2013年安徽省“江南十校”高三联考
数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.
(1)A . (2)D . (3)C . (4)B. (5)D .
(6)A . (7)C . (8)A . (9)B. (10)D .
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
(11)相交. (12)π4. (13)π34. (14)2500. (15)①②④
三、解答题:本大题共6小题,共75分.
(16)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由题可得)3sin(4)(π-
=x x f …………………………………………………2分 3cos )3sin(4)(+-=∴x x x g π
……………………………………………………3分
3)cos 3cos (sin 2 3cos )cos 2
3sin 21(4 2+-
=+-=x x x x x x )32sin(2 π
-=x (6)
分
(Ⅱ)方法1:????
??-∈0,12θπx ,??????--∈-∴32,2320πθππx ………………………8分 要使函数)(x g 在??????-
0,12θπ上的最大值为2,当且仅当2320ππθ≥-, 解得1250πθ≥ ………………………………………………………………………11分
故0θ的最小值为
125π
…………………………………………………………………12分
方法2:设223222π
ππ
π
π+≤-≤-k x k ,解得)(12512Z k k x k ∈+≤≤-
ππππ 得函数)(x g 的增区间为)](125,12[Z k k k ∈+-π
ππ
π ………………………………8分
取0=k 得)(x f 的一个增区间]125,12[ππ-
,此时)(x f 的从2-增加到2 ………10分 由题可得0θ的最小值为
125π (12)
分
(17)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由题可知,所选两人为“最佳组合”的概率)1()6(1221616--==
-n n n C C C n n ………3分 则
21)1()6(12≥--n n n (4)
分 化简得0144252≤+-n n ,解得169≤≤n ,故n 的最大值为16 …………… 6分 (Ⅱ)由题意得,ξ的可能取值为0,1,2 …………………………………………7分 则,2250(2
26===C C P )ξ,116)1(21616===C C C P ξ225)2(226===C C P ξ 分
∴1225
2116
1225
0=?+?+?=ξE …………………………………………………12分
(18)(本小题满分12分) 证明:(Ⅰ)F 、E 分别是BC AD ,上的两点,1==BF AE ∴四边形ABFE 为矩形 ∴折叠后BF EF FC EF ⊥⊥,,即⊥EF 平面BFC
连接GF ?=∠∴===902,1,1EGF AB BF AE 由已知得GC EG ⊥ ⊥∴EG 平面CFG …………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EG FC ⊥EF FC ⊥
⊥∴FC 平面ABFE
BF FC ⊥∴ ………………………………………7分
方法一:如图建系xyz F -则A (1,0,2)C (0,2,0)D (0,1,2)
设1n =()z y x ,,为平面ACD 的法向量,)2,1,0(),0,1,1(-=-=CD AD
???=+-=+-∴020z y y x 得???==z
y x y 2.则令1=z 得)1,2,2(1=n …………………9分 又)0,0,1(2=n 为平面CDEF 的法向量,
设二面角E CD A --为θ,则321442=++=
,即32c os =θ …12分
方法二:延长CD 与FE 的延长线交于P 点,过E 作DP EH ⊥垂足为H 点,
连结EH 、AH ,则EHA ∠为二面角E CD A --的平面角,
设二面角E CD A --为θ,
由DE =1,得EP =2,则EH =
52,53,1=∴=AH AE =∠∴AHE cos 32
即32cos =θ……………12分
z
y x A
B
C D E
F
G
P H G F
E D C
A
(19)(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)由题可知1)32
(='f ,解得1=a ………1分 故x x x x f ln 32
)(--=,2)
2)(1()(x x x x f --='∴,由0)(='x f 得2=x ………2分
分 于是可得:2ln 31 )2()(-==f x f 小……………………………………………………4分
解(Ⅱ))0(2
332
)(222>+-=-+='x x x ax x x a x f ………5分
由题可得方程0232=+-x ax 有两个不等的正实根,不妨设这两个根为21x x 、,并令
23)(2
+-=x ax x h 则????
?????
>=>=+>-=?020********a x x a x x a (也可以???????>>?>-->-=?0)0(0023089h a a
a ) ………………………………7分 解得8