①)()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像绕y 轴翻折180°(整体翻折)
(对三角函数来说:图像关于x 轴对称)
②)()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像绕x 轴翻折180°(整体翻折)
(对三角函数来说:图像关于y 轴对称)
③)()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像在y 轴右侧保留,并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧(偶函数局部翻折)
④)()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像,x 轴下方图像绕x 轴翻折上去(局部翻动) 5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。
(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos 2
θ+sin 2
θ=tanx ·cotx=tan45°等。
(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2
x ;配凑角:α=(α+β)-β,β=
2
β
α+-
2
β
α-等。
(3)降次与升次。(4)化弦(切)法。
(4)引入辅助角。asin θ+bcos θ=2
2
b a +sin(θ+?),这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定,?角的值由tan ?=
a
b
确定。
1.已知tan x =2,求sin x ,cos x 的值. 解:因为2cos sin tan ==
x
x
x ,又sin 2x +cos 2x =1, 联立得???=+=,1
cos sin cos 2sin 2
2x x x
x 解这个方程组得.
55cos 552sin ,55cos 552sin ???????-=-=??
?????==x x x x 2.求
)
330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(
----的值.
解:原式
)
30360cos()150sin()30720tan()
120360sin()30180cos()180120tan(o --+---++-=
.3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=
3.若
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x ,求sin x cos x 的值.
解:法一:因为
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x
所以sin x -cos x =2(sin x +cos x ),
得到sin x =-3cos x ,又sin 2x +cos 2x =1,联立方程组,解得
,,??
?
????=-=???????-==1010cos 10
103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?-
=103
cos sin x x 法二:因为
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x 所以sin x -cos x =2(sin x +cos x ), 所以(sin x -cos x )2=4(sin x +cos x )2, 所以1-2sin x cos x =4+8sin x cos x , 所以有?-
=10
3cos sin x x 4.求证:tan 2x ·sin 2x =tan 2x -sin 2x .
证明:法一:右边=tan 2x -sin 2x =tan 2x -(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1-cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ,问题得证. 法二:左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1-cos 2x )=tan 2x -tan 2x ·cos 2x =tan 2x -sin 2x ,问题得证. 5.求函数)6
π
2sin(
2+=x y 在区间[0,2π ]上的值域. 解:因为0≤x ≤2π,所以,6
π76π26π,π20≤+≤≤≤
x x 由正弦函数的图象, 得到],1,2
1
[)6π2sin(-∈+x
所以y ∈[-1,2]. 6.求下列函数的值域.
(1)y =sin 2x -cos x +2; (2)y =2sin x cos x -(sin x +cos x ). 解:(1)y =sin 2x -cos x +2=1-cos 2x -cos x +2=-(cos 2x +cos x )+3,
令t =cos x ,则,4
13
)21(413)21(3)(],1,1[222
++-=++-=++-=-∈t t t t y t
利用二次函数的图象得到].4
13
,
1[∈y (2)y =2sin x cos x -(sin x +cos x )=(sin x +cos x )2-1-(sin x +cos x ),令t =sin x +cos x 2=
,)4
π
sin(+x ,则
]2,2[-∈t 则,,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,4
5
[+-∈y
7.若函数y =A sin(ωx +φ)(ω>0,φ>0)的图象的一个最高点为)2,2(,它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6,0),求这个函数的一个解析式.
解:由最高点为)2,2(,得到2=A ,最高点和最低点间隔是半个周期,从而与x 轴交点的间隔是
4
1
个周期,这样求得
44
=T ,T =16,所以?=8πω
又由)28π
sin(22?+?=,得到可以取).4
π
8πsin(2.4
π+=
∴=x y ?
8.已知函数f (x )=cos 4x -2sin x cos x -sin 4x .
(Ⅰ)求f (x )的最小正周期; (Ⅱ)若],2
π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值. 数x
x
y cos 3sin 1--=
的值域.
解:(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x -2sin x cos x -sin4x =(cos 2x -sin 2x )(cos 2x +sin 2x )-sin2x )4
π
2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x
所以最小正周期为π.
(Ⅱ)若]2π,0[∈x ,则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ,所以当x =0时,f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8
π
3=x 时,
f (x )取最小值为.2- 1. 已知2tan =θ
,求(1)θ
θθ
θsin cos sin cos -+;(2)θθθθ2
2cos 2cos .sin sin +-的值.
解:(1)2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-
+
=
++θθθ
θθθθθθ; (2) θ
+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ22222
2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin
3
2
4122221cos sin 2cos sin cos sin 222-=
++-=+θ
θ+θθ
-θθ=. 说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过
程简化。
2. 求函数2
1sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。
解:设sin cos )[4
π
t x x x =+=
+∈,则原函数可化为
2213
1()24
y t t t =++=++
,因为[t ∈,所以
当t =
max 3y =,当12t =-时,min 3
4
y =,
所以,函数的值域为3
[34
y ∈+,。
3.已知函数2
()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈,。
(1)求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合;
(2)证明:函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-
对称。 解:22()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--
2sin 22cos 2)4
πx x x =-=- (1)所以()f x 的最小正周期T π=,因为x R ∈,
所以,当2242ππx k π-=+,即38
π
x k π=+时,()f x 最大值为 (2)证明:欲证明函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称,只要证明对任意x R ∈,有
()()88
ππf x f x --=-+成立,
因为())]2)28842ππππ
f x x x x --=---=--=-,
())]2)28842ππππ
f x x x x -+=-+-=-+=-,
所以()()88ππf x f x --=-+成立,从而函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称。
4. 已知函数y=
21cos 2
x+2
3sinx ·cosx+1 (x ∈R ), (1)当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合;
(2)该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?
解:(1)y=
21cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2
x -1)+ 41+43(2sinx ·cosx )+1 =41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+45 =21sin(2x+6π)+4
5 所以y 取最大值时,只需2x+6π=2π+2k π,(k ∈Z ),即 x=6
π
+k π,(k ∈Z )。
所以当函数y 取最大值时,自变量x 的集合为{x|x=6
π
+k π,k ∈Z} (2)将函数y=sinx 依次进行如下变换:
(i )把函数y=sinx 的图像向左平移6π,得到函数y=sin(x+6
π
)的图像; (ii )把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+6π
)的图像;
(iii )把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍(横坐标不变),得到函数y=21sin(2x+6
π
)的
图像;
(iv )把得到的图像向上平移
45个单位长度,得到函数y=21sin(2x+6π)+4
5
的图像。
综上得到y=
21cos 2
x+2
3sinxcosx+1的图像。 历年高考综合题
一,选择题
1.(08全国一6)2(sin cos )1y x x =--是 ( ) A .最小正周期为2π的偶函数 B .最小正周期为2π的奇函数 C .最小正周期为π的偶函数
D .最小正周期为π的奇函数
2.(08全国一9)为得到函数πcos 3y x ??
=+
??
?
的图象,只需将函数sin y x =的图像( ) A .向左平移
π
6个长度单位 B .向右平移
π
6个长度单位 C .向左平移5π
6
个长度单位
D .向右平移5π
6
个长度单位
3.(08全国二1)若sin 0α<且tan 0α>是,则α是 ( ) A .第一象限角
B . 第二象限角
C . 第三象限角
D . 第四象限角
4.(08全国二10).函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 ( ) A .1 B . 2 C .3 D .2
5.(08安徽卷8)函数sin(2)3
y x π
=+图像的对称轴方程可能是 ( )
A .6
x π
=-
B .12
x π
=-
C .6
x π
=
D .12
x π
=
6.(08福建卷7)函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移
2
π
个单位后,得到函数y=g(x )的图象,则g(x )的解析式为 ( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x
7.(08广东卷5)已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈,则()f x 是 ( )
A 、最小正周期为π的奇函数
B 、最小正周期为
2π
的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2
π
的偶函数
8.(08海南卷11)函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 ( )
A. -3,1
B. -2,2
C. -3,
32
D. -2,
32
9.(08湖北卷7)将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3
π
个单位长度得到图象F ′,若F ′的一条对称轴是直线,1
x π
=
则θ的一个可能取值是 ( )
A.
512π B.512π- C.1112
π D.1112π-
10.(08江西卷6)函数sin ()sin 2sin
2
x
f x x
x =+是 ( )
A .以4π为周期的偶函数
B .以2π为周期的奇函数
C .以2π为周期的偶函数
D .以4π为周期的奇函数
11.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ,两点,则MN 的最大值为 ( ) A .1
B
C
D .2
12.(08山东卷10
)已知πcos sin 6αα??-
+= ??
?7πsin 6α?
?+ ???
的值是( )
A
. B
C .45-
D .45
13.(08陕西卷1)sin 330?等于 ( ) A
.2
-
B .12-
C .12
D
.
2
14.(08四川卷4)()2
tan cot cos x x x += ( ) A.tan x B.sin x C.cos x D.cot x 15.(08天津卷6)把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3
π
个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是 ( ) A .sin 23y x x π??
=-
∈ ???
R , B .sin 26x y x π??
=+∈
??
?R , C .sin 23y x x π??
=+
∈ ???
R , D .sin 23y x x 2π??
=+
∈ ??
?
R , 16.(08天津卷9)设5sin 7a π=,2cos 7b π=,2tan 7
c π
=,则 ( ) A .a b c <<
B .a c b <<
C .b c a <<
D .b a c <<
17.(08浙江卷2)函数2
(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 ( ) A.
2
π B .π C.32π
D.2π
18.(08浙江卷7)在同一平面直角坐标系中,函数])20[)(232cos(
ππ,∈+=x x y 的图象和直线2
1=y 的交点个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 二,填空题
19.(08北京卷9)若角α的终边经过点(12)P -,,则tan 2α的值为 . 20.(08江苏卷1)()cos 6f x x πω?
?
=-
??
?
的最小正周期为
5
π
,其中0ω>,则ω= . 21.(08辽宁卷16)设02x π??
∈ ???
,,则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 .
22.(08浙江卷12)若3
sin(
)25
π
θ+=,则cos 2θ=_________。 23.(08上海卷6)函数f (x )=3sin x +sin(π
2+x )的最大值是
三,解答题
24. (08四川卷17)求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。
25. (08北京卷15)已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω?
?
=+
??
?
(0ω>)
的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求函数()f x 在区间2π03??????
,上的取值范围.
26. (08天津卷17)已知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=(,0x R ω∈>)的最小值正周期是
2
π
. (Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)求函数()f x 的最大值,并且求使()f x 取得最大值的x 的集合.
27. (08安徽卷17)已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+ (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域
28. (08陕西卷17)已知函数2()2sin
cos 444
x x x
f x =-.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期及最值;
(Ⅱ)令π()3g x f x ??
=+
??
?
,判断函数()g x 的奇偶性,并说明理由. 1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A 11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C 19.
34 20. 10 21.3 22. 25
7- 23.2 24. 解:2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-
()2272sin 24cos 1cos x x x =-+-
2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+ ()2
1sin 26x =-+
由于函数()216z u =-+在[]11-,中的最大值为
()2
max 11610z =--+= 最小值为
()2
min 1166z =-+=
故当sin 21x =-时y 取得最大值10,当sin 21x =时y 取得最小值6
【点评】:此题重点考察三角函数基本公式的变形,配方法,符合函数的值域及最值; 【突破】:利用倍角公式降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关键;
25. 解:(Ⅰ)1cos 2()22x f x x ωω-=
11
2cos 222
x x ωω=-+
π1sin 262x ω?
?=-+ ??
?.
因为函数()f x 的最小正周期为π,且0ω>, 所以
2π
π2ω
=,解得1ω=. (Ⅱ)由(Ⅰ)得π1()sin 262
f x x ??=-+ ??
?. 因为2π03
x ≤≤
,
所以ππ7π2666
x --≤≤, 所以1πsin 2126x ??-
- ??
?≤≤, 因此π130sin 2622x ?
?-+ ??
?≤≤,即()f x 的取值范围为302??
????
,. 26. 解:
()2
42sin 22
4sin 2cos 4cos 2sin 22
2cos 2sin 12sin 2
2cos 12+??? ?
?
+=+??? ??
+=++=+++?
=πωπωπωωωωωx x x x x x x
x f 由题设,函数()x f 的最小正周期是2
π,可得
222π
ωπ=,所以2=ω. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,()244sin 2+??? ??
+=
πx x f .
当ππ
π
k x 22
4
4+=
+
,即()Z k k x ∈+
=
216ππ
时,??? ?
?+44sin πx 取得最大值1,所以函数()x f 的最大值是22+
,此时x 的集合为?
??
???∈+=Z k k x x ,216|ππ
27. 解:(1)()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+
1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =
++-+
221cos 22sin cos 22x x x x =
++-
1cos 22cos 22x x x =
- sin(2)6
x π
=- 2T 2
π
π=
=周期∴ (2)5[,],2[,]122636
x x ππ
πππ
∈-
∴-∈- 因为()sin(2)6
f x x π
=-
在区间[,]123ππ-
上单调递增,在区间[,]32
ππ
上单调递减,
所以 当3
x π
=
时,()f x 取最大值 1
又
1()()12
22f f π
π-
=<= ,∴当12x π=-时,()f x
取最小值所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ
-
上的值域为[2
- 28. 解:(Ⅰ)()f x
sin
22x x =+π2sin 23x ??=+ ???
. ()f x ∴的最小正周期2π
4π12
T =
=. 当πsin 123x ??+=-
???时,()f x 取得最小值2-;当πsin 123x ??
+= ???
时,()f x 取得最大值2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知π()2sin 23x f x ??=+
???.又π()3g x f x ?
?=+ ??
?.
∴1ππ()2sin 233g x x ????=++ ????
???π2sin 22x ??
=+ ???2cos 2x =.
()2cos 2cos ()22x x g x g x ??
-=-== ???
.
∴函数()g x 是偶函数.