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安徽省江南十校2013届高三联考数学(理)试题

2013年安徽省“江南十校”高三联考

数学(理科)参考答案

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.

(1)A . (2)D . (3)C . (4)B. (5)D .

(6)A . (7)C . (8)A . (9)B. (10)D .

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.

(11)相交. (12)π4. (13)π34. (14)2500. (15)①②④

三、解答题:本大题共6小题,共75分.

(16)(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)由题可得)3sin(4)(π-

=x x f …………………………………………………2分 3cos )3sin(4)(+-=∴x x x g π

……………………………………………………3分

3)cos 3cos (sin 2 3cos )cos 2

3sin 21(4 2+-

=+-=x x x x x x )32sin(2 π

-=x (6)

(Ⅱ)方法1:????

??-∈0,12θπx ,??????--∈-∴32,2320πθππx ………………………8分 要使函数)(x g 在??????-

0,12θπ上的最大值为2,当且仅当2320ππθ≥-, 解得1250πθ≥ ………………………………………………………………………11分

故0θ的最小值为

125π

…………………………………………………………………12分

方法2:设223222π

ππ

π

π+≤-≤-k x k ,解得)(12512Z k k x k ∈+≤≤-

ππππ 得函数)(x g 的增区间为)](125,12[Z k k k ∈+-π

ππ

π ………………………………8分

取0=k 得)(x f 的一个增区间]125,12[ππ-

,此时)(x f 的从2-增加到2 ………10分 由题可得0θ的最小值为

125π (12)

(17)(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)由题可知,所选两人为“最佳组合”的概率)1()6(1221616--==

-n n n C C C n n ………3分 则

21)1()6(12≥--n n n (4)

分 化简得0144252≤+-n n ,解得169≤≤n ,故n 的最大值为16 …………… 6分 (Ⅱ)由题意得,ξ的可能取值为0,1,2 …………………………………………7分 则,2250(2

26===C C P )ξ,116)1(21616===C C C P ξ225)2(226===C C P ξ 分

∴1225

2116

1225

0=?+?+?=ξE …………………………………………………12分

(18)(本小题满分12分) 证明:(Ⅰ)F 、E 分别是BC AD ,上的两点,1==BF AE ∴四边形ABFE 为矩形 ∴折叠后BF EF FC EF ⊥⊥,,即⊥EF 平面BFC

连接GF ?=∠∴===902,1,1EGF AB BF AE 由已知得GC EG ⊥ ⊥∴EG 平面CFG …………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知EG FC ⊥EF FC ⊥

⊥∴FC 平面ABFE

BF FC ⊥∴ ………………………………………7分

方法一:如图建系xyz F -则A (1,0,2)C (0,2,0)D (0,1,2)

设1n =()z y x ,,为平面ACD 的法向量,)2,1,0(),0,1,1(-=-=CD AD

???=+-=+-∴020z y y x 得???==z

y x y 2.则令1=z 得)1,2,2(1=n …………………9分 又)0,0,1(2=n 为平面CDEF 的法向量,

设二面角E CD A --为θ,则321442=++=

,即32c os =θ …12分

方法二:延长CD 与FE 的延长线交于P 点,过E 作DP EH ⊥垂足为H 点,

连结EH 、AH ,则EHA ∠为二面角E CD A --的平面角,

设二面角E CD A --为θ,

由DE =1,得EP =2,则EH =

52,53,1=∴=AH AE =∠∴AHE cos 32

即32cos =θ……………12分

z

y x A

B

C D E

F

G

P H G F

E D C

A

(19)(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)由题可知1)32

(='f ,解得1=a ………1分 故x x x x f ln 32

)(--=,2)

2)(1()(x x x x f --='∴,由0)(='x f 得2=x ………2分

分 于是可得:2ln 31 )2()(-==f x f 小……………………………………………………4分

解(Ⅱ))0(2

332

)(222>+-=-+='x x x ax x x a x f ………5分

由题可得方程0232=+-x ax 有两个不等的正实根,不妨设这两个根为21x x 、,并令

23)(2

+-=x ax x h 则????

?????

>=>=+>-=?020********a x x a x x a (也可以???????>>?>-->-=?0)0(0023089h a a

a ) ………………………………7分 解得8

90<

x x f ln 32)(--=,故)0(23)(23>--=x x x x x F ,)0(263)(2

>--='x x x x F …………9分 设切点为T ),(00y x ,由于点P 在函数)(x F 的图像上,

(1)当切点T 不与点)4,1(-P 重合,即当10≠x 时.

由于切线过点)4,1(-P ,则26314

02

000--=-+x x x y 所以)263)(1(423020002030---=+--x x x x x x ,

化简得013302030=-+-x x x ,即0)1(30=-x ,解得10=x (舍去)……12分

(2)当切点T 与点)4,1(-P 重合,即10=x 时.

则切线的斜率5)1(-='=F k ,于是切线方程为015=-+y x

综上所述,满足条件的切线只有一条,其方程为015=-+y x ……………13分 (注:若没有分“点T 是否与点P 重合”讨论,只要过程合理结论正确,本小题只扣1分)

(20)(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)证明:由题可知11212-++

=n n n a a 则n n n a a 21211=-+ ………………………………………………………………2分

12211=-∴-+n n n n a a

故数列{}n n a 12-是首项和公差都为1的等差数列 ………………………………4分

n a n n =∴-1212-=∴n n n a ………………………………………………………………6分 (Ⅱ)由12-=n n n a 可知,只需证:12ln ln ln 21-≥+++n n b b b ………………7分

证明:(1)当1=n 时,左边112

2=-=

a ,右边1ln ==e ,则左边≥右边; (2)当2≥n 时,由题可知n n n

b b b +=+21和0>n b ,

则n n n n b b b b ln 2ln ,121>∴>++ ……………………………………………………………10分

则1112212ln 2ln 2ln 2ln ----=>>>>n n n n n b b b b …………………………………11分

122

1)21(1221ln ln ln 121-=--=+++>+++∴-n

n n n b b b 综上所述,当+∈N n 时,原不等式成立 ………………………………………………13分 (21)(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)(1)由题可知3322=-+=m m c 双,故双曲线的焦点为

)0,3()0,3(21F F 、-

(2)设点M ),(11y x 、N ),(22y x , 设直线l :a x ty -=,代入x y 22=并整理得 0222

=--a ty y , 所以???-==+a y y t y y 222

121 ……………………………………3分 0

2 2)2)(1( )()1( ))((222222121221212121=-=++-+=++++=+++=+=?a a a

at a t a

y y at y y t y y a ty a ty y y x x ON OM 故 解得2=a ……………………………………………………………………………5分

由(1)得3=c ,所以椭圆E 的方程为14

22=+y x …………………………6分

(Ⅱ)判断结果:PB PA ⊥恒成立.................7分 证明:设P ),(00y x ,则A ),(00y x --,D )21,(00y x -

,442020=+y x …………8分 将直线AD 的方程0000)(4y x x x y y -+=

代入椭圆方程并整理得 01696)4(20202020022020=-+-+x y x x y x x y x ,. ..... ...... ..... ..... ...... ..... ..... ...... ......9分

由题可知此方程必有一根为0x -.于是解得020*******x y x y x x B ++=

, 所以2020020300020202000042)246(4y x y x y y x y x y x x y y B +-=-++= ………………………11分

所以00200020202020

00202002

030664642y x y x y x y x y x y y

x y x y k PB -=-=+-+-= ………………………………12分 故10000

-=?-=x y y x k k PB PA ,即PB PA ⊥ ………………………………………13分

解法2:判断结果:PB PA ⊥恒成立 ………………………………………………7分

证明:过点P 作直线AP 的垂线,得与椭圆的另一个交点为B ',所以,要证PB PA ⊥,只要证A 、D 、B '三点共线.

设P ),(00y x ,则A ),(00y x --, D )21,(00y x -

,442020=+y x ..................8分 将直线B P '的方程0000)(y x x y x y +--

=代入椭圆方程并整理得 04)(4)(8)4(20220202020022020=-+++-+y y x x y x x x y x ............ ...... ................10分

由题可知此方程的一根为0x ,解得20202003002020202004744)(8y x y x x x y x y x x x B ++=-++=

', 所以202002030020202003000042)474(y x y x y x y x y x x y x y y B +-=-++?-

=' …………………………11分 则

00202000203000202020200020200

20304)(822)4)(8()42(x y y x x y x y x x y x y x x y y x y x y k B A =++=+-++÷++-=' …………12分 又0

00000421

x y x x y y k AD =++-=,所以B A AD k k '=,故B D A '、、三点共线. ∴PB PA ⊥ ……………………………………………………………………………13分

解法3:判断结果:PB PA ⊥恒成立................7分

证明:设),(),(0011y x P y x B 、,则),(00y x A --,

14,1420202121=+=+y x y x ,两式相减得41202120

21-=--x x y y ,故412021************-=--=--?++=

?x x y y x x y y x x y y k k BP BA ……………………10分 又000000421x y x x y y k k AD AB =++-=

=,代入上式可得0000441y x x y k PB -=÷-= …12分 所以1)(0000

-=-=y x x y k k PB PA ,即PB PA ⊥ ………………………………………13分

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