3年高考2年模拟1年原创 平面向量
【考点定位】2010考纲解读和近几年考点分布
平面向量在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用．平面向量的考查要求：第
【考点pk 】名师考点透析
考点一、向量的概念、向量的基本定理【名师点睛】
了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。
注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
如果1e 和2e 是同一平面内的两个不共线．．．向量，那么对该平面内的任一向量a
有且只有一对实数λ1、λ2，使a
=λ
1
1e +λ
2
2
e .
注意：若1e 和2e 是同一平面内的两个不共线．．．
向量【试题演练】
1、直角坐标系xOy 中，i j
，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角
形ABC 中，若j k i j i
+=+=3,
2，则k 的可能值个数是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
解：如图，将A 放在坐标原点，则B 点坐标为(2,1)，C 点坐标为(3,k)，所以C 点在直线x=3上，由图知，只可能A 、B 为直角，C 不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B
点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。
2、如图，平面内有三个向量OA 、、,其中与OA 与的夹角为120°，OA
与的夹角为30°,且|OA |＝||＝1，|| ＝32，若＝λOA
+μ（λ，μ∈R ）,
则λ+μ的值为 .
解：过C 作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°角AOC=30°，
=32得平行四边形的边长为2和4，=+μλ2+4=6
点评：本题考查平面向量的基本定理，向量OC 用向量OA 与向量OB 作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。
二、向量的运算
【名师点睛】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的
【试题演练】
1、设a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2),则(a +2b )·c =（ ）A.(－15,12) B.0 C.－3 D.－11
解：(a +2b )(1,2)2(3,4)(5,6)-+-=-，(a +2b )·c (5,6)(3,2)3=-?=-，选C
点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字。
2、已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（ ） A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）
解：由a ∥b ，得m ＝－4，所以，
32+＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8）
，故选（C ）。点评：两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的λ倍，也是共线向量，注意运算的公式，容易与向量垂直的坐标运算混淆。
3、已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+ 与a
垂直，则λ是（ ）
A. －1
B. 1
C. －2
D. 2
解：由于()()4,32,1,3,a b a a b a
λ+=λ+-λ-=-λ+⊥ ∴()()43320λ+--λ-=，即101001λ+=∴λ=-，选Ａ
点评：本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算，注意不要出现运算出错，因为这是一道基础题，要争取满分。
4、在ABC ?中， , AB c AC b ==
，若点D 满足2BD DC = ，则AD =（ ）．
A. 2133b c +
B. 5233c b -
C. 2133b c -
D. 1233
b c
+
【解法一】∵2BD DC =
∴23
BD BC
=∴221212()333333
AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC c b =+=+=+-=+=+
．
【试题演练】
设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD = 2,CE EA = 2,AF FB =
则AD BE CF ++ 与BC
( )A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
解：由定比分点的向量式得:212,1233
AC AB AD AC AB +==++
同理，有：
12,33BE BC BA =+ 12,33CF CA CB =+ 以上三式相加得1,3
AD BE CF BC ++=-
所以选A.
点评：利用定比分点的向量式，及向量的运算，是解决本题的要点.
四、向量与三角函数的综合问题
【名师点睛】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。
【试题演练】
1
、已知向量,cos ),(cos ,cos )a x x b x x == ,函数()21
f x a b =?- A
B
D
(1)求()f x 的最小正周期; (2)当[
, ]62
x π
π
∈时, 若()1,f x =求x 的值．
解：(1) 2()cos 2cos 1f x x x x =+-2cos2x x +2sin(2)6
x π
=+. 所以，T ＝π.
(2) 由()1,f x =得1sin 262
x π??
+= ??
?，∵[
,
]62x ππ
∈，∴72[,]626x π
ππ+
∈ ∴5266
x ππ
+= ∴ 3x π=
2、在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若5
2CB CA ?= ，且9a b +=，求c ．
解：（1）sin tan cos C C C =∴= 又22sin cos 1C C += 解得1cos 8
C =±．
tan 0C > ，C ∴是锐角． 1
cos 8
C ∴=．（2）由52CB CA ?= ， 5
cos 2
ab C ∴=， 20ab ∴=．
又9a b +=
22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．
2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．
点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。
3、将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24??
=-- ???，
a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）Ａ．π2cos 234x y ??=+- ??? Ｂ．π2cos 2
34x y ??
=-+ ???Ｃ．π2cos 2312x y ??=-- ??? Ｄ．π2cos 2
312x y ??
=++ ???
解： 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点()
'''
,P x y ，(),P x y ，则
π24??=-- ???
，a ()
'''
,P P x x y y ==--
'',24x x y y π?=+=+，代入到已知解析式中可得选Ａ
点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为中档题。注意不要将向量与对应点的顺序搞反，或死记硬背以为是先向右平移
4
π
个单位，再向下平移2个单位，误选Ｃ五、平面向量与函数问题的交汇
【名师点睛】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的
取值范围。
【试题演练】已知向量a ＝(cos 23x ，sin 23x )，b ＝(2sin 2cos x x ，-)，且x ∈[0，2
π
]．（1）求b a +（2）设函数b a x f +=)(+b a
?，求函数)(x f 的最值及相应的x 的值。
解：由已知条件： 2
0π
≤
≤x ， 得：
2
2)2
sin 23(sin )2cos 23(cos )2sin 23sin ,2cos 23(cos x x x x x x x x b a -++=-+=+ x
x s i n 22c o s 22=-=
（2）2
sin 23sin 2cos 23cos
sin 2)(x
x x x x x f -+=x x 2cos sin 2+= 23)21(s i n 21s i n
2s i n 222
+--=++-=x x x 因为：2
0π≤≤x ，所以：1sin 0≤≤x 所以，只有当： 21=x 时， 2
3
)(max =x f 0=x ，或1=x 时，1
)(min =x f 点评：本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次函数图象，要注意sinx 的取值范围，否则容易搞错。
六、平面向量在平面几何中的应用
【名师点睛】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示．在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起．因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证．也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
【试题演练】
如图在Rt ?ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以A 为中点，问与的夹角θ取何值时， ?的值最大？并求出这个最大值。
解：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴
建立如图所示的平面直角坐标系。设|AB|=c ，|AC|=b ，则A （0，0），B （c ，0），C （0，b ）.且|PQ|=2a ，|BC|=a.设点P 的坐标为（x ，y ），则Q （-x ，-y ），
.
22），（），，（），，（），，（y x b c b y x y c x --=-=---=-=∴
.|
|||cos .)()())((2
22a by
cx PQ BC by cx y x b y y x c x -=
?=
-++-=--+--=?∴θ ∴cx-by=a 2cos θ.∴?=- a 2+ a 2cos θ.故当cos θ=1，即θ=0（与方向相同）时，?的值最大，其最大值为0.
点评：本题主要考查向量的概念，运算法则及函数的有关知识，平面向量与几何问题的融合。考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。
【三年高考】 07、08、09 高考试题及其解析
2009高考试题及解析一、选择题
1.(2009年广东卷文)已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）
， 则向量+a b A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于y 轴
D.平行于第二、四象限的角平分线 【答案】
【解析】+a b 2(0,1)x =+,由2
10x +≠及向量的性质可知,C 正确.
2.（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成0
60角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为
A. 6
B. 2
C.
D.
【解析】28)60180cos(20021222123=--+=F F F F F ，所以723=F ，选D.
3.（2009浙江卷理）设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0?=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 答案：C
【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．
5.（2009浙江卷文）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ）
A ．77
(,)93 B ．77(,)39-
- C ．77(,)39 D ．77(,)93
--【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现
∵a ()1,0=，b ()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-， 显然，a 与b 不平行，排除A 、B . 若1k =-，则c =-a +b ()1,1=-，d =-a +b ()1,1=--，即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D . 6.（2009北京卷文）设D 是正123PP P ?及其内部的点构成的集合，点0P 是123PP P ?的中心，若集合
0{|,||||,1
,2,3}i S P P D PP PP i =∈≤=，则集合S 表示的平面区域是 ( ) A ． 三角形区域 B ．四边形区域 C ． 五边形区域 D ．六边形区域
【答案】D
【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识. 本题主要考查阅
读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型. 如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 为各边 三等分点，答案是集合S 为六边形 ABCDEF ，其中，
()021
,3i P A P A PA i =≤= 即点P 可以是点A.
7.（2009北京理）已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ，那么
（ ） A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向
【答案】D 【解析】取a ()1,0=，b ()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-， 显然，a
与b 不平行，排除A 、B .若1k =-，则c =-a +b ()1,1=-，d =-a +b ()1,1=--，即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D .
8.(2009山东卷理)设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=
，则（ ） A.0PA PB += B.0PC PA += C.0PB PC += D.0PA PB PC ++= 【解析】:因为2BC BA BP +=
，所以点P 为线段AC 的中点，所以应该选B 。答案：B 。
【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，
集合，则P Q =I A ．｛〔1，1〕｝ B. ｛〔-1，1〕｝ C. ｛〔1，0〕｝ D. ｛〔0，1〕｝
【解析】因为(1,) (1,1)a m b n n ==-+
代入选项可得(){}1,1P Q ?=故选A.
12.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量(
)2,1,10,||a a b a b =?=+=||b =
A.
B.
C.5
D. 25
解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++ ||5b ∴=
。故选C
13.（2009辽宁卷理）平面向量a 与b 的夹角为0
60，(2,0)a =，1b = 则2a b += （A
(B) (C) 4 (D)12
【解析】由已知|a|＝2,|a ＋2b|2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴2a b +
= B 14.（2009宁夏海南卷理）已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，
且PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的
（A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心 （C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心 （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
解析：,0OA OB OC O ABC NA NB NC O ABC ==?++=?由知为的外心；
由知，为的重心; ()
00,,,.
PA PB PB PC PA PC PB CA PB CA PB AP BC P C ?=?∴-?=∴?=∴⊥⊥∴? ，，同理，为ABC 的垂心，选
15.（2009湖北卷文）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=
A.3a+b
B. 3a-b
C.-a+3b
D. a+3b
【答案】B 【解析】由计算可得(4,2)3c c b ==-
故选B
17.（2009辽宁卷文）平面向量a 与b 的夹角为0
60，a ＝(2,0), | b |＝1，则 | a ＋2b |＝
（A （B ）（C ）4 （D ）12
【解析】由已知|a|＝2,|a ＋2b|2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴2a b +=18.（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量、、满足=+==|,|||||，则>=<,( )
（A ）150°B ）120° （C ）60° （D ）30°
【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。
（A ）17-
（B ）17 （C ）16- （D ）16
【解析】向量a b λ+＝（－3λ－1，2λ），2a b -＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3λ－1，2λ）
×（－1,2）＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得：λ＝1
7
-，故选.A 。
21.(2009湖南卷理)对于非0向量a b 、，0a b += 是“//a b
”的（ ）
A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】由0a b += 可得a b =- ，即得//a b ，但//a b
，不一定 有a b =- ，所以“0a b += ”是“//a b
的充分不必要条件。
22.（2009福建卷文）设→
a ，→
b ，→
c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足→
a 与→
b 不共线，→
a ⊥→
c ∣→
a ∣=∣→
c ∣,则∣→
b ?→
c ∣的值一定等于
A ．以→
a ，→
b 为邻边的平行四边形的面积 B. 以→
b ，→
c 为两边的三角形面积 C ．→
a ，→
b 为两边的三角形面积 D. 以→
b ，→
c 为邻边的平行四边形的面积
解析 假设→
a 与→
b 的夹角为θ，∣→
b ?→
c ∣=︱→
b ︱·︱→
c ︱·∣cos<→
b ，→
c >∣=︱→
b ︱·︱→
a ︱?∣cos(900
±θ)∣=︱→
b ︱·︱→
a ︱?sin θ,即为以→
a ，→
b 为邻边的平行四边形的面积，故选A 。 23.（2009重庆卷理）已知1,6,()2==-= a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）
A ．
6
π
B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π
二、填空题
1.（2009广东卷理）若平面向量，
1=+，+平行于x 轴，)1,2(-=，
则= . 【解析】)0,1(=+b a 或)0,1(-，则)1,1()1,2()0,1(-=--=a 或)1,3()1,2()0,1(-=---=a .
2.（2009江苏卷）已知向量a 和向量b 的夹角为30o
，||2,||a b =
则向量a 和向量b 的数量积a b ?
= 。【解析】 考查数量积的运算。
23
2
a b ?== 3.（2009安徽理）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB
，
它们的夹角为120o
.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB
上变动.若,OC xOA yOB =+
其中,x y R ∈,则x y +
的最大值是________. [解析]设AOC α∠=
,,
OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ??=?+????=?+???
，即01cos 2
1cos(120)2
x y x y αα?=-????-=-+??
∴0
2[cos cos(120)]cos 2sin()26
x y π
ααααα+=+-==+
≤
4.（2009安徽文）在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或
=
+
，其
中
，
R ，则
+
= ______。
【解析】设B C b = 、BA a = 则12AF b a =- ,12
AE b a =- ,AC b a =-
代入条件得
24
33
u u λλ==∴+=【答案】4/3
5.（2009江西卷文）已知向量(3,1)a = ，(1,3)b = ， (,2)c k = ，若()a c b -⊥
则k = ．
答案：0 【解析】因为(3,1),a c k -=--
所以0k =.
6.（2009江西卷理）已知向量(3,1)a = ，(1,3)b = ，(,7)c k = ，若()a c -
∥b ，则k = ．
答案：5【解析】
36
513
k k --=?= 7.（2009湖南卷文）如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD xAB yAC =+
，则 x =
12+
，y
=2
.
解:作DF AB ⊥,设1AB AC BC DE ==?==
60DEB ∠= ,BD ∴=
由45DBF ∠=
解得222DF BF ==
=故12x =+2
y = 8.（2009辽宁文）在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________.
2()340ab ab --=即4(1)ab ab ∴==-舍去11sin 4sin 223S ab C π
∴=
=??=2（2009湖南卷文）（每小题满分12分） 已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=
（Ⅰ）若//a b ，求tan θ的值；（Ⅱ）若||||,0,a b θπ=<<
求θ的值。
解：（Ⅰ） 因为//a b ，所以2sin cos 2sin ,θθθ=-于是4sin cos θθ=，故1
tan .4
θ=
（Ⅱ）由||||a b = 知，22
sin (cos 2sin )5,θθθ+-=所以212sin 24sin 5.θθ-+=
从而2sin 22(1cos 2)4θθ-+-=，即s
i n 2c o s21θθ+=-，于是sin(2)4πθ+=又由0θπ<<知，
924
4
4π
π
πθ<+
<
，所以5244ππθ+=，或7244ππθ+=.因此2
πθ=，或3.4π
θ=
3（2009广东文理）已知向量)2,(sin -=θ与)cos ,1(θ=互相垂直，其中(0,
)2
π
θ∈．（1）求θsin 和
θcos 的值；（2）若sin()102
π
θ??-=
<<，求cos ?的值． 解：（1）∵a 与b 互相垂直，则0cos 2sin =-=?θθb a ，即θθc
o s 2s in =，代入1cos sin 22=+θθ得55cos ,552sin ±=±
=θθ，又(0,)2πθ∈，∴5
5cos ,552sin =
=θθ. （2）∵2
0π
?<
<，2
0π
θ<
<，∴2
2
π
?θπ
<
-<-
，则10
10
3)(sin 1)cos(2
=
--=-?θ?θ，∴cos ?2
2)sin(sin )cos(cos )](cos[=
-+-=--=?θθ?θθ?θθ. 4.2009江苏卷）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-
（1）若a 与2b c - 垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +
的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b
.
2008高考试题及解析 （一）选择题
1.（安徽理3文2）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB = ，(1,3)AC =
,则BD = （ ）
A ．
（－2，－4）
B ．（－3，－5）
C ．（3，5）
D ．（2，4）
解：因为)5,3(,)1,1(--=-==--=-=，选B 。
2.（广东卷理8）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD
交于点F ．若AC = a ，BD = b ，则AF =
（ B ）
A ．
1142+a b B ．
21
33+a b
C ．
11
24
+a b
D ．12
33
+
a b
【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出:1:2DF FC =,然后利用向量的加减法则易
得答案B.
3.（广东卷文3）已知平面向量(1,2)a = ，(2,)b m =-
，且a //b ，则23a b + ＝（ ）
A 、(5,10)--
B 、(4,8)--
C 、(3,6)--
D 、(2,4)-- 【解析】排除法:横坐标为2(6)4+-=-,选B.
4.（海南宁夏卷理8文9）平面向量a ，b
共线的充要条件是（ ）
A. a ，b 方向相同
B. a ，b 两向量中至少有一个为零向量
C. R λ?∈， b a λ=
D. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=
【试题解析】：若,a b 均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数12,,λλ使得120a b λ+λ=
；
【解析】由定比分点的向量式得:212,1233
AC AB AD AC AB +==++
12,33BE BC BA =+ 12,33CF CA CB =+
以上三式相加得
1,3
AD BE CF BC ++=-
所以选A.
8.（辽宁卷理5）已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB += ，则OC =
A ．2OA O
B -
B ．2OA OB -+
C ．2133OA OB -
D ．1233
OA OB -+
解析：本小题主要考查平面向量的基本定理。
依题22().OC OB BC OB AC OB OC OA =+=+=+-
∴2.OC OA OB =- 答案：A
9.（辽宁卷文5）已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2
B C A D =
，则顶点D 的坐标为（ ）A ．722?
? ???
，
B ．122?
?-
???
， C ．(32)， D ．(13)，
解析：本小题主要考查平面向量的基本知识。(4,3),BC = (,2),AD x y =-
且2BC AD = ，22472432
x x y y =?=??∴???-==
??? 答案：A
10.（全国Ⅰ卷理3文5）在ABC △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =
A ．
2133+ b c B ．5233- c b C ．2133- b c D ．1233
+ b c A. 由()
2AD AB AC AD -=-
，322AD AB AC c b =+=+ ，1233
AD c b =+ ；
11.（四川卷文3）设平面向量()()3,5,2,1a b ==-
，则2a b -= ( )
（Ａ）()7,3 （Ｂ）()7,7 （Ｃ）()1,7 （Ｄ）()1,3
【解】：∵()()3,5,2,1a b ==- ∴()()()()23,522,1345273a b -=--=+-=
，，
故选C ；此题重点考察向量加减、数乘的坐标运算
12.（上海春卷13）已知向量(2,3),(3,)a b λ=-=
，若//a b ，则λ等于( )
（A ）
23. （B ）2-. （C ）92-. （D ）23
- 解析：由题意得2λ-（-3）3=0，所以λ=9
2
-。
13.（湖南卷文7）在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ?=
( )
A ．23-
B ．3
2- C ．32 D ．23
【解析】由余弦定理得1cos ,4CAB ∠=所以13
32,42
AB AC ?=??= 选Ｄ.
14.（浙江卷理9）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-?-c b c a ,则c 的最大值是
（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）
2
2
解析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题。||||1,0,a b a b ==?=
展开2()()0||()||||cos ,a c b c c c a b c a b θ-?-=?=?+=?+
||||cos ,c a b θθ∴=+=
则c 的最大值是2;或者利用数形结合, a ，b 对应的点A,B 在圆2
2
1x y +=上,c
对应的点C 在圆222x y +=上即可.
17.（安徽卷理5）将函数sin(2)3
y x π
=+
的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12
π
-中心对称，
则向量α的坐标可能为（ ）A ．(,0)12
π
-
B ．(,0)6
π
-
C ．(
,0)12
π
D ．(
,0)6
π
解：设平移向量)0,(m a =，则函数按向量平移后的表达式为
πsin[2()]sin(22)33y x m x m π=-+=+-，因为图象关于点)0,12
(π
-中心对称，
故12
π
-
=x 代入得： sin[2()2]012
3
m π
π
-
+
-=，
)(26
Z k k m ∈=-ππ
，
k=0得：12
π
=
m ，选C 。本题也可以从选择支出发，逐个排除也可。
18.（福建卷理9）函数f (x )=cos x (x )(x ∈R )的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y =-f ′(x )的图象，则m 的值可以为A.
2
π
B.π
C.－π
D.－ 2
π
解：()sin y f x x '=-=,而()cos ()f x x x R =∈的图象按向量(,0)m 平移后
得到cos()y x m =-,所以cos()sin x m x -=，故m 可以为
2
π. 19.（福建卷文7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移
2
π
个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为
A.-sin x
B.sin x
C.-cos x
D.cos x 解：()cos()sin 2
y g x x x π
==+
=-
20.（湖北卷理5文7）将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3
π
平移得到图象F ',若F '的一条对称轴
是直线4
x π
=
,则θ的一个可能取值是A.
π125 B. π125- C. π12
11 D. 1112π-
解： 平移得到图象F ，
的解析式为3sin()33y x π
θ=--
+,对称轴方程()32
x k k Z π
π
θπ--
=+
∈，
把4x π=带入得75(1)()1212k k k Z ππθππ=-
-=--+∈，令1k =-，5
12
θπ= 21.（辽宁卷理8文8）将函数21x y =+的图象按向量
a 平移得到函数12x y +=的图象，则
A ．(11)=--
，a
B ．(11)=-
，a
C ．(11)=
，a
D ．(11)=-
，a
解析：本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。依题由函数21x y =+的图象得到函数1
2x y +=的图象，需将函数21x
y =+的图象向左平移1个单位，向下平移1个单位；故(11).=--
，a
22.（重庆卷理7）若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP
所成的比
λ的值为(A)－
1
3
(B) －
15 (C) 15 (D) 1
3
解：设点(,0)P x ，则021
603
λ-=
=--，选 A 23.（重庆卷文4）若点P 分有向线段AB 所成的比为-1
3
，则点B 分有向线段PA 所成的比是
(A)-32 (B)-12 (C) 12
(D)3
【解析】本小题主要考查线段定比分点的有关计算。如下图可知，B 点是有向线段PA 的外分点，
||3
||2
PB BA λ=-
=-，故选A 。
（二）填空题
1.（北京卷理10）已知向量a 与b 的夹角为120
，且4==a b ，那么(2)+ b a b 的值为 ． 【标准答案】: 0
2
1B
P
A
【试题分析】: 利用数形结合知，向量a 与2a+b 垂直。
【备考提示】: 向量的共线、平行、垂直、构成特殊三角形、特殊四边形等希望引起注意。 2.（北京卷文11）已知向量a 与b 的夹角为120 ，且4==a b ，那么 a b 的值为 ．
【答案】8-【解析】1||||cos12044()8.2
a b a b ?=??=??-=-
3.（江苏卷5）,a b 的夹角为0
120，1,3a b == ，则5a b -= 。
【解析】本小题考查向量的线性运算．()
2
222
552510a b a b
a a
b b -=-=-+
=2
2
125110133492???-???-+= ???
，5a b -= 7【答案】7
4.（江西卷理13）直角坐标平面上三点(1,2)(3,2)(9,7)A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分
点，则AE AF ?
= ．
【答案】22 【解析】由已知得(5,1),(7,4)E F ,则(4,1)(6,2)22AE AF ?=-?-=
5.（江西卷文16）如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：
A ．2AC AF BC +=
B ．22AD AB AF =+
C ．AC A
D AD AB ?=?
D ．()()AD AF EF AD AF EF ?=?
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
【解析】2AC AF AC CD AD BC +=+== , ∴A 对取AD 的中点O ,则22AD AO AB AF ==+ ,
∴B 对设1AB = ,
则2cos 36AC AD π?=?= ,而21cos 13
AD AF π
?=??= ,∴C 错
又212cos 1()3
AB AD AF π
?=??== ,∴D 对∴真命题的代号是,,A B D
6.（陕西卷理15文15）关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：
①若 a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-．③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60 ．其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）
解：①()0a b a c a b c ?=???-=，向量a 与b c -垂直②∥a b b a λ?=126
k
?
=-3k ?=- A
B
D
E
C
F
③||||||==-a b a b ,,a b a b ?-构成等边三角形，a 与+a b 的夹角应为30 所以真命题只有②。 7.（上海卷理5文5）若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→
b |＝
【解析】222||()()2||||2||||cos 7||73
a b a b a b a a b b a b a b a b a b π
+=++=++=++=?+= .
8.（天津卷理14）如图，在平行四边形ABCD 中，()()1,2,3,2AC BD ==-
， 则AD AC ?=
.
解析：令AB a = ，AD b = ，则(1,2)
(2,0),(1,2)(3,2)
a b a b a b ?+=??==-?-+=-??
所以()3AD AC b a b ?=?+=
.
9.（天津卷文14）已知平面向量(24)=，a ，(12)=-，b ，若()=- c a a b b ，则=c ． 解析：因为(2,4)6(1,2)(8,8)c =--=-
，所以||c =
．
10.（浙江卷文16）已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b -= ，则||b 的取值范围是 。答案：[0,1]
2322
210,a a a a a a ?+=-?--
=1a ∴=舍负).
（三）解答题
B
1.（福建卷理17） 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.
解：（Ⅰ） 由题意得cos 1,m n A A =-= 12sin()1,sin().662
A A π
π-=-= 由A 为锐角得 ,6
6
3
A A π
π
π
-=
=
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知1cos ,2
A =
所以22
13()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2
2
f x x x x s x =+=-+=--+
因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3
2
.
当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332?
?-????
， 2.（福建卷文17）已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n = (Ⅰ)求tan A 的值；(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域.
本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力，满分12分.
解：（Ⅰ）由题意得m ·n =sin A -2cos A =0,因为cos A ≠0,所以tan A =2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知tan A =2得
2213
()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x x x =+=-+=--+因为x ∈R,所以[]s i n 1,1
x ∈-.当1sin 2x =
时，f (x )有最大值32，当sin x =-1时，f (x )有最小值-3，所以所求函数f (x )的值域是33,.2?
?-???
? 2007高考试题及解析 一、选择题
1（北京4）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0
，那么（ Ａ ） Ａ．AO OD =
Ｂ．2AO OD =
Ｃ．3AO OD =
Ｄ．2AO OD =
2（辽宁3）若向量a 与b 不共线，0≠ a b ，且
?? ???
a a c =a -
b a b ，则向量a 与
c 的夹角为（ D ） A ．0
B ．
π6
C ．
π3
D ．
π2
3（辽宁6）若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ）
A ．(1
2)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(1
2)，