2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
数学(理科)
选择题部分(共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2014浙江，理1)设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则?U A ＝( )． A ．? B ．{2} C ．{5} D ．{2,5} 答案：B
解析：由题意知集合{|A x x ∈≥N ={}{|22U A x x ∈≤ A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝2i ，则a 2 －b 2＝0,2ab ＝2，解得a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝－1.故“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件，应选A. 3．(2014浙江，理3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )． A ．90 cm 2 B ．129 cm 2 C ．132 cm 2 D ．138 cm 2 答案：D 解析：由题干中的三视图可得原几何体如图所示． 故该几何体的表面积S ＝2×4×6＋2×3×4＋3×6＋3×3＋3×4＋3×5＋2×1 2 ×3×4＝138(cm 2)．故选D. 4．(2014浙江，理4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象， 可以将函数 3y x =的图象( )． A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π 4个单位 C ．向右平移π12个单位 D ．向左平移π 12 个单位 答案：C 解析：ππsin 3cos 333412y x x x x ??? ???=+= -=- ? ????????? ，因此需将函数 3y x =的图象向右平移 π 12 个单位．故选C. 5．(2014浙江，理5)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0) ＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )． A ．45 B ．60 C ．120 D ．210 答案：C 解析：∵(1＋x )6展开式的通项公式为16C r r r T x +=，(1＋y )4展开式的通项公式为14C h h h T y +=， ∴(1＋x )6(1＋y )4展开式的通项可以为64C C r h r h x y . ∴64()C C m n f m n ，=. ∴f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝321123664644C +C C C C C ++＝20＋60＋36＋4＝120.故选C. 6．(2014浙江，理6)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )． A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9 D ．c ＞9 答案：C 解析：由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)， 得1842, 127+93,a b c a b c a b c a b c ??-+=--+? -+-+=-+-+-+解得6,11,a b =??=? 从而可得f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c . 又由0＜f (－1)≤3，得0＜－1＋6－11＋c ≤3，即6＜c ≤9.故选C. 7．(2014浙江，理7)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )． 答案：D 解析：由于本题中函数为y＝x a(x≥0)与y＝log a x，对于选项A，没有幂函数图象，故错误； 对于选项B，由y＝x a(x≥0)的图象知a＞1，而由y＝log a x的图象知0＜a＜1，故B错误； 对于选项C，由y＝x a(x≥0)的图象知0＜a＜1，而由y＝log a x的图象知a＞1，故C错误； 对于选项D，由y＝x a(x≥0)的图象，知0＜a＜1，而由y＝log a x的图象知0＜a＜1，故选D. 8．(2014浙江，理8)记 ,, max{} ,, x x y x y y x y ≥ ? ? < ? ，= ,, min{} ,, y x y x y x x y ≥ ? ? < ? ，=设a，b为平面向 量，则()． A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|} C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2 D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2 答案：D 解析：根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}的大小关系不确定，故A，B选项错误． 当a，b中有零向量时，显然max{|a＋b|2，|a－b|2}＝|a|2＋|b|2成立． 由于|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉，|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos〈a，b〉， 若a≠0，b≠0， 则当0°≤〈a，b〉＜90°时，显然|a＋b|2＞|a－b|2，且|a＋b|2＞|a|2＋|b|2； 当〈a，b〉＝90°时，显然|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2； 当90°＜〈a，b〉≤180°时，显然|a＋b|2＜|a－b|2，而|a－b|2＞|a|2＋|b|2. 故总有max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2成立．故选D. 9．(2014浙江，理9)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中． (a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)； (b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i(i＝1,2)． 则()． A．p1＞p2，E(ξ1)＜E(ξ2) B．p1＜p2，E(ξ1)＞E(ξ2) C ．p 1＞p 2，E (ξ1)＞E (ξ2) D ．p 1＜p 2， E (ξ1)＜E (ξ2) 答案：A 解析：11222()m n m n p m n m n m n +=+?= +++，2223323()(1) m m mn n n p m n m n -++-=++-， 221223325102()3()(1)61m n m m mn n n mn n n p p m n m n m n m n m n +-++-+(-) -=-=>+++-(+)(+-) . 故p 1＞p 2. ξ1的可能取值为1,2， 111C (1)C n m n n P m n ξ+== +=； 111C (2)C m m n m P m n ξ+== +=. 故12()12n m m n E m n m n m n ξ+=?+?=+++. ξ2的可能取值为1,2,3. 222C (1) ()C ()(1) n m n n n P m n m n ξ+-== ++-=1， 11 22 C C 2()C ()(1) m n m n mn P m n m n ξ+==++-=2， 222C (1) ()C ()(1) m m n m m P m n m n ξ+-== ++-=3， 故2(1)2(1) ()123()(1)()(1)()(1) n n mn m m E m n m n m n m n m n m n ξ--=?+?+? ++-++-++- ＝(1)43(1)()(1) n n mn m m m n m n -++-++-. 于是E (ξ1)－E (ξ2) ＝ 214311m n n n mn m m m n m n m n +(-)++(-) -+(+)(+-) ＝21[1431]1m n m n n n mn m m m n m n (+)(+-)-(-)++(-)(+)(+-) ＝(3)1m m n m n m n -+-(+)(+-) . 又∵m ≥3，n ≥3，∴E (ξ1)－E (ξ2)＜0， 即E (ξ1)＜E (ξ2)． 综上，应选A. 10．(2014浙江，理10)设函数f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝2(x －x 2)，()31sin 2π3f x x = ，99 i ai =，i ＝0,1,2，…，99.记I k ＝|f k (a 1)－f k (a 0)|＋|f k (a 2)－f k (a 1)|＋…＋|f k (a 99)－f k (a 98)|，k ＝1,2,3.则( )． A ．I 1＜I 2＜I 3 B ．I 2＜I 1＜I 3 C ．I 1＜I 3＜I 2 D ．I 3＜I 2＜I 1 答案：B 解析：由22 112199999999i i i --???? -=? ? ? ???? ， 结合题意可得I 1 ＝ 113529919999999999?-?? ++++ ??? … ＝2 1999999 ?＝1. 由2 2 11299999999i i i i --????--+ ? ????? ＝ 299219999i -(-) ＝2100250,999922100,5099.99 99i i i i -??≤???-??<≤??， 结合题意可得2250(980)98100299299999 I +?=??=?? ＝ 222(991)(991)991 19999-+-=<. 3110sin 2πsin 2π39999I ??????-?+ ? ? ????? =21sin 2πsin 2π9999??? ??-?+?+ ? ????? 9998sin 2πsin 2π9999??? ??-? ? ???? ? ＝150π2π742sin 2sin 39999???- ??? ＝250π148πsin sin 39999??- ??? ＝249π49πsin sin 39999??+ ??? ＝449π4πsin sin 139933>=>. 因此I 2＜I 1＜I 3，故选B. 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．(2014浙江，理11)若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是__________． 答案：6 解析：第一次运行结果S ＝1，i ＝2， 第二次运行结果S ＝4，i ＝3， 第三次运行结果S ＝11，i ＝4， 第四次运行结果S ＝26，i ＝5， 第五次运行结果S ＝57，i ＝6， 此时57＞50，输出i ＝6. 12．(2014浙江，理12)随机变量ξ的取值为0,1,2，若1 (0)5 P ξ==，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝__________. 答案： 25 解析：设ξ＝1时的概率为p ，则()110121155E p p ξ? ?=?+?+--= ?? ?，解得35p =. 故()()2 221312(01)(11)215555 D ξ=?+-?+-?=－ . 13．(2014浙江，理13)当实数x ，y 满足240101x y x y x +-≤?? --≤??≥? ，，时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则 实数a 的取值范围是__________． 答案：312?????? ， 解析：作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示，令z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z . 作直线l 0：y ＝－ax ，平移l 0，最优解可在A (1,0)，B (2,1)，312C ?? ??? ，处取得． 故由1≤z ≤4恒成立，可得 1412143 142 a a a ? ?≤≤?≤≤???≤≤?，+， +，解得3 12a ≤≤. 14．(2014浙江，理14)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)． 答案：60 解析：不同的获奖情况分为两种，一是一人获两张奖券一人获一张奖券，共有22 34C A =36 种；二是有三人各获得一张奖券，共有34A =24种． 因此不同的获奖情况有36＋24＝60种． 15．(2014浙江，理15)设函数()2 20=0x x x f x x x ? ，， 若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围 是__________． 答案：(-∞ 解析：由题意得2()0()()2f a f a f a ()2f a f a ≥??≤?-， 解得f (a )≥－2. 由2 0,2 a a a +≥-?或2 0,2, a a ≥?? -≥-? 解得a ≤16．(2014浙江，理16)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线22 221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的 两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是__________． 解析：由双曲线方程可知，它的渐近线方程为b y x a =与b y x a =-，它们分别与x －3y ＋m ＝0联立方程组，解得33am bm A a b a b --?? ?--??，，33am bm B a b a b -?? ?++?? ，. 由|P A |＝|PB |知，可设AB 的中点为Q ， 则333322am am bm bm a b a b a b a b Q ---??++ ?-+-+ ? ? ?? ，， 由PQ ⊥AB ，得k PQ ·k AB ＝－1， 解得2a 2 ＝8b 2 ＝8(c 2 －a 2 )，即225=4 c a . 故c a 17．(2014浙江，理17)如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是__________．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角 ) 解析：由于AB ⊥BC ，AB ＝15 m ，AC ＝25 m ， 所以20 m =. 过点P 作PN ⊥BC 交BC 于N ， 连接AN (如图)，则∠P AN ＝θ，tan PN AN θ＝ . 设NC ＝x (x ＞0)，则BN ＝20－x ， 于是AN ， PN ＝NC · tan 30=3x ?， 所以tan x θ= 令 1 =t x ， 则2 2 62540 1=625401 t t x x -+-+， 当 4 125 t=时，625t2－40t＋1取最小值 9 25 ， 因 此的最小值 为 3 5 =，这时tan θ的最大值 为5 3 = 125 4 x ?? = ? ?? 此时. 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本小题满分14分)(2014浙江，理18)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b ，c= 22 cos cos cos cos A B A A B B -. (1)求角C的大小； (2)若 4 sin 5 A=，求△ABC的面积． 分析：(1)将已知等式运用二倍角的正、余弦公式和辅助角公式化为2A,2B的三角函数式，结合角A，B的范围求出2A,2B的关系式，然后求出角C. (2)由(1)知C，又已知sin A，c，则可由 sin sin a c A C =求出a，则由 1 sin 2 ABC S ac B ＝知，只需求sin B即可．结合B＝π－(A＋C)运用两角和的正弦公式可求sin B. 解：(1) 由题意得 1cos21cos2 2 2 2222 A B A B ++ -=-， 即 11 2cos 2 2cos 2 2222 A A B B -=-， ππ sin2sin2 66 A B ???? -=- ? ? ???? ， 由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)， 得 ππ 22π 66 A B -+-=， 即 2π 3 A B +=，所以 π 3 C=. (2) 由c= 4 sin= 5 A，= sin sin a c A C ，得 8 = 5 a. 由a＜c，得A＜C，从而 3 cos 5 A=， 故sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C . 所以△ABC 的面积为1sin 2S ac B = = . 19．(本小题满分14分)(2014浙江，理19)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝ (*)n b n N ∈．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2. (1)求a n 与b n ； (2)设11 n n n c a b = - (n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n . ①求S n ； ②求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 分析：(1){a n }为等比数列，且a 1＝2，要求a n ，只需求公比q .又已知b 3＝6＋b 2，故由 a 1a 2a 3…a n ＝n b 可得3123b a a a =，212 b a a =，由此可求出a 3，进而由a 3＝a 1q 2 可求出q ，则a n 可求．求出a n ，则a 1a 2…a n 可求，从而b n 可求． (2)①先由(1)中所求a n ，b n 求出c n ，进而求出S n ；②若存在正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有S k ≥S n ，则说明S n 具有最大值，即判断数列{c n }中各项的符号．先具体判断前4项的符号，再用作差法判断从第5项开始的以后各项的符号． 解：(1)由题意123n b n a a a a ?=，b 3－b 2＝6， 知3 2 38b b a -==， 又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2，舍去)， 所以数列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *)． 所以，(1)123(1) 2 2 n n n n n a a a a ++?== 故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (2)①由(1)知1111121n n n n c a b n n ??= -==- ?+?? (n ∈N * )，所以1112n n S n =-+(n ∈N *)． ②因为c 1＝0，c 2＞0，c 3＞0，c 4＞0， 当n ≥5时，111(1)2n n n n c n n (+)?? = -??+?? ， 而 11112120222n n n n n n n n n ++(+)(+)(+)(+)(-) -=>， 得5 1551<122 n n n (+)?(+) ≤. 所以，当n ≥5时，c n ＜0. 综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4. 20．(本小题满分15分)(2014浙江，理20)如图，在四棱锥A －BCDE 中，平面ABC ⊥平 面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC =. (1)证明：DE ⊥平面ACD ； (2)求二面角B －AD －E 的大小． 分析：(1)先在直角梯形BCDE 中求出BC ，即可利用勾股定理验证AC ⊥BC ，然后利用 面面垂直的性质定理将已知平面ABC ⊥平面BCDE 转化为AC ⊥平面BCDE ，从而得到AC ⊥DE ，最后结合已知DE ⊥DC 即可证得结论． (2)方法一，根据(1)问中证得的垂直关系作出所求二面角的平面角，然后分别求出其所在三角形的三边长，利用余弦定理求其值；方法二，根据(1)问证得的垂直关系建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及二面角两个半平面的法向量，最后利用这两个法向量的夹角表示所求二面角即可． 解：(1)在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2， 得BD BC == 由AC =AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC . 又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE . 所以AC ⊥DE ，又DE ⊥DC ，从而DE ⊥平面ACD . (2)方法一：作BF ⊥AD ，与AD 交于点F ，过点F 作FG ∥DE ，与AE 交于点G ，连结BG ， 由(1)知DE ⊥AD ，则FG ⊥AD . 所以∠BFG 是二面角B -AD -E 的平面角． 在直角梯形BCDE 中，由CD 2＝BC 2＋BD 2，得BD ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCDE ，得BD ⊥平面ABC ， 从而BD ⊥AB . 由于AC ⊥平面BCDE ，得AC ⊥CD . 在Rt △ACD 中，由DC ＝2，AC =，得AD = 在Rt △AED 中，由ED ＝1，AD =，得AE = 在Rt △ABD 中，由BD =AB ＝2，AD =， 得3 BF = 23AF AD =. 从而2 3 GF =. 在△ABE ，△ABG 中，利用余弦定理分别可得cos BAE ∠= 23BG =. 在△BFG 中，222cos 2GF BF BG BFG BF GF +-∠==?. 所以，π6 BFG ∠=，即二面角B －AD －E 的大小是π 6. 方法二：以D 为原点，分别以射线DE ，DC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 D -xyz ，如图所示． 由题意知各点坐标如下：D (0,0,0)，E (1,0,0)，C (0,2,0) ，A ，B (1,1,0)． 设平面ADE 的法向量为m ＝(x 1，y ，z 1)，平面ABD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，可算得=(0,2,AD - ，=(1,2,AE -，()1,1,0DB =， 由0,0,AD AE ??=???=??m m 得1111120,20y x y ?????-=- =， 可取(0,1=，m ． 由0,0,AD BD ??=???=? ?n n 即22222 0,0y x y ???+? ?-==， 可取(1,-n =． 于是|||cos |||||?== ?〈〉= m n m,n m n . 由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B －AD －E 的大小是π 6. 21． (本小题满分15分)(2014浙江，理21)如图，设椭圆C ：22 22=1x y a b +(a ＞b ＞0)，动 直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限． (1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标； (2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b . 分析：(1)因为直线与椭圆只有一个公共点，则只需联立直线与椭圆方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，则由判别式Δ＝0可求． (2)由直线l 1过原点且与直线l 垂直，即可求出直线l 1的方程，进而利用点到直线的距离公式求出点P 到直线l 1的距离，然后寻找不等关系消去k 即可． 解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ＜0)， 由2222,=1,y kx m x y a b =+?? ?+??消去y 得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0. 由于l 与C 只有一个公共点，故Δ＝0，即b 2－m 2＋a 2k 2＝0，解得点P 的坐标为 22222222,a km b m b a k b a k ?? - ?++?? . 又点P 在第一象限，故点P 的坐标为 22 222 a k P b a k ?? - +?. (2)由于直线l 1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，所以点P 到直线l 1 的距离d = ， 整理得22 d = . 因为2 2 2 22b a k ab k +≥， 22 22a b ≤ =-， 当且仅当2 b k a = 时等号成立． 所以，点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b . 22．(本小题满分14分)(2014浙江，理22)已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a ∈R )． (1)若f (x )在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M (a )，m (a )，求M (a )－m (a )； (2)设b ∈R .若[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1,1]恒成立，求3a ＋b 的取值范围． 分析：(1)要求函数的最值需研究函数的单调性，因函数解析式含有三次式和绝对值，故需先去绝对值然后利用导数研究其单调性．又因为要求的是区间[－1,1]上的最值，故需分a ≤－1，－1＜a ＜1和a ≥1三种情况讨论． (2)[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1,1]恒成立，即－2≤f (x )＋b ≤2对x ∈[－1,1]恒成立，也即函数h (x )＝f (x )＋2，x ∈[－1,1]的值域应为[－2,2]的子集，由此寻求a ，b 满足的条件，进而求出3a ＋b 的取值范围． 解：(1)因为3333()33x x a x a f x x x a x a ?≥?=? -+，， 所以3233()33x x a f x x x a ?≥?'=? -，， 由于－1≤x ≤1， ①当a ≤－1时，有x ≥a ，故f (x )＝x 3＋3x －3a ，此时f (x )在(－1,1)上是增函数， 因此，M (a )＝f (1)＝4－3a ，m (a )＝f (－1)＝－4－3a ， 故M (a )－m (a )＝(4－3a )－(－4－3a )＝8. ②当－1＜a ＜1时，若x ∈(a,1)，f (x )＝x 3＋3x －3a ，在(a,1)上是增函数； 若x ∈(－1，a )，f (x )＝x 3－3x ＋3a 在(－1，a )上是减函数． 所以M (a )＝max{f (1)，f (－1)}，m (a )＝f (a )＝a 3. 由于f (1)－f (－1)＝－6a ＋2，因此 当1 13 a -<≤ 时，M (a )－m (a )＝－a 3－3a ＋4； 当 1 13 a <<时，M (a )－m (a )＝－a 3＋3a ＋2. ③当a ≥1时，有x ≤a ，故f (x )＝x 3－3x ＋3a ， 此时f (x )在(－1,1)上是减函数， 因此，M (a )＝f (－1)＝2＋3a ，m (a )＝f (1)＝－2＋3a . 故M (a )－m (a )＝(2＋3a )－(－2＋3a )＝4. 综上，()()338113413 132134 1.a a a a M a m a a a a a ≤-???--+-<≤?-=??-++< ，，，，，， ， (2)令h (x )＝f (x )＋b ，则 ()333333x x a b x a h x x x a b x a ?-≥??- ()223+333x x a h x x x a ?≥?'?- ，，=，， 因为[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1,1]恒成立， 即－2≤h (x )≤2对x ∈[－1,1]恒成立． 所以由(1)知， ①当a ≤－1时，h (x )在(－1,1)上是增函数，h (x )在[－1,1]上的最大值是h (1)＝4－3a ＋b ，最小值是h (－1)＝－4－3a ＋b ，则－4－3a ＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2，矛盾； ②当1 13 a -<≤ 时，h (x )在[－1,1]上的最小值是h (a )＝a 3＋b ，最大值是h (1)＝4－3a ＋b ， 所以a 3＋b ≥－2，且4－3a ＋b ≤2，从而－2－a 3＋3a ≤3a ＋b ≤6a －2，且1 03 a ≤≤. 令t (a )＝－2－a 3＋3a ，则t ′(a )＝3－3a 2＞0，t (a )在10,3?? ??? 上是增函数， 故t (a )＞t (0)＝－2，因此－2≤3a ＋b ≤0； ③当 1 13 a <<时，h (x )在[－1,1]上的最小值是h (a )＝a 3＋ b ，最大值是h (－1)＝3a ＋b ＋2， 所以a 3＋b ≥－2且3a ＋b ＋2≤2， 解得28 3027 a b - <+≤； ④当a ≥1时，h (x )在[－1,1]上的最大值是h (－1)＝2＋3a ＋b ，最小值是h (1)＝－2＋3a ＋b ， 所以3a ＋b ＋2≤2，且3a ＋b －2≥－2，解得3a ＋b ＝0. 综上，得3a ＋b 的取值范围是－2≤3a ＋b ≤0. 2014年江苏高考数学试题 数学Ⅰ试题 参考公式: 圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． . 1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =I ． 【答案】{13}-， 2．已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ． 【答案】21 3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】5 4．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是 ． 【答案】13 5．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ??=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3 π 的交点，则?的值是 ． 【答案】 6 π 6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】24 7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+， 则6a 的值是 ． 【答案】4 8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且 1294S S =，则12V V 的值是 ． 【答案】32 9．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ． 255 10．已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】20?? ??? 11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x =+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在 点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ． 【答案】3- 12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，， 32CP PD AP BP =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则AB AD ?u u u r u u u r 的 值是 ． 【答案】22 13．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21 ()22 f x x x =-+．若函 数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】() 102 ， 14．若ABC ?的内角满足sin 22sin A B C =，则cos C 的最小值是 ． 62-二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．． 作答, 解答时应写出文字 2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案 一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分） 1．“a =2， 2b =”是“曲线C ：22 221(,,0)x y a b R ab a b +=∈≠经过点 ( ) 2,1”的( A )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：A. 解答：当a =2， 2b =曲线C ：22 221x y a b +=经过 ( ) 2,1；当曲线C ：22 221x y a b +=经过 点 ( ) 2,1时，即有 2 221 1a b +=，显然2,2a b =-=-也满足上式。所以“a =2， 2b =”是“曲线C ：22 221x y a b +=经过点 ( ) 2,1”的充分不必要条件。 2．已知一个角大于120o的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++，则实数m 的取值范围为( B )． A ． 1m > B ． 312m << C ．3 32 m << D ．3m > 答案：B. 解答：由题意可知： 222 (1)2(2)(1)(1) m m m m m m m m ++>+??+>++++?解得3 12m <<。 3． 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点， 则二面角M -CD 1-A 的余弦值为( C )． A ． 36 B ． 1 2 C ． 3 3 D ．63 答案：C. 解答：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则 11 (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,) 2 D A C D M ，且平面 1ACD 的法向量为 1n = (1,1,1)，平面1MCD 法向量为2(1,2,2)n =- 。因此123 cos ,3 n n <>= ，即二面角第3题图 M C 1 B 1D 1 A 1 C D A B 2014年浙江省高考数学试卷（理科） 一、选择题（每小题5分，共50分） 2 2 3．（5分）（2014?浙江）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（） 4．（5分）（2014?浙江）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图 向右平移向左平移个单位 向右平移向左平移个单位 5．（5分）（2014?浙江）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n）， 6．（5分）（2014?浙江）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，其0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3） 7．（5分）（2014?浙江）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象可能是（） B ． ． D ． 8．（5分）（2014?浙江）记max{x ，y}=，min{x ，y}=，设，为 +||﹣min{|||} min{|+﹣|}min{||||} ||﹣||||max{|||﹣|+||9．（5分）（2014?浙江）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球（m ≥3，n ≥3），从乙盒中随机抽取i （i=1，2）个球放入甲盒中． （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi （i=1，2） ； （b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i （i=1，2）． 10．（5分）（2014?浙江）设函数f 1（x ）=x 2 ，f 2（x ）=2（x ﹣x 2 ）， ， ，i=0，1，2，…，99 ．记I k =|f k （a 1）﹣f k （a 0）|+|f k （a 2）﹣f k （a 1）丨+…+|f k （a 99） 二、填空题 11．（4分）（2014?浙江）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是 ． 2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 参考公式： 圆柱的侧面积公式：cl S =圆柱侧，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式：Sh V =圆柱, 其中S 是圆柱的底面积,h 为高. 一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ . 2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ . 4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2 个数的乘积为6的概率是 ▲ . 5. 已知函数x y cos =与)2sin(?+=x y (0≤π?<),它 们的图象有一个横坐标为 3 π 的交点,则?的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率 分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 开始 0←n 1+←n n 202>n 输出n 结束 （第3题） N Y 组距 频率 100 80 90 110 120 130 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 底部周长/cm （第6题） 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 时间(小时) 2004年普通高等学校招生全国统一考试 数学（江苏卷） 一、选择题(5分×12=60分) 1.设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于( ) (A){1，2} (B) {3，4} (C) {1} (D) {-2，-1，0，1，2} 2.函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为( ) (A)2 π (B)π (C)π2 (D)π4 3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( ) (A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种 4.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 ( ) (A)33π100cm (B) 33π208cm (C) 33π500cm (D) 33 π3416cm 5.若双曲线1822 2=-b y x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为 ( ) (A)2 (B)22 (C) 4 (D)24 6.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( ) (A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时 7.4 )2(x x +的展开式中x 3的系数是 ( ) (A)6 (B)12 (C)24 (D)48 8.若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 ( ) (A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2 ,b= 2 9.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具） 2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年浙江，理1，5分】设全集{|2}U x N x =∈≥，集合2{|5}A x N x =∈≥，则U A =e（ ） （A ）? （B ）{2} （C ）{5} （D ）{2,5} 【答案】B 【解析】2{|5}{|A x N x x N x =∈≥=∈，{|2{2}U C A x N x =∈≤=，故选B ． 【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题． （2）【2014年浙江，理2，5分】已知i 是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当1a b ==时，22(i)(1i)2i a b +=+=，反之，2 (i)2i a b +=，即222i 2i a b ab -+=，则22022 a b ab ?-=?=?， 解得11a b =??=? 或11a b =-??=-?，故选A ． 【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题． （3）【2014年浙江，理3，5分】某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表 面积是（ ） （A ）902cm （B ）1292cm （C ）1322cm （D ）1382cm 【答案】D 【解析】由三视图可知直观图左边一个横放的三棱柱右侧一个长方体，故几何体的表面积为： 1 246234363334352341382 S =??+??+?+?+?+?+???=，故选D ． 【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的 关键． （4）【2014年浙江，理4，5分】为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图像，可以将函数y x 的图像（ ） （A ）向右平移4π个单位 （B ）向左平移4 π个单位 （C ）向右平移12π个单位 （D ）向左平移12π 个单位 【答案】C 【解析】sin3cos3))]412y x x x x ππ=+=+=+，而)2y x x π=+)]6x π +， 由3()3()612x x ππ+→+，即12x x π→-，故只需将y x =的图象向右平移12 π 个单位，故选C ． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查． （5）【2014年浙江，理5，5分】在64(1)(1)x y ++的展开式中,记m n x y 项的系数(,)f m n ，则 (3,0)(2,1)(1,2)f f f f +++=（ ） （A ）45 （B ）60 （C ）120 （D ）210 【答案】C 【解析】令x y =，由题意知(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++即为10 (1)x +展开式中3x 的系数， 故(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=7 10120C =，故选C ． 【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力． （6）【2014年浙江，理6，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++ ，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤（ ） （A ）3c ≤ （B ）36c <≤ （C ）69c <≤ （D ）9c > 绝密★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 参考公式： 柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = ． 2．已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 ． 3．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是 ． 4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 ． 5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是 ． 6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y x =，则该双曲线的离 心率是 ． 7．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()2 3 f x x =，则()8f -的值是 ▲ ． 8．已知2sin ()4απ+=2 3 ，则sin 2α的值是 ． 9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm. 10．将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π 6 个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ． 11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和 221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是 ． 12．已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ． 13．在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==?，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若 3 ()2 PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是 ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ， A ， B 是圆 C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 绝密★启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（江苏卷） 参考公式： n次独立重复试验恰有k次发生的概率为：()(1) k k n k n n P k C p p- =- 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项 ．．．．是符合题目要求的。 1．下列函数中，周期为 2 π 的是（D） A．sin 2 x y=B．sin2 y x =C．cos 4 x y=D．cos4 y x = 2．已知全集U Z =，2 {1,0,1,2},{|} A B x x x =-==，则 U A C B为（A） A．{1,2} -B．{1,0} -C．{0,1}D．{1,2} 3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为20 x y -=，则它的离心率为（A） A B． 2 C D．2 4．已知两条直线,m n，两个平面,αβ，给出下面四个命题：（C） ①//, m n m n αα ⊥?⊥②//,,// m n m n αβαβ ??? ③//,//// m n m n αα ?④//,//, m n m n αβαβ ⊥?⊥ 其中正确命题的序号是 A．①③B．②④C．①④D．②③ 5．函数()sin([,0]) f x x x xπ =∈-的单调递增区间是（B） A． 5 [,] 6 π π--B． 5 [,] 66 ππ --C．[,0] 3 π -D．[,0] 6 π - 6．设函数() f x定义在实数集上，它的图像关于直线1 x=对称，且当1 x≥时，()31 x f x=-，则有 （B ） A ．132()()()323f f f << B ．231()()()323f f f << C ．213()()()332f f f << D ．321()()()233 f f f << 7．若对于任意实数x ，有323 0123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（B ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 8．设2 ()lg( )1f x a x =+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（A ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞ 9．已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为（C ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．3 2 10．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域 {(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为（A ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．1 4 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在 答题卡相应位置上．．．．．．．．。 11．若13 cos(),cos()55 αβαβ+= -=，.则tan tan αβ= 1/2 . 12．某校开设9门课程供学生选修，其中,,A B C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 75 种不同选修方案。（用数值作答） 13．已知函数3 ()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -= 32 . 14．正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A 到侧面PBC 的距离是 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ?顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆 19 252 2=+y x 上，则 sin sin sin A C B += 5/4 . 16．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将,A B 两点的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d = t [0,60]t ∈。 2014江苏高考数学试题及参考答案 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。 1．已知集合{2,1,3,4}A =--，{1,2,3}B =-，则A B =______． 【解析】{1,3}- 2．已知复数2(52i)z =-(i 是虚数单位)，则z 的实部为______． 【解析】21 2 254i 20i 2120i z =+-=- 3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是______． 【解析】5 4．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是______． 【解析】1 3 当且仅当两数为1,6或2,3时乘积为6，有2种情况， 从这4个数中任取两个数有24C 6=种，故概率为 1 3 5．已知函数cos y x =与sin(2)y x ?=+(0π)?≤<，它们的图象有一个横坐标为π 3 的交点，则? 的值是________． 【解析】π 6 由题意，ππ1sin(2)cos 332?? +==，∵0π?≤<，∴2π2π5π 333?≤+< 当且仅当2π5π36?+= ，π 6 ?=时等式成立 6．某种树木的底部周长的频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有______株树木的 底部周长小于100cm ． (第6题) /cm (第3题) 【解析】24 ∵60(0.150.25)24?+= 7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值为_____． 【解析】4 设公比为q (0)q >，则由8642a a a =+得26 6622a a q a q =+，解得22q =，故4624a a q == 8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12,S S ，体积分别为12,V V ，若它们的侧面积相等，且 1294 S S =， 则 1 2 V V 的值是________． 【解析】 32 设两圆柱底面半径为12,r r ，两圆柱的高为12,h h 则1232r r =，∵两圆柱侧面积相等，∴11222π12πr h r h =，1223h h =，则11122232 V S h V S h == 9．在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为_______． ∵圆心(2,1)-到直线230x y +-= 的距离d = = ∴直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++= 截得的弦长为 10．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意[,1]x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范 围是_______． 【解析】?? ? ??? 若0m ≥，对称轴02m x =-≤，2(1)230f m m m +=+<，解得3 02 m -<<，舍去； 当0m <时，2 m m <- ，()f x 在[,1]x m m ∈+上的最大值只可能在x m =和1x m =+处取到 因此2 2 ()210 (1)230 f m m f m m m ?=- 2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ . 2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ . 4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的 乘积为6的概率是 ▲ . 5. 已知函数x y cos =与)2sin(?+=x y (0≤π?<),它们的图象 有一个横坐标为 3 π 的交点,则?的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图 所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别 为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V 的值是 ▲ . 9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆 4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ . 10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x , 都有0)( 2016年浙江省高中数学竞赛卷 一、选择题（每题6分，共48分） 1.曲线22(2)()0x y a x y ++-=为平面上交于一点的三条直线的充要条件是 （ ） A.0a = B.1a = C.1a =- D.a R ∈ 2.函数3 2()4sin sin 2(sin cos )22 x x f x x x =-+-的最小周期 （ ） A.2π B. 2 π C.23 π D.π 3.设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F 、2F ， 点A 是过2F 且倾斜角为4 π 的直线与双曲线的一个交点.若12F F A 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 （ ） A. 1 2 1 C. 1 2 1 4.已知正三棱锥S ABC -，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2.若过直线AB 的截面，将正三棱锥的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（ ） A. 10 B. 15 C. 15 D. 15 5.已知,a b R ∈，函数()f x ax b =-.若对任意[1,1]x ∈-，有0()1f x ≤≤，则 3122 a b a b +++-的取值范围为 （ ） A.1 [,0]2 - B.4 [,0]5 - C.12[,]27 - D.42[,]57 - 6.已知向量OA ，OB 垂直，且|||| 2O A O B == .若[0,1]t ∈，则5|||(1)|12 t AB AO BO t BA -+-- 的最小值为 （ ） A. B.26 C. D.24 7.设集合*{(,)| ,,} M x y x y N ==∈，则集合M 中的元素个数为 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 8.记[]x 为不超过x 的最大正数，若集合{(,)||[]||[]|1}S x y x y x y =++-≤，则集合S 所表示的平面区域的面积为 （ ） A. 5 2 B.3 C. 9 2 D.4 2014年浙江省高等职业技术教育招生考试 数学试卷 注意事项 1、所有试题均需在答题纸上作答,未在规定区域内答题,每错一个区域扣卷面总分1分,在试卷和草稿纸上作答无效。 2、答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸和试卷上。 3、选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。非选择题目用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上。 4、在答题纸上作图,可先用2B 铅笔,确定后必须用黑色字迹的签字或钢笔摸黑。 一、单项选择题(本大题共18小题,每小题2分,共36分 在每小题列出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的。错涂、多涂或未涂均无分. 1.已知集合{,,,}M a b c d =,则含有元素a 的所有真子集个数有 ( C A .5个 B .6个 C .7个 D .8个 2.已知函数(121x f x +=-,则(2f = ( B A .-1 B .1 C .2 D .3 3.“0a b +=”是“0a b ?=”的 ( D A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既非充分又非必要条件 4.下列不等式(组的解集为{|0}x x <的是 ( A A .3323 x x -<- B .20231x x -? C .220x x -> D .|1|2x -< 5.下列函数在区间(0,+∞上为减函数的是 ( C A .31y x =- B .2(log f x x = C .1((2x g x = D .(sin A x x = 6.若α是第二象限角,则7απ-是 ( D A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角 D .第四象限角 7.已知向量(2,1a =-,(0,3b =,则|2|a b -= ( B A .(2,7- B C .7 2015年江苏省高考数学试卷 一、填空题 1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合A B U 中元素的个数为_______. 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________. 5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量()21a =r ，，()2a =-r 1，， 若()()98ma nb mn R +=-∈r r ，，则m-n 的值为______. 7.不等式224x x -<的解集为________. 8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+= ，则tan β的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为。 10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为。 11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{ n a 的前10项和为。 12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。若点P 到直线 01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为。 13.已知函数|ln |)(x x f =，? ? ?>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为。 14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos Λ=+=k k k k a k πππ，则∑=+?1201)(k k k a a 的值为。 15.在ABC V 中，已知2,3,60.AB AC A ===o 第 1 页 共 8 页 G F E'C' E A D B C 浙江省温州地区2016年初中数学竞赛选拔试卷 （检测范围：初中数学竞赛大纲要求所有内容） 一、单项选择题（本大题分4小题，每题5分，共20分） 1、设二次函数y 1=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0,x 1≠x 2)的图象与一次函数y 2=dx +e (d ≠0)的图象交于点(x 1,0)，若函数y =y 2+y 1的图象与x 轴仅有一个交点，则( ). A ．a (x 1-x 2)=d B ．a (x 2-x 1)=d C ．a (x 1-x 2)2=d D ．a (x 1+x 2)2=d 2、如图，ΔABC 、ΔEFG 均是边长为2的等边三角 形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当ΔEFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是( ). A ．32- B ．13+ C ．2 D ．13- 3、一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m ， 然后原地逆时针旋转α(0°<α<180°)，被称为一次操作．若5次操作后，发现赛车回到出发点，则α为( ). A ．72° B ．108° C ．144° D ．以上选项均不正确 4、方程()y x y xy x +=++322的整数解有( ). A 、3组 B 、4组 C 、5组 D 、6组 二、填空题（本大题分16小题，每题5分，共80分） 5、如图，在矩形ABCD 中，AB =64，AD =10，连接BD ，DBC ∠的角平分线BE 交DC 于点E ，现把BCE ?绕点B 逆时针旋转，记旋转后的BCE ?为''E BC ?，当射线'BE 和射线'BC 都与线段AD 相交时，设交点分别为F ，G ，若BFD ?为等腰三角形，则线段DG 长为 . 6、如图，在平面直角坐标系中，点M 是第一象限内一点，过M 的直线分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，且M 是AB 的中点.以OM 为直径的⊙P 分别交x 轴，y 轴于C 、D 两点，交直线AB 于点E (位于点M 右下方)， 连结DE 交OM 于点K .设x OBA =∠tan (0 绝密★考试结束前 2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（文科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共50分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 台体的体积公式 11221 ()3 V h S S S S =++ 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式1 3 V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R π= 球的体积公式 34 3 V R π= 其中R 表示球的半径 如果事件,A B 互斥 ，那么 ()()()P A B P A P B +=+ 一 、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合}5|{},2|{≤=≥=x x T x x S ，则=T S A. ]5,(-∞ B.),2[+∞ C. )5,2( D. ]5,2[ 2. 设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD 。则“四边形ABCD 为菱形”是“A C ⊥BD ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是 A .72cm 3 B . 90 cm 3 C .108 cm 3 D . 138 cm 3 4．为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像 A ．向右平移 12π个单位 B ．向右平移4π 个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4 π 个单位 5. 已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值是 A ．2- B ．4- C ．6- D ．8- 6. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面 A ．若m ⊥n ，n ∥α则m ⊥α B ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥α C ．若m ⊥β，n ⊥β, n ⊥α则m ⊥α D ．若m ⊥n ，n ⊥β,β⊥α,则m ⊥α 7. 已知函数c bx ax x x f +++=23)(,且3)3()2()1(0≤-=-=- 2014年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2014?江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．（5分）（2014?江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为．3．（5分）（2014?江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是． 4．（5分）（2014?江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是． 5．（5分）（2014?江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是． 6．（5分）（2014?江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm． 7．（5分）（2014?江苏）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是． 8．（5分）（2014?江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是． 9．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为． 10．（5分）（2014?江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是． 11．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．12．（5分）（2014?江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，则?的值是． 13．（5分）（2014?江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实 数a的取值范围是． 14．（5分）（2014?江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15．（14分）（2014?江苏）已知α∈（，π），sinα=． （1）求sin（+α）的值； （2）求cos（﹣2α）的值． 16．（14分）（2014?江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB 的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC． 2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）理 科数学试题答案与解析 1. 解析 由集合的交集定义知{}1,3A B =-. 2. 解析 ()2 52i 2120i z =+=+，故z 的实部为21. 3. 解析 1n =，1220<，N ；2n =，2220<，N ；3n =，3220<，N ；4n =，4220<， N ；5n =，5220>，Y ，故输出5n =. 4. 解析 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，由()1,2，()1,3，()1,6，()2,3， ()2,6，()3,6，共6种情况.满足条件的有()2,3，()1,6，共2种情况.故216 3 p ==. 5. 解析 显然交点为π1,32?? ???，故有2π1 sin 32 ???+= ???，所以2ππ2π36k ?+=+，k ∈Z ， 或 2π5π2π36k ?+=+ ，k ∈Z ，所以π2π2k ?=-或π2π6k ?=+，k ∈Z ，又0π?<…，故π 6 ?=. 6. 解析 ()600.0150.0 251024 ?+?=. 7. 解析 由8642a a a =+，两边都除以4a ，得422q q =+， 即()() 422220210q q q q --=?-+=，所以22q =.因为21a =，所以4264124a a q ==?=. 8. 解析 设圆柱甲的底面半径为1r ，高为1h ，圆柱乙的底面半径为2r ，高为2h .由题意 得211222πr 9π4 S S r ==，所以1232r r =.又因为=S S 甲侧乙侧，即11222π=2πr h r h ，所以11222==3h r h r ， 故 1111122222923 432 V S h S h V S h S h ==?=?=. 评注 考查立体几何中侧面积、体积公式，考查运算和恒等变形的能力. 9. 解析 易知圆心()21-， ，2r =，故圆心到直线的距离 d == ，所以 弦长为=. 10. 解析 要满足()210f x x mx =+-<对于任意[],1x m m ∈+恒成立，只需()()0, 10, f m f m ?
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