2021年河南省初中毕业、升学考试
数学学科
（满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的.
1．（2018河南，1，3）．2
5
-的相反数是
（A ）25- （B ）25 （C ）52- （D ）5
2
【答案】B
【解析】根据“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”，我们可以知道25-的相反数是
2
5.
故选B .
【知识点】相反数概念
2．（2018河南，2，3）今年一季度,河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元．数据 “214.7亿”用科学记数法表示为
（A ）22.14710? （B ）30.214710? （C ）102.14710? （D ）110.214710? 【答案】C
【解析】把一个数写成｜a ｜×10n 的形式（其中1≤｜a ｜＜10，n 为整数），这种计数的方法叫做科学记数法．其方法是：（1）确定a ，a 是只有一位整数的数；（2）确定n ，当原数的绝对值≥10时，n 为正整数，且等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前面零的个数（含整数数位上的零）214.7亿＝102.14710?.故选C. 【知识点】科学记数法
3．（2018河南，3，3）某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图, 那么在原正方体中,与“国”字所在面相对的面上的汉字是 （A ）厉 （B ）害 （C ）了 （D ）我
【答案】D 【解析】
析及解答问题．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． “我”与“国”是相对面；“厉”与“了”是相对面；“害”与“的”是相对面． 故选D ．
【知识点】正方体展开图 4．（2018河南，4，3）下列运算正确的是
（A ）235()x x -=- （B ）235+ x x x = （C ）347x x x ?= （D ）3321x x -= 【答案】C
【解析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，236()x x -=-，所以A 是错误的；2x 与3x 不是同类项，不能合并，也不是同底数幂相乘，所以B 是错误的；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以347x x x ?=是正确的；根据合并同类项法则，3332x x x -=，所以D 也是错误的.故选C . 【知识点】同底数幂相乘，幂的乘方，合并同类项
5．（2018河南，5，3） 河南省旅游资源丰富,2013～2017年旅游收入不断增长,同比增速分别为：
15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%．关于这组数据,下列说法正确的是 （A ）中位数是12.7% （B ）众数是15.3% （C ）平均数是15.98% （D ）方差是0
【答案】B
【解析】本题考查了众数、中位数、方差和平均数，解题的关键是能正确运用众数、中位数、方差和平均数的定义进行判断．将所给数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，根据数据出现次数最多判断众数，根据数据按照从小到大排列后居中的数据确定中位数即可（对于有限的数集，可以通过把所有观察值高低排序后找出正中间的一个作为中位数，如果观察值有偶数个，通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数）．所有数据中排在最中间的数是15.3%，所以中位数是15.3%，所以A 错误；把这六个数学成绩由小到大排列， 12.7%,14.5%,15.3%,15.3%,17.1%不难看出，数据15.3%出现的次数是2，最多，所以众数是15.3%，所以B 正确；平均数（15.3%+12.7%+15.3%+14.5%+17.1% ） ÷5 =14.98％ ，所以C 错误；方差是衡量一批数据的波动大小的，这组数据有波动，方差不会为0，所以D 是错误的.故选择B ． 【知识点】众数、中位数、方差和平均数 6．（2018河南，6，3分）《九章算术》中记载：“今有共买羊,人出五,不足四十五；人出七,不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱；若每人出7钱,还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人,羊价为y 钱,根据题意,可列方程组为
（A ）545,73y x y x =+??=+?
（B ）545,73y x y x =-??=+? （C ）545,73y x y x =+??=-? （D ）545,73y x y x =-??=-?
【答案】A
【解析】本题已经设出未知数x 表示合伙人的人数，y 表示羊价的钱数；由“若每人出5钱,还差45钱”可以表示出羊价为y =5x +45；由“若每人出7钱,还差3钱”可以表示出羊价为y =7x +3；故选项A 正确. 【知识点】二元一次方程组的应用 7．（2018河南，7，3分）下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是
（A ）2690x x ++= （B ）2x x = （C ）232x x += （D ）2(1)10x -+= 【答案】B
【解析】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0根的判别式Δ=b 2-4ac;当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根. 选项A ：Δ=b 2-4ac=62-4×1×9=0；选项B ：先将原方程转化为一般式：x 2-x =0，则Δ=b 2-4ac=（-1）
2-4×1×0=1>0；选项C ：将原方程转化为一般式：x 2-2x +3=0，则Δ=b 2-4ac=（-2）2-4×1×3= -8 < 0；选项
D ：将原方程转化为一般式：x 2-2x +2=0，则Δ=b 2
-4ac=（-2）2-4×1×2= -4 < 0.故选项B 正确.
【知识点】一元二次方程根的判别式 8．（2018河南，8，3分）现有4张卡片,其中3张卡片正面上的图案是“★” ,1张卡片正面上的图案是“▲” ,它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是
（A ）916 （B ）34 （C ）3
8
（D ）12
【答案】D
【思路分析】本题共有4张卡片，从中随机抽取两张，每张卡片被抽到的可能性相同，因此可用列表法或树状图求概率.
【解题过程】解法一： 解：
从表中可以看出，从4张卡片中随机抽取两张，可能出现的结果有12种，并且他们出现的可能性相等。两张卡片正面图案相同的情况有6种，故P(两张卡片正面图案相同)=2
1
126=.故答案选D. 解法二：
将3张“★”图案的卡片分别记为A 1，A 2，A 3，“▲”图案的卡片记为B. 根据题意，可以画出如下的树状图：
A 1 A 2 A 3 B
A 2 A 3
B A 1 A 3 B A 1 A 2 B A 1 A 2 A 3
从树状图中可以看出，所有可能出现的结果有12种，并且他们出现的可能性相等，两张卡片正面图案相同的情况有6种，故P(两张卡片正面图案相同)=
2
1
126=.故答案选D. 【知识点】随机事件的概率，列表法，树状图 9．（2018河南，9，3分）如图,已知AOBC 的顶点O （0，0）,A （-1，2）,点B 在x 轴正半轴上,按以下步骤作图：①以点O 为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边
OA ,OB 于点D ,E ；②分别以点D ,E 为圆心,大于12
DE 的长为半径作弧,两弧在AOB ∠内交于点F ；③作射线OF ,交边AC 于点G ．则点G 的坐标为 （A ）(51-,2) （B ）(5,2) （C ）(35-,2) （D ）(52-,2)
【答案】A 【思路分析】本题求点G 的坐标，关键是求AG 的长度.“尺规作图”作出了∠AOB 的角平分线，即∠AOF =∠BOF ,再由平行四边形的性质“平行四边形对边平行”即OB//AC 和平行线的性质“两直线平行，内错角相等”即∠AGO =∠GOE ，可得到∠AGO =∠AOG ,故ΔAOG 是等腰三角形，则AO=AG ，从而求得AG 的长度。
【解题过程】解：如图，作AM ⊥x 轴于点M ，GN ⊥x 轴于点N . 由题意知OF 平分∠AOB ,即∠AOF =∠BOF ∵四边形AOBC 是平行四边形 ∴AC//OB
∴AM=GN ，∠AGO =∠GOE ∴∠AGO =∠AOG ∴AO=AG
∵A （-1，2）
∴AM=2，AH=MO=1，AO=5
∴AG=AO=5,GN=AM=2, HF=AF-AH=5-1
∴G （5-1，2） 故答案为A.
【知识点】尺规作图，角平分线，平行四边形，内错角，等腰三角形，勾股定理 10．（2018河南，10，3分）如图1,点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发,沿A →D →B 以1cm/s 速度匀速运动到点B ．图
2是点F 运动时,△FBC 的面积y （cm2）随时间x （s ）变化的关系图象,则a 的值为
（A ）5 （B ）2 （C ）5
2
（D ）25
【答案】C 【思路分析】从题干和图1可知，当点F 在边AD 上运动时，△FBC 的面积保持不变；当点F 沿D →B 运动时，△FBC 的面积逐渐减小，F 到达点B 时，△FBC 面积为0. 从图2可以看出，当0 在边AD 上运动时，△FBC 的面积为a. 根据题意，作出△FBC 的高，利用三角形面积和勾股定理即可求出a 值. 【解题过程】解：如图，在边AD 上任取一点F ，作FH ⊥BC 于点H ，作DG ⊥BC 于点G .则DG=FH. 图2 图1 （第10题） x/s y/cm 2a a + 5a F D A C B O （第9题） y x G F E C B A O D 由题意知BC=CD=AD=a , S △FBC =S △DBC =a,DB=5 ∵S △DBC =21·BC·DG=2 1 ·a·DG=a ∴DG =2 在RtΔDBG 中，∠DGB =90°,DB=5, DG =2 ∴BG =12-52 2 = 在RtΔDCG 中，∠DGC =90°, DG =2 , DC =a , CG =a -1 由勾股定理得，a 2=(a -1)2+22 , 解得a = 2 5 . 故答案为C. 【知识点】菱形的性质，三角形面积，勾股定理 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（2018河南，11，3分） 计算：5- ． 【答案】2 【解析】本题是包含绝对值和二次根式的简单计算，原式＝5－3＝2．故答案为2． 【知识点】绝对值，二次根式 12．（2018河南，12，3分）如图,直线AB ,CD 相交于点O ,EO ⊥AB 于点O , ∠EOD =50°,则∠BOC 的度数为 ． 【答案】140° 【解析】 ∵EO ⊥AB ∴∠EOB ＝90° ∵∠EOD ＝50° ∴∠DOB ＝90°－50°＝40° ∴∠COB ＝180°－∠DOB ＝180°－40°＝140° 故答案为：140°． 【知识点】垂直的定义，余角，邻补角 13．（2018河南，13，3分）不等式组52, 43x x +??-? ＞≥的最小整数解是 ． 【答案】-2 【解析】本题是求不等式组的最小整数解，正确解不等式组是关键．不等式52x +＞的解集为-x ＞3，不等式43x -≥的解集为1x ≤，所以不等式组52 43x x +??-? ＞≥的解集为-1x 3＜≤，它的整数解有-2、-1、0、1，所以其最小整 数解是-2．故答案为-2． 【知识点】一元一次不等式 14．（2018河南，14，3分）如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC =2,将△ABC 绕AC 的中点 D 逆时针旋转90° 得 到△A B C ''',其中点B 的运动路径为弧BB′，则图中阴影部分的面积为 ． C A 【答案】 32 －5π4 【思路分析】本题是计算阴影部分的面积，解题的关键是观察出阴影 部分的面积表示. 连接B D '和BD ，由旋转及勾股定理可得B C ''＝BC ＝2，C D '＝ＣD ＝1,B D '＝BD ，也易得四边形B C DC '' 是梯形，再根据S 阴影＝BDB S '扇形+B C D S ''△―B C DC S ''梯形―BCD S △＝BDB S '扇形― B C DC S ''梯形，然后利用扇形及梯形的面积公式列式计算即可得解． 【解题过程】解法一：如图所示，连接B D '和BD ． ∵∠ACB ＝90°,AC ＝BC ＝2,将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A B C ''' ∴C D '＝ＣD ＝1, B C ''＝BC ＝2,∠CDC '＝∠C '＝∠B DB '＝90°, △B C D ''≌△BCD ∴B D '＝BD .ＣD ∥B C '' ∴S 阴影＝BDB S '扇形+B C D S ''△―B C DC S ''梯形―BCD S △ ＝BDB S '扇形―B C DC S ''梯形 ＝2 90360 π ―()1 1+212 ?? ＝－53 π42 故答案为－53 π42 解法二：如图所示，连接B D '、BD 、B B '． ∵∠ACB ＝90°,AC ＝BC ＝2,将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A B C ''' ∴ C D '＝ＣD ＝1,B C ''＝BC ＝2,∠CDC '＝∠C '＝∠B DB '＝90°, ∴B D '＝BD .ＣD ∥B C '' B C '＝A C '＝A B '' ∴S 阴影＝BDB S '扇形―BDB S '△+B BC S '? ＝2 90360 π ―1212 ＝－53 π42 故答案为－53 π42 【知识点】旋转的性质，勾股定理，扇形面积的计算，梯形面积的计算 15．（2018河南，15，3分）如图, ∠MAN = 90°,点C 在边AM 上,AC = 4,点B 为边AN 上一动点,连接BC , A BC '?与ABC ?关于BC 所在直线对称．点D ,E 分别为AC ,BC 的中点,连接DE 并延长交A'B 所在直线于点F ,连接A'E ．当A EF '? 为直角三角形时, AB 的长为 ____ ． 【答案】4或43 【思路分析】根据题意，易得EF ∥AB ，∠CA B '＝∠CAB ＝90°，∠1＝∠2＝∠3． 当A EF '?为直角三角形时，分两种情况讨论：①∠A EF '＝90°时，∠A FE '＝2∠2，所以∠A FE '+∠3＝90°，即3∠2＝90°，∠2＝30°，从而AB ＝tan60AC ??＝43．②∠A FE '＝90°时，∠A BA '＝90°．根据对称，∠A BC '＝∠CBA ＝45°，进而判断出ABC ?是等腰直角三角形，从而求出AB ＝AC ＝4． 【解题过程】 图1 图2 解：∵∠MAN = 90°，A BC '?与ABC ?关于BC 所在直线对称． ∴∠CA B '＝∠CAB ＝90°，∠A BC '＝∠CBA 又∵点D ,E 分别为AC ,BC 的中点，连接DE 并延长交A'B 所在直线于点F ∴1 2 A E BC E B '= =，EF ∥AB. 当A EF '?为直角三角形时，由题意得，∠EA F '不能为直角，则 ①如图1，∠A EF '＝90°时，∠A FE '+∠3＝90° ∵EF ∥AB ，∴∠A FE '＝∠A BA '＝∠1+∠2＝2∠1. 又∵=A E EB ',∴∠1＝∠3,∴2∠1+∠1＝90°,∴∠1＝30°＝∠2, ∴AB ＝tan60AC ??＝43 ②如图2，∠A FE '＝90°时， ∵EF ∥AB,∴∠A BA '＝∠A FE '＝90°． 由对称可得，∠A BC '＝∠CBA ＝45°， ∴ABC ?是等腰直角三角形∴AB ＝AC ＝4. 综上所述， AB 的长为4或43故答案为：4或43【知识点】对称的性质，三角形中位线，直角三角形性质，三角形内角和，三角函数 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16．（2018河南，16，8分）先化简,再求值：2 1( 1)11 x x x -÷+-,其中21x =． 【思路分析】先利用异分母分式的加减法则计算1 ( 1)1 x -+，然后根据除法法则将原式转化为乘法，利用约分的法则进行约分，一定要化成最简分式或整式，最后把21x =代入得到答案即可． 【解题过程】 解：原式 11 1 x x -- = + ?(1)(1) x x x +- 1x =-． 当 1 x时,原式11) =-=． 【知识点】分式的加减乘除混合运算；分式与1的加减运算时，对1的理解. 17.（2018河南，17，9分）每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的 方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给 人们造成困扰．为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组 随机调查了部分市民（问卷调查表如图所示）,并对调查结果绘制了 根据以上统计图，解答下列问题： （1）这次接受调查的市民共有__________人； （2）扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是__________； （3）请补全条形统计图； （4）若该市约有90万人,请估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数． 【思路分析】 本题考查了扇形统计图和条形统计图，解题的关键是根据三个图寻找有用的信息 （1）从条形图看出选择A（或者B,C,）的人数为300（或者240,800）人，从扇形图可得选A的百分率为15%（或者12%，40%，），由此可求样本容量，即这次接受调查的市民有2000人； （ 2）先求选择E人数所占的百分比，然后依据圆心角的度数=360°× 百分比求解即可； （3）用样本容量为减去条形图中已知的四个项目的数目，或者用样本容量X25%，可得选D的人有500人，从而补全条形统计图； （4）根据样本估计总体，从图表可以看出选择C的大约占样本容量的40%.用90万X40%即可. 【解题过程】 （1）300÷15%=2000人. （2） 160 360=28.8 2000 ???． （3）（按人数为500正确补全条形统计图） （4）90×40%= 36（万人）． 即估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数约为36万人． 【知识点】扇形统计图，条形统计图 18．（2018河南，18，9分）如图,反比例函数(0) k y x x =>的图象过格点（网格线的交点）P． B 12% C 40% A 15% E D 25% （1）求反比例函数的解析式； （2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法）,要求每个矩形均需满足下列两个条件： ①四个顶点均在格点上,且其中两个 顶点分别是点O,点P； ②矩形的面积等于k的值． y x -1 4 3 2 1 -14 3 2 1 P O 【思路分析】 （1）本题考查待定系数法求反比例函数解析式，由图像可知点Ｐ坐标为（２,２），将点Ｐ坐标直接代入即可；（２）Ｏ，Ｐ为矩形的两个顶点，因此线段ＯＰ可能为矩形的边和对角线，故分两种情况进行讨论； 【解题过程】 （1）∵点(2,2) P在反比例函数( k y x x =＞0）的图象上, ∴2, 4. 2 k k ==∴ 即反比例函数的解析式为 4 . y x = （2）①当线段ＯＰ为矩形对角线时，该矩形如下： 第18题（2）答图 ②当线段ＯＰ为矩形的边时： 由题意可得：矩形的面积等于4 ∵p点坐标为（2,2） ∴ op=2 ∴矩形另一边等于 ∴满足条件的矩形如下：矩形OPMN或矩形OPED 第18题（2）答图 【知识点】待定系数法求解析式；反比例函数k 的几何意义；矩形的面积 19．（2018河南，19，9分）如图,AB 是⊙O 的直径,DO ⊥AB 于点O ,连接DA 交⊙O 于点C ,过点C 作⊙O 的切线 交DO 于点E ,连接BC 交DO 于点F ． （1）求证：CE = EF ； （2）连接AF 并延长,交⊙O 于点G ．填空： ①当∠D 的度数为 时,四边形ECFG 为菱形； ②当∠D 的度数为 时,四边形ECOG 为正方形． E F O B A C 【思路分析】 本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的判定；以及菱形、正方形的性质等知识点，综合性较强． （1） 连结OC ；证CE=EF 应证∠ECF =∠EFC ，根据条件可知∠ECO=∠FOB= 90°，根据∠ECO= ∠FCO + ∠ECF = 90° ; ∠EFC=∠B + ∠CFE = 90°利用转化思想即可得结论. （2） ①四边形ECFG 为菱形时，CF=CE ；由（1）可得CE=EF ；所以CE=CF=EF ；从而得到△CEF 为等边三角形；在Rt △DCF 中可求∠D ； ②由（1）可得CE=EF ；在Rt △DCF 中可得CE=ED ；所以E 为DF 的中点； 四边形ECOG 为正方形时，△ECO 为等腰直角三角形，∠CEF= 45°； ∠CEF 为等腰三角形CED 的外角，可求∠D. 【解题过程】 （1）连接OC . ∵CE 是O 的切线,∴OC ⊥CE ． ∴∠FCO + ∠ECF = 90°． ∵DO⊥AB,∴∠B + ∠BFO = 90°． ∵∠CFE =∠BFO ,∴∠B + ∠CFE = 90°． ∵OC = OB,∴∠FCO = ∠B． ∴∠ECF = ∠CFE．∴CE = EF. (2)∵AB是⊙O的直径∴∠ACB= 90° ∴∠DCF= 90° ∴∠DCE+∠ECF= 90°，∠D+∠EFC= 90° 又∵CE=EF∴∠ECF = ∠CFE ∴∠D = ∠DCE ∴ED=EC ∴ED=EC=EF 即点E为线段DF中点 ①四边形ECFG为菱形时，CF=CE ∵CE=EF∴CE=CF=EF ∴△CEF为等边三角形 ∴∠CEF= 60° ∴∠CEF=∠D+∠DCE 又∵ＥＤ＝ＥＣ ∴∠D = ∠DCE ∴∠D＝∠DCE＝３０° ②四边形ECOG为正方形时，△ECO为等腰直角三角形 ∴∠ＣＥＦ= ４５° ∵∠CEF=∠D+∠DCE 又∵ＥＤ＝ＥＣ ∴∠D = ∠DCE ∴∠D＝∠DCE＝２２.５° 【知识点】圆的切线的性质；等腰三角形的判定；三角形外角定理；菱形、正方形的性质 20．（2018河南，20，9分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答. 如图所示，底座上A,B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的 支架BD 与直线AB 的夹角∠DBF 为80.3°.求高、低杠之间的水平距离CH 的长.（结果精确到1cm . 参考数据：sin82.4?≈0.991, cos82.4?≈0.132，tan82.4?≈7.500, sin80.3?≈0.983, cos80.3?≈0.168, tan80.3?≈5.850） 【思路分析】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键是构造出联系已知与未知的直角三角形． “化斜为直”是此类问题的常用方法，本题在解答时通过已经做好的辅助线，即可得到两个有已知边和已知角的直角三角形，再结合这两个直角三角形中的边与角的关系（三角函数）即可得到相应的等式或方程，进而可解． 利用解直角三角形解决实际问题的步骤是：（1）认真分析题意，找到直角三角形Rt △CAE 和Rt △DBF ，转化为 解直角三角形问题，对于非基本的题型可通过解方程（组）来转化为基本类型，对于较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩形．（2） 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．（3）按照题目中已知数的精确度进行近似计算，检验得到符合实际要求的解，并按题目要求的精确度确定答案，并标注单位． 【解题过程】在Rt △CAE 中, 155155 20.7.tan tan82.47.500 CE AE CAE = ∠?=≈≈ …………………3分 在Rt △DBF 中, 234234 40.tan tan80.3 5.850 DF BF DBF = =∠?=≈ ………………6分 ∴EF = AE +AB + BF ≈20. 7+90+40 =150.7≈151． ∵四边形CEFH 为矩形,∴CH = EF = 151． ……………………………8分 即高、低杠间的水平距离CH 的长约是151cm ． ………………………9分 【知识点】三角函数．解直角三角形的应用 21．（2018河南，21，10分）某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y （个）与销售单价x （元） 销售单价x （元） 85 95 105 115 日销售量y （个） 175 125 75 m 日销售利润w （元） 875 1875 1875 875 （注：日销售利润 = 日销售量 （销售单价 - 成本单价）） （1）求y 关于x 的函数解析式(不要求写出x 的取值范围)及m 的值； （2）根据以上信息,填空： 该产品的成本单价是 元．当日销售单价x = 元时,日销售利润w 最大,最大值是 元； （3）公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本. 预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在（1） 中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元? 【思路分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，建立二次函数模型解决最值问题，列不等式组解决实际问题等知识。 H D C B A E F （1）根据表格中的信息利用待定系数法，直接计算可得； （2）根据给出的公式“日销售利润 = 日销售量 ?（销售单价 - 成本单价）”带入一组数据求出成本单价，进 而列出二次函数的解析式； （3）根据日销售利润不低于3750元，列出不等式，经过计算，可求出当日销售利润不低于3750元的销售目 标时,该产品的成本单价的范围。 【解题过程】（1）设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+, 由题意得85175,95125.k b k b +=??+=? 解得5,600. k b =-??=? ∴y 关于x 的函数解析式为5600.y x =-+ ………………………………3分 当115x =时,511560025.m =-?+= ……………………………………4分 （2）80;100;2000. ………………………………………………………………7分 （3）设该产品的成本单价为a 元， 由题意得(590600)(90)3750.a -?+?-≥ 解得65a ≤． 答：该产品的成本单价应不超过65元．…………………………………10分 【知识点】待定系数法求一次函数解析式、二次函数的最值、不等式的应用 22．（2018河南，22，10分） （1）问题发现 如图1,在△OAB 和△OCD 中,OA=OB ,OC=OD ,∠AOB =∠COD =40°,连接AC ,BD 交于点M ．填空： ①AC BD 的值为 ；②∠AMB 的度数为 ． （2）类比探究 如图2,在△OAB 和△OCD 中, ∠AOB = ∠COD = 90°,∠OAB =∠OCD =30°, 连接AC 交BD 的延长线于点M ．请判断AC BD 的值及∠AMB 的度数,并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下,将△OCD 绕点O 在平面内旋转,AC ,BD 所在直线交于点M ．若OD =1, OB ,请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长． 【思路分析】(1)依据条件，构造三角形全等，得到对应边相等，比值为1;对应角相等,再根据三角形内角和为180°， 求出∠AMB 的度数.或者由题意可知△OAC 可由△OBD 旋转而得到，所以根据对应边所在直线夹角等于旋转角这一性质得到∠AMB 的度数. (2)首先由含30°角的直角三角形的三边关系得到 3OC OD .由（1）中三角形全等过渡到第二问三角形相似（根 据两边对应成比例且夹角相等两三角形相似），得到 = AC OC BD OD .且对应角相等，即∠CAO=∠BOD,再根据三角形内角和得到∠AMD=∠AOB=90°. （3）画出符合要求的图形至关重要，根据添加辅助圆的两种渠道“定点定长”和“定角定长”可添加以O 为圆心OC D 为半径和以AB 为直径的辅助圆，两圆的交点即为M ，再套用（2）中的结论，可求AC 得长度. 【解题过程】（1）①1. ………………………………………………………………………1分 ②40.?（注：若填为40，不扣分）．………………………………………2分 （2） °3,=90.AC AMB BD =∠（注：若无判断，但后续证明正确，不扣分）…4分 理由如下： ∵90AOB COD ∠=∠=?，30,OAB OCD ∠=∠=? ∴ 3,CO AO DO BO == ∵∠COD + ∠AOD = ∠AOB + ∠AOD ,即∠AOC = ∠BOD ． ∴.AOC BOD ??∽ ………………………………………………………6分 ∴3AC CO BD DO ==,∠CAO =∠DBO ． 90,90.AOB DBO ABD BAO ∠=?∴∠+∠+∠=?∵ 90.90.CAO ABD BAO AMB ∴∠+∠+∠=?∴∠=? …………………………8分 （3）233 3.AC 的长为或 ……………………………………………………10分 提示：解法一：分别以AB 为直径画圆，以O 为圆心，OC 为半径画圆，两个交点处C 、M 重合.如图所示. 图1中,作OD ⊥CD 于点H ，∵∠OCD=30°，∴∠HOD=30°，∴DH= 1 2 ,OH=32,∴在Rt △OHB 中， BH=357 4 2.∴BD=51 222,套用（2）中的结论AC=3BD =23； 图2中，同理BD=51 322 ,∴AC=3BD = 33. 图1 图2 解法二：若OD =1, OB 7则CD=2，7 ①如图，当C 1与M 重合时，由（2）知∠AC 1B=90°，设BD 1=x ，则AC 13x 在Rt △AC 1B 中，22211AC BC AB +=，∴222(3)(2)(27)x x ++=， ∴2,3x x ==-（舍去） ②如图，当C 2与M 重合时，由（2）知∠AC 2B=90°，设BD 2=x ，则AC 23x 在Rt △AC 2B 中，22 222AC BC AB +=，∴222(3)(2)(27)x x +-=， ∴3,2x x ==-（舍去） ∴当BD=2或BD=3时，233 3.AC 的长为或 A 2 (M) 【知识点】1.含30°角的直角三角形的三边关系 1 2. 3.相似的判定和性质 4.圆的定义和性质：到定点的距离等于定长的点的集合；直径所对的圆周角是直角. 5.勾股定理 6.对数形结合思想，分析问题的能力，计算能力等都有较高要求. 23．（2018河南，23，11分）如图,抛物线26y=ax x c ++交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于点C ．直线5y x =-经过点 B , C ． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A 的直线交直线BC 于点M ． ①当AM BC ⊥时,过抛物线上一动点P(不与点B,C 重合)，作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ,若以点A ,M ,P ,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点P 的横坐标； ②连接AC ,当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时,请直接写出点M 的坐标． 【思路分析】（1）要确定解析式这里需要两个条件才可以：通过直线求得B 、C 两点坐标，分别带入26y=ax x c ++， 解得a=-1,c=-6.求二次函数解析式通常可设顶点式2 y a x h k ，一般式2y ax bx c ，交点式 12y a x x x x ，不过这里最后要化成一般式. （2）平行四边形的存在性问题，这类题解法成熟，一般情况下需分类讨论：以已知线段为边或者对角线，为边 时，令一边跟它平行且相等，再根据平移的知识点确定点的坐标；为对角线时，也可根据对边平行且相等，得到坐标.不过根据平常总结，利用“中点坐标公式”更易解决这种为对角线的情况.这里要有较强的分析问题的能力，画图能力和计算能力.以及分类讨论思想，数形结合思想等也要得心应手！ （3）这种二倍角的问题关键在于转化，根据性质画图，发现几何关系.当然需要扎实的知识储备. 角角之间存在二倍关系的地方很多：等腰三角形顶角的外角和底角之间；角平分线；同弧所对的圆周角和圆心角 之间等，所以只需设置场景，发现几何关系进行计算即可.这里把两个角构造成顶角的外角和底角的的关系即可求得其中一种情况。再有中点坐标公式求得另外一种情形. 【解题过程】（1）∵直线y = x －5交x 轴于点B ,交 y 轴于点C ,∴(5,0),(0,5).B C - ∵抛物线26,,y ax x c B C =++过点 02530,5.a c c =++?∴?-=?1, 5.a c =-?∴?=-? ∴抛物线的解析式为2 65y=x x -+-．……………………………………3分 （2）①5,90,45.OB OC BOC ABC ==∠=?∴∠=? ∵抛物线265y=x x -+-交x 轴于A ,B 两点, (1,0).4A AB ∴∴=.,AM BC AM ⊥∴= ∵PQ ∥AM ,∴PQ ⊥ BC ． 若以点A ,M ,P ,Q 为顶点的四边形是平行四边形，则PQ AM == 过点P 作PD x ⊥轴交直线BC 于点D,则45.PDQ ∠=? 4.PD ∴==………………………………………………………5分 设2(,65),(,5).P m m m D m m -+--则 分两种情况讨论如下： (ⅰ) 当点P 在直线BC 上方时, 2265(5)5 4.PD m m m m m =-+---=-+= 121(), 4.m m ∴==舍去………………………………………………7分 (ⅱ) 当点P 在直线BC 下方时, 22(5)(65)5 4.PD m m m m m =---+-=-= 345522 m m ∴= 综上，点P 的横坐标为4 …………………9分 ②M ( 136，176-)或(236 ，7 6-)． …………………………………11分 【提示】 作AC 的垂直平分线，交BC 于点M 1，连接AM 1，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，将△ANM 1沿AN 翻折， 得到△ANM 2，点M 1，M 2的坐标即为所求． （3） 过A 作AN ⊥BC 于N ①当点M 在点N 下方时，设为M 1，作M 1E ⊥OC 于E ，M 1D ⊥AC 于D ∵∠AM 1N ＝2∠ACB ，即∠AP 1B ＝2∠ACB ∴∠ACB ＝∠P 1AC ，∴M 1A ＝M 1C ，∴AD ＝CD ∵A （1，0），B （5，0），∴OA ＝1，OB ＝5，AB ＝4 ∵C （0，-5），∴OC ＝5，BC ＝ ∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，AC ∴AN ＝BN AB ＝ CD ＝1 2 AC ∴N （3，-2），CN ＝BC －BN ＝ 易证△CM 1E ∽△CAN ，∴ 1CM CA CD CN = = ，∴CM 1 ∴CE ＝M 1E ＝ 2 CM 1＝136 ，OE ＝OC －CE ＝5－136 ＝176 ∴M 1(136 ，176-) ②当点M 在点N 上方时，设为M 2 则∠AM 2N ＝∠AM 1N ，∴M 2N ＝M 1N ∴CM 2＝CN ＋M 2N ＝CN ＋M 1N ＝2CN －CM 1＝ ∴M2(23 6 ， 7 6 -) 综上所述，M的坐标为( 13 6 ， 17 6 -)或( 23 6 ， 7 6 -). y x E M2 M1 D N B C O A 【知识点】（1）待定系数法求函数解析式：①设②列③解④代 （2 边对边平行且相等 角邻角互补，对角相等 对角线互相平分 对称性关于对角线交点成中心对称 3. 4.关于线段的转化：非竖直线段向竖直线段的转化，如图，在抛物线背景下，线段PE、EF都可以转化为竖直线 段PF 5.等腰三角形顶角的外角等于底角的两倍。反之也成立. 6.轴对称的性质 7.垂直平分线的性质 8.勾股定理 9.解一元二次方程
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