第4章 正态分布
1，（1）设)1,0(~N Z ，求}24.1{≤Z P ，}37.224.1{≤ ，且9147 .0}{=≤a Z P ，0526 .0}{=≥b Z P ，求b a ,。 解：（1）8925 .0)24.1(}24.1{=Φ=≤Z P ， 0986.08925.09911.0)24.1()37.2(}24.1{}37.2{}37.224.1{=-=Φ-Φ=≤-≤=≤ .0)]37.2(1[)]24.1(1[)37.2()24.1(}24.137.2{=Φ--Φ-=-Φ--Φ=-≤<-Z P （2）)37.1(9147.0}{Φ==≤a Z P ，所以37.1=a ； }{10526.0}{b Z P b Z P <-==≥，所以)62.1(9474.0}{Φ== .1=b 。 2，设)16,3(~N X ，求}84{≤ ，所以 )1,0(~4 3N X -。 2957 .05987.08944.0)25.0()25.1(}4 3843434{}84{=-=Φ-Φ=-≤ -< -=≤ .0)7734.01(6915.0)4 3 0( )4 35( }50{=--=-Φ--Φ=≤≤X P 。 3，（1）设)36,25(~N X ，试确定C ，使得9544 .0}25{=≤-C X P 。 （2）设) 4,3(~N X ，试确定C ，使得95 .0}{≥>C X P 。 解：（1）因为1)6( 2)6()6 ( }25{}25{-Φ=- Φ-Φ=≤-≤-=≤-C C C C X C P C X P 所以得到9772 .0)6 (=ΦC ,即 0.26 =C ，0.12=C 。 （2）因为 )1,0(~2 3N X -，所以95 .0)2 3( 1}{≥-Φ-=>C C X P ，即 95 .0)2 3( ,05.0)2 3(≥-Φ≤-ΦC C 或者，从而 645 .12 3≥-C ，29 .0-≤C 。 4，已知美国新生儿的体重（以g 计）)575,3315(~2 N X 。 （1） 求}25.439075 .2587{≤≤X P ； （2） 在新生儿中独立地选25个，以Y 表示25个新生儿的体重小 于2719的个数，求}4{≤Y P 。 解：根据题意可得) 1,0(~575 3315N X -。 （1）)575 3315 75.2587( )575 3315 25.4390( }25.439075.2587{-Φ--Φ=≤≤X P 8655.0)8962.01(9693.0)2648.1()87.1(=--≈-Φ-Φ=（或0.8673） （2）1492 .0)04.1(1)575 3315 2719( }2719{=Φ-=-Φ=≤X P ， 根据题意)1492.0,25(~B Y ，所以 6664 .08508 .01492 .0}4{254 25 ≈??= ≤-=∑k k k k C Y P 。 5，设洗衣机的寿命（以年计）) 3.2, 4.6(~N X ，一洗衣机已使用了5 年，求其寿命至少为8年的条件概率。 解：所要求的概率为 1761 .08212 .08554.01) 92.0(1)06.1(1) 3 .24.65( 1)3.24.68(1} 5{}8{}5|8{=-=-Φ-Φ-≈-Φ--Φ-=≥≥=≥≥X P X P X X P 6，一电路要求装两只设计值为12欧的电阻器，而实际上装的电阻器的电阻值（以欧计）服从均值为11.9欧，标准差为0.2欧的正态分布。求（1）两只电阻器的电阻值都在11.7欧和12.3欧之间的概率；（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率（设两电阻器的电阻值相互独立） 解：设两个电阻器的电阻值分别记为随机变量 , ,Y X 则 )04.0,9.11(~N X ，)04.0,9.11(~N Y （1）}3.127.11{}3.127.11{}3.127.11,3.127.11{≤≤≤≤=≤≤≤≤Y P X P Y X P 2 )2.09.117.11()2.09.113.12(?? ????-Φ--Φ=[]6699 .08185 .0)1()2(2 2 ==-Φ-Φ=； （2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率为 2 )2.09.114.12(1}4.12{}4.12{1}4.12,4.12{1? ? ? ???-Φ-=≤≤-=≤≤-Y P X P Y X P 0124 .09938 .012 ≈-=。 7，一工厂生产的某种元件的寿命X （以小时计）服从均值160 =μ， 均方差为σ的正态分布，若要求80 .0}200120{≥< 为多少？ 解：根据题意， )1,0(~160 N X σ -。所以有 80 .01)40 ( 2)160 120( )160 200( }200120{≥-Φ=-Φ--Φ=<<σ σ σX P ， 即，)28.1(9.0)40 ( Φ≈≥Φσ ，从而 25 .31, 28.140 ≤≥σσ 。 故允许σ最大不超过31.25。 8，将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内，调节器整定在C d ，液体的温度X （以C 计）是一个随机变量，且)5.0,(~2 d N X ， （1） 若90 =d ，求X 小于89的概率； （2） 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d 至 少为多少？ 解：因为)5.0,(~2 d N X ，所以 )1,0(~5 .0N d X -。 （1）0228 .0)2(1)2()5 .09089( }89{=Φ-=-Φ=-Φ= P ； （2）若要求99 .0}80{≥≥X P ，那么就有99 .0)5.080( 1}80{≥-Φ-=≥d X P ， 即01 .0)5 .080( ≤-Φd 或者)326.2(99.0)5 .080( Φ=≥-Φd ，从而 326 .25 .080 ≥-d ， 最后得到163 .81≥d ，即d 至少应为81.163。 9，设Y X ,相互独立，且X 服从数学期望为150，方差为9的正态分布，Y 服从数学期望为100，方差为16的正态分布。 （1） 求Y X W +=1 ，Y X W +-=22 ，2 /)(3 Y X W +=的分布； （2） 求}6.242{<+Y X P ，}51252/)({>-+Y X P 。 解：根据题意)16,100(~), 9,150(~N Y N X 。 （1） 根据正态分布的线性组合仍为正态分布（本书101页定理2） 的性质，立刻得到 )25,250(~1N W ， )52,200(~2-N W ， )425, 125(~3N W （2） 因为 )25,250(~1N W ，)4 25 , 125(~3N W ，所以 )1,0(~5 250 N Y X -+， ()) 1,0(~2 /5125 2/N Y X -+。 因此0694 .0)48.1(1)5 250 6.242( }6.242{=Φ-=-Φ=<+Y X P ， }51252/)(5{1}51252/)({≤-+≤--=>-+Y X P Y X P ? ????? -Φ-Φ-=)5.25()5.25(1 ) 2(22Φ-= 0456 .0= 10，（1）某工厂生产螺栓和垫圈。螺栓直径（以mm 计）)2.0,10(~2 N X ， 垫圈直径（以mm 计）)2.0,5.10(~2 N Y ，Y X ,相互独立。随机地取一 只螺栓，一只垫圈，求螺栓能装入垫圈的概率。 （2）在（1）中若)2.0,10(~2 N X ，) ,5.10(~2 σN Y ，问控制σ至多为 多少才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90。 解：（1）根据题意可得)08.0,5.0(~--N Y X 。螺栓能装入垫圈的概率 为9616 .0)77.1(08.0)5.0(0}0{}{=Φ≈???? ? ?--Φ=<-= P 。 （2）)04.0,5.0(~2 σ+--N Y X ，所以若要控制 )282.1(90.004.0) 5.0(0}0{}{2Φ=≥??? ? ??+--Φ=<-=<σY X P Y X P ， 即要求 282 .104.05.02 ≥+σ ，计算可得3348 .0≤σ 。表明σ至多为0.3348 才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90。 11,设某地区女子的身高（以m 计）)025.0,63.1(~2 N W ， 男子身高（以m 计）)05.0,73.1(~2 N M 。设各人身高相互独立。 （1）在这一地区随机选一名女子，一名男子，求女子比男子高的概率；（2）在这一地区随机选5名女子，求至少有4名的身高大于1.60的概率；（3）在这一地区随机选50名女子，求这50名女子的平均身高达于1.60的概率。 解：（1）因为)003125.0, 1.0(~N W M -，所以 0367 .09633.01)79.1()003125 .01.00( }0{}{=-=-Φ≈-Φ=<-=>W M P M W P ； （2）随机选择的女子身高达于1.60的概率为 8849 .0)2.1()025 .063.160.1( 1}60.1{=Φ=-Φ-=>W P ， 随机选择的5名女子，身高大于 1.60的人数服从二项分布 )8849.0,5(B ，所以至少有 4名的身高大于1.60的概率为 8955 .08849 .0)8849.01(8849 .05 5 54 45=?+-??C C （3）设这50名女子的身高分别记为随机变量501,W W ， ∑== 50 1 50 1i i W W 。则)50 025.0, 63.1(~50 12 50 1 N W W i i ∑== ，所以这50名女子的平 均身高达于1.60的概率为 1)49.8()50 / 025.063.160.1( 1}60.1{≈Φ=-Φ-=>W P 12，（1）设随机变量 ) ,(~2 σμN X ，已知 20 .0}16{= 90 .0}20{= （2）Z Y X ,,相互独立且都服从标准正态分布，求}7623{-<+Z Y X P 。 解：（1）由)84.0(20.0)16( }16{-Φ==-Φ=<σ μ X P ，得到σμ84.016-=-； )282.1(90.0)20( }20{Φ==-Φ=<σ μ X P ，得到σμ282.120=-； 联立σ μ84.016 -=-和σ μ282.120 =-，计算得到8850 .1,5834.17==σμ 。 （2）由Z Y X ,,相互独立且都服从标准正态分布，得到 )49,0(~623N Z Y X -+。 故所以 1587 .0)1(1)7 07( }7623{}7623{=Φ-=--Φ=-<-+=-<+Z Y X P Z Y X P 13，一食品厂用纸质容器灌装饮料，容器的重量为30g ，灌装时将容器放在台秤上，将饮料注入直到秤上刻度指到)(g m 时结束。以 )(g Z 记容器中饮料的重量。设台秤的误差为)5.7,0(~2 N X ，X 以g 计。（此处约定台秤显示值大于真值时误差为正） （1）写出m X Z ,,的关系式； （2）求Z 的分布； （3）确定m 使容器中所装饮料至少为450g 的概率不小于0.95。 解：（1）根据题意m X Z ,,有关系式X Z m ++=30或者X m Z --=30； （2）因为)5.7,0(~2 N X ，所以) 5.7,30(~2 -m N Z ； （3）要使得95 .0}450{≥≥Z P ，即要 95 .05.7)30(4501}450{≥?? ? ??--Φ-=≥m Z P ， 所以要求)645.1(95.05.7480Φ=≥?? ? ??-Φm ， 即645.15.7480≥-m ，3375.492≥m 。 所以，要使容器中所装饮料至少为450g 的概率不小于0.95，m 至少为492.4g 。 14,在上题中若容器的重量)(g Y 也是一个随机变量，) 9,30(~N Y ，设 Y X ,相互独立。 （1）求Z 的分布； （2）确定m 使容器中所装饮料至少为450g 的概率不小于0.90。 解：（1）此时X Y m Z --=，根据) 9,30(~N Y ，)5.7,0(~2 N X ，可得 )25.65,30(~-m N Z 。 （2）)282.1(90.025.65480 25.65)30(4501}450{Φ=≥??? ? ??-Φ=???? ??--Φ-=≥m m Z P ， 可得 282 .125 .65480≥-m ，即 36 .490≥m 。 15，某种电子元件的寿命X （以年计）服从数学期望为2的指数分布，各元件的寿命相互独立。随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率。 解：设这100只元件的寿命分别记为随机变量 100 1,X X ， ∑ == 100 1 100 1i i X X 。则2)(=X E ，04.0)(=X D 。根据独立同分布的中心极 限定理可得 8413 .0)1()2 .028.1( 1}2 .028.12 .02{ }8.1{}180{100 1 =Φ=-Φ-≈-> -=>=>∑=X P X P X P i i 16，以1001,X X 记100袋额定重量为25（kg ）的袋装肥料的真实的净重，.100,2,1,1)(),(25)( ===i X D kg X E i i 1001,X X 服从同一分布，且相互独立。∑ == 100 1 100 1i i X X ，求}25.2575.24{≤≤X P 的近似值。 解：根据题意可得100 1)(),(25)(= =X D kg X E 。由独立同分布的中心 极限定理可得 )5.2()5.2(}1 .025 25.251 .0251 .025 75.24{ }25.2575.24{-Φ-Φ≈-≤ -≤ -=≤≤X P X P 9876 .01)5.2(2=-Φ= 17，有400个数据相加，在相加之前，每个数据被舍入到最接近它的数，其末位为10-7。设舍入误差相互独立，且在区间 ) 10 5.0,105.0(7 7 --??-服从均匀分布。求误差总和的绝对值小于 6 10 5.0-?的概率。（例如45.345678419舍入到45.3456784） 解：以4001,X X 记这400个数据的舍入误差，∑ == 400 1 400 1i i X X 。则 4800 10 )(,0)(14 -= =X D X E 。利用独立同分布的中心极限定理可得 }10 125.010125.0{}10 5.0{8 8 6 400 1 ---=?< }4800 10 10 125.0480010 480010 10 125.0{ 14 8 14 14 8 -----?< < ?-=X P )1225.0()1225.0(-Φ-Φ≈ 6156 .01)866.0(2=-Φ= 18，据调查某一地区的居民有20%喜欢白颜色的电话机，（1）若在该地区安装1000部电话机，记需要安装白色电话机的部数为X ，求}185170 {≤≤X P ，}190{≥X P ，}180{≤X P ；（2）问至少需要安装多 少部电话，才能使其中含有白色电话机的部数不少于50部的概率大于0.95。 解：（1）根据题意，) 2.0,1000(~B X ，且160 )(,200)(== X D X E 。 由De Moivre-Laplace 定理，计算得 )160 200 5.0170( )160 200 5.0185( }185170{--Φ--+Φ≈≤≤X P 1171 .0)9920.01()8749.01()41.2()15.1(=---=-Φ--Φ≈； 7967 .0)83.0(1)160 200 5.0190( 1}190{=-Φ-=--Φ-≈≥X P ； 0618 .09382.01)54.1()160 200 5.0180( }180{=-=-Φ≈-+Φ≈≤X P 。 （2）设要安装n 部电话。则要使得 95 .0)16.02.05.49( 1)16.02.05.050( 1}50{>-Φ-=--Φ-≈≥n n n n X P 就要求)645.1(95.0)16.05 .492.0( Φ=>-Φn n ，即 645 .116.05 .492.0>-n n ，从而 025.2450232964.2004.02 >+-n n ，解出95.304>n 或者201 所以最少要安装305部电话。 19，一射手射击一次的得分X 是一个随机变量，具有分布律 （1） 求独立射击10次总得分小于等于96的概率。 （2） 求在900次射击中得分为8分的射击次数大于等于6的概率。 解：根据题意，69.9)(=X E ，2339 .069.913.94)(2=-=X D 。 （1）以101,X X 分别记10次射击的得分，则 2776 .0)59.0()339 .29.9696( }339 .29.9696339 .29.96{ }96{10 1 10 1 =-Φ=-Φ≈-≤ -=≤∑ ∑==i i i i X P X P （2）设在900次射击中得分为8分的射击次数为随机变量Y ，则 )01.0,900(~B Y 。由 De Moivre-Laplace 定理，计算得 8790 .0)17.1(1)99 .001.090001.09005.06( 1}6{=-Φ-≈???--Φ-≈≥Y P 。 第四章解答完毕 第5章 样本及抽样分布 1,设总体X 服从均值为1/2的指数分布，4321,,,X X X X 是来自总体的容量为4的样本，求 （1）4321,,,X X X X 的联合概率密度；（2）}2.17.0,15.0{21<<< （3）)(),(X D X E ；（4）)(21X X E ，])5.0([2 2 1-X X E ； （5）)(21X X D 。 解：因为X 的概率密度为x e x f 22)(-=，0>x ，所以 （1） 联合概率密度为)()()()(),,,(43214321x f x f x f x f x x x x g = ) (2432116x x x x e +++-=，（0,,,4321>X X X X ） （2）21,X X 的联合概率密度为) (2212x x e +-，所以 ????----= = <<<<2 .17 .02 21 5 .01 215.02 .17 .021222 12 1 2 1224}2.17.0,15.0{dx e dx e dx dx e X X P x x x x ))((4 .24 .12 1 ------=e e e e （3）,2 1)(4 1 )(4 1 = =∑=i i X E X E 16 12141 )(16 1)(2 4 1 =??? ???== ∑ =i i X D X D ； （4）4 1)()()(2121= = X E X E X X E ，（由独立性） ] 4 1)()([2 1]4 1[2 1])5.0[()(])5.0([222 2 22 2 2 12 2 1+ -= + -= -=-X E X E X X E X E X E X X E 8 1 ]412141[21]41 21)()([212 22 2=-??? ??+=+-+=X E X D ； （5）2 22212122212141)()()(])[()(? ?? ??-=-=X E X E X X E X X E X X D 16 316 1)4 14 1)( 4 14 1( 16 1)]()()][()([22 212 1= - + + =- ++=X E X D X E X D 。 2，设总体) 100,75(~N X ，321,,X X X 是来自X 的容量为3的样本，求 （1）}85),,{m ax( 321 （2）)}9075()8060{(31< （5）}148{21≤+ X X P 。 解：（1）=<<<=<}85,85,85{}85),,{m ax( 321321X X X P X X X P () 3 13 132 1}1075851075{}85{}85{}85{}85{?? ? ?? -<-=<=<< P X P 5955.08413 .0)]1([3 3 ==Φ=； （2）)9075()8060()}9075()8060 {(3131<<+<<=< } 10 759010 75 10 7575{}10 758010 7510 7560{}9075{}8060{3 13 1-< -< -+-<-<-=<<<<-X P X P X P X P }10 759010 7510 7575{ }10 758010 7510 7560{ 31-< -< --< -< --X P X P )] 0()5.1()][5.0()5.0([)]0()5.1([)]5.0()5.0([Φ-Φ-Φ-Φ-Φ-Φ+-Φ-Φ= 6503 .04332.0383.04332.0383.0]5.09332.0][1)5.0(2[]5.09332.0[]1)5.0(2[=?-+=--Φ--+-Φ= （本题与答案不符） （3）3 23121232221232221] 75100[)]()([)()()()(+=+== X E X D X E X E X E X X X E 11 10 8764.1?=； （4）)(10 8764.1)(])[()(16 11 3212 2321321X E X X X E X X X E X X X D -?=-= 9 6 11 10662.975 108764.1?=-?=； 1400 )()(9)(4)32(321321=++=--X D X D X D X X X D ； （5）因为) 200,150(~2 1N X X +，所以 4443 .05557.01)10 2( 1)200 150 148( }148{2 1=-=Φ-=-Φ=≤+X X P 。 3，设总体) 5(~πX ，321,,X X X 是来自X 的容量为3的样本，求 （1）}3,2,1{321 ===X X X P ； （2）}1{21=+X X P 。 解：（1）因为321,,X X X 相互独立，所以 6 1252 255}3{}2{}1{}3,2,1{5 5 5 321321---? ? ========e e e X P X P X P X X X P 000398.012 e 15625-15 == ； （2）}0,1{}1,0{}1{212121==+====+X X p X X p X X P 10 5 5 5 5 1055-----=?+?=e e e e e 。 4，（1）设总体)3.6,52(~2 N X ，36 21,,,X X X 是来自X 的容量为36的样 本，求}8.538.50{< 4,12(~N X ，521,,,X X X 是来自X 的容量为5的样本， 求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。 解：（1）根据题意得)36/3.6,52(~2 N X ，所以 ) 6 /3.6528.50( )6 /3.6528.53( }6 /3.6528.536 /3.6526 /3.6528.50{ }8.538.50{-Φ--Φ=-< -< -=< .0)8729.01(9564.0)143.1()7143.1(=--≈-Φ-Φ=； （2） 因为)5/4,12(~N X ， }1311{}112{≤≤=≤-X P X P 7372 .0)8686.01(8686.0)118.1()118.1(}8 .012134 .0148 .01211{ =--=-Φ-Φ=-≤-≤ -=X P 所以2628 .07372.01}112{1}112{=-=≤--=>-X P X P 。 5，求总体)3,20(N 的容量分别为10和15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。 解：设容量分别为10和15的两独立样本的样本均值分别记为X 和Y ， 则)3.0,20(~N X ，)2.0,20(~N Y ，所以)5.0,0(~N Y X -， )] 5 .03.0()5 .03.0([1}3.03.0{1}3.0{1}3.0{-Φ-Φ-=≤-≤--=≤--=>-Y X P Y X P Y X P 6744 .0)42.0(22=Φ?-=。 6，下面给出了50个学生概率论课程的一次考试成绩，试求样本均值和样本方差，样本标准差，并作出频率直方图（将区间（35.5，105.5）分为7等份）。 解：易得92 .7450 1 == ∑=i i x x ，5037 .201)(1 1 2 50 1 2 =--= ∑=i i x x n s ，1952.14=s ， 处理数据得到以下表格 根据以上数据，画出直方图（略） 7，设总体)383,4.76(~N X ，421,,,X X X 是来自X 的容量为4的样本， 2 s 是样本方差。（1）问∑ =-= 4 1 2 383 ) 4.76(i i X U ，∑ =-= 4 1 2 383 ) (i i X X W 分别服从什 么分布，并求)(2s D 。（2）求}779.7711.0{≤ 解：（1）因为 )1,0(~383 4.76N X -， 所以，)4(~3834.76383 ) 4.76(2 4 12 4 1 2 χ∑ ∑ ==??? ? ??-= -= i i i i X X U 而根据定理2 ，) 3(~383 3383 ) (383 ) (2 2 4 1 2 4 1 2 χs X X X X W i i i i = -= -= ∑∑ == 因为6 )383 3( )(2 == s D W D ，所以3/293378 9/3836)(22=?=s D 。 （2）) 95.01()1.01(}711.0{}779.7{}779.7711 .0{---=≤-≤=≤ =0.85（第二步查表） 85 .0)95.01()1.01(}352.0{}251.6{}251.6352.0{=---=≤-≤=≤ 8，已知)(~n t X ，求证),1(~2 n F X 。 证明：因为)(~n t X ，所以存在随机变量)(~),1,0(~2 n Z N Y χ 使得 n Z Y X /= ， 也即 n Z Y X /2 2 = ， 而根据定义),1(~2 2 χY 所以),1(~/1 /2 2 n F n Z Y X = ，证毕。 （第5章习题解答完毕） 第6章 参数估计 1，设总体0),,0(~>B b U X 未知，921,,,X X X 是来自X 的样本。求b 的 矩估计量。今测得一个样本值0.5，0.6，0.1，1.3，0.9，1.6，0.7，0.9，1.0，求b 的矩估计值。 解：因为总体) ,0(~b U X ，所以总体矩2/)(b X E =。根据容量为9的样 本得到的样本矩∑ == 9 1 9 1i i X X 。令总体矩等于相应的样本矩：X X E = )(， 得到b 的矩估计量为X b 2?=。 把样本值代入得到b 的矩估计值为69.1?=b 。 2，设总体X 具有概率密度 ?? ???<<-=他 其 θθθx x x f X 00) (2 )(2 ，参数θ未知， n X X X ,,,21 是来自X 的样本，求θ的矩估计量。 解：总体X 的数学期望为3 )(2)(0 2θ θθ θ = -=?dx x x X E ，令X X E = )(可得θ的 矩估计量为X 3?=θ。 3，设总体),,(~p m B X 参数) 10(,< 样本，求p m ,的矩估计量（对于具体样本值，若求得的m ?不是整数，则取与m ?最接近的整数作为m 的估计值）。 解：总体X 的数学期望为 mp X E =)(，) 1()(p mp X D - =， 二阶原点矩为[]) 1()()()(2 2+-=+=p mp mp X E X D X E 。 令总体矩等于相应的样本矩： X X E =)(，∑== =n i i X n A X E 1 2 22 1 )( 得到X A X p 21?- +=，() () 2 2 2 ?A X X X m -+=。 4，（1）设总体0 ),(~>λλπX 未知，n X X X ,,,21 是来自X 的样本，n x x x ,,,21 是相应的样本值。 求λ的矩估计量，求λ的最大似然估计值。 （2）元素碳-14在半分钟内放射出到达计数器的粒子数)(~λπX ，下 面是X 的一个样本： 6 4 9 6 10 11 6 3 7 10 求λ的最大似然估计值。 解：（1）因为总体的数学期望为λ，所以矩估计量为X = λ?。 似然函数为 ()()! ! )(1 1 1 i n i n x i x n i x e x e L n i i i =--=∏∑= ∏ ==λ λ λ λλ，相应的对数似然函数为 ()()?? ? ???∏--∑===! ln ln )(ln 11i n i n i i x n x L λλλ。 令对数似然函数对λ的一阶导数为零，得到λ的最大似然估计值为 x x n n i i ==∑=1 1?λ 。 （2）根据（1）中结论，λ的最大似然估计值为2.7?==x λ 。 5，（1）设 X 服从参数为 ) 10(< ,2,1,) 1(}{1 =-==-x p p x X P x 。 参数p 未知。设n x x x ,,,21 是一个样本值， 求p 的最大似然估计值。 （2）一个运动员，投篮的命中率为),10(未知<< p p ，以X 表示他投篮 直至投中为止所需的次数。他共投篮5次得到X 的观察值为 5 1 7 4 9 求p 的最大似然估计值。 解：（1）似然函数为 [ ] n n x x n i p p p p p L n i i i --=∑-=-∏==1 )1() 1()(1 1 ，相应的对数 似然函数为 p n p n x p L n i i ln )1ln()(ln 1+-?? ? ??-∑==。 令对数似然函数对p 的一阶导数为零，得到p 的最大似然估计值为 x x n p n i i 1?1 = =∑=。 （2）根据（1）中结论，p 的最大似然估计值为26 51?= = x p 。 6，（1）设总体),(~2 σμN X ， 参数2 σ已知， )(∞<<-∞ μμ未知，n x x x ,,,21 是来自X 一个样本值。求μ的最大似然估计值。 （2）设总体),(~2 σμN X ，参数μ 已知，2σ（2σ>0）未知，n x x x ,,,21 为一相应的样本值。求2σ的最大似然估计值。 解：（1）似然函数为 ( ) 2 1 2 2 2 2) (2)(1 21 21)(σ μσ μσ πσ πμ∑=??? ? ?? ? ? ∏==-- -- =n i i i x n x n i e e L ，相应 的对数似然函数为 ( )n n i i x L σ πσ μμ2ln 2) ()(ln 2 1 2 -∑-- ==。 令对数似然函数对μ的一阶导数为零，得到μ的最大似然估计值为 x n x n i i ==∑=1 ?μ 。 （2）似然函数为 () 2 1 2 2 2 2) (2 2 2)(1 2 21 21)(σ μσ μπσσ πσ∑=??? ? ?? ? ? ∏==---- =n i i i x n x n i e e L ，相应的 对数似然函数为 ( )2 2 1 2 22ln 2 2) ()(ln πσ σ μσn x L n i i - ∑-- ==。 令对数似然函数对2σ的一阶导数为零，得到2σ的最大似然估计值为 ∑=-= n i i x n 1 2 2 ) (1 ?μσ 。 7，设n X X X ,,,21 是总体X 的一个样本，n x x x ,,,21 为一相应的样本值。 （1） 总体X 的概率密度函数为 ?? ???>=-他 其 00)(/2 x e x x f x θθ，∞ <<θ 0， 求参数θ的最大似然估计量和估计值。 （2） 总体X 的概率密度函数为 ?? ???>=-他 其 002)(/3 2x e x x f x θθ，∞ <<θ 0， 求参数θ的最大似然估计值。 （3） 设),,(~p m B X m 已知，10<< p 未知，求p 的最大似然估计值。 解：（1）似然函数为 θθθθθ/21 /211 )(∑∏=?? ????∏==- =-=n i i i x n i n i x i n i e x e x L ，相应的对数似 然函数为 θ θθ/ln 2ln )(ln 1 1 ∑--= =-∑n i i n i i x n x L 。 令对数似然函数对θ的一阶导数为零，得到θ的最大似然估计值为 2 21 ?1 x x n n i i = = ∑ =θ。 相应的最大似然估计量为2 ?X = θ。 （2）似然函数为 θ θ θθθ/32 1 /3 211 22)(∑∏= ??? ??? ? ?∏==- =-=n i i i x n i n i x i n i e x e x L ，相应的对数似然 函数为 θ θθ/)2l n (3ln 2)(ln 1 1 ∑--= =-∑ n i i n i i x n x L 。 令对数似然函数对θ的一阶导数为零，得到θ的最大似然估计值为 3 31 ?1 x x n n i i = = ∑ =θ。 （3）因为),,(~p m B X 其分布律为m x p p C x X P x m x x m ,2,1,0,) 1(}{=-==- 所以，似然函数为 [ ]∑-?∑ ?∏=-∏===- =-=n i i n i i i i i i x mn x x m n i x m x x m n i p p C p p C p L 1 1 ) 1() 1()(1 1 ， 相应的对数似然函数为 ()∑===+-?? ? ? ? ∑-+∑=n i x m n i i n i i i C p x mn x p p L 1 11ln )1ln(ln )(。 第1章 随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间： （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录 投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次， 记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰 子，观察出现的各种结果。 解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =； （4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(___ ___AB B A P AB P B A P B A P ??。 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ， 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ， 875.0)(1)(___ --=AB P AB P ， 5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。 解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为 72.0900 648= 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为48344=??个，所以出现奇数的概率为 48.0100 48= （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为 48.0100 48= 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 解: （1）所求概率为338412 131425=C C C C ； 第1章 随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间： （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录 投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次， 记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰 子，观察出现的各种结果。 解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =； （4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(___ ___AB B A P AB P B A P B A P ??。 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ， 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ， 875.0)(1)(___ --=AB P AB P ， 5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。 解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为 72.0900 648= 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为48344=??个，所以出现奇数的概率为 48.0100 48= （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为 48.0100 48= 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 解: （1）所求概率为338412 131425=C C C C ； 第八章 假设检验 1.[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。设测定值总体服从正态分布，问在α = 0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25. 解：设测定值总体X ～N （μ，σ 2），μ，σ 2 均未知 步骤：（1）提出假设检验H 0：μ=3.25; H 1：μ≠3.25 （2）选取检验统计量为)1(~25 .3--= n t n S X t （3）H 0的拒绝域为| t |≥).1(2 -n t α （4）n=5, α = 0.01，由计算知01304.0)(1 1,252.35 1 2=--= =∑=i i X X n S x 查表t 0.005(4)=4.6041, )1(343.05 01304.025 .3252.3||2 -<=-= n t t α （5）故在α = 0.01下，接受假设H 0 2．[二] 如果一个矩形的宽度ω与长度l 的比618.0)15(2 1 ≈-= l ω，这样的矩形称为黄金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件（如窗架）、 工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为μ，试检验假设（取α = 0.05） H 0：μ = 0.618 H 1：μ≠0.618 0.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.668 0.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933. 解：步骤：（1）H 0：μ = 0.618； H 1：μ≠0.618 （2）选取检验统计量为)1(~618 .0--= n t n S X t 概率论与数理统计浙大四版习题答案 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98- 第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为 未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,) 1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1） X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== = +-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令，得 c X X θ-= （2） ,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211)()()(+-===∏θn θn n n i i x x x c θx f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑==n i i n i i x c n n θ θd θL d x θc θn θn θL ∑=-= n i i c n x n θ1 ln ln ? （解唯一故为极大似然估计量） （2） ∑ ∏=-- =-+-=== n i i θn n n i i x θθn θL x x x θ x f θL 1 1 212 1 ln )1()ln(2)(ln ,) ()()( ∑∑ ====+?-=n i i n i i x n θx θ θn θd θL d 1 2 1 ) ln (?,0ln 21 12)(ln 。(解唯一)故为极大 似然估计量。 （5）∑∑==- =-??? ? ?????? ??===∏ n i n i i i x mn x n n i i p p x m x m x X P p L 1 1 )1(}{)(11 ， ()),1ln()(ln ln )(ln 1 1 1 p x mn p x p L n i i n i i n i m x i -- ++= ∑∑∑=== 01) (ln 1 1 =--- =∑∑==p x mn p x dp p L d n i i n i i 解得 m X mn x p n i i = = ∑=2 ，（解唯一）故为极大似然估计量。 4．[四(2)] 设X 1，X 1，…，X n 是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。 第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）???>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1 211 )()()(+-=== ∏θn θn n n i i x x x c θ x f θL 第七章 参数估计 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1、解 由θ θθμθ 2 ),()(0 1===? d x xf X E ，204103)(2 221θθθ=-==X D v ，可得θ的矩估计量为X 2^ =θ，这时θθ==)(2)(^X E E ，n n X D D 5204)2()(2 2 ^ θθθ= ? ==。 3、解 由)1(2)1(2)1(2)(21θθθθμ-=-+-==X E ，得θ的矩估计量为： 3 2 62121^ =-=- =X θ。 建立关于θ的似然函数：482232)1(4)1())1(2()()(θθθθθθθ-=--=L 令014 8))1ln(4ln 8()(ln =--=?-+?=??θ θθθθθθL ， 得到θ的极大似然估计值：32^=θ 4、解：矩估计： ()1012122μθλθλθλ=?+?+?--=--， ()()()()2 2 2 2222121νθλθθλλθλθλ=--++-++--, 11A =, 23 4 B = , 故()()()( ) 22 2 ??221,3??????????222121.4 θ λθλθθλλθλθλ?--=??--++-++--=?? 解得1?,43?.8λθ?=??? ?=?? 为所求矩估计。 极大似然估计： (){}()3 3214526837,0,2,11L P X X X X X X X X θλθλθλ==========--， ()()(),ln ,3ln 2ln 3ln 1l L θλθλθλθλ==++--， ()(),33 0,1,230.1l l θλθθθλθλλλθλ??=-=???--???=-=??--?解得3?,81?.4 θλ?=????=??即为所求。 5、解 由33)1(3)1(3)(222+-=-+-+=p p p p p p X E ，所以得到p 的矩估计量为 ^ p = = 建立关于p 的似然函数：32 10)1()2 )1(3()()2)1(( )(22n n n n p p p p p p p L ---= 令0)(ln =??p p L ，求得到θ的极大似然估计值：n n n n p 222 10^++= 6、解：(1)()1 1 12 EX x x dx θθθθ+= += +? ， 由?1?2X θθ +=+得21?1X X θ-=-为θ的矩估计量。 ()()()11 1,01, ,,0,n n n i i i i x x L f x θ θθλθ==?+∏< 第七章参数估计 1.［ 一］ 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以 求总体均值卩及方差b 2的矩估计，并求样本方差 S 2。 n 2 6 (X i x) 6 10 i 1 S 2 6.86 10 6。 ln L(e ) nln(e ) n e inc (1 e ) In d 寫⑹ (1) f (x) e c e x (e 1},x c 0,其它 其中c >0为已知， e >1, e 为未知参数。 (2) f(x) 、e x e 1,0 x 1 0,其它. 其中e >0, e 为未知参数。 (5) P(X x) m p x (1 p)m x ,x 0,1,2, ,m,0 p 1, p 为未知参数。 解： （ 1) E(X) xf(x)dx c e c e x e dx e c e c e 1 e 1 e c 令 e c X e 1, 令 e 1 X X c (2) E(X) xf (x)dx e x e dx - 丄匚,令- '-e X ,We ( X )2 2.［二］设X , X ,…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律 中的未知参数的矩估计量。 得e 1 e (5) -e 1 解：（1）似然函数 n L (e ) f (人)e n c n e (x 1 x 2 i 1 X n ) mm 计) 解：U,b 2的矩估计是 X 74.002 E （X ） = mp 令 mp = X ,解得?莖 m 3.［三］求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计 量。 ln x i 0 （解唯一故为极大似然估计 量） In X i nln c i 1 ⑵ L(B ) n n _ f (X i ) e 2(X 1X 2 X n ) 0 1 ,ln L(B ) n 2~ n ln( 0) (0 1) In X i i 1 dI nL(0) n d 0 2 1 0 1 n In X i 0, i 1 ? （n In x i ）2 0 （解唯一）故为极大似然 估 2.一 0 计量。 n m m n X i n mn 召 (5) L(p) P{X X i } p i1 (1 p) i1 , i - 1 X 1 X n n n n In L(p) In m X i x i In p (mn X i )l n(1 p), i 1 i 1 i 1 i 1 n mn x i i 1 0 1 p n X i d In L(p) i 1_ dp p n Xi - 解得 p q — —,（解唯一）故为极大似然估计量。 mn m 4.［四（2）］设X , X,…，X.是来自参数为入的泊松分布总体的一个样本，试求入 的极大似然估计量及矩估计量。 解：（1）矩估计 X ~ n 入）,E （ X ）=入，故*= X 为矩估计量。 （2）极大似然估计L （入） n P(X i ；入) 1 n X i *1 X 1 !X 2! X e n *, In L(入) i X i In In X i ! d In L(入) d 入 n X i i 1 入 0 ,解得* X 为极大似然估计 量。 概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ??? ????=n n n n o S 1001, ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6， （2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC ) 第五章 大数定律及中心极限定理 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1、 解（1）由于{0}1P X ≥=，且()36E X =，利用马尔科夫不等式，得 () {50}0.7250 E X P X ≥≤ = （2）2 ()2D X =，()36E X =，利用切比雪夫不等式，所求的概率为： 223 {3240}1(364)10.75164 P X P X <<=--≥≥-== 2、解：()500,0.1i X B :， 500500121 1500111610%5%192.8%5000.05125i i i i D X P X ==?? ???? ?-<≥-==???? ∑∑ 3、 解 ξ服从参数为的几何分布，1 1(),(2,3,4)2n P n n ξ-?? === ? ?? L 可求出2 ()()3,()2n E nP n D ξξξ∞ == ===∑ 于是令 ()2 a b E ξ+=，2b a ε-=，利用切比雪夫不等式，得 有2 () ()1(())175%D P a b P E ξξξξεε <<=--≥≥-= 从而可以求出()3()3a E b E εξεξε==-=-=+=+4、解：()()()() ()() () 1,,n n n X n n n x F x P X x P X x X x F x a =≤=≤≤==L ，()0,x a ∈。 则() ()()() ()1 1 n n n X n nx p x n F x p x a --==，()0,x a ∈。 ()()10 1 n n a X n nx n E x x dx a a n -=?=+? ， ()()()() 2 12 22 121n n a X n nx n n D x x dx a a a n n n -??=?-= ?+??++? 。 第三章 多维随机变量及其分布 1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X ，Y 如下： ???? ?= 若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品,1, ,0X ???? ?= 若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品,1, ,0Y 试分别就（1）（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律。 解：（1）放回抽样情况 由于每次取物是独立的。由独立性定义知。 P (X=i , Y=j )=P (X=i )P (Y=j ) P (X=0, Y=0 )=3625 12101210=? P (X=0, Y=1 )=3651221210=? P (X=1, Y=0 )=3651210122=? P (X=1, Y=1 )= 36 1122122=? 或写成 （2）不放回抽样的情况 P {X=0, Y=0 }=66451191210=? P {X=0, Y=1 }= 66 101121210=? P {X=1, Y=0 }=66101110122=? P {X=1, Y=1 }= 66 1111122=? 或写成 3.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表，Y 的联合分布律。 解：（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }= 35147 2 222= C C C P {X=1, Y=1 }= 3564 722 1213= C C C C P {X=1, Y=2 }=35 64 712 2213= C C C C P {X=2, Y=0 }=35347 2223= C C C P {X=2, Y=1 }= 35 124 7 12 1223= C C C C 概率论与数理统计习题答案 完全版 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ? ??????=n n n n o S 1001 , ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6， （2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )+ P (ABC )= 8 508143=+- 8.[五] 在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26 第六章 统计量与抽样分布 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1、解：易知的X 期望为μ，方差为2n σ ，则()0,1X N μσ-:近似地 ， 所以，( ) (0.10.10.909X P X P μσ μσσ σ? ? - ? -<=<≈Φ= ? ? ??? 。 2、解 （1）由题意得： 2 2 2 2211111 ()()()()n n i i i i E X D X E X D X E X n n n σμ==??=+=+=+ ???∑∑ ()2211111111 ()()n n i i i i E X X E X X E X X n n n σμ==?=?==+∑∑ （2）1X X -服从正态分布，其中： 1()0E X X -=，22 1122111()( )()()n n n D X X D X D X n n n σ----=+= 从而 2 11~(0,)n X X N n σ-- 由于 ~(0,1)i X N μ σ -，1,2,i n =L ，且相互独立，因此： () ()2 22 1 ~n i i X n μχσ =-∑ ~(0,1)X N μ-，所以()()2 22 ~1n X μχσ - 由于 ()2 22 (1)~1n S n χσ --，所以 () () ()2 2 2 2 22 (1)/~1,1(1)n X n X n S F n n S μ μσσ---=-- （3）由于 () 2 /2 2 1 ~(/2)n i i X n μχσ=-∑ ，以及 () 2 2 1/2 ~(/2)n i i n X n μχσ=+-∑ ，因此有： 第八章 假设检验 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1 、解 由题意知： ~(0,1)/X N n μ σ- （1）对参数μ提出假设： 0: 2.3H μ≤， 1: 2.3H μ> （2）当0H 为真时，检验统计量 2.3 ~(0,1)0.29/35 X N -，又样本实测得 2.4x =，于 是 002.4 2.3( )( 2.04)1(2.04)0.0207/0.29/35/H H X X P P P n n μμ σσ----=≥=≥=-Φ= （3）由（2）知，犯第I 类错误的概率为0.0207 （4）如果0.05α=时，经查表得 1.645z α=，于是 2.3 2.3{ }{ 1.645}/0.29/35 X X W z W n ασ-->=> （5）是。 2、 14.5515x =<故将希望得到支持的假设“15μ>”作为原假设，即考虑假设问题 0H ： 15μ≥，1H ：15μ< 因2 σ未知，取检验统计量为0 /X T S n μ-= ，由样本资料10n =，14.55x =， 1.2445s =和015μ=代入得观察值0 1.2857t =-，拒绝域为 ()0 0.059/X W T t S n μ??-==≤-?? ??，查分布表得()0.059 1.8331t =，()00.059t t >- 故接受原假设0H ，即认为该广告是真实的。 3、 解（1）由题意得，检验统计量1 /X Z n σ-= ，其拒绝域为 1 {}{ 1.66}/X W Z z W X n ασ-== ≥=≥ 当2μ=时，犯第II 类错误的概率为： 0021.662 {|}{ 1.66|2}P{ }=0.198//X P H H P X n n βμσσ--==≤==≤接受是错误的 （2） 2 22 (n 1)S ~(n 1)χσ --，当2σ未知时，检验统计量224S ，其拒绝域为： 2221W {24S (24)}{S 0.577}αχ-=<=< 当21.25σ=时，检验犯第I 类错误的概率为： 22 2 0024S 240.577 {|}{S 0.577| 1.25}P{}=0.012 1.251.25 P H H P ασ?==<==<拒绝是正确的 4、 (1)提出假设0H ：3000μ=，1H ：3000μ≠ 建立检验统计量0 /X T S n μ-= ，其中03000μ= 在显著水平0.05α=下，检验的拒绝域为 ()0 0.0257 2.3646/X W T t S n μ??-==≥=?? ??，由样本资料得观察值()00.0252958.753000 2.97271348.4375/8 t t -= =>，故有显著差异。 (2)μ的95%的置信区间为()()/2/21,1S S X t n X t n n n αα??- -+- ?? ? ，由样本资料得μ的95%的置信区间为()2925.93,2991.57 (3)(){}(){} 02127 2.9720.0207P P t n t P t =-≥=≥=。 5、 解 （1） ~(1)S /X t n n μ --。由题意得，样本测得的值为167.2x =， 4.1s =，100n =，经查表得()/299 1.984t α=，于是均值μ的95%的置信区间为： ()()/2/2(99s /,99s /)(166.4,168.0)x t n x t n αα+-= 第三章 多维随机变量及其分布 1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X ，Y 如下： ???? ?=ο若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品,1, ,0X ???? ?=ο 若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品,1, ,0Y 试分别就（1）（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律。 解：（1）放回抽样情况 由于每次取物是独立的。由独立性定义知。 P (X=i , Y=j )=P (X=i )P (Y=j ) P (X=0, Y=0 )=3625 12101210=? P (X=0, Y=1 )=3651221210=? P (X=1, Y=0 )=3651210122=? P (X=1, Y=1 )= 36 1122122=? 或写成 （2）不放回抽样的情况 P {X=0, Y=0 }=66451191210=? P {X=0, Y=1 }= 66 101121210=? P {X=1, Y=0 }=66101110122=? P {X=1, Y=1 }= 66 1111122=? 或写成 3.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表，Y 的联合分布律。 解：（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }= 35147 2 222= C C C P {X=1, Y=1 }= 3564 722 1213= C C C C P {X=1, Y=2 }=35 64 712 2213= C C C C P {X=2, Y=0 }=35347 2223= C C C P {X=2, Y=1 }= 35 124 7 12 1223= C C C C 概率论与数理统计浙大四版习题答案第七 章 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢62 第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知 参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,) 1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1） X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== = +-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令，得 c X X θ-= （2） ,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 第七章 参数估计 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1、解 由θ θθμθ 2 ),()(0 1===? d x xf X E ，204103)(2 221θθθ=-==X D v ，可得θ的矩估计量为X 2^ =θ，这时θθ==)(2)(^X E E ，n n X D D 5204)2()(2 2 ^ θθθ= ? ==。 3、解 由)1(2)1(2)1(2)(21θθθθμ-=-+-==X E ，得θ的矩估计量为： 3 2 62121^ =-=- =X θ。 建立关于θ的似然函数：482232)1(4)1())1(2()()(θθθθθθθ-=--=L 令014 8))1ln(4ln 8()(ln =--=?-+?=??θ θθθθθθL ， 得到θ的极大似然估计值：32^=θ 4、解：矩估计： ()1012122μθλθλθλ=?+?+?--=--， ()()()()2 2 2 2222121νθλθθλλθλθλ=--++-++--, 11A =, 23 4 B = , 故()()()( ) 22 2 ??221,3??????????222121.4 θ λθλθθλλθλθλ?--=??--++-++--=?? 解得1?,43?.8λθ?=??? ?=?? 为所求矩估计。 极大似然估计： (){}()3 3214526837,0,2,11L P X X X X X X X X θλθλθλ==========--， ()()(),ln ,3ln 2ln 3ln 1l L θλθλθλθλ==++--， ()(),33 0,1,230.1l l θλθθθλθλλλθλ??=-=???--???=-=??--?解得3?,81?.4 θλ?=????=??即为所求。 5、解 由33)1(3)1(3)(222+-=-+-+=p p p p p p X E ，所以得到p 的矩估计量为 ^ p = = 建立关于p 的似然函数：32 10)1()2 )1(3()()2)1(( )(22n n n n p p p p p p p L ---= 令0)(ln =??p p L ，求得到θ的极大似然估计值：n n n n p 222 10^++= 6、解：(1)()1 1 12 EX x x dx θθθθ+= += +? ， 由?1?2X θθ +=+得21?1X X θ-=-为θ的矩估计量。 ()()()11 1,01, ,,0,n n n i i i i x x L f x θ θθλθ==?+∏< 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 第七章数理统计习题__偶数.doc 4解：矩估计： ()1012122μθλθλθλ=?+?+?--=--， ()()()()2 2 2 2222121νθλθθλλθλθλ=--++-++--, 11A =, 234 B = , 故() () ()( ) 2 2 2 ??221,3?? ????????222121. 4 θλ θλθθλ λ θλθλ? --=?? --++-++--=?? 解得1?, 43?. 8 λθ?=?? ? ?=?? 为所求矩估计。 极大似然估计： (){}()3 3 2 14526837,0,2,11L P X X X X X X X X θλθλ θλ==========--， ()()(),ln ,3ln 2ln 3ln 1l L θλθλθλθλ==++--， ()(),33 0,1,230.1l l θλθθθλθλλλθλ??=-=? ??--???=-=??--?解得3?,8 1?.4 θλ?=????=??即为所求。 6解：(1)()10 112 E X x x dx θ θθθ+= += +? ， 由 ?1 ?2 X θθ+=+得21 ?1X X θ-=-为θ的矩估计量。 ()()()1 1 1, 01,,,0,n n n i i i i x x L f x θ θθλθ==?+∏< ()()()1 ln 1ln , 01,,ln ,0,n i i n x x l L θθθλθλ=? ++<
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