九年级下册反比例函数专题讲义
（一）反比例函数的概念 1．k y x
=
（k ≠0）可以写成y=kx -1
（k ≠0）的形式，注意自变量x 的指数为-1，在解 决有关自变量指数问题时应特别注意系数k ≠0这一限制条件； 2．k
y x
=
（k ≠0）也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中 的k ，从而得到反比例函数的解析式
反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一个点的坐标即可求出k ） 例1.下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ） A ．x y 41=
B ．21y x -=
C ．21-=x y
D ．x
y 11+= 练习1.下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ） A ．y=3x B ．y-3=2x C ．3xy=1 D ．2
3y x = 例2.反比例函数k
y x
=
错误!未找到引用源。的图象上有一点A （1,6），则此反比例函数的解析式为 中考链接：
（2011昆明, 12 ,3分）若点P （﹣2，2）是反比例函数k
y x
=错误!未找到引用源。的图象上的一点，则此反比例函数的解析式为
（2015昆明, 8 ,3分）如图：直线y= -x+3与y 轴交于点A ，与反比例函数y =
x
k
(k ≠0) 的图像交于点C ，过点C 作CB ⊥x 轴于点B ，AO=3BO ，则反比例函数的解析式为
o
y
x y x
o y x
o
y x
o
A B C D
（二）反比例函数的图象及其性质
1.反比例函数的图像是双曲线，在用描点法画反比例函数k
y x
=
的图象时，应注意自变量x 的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原点对称）,故函数图象与x 轴、y 轴无交点．反比 例函数的图像是断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交. 2.反比例函数性质如下表：
k 的取值
图像所在象限 函数的增减性
o k > 一、三象限 在每个象限内，y 值随x 的增大而减小 o k <
二、四象限
在每个象限内，y 值随x 的增大而增大
反比例函图像上的点关于原点对称 注：可用xy=k 理解反比例函数图像的分布 例1.已知函数3
2
)1(+++=k k x k y 是反比例函数，
①若它的图象在第二、四象限内，那么k=_________
②若y 随x 的增大而减小，那么k=___________
例2.如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数图象大致为（ ）
例3.已知一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数x
ab
y =的图象位于 第_______象限． 练习1.若反比例函数k
y x
=经过点（，2），则一次函数y = - kx + 2的图象一定不
经过第_________象限．
练习2.函数)1(-=x k y 和x
k
-
=y （k ≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 中考链接
（2014昆明，8，3分）左下图是反比例函数)0(≠=k k x
k
y 为常数，的图像，则一次 函数k kx y -=的图像大致是（ ）
x
k y =
例4.下列四个函数中：①x y 5=；②x 5y -=；③x y 5=
；④x
y 5
-=．y 随x 的增大而
减小的函数有（ ）．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
练习3.在函数x a y 12--=（a 为常数）的图象上有三个点（1y 1-，），（2y 41-，），（3y 2
1
，），
则函数值1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）． A ．＜＜ B ．＜＜ C ．
＜
＜
D ．
＜
＜
练习4.已知反比例函数k
y x
=
的图象与直线y=2x 和y=x+1的图象过同一点，则当x ＞0时， 这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而__________（填“增大”或“减小”）．
C B
A
O O
O O O x
x
x
x
y
y y
y
y
x
（三）k 的几何意义
如图1，设点P （a ，b ）是双曲线k
y x
=
上任意一点，作PA ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA 的面积是k （三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是k 2
1
）．
如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC ⊥PA 的延长线
于C ，则有三角形PQC 的面积为k 2．
（图1） （图2）
例1.如图，在函数x
y 3
-
=的图象上有三个点A 、B 、C ，过这三个点分别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为1s 、2s 、3s ，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
练习1.如图，A 、B 是函数x
y 1
=
的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC//y 轴，BC//x
轴，△ABC 的面积S ，则（ ）
A ．S=1
B ．1＜S ＜2
C ．S=2
D ．S ＞2
练习2.如图，Rt △AOB 的顶点A 在双曲线x
m
y =
上，且S △AOB=3，则m=_________
O
B A y
x
练习3.如图，在AOB Rt ?中，点A 是直线m x y +=与双曲线x
m
y =在第一象限的交点，
2=?AOB S ，则直线m x y +=与y 轴的交点坐标是___________.
练习4.如图，正比例函数y=kx （k ＞0）和反比例函数x
y 1
=
的图象相交于A 、C 两点，过A 作x 轴垂线交x 轴于B ，连接BC ，若△ABC 面积为S ，则S=_________．
中考链接：
（2009昆明，9，3分）如图，正△AOB 的顶点A 在反比例函数y ＝3
x
(x ＞0)的图象上，
则点B 的坐标为（ ）
A ．(2，0)
B ．(3，0)
C ．(23，0)
D ．(3
2
，0)
（2010昆明，15，3分）点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）都在
双曲线(0)k
y x x
=
>上，且214x x -=，122y y -=；分别过点A 、B 向x 轴、y 轴作垂线段，垂足分别为C 、D 、E 、F ，AC 与BF 相交于G 点，四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，那么双曲线的解析式为 ．
（四）反比例函数与一次函数结合
例1.如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例数x
m
y =的图象交于A 、B 两点： A （-2，1），B （1，n ）．
① 求反比例函数和一次函数的解析式；
② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．
练习1.如图所示，已知一次函数b kx y +=（k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两
点，且与反比例函数x
m
y
=（m ≠0）的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足D ， 若OA=OB=OD=1．
① 求点A 、B 、D 的坐标；
② 求一次函数和反比例函数的解析式．
练习2.如图所示，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝k x
的图象交于A 、B 两点，与
x 轴交于点C ．已知点A 的坐标为（－2，1），点B 的坐标为（12
，m ）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围．
O C
A
B
练习3.如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数m
y x
=
的图象
A O
B y x
交于A(-2，1)、B(1，n)两点.
(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式； (2)求△AOB 的面积.
中考链接：
（2009昆明，19,7分）如图，反比例函数y ＝ m
x
(m ≠0)与一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)图象相
交于A 、B 两点，点A 的坐标为(－6，2)，点B 的坐标为(3，n )．求反比例函数和一次函数
的解析式．
（2012昆明，21,6分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，一次函数与反比例函数的 图象相交于(2,1)A 、(1,2)B --两点，与x 轴相交于点C . （1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）； （2）连接OA ，求AOC ?面积.