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第12讲二次函数与四边形的综合 1 教案

第12讲二次函数与四边形的综合 1   教案
第12讲二次函数与四边形的综合 1   教案

二次函数与四边形的综合(讲义)

例1、如图,抛物线经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点.

(1)求抛物线的解析式.

(2)点M是直线BC上方抛物线上的点(不与B,C重合),过点M作MN∥y轴交线段BC于点N,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示MN的长.

(3)在(2)的条件下,连接MB,MC,是否存在点M,使四边形OBMC的面积大?

若存在,求出点M的坐标及四边形OBMC的最大面积;若不存在,请说明理由?

例2.如图,抛物线223

=--与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物

y x x

线交于A、C 两点,其中C点的横坐标为2.

(1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式;

(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;

(3)点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.

A

例3.如图,对称轴为直线

7

2

x=的抛物线经过A(6,0)和B(0,4)。

(1)求抛物线解析式及顶点坐标;

(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;

①当平行四边形OEAF的面积为24时,请判断平行四边形OEAF是否为菱形?

②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

例4.如图,已知抛物线P :y=ax 2+bx+c(a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半 轴上,与y 轴交于点C ,矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上,顶点F 、G 分别在线段 BC 、AC 上,抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下:

(1) 求A 、B 、C 三点的坐标;

(2) 若点D 的坐标为(m ,0),矩形DEFG 的面积为S ,求S 与m 的函数关系,并指出m 的 取值范围;

(3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时,连接DF 并延长至点M ,使FM=k ·DF ,若点M 不在抛物线P 上,求 k 的取值范围.

例5、四边形OABC为直角梯形,A(4,0),B(3,4),C(0,4).点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动;点N从B同时出发,以每秒1个单位长度的速度向C运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点N作NP垂直x轴于点P,连结AC交NP于Q,连结MQ.

(1)点(填M或N)能到达终点;

(2)求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式,并写出变量t的取值范围,当t为何值时,S的值最大;

(3)是否存在点M,使得△AQM为直角三角形?若存在,求出点M的坐标,若不存在,说明理由.

例6. 如图,二次函数x x y 3

1

322— 的图象经过△AOB 的三个顶点,其中A(-1,m ),B(n,n ) .

(1)求A 、B 的坐标;

(2)在坐标平面上找点C ,使以A 、O 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形. ①这样的点C 有几个?

二次函数与特殊四边形综合问题专题训练(有答案)

二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练 一、知识准备: 抛物线与直线形的结合表形式之一是,以抛物线为载体,探讨是否存在一些点,使其能构成某些特殊四边形,有以下常风的基本形式 (1)抛物线上的点能否构成平行四边形 (2)抛物线上的点能否构成矩形,菱形,正方形 特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础,而待定系数法,数形结合,分类讨论是解决这类问题的关键。 二、例题精析 ㈠【抛物线上的点能否构成平行四边形】 例一、(2013河南)如图,抛物线2 y x bx c =-++与直线 1 2 2 y x =+交于,C D两点,其 中点C在y轴上,点D的坐标为 7 (3,) 2 。点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作 PE x ⊥轴于点E,交CD于点F. (1)求抛物线的解析式; (2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以,,, O C P F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由。 【解答】(1)∵直线 1 2 2 y x =+经过点C,∴(0,2) C ∵抛物线2 y x bx c =-++经过点(0,2) C,D 7 (3,) 2

∴22727 332 2c b b c c =?? =? ?∴??=-++??=?? ∴抛物线的解析式为2 7 22 y x x =-++ (2)∵点P 的横坐标为m 且在抛物线上 ∴2 71 (,2),(,2)22 P m m m F m m -+ ++ ∵PF ∥CO ,∴当PF CO =时,以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形 ① 当03m <<时,2 271 2(2)322 PF m m m m m =-+ +-+=-+ ∴2 32m m -+=,解得:121,2m m == 即当1m =或2时,四边形OCPF 是平行四边形 ② 当3m ≥时,2 217 (2)(2)32 2 PF m m m m m =+--+ +=- 232m m -= ,解得:123322 m m += =(舍去) 即当132 m += 时,四边形OCFP 是平行四边形 练习1:(2013?盘锦)如图,抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴相交于点A (﹣1,0)、B (3,0), 与y 轴相交于点C ,点P 为线段OB 上的动点(不与O 、B 重合),过点P 垂直于x 轴的直线与抛物线及线段BC 分别交于点E 、F ,点D 在y 轴正半轴上,OD=2,连接DE 、OF . (1)求抛物线的解析式; (2)当四边形ODEF 是平行四边形时,求点P 的坐标;

二次函数中考平行四边形含答案

二次函数(平行四边形) 1.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=(x﹣m)2﹣m2+m的顶点为A,与y轴的交点为B,连结AB,AC⊥AB,交y轴于点C,延长CA到点D,使AD=AC,连结BD.作AE∥x轴,DE∥y轴.(1)当m=2时,求点B的坐标; (2)求DE的长? (3)①设点D的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式?②过点D作AB的平行线,与第(3)①题确定的函数图象的另一个交点为P,当m为何值时,以,A,B,D,P为顶点的四边形是平行四边形? 解答:解:(1)当m=2时,y=(x﹣2)2+1, 把x=0代入y=(x﹣2)2+1,得:y=2, ∴点B的坐标为(0,2). (2)延长EA,交y轴于点F, ∵AD=AC,∠AFC=∠AED=90°,∠CAF=∠DAE, ∴△AFC≌△AED, ∴AF=AE, ∵点A(m,﹣m2+m),点B(0,m), ∴AF=AE=|m|,BF=m﹣(﹣m2+m)=m2, ∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE,∠AFB=∠DEA=90°, ∴△ABF∽△DAE, ∴=,即:=, ∴DE=4. (3)①∵点A的坐标为(m,﹣m2+m), ∴点D的坐标为(2m,﹣m2+m+4), ∴x=2m,y=﹣m2+m+4, ∴y=﹣?++4, ∴所求函数的解析式为:y=﹣x2+x+4, ②作PQ⊥DE于点Q,则△DPQ≌△BAF,

(Ⅰ)当四边形ABDP为平行四边形时(如图1), 点P的横坐标为3m, 点P的纵坐标为:(﹣m2+m+4)﹣(m2)=﹣m2+m+4, 把P(3m,﹣m2+m+4)的坐标代入y=﹣x2+x+4得: ﹣m2+m+4=﹣×(3m)2+×(3m)+4, 解得:m=0(此时A,B,D,P在同一直线上,舍去)或m=8.(Ⅱ)当四边形ABDP为平行四边形时(如图2), 点P的横坐标为m, 点P的纵坐标为:(﹣m2+m+4)+(m2)=m+4, 把P(m,m+4)的坐标代入y=﹣x2+x+4得: m+4=﹣m2+m+4, 解得:m=0(此时A,B,D,P在同一直线上,舍去)或m=﹣8,综上所述:m的值为8或﹣8.

初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数教案

初中数学人教版九年级上册实用资料 第二十二章二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数 1.结合具体情境体会二次函数的意义,理解二次函数的有关概念. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 阅读教材第28至29页,理解二次函数的概念及意义. 自学反馈 学生独立完成后集体订正: 1.一般地,形如________________(a,b,c是常数,且a≠0)的函数叫做二次函数,其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为________. 2.现在我们已学过的函数有________、________,它们的表达式分别是____________________、____________________. 3.下列函数中,不是二次函数的是() A.y=1-2x2B.y=(x-1)2-1 C.y=1 2(x+1)(x-1) D.y=(x-2) 2-x2 4.二次函数y=x2+4x中,二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____. 5.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与半径r之间的关系式. 6.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式. 判断二次函数关系要紧扣定义. 活动1小组讨论 例1若y=(b-1)x2+3是二次函数,则b≠1. 二次项系数不为0. 例2一个正方形的边长是12 cm,若从中挖去一个长为2x cm,宽为(x+1)cm的小矩形,剩余

部分的面积为y cm2. (1)写出y与x之间的关系式,并指出y是x的什么函数? (2)当小矩形中x的值分别为2和4时,相应的剩余部分的面积是多少? 解:(1)y=122-2x(x+1),即y=-2x2-2x+144. ∴y是x的二次函数. (2)当x=2和4时,相应的y的值分别为132和104. 几何图形的面积一般需画图分析,相关线段必须先用x的代数式表示出来.活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 1.如果函数y=(k+2)xk2-2是y关于x的二次函数,那么k的值为多少? 不要忽视k+2≠0. 2.设y=y1-y2,若y1与x2成正比例,y2与x成正比例,则y与x的函数关系是() A.正比例函数B.一次函数 C.二次函数D.不确定 3.有一个人患流感,经过两轮传染后共有y人患了流感,每轮传染中,平均一个人传染了x人,则y与x之间的函数解析式为________________. 4.如图,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD,设AB 边长为x m,则菜园的面积y(m2)与x(m)的函数解析式为______________________(不要求写出自变量x的取值范围). 5.已知,函数y=(m+1)xm2-3m-2+(m-1)x(m是常数). (1)m为何值时,它是二次函数? (2)m为何值时,它是一次函数? 注意(2)要分情况讨论. 6.如图,在矩形ABCD中,AB=2 cm,BC=4 cm,P是BC上的一动点,动点Q仅在PC或其延长线上,且BP=PQ,以PQ为一边作正方形PQRS,点P从B点开始沿射线BC方向运动,设BP=x cm,正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm2,试分别写出0≤x≤2和2≤x≤4时,

二次函数与四边形综合压轴题专题汇编(含答案)

72 x = B(0,4) A(6,0) E F x y O 二次函数与四边形综合压轴题专题汇编 一.二次函数与四边形的形状 例1.(浙江义乌市) 如图,抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点(A 点在B 点左侧),直线l 与抛物线交于A 、C 两点,其中C 点的横坐标为2. (1)求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式; (2)P 是线段AC 上的一个动点,过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点,求线段PE 长度的最大值; (3)点G 是抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点F ,使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F 点坐标;如果不存在,请说明理由. 练习1.(河南省实验区) 23.如图,对称轴为直线7 2 x = 的抛物线经过点 A (6,0)和 B (0,4). (1)求抛物线解析式及顶点坐标; (2)设点E (x ,y )是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; ①当平行四边形OEAF 的面积为24时,请判断平行四边形OEAF 是否为菱形? ②是否存在点E ,使平行四边形OEAF 为正方形?若存在,求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由. A

练习 2.(四川省德阳市)25.如图,已知与x 轴交于点(10)A ,和(50)B ,的抛物线1l 的顶点为 (34)C ,,抛物线2l 与1l 关于x 轴对称,顶点为C '. (1)求抛物线2l 的函数关系式; (2)已知原点O ,定点(04)D ,,2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称,则当点P 运动到何处时,以点D O P P ',,,为顶点的四边形是平行四边形? (3)在2l 上是否存在点M ,使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30 的直角三角形?若存, 求出点M 的坐标;若不存在,说明理由. 练习3.(山西卷)如图,已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -, ,(20)B -,,(08)E ,. (1)求抛物线1 C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式; (2)设抛物线1C 的顶点为M ,抛物线2C 与x 轴分别交于 C D ,两点(点C 在点D 的左侧),顶点为N ,四边形MDNA 的 面积为S .若点A ,点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动;与此同时,点M ,点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动,直到点A 与点D 重合为止.求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式,并写 出自变量t 的取值范围; (3)当t 为何值时,四边形MDNA 的面积S 有最大值,并求出此最大值; (4)在运动过程中,四边形MDNA 能否形成矩形?若能,求出此时t 的值;若不能,请说明理由. 5- 4- 3- 2- 1- 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A E B C ' 1- O 2l 1l x y

二次函数1教案

第12部分 二次函数 第1课时 二次函数的意义 课标要求 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式,并体会二次函数的意义. 中招考点 二次函数的概念及意义. 典型例题 例1 下列函数中,哪些是二次函数? (1)02=-x y ; (2)2)1()2)(2(---+=x x x y ; (3)x x y 12+=; (4)322-+=x x y . 分析:形如y=ax 2+bx+c(a ,b ,c 为常数,且a ≠0)的函数是二次函数,在判别某个函数是否 为二次函数时,必须先把它化成y=ax 2+bx+c 的形式,如果a ≠0,那么它就是二次函数;否则,就不是二次函数. 例2 m 取哪些值时,函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数? 分析:若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数,须满足的条件是:02 ≠-m m . 解:若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数,则 02≠-m m . 解得0≠m 且1≠m . 因此,当0≠m 且1≠m 时,函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数. 归纳反思 形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数. 探索:若函数)1()(2 2+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数,则m 取哪些值? 例3 写出下列各函数关系,并判断它们分别是什么类型的函数? (1)写出正方体的表面积S (cm 2)与正方体棱长a (cm )之间的函数关系; (2)写出圆的面积y (cm 2)与它的周长x (cm )之间的函数关系; (3)某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,若不计利息,求本息和y (元)与 所存年数x 之间的函数关系;

22.2 二次函数与一元二次方程 两课时 优秀教案

22.2 二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程文档设计者: 设计时间:文档类型: 文库精品文档,欢迎下载使用。Word精品文档,可以编辑修改,放心下载 教学目标 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系. 2.经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验与方法. 3.理解二次函数的图象和与横轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解方程何时有两个不等实根、两个相等实根和没有实根. 4.进一步发展学生的估算能力,体会数形结合思想. 教学重难点 理解一元二次方程与函数的关系. 教学过程与方法 1.自主阅读课本(10分钟) 2.交流互动(10分钟) 知识点一:二次函数与一元二次方程之间的关系 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位 置关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根 的情况b 2-4ac的值 有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac>0 只有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0无公共点无实数根b2-4ac<0 知识点三:求方程的近似解 3.课堂练习(11分钟) 习题22.2第2题(1)、(2). 4.拓展性练习(11分钟) (1)已知二次函数y=-x2+4x+k的部分图象如图所示,则关于x的方程-x2+4x+k=0的两根为x1=-1,x2=5 .

(2)抛物线y=-x2+2kx+2与x轴交点的个数为( C ) A.0 B.1 C.2 D.以上都不对 (3)下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据,x1是方程ax2+bx+c=0的一个解,则下列 x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y-0.80-0.54-0.200.220.72 A.1.6

二次函数与平行四边形综合.

【例1】 已知:如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线3 64 y x =-+与x 轴、y 轴的交点分 别为A B 、, 将OBA ∠对折,使点O 的对应点H 落在直线AB 上,折痕交x 轴于点.C (1)直接写出点C 的坐标,并求过A B C 、、三点的抛物线的解析式; (2)若抛物线的顶点为D ,在直线BC 上是否存在点P ,使得四边形ODAP 为平行四边形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由; (3)设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为T Q , 为线段BT 上一点,直接写出QA QO -的取值范围. 【例2】 如图,点O 是坐标原点,点(0)A n ,是x 轴上一动点(0)n <.以AO 为一边作矩形AOBC ,点C 在第二象限,且2OB OA =.矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90?得矩形AGDE .过点A 的直线y kx m =+(0)k ≠交y 轴于点F ,FB FA =.抛物线2y ax bx c =++过点E 、F 、G 且和直线AF 交于点H ,过点H 作HM x ⊥轴,垂足为点M . ⑴ 求k 的值; ⑵ 点A 位置改变时,AMH ?的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变?说明你的理由. 【例3】 如图1,Rt ABC ?中,90A ∠=?,3 tan 4 B = ,点P 在线段AB 上运动,点Q 、R 分别在线段BC 、AC 上,且使得四边形APQR 是矩形.设AP 的长为x ,矩形APQR 的面积为y ,已知y 是x 的函数,其图 象是过点()1236,的抛物线的一部分(如图2所示). (1)求AB 的长; (2)当AP 为何值时,矩形APQR 的面积最大,并求出最大值. R Q B C A 二次函数与平行四边形综合

二次函数平行四边形存在性问题例题

二次函数平行四边形存在性问题例题 一.解答题(共9小题) 1.如图,抛物线经过A(﹣1,0),B(5,0),C(0,)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标; (3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由. 2.如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧). (1)求抛物线的解析式及点B坐标; (2)若点M是线段BC上一动点,过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F,交抛物线于点E.求ME长的最大值; (3)试探究当ME取最大值时,在x轴下方抛物线上是否存在点P,使以M,F,B,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,试说明理由. 3.已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与x轴、y轴的交点

分别为A、B两点,将∠OBA对折,使点O的对应点H落在直线AB上,折痕交x 轴于点C. (1)直接写出点C的坐标,并求过A、B、C三点的抛物线的解析式; (2)若(1)中抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP 为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由; (3)若把(1)中的抛物线向左平移3.5个单位,则图象与x轴交于F、N(点F 在点N的左侧)两点,交y轴于E点,则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使点Q到E、N两点的距离之差最大?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 4.已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与x轴、y轴的交点分别为A、B,将∠OBA对折,使点O的对应点H落在直线AB上,折痕交x轴于点C. (1)直接写出点C的坐标,并求过A、B、C三点的抛物线的解析式; (2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由; (3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T,Q为线段BT上一点,直接写出|QA ﹣QO|的取值范围. 5.如图,Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中,直角边OA与x轴重合,

22.1.1二次函数教学设计.doc

课题§22.1.1 二次函数的定义 备课日期年月日课 型 新授 1.能结合具体情景体会二次函数的意义, 理解二次函数的有关概念. 知识与技能 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 通过具体问题情境中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式,在类比一教 过程与方法 次函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0 的重要特征 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的 学 过程,进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 目 情感态度 把数学问题和实际问题相联系,使学生初步体会探索数学符号感的现实意与价值观 义,并培养钻研精神。 标 教学重点二次函数的概念和解析式 教学难点会建立简单的二次函数的模型 教学方法启发、引导、讲练结合 教学用具多媒体、导学案 课时安排 1 教学内容师生活动设计意图 复习旧知,加【图片欣赏,导入新课】 教师提出问题,学 多媒体演示生回顾旧知,两名 学生口答 深对函数定义【以旧引新】 的理解.强调 1.一元二次方程的一般形式是什么? 2.什么是函数?我们学过哪些函数? k≠0 的条件, 以备与二次函【自主学习合作探究】 问题1:正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱 数中的a 进行长为x,表面积为y,写出y 与x 的关系: 问题2:n 个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.比赛 比较. 的场次数m 与球队数n 有什么关系?

通过具体事问题3:某种产品现在的年产量是20 t,计划今后两年增加 三个问题学生先

产量.如果每年都比上一年的产量增加 x 倍,那么两年后这 种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定,y 与 x 之间的 独立思考完成 , 然 后合作交流 , 教师 例,让学生列 关系怎样表示 ? 1 1 2 2+40x+20 2 (2) (3)y=20x m n n (1)y=6x 2 2 思考:观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什 对个别 有困难 的 学生进行引导。 对于 “思考” 中提 出关系式,启 发学生观察, 思考,归纳出 么共同特点 ? 出的问题, 教师进 归纳:二次函数的定义 行如下 启发: 1. 二次函数与一 这几个 函数是 我 2 +bx+c (a,b,c a 0) 为常数,且 ≠ 的 函数叫 一般地,形如 y=ax 们已学 过的函 数 二次函数 . 其中,x 是自变量,a,b,c 分别是函数解析式的二次 次函数的联系 吗? 2. 这些函数 项系数、一次项系数和常数项 . 练习:1.下列函数表达式中, 哪些是二次函数?哪些不是? 的自变量 x 的最 高次数是多少? 若是二次函数,请指出各项对应项的系数. 2 2 +2x (1)y =1-3x (2)y =3x (3)y =x (x -5)+2 (4)y =3x 3 +2x 2 3. 比较三个式子, (1) 和(2)缺失了 1 x (5)y =x + 什么项, 你能补全 吗?4. 三个式 子 2. 函数 当 a, y 2 ax bx c(其中 a,b, c 是 常数 ), 可以统 一为什 么 形式? b,c 满足什 么条 件时 归纳定义, 叫一名 (1) 它是二次函数 ? (2) 它是一次函数? (3) 它是正比例函 学生完成, 其他学 生进行补充 数? 【合作交流 展示讲解】 例 1:若函数 y 2 (m 1)x 2 m m 为二次函数,则 m 的值为 学生自 主完成 巩 固练习, 教师提问 理论学习完二 多少? 次函数的概念

高中数学《一元二次函数方程和不等式》公开课优秀教学设计

课题:一元二次函数、方程和不等式(衔接课) 一、教学设计 1.教学内容解析 在现行人民教育出版社A版高中数学教材中,“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节,学生高二时才学习,导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时,有一定的障碍,达不到一定的深度,初高中数学内容衔接不连贯,对于这一部分内容,老师普遍认为应调整到《必修1》之前,或是安排在《必修1》的“集合”之后,“函数”之前比较好. 本节课的产生正是基于以上原因,但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课,也不是一节复习课,而是一节衔接课,以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式(后面称三个“二次”)三者之间的关系及其应用为核心内容,特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题,引导学生感悟高中阶段数学课程的特征,适应高中阶段的数学学习,为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备,帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 三个“二次”是初中三个“一次”(一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式)在知识上的延伸和发展,它是函数、方程、不等式问题的基础和核心,在高中数学中,许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如,解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题,导数中导函数为二次函数时的许多问题等,同时,此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材,本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面. 根据以上分析,本节课的教学重点确定为 教学重点:一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用. 2.学生学情诊断 本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生,华中师大一附中是湖北省示范高中,学生基础很好,一般而言,学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质,简单的一元二次不等式的解法,能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是,当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候,学生往往不能正确理解题意,不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化,不善于分类讨论,不善于归纳总结,对函数、方程、不等式的处理方法不够完整,没有形成基本的规律. 教学难点:含参数的二次方程、不等式,如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理,为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式. 3.教学目标设置 (1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系; (2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题,感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性; (3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征,适应高中阶段的数学学习,能够在本主题的学习中,逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养. 4.教学策略分析 本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”,有其重要特点:一不能靠单纯的复习;二不宜上成新课;三,必须展示基本的套路,而又不可能一次到位;四,需要立足于函数、圆

二次函数与四边形判定

二次函数与特殊四边形判定 ★1.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线W 的表达式为y =14x 2-x , D 是抛物线W 的顶点. (1)将抛物线W 向右平移4个单位,再向下平移32个单位,得到抛物线 W ′,求抛物线W ′的表达式及其顶点F 的坐标; (2)若点M 是x 轴上的一点,点N 是抛物线W ′上的一点,则是否存在这样的点M 和点N ,使得以D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.

★2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A(-1,0)、B(0,1),且与x轴有唯一交点. (1)求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式; (2)若将(1)中的抛物线沿y轴向下平移m个单位后与x轴的两个交点分别为C、D(点C在点D的左边),当∠CBD=90°时,求m的值; (3)在(2)中平移后的抛物线上是否存在一点E,使以C、D、B、E为顶点的四边形是矩形?若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

★3.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,顶点M关于x轴的对称点是M′. (1)求抛物线的表达式; (2)若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C,求△CAB的面积; (3)是否存在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点在过A(-1,0),B(3,0)两点,其顶点P关于x轴的对称点为Q,使得四边形APBQ 为正方形?若存在,求出此抛物线的表达式;若不存在,请说明理由.

★4.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABE的边AB在x轴上,A(-1,0),OB=4OA,OE=2,抛物线C经过△ABE的三个顶点. (1)求抛物线C的表达式; (2)将抛物线C向下平移m个单位得到抛物线C′,使抛物线C′与直线BE有且只有一个公共点M,试求点M的坐标及m的值; (3)若点P是抛物线C′上一点,Q是y轴上一点,是否存在这样的点P,使得以点A、P、Q、M为顶点的四边形为平行四边形,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 第4题图

人教版数学九年级上册22.1.4.1二次函数教案 (1)

二次函数y=ax^2+bx+c 的图象和性质教学设计 一、教学目标 (一)知识目标 1.使学生会用描点法画出二次函数2y ax bx c =++的图象; 2.使学生会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴; 3.使学生进一步理解二次函数与抛物线的有关概念; 4.使学生会用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式. (二)能力目标 1.培养学生分析问题、解决问题的能力; 2.向学生进行配方法和待定系数法的渗透,使学生能初步掌握; 3.在待定系数法的教学中培养学生的计算能力. (三)情感目标 1.向学生进行事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点教育. 2.通过二次函数的进一步研究,让学生认识到二次函数的对称轴、顶点坐标与二次项系数、一次项系数及常数项之间的内在联系的数学美及和谐的数学美. 二、教学方法 教师采用比较法、观察法、归纳总结法 本节重点是求二次函数解析式及将二次函数的解析式配方,确定抛物线的顶点、对称轴等特征,进而画出这条抛物线,在学习中,学生不要死记硬背,要运用数形结合思想,熟练画出抛物线草图,结合图像研究函数的性质以及不同图像之间的相互关系. 三、重点·难点·疑点及解决办法 1.教学重点:用配方法确定抛物线的顶点坐标求对称轴及用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式.因为它们是画出二次函数 的图像的基础. 2.教学难点:配方法的推导过程,因为虽然这种方法在前面学习一元二次方程时介绍过,但是在配方的过程中需要考虑加、减的数,对学生有一定的难度. 3.教学疑点:顶点式与一般式如何转化 4.解决办法:(1)知道一般式到顶点式是通过配方得到的;(2)已知三个点坐标,可用待定系数法求得抛物线一般式. 四、教学媒体 三角板 一体机 五、教学设计思路 1.出示三组练习,导入新课. 2.“如何画216212 y x x =-+的图像?”教师提问,让学生去讨论、发现:要写成2()y a x h k =-+的形式,找出对称轴,引入由一般式化成顶点式,推导出顶点坐标公式.

九年级数学一元二次函数教案

个性化教学辅导

设纵坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2 的两个实数根. (5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由 方程组 c bx ax y n kx y ++=+=2 的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交 点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点;③方程组无解时?l 与G 没有交点. (6)抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为 ()()0021,,,x B x A ,由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故 a c x x a b x x = ?-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?=-=-?? ? ??-=--= -= -=44422 212 212 2121 课 后 作 业 1.抛物线y =x 2 +2x -2的顶点坐标是 ( ) A.(2,-2) B.(1,-2) C.(1,-3) D.(-1,-3) 2.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A.ab >0,c >0 B.ab >0,c <0 C.ab <0,c >0 D.ab <0,c <0 C A E F B D 第2,3题图 第4题图 3.二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A .a >0,b <0,c >0 B .a <0,b <0,c >0 C .a <0,b >0,c <0 D .a <0,b >0,c >0

(完整版)二次函数中平行四边形通用解决方法

●探究 (1)在图1中,已知线段AB,CD,其中点分别为E,F。 ①若A(-1,0),B(3,0),则E点坐标为__________; ②若C(-2,2),D(-2,-1),则F点坐标为__________; (2)在图2中,已知线段AB的端点坐标为A(a,b),B(c,d),求出图中AB中点D的坐标(用含a,b,c,d的代数式表示),并给出求解过程; ●归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置, 当其端点坐标为A(a,b),B(c,d),AB中点为D(x,y)时,x=_________,y=___________;(不必证明) ●运用 在图2中,一次函数y=x-2与反比例函数的图象交点为A,B。 ①求出交点A,B的坐标; ②若以A,O,B,P为顶点的四边形是平行四边形,请利用上面的结论求出顶点P的坐标。

图 2 图 3 图1 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点,其图形复杂,知识覆盖面广,综合性较强,对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题,常规解法是先画出平行四边形,再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图,若考虑不周,很容易漏解.为此,笔者另辟蹊径,借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题. 1 两个结论,解题的切入点 数学课标,现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式,也没有平行四边形的顶点坐标公式,我们可帮助学生来探究,这可作为解题的切入点。 1.1 线段中点坐标公式 平面直角坐标系中,点A 坐标为(x 1,y 1),点B 坐标为(x 2,y 2),则线段AB 的中点坐标为(221x x +,2 21y y +). 证明 : 如图1,设AB 中点P 的坐标为(x P ,y P ).由x P -x 1=x 2-x P ,得x P = 2 21x x +,同理y P =221y y +,所以线段AB 的中点坐标为(221x x +,221y y +). 1.2 平行四边形顶点坐标公式 □ABCD 的顶点坐标分别为A (x A ,y A )、B (x B ,y B )、C (x C ,y C )、D (x D ,y D ),则:x A +x C =x B +x D ;y A +y C =y B +y D . 证明: 如图2,连接AC 、BD ,相交于点E . ∵点E 为AC 的中点, ∴E 点坐标为(2C A x x +,2 C A y y +). 又∵点E 为B D 的中点, ∴ E 点坐标为( 2D B x x +,2D B y y +). ∴x A +x C =x B +x D ;y A +y C =y B +y D . 即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等. 2 一个基本事实,解题的预备知识 如图3,已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ,在平面内另找一个点D ,使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形.答案有三种:以AB 为对角线的□ACBD 1,以AC 为对角线的□ABCD 2,以BC 为对角线的□ABD 3C .

二次函数与一元二次方程教学设计

2.5.1二次函数与一元二次方程教学设计 教学目标: 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系,理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根. 2.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神,通 过观察二次函数与x轴交点的个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.通过学生共同观察和讨论,培养合作交流意识 3.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受 数学的严谨性以及数学结论的确定性,具有初步的创新精神和实践能力 教学重点: 理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根;理解一元二次方程的根就 是二次函数与y二h交点的横坐标. 教学难点: 探索方程与函数之间的联系的过程;理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根 的个数之间的关系. 教法与学法指导: 在教学中,为了更好地体现在课堂教学中“教师为主导,学生为主体”的教学关系和“以人为本,以学定教”的教学理念,在本节课的教学过程中,我将紧紧围绕教师组织一一启发引导,学生探究一一交流发现,组织开展教学活动 教学准备:多媒体课件 教学过程: 一、设问题情境,弓I入新课 【师】我们已学过一元一次方程kx ? b = 0(k = 0)和一次函数y二kx ? b( k = 0)的关系, 你还记得吗?处理方式:学生交流后回答. 【师】现在我们学习了一元二次方程ax+ bx (0(a0和二次函数 2 y=ax + b x( c 0 )它们之间是否也存在一定的关系呢?(学生可进行猜测)今天这 节课我们就来探索他们之间的关系?(教师板书课题) 设计意图:这一环节主要是激发学生的求知欲望,使学生通过解决问题,让学生有种成就 感.同时也可使学生养成一个主动思考和善于思考的学习习惯 二、活动探究 探究一:二次函数与一元二次方程的内在联系 (多媒体展示)

二次函数与平行四边形综合

第十八讲二次函数与平行四边形综合 一、教学内容 1.二次函数的表示 , 二次函数图像与性质; 2.平行四边形的性质和判定; 3.函数图像与平行四边形的综合应用,典型应用、图像题; 二、例题细看 【例 1】已知:如图,在平面直角坐标系 将OBA 对折,使点O的对应点xOy 中,直线 y 3 与 x 轴、y轴的交点分别为 A、B , x 6 4 H 落在直线 AB 上,折痕交x 轴于点C. ( 1)直接写出点 C 的坐标,并求过A、B、C 三点的抛物线的解析式; ( 2)若抛物线的顶点为 D ,在直线BC上是否存在点P ,使得四边形ODAP 为平行四边形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由; ( 3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为 T ,Q 为线段BT上一点,直接写出 QA QO 的取值范围 . 【考点分析】二次函数综合题 y B H 1 O1 C A x D T 【PEC分析】( 1)点 A 的坐标是纵坐标为 0,得横坐标为 8,所以点 A 的坐标为( 8, 0); 点B 的坐标是横坐标为 0,解得纵坐标为 6,所以点 B 的坐标为( 0, 6); 由题意得: BC是∠ ABO的角平分线,所以OC=CH, BH=OB=6 ∵AB=10,∴ AH=4,设 OC=x,则 AC=8-x 由勾股定理得: x=3 ∴点 C 的坐标为( 3, 0)将此三点代入二次函数一般式,列的方程组即可求得;

( 3)如图,由对称性可知QO=QH,|QA-QO|=|QA-QH| .当点 Q与点 B 重合时, Q、 H、 A 三点共线,|QA-QO|取得最大值4(即为 AH的长);设线段OA的垂直平分线与直线 BC的交点为 K,当点 Q与点 K 重合时, |QA-QO|取得最小值 0. 【跟踪练习】例 1.(浙江义乌市 ) 如图,抛物线y x22x 3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线 l 与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2. ( 1)求 A 、 B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式; ( 2)P 是线段 AC 上的一个动点,过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点,求线段 PE 长度的最大值; ( 3)点 G 是抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点F,使 A 、C、 F、 G 这样的四个点为顶点的四边 形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的 F 点坐标;如果不存在,请说明理由. A 【例 2】如图,点O是坐标原点,点A(n ,0) 是 x 轴上一动点(n 0) .以 AO 为一边作矩形AOBC ,点C在第二象限,且OB 2OA .矩形AOBC 绕点 A 逆时针旋转90 得矩形AGDE .过点 A 的直线 y kx m ( k 0) 交y轴于点F,FB FA .抛物线y ax 2bx c 过点E、F、G且和直线AF 交于点 H ,过点 H 作 HM x 轴,垂足为点M . ⑴求 k 的值; ⑵点 A 位置改变时,AMH 的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变?说明你的理由. y C B D G M F E A O x H 【 PEC分析】( 1 )由题意知O B=2OA=2n,在直角三角形AEO 中, OF=OB-BF=-2n-AF,因此可用勾股定理求出AF 的表达式,也就求出了FB 的长,由于 F 的坐标为( 0 , m )据此可求出m , n 的关系式,可用 n 替换掉一次函数中m 的值,然后将 A 点的坐标代入即可求出k 的值. ( 2 )思路同( 1)一样,先用n 表示出 E、 F、 G 的坐标,然后代入抛物线的解析式中,得出 a ,b , c 与n 的函数关系式,然后用n 表示出二次函数的解析式,进而可用n 表示出 H 点的坐标,然后求出△AMH

中考数学二次函数与四边形综合专题汇总-共17页

72 x = B(0,4) A(6,0) E F x y O 二次函数与四边形综合专题 一.二次函数与四边形的形状 例1. 如图,抛物线2 23y x x =--与x 轴交A 、B 两点(A 点在B 点左侧),直线l 与抛物线交于A 、C 两点,其中C 点的横坐标为2. (1)求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式; (2)P 是线段AC 上的一个动点,过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点,求线段PE 长度的最大值; (3)点G 是抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点F ,使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F 点坐标;如果不存在,请说明理由. 解:(1)令y=0,解得11x =-或23x =∴A (-1,0)B (3,0);将C 点的横坐标x=2代入2 23y x x =-- 得y=-3,∴C (2,-3)∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 (2)设P 点的横坐标为x (-1≤x ≤2)则P 、E 的坐标分别为: P (x ,-x-1),E (2(,23)x x x -- ∵P 点在E 点的上方,PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时,PE 的最大值=9 4 (3)存在4个这样的点F ,分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-, 练习1.如图,对称轴为直线7 2 x = 的抛物线经过点A (6,0)和B (0,4). (1)求抛物线解析式及顶点坐标; (2)设点E (x ,y )是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; ①当平行四边形OEAF 的面积为24时,请判断平行四边形OEAF 是否为菱形? ②是否存在点E ,使平行四边形OEAF 为正方形?若存在,求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由. A

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