量。 (3)若直线l ∥a ,l A ∈,P 为l 上任一点,O 为空间任一点,下面根据上述定理来推导的表达式。
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体
的角分别是α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长,h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线 为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径,h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥:有一个面是多边形,其余各面是 有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。
空间向量 一、向量的基本概念与运算 1.定义:在空间内,把具有大小和方向的量叫空间向量,可用有向线段来表示.用同向且 等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. 2.零向量:起点与终点重合的向量叫做零向量,记为0或0. 3.书写:在手写向量时,在字母上方加上箭头,如a ,AB . 4.模:表示向量a 的有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作||a 5.方向:有向线段的方向表示向量的方向. 6.基线:有向线段所在的直线叫做向量的基线. 7.平行向量:如果空间中一些向量的基线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平 行向量.a 平行于b 记为a b ∥. 8.向量运算:与平面向量类似; 二、空间向量的基本定理 1.共线向量定理:对空间两个向量a ,b (0b ≠),a b ∥的充要条件是存在实数x ,使a xb =. 2.共面向量:通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 3.共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,则向量c 与向量a ,b 共面的充要条件是, 存在唯一的一对实数x ,y ,使c xa yb =+. 4.空间向量分解定理:如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一 个唯一的有序实数组x ,y ,z ,使p xa yb zc =++.表达式xa yb zc ++,叫做向量a ,b ,c 的线性表示式或线性组合.
注:上述定理中,a ,b ,c 叫做空间的一个基底,记作{}a b c , ,,其中a b c ,,都叫做基向量. 由此定理知,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 三、向量的数量积 1.两个向量的夹角 已知两个非零向量a b ,,在空间任取一点O ,作OA a =,OB b =,则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角,记作a b ??, .通常规定0πa b ??≤,≤.在这个规定下,两个向量的夹角就被唯一确定了,并且a b b a ??=??, ,.如果90a b ??=,°,则称a 与b 互相垂直,记作a b ⊥. 2.两个向量的数量积 已知空间两个向量a ,b ,定义它们的数量积(或内积)为:||||cos a b a b a b ?=??, 空间两个向量的数量积具有如下性质: 1)||cos a e a a e ?=??,;(2)0a b a b ??=; (3)2||a a a =?;(4)a b a b ?||≤||||. 空间两个向量的数量积满足如下运算律: 1)()()a b a b λλ?=?;(2)a b b a ?=?;(3)()a b c a c b c +?=?+?. 四、空间向量的直角坐标运算 前提:建立空间直角坐标系Oxyz ,分别沿x 轴,y 轴,z 轴的正方向引单位向量i j k ,,,这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}i j k ,,,这个基底叫做单位正交基底. 空间直角坐标系Oxyz ,也常说成空间直角坐标系[]O i j k ;, ,. 1.坐标 在空间直角坐标系中,已知任一向量a ,根据空间向量分解定理,存在唯一数组123()a a a ,,,使123a a i a j a k =++,1a i ,2a j ,3a k 分别叫做向量a 在i j k ,, 方向上的分量,有序实数组123()a a a ,,叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标.上式可以简记作123()a a a a =,,. 若123()a a a a =, ,,123()b b b b =,,, 则:112233()a b a b a b a b +=+++, ,;112233()a b a b a b a b -=---,,;