2012－2013学年高三综合练习题（三）
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
1. 复数
ai
+21
（其中R a ∈）对应复平面上的点位于第一象限，则a 的取值范围为 A.)0,(-∞ B. ),0(+∞ C. ]0,(-∞ D. ),0[+∞
2.设全集R U =，集合}03
|{≤+=x
x x M ，{}
ln(2)N x y x ==-，则集合=?N M C U )( A ．}03|{<<-x x B ．}03|{≤<-x x C ．}20|{< 的是 A.命题“若1x ≠，则2 320x x -+≠”的逆否命题是假命题 B. 命题“,20x x R ?∈>”的否定是“00,20x x R ?∈≤” C. 命题“若0xy =错误！未找到引用源。，则0x =错误！未找到引用源。”的否命题为：“若 0xy =错误！未找到引用源。， 则0x ≠错误！未找到引用源。” D.“2x >”是“2 320x x -+>”的充分不必要条件 4.一个几何体三视图如右图所示，则该几何体的体积为 A. 31 B.3 2 C.1 D.2 5. 将函数)4 2cos()(π +=x x f 的图象向右平移(0)??>个单位，再将图象上每一点的横坐标缩 短到原来的 12倍，所得图象关于直线4 x π =对称，则?的最小正值为（ ） A ．4π B ．38π C ．2 π D ．85π 6.某高中举行春季运动会，现要从6个学生中选出4人参加4×100的接力赛，其中第一棒不能由 同学甲跑，第四棒必须由同学乙去跑，那么不同的参赛方法种数为 A.24 B.36 C.48 D.72 7.在区间[—2，2]上随机取一个数m ，则使直线x+y+m=0与圆2 2 1x y +=相交的概率为 A ． 41 B ．21 C ．42 D ．2 2 8. 已知平面向量α，β满足||||1αβ==，且α与βα-的夹角为120?，则|(12)|t t αβ-+()t R ∈的取值范围是 A.12???? B. 1,2?? +∞???? C. ?+∞???? D. [)1,+∞ 9.执行右面的程序框图，若输出S 的值为24，则判断框内空格处可填写 A. k >4 B. k ≥4 C. k <4 D. k ≤4 10. 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若体积较小圆锥的高与体积较大圆锥的高的比为3 1 ，则圆锥底面面积与这个球的表面积的比值为 A. 81 B. 316 C. 41 D.21 11. 已知P 是椭圆x 2 4＋y 2 3＝1上一点，F 1、F 2是该椭圆的两个焦点，若 △PF 1F 2的内切圆半径为 1 2，则△PF 1F 2的外接圆半径为 A. 43 B. 23 C. 45 D. 2 5 12.对于实数a 与b ，定义新运算“?”：. 4, 4,,+≤+>?? ?=?b a b a b a b a 设函数)()2()(22x x x x f -?-=， R x ∈，若关于x 的方程0)(=-m x f 有两个零点，则实数m 的取值范围是 A.]3,0[)1,(?--∞ B. )3,0(]1,(?--∞ C. ),3[]0,1(+∞?- D. ),3()0,1[+∞?- 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-----第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13. 已知△ABC 的三个内角为 A 、B 、C ，若B C A C A B 2 22sin sin sin sin sin 3sin 2-+?= ,则B= . 14. 已知集合220240{(,)|}00x y x y M x y x y -+≥??+-≤? =? ≥??≥? ， ，，，集合{222(,)|()()N x y x a y b r =-+-≤，0}a b r R r ∈>,,且，任给一点A ∈M ，则A ∈N 恒成立，则r 的最小值为 . 15．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个 交点为P ，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为 . 16．给出以下四个结论： ①若关于x 的方程1 0x k x -+=在(0,1)x ∈没有实数根，则k 的取值范围是)0,(-∞； ②函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且满足)1()1(+=-x f x f ，则)(x f y =在[0,4]上 至少有5个零点； ③已知A 、B 、C 为锐角△ABC 的三个内角，可能有B A cos sin <； ④ π 2 是函数|cos ||sin |)(x x x f +=，R x ∈的一个周期. 其中正确的结论是： (写出所有正确结论的序号). 三、解答题：本大题共6个小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分） 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*)(2N n a n S n n ∈=+. (1)证明：数列}1{+n a 为等比数列，并求数列}{n a 的通项公式； (2)若n n na b =，求数列}{n b 的前n 项和n T . 18.（本小题满分12分） 某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm ） 甲：20 24 25 26 29 29 30 34 36 43 乙：23 28 30 31 33 34 36 38 39 45 （1）将基地内甲、乙两块地中抽取的20株树苗放在一起分组，将下图表格填写完整并画出频率分布直方图； （2）把高度不低于30cm 的树苗定为一等品，否则为二等品，把样本的频率看做是概率，某客户从甲地中随机选取1株树苗，从乙地中随机选取2株树苗.求该客户选取的3株树苗中一等品数量的分布列及期望. 19. （本小题满分12分） 等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=AD ，?=∠60ABC ，将ADC ?沿AC 折起，使点D 到位置F ，且面FAC ⊥面ABC ，E 为BC 中点. （1）求证：EF ⊥AC ； （2）求直线EF 与平面ABF 所成角的正弦值 . 20．（本小题满分12分） 已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>，P 为椭圆上顶点，F 1、F 2为椭圆左、右焦点，△PF 1F 2是边 长为４的正三角形．过椭圆的右顶点作一条直线交抛物线24y x =于A 、B 两点，点Ｍ、Ｎ分别为OA 、OB 与椭圆的交点． （１）求椭圆的标准方程； （２）求证：?＝０； （３）求证：直线ＭＮ与圆7 48 2 2 =+y x 相切． 21. （本小题满分12分） 设函数x a x a x x f ln 1)(--+ =，函数3)(22+=x a x g ，(1>a ). （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若3>a ，若存在m ，n ∈1[,2]2 ，使得9|)()(|<-n g m f 成立，求a 的取值范围. 请考生在第22、23、24题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．做答时．用2B 铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑， 22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，AB 是⊙O 的直径,CF 是⊙O 的弦，OC ⊥AB ，过F 作⊙O 的切线交AB 的延长线于D ，连接CF 交AB 于点E. （1）求证： DE DA DB DE =; (2)若⊙O 的半径为32，OB=OE 3,求EF 的长. 23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 直角坐标系xOy 和极坐标系Ox 的原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，单位长度 相同，在直角坐标系下曲线C 的参数方程为4cos ,(2sin x y ? ?? =??=?为参数） 。 （1）在极坐标系下，曲线C 与射线4 π θ= 和射线4 π θ=- 分别交于A ，B 两点，求AOB ?的 面积； （2）在直角坐标系下，直线l 的参数方程为2, x t y t ?=-??=-??（t 为参数），求曲线C 与直线l 的 交点坐标。 24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数)(x f =2+x -x 2+a . (1)当a =0时，解不等式 0)(>x f ; (2)若存在0x ,R ∈使得0()f x 0≥成立，求实数a 的取值范围. 理科（三）参考答案 一. ADCBD CDBAB CD 二.13. 6π或3π 14. 2 5 15. y = 16. ②④ 三、解答题： 17.解：(1)由*)(2N n a n S n n ∈=+ 得 *),2(2)1(11N n n a n S n n ∈≥=-+--. 两式相减，化简得 121+=-n n a a . ………………2分 ∴ )1(211+=+-n n a a *),2(N n n ∈≥. ∵n n a n S 2=+， 令1=n ，得11=a ，那么0211≠=+a . ∴数列}1{+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列． ………………5分 ∴n n a 21=+. 即 12-=n n a . ………………6分 （2）由（1）得 n n na b ==n n n -?2，所以 n T ＝n b b b b ++++ 321＝)2()222()121(21n n n -?++-?+-? =)21()22221(21n n n +++-?++?+? ， 令=n A n n 222212 1 ?++?+? ， ① ∴=n A 21 3 2 2 2)1(2221+?+?-++?+?n n n n . ②……………10分 ①-②，化简得 =n A 22)1(1+?-+n n ， ∴ n T ＝22)1(1+?-+n n -2 ) 1(+n n .………………12分 18.解： ………………2分 ………………4分 （2）由题中样本数据：甲10株树苗中一等品有4株；乙10株树苗中一等品有8株，可知 甲地树苗一等品概率为 52104=，乙地树苗一等品概率为5 4 108=.………………5分 设客户选取的3株树苗中一等品数量为ξ, 则ξ的所有可能取值为0,1,2,3. ………………6分 ∴ P(ξ=0)=125 3 )5 41()54()52 1(2 2= -???-C ; P(ξ=1)=12526)541()54()521()541()54(52111 22002=-???-+-???C C ; P(ξ=2)=12564)541()54()521()541()54(52022 21112=-???-+-???C C ; P(ξ=3)=125 32)541()54(52022 2=-???C . 所以ξ的分布列为 ………………10分 ∴E ξ=0× 1253+1×12526+2×12564+3×125 32＝2. ………………12分 19.解：（1）设AC 中点H ，连接EH 、FH ， 在等腰梯形ABCD 中，?=∠60ABC ，且AB DC AD ==. ?=∠=∠∴120ADC BAD . ?=∠∴30DAC . ?=∠∴90BAC . ∵E 、H 分别为BC 、AC 的中点， ∴EH ∥AB. ∴EH ⊥AC. 又∵FH ⊥AC. ∴AC ⊥面EFH. ∴EF ⊥AC. ………………6分 （2）以H 为原点坐标，HE 为x 轴，HC 为y 轴，HF 为z 轴建立空间直角坐标系. 设AB=AF=2a ， ∴A )0,3,0(a -，B )0,3,2(a a -，E )0,0,(a ，F ),0,0(a . ∴=)0,0,2(a ，=),3,0(a a ，=),0,(a a -. 设平面ABF 的一个法向量为=)(z y x ,, . 则有?????=?=?. 0,0AB n ∴???=+=.03,02az ay ax ∴???-==.3,0y z x ∴取y=1,则=)3,1,0(-. 设直线EF 与平面ABF 所成角为θ，则 θsin =|><,cos = 4 6 . 即直线EF 与平面ABF 所成角的正弦值为4 6 .………………12分 20. 解：（1）由题意可得： 12||82PF PF a +==，| F 1F 2|=2c=4， 所以 a=4，c=2，故122 2 2 =-=c a b ． 所以，所求椭圆的标准方程为 112 162 2=+y x ． ………………3分 （2）由题意知，直线AB 斜率不能为0，所以可设过椭圆的右顶点()0,4的直线AB 的方程为 4+=my x ． 由?????+==+4 1121622m y x y x 得24160y my --=． 设()11,y x A ，()22,y x B ，则???-==+.16,42 121y y m y y ∴?=),(),(2211y x y x ?=()()1212121244x x y y my my y y +=+++ ＝() ()2 12121416m y y m y y ++++＝0． ∴结论得证. ………………7分 （3）由题意可设直线MN 的方程为n ty x +=． 由?????+==+n ty x y x 1121622得() 0483643222=-+++n tny y t ．………………9分 设()33,y x M ，()44,y x N ，于是4348 3,4362 243243+-=+-=+t n y y t tn y y ． 从而,()()4348422 24343+-=++=t t n n ty n ty x x . ON OM ⊥ ，04343=+∴y y x x ． 代入，整理得( ) 14872 2 +=t n ． ∴原点到直线MN 的距离7 21 41||2 = += t n d .………………11分 由于圆7482 2= +y x 的半径为7 214. 所以直线MN 与圆7 48 2 2 = +y x 相切. ………………12分 21. 解： （1）由题易知函数)(x f 的定义域为),0(+∞. ………………1分 2222 1(1)(1)[(1)] ()1a a x ax a x x a f x x x x x -------'=--==． …………… 2分 令()0f x '=，则11=x ，12-=a x ． ① 当110<- 解0)(' 解0)('