弹性力学与有限元分析复习题及其答案 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1 MT -2 。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ， =2σ0MPa ，=1α6135'ο。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ， =2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ， =2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。 20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答 徐芝纶 第一章绪论 1、试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？ 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各 向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。 非均匀的各向同性体如：混凝土。 1.2 一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？ 【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性, 各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和 岩质地基不可以作为理想弹性体。 1.3五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？ 【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理 量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的 位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的 平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与 形变的关系时，它们的二次幕或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分
2-16设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q 试证q y x -==σσ 及0=xy τ能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。 证明： （1）将应力分量q y x -==σσ，0=xy τ和0==y x f f 分别代入平衡微分方程、相容方程 ???????=+??+??=+??+??00y x xy y y x y yx x x f f τ στσ （a ） 0)1())((22 22=??+??+-=+??+??）（y f x f y x y x y x μσσ （b ） 显然（a ）、（b ）是满足的 （2）对于微小的三角板dy dx A ,,都为正值，斜边上的方向余弦),cos(x n l =,),cos(y n m =,将q y x -==σσ，0=xy τ代入平面问题的应力边界条件的表达式 ?? ?? ?=+=+)()() ()(s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ （c ） 则有),cos(),cos(x n q x n x -=σ ),cos(),cos(y n q y n y -=σ 所以q x -=σ，q y -=σ。 对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。 （3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。 该题为平面应力的情况，首先，将应力分量q y x -==σσ及0=xy τ代入物理方程，得形
变分量q E x )1(-= με，q E y ) 1(-=με，0=xy γ （d ） 然后，将（d ）的变形分量代入几何方程，得 q E x u ) 1(-=??μ，q E y v )1(-=??μ，0=??+??y u x v （e ） 前而式的积分得到 )()1(1y f qx E u +-= μ，)() 1(2x f qy E v +-=μ （f ） 其中的1f 和2f 分别是y 和x 的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f ）代入（e ）的第三式得 dx x df dy y df ) ()(21=- 等式左边只是y 的函数，而等式右边只是x 的函数。因此，只可能两边都等于同一个常数ω，于是有 ω-=dy y df )(1，ω=dx x df ) (2，积分以后得01)(u y y f +-=ω，02)(v x x f +=ω 代入（f ）得位移分量 ?? ???++-=+--=v x qy E v u y qx E u ωμωμ)1()1(0 其中ω,,00v u 为表示刚体位移量的常数，须由约束条件求得。 从式（g ）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分量是正确 的解答。 2-17设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载F ，体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力x σ和切应力xy τ的表达式，并取挤压应力0=y σ，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。 解〔1〕矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为Fx x M -=)(，横 截面对z 轴（中性轴)的惯性矩为12 3 h I z =，根据材料力学公式，弯应力
【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 x y 2 h 1h b g ρo () 2h b >> h x y l /2/2 h M N F S F 1 q q 图2-17 图2-18 【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。 【解答】图2-17： 上（y =0） 左(x =0) 右（x =b ） l 0 -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件： ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件： () () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件： ()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为： 10,,0s N F F gh b M ρ==-=
由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有： ()()()222 10000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=????? ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15） l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q -/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有 /20/2/2 0/2/20 /2()()()h xy x S h h x x N h h x x h dx F dx F ydx M τσσ=-=-=-?=-??=-???=-???? ③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。 首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力： 110,x N N N N F F F q l F q l F ''=+=?=-∑ 0,0y S S S S F F F ql F ql F ''=++=?=--∑ 2 211110,'02222 A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=?=---∑ 由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故 M ' N F 'S F '
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟） 一、填空题（每小题4分） 1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D =?? 2?的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆 截面内的扭矩M 。 4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数?在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。 5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： 0,=+i j ij X σ ，)(2 1,,i j j i ij u u +=ε。 二、简述题（每小题6分） 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。 （2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数?的分离变量形式。 题二（2）图 （a ）???=++= )(),(),(222θθ??f r r cy bxy ax y x （b ）? ??=+++= )(),(),(3 3223θθ??f r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试求薄板面积的改变量S ?。
《弹性力学及有限元基础》复习思考题 ★1．对弹性体所做的基本假设? 答：连续性假设；均匀性假设；各向同性假设；弹性假设；小变形假设； ★2．用D'Alember 原理由平衡方程推导运动微分方程? 答：微元体的平衡微分方程的表达式为： 31 112111 2332 122221 23 132333 31 23000f x x x f x x x f x x x σσσσσσσσσ????+++=?????????+++=? ????????+++=? ???? 根据D'Alember 原理，将运动物体看成是静止的，将惯性力22()u t ρ?-?当作体力加到微元体上，由上式 可以直接写出弹性动力学问题的运动微分方程： 23111211 12123232 12222221 2321323333321 23()()() u f x x x t u f x x x t u f x x x t σσσρσσσρσσσρ?????+++=????????????+++=? ???????????+++=?????? ☆3．什么是应力张量? 我们说一点的应力状态是什么涵义? 答：应力张量是一点应力状态的完整描述，它有面元方向和分解方向两个方向性，共有九个分量，由于存在对称性，其独立分量只有六个。应力张量是与坐标选择无关的不变量，但其分量与坐标有关，当已知某坐标系中的九个分量时，其他坐标系中的分量均可由应力转换公式确定。 一点的应力状态是一个具有双重方向性的物理量，其中第一个是面元的方向，用其法矢量ν表示，第二个是作用在该面元上的应力矢量方向，一般用其三个分量来表示。 4．在引出 Cauchy 应力公式时， 我们假设四面体处于平衡状态， 如不处在平衡状态则如何? 答：如果不处在平衡状态，Cauchy 应力公式仍然满足，关系式的成立与是否平衡无关。 5．在什么情况下剪应力互等定律不成立? 答：无论在变形体的内部或者表面上，若存在体力偶时，剪应力互等定律不成立。 6．任意斜截面上的正应变和剪应变的意义是什么? 答：应变张量的三个对角分量x ε、y ε、z ε称为正应变，分别等于坐标轴方向三个线元的单位伸长率，伸长为正，缩短为负。应变张量的三个非对角分量xy ε、yz ε、zx ε称为剪应变，分别等于变形前沿该分量下标所示两坐标方向的、相互正交的线元在变形后的夹角减小量之半。 7．刚性位移，刚性转动，刚体位移，刚体转动有何区别? 答：（1）刚性位移：物体内任意两点间无相对位移；（2）刚性转动：应变张量为0，转动张量不为0；（3）刚体位移：运动分为变形运动和刚体运动，每点都发生相同的位移就叫作刚体位移；（4）刚体转动：用刚性
第一章绪 论 学习指导 在学习本章时，要求学生理解和掌握下面的主要内容： 1、弹性力学的研究内容，及其研究对象和研究方法，认清他们与材料力学的区别； 2、弹性力学的几个主要物理量的定义、量纲、正负方向及符号规定等，及其与材料力学相比的不同之处； 3、弹性力学的几个基本假定，及其在建立弹性力学基本方程时的应用。 §1－1弹性力学的内容 弹性体力学，简称弹性力学，弹性理论（Theory of Elasticity或Elasticity），研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。这里指出了弹性力学的研究对象是弹性体；研究的目标是变形等效应，即应力、形变和位移；而引起变形等效应的原因主要是外力作用，边界约束作用（固定约束，弹性约束，边界上的强迫位移等）以及弹性体内温度改变的作用。 首先，我们来比较几门力学的研究对象。理论力学一般不考虑物体内部的形变，把物体当成刚性体来分析其静止或运动状态。材料力学主要研究杆件，如柱体、梁和轴，在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移。结构力学研究杆系结构，如桁架、刚架或两者混合
的构架等。而弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外，还研究平面体、空间体，板和壳等。因此，弹性力学的研究对象要广泛得多。 其次，从研究方法来看，弹性力学和材料力学既有相似之外，又有一定区别。弹性力学研究问题，在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解，得出较精确的解答。而材料力学虽然也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的。例如，材料力学常引用近似的计算假设（如平面截面假设）来简化问题，使问题的求解大为简化；並在许多方面进行了近似的处理，如在梁中忽略了бy的作用，且平衡条件和边界条件也不是严格地滿足的。一般地说，由于材料力学建立的是近似理论，因此得出的是近似的解答。但是，对于细长的杆件结构而言，材料力学解答的精度是足够的，附合工程上的要求（例如误差在5%以下）。对于非杆件结构，用材料力学方法得出的解答，往往具有较大的误差。这就是为什么材料力学只研究和适用于杆件问题的原因。 弹性力学是固体力学的一个分支，实际上它也是各门固体力学的基础。因为弹性力学在区域内和边界上所考虑的一些条件，也是其他固体力学必须考虑的基本条件。弹性力学的许多基本解答，也常供其他固体力学应用或参考。 弹性力学在土木、水利、机械、航空等工程学科中占有重要的地位。这是因为，许多工程结构是非杆件形状的，须要用弹性力学方法进行分
中南大学2014年博士研究生入学考试 《弹塑性力学有限单元法》考试大纲 本考试大纲由交通运输工程学院教授委员会于2013年7月通过。 I.考试性质 弹塑性力学有限单元法是我校“载运工具运用工程”专业博士生入学考试的专业基础课，它是为我校招收本专业博士生而实施的具有选拔功能的水平考试；其目的是科学、公平、有效地测试考生掌握弹性力学、塑性力学及有限单元数值方法课程的基本知识、基本理论，以及相关理论和方法分析解决实际问题的能力；评价的标准是高等学校优秀硕士毕业生能达到的及格或及格以上水平，以保证被录取者能较好的掌握了本专业必备的基础知识。 II.考查目标 弹塑性力学有限单元法课程考试弹性力学、塑性力学及有限单元数值方法等内容，重点在检查力学基本概念与基本方法的掌握和应用，难度适中，覆盖主要章节，能区分学生优劣层次。要求考生：（1）掌握弹塑性力学的基本知识、结构有限元分析的基本方法和过程，要求学生具备使用有限元方法进行车辆结构强度分析的能力。 Ⅲ.考试形式和试卷结构 1、试卷满分及考试时间 本试卷满分为100 分，考试时间为180 分钟 2、答题方式 答题方式为闭卷，笔试。 3、试卷内容结构 弹性力学约30 % 30 有限单元法约50 % 50
塑性力学基本理论约20 % 20 Ⅳ.考查内容 1. 弹性力学 （1）掌握弹性力学问题基本方程及边界条件。 （2）掌握应力理论及变形理论、二阶张量的坐标转换； （3）掌握使用位移法和应力法求解弹性力学问题； （4）掌握使用半逆解法求解简单平面问题； 2. 有限单元法 （1）掌握有限元方法的基本概念； （2）掌握平面、空间及等参单元分析的过程 （3）掌握有限单元位移模式的选取、刚度矩阵数值积分方法；（4）掌握结构刚度矩阵性质、边界条件处理； （5）掌握薄板弯曲问题有限元分析方法； （6）掌握车辆典型结构有限元分析的步骤和处理技巧； 3. 塑性力学 （1）掌握塑性力学的基本概念； （2）掌握Tresca和Mises屈服条件； （3）掌握几种常用的弹塑性力学模型； （4）掌握应力空间和屈服曲面的概念、加载曲面和塑性流动法则；
【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向。【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。 面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。 由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负面上应力分量与面力分量符号相反。 正的应力 正的面力 【2-1】试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中(图2-14)其应力状态接近于平面应力的情况。 【解答】在不受任何面力作用的空间表面附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在薄层内所有各点都有0===z xz yz σττ，只存在平面应力分量,,x y xy σστ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数。可以认为此问题是平面应力问题。 【2-2】试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15），当板边上只受x ，y 向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平面应变的情况。 【解答】板上处处受法向约束时0z ε=，且不受切向面力作用，则 0xz yz γγ==(相应0zx zy ττ==)板边上只受x ，y 向的面力或约束，所以仅存在,,x y xy εεγ，且不沿厚度变化，仅为x ，y 的函数，故其应变状态接近于平面 应变的情况。 O z y
【2-3】在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平很条件C M 0=∑改为对角点的力矩平衡条 件，试问将导出什么形式的方程？ 【解答】将对形心的力矩平衡条件 C M 0=∑， 改为分别对四个角点A 、B 、D 、E 的平衡条件，为计算方便，在z 方向的尺寸取为单位1。 0A M =∑ 1()1()11222()1()1110 222 xy x y x xy y y yx y yx x x dx dy dy dx dx dy dx dy dx dy x x dx dy dx dy dx dy dx dy f dxdy f dxdy y y τσσστσστστ????++??-+??-?? ????-+??++??+??-??=?? (a) 0B M =∑ ()1()1()122 111110 2222 yx y x x yx y xy x y x y dy dx dx dy dy dx dy dy dx x y y dy dx dy dx dy dx dy dx f dxdy f dxdy τσσστστσσ???+ ??++??++?????-??-??-??+??+??= (b) 0D M =∑ ()111122 1()1110 2222 y y xy x yx x x x x y dx dy dy dx dy dx dy dx dy y dx dy dy dx dx dx dy f dxdy f dxdy x σστστσσσ?+ ?? -??+??+????-??-+??-??+??=? (c) 0E M =∑ ()1111222 ()1()1110 222y y x yx y xy x x xy x y dx dy dx dy dx dy dx dy dx y dy dy dx dx dy dx dy dx f dxdy f dxdy x x σσστστσστ?-+ ?? +??+??+??- ???+??-+??-??+??=?? (d) 略去(a)、(b)、(c)、(d)中的三阶小量（亦即令2 2 ,d xdy dxd y 都趋于0），并将各式都除以dxdy 后合并同类项，分别得到xy yx ττ=。 【分析】由本题可得出结论：微分体对任一点取力矩平衡得到的结果都是验证了切应力互等定理。
弹性力学简明教程（第四版） 习题解答 第一章绪论 【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？ 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。 非均匀的各向同性体如：混凝土。 【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？ 【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。 【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？ 【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形
塑性力学发展历史 塑性力学又称塑性理论，是固体力学的一个分支，它主要研究固体受力后处于塑性变形状态时，塑性变形与外力的关系，以及物体中的应力场、应变场以及有关规律，及其相应的数值分析方法。物体受到足够大外力的作用后，它的一部或全部变形会超出弹性范围而进入塑性状态，外力卸除后，变形的一部分或全部并不消失，物体不能完全恢复到原有的形态。要注意的是塑性力学考虑的永久变形只与应力和应变的历史有关，而不随时间变化，永久变形与时间有关的部分属于流变学研究的范畴。 一般将塑性力学分为数学塑性力学和应用塑性力学，其含义同将弹性力学的分为数学弹性理论和应用弹性力学是类似的。前者是经典的精确理论，后者是在前者各种假设的基础上，根据实际应用的需要，再加上一些补充的简化假设而形成的应用性很强的理论。从数学上看，应用塑性力学粗糙一些，但从应用的角度看，它的方程和计算公式比较简单，并且能满足很多结构设计的要求。 塑性力学的主要内容 从学科建立过程来看，塑性力学是以实验为基础，从实验中找出受力物体超出弹性极限后的变形规律，据以提出合理的假设和简化模型，确定应力超过弹性极限后材料的本构关系，从而建立塑性力学的基本方程。解出这些方程，便可得到不同塑性状态下物体中的应力和应变。 塑性力学的基本实验主要分两类：单向拉伸实验和静水压力实验。通过单向拉伸实验可以获得加载和卸载时的应力-应变曲线以及弹性极限和屈服极限的值；在塑性状态下，应力和应变之间的关系是非线性的且没有单值对应关系。由静水压力实验得出，静水压力只能引起金属材料的弹性变形且对材料的屈服极限影响很小（岩土材料则不同）。 为简化计算，根据实验结果，塑性力学采用的基本假设有：①材料是各向同性和连续的。 ②平均法向应力不影响材料的屈服，它只与材料的体积应变有关，且体积应变是弹性的，即静水压力状态不影响塑性变形而只产生弹性的体积变化。这个假定主要根据是著名的 Brid-gman试验。③材料的弹性性质不受塑性变形的影响。这些假设一般适用于金属材料；对于岩土材料则应考虑平均法向应力对屈服的影响。
【2-9】【解答】图2-17： 上（y =0） 左(x =0) 右（x =b ） l -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件： ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件：() () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件：()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板 厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为： 10,,0s N F F gh b M ρ==-= 由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有： ()()()22210000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=?? ??? ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15） l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q -/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力
122123 60 组建 周年60组建 周年 主要完成人：朱伯芳 受奖单位：水电中心/结构材料所 【创新性】 全面系统地阐述了有限单元法的基本原理及其在土木、水利工程问题中的应用，包括弹性力学平面问题和空间问题、薄板、薄壳、厚板、厚壳、弹性稳定、塑性力学、大位移、断裂、动力反应、徐变、岩土力学、极限分析、混凝土和钢筋混凝土、流体力学、渗流分析、热传导、工程反分析、仿真分析、网格自动生成、误差估计及自适应技术等。本书取材实用、由浅入深、先易后难，便于自学；对于实际工程中有用的计算方法力求讲述清楚并给出具体计算公式，便于应用；对有限元法的工程应用，注意工程的物理特性，要求采用的概化假定、计算参数和计算荷载等尽量接近实际，注重计算方法精度的适应性等，并重视有限元计算结果与实际观测资料相验证。【影响力】 我国最早的有限元专著之一，为在我国推广有限元法发挥了重要作用；本书共出版三版，第一版于1976年8月，第二版于1998年10月，第三版于2009 年6月；曾作为多所高校的有限元课程教材使 用；英文版已由清华大学出版社和美国Wiley 出版社联合出版；中国科学技术信息研究所编著的《中国高被引指数分析》（2011版）中，本书列为国内水利工程领域高被引图书第2名。 有限单元法原理与应用（第三版） 著作类成果 【Innovation】 This book expounds, in an all-round and systematic manner, the basic theory of the finite element method and its application to civil engineering and hydraulic engineering , including plane and space problems of elasticity, thin plate, thin shell, thick plate, thick shell, elastic stability, plasticity, large displacement, fracture, dynamic response, creep, rock and soil mechanics, limit analysis, concrete and reinforced concrete, fluid mechanics, seepage analysis, heat conduction, back analysis in engineering, simulated analysis, automatic generation of meshes, error estimation and adaptive technique. This book is learner-friendly because it contains practical content and expounds knowledge step by step and from easy to difficult; and is also easy to use because it strives to clarify the computing methods usable in actual engineering and gives corresponding formulas. Regarding the engineering application of the finite element method, it pays attention to the physical characteristics of projects, requires adopted conceptualized assumption, calculation parameter and calculation load be close enough to reality and accuracy of calculation methods be adaptive, and stresses the verification between the calculation result of the finite element method and actual observational data. 【Influence】 Amongst the earliest finite element books in China, this book plays an important role in generalizing the finite element method in China. It has registered three editions, with the first edition published in August, 1976, the second edition in October, 1998 and the third edition in June, 2009. It served as a finite element textbook of many colleges and universities; and its English version has been published jointly by Tsinghua University Press and the U.S.-based Wiley & Sons, Inc. This book ranks second amongst the highly-cited books of hydraulic engineering in China, according to the Analysis Report of Chinese Highly Cited Paper 2011 of the Institute of Scientific and Technical Information of China (ISTIC) Main Contributor : Zhu Bofang Award-winning Unit : Research Center for Sustainable Hydropower/Department of Structures and Materials THE FINITE ELEMENT METHOD THEORY AND APPLICATIONS(EDITION III)
弹性力学教材习题及解 答 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
1－1. 选择题 a. 下列材料中，D属于各向同性材料。 A. 竹材； B. 纤维增强复合材料； C. 玻璃 钢； D. 沥青。 b. 关于弹性力学的正确认识是A。 A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要； B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设； C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象； D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没 有困难的应用于工程结构分析。 c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。 A. 任务； B. 研究对象； C. 研究方法； D. 基本假设。 d. 所谓“完全弹性体”是指B。 A. 材料应力应变关系满足胡克定律； B. 材料的应力 应变关系与加载时间历史无关； C. 本构关系为非线性弹性关系； D. 应力应变关系满足 线性弹性关系。 2－1. 选择题 a.所谓“应力状态”是指B。 A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同； B. 一点不 同截面的应力随着截面方位变化而改变； C. 3个主应力作用平面相互垂直； D. 不同截 面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。 2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。已知水的比重为，试写出墙体横截面边
界AA'，AB，BB’的面力边界条件。 2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为 试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。 2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为，楔形体左侧作用比重为的液体，如图所示。试写出楔形体的边界条件。 2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为1，球体在密度为1（1＞1）的液体中漂浮，如
【3-1】为什么在主要边界（大边界）上必须满足精确的应力边界条件式（2-15），而在小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式（2-15），将会发生什么问题？ 【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要使边界条件完全得到满足，往往比较困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个积分的应力边界条件来代替精确的应力边界条件（公式2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答精度不足。 【3-2】如果在某一应力边界问题中，除了一个小边界条件，平衡微分方程和其它的应力边界条件都已满足，试证：在最后的这个小边界上，三个积分的应力边界条件必然是自然满足的，固而可以不必校核。 【解答】区域内的每一微小单元均满足平衡条件，应力边界条件实质上是边界上微分体的平衡条件，即外力（面力）与内力（应力）的平衡条件。研究对象整体的外力是满足平衡条件的，其它应力边界条件也都满足，那么在最后的这个次要边界上，三个积分的应力边界条件是自然满足的,因而可以不必校核。 【3-3】如果某一应力边界问题中有m 个主要边界和n 个小边界，试问在主要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件？ 【解答】在m 个主要边界上，每个边界应有2个精确的应力边界条件，公式（2-15），共2m 个；在n 个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则有2n 个；如果不能满足公式（2-15）的精确应力边界条件，则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替2个精确应力边界条件，共3n 个。 【3-4】试考察应力函数3 ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)? 【解答】⑴相容条件: 不论系数a 取何值，应力函数3 ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25). ⑵求应力分量 当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得 6,0,0x y xy yx ay σσττ==== ⑶考察边界条件 上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.
弹性力学及有限元试题 (一) 问答题（20分） 1、什么是圣维南原理？举例说明怎样把它应用于工程问题 的简化中。 2、什么叫做一点的应力状态？如何表示一点的应力状态（要 求具体说明或表达）。 3、何谓逆解法和半逆解法？它们的理论依据是什么？ 4、什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？分别写出弹性力学平面应力问题和平面应变问题的物理方程。 5、要保证有限元方法解答的收敛性，位移模式必须满足那些条 件？ (二) (10分) 1.利用坐标变换从直角坐标的平衡方程推导极坐标下平衡方程（无体力）。 2.利用坐标变换从直角坐标下几何方程推导极坐标下几何方程。 （三）已知，其他应力分量为零，求位移场。（10分） （四）设有矩形截面的悬臂粱，在 自由端受有集中荷载F；体力可以不
计。试根据材料力学公式，写出弯应力σx和切应力τxy的表达式，并取挤压应力σy=0，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答（10分）。 （五）设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上力偶矩为M，试求应力分量（10分）。 提示：单位厚度上的力偶矩M的量纲是LMT-2，应力只能是M/ρ2的形式，所以可假设应力函数由：Φ=Φ(φ). (六) 铅直平面内的正方形薄板，边长为2a，四边固定，图5—18，只受重力的作用。设μ=0，试取位移分量的表达式为 用瑞利—里茨法求解（15分）。
（七）试按图示网格求解结点位移，取t =1m，μ= 0（15分）。 （八）用刚度集成法求下图所示结构的整体刚度矩阵K。（10分） 要求：单元刚度矩阵元素用e k形式表示；单元刚度矩阵用e K形式表 ij 示，其中e为单元号。