福建省南平市八中2007-2008学年第一学期高三期末考试
数学(文科) 试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间90分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
1．集合{
}
{}
2
160,2,P x x Q x x n n Z =-<==∈，则P Q = （ ）
A ．{}2,2-
B ．{}2,2,4,4--
C ．{}2,0,2-
D ．{}2,2,0,4,4--
2．“3x >”是2
4x >“的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．函数y =
（ ）
A ．()3,+∞
B ．[)3,+∞
C ．()4,+∞
D ．[)4,+∞
4．,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的一个是 （ ） A ．,,//m n m n αβαβ⊥⊥?⊥
B ．,,m n m n αβαβ⊥?⊥?⊥
C ．//,,//m n m n αβαβ⊥?⊥
D ．,,m n m n αβαββ⊥=⊥?⊥
5. 直线l 的方向向量为)2,1(-=m ，直线l 的倾角为α，则=α2tan （ ） A ．34-
B ．4
3- C ．34 D ．43
6．若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)0,3
(
π
平移后，它的一条对称轴是x =
6
π
,则θ的一个可能值 A.
125π B. 32π C. 6
π D. 12π 7．已知等差数列}{n a 中，247,15a a ==，则前10项的和10S =
（ ）
A ．100
B ．210
C ．380
D ．400
8．曲线3
2
31y x x =-+在以点（1，－1）为切点的切线方程是 （ ）
A ．32y x =-+
B ．45y x =-
C ．43y x =-+
D ． 34y x =-
9．方程xy=lg|x|的曲线只能是（）
10．已知椭圆
22
1
5
x y
k
+=
的离心率
e=,则实数k的值为（）
A．3 B．3或
25
3
C
3
11.球面上有三点A、B、C，任意两点之间的球面距离都等于球大圆周长的四分之一，且过这三点的截面圆的面积为4π，则此球的体积为（）
A. B. C. D.
12．定义新运算a b
*为：
()
()
a a b
a b
b a b
≤
??
*=?
>
??
，例如121,322
*=*=，则函数()sin cos
f x x x
=*的
值域为（）
A．1,
2
?
-?
??
B．0,
2
?
?
??
C．?-?D．
22
?
-?
??
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）
13．已知实数y
x
y
x
y
y
x
y
x-
?
?
?
?
?
≤
+
+
≥
+
≥
+
-
2
,0
1
,0
1
,0
1
,则
满足的最大值为 .
14．正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积为
15．若O、F、B分别是椭圆的中心，焦点和短轴的端点，
3
π
=
∠BFO，则此椭圆的离心率e=_______．
16．关于函数?
?
?
?
?
-
=π
4
3
3
sin
2
)
(x
x
f，有下列命题
①其最小正周期为π
3
2
；②其图像由
4
3
sin
2
π
向左平移
x
y=个单位而得到；
③其表达式写成;
4
3
3
cos
2
)
(?
?
?
?
?
+
=π
x
x
f④在?
?
?
??
?
∈π
π
12
5
,
12
x为单调递增函数；
x x x x
D
则其中真命题为
三,解答题（本大题共6小题，共计76分） 17．（本小题满分12分）
已知函数()22sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈. （1）函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （2）函数()f x 的单调增区间。
18. 数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不 为 1的 等
比数列
（I ）求c 的值；
（II ）求{}n a 的通项公式
19. (本题14分)如图，正四棱锥中P ABCD -,点,E F 分别在棱,PA BC 上，且2AE PE =， (1)问点F 在何处时，EF AD ⊥？
(2)当EF AD ⊥且正三角形PAB 的边长为a 时,求点F 到平面PAB 的 距离;
(3)在第(2)条件下，求二面角C PA B --的大小.
20．（本小题满分12分）
如图，四面体ABCD ，O E 、分别是BD BC 、的中点，2CA CB CD BD ====，
AB AD ==
（1）求证：AO ⊥平面BCD ；
（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （3）求点E 到平面ACD 的距离。
21. (本题12分)已知229
()(3) ().32
f x x x ax a R =
--∈ （I ）若过函数()f x 图象上一点(1,)P t 的切线与直线20x y b -+=垂直，求t 的值； （II ）若函数()f x 在)1,1( -内是减函数，求a 的取值范围.
22．（本小题满分12分）
设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左焦点为()12,0F -，
左准线1l 与x 轴交于点()3,0N -，过N 点作直线l 交椭圆于A 、B 两点. （1）求椭圆的方程；
（2）若以AB 为直径的圆过点1F ，试求直线l 的方程.
参考答案及评分意见
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分） C B D C C B B A D B D A
二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）
14. 51 15. 30 16. 10 三、解答题（本大题共6小题，共计76分） 17．解：（1）
1cos 23(1cos 2)
()sin 21sin 2cos 22)224
x x f x x x x x π
-+=
++=++=++
∴当224
2
x k π
π
π+
=+
,即()8
x k k Z π
π=+
∈时, ()f x 取得最大值2+函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8
x x R x k k Z π
π∈=+∈.
（2）()2)4
f x x π
=++
由题意得: 222()2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈即: 3()88
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈ 因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88
k k k Z ππ
ππ-
+∈. 18. 解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+， 因为1a ，2a ，3a 成等比数列， 所以2
(2)2(23)c c +=+， 解得0c =或2c =
当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =
（II ）当2n ≥时，由于 21a a c -=， 322a a c -=，
1(1)n n a a n c --=-，
所以1(1)
[12(1)]2
n n n a a n c c --=+++-=
又12a =，2c =，故2
2(1)2(23n a n n n n n =+-=-+= ，，
当1n =时，上式也成立，
所以22(12)n a n n n =-+= ，，
19．解法一:
(1)作PO ABCD ⊥平面,依题意O 是正方形ABCD 的中心,
PO ?∴⊥ 平面PAC,
平面PAC 平面ABCD 作EH AC ⊥, ∴⊥EH 平面ABCD ,连接HF , EF 在平面ABCD 上的射影为HF .由三垂线定理及其逆定理得//EF AD FH AB ⊥?.…………2分
2AE PE = ， 2AH HO ∴=，从而2CH AH =. 又//HF AB ，2CF BF ∴=.
从而2EF AD CF BF ⊥?=.
∴当F 为BC 的三等分点(靠近B )时，有EF AD ⊥. ……………………………………….4分
(2) HF ∥AB ,F PAB H PAB ∴到平面的距离等于到平面的距离. 设点F 到平面PAB 的距离为d .
2
PO ===.
233EH PO a ∴==.……………………………………….6分
02221sin 60332ABE ABP S S a a ==????= ,
2
0236
ABH
AB a S S == ……6分
E ABH H ABE V V --= 1133ABH ABE S EH S d ??=? d ∴=
.………………………………8分 (3) 设二面角C AP B --的平面角为θ 过点O 作OM PA ⊥，垂足为M ，连接BM .
PO ABCD ⊥ 平面，PO OB ∴⊥.
又OB OA ⊥ OB ∴⊥平面PAO . 由三垂线定理得PA MB ⊥.
OMB ∴∠为二面角C AP B --的平面角. ………………………………………………………10分
在Rt AMB △中，60MAB ∠=?，MB AB ∴=.
又BO AB =
， sin OMB ∴∠= 故二面角C AP B --
故θ=. ……………………………………………………………………12分 解法二:
(1)作PO ABCD ⊥平面,依题意O 是正方形ABCD 的中心,如图建立空间坐标系. 设
,AB a PO b
==
,
2(
,0,),(,,0)632
E a b
F m m +. ………………………2分
(,,0)AD =
,2(,)3EF m m b =+-
. 0062AD EF m a a m =?-++=
6
m a ?=-.
∴当F 为BC 的三等分点(靠近B )时，有EF AD ⊥. ……………………………………….4分
(2) 设点F 到平面PAB 的距离为d
.
(0,0,)2P
,(,0,0)2A a
, (,,0)63F a a -
(,,0)66FB a =
(,0,)22
PA a =-
,(,,0)22AB a a =- ,设面PAB 的法向量为(,,)n x y z =
0220ax -=??∴?
?+=?? (1,1,1)n ?= , …………………………………………… 6分
||n FB d n ∴=== . ……………………………………………………8分
(3)设二面角C AP B --的平面角为θ，平面PAB 的法向量为(1,1,1)n =
.
设平面PAC 的法向量为2(,,)n x y z =
, 1(0,,0)2
n OB a ∴== .……………………………10分
1
1
cos n n n n θ∴==
=
. θ∴= ……………………………………12分 20．解：（1）证明：连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥ 在AOC ?
中，由已知可得1,AO CO =
而2,AC =222,AO CO AC ∴+=90,o
AOC ∴∠=即.AO OC ⊥
,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD .
（2）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC
∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角
在OME ?
中，111,222
EM AB OE DC =
===
OM 是直角AOC ?斜边AC 上的中线，11,2OM AC ∴=
=cos 4
OEM ∴∠= ∴ 异面直线AB 与CD
所成角的大小为 法二：解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),B D -
1(0,0,1),(,(1,0,1),(1,22C A E BA CD =-=-
.cos ,BACD BA CD BA CD
∴<>==
∴异面直线AB 与CD
所成角的大小为arccos 4 （3）解：设点E 到平面ACD 的距离为.h 1
1
, (33)
E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --??=∴=
在ACD ?
中，2,CA CD AD ==
=12ACD S ?∴=
=
而211,2242
CDE AO S ?==
?
=1.CDE ACD AO S h S ??∴=
==
∴ 点E 到平面ACD
的距离为
7 法二：设平面ACD 的法向量为(,,),n x y z =
则.(,,).(1,0,1)0,.(,,1)0,n AD x y z n AC x y z ?=--=??=-=??
0,0.x z z +=?
?∴-= 令1,y =
得(n =
是平面ACD 的一个法向量。
又1(2EC =- ∴点E 到平面ACD
的距离.7EC n h n
===
21.解: （1）∵3
22()23,3
f x x ax x =
--∴2()24 3.f x x ax '=-- 则过P （1，t ）的切线斜率为k =()/
114f
a =--. ……………………………2分
又∵它与直线20x y b -+=垂直，∴14a --=－2，即1
4
a =
， …………………………….4分
∴()3221332f x x x x =
--又∵P （1，t ）在f （x ）的图象上，∴t =17
6
-………………………6分 （2） 函数()f x 在)1,1( -内是减函数
∴2()243f x x ax '=--≤0 对于一切(1,1)x ∈-恒成立. …………………………………………8分 ∵二次函数()f x '的图象开口向上,
∴'(1)2430
(1)2430
f a f a '-=+-≤??=--≤? ……………………………………………10分 ∴11
44
a -
≤≤ ……………………………………………12分 22．（1）c=2，2 ,6 ,322222
=-===c a b a c
a ∴椭圆方程为 12
62
2=+y x …………4分 （2）当直线AB ⊥x 轴时，
与椭圆无公共点，∴可设AB 的方程为)3(+=x k y 由06)96(3 0
6332
222
2=-+++??
?=-++=x x k x y x k
kx y 得 即 062718)13(2
2
2
2
=-+++k x k x k …………① 设),(),,(2211y x B y x A ，则有
1
36
27 131822212221+-=+=+k k x x k k x x …………4分
依题设有， 021=?B F A F
即 0)2)(2(2121=+++y y x x …………2分
0]9)(3[4)(2212122121=+++++++x x x x k x x x x 049))(23()1(2212212=++++++k x x k x x k
01
3)
13)(49(13)23(1813)627)(1(2
22222222=++++++-+-+k k k k k k k k k 3
3312±
==k k 即 …………4分 将024*******
1
22
>-=?=++=
x x k 代入得
∴3
3
±
=k 时问题的解
∴AB 的方程为 )3(3
3
+±
=x y …………2分