直角坐标系
教学目的：
知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法
过程与方法：体会坐标系的作用
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：体会直角坐标系的作用
教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教学过程：
一、复习引入：
情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中
的位置机器运动的轨迹。
情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的
背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？
问题2：如何创建坐标系？
二、学生活动
学生回顾
刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系
1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定
2、平面直角坐标系
在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定
3、空间直角坐标系
在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定
三、讲解新课：
1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：
任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置
2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标
四、数学运用
例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
*变式训练
如何通过它们到点O的距离以及它们相对于点O的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置？
例2 已知B 村位于A 村的正西方1公里处,原计划经过B 村沿着北偏东600的方向设一条地下管线m.但在A 村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m 的计划需要修改吗?
*变式训练
1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程
2．在面积为1的PMN ?中，2tan ,2
1tan -=∠=
∠MNP PMN ，
建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程
例3 已知Q （a,b ）,分别按下列条件求出P 的坐标
（1）P 是点Q 关于点M （m,n ）的对称点
（2）P 是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q 不在直线1上）
*变式训练
用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。
思考
通过平面变换可以把曲线
14
)
1(9
)1(2
2
=-+
+y x 变为中心在原点的单位圆，请求出该复
合变换？
四、巩固与练习
五、小 结：本节课学习了以下内容：
1．如何建立直角坐标系； 2．建标法的基本步骤； 3．什么时候需要建标。
五、课后作业：课本P14页 1，2，3，4
极坐标系的的概念
教学目的：
知识与技能：理解极坐标的概念
过程与方法：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：理解极坐标的意义
教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教学过程：
一、复习引入：
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们
引爆？
情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位
置惟一确
定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描
述？
问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎
样的坐标系呢？
问题2：如何刻画这些点的位置？
这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．
二、讲解新课：
从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
1、极坐标系的建立：
在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，
用θ表示从OX到OM 的角度，ρ叫做点M的极径，θ
叫做点M的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M的极坐标。
特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范
围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建
立一一对应的关系.们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角.
3、负极径的规定
在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角
当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。 M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈ 4、数学应用
例1 写出下图中各点的极坐标（见教材14页） A （4，0）B （2 ）C （ ）
D （ ）
E （ ）
F （ ）
G （ ）
① 平面上一点的极坐标是否唯一？ ② 若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
③ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式 约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。
变式训练
在极坐标系里描出下列各点 A （3，0） B （6，2π）C （3，2
π
）D （5，
3
4π）E （3，
6
5π）F （4，π）G （6，
3
5π
点的极坐标的表达式的研究
例2 在极坐标系中，
（1） 已知两点P （5，
4
5π），Q )4
,1(π
，求线段PQ 的长度；
（2） 已知M 的极坐标为（ρ，θ）且θ=
3
π
，ρR ∈，说明满足上述条件的点M 的
位置。
变式训练
1、若ABC ?的的三个顶点为.),6
7,
3(),6
5,
8(),25,
5(判断三角形的形状
πππC B A
2、若A 、B 两点的极坐标为),(),,(2211θρθρ求AB 的长以及AOB ?的面积。（O 为极
点）
例3 已知Q （ρ，θ），分别按下列条件求出点P 的极坐标。 （1） P 是点Q 关于极点O 的对称点； （2） P 是点Q 关于直线2
π
θ=
的对称点；
（3） P 是点Q 关于极轴的对称点。
变式训练
1.在极坐标系中,与点)6
,8(π
-关于极点对称的点的一个坐标是 ( )
)6
,8(),6
5,
8(),6
5,8(),6
,
8(π
πππ
-
---
D C B A
2在极坐标系中，如果等边ABC ?的两个顶点是),4
5
,2(),4
,2(B A π求第三个顶点C 的坐
标。
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．如何建立极坐标系。
2．极坐标系的基本要素是：极点、极轴、极角和度单位 3．极坐标中的点与坐标的对应关系。
五、课后作业：教材P14-15页5，8，9，10，11
极坐标与直角坐标的互化
教学目的：
知识与技能：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式 过程与方法：会实现极坐标和直角坐标之间的互化
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解 教学难点：互化关系式的掌握 授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程：
一、复习引入：
情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便; 情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便 问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？ 问题2：平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？ 学生回顾
理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义
正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解
二、讲解新课：
直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
{
θ
ρθρsin cos ==y x {
x
y y
x =
+=θρ
tan 2
22
说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式
2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2。
3互化公式的三个前提条件
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
三．举例应用：
例1．（1）把点M 的极坐标)3
2,
8(π化成直角坐标
（2）把点P 的直角坐标)2,6(-化成极坐标 变式训练
在极坐标系中,已知),
6
,2(),6
,2(π
π-
B A 求A,B 两点的距离
例2.若以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立直角坐标系. (1)已知A 的极坐标),3
5,
4(π求它的直角坐标,
(2)已知点B 和点C 的直角坐标为)15,0()2,2(--和
求它们的极坐标.ρ(＞0,0≤θ＜2π)
变式训练
把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定ρ＞0,0≤θ＜π2)
)4,3(),4,3(),2,0(),1,1(----D C B A
例3.在极坐标系中,已知两点)3
2,
6(),6
,6(ππB A .
求A,B 中点的极坐标.
变式训练
在极坐标系中,已知三点)6
,
32(),0,2(),3
,2(π
π
P N M -
.
判断P N M ,,三点是否在一条直线上.
四、巩固与练习：课后练习
五、小 结：本节课学习了以下内容：
1．极坐标与直角坐标互换的前提条件； 2．互换的公式；
3．互换的基本方法。
五、课后作业：教材P15页12，13
曲线的极坐标方程的意义
教学目的：
知识与技能：掌握极坐标方程的意义
过程与方法：能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：直线和圆的极坐标方程的求法——互化
教学难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解 授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程：
一、复习引入： 问题情境
1、直角坐标系建立可以描述点的位置 极坐标也有同样作用？
2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 学生回顾
1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？
2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义
3、求曲线方程的步骤
二、讲解新课：
1、引例：以极点O 为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的
点都在这个圆上。 因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程5=ρ来表示。 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？
3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
4、求曲线的极坐标方程：
例1．求经过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程。
变式训练：已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程。
例2．求圆心在)0,3(A 且过极点的圆A 的极坐标方程。
变式训练：求圆心在)2
,3(π
A 且过极点的圆A 的极坐标方程。
例3．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程， （2）化极坐标方程)
3cos(6π
θρ-= 为直角坐标方程。
三、巩固与练习
直角方程与极坐标方程互化
（1）θρcos -= （2）θρtan 2=
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．如何利用互化公式，求直线和圆的极坐标方程
2．怎样理解直线和圆的位置关系——化成直角坐标系。
五、课后作业：教材28P 1，2
常用曲线的极坐标方程（1）
教学目的：
知识与技能：了解掌握极坐标系中直线和圆的方程 过程与方法：巩固求曲线方程的方法和步骤
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：求直线与圆的极坐标方程 教学难点：寻找关于ρ，θ的等式 授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程：
一、复习引入： 问题情境
情境1：3cos =θρ , 5=ρ, 2=θρsis , πθ4
3=
分别表示什么曲线？
情境2：上述方程分别表示了直线与圆，把这些直线与圆一般化，它们的方程分别是什么？
二、讲解新课：
1、若直线l 经过),(00θρM 且极轴到此直线的角为α，求直线l 的极坐标方程。
变式训练：直线l 经过)2
,3(πM 且该直线到极轴所成角为
4
π
，求此直线l 的极坐标方
程。
把前面所讲特殊直线用此通式来验证。
2、若圆心的坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的方程。运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程。
3、例题讲解
在圆心的极坐标为)0,4(A ，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹。 变式训练
在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6
,3(π
C ，半径3=r ，
（1）求圆C 的极坐标方程。
（2）若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且2:3:=OP OQ ，求动点P 的轨迹方程。
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．求曲线的极坐标方程，就是建立以ρ，θ为变量的方程；类似于直角坐标系中的x,y ；
2．求直线和圆的极坐标方程的基本步骤。
五、课后作业：见教材P 10习题1.2
常用曲线的极坐标方程（2）
教学目的：
知识与技能：进一步学习在极坐标系求曲线方程
过程与方法：求出并掌握圆锥曲线的极坐标方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：圆锥曲线极坐标方程的统一形式
教学难点：方程中字母的几何意义
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教学过程：
一、复习引入：
问题情境
情境1：直线与圆在极坐标系下都有确定的方程，我们熟悉的圆锥曲线呢？
情境2：按通常情况化直角坐标方程为极坐标方程会得到让人满意的结果吗？
二、学生回顾
1．求曲线方程的方程的步骤
2．两种坐标互化前提和公式
3．圆锥曲线统一定义
二、讲解新课：
1、圆锥曲线的统一方程
设定点的距离为P，求到定点到定点和定直线的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程。
分析：①建系
②设点
③列出等式
④用极坐标ρ、θ表示上述等式，并化简得极坐标方程
说明：⑴为便于表示距离，取F为极点，垂直于定直线l的方向为极轴的正方向。
⑵e表示离心率，P表示焦点到准线距离。
2、例题讲解
例1．2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭
圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点（离地面最远的点）距离地面分别为200km 和350km ，然后进入距地面约343km 的圆形轨道。若地球半径取6378km ，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。
变式训练
已知抛物线x y 42=的焦点为F 。
（1）以F 为极点，x 轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程；
（2）过取F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若|AB |＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线l 的倾斜角。
例2．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数。 变式训练 设P 、Q 是双曲线
)0(12
22
2b a b
y a
x <<=-
上的两点，若OQ OP ⊥。
求证：
2
2
|
|1|
|1OQ OP +
为定值；
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1． 2． 五、课后作业：课本29P 6，7，8
常用曲线的极坐标方程（3）
教学目的：
知识与技能：进一步领会求简单曲线的极坐标方程的基本方法 过程与方法：感受极坐标系椭圆抛物线和双曲线的完美统一
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：运用互换公式,求曲线的性质 教学难点：准确求出曲线的直角坐标系方程 授课类型：新授课 教学模式：讲练结合 教学过程：
一、复习引入： 学生回顾
1．求曲线极坐标方程的方法 2．常用曲线的极坐标方程 二、基础训练
1．直线2
()cos(πααθρk m ≠=+ )z k ?的斜率是
2．极坐标方程θ
ρsin 216-=
表示的曲线是
3．曲线2sin =θρ和)20,0(sin 4πθρθρ<≤>=的交点坐标 4．在极坐标系中与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为 （ ） A 、2sin =θρ B 、2cos =θρ
C 、4cos =θρ
D 、4cos -=θρ 5．椭圆θ
ρcos 459-=
的长轴长
二、讲解新课：
例1．求曲线01cos =+θρ关于直线4
π
θ=对称的曲线方程。
例2．求下列两曲线的交点坐标。
θρc o s 1+= )
c o s 1(21θρ-=
例3．已知圆2=ρ，直线4cos =θρ，过极点作射线交圆于点A ，交直线于点B ，当射线以极点为中心转动时，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
例4．已知A 、B 为椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 上两点，若OB OA ⊥。
（O 为原点） （1）求证
2
2
|
|1|
|1OB OA +
为定值；
（2）求AOB ?面积的最值。
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．熟练掌握直角坐标与极坐标的互化公式进行互化; 2．仔细审题,准确把握题目要求;
3．注意回答题目的的背景是直角坐标还是极坐标. 五、课后作业：课本29P 9，13，15
球坐标系与柱坐标系
教学目的：
知识与技能：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 过程与方法：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点：利用它们进行简单的数学应用 授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程：
一、复习引入：
情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。 问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？ 学生回顾 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法
极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理
二、讲解新课： 1、球坐标系
设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为?，点P 的位置可以用有序数组),,(?θr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)
有序数组),,(?θr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤?＜2π。 空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(?θr 之间的变换关系为：
???
??
?
?====++θ?θ?
θcos sin sin cos sin 2222r z r y r x r z y x 2、柱坐标系
设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在
平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系
有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为： ??
???===z
z y x θ
ρθ
ρsin cos
3、数学应用
例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.
变式训练 建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.
例2.将点M 的球坐标)6
5,3,8(π
π化为直角坐标.
变式训练
1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标.
2.将点M 的柱坐标)
8,3,
4(π
化为直角坐标.
3.在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)的球坐标是什么?
例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.
变式训练
标满足方程ρ=2的点所构成的图形是什么?
例4.已知点M 的柱坐标为),3,4
,2(π
点N 的球坐标为),2
,4,
2(π
π求线段MN 的长度.
思考:在球坐标系中,集合???
???
??
≤≤≤
≤≤≤=π?π
θ?θ20,20,62),,(r r M 表示的图形的
体积为多少?
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：1．球坐标系的作用与规则； 2．柱坐标系的作用与规则。
五、课后作业：教材P15页12，13，14，15，16
曲线的参数方程
教学目标
知识与技能：弄清理解曲线参数方程的概念.
过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程
情感、态度与价值观：初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题
解决的过程中，形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。
教学重点：曲线参数方程的概念。
教学难点：曲线参数方程的探求。
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程：
（一）曲线的参数方程概念的引入 引例：
2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。
已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某游客现在0P 点（其中0P 点和转轴O 的连线与水平面平行）。问：经过t 秒，该游客的位置在何处?
引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决
（1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。） （二）曲线的参数方程
1、圆的参数方程的推导
（1）一般的，设⊙O 的圆心为原点，半径为r ，0OP 所在直线为x 轴，如图，以0OP 为始边绕着点O 按逆时针方向绕原点以匀角速度ω作圆周运动，则质点P 的坐标与时刻t 的关系该如何建立呢？（其中r 与ω为常数，t 为变数） 结合图形，由任意角三角函数的定义可知：
),0[sin cos +∞∈??
?==t t
r y t r x ωω t 为参数
①
（2）点P 的角速度为ω，运动所用的时间为t ，则角位移t ωθ=，那么方程组①
可以改写为何种形式？
结合匀速圆周运动的物理意义可得：),0[sin cos +∞∈??
?==θθ
θr y r x θ为参数 ②
（在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力）
（3）方程①、②是否是圆心在原点，半径为r 的圆方程？为什么？
由上述推导过程可知：对于⊙O 上的每一个点),(y x P 都存在变数t （或θ）的值，使t r x ωcos =，t r y ωsin =（或θsin r y =，θcos r x =）都成立。
对于变数t （或θ）的每一个允许值，由方程组所确定的点),(y x P 都在圆上； （1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习；2、学生从曲线的方程以及方程的曲线的定义出发，可以说明以上由变数t （或θ）建立起来的方程是圆的方程；）
（4）若要表示一个完整的圆，则t 与θ的最小的取值范围是什么呢？
)2,
0[s i n
c o s
ω
π
ωω∈??
?==t t r y t r x ，
)2,0[s i n
c o s
πθθθ∈??
?==r y r x
（5）圆的参数方程及参数的定义
我们把方程①（或②）叫做⊙O 的参数方程，变数t （或θ）叫做参数。 （6）圆的参数方程的理解与认识 （ⅰ）参数方程)2,0[sin 3cos 3πθθ
θ∈??
?==y x 与]
2
,
0[sin 3cos 3π
θθ
θ∈??
?==y x 是否表示同
一曲线？为什么？
（ⅱ）根据下列要求，分别写出圆心在原点、半径为r 的圆的部分圆弧的参数方程：
①在y 轴左侧的半圆（不包括y 轴上的点）； ②在第四象限的圆弧。
（通过具体问题的解决，加深对圆的参数方程的理解与认识，体会到参数的取值范围也是圆的参数方程的重要组成部分；并为曲线的参数方程的定义及其理解与认识作铺垫。）
（7）曲线的参数方程的定义
（ⅰ）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数)()
()(D t t g y t f x ∈??
?==
③，并且对于t 的每一个允许值，由方程组
③所确定的点),(y x P 都在这条曲线C 上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程。变数t 叫做参变量或参变数，简称参数。
（ⅱ）相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标x 、y 间关系的方程0),(=y x F 叫做曲线的普通方程。
（8）曲线的参数方程的理解与认识 （ⅰ）参数方程的形式；
（横、纵坐标x 、y 都是变量t 的函数，给出一个t 能唯一的求出对应的x 、y 的值，因而得出唯一的对应点；但横、纵坐标x 、y 之间的关系并不一定是函数关系。）
（ⅱ）参数的取值范围；
（在表述曲线的参数方程时，必须指明参数的取值范围；取值范围的不同，所表示的曲线也可能会有所不同。）
（ⅲ）参数方程与普通方程的统一性；
（普通方程是相对参数方程而言的，普通方程反映了坐标变量x 与y 之间的直接联系，而参数方程是通过变数反映坐标变量x 与y 之间的间接联系；普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式；参数方程可以与普通方程进行互化。）
（ⅳ）参数的作用；
（参数作为间接地建立横、纵坐标x 、y 之间的关系的中间变量，起到了桥梁的作用。）
（ⅴ）参数的意义。
（如果参数选择适当，参数在参数方程中可以有明确的几何意义，也可以有明确的物理意义，可以给问题的解决带来方便。即使是同一条曲线，也可以用不同的变数作为参数。）
（三）巩固曲线的参数方程的概念 例题1：
（1）质点P 开始位于坐标平面内的点)1,3(0P 处，沿某一方向作匀速直线运 动。水平分速度3=x v 厘米/秒，铅锤分速度1=y v 厘米/秒，
（ⅰ）求此质点P 的坐标与时刻t （秒）的关系； （ⅱ）问5秒时质点P 所处的位置。 （2）写出经过定点)1,3(P ，且倾斜角为
6
π
的直线l 的参数方程。
问题：作出例题1中两小题的直线图像，判断它们的位置关系；从中你能得到什么启示呢？
（第一小题通过运动质点的位置与时间有关建立表现质点位置的参数方程；第二小题通过选取适当的参数建立直线的参数方程；从而使学生了解参数的选取有多种方法，同一曲线可以由不同的参数方程来表示。）
例题2：已知点),(y x A 在圆C ：422=+y x 上运动，求y x +的最大值。 （通过普通方程化为参数方程求得函数的最值，使学生初步体验参数方程的作用与意义。）
（四）课堂小结
1、知识内容：知道圆的参数方程以及曲线参数方程的概念；能选取适当的参数建立参数方程；通过对圆和直线的参数方程的研究，理解其中参数的意义。
2、思想与方法：参数思想。
（引导学生回顾本节课的学习过程，小结与交流学习体会，包括数学知识的获得，数学思想方法的领悟。）
（五）作业
课本P26，习题2.1，第1、2题。 （六）思考
（1）若圆的一般方程为222)()(r b y a x =-+-，你能写出它的一个参数方程吗？ （2）针对引例中的实际情况，游客总是从摩天轮的最低点登上转盘。若某游客登上转盘的时刻记为0t ，则经过时间t 该游客的位置在何处？在引例所建立的坐标系下，你能否通过建立相对应的参数方程，并得到游客的具体位置呢？
2015年七年级下学期期末备考之《平面直角坐标系中几何综合 题》 2015-06-15一．解答题（共17小题） 1．（2015春?玉环县期中）如图在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），（﹣1，2）．且|2a+b+1|+=0． （1）求a、b的值； （2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使S△COM=S△ABC，求点M的坐标．（标注：三角形ABC 的面积表示为S△ABC） ②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使S△COM=S△ABC仍成立若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标． 2．（2015春?汕头校级期中）如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C （3，c）三点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+=0． （1）求a、b、c的值； （2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积不小于△AOP面积的两倍若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
3．（2015春?鄂城区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a=+﹣1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD． （1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC． （2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC若存在这样一点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由． （3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由． 4．（2014春?富顺县校级期末）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2）（见图1），且|2a+b+1|+=0 （1）求a、b的值； （2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=△ABC的面积，求出点M的坐标； ②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积仍然成立若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；
1. 2. 3. 平面直角坐标系规律题 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图 中方向排列，如(1, 0), (2 , 0), ( 2, 1) , (1 , 1), (1 , 2), (2 , 2) ??…根据这个规律，第2016个点的坐标为什么? 如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，一秒钟后，它从原点运动 到(0,1)，然后接着按图中箭头所示方向运动[即(0,0)T( 0,1) T( 1,1) T( 1,0) T…],且每秒运动一个单位长度，那么第2016秒后质点所在位置的坐标是( 如图，在平面直角坐标系上有点 A (1, 0),点A第一次跳动 至点A1( -1 ,1),第四次向右跳动5个单位至点A4( 3,2 ),???, 依此规 律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是 .第2016次呢? ) 6 5 % 5 -4 -3-2 -1 ° 1 2 3 4 5'玄 如图，在平面直角坐标系上有个点P ( 1 , 0),点P第1次向上跳动1个单位至点P1 (1, 1),紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2 (-1 , 1 ),第3次向上跳动1个单位，第4次向 J A ----------------------------- 右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单 位，……,依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P100的坐标是()。电------------- 第2016个点的坐标是( ) 4 -------------- 4. 5、如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点0出发，按向上、向右、向 下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1(0, 1)，A2(1, 1)，A3(1, 0)，A4(2, 0)，…，那么点A4n +1(n是自然数)的坐标为_________
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式 知识点1. 两点间的距离公式 ①. 两点 A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2)间的距离公式表示为d (A ，B ②． 当AB 平行于x 轴时，d (A ，B )=|x 2－x 1|； 当AB 平行于y 轴时，d (A ，B )=|y 2－y 1|； 当B 为原点时，d (A ，B 求两点距离的步骤 已知两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可分步骤计算： （1）给两点的坐标赋值：(x 1，y 1)，(x 2，y 2). （2）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即△x =x 2－x 1，△y =y 2－y 1. （3）计算 d . （4）给出两点的距离 d . 通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离 知识点2. 坐标法 坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法. 用坐标法证题的步骤 （1）根据题设条件，在适当位置建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系）； （2）设出未知坐标； （3）根据题设条件推导出所需未知点的坐标，进而推导结论. 知识点3. 中点坐标公式 已知A (x 1，y 1),B (x 2，y 2)两点，M (x ，y )是线段AB 的中点，则有 12122 2 x x x y y y +?=???+?=??
（1）两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究，确定解题策略。 （2）若已知点P(x，y)，则点P关于点M(x0，y0)对称的点坐标为P’(2x0－x，2y0－y). （3）利用中点坐标可以求得△ABC（A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)）的重心坐标为123 123 3 3 x x x x y y y y ++ ? = ?? ? ++ ?= ?? 题型1. 公式的基本应用 例1.求下列两点的距离及线段中点的坐标， （1）A(－1，－2)，B(－3，－4)；（2）C(－2，1)，D(5，2). （2）设CD的中点为N(x，y)，得线段CD的中点坐标为N( 2 3 ， 2 3 )， 例2．已知点A(－1，3)，B(3，1)，点C在坐标轴上，∠ACB=90°，则满足条件的点C 的个数是（） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 题型2. 公式的逆用 例3. 已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标. 例4．△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE|=|CE|.
第七章 平面直角坐标系测试题（9班专用） 一、填空题 1.已知点A （0,1）、B （2,0）、C （0,0）、D （-1,0）、E （-3,0），则在y 轴上的点有 个。 2.如果点A ()b a ,在x 轴上，且在原点右侧，那么a ，b 3.如果点()1,-a a M 在x 轴下侧，y 轴的右侧，那么a 的取值范围是 4.已知两点A ()m ，3-,B ()4,-n ，若AB ∥y 轴，则n = ， m 的取值范围是 . 5.?ABC 上有一点P （0,2），将?ABC 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移3个单位长度，得到的新三角形上与点P 相对应的点的坐标是 . 6,如图所示，象棋盘上，若“将”位于点 （3，-2），“车”位于点（-1，-2），则“马”位于 . 7,李明的座位在第5排第4列，简记为（5,4），张扬的座位在第3排第2列，简记为（3,2），若周伟的座位在李明的后面相距2排，同时在他的左边相距3列，则周伟的座位可简记为 . 8.将?ABC 绕坐标原点旋转180后，各顶点坐标变化特征是： . 二、选择题 9.下列语句：（1）点（3,2）与点（2,3）是同一点；（2）点（2,1）在第二象限；（3）点（2,0） 在第一象限；（4）点（0,2）在x 轴上，其中正确的是（ ） A.（1）（2） B.（2）（3） C.（1）（2）（3）（4）D. 没有 10.如果点M ()y x ,的坐标满足 0=y x ，那么点M 的可能位置是（ ） A.x 轴上的点的全体 B. 除去原点后x 轴上的点的全体 C.y 轴上的点的全体 D. 除去原点后y 轴上的点的全体 11.已知点P 的坐标为()63,-2+a a ，且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是（ ） A.（3,3） B.（3，-3） C. （6，-6） D.（3,3）或（6，-6） 12.如果点()3,2+x x 在x 轴上方，y 轴右侧，且该点到x 轴和y 轴的距离相等，则x 的值为（ ） A.1 B.-1 C.3 D.-3 13.将某图形的各顶点的横坐标减去2，纵坐标保持不变，可将该图形（ ） A.横向右平移2个单位 B.横向向左平移2个单位 C.纵向向上平移2个单位 D.纵向向下平移2个单位 14.下面是小明家与小刚家的位置描述： 小明家：出校门向东走150m ，再向北走200m ； 马将车8题图
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式 课程学习目标 目标重点：平面上两点间的距离公式和中点公式； 目标难点：两点间距离公式的推导； ［学法关键］ 1．领会从特殊到一般的过程来研究两点间的距离公式及中点坐标公式； 2．距离公式的实质是将二维空间的长度计算问题转化为一维空间的长度计算问题。 研习点1. 两点间的距离公式 1． 两点 A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2)间的距离公式表示为d (A ，B 2． 当AB 平行于x 轴时，d (A ，B )=|x 2－x 1|； 当AB 平行于y 轴时，d (A ，B )=|y 2－y 1|； 当B 为原点时，d (A ，B 求两点距离的步骤 已知两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可分步骤计算： （1）给两点的坐标赋值：(x 1，y 1)，(x 2，y 2). （2）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即△x =x 2－x 1，△y =y 2－y 1. （3）计算d 22x y +. （4）给出两点的距离d . 通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离
研习点2. 坐标法 坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法. 用坐标法证题的步骤 （1）根据题设条件，在适当位置建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系）； （2）设出未知坐标； （3）根据题设条件推导出所需未知点的坐标，进而推导结论. 研习点3. 中点坐标公式 已知A (x 1，y 1),B (x 2，y 2)两点，M (x ，y )是线段AB 的中点，则有1212 22 x x x y y y +?=???+?=?? （1）两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究，确定解题策略。 （2）若已知点P (x ，y )，则点P 关于点M (x 0，y 0)对称的点坐标为P ’(2x 0－x ，2y 0－y ). （3）利用中点坐标可以求得△ABC （A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)）的重心坐标为 123123 33x x x x y y y y ++?=???++?=?? 题型1. 公式的基本应用 例1.求下列两点的距离及线段中点的坐标， （1）A (－1，－2)，B (－3，－4)；（2）C (－2，1)，D (5，2). 解：（1）设AB 的中点为M (x ，y )，得线段AB 的中点坐标为M (－2，－3)， AB 两点的距离d (A ，B =。 （2）设CD 的中点为N (x ，y )，得线段CD 的中点坐标为N (23，2 3)， AB 两点的距离d (C ，D =
《平面直角坐标系》知识点大全 3.1确定位置： 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。 3.2平面直角坐标系1、有序数对：我们把这种有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对，即：（a,b) 2、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直、且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。 水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向 竖直的数轴称为y 轴或纵轴，习惯上取向上方向为正方向 两坐标轴的交战为平面直角坐标系的原点 3、象限：坐标轴上的点不属于任何象限 第一象限：x>0，y>0;第二象限：x<0，y>0 第三象限：x<0，y<0;第四象限：x>0，y<0 x 轴上的点：（x ，0）y 轴上的点：（0，y ） 4、距离问题：点（x ，y ）距x 轴的距离为y 点（x ，y ）距y 轴的距离为x 坐标轴上两点间距离：点A （x 1，0）点B （x 2，0），则AB 距离为2 1x x -点A （0，y 1）点B （0，y 2），则AB 距离为2 1y y -5、角平分线问题 若点（x ，y ）在第一、三象限角平分线上，则x=y 若点（x ，y ）在第二、四象限角平分线上，则x=-y 6、对称问题：对称点坐标的特征： P(a，b)关于x 轴对称的点的坐标为(a,-b)； P(a，b)关于y 轴对称的点的坐标为(-a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b) 7、平行于坐标轴的直线上的点： 平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y 轴的直线上的点的横坐标相同。 8、中点坐标：点A （1x ，0）点B （2x ，0），则AB 中点坐标为（221x x +，0）
直角坐标系及参数方程 考点： 一：坐标系(平面直角坐标系中的伸缩变换、求曲线的极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化） 二：参数方程（把参数方程化为普通方程、直线/圆/椭圆参数方程的应用） 1（2016年23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为（t 为参数，a ＞0）。在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ。 （I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程； （II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a 。 2（2015年23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系O χγ中。直线1C :χ=-2，圆2C ：()()22121χγ-+-=,以坐标原点为极点，χ轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （I ） 求1C ，2C 的极坐标方程； （II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4R π θρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N , 求2C MN 的面积
3.（2014年23）.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C ：22 149x y +=，直线l ：222x t y t =+??=-?（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值. 4.（2013年23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1 的参数方程为45cos 55sin x t y t =+??=+?(t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=。 （Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
七年级数学测验卷 《平面直角坐标系》 班级： 姓名： 座号： 评分： 一. 选择题。（每题3分，共30分） 1. 下列各点中，在第二象限的点是（ ） A. （2，3） B. （2，-3） C. （-2，-3） D. （-2，3） 2. 将点A （-4，2）向上平移3个单位长度得到的点B 的坐标是（ ） A. （-1，2） B. （-1，5） C. （-4，-1） D. （-4，5） 3. 如果点M （a-1，a+1）在x 轴上，则a 的值为（ ） A. a=1 B. a=-1 C. a>0 D. a 的值不能确定 4. 点P 的横坐标是-3，且到x 轴的距离为5，则P 点的坐标是（ ） A. （5，-3）或（-5，-3） B. （-3，5）或（-3，-5） C. （-3，5） D. （-3，-5） 5. 若点P （a ，b ）在第四象限，则点M （b-a ，a-b ）在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 已知正方形ABCD 的三个顶点坐标为A （2，1），B （5，1），D(2,4),现将该正方形向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到正方形A'B'C'D'，则C ’点的坐标为（ ） A. （5，4） B. （5，1） C. （1，1） D. （-1，-1） 7. 三角形ABC 中，A （-1，0），B （5，0），C （2，5），则三角形ABC 的面积为（ ） A. 30 B. 15 C. 20 D. 10 8. 点M （a ，a-1）不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 在平面直角坐标系中，若一图形各点的横坐标不变，纵坐标分别减3，那么图形与原图形相比（ ） A. 向右平移了3个单位长度 B. 向左平移了3个单位长度 C. 向上平移了3个单位长度 D. 向下平移了3个单位长度 10. 到x 轴的距离等于2的点组成的图形是（ ） A. 过点（0，2）且与x 轴平行的直线 B. 过点（2，0）且与y 轴平行的直线 C. 过点（0，-2）且与x 轴平行的直线 D. 分别过（0，2）和（0，-2）且与x 轴平行的两条直线 二. 填空题。（每题5分，共30分） 11. 直线a 平行于x 轴，且过点（-2，3）和（5，y ），则y= 。 12. 若点M （a-2，2a+3）是x 轴上的点，则a 的值是 。 13. 已知点P 的坐标（2-a ，3a+6），且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐 标是 。 14. 已知点Q （-8，6），它到x 轴的距离是 ，它到y 轴的距离是 。 15. 将点P （-3，2）沿x 轴的负方向平移3个单位长度，得到点Q 的坐标是 ，在将Q 沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到点R 的坐标是 。 16. 若P （x ，y ）是第四象限内的点，且2,3x y ==，则点P 的坐标是 。
平面直角坐标系中面积的求法 姓名： 家长签字： 1、在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为：（2，5）、（6，-4）、（-2，0），且边AB 与x 轴相交于点D ，求点D 的坐标。 2、在平面直角坐标系中，A （-5，0）、B （3，0），点C 在y 轴上，且△ABC 的面积为12，求点C 的坐标。 3、在平面直角坐标系中，P （1，4），点A 在坐标轴上，4PAO S = ，求点P 的坐标。 4、已知，点A （-2，0）、B （4，0）、C （2，4） （1）求△ABC 的面积； （2）设P 为x 轴上一点，若12 APC PBC S S = ，试求点P 的坐标。 5、在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A （1，-1）、B （-1，4）、C （-3，1）， （1）求△ABC 的面积； （2）将△ABC 先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，求线段AB 扫过的面积。 6、在直角坐标系中，A （-4，0）、B （2，0）、点C 在y 轴正半轴上，18ABC S = ， （1）求点C 的坐标； （2）是否存在位于坐标轴上的点P ，使得12 APC ABC S S = 。若存在，请求出P 的坐标，若不存在，说明理由。
7、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-1，0）、（3，0），现同时将点A、B分别向上平移2个 单位，再向右平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD。 （1）求点C、D的坐标及四边形ABDC的面积； （2）在y轴上是否存在一点P，连接PA、PB，使 1 2 APB ABDC S S 四 ，若存在这样的点，求出点P的坐 标，若不存在，试说明理由。 8、如图，已知长方形ABCO中，边AB=8，BC=4。以O为原点，OAOC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系。 （1）点A的坐标为（0，4），写出B、C两点的坐标； （2）若点P从C点出发，以2单位/秒的速度向CO方向移动（不超过点O）,点Q从原点O出发，以1单位/秒的速度向OA方向移动（不超过点A），设P、Q两点同时出发，在他们移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围。 9、在平面直角坐标系中，已知O是原点，四边形ABCD是长方形，A、B、C的坐标分别是A（-3，1）、B （-3，3）、C（2，3）。 （1）求点D的坐标； （2）将长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度水平向右平移，2秒钟后所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标各是多少？ （3）平移（2）中的长方形A1B1C1D1 ，几秒钟后△OB1D1 的面积等于长方形ABCD的面积？
平面直角坐标系知识点归纳 1 、 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系； 2 、 坐标平面上的任意一点 P 的坐标，都和惟一的一对 有序实数对 （ a,b ） 一一对应；其中， a 为横坐标， b 为纵坐标坐标； 3 、 x 轴上的点，纵坐标等于 0 ； y 轴上的点，横坐标等于 0 ； Y 坐标轴上的点 不属于 任何象限； b P(a,b) 4 、四个象限的点的坐标具有如下特征： 1 象限 横坐标 x 纵坐标 y -3 -2 -1 0 1 a x -1 第一象限 正 正 -2 第二象限 负 正 -3 第三象限 负 负 第四象限 正 负 小结：（ 1 ）点 P （ x, y ）所在的象限 横、纵坐标 x 、 y 的取值的正负性； （ 2 ）点 P （ x, y ）所在的数轴 横、纵坐标 x 、 y 中必有一数为零； y 5 、在平面直角坐标系中，已知点 P (a,b) ，则 a 点 P 到 x 轴的距离为 b P （ a, b ） （1 ） b ； （ 2 ）点 P 到 y 轴的距离为 a ； （3 ） 点 P 到原点 O 的距离为 PO ＝ a 2 b 2 b 6 、平行直线上的点的坐标特征： O a x a) 在与 x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等； Y A B 点 A 、 B 的纵坐标都等于 m ； m X b) 在与 y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等； Y C 点 C 、 D 的横坐标都等于 n ； n D X
第七章平面直角坐标系测试 教学目标： 1、了解平面直角坐标系及其不同位置点的坐标的特征 2、掌握坐标变化与图形平移的关系，利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题 教学过程： 1．在奥运游泳馆“水魔方”一侧的座位席上，5排2号记为（5，2），则3排5号记为．2．已知点M（m，1）在第二象限，则m的值是． 3．已知：点P的坐标是（m，-1），且点P关于x轴对称的点的坐标是（-3，2n），则m= ,n= ． 4．点A在第二象限，它到x轴、y轴的距离分别是3、2，则坐标是．5．点P在x轴上对应的实数是-3，则点P的坐标是，若点Q在y轴上对应的实数是1.5，则点Q的坐标是，若点R（m，n）在第二象限，则m 0, n 0（填“>”或“<”号）． 6．若M(3，M)与N（n，m-1）关于原点对称，则m= ,n= ．7．已知mn=0，则点（m，n）在． 8．已知正方形ABCD的三个顶点A（-4，0）B（0，0）C（0，4），则第四个顶点D的坐标为． 9．如果点M（a+b，ab）在第二象限，那么点N（a，b）在第＿＿＿象限． 10．若点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标为＿， 11．已知点P（a+3b，3）与点Q（-5，a+2b）关于x轴对称，则a= ，b= ．12．已知点M（a+3,4-a）在y轴上，则点M的坐标为＿＿＿＿． 13．已知点M（x，y）与点N（-2，-3）关于x轴对称，则x+y= ． 14．点H坐标为（4，-3），把点H向左平移5个单位到点H’，则点H’的坐标为．15．在平面直角坐标系中，点（-1，m2+1）一定在（） A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 16．若点P（m，n）在第二象限，则点Q（-m，-n）在（） A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 17．已知点A（2，-2），如果点A关于x轴的对称点是B，点B关于原点的对称点是C，那么C点的坐标是（） A．（2,2）B．（-2,2） C.（-1，-1）D．（-2，-2） 18．已知点A（3a，2b）在x轴上方，y轴的左边，则点A到x轴．y轴的距离分别为 A．3a，-2b B．-3a，2b C．2b，-3a D．-2b，3a 19．将点P（-4,3）先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得点P′，则点P′的坐标为（） A．（-2,5）B．（-6,1）C．（-6,5）D．（-2,1）
复习：求下列条件下线段AB 的长度. 1）A(－6，0)，B(－2，0) 2）A(－3，0)，B(2，0) 3）A(1，0)，B(5，0). 4）A(x 1，0)，B(x 2，0). 5）A(0，y 1)，B(0 ，y 2 ). 一、有一边在坐标轴上 例1 如图1，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A(4,0),B(-2,0),C(2,4),求三角形ABC 的面积. 分析：要求三角形的面积，需要分别求出底边及其高.由图1可知，三角形ABC 的边AB 在x 轴上，容易求得AB 的长，而AB 边上的高，恰好是C 点到x 轴的距离，也就是C 点的纵坐标的绝对值. 解：因为A(4,0),B(-2,0),所以AB=4-（-2）=6.因为C(2,4),所以C 点到x 轴的距离，即AB 边上 的高为4，所以三角形ABC 的面积为12462 1=??. 二、有一边与坐标轴平行
例2 如图2，三角形ABC 三个顶点的坐标分别为A （4，1），B （4，5），C （-1，2），求三角形ABC 的面积. 分析：由A （4，1），B （4，5）两点的横坐标相同，可知边AB 与y 轴平行，因而AB 的长度易求.作AB 边上的高CD ，则D 点的横坐标与A 点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD 的长，进而可求得三角形ABC 的面积. 解：因为A ，B 两点的横坐标相同，所以边AB ∥y 轴，所以AB=5-1=4. 作AB 边上的高CD ，则 D 点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以三角形ABC 的面积为10542 1=??. 三、三边均不与坐标轴平行
平面直角坐标系（基础）知识讲解 【学习目标】 1.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系. 2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征. 3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想. 【要点梳理】 要点一、有序数对 定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)． 要点诠释： 有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号． 要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念 1. 平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1). 要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的. 2. 点的坐标 平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b 分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2. 要点诠释： （1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．
（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. (3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 要点三、坐标平面 1. 象限 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图． 要点诠释： （1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限． （2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方. 2. 坐标平面的结构 坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 要点四、点坐标的特征 1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律 要点诠释： （1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上. （2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0． （3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况． 2.象限的角平分线上点坐标的特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)． 3.关于坐标轴对称的点的坐标特征 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)． 4.平行于坐标轴的直线上的点
专题训练(四)直角坐标系中的分类讨论 ?类型一由距离产生的分类讨论 1．若点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标为____________________________． 2．已知点A(2a＋1，a＋7)到x轴、y轴的距离相等，求a的值． ?类型二由面积产生的分类讨论 3．已知△ABC的三个顶点均在坐标轴上，A(2，0)，C(0，－4)，且△ABC的面积为6，求点B的坐标． ?类型三由直角三角形产生的分类讨论 4．已知Rt△ABC的顶点A(2，0)，B(2，3)，斜边BC的长为5，则顶点C的坐标为________________________________________________________________________． ?类型四由全等三角形产生的分类讨论 5．已知点A(2，3)，AB⊥x轴于点B，O为原点．已知点P，Q分别在x轴、y轴上，且以P，O，Q为顶点的三角形与△ABO全等． (1)若P(3，0)，求点Q的坐标； (2)若点P在x轴的正半轴上，求点Q的坐标． ?类型五由等腰三角形产生的分类讨论 6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有________个． 7．如图4－ZT－1，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标． 图4－ZT－1 详解详析 1．[答案] (2，3)或(2，－3)或(－2，3)或(－2，－3) [解析] 由点P到x轴的距离为3，知点P的纵坐标为±3；由点P到y轴的距离为2，知点P的横坐标为±2.故点P的坐标为(2，3)或(2，－3)或(－2，3)或(－2，－3)．
图3 相 帅 炮 第7章《平面直角坐标系》测试卷及答案 一、选择题（每小题3分，共 30 分） 1、根据下列表述，能确定位置的是（） A、红星电影院2排 B、北京市四环路 C、北偏东30° D、东经118°，北纬40° 2、若点A（m，n）在第三象限，则点B（|m|，n）所在的象限是（） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 3、若点P在x轴的下方，y轴的左方，到每条坐标轴的距离都是3，则点P的坐标为（） A、（3，3） B、（－3，3） C、（－3，－3） D、（3，－3） # 4、点P（x，y），且xy＜0，则点P在（） A、第一象限或第二象限 B、第一象限或第三象限 C、第一象限或第四象限 D、第二象限或第四象限 5、如图1，与图1中的三角形相比，图2中的三角形发生的变化是（） A、向左平移3个单位长度 B、向左平移1个单位长度 C、向上平移3个单位长度 D、向下平移1个单位长度 6、如图3所示的象棋盘上，若○ 帅位于点（1，－2）上，○ 相位于点（3，－2）上，则○ 炮位于（） A、（1，－2） B、（－2，1） C、（－2，2） D、（2，－2） ? 7、若点M（x，y）的坐标满足x＋y＝0，则点M位于（） A、第二象限 B、第一、三象限的夹角平分线上 C、第四象限 D、第二、四象限的夹角平分 线上 8、将△ABC的三个顶点的横坐标都加上－1，纵坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（） A、将原图形向x轴的正方向平移了1个单位 B、将原图形向x轴的负方向平移了1个单位
A B C D (第17题) C 、将原图形向y 轴的正方向平移了1个单位 D 、将原图形向y 轴的负方向平移了1个单位 — 9、在坐标系中，已知A （2，0），B （－3，－4），C （0，0），则△ABC 的面积为（ ） A 、4 B 、6 C 、8 D 、3 10、点P （x －1，x ＋1）不可能在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 二、填空题（每小题3分，共18分） 11、已知点A 在x 轴上方，到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，那么点A 的坐标是_____。 12、已知点A （－1，b ＋2）在坐标轴上，则b ＝________。 13、如果点M （a ＋b ，ab ）在第二象限，那么点N （a ，b ）在第________象限。 [ 14、已知点P （x ，y ）在第四象限，且|x |＝3，|y |＝5，则点P 的坐标是______。 15、已知点A （－4，a ），B （－2，b ）都在第三象限的角平分线上，则a ＋b ＋ab 的值等于________。 16、已知矩形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，将矩形ABCD 沿 x 轴向左平移到使点C 与坐标原点重合后，再沿y 轴向下平移到使点D 与 坐标原点重合，此时点B 的坐标是________。 三、（每题5分，共15分） 17、如图，正方形ABCD 的边长为3，以顶点A 为原点，且有一组邻边与坐标轴重合，求出正方形 ABCD 各个顶点的坐标。 》 18、若点P （x ，y ）的坐标x ，y 满足xy ＝0，试判定点P 在坐标平面上的位置。 19、已知，如图在平面直角坐标系中，S △ABC ＝24，OA ＝OB ，BC ＝12，求△ABC 三个顶点的坐标。
专题：平面直角坐标系中的变化规律 ——掌握不同规律，以不变应万变 ◆类型一沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究 1．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3， 2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是________． 2．(2017·阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(0，1)，P2(1，1)，P3(1，0)，P4(1，－1)，P5(2，－1)，P6(2，0)，…，则点P2017的坐标是________． ◆类型二绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究 3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有() A．10个B．20个 C．40个D．80个 第3题图第4题图4．(2017·温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2 ︵ ，P2P3 ︵ ，P3P4 ︵ ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上的点P9的坐标为()
A．(－6，24) B．(－6，25) C．(－5，24) D．(－5，25) ◆类型三图形变化中的点的坐标探究 5．(2017·河南模拟)如图，点A(2，0)，B(0，2)，将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是() A．(16＋4π，0) B．(14＋4π，2) C．(14＋3π，2) D．(12＋3π ，0) 6．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)． (1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是__________，B4的坐标是__________； (2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形OA n B n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n的坐标是__________，点B n的坐标是__________．
初中数学函数之平面直角坐标系全集汇编 一、选择题 1．平面直角坐标系中，已知□ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B ( 2，－l )，C （－m，－n），则点D的坐标是（） A．（－2 ，l ) B．（－2，－l ) C．（－1，－2 ) D ．（－1，2 ) 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：∵平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，而A、C关于原点对称，故B、D也关于原点对称∴D（－2 ，l ）．故选A． 考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质． 2．若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，1﹣b）在（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 【答案】D 【解析】 分析：直接利用第二象限横纵坐标的关系得出a，b的符号，进而得出答案． 详解：∵点A（a+1，b-2）在第二象限， ∴a+1＜0，b-2＞0， 解得：a＜-1，b＞2， 则-a＞1，1-b＜-1， 故点B（-a，1-b）在第四象限． 故选D． 点睛：此题主要考查了点的坐标，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y 轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于1 2 MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于 点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）
A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=1 【答案】B 【解析】 试题分析：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上， 则P点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0， ∴2a+b=﹣1．故选B． 4．在平面直角坐标系中，点P(x﹣3，x+3)是x轴上一点，则点P的坐标是（）A．(0，6) B．(0，﹣6) C．(﹣6，0) D．(6，0) 【答案】C 【解析】 【分析】 根据x轴上的点的纵坐标为0列式计算即可得解． 【详解】 ∵点P（x﹣3，x+3）是x轴上一点， ∴x+3＝0， ∴x＝﹣3， ∴点P的坐标是（﹣6，0）， 故选：C． 【点睛】 本题考查了点的坐标，是基础题，熟记x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键． 5．如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为(－1，1)，AB平行于x轴，则点C的坐标为( ) A．(3，1) B．(－1，1) C．(3，5) D．(－1，5) 【答案】C 【解析】 解：∵正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（﹣1，1），AB平行于x轴，∴点B的横坐标为：﹣1+4=3，纵坐标为：1，∴点B的坐标为（3，1），∴点C的横坐标为：3，纵坐标为：1+4=5，∴点C的坐标为（3，5）．故选C． 点睛：本题考查坐标与图形性质，解题的关键是明确正方形的各条边相等，能根据图形找出它们之间的关系． 6．如图所示，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是()
平面直角坐标系单元测试题 、选择题（每小题3分，共30分） 1 ?如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用（0, 0）表示A 点，（0, 4）表示 B 点，那么C 点的位置可表示为（） A. （0，3） B . （2，3） C . （3，2） D . （3，0） 2 ?点 B （— 3,0 ）在（ ） A . x 轴的正半轴上 B . x 轴的负半轴上 C . y 轴的正半轴上 D . y 轴的负半轴上 3. 平行于x 轴的直线上的任意两点的坐标之间的关系是（ A.横坐标相等 B .纵坐标相等 C.横坐标的绝对值相等 D .纵坐标的绝对值相等 4. 下列说法中，正确的是（） A. 平面直角坐标系是由两条互相垂直的直线组成的 B. 平面直角坐标系是由两条相交的数轴组成的 C. 平面直角坐标系中的点的坐标是唯一确定的 D. 在平面上的一点的坐标在不同的直角坐标系中的坐标相同 5. 已知点 P i （-4，3）和 R （-4，-3），则 P i 和 R （） A.关于原点对称 B .关于y 轴对称 C.关于x 轴对称 D .不存在对称关系 6. 如果点P （5， y ）在第四象限，贝U y 的取值范围是（ ） A. y>0 B . y v 0 C . y> 0 D . y< 0 7. 一个正方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（一 2,— 3 ），（-2， 1）， （2，1），则第四个顶点的坐标为（ ） A. （2, 2）; B . （3, 2）; C . （2，— 3） D . （2, 3） 8. 在平面直角坐标系内，把点P （— 5,— 2）先向左平移2个单位长度，再向上 平移4个单位长度后得到的点的坐标是（ ） A. （-3 , 2）; B . （-7 , -6 ）; C . （-7, 2） D . （-3 , -6） 9. 已知P （0, a ）在y 轴的负半轴上，则 Q （-a 2-1,-a 1）在（） ■— y ： . -r" -.* C -: ... r * 1 …_L j, ■ ■■ A