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突破解析几何题的解题瓶颈
作者：张雪松
来源：《高中生·高考指导》2013年第12期
技巧1：常规性程序巧变化
例1 （2012年高考重庆理科卷第20题）如图1，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2 ，线段OF1，OF2 的中点分别为B1，B2，且
△AB1B2是面积为4的直角三角形.
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程.
分析本题的第（Ⅰ）小题可利用待定系数法结合图形特征求得椭圆的方程.第（Ⅱ）小题可设出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用“设而不求”的思路，依据垂直关系求得方程的参数.由于直线过点B1，可设直线方程为点斜式，为避免讨论斜率的存在与否，可另巧设直线方程，从而简化运算过程.
小结本题考查椭圆的性质、直线与椭圆的相交位置关系.在大多数情况下，圆锥曲线的解题程序化——设（点、直线或曲线方程）、联立、消元、判别式及韦达定理.在这常规化的程
序中也恰恰孕育着灵动的技巧，如在设直线的方程时，当直线可能垂直于x轴时，直线方程应该分斜率是否存在两种情形进行讨论，但应用例1中的技巧可以回避这个易错点，因为当斜率不存在时，m=0.此外，用纵坐标转化已知条件更值得深省，只有移步换景才会柳暗花明.当然，这种设法也有不适合的情形，即当直线垂直于y轴时，斜率为0，而m的值不存在，在审题时要注意洞察这一特殊情形.
技巧2：典型性问题模式化
分析解答本题的第（Ⅰ）小题时，P为弦AB的中点，则其坐标与弦所在直线的斜率以及弦的端点坐标之间有着密切的关系.若曲线所对应的弦与中点有关系，我们常把弦的两端点的
坐标代入到曲线方程中去，然后将所得的两个方程对应相减，整理得到一个既含直线斜率又含弦的中点坐标的式子，这种方法一般被称为“点差法”.解答第（Ⅱ）小题时，表示四边形ACBD面积的关键是表示出边CD的长度，此处可利用弦长公式来处理.
小结本题考查圆锥曲线的中点弦问题，“弦”是考查直线与圆锥曲线位置关系的典型应用情境.因此，对于圆锥曲线中的有关特征弦（如原点弦、焦点弦、中点弦、定点弦等），借助其
与曲线方程、图形及性质的特殊联系，采取模式化处理策略，可简化运算过程.
技巧3：探索性问题特殊化