题型一：垂径定理
题型：垂径定理
考点1．垂径定理求线段长度的
垂径定理——
2.多个中点
——知一推三
考点2、圆心角、弦、弧、弦心距关系定理知推三题型二：圆心角，弧、弦、弦心距关系定理
学生做题前请先回答以下问题 问题1：圆中相关的定理以及推论： 垂径定理：____________________________________________________； 推论：________________________________________________________； 总结：知二推三①___________________________________， ②_______________________，③______________________， ④_______________________，⑤______________________． 问题2：四组量关系定理：在_____________________中，如果_______________、______________、_______________、_______________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 问题3：圆周角定理：_______________________________________； 推论1：______________________________________； 推论2：____________________________；________________________________． 推论3：______________________________________． 问题4：三点定圆定理：_____________________________________． 问题5：圆中处理问题的思路： ①_______________________________________； ②_______________________________________； ③_______________________________________； ④_______________________________________． 圆中的基本概念及定理(一) 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图，CD是⊙O直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，连接BC，BD，则下列结论不一定正确的是( ) A. B.AF=BF C.OF=CF D.∠DBC=90°
圆中的基本概念及定理（讲义） ?课前预习 在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为，固定的线段长称为，还知道半径为r 的圆的周长为，面积为． 在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径． 一条弧AB 和经过这条弧的两条半径OA，OB 所组成的图形叫做扇形． 顶点在圆心的角叫做圆心角．
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?知识点睛 1.在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周， 另一个端点A 所形成的图形叫做．其固定的端点O 叫做，线段OA 叫做．以点O 为圆心的圆，记作，读作“圆O”． 2.圆中概念： 弧：，弧包括和； 弦：； 圆周角：； 圆心角：； 弦心距：； 等圆：； 等弧：． 3.圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是； 圆是中心对称图形，其对称中心为．4.圆中基本定理： *（1）垂径定理： ．推论： ．（2）四组量关系定理：在中，如果 、、、 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． （3）圆周角定理： ．推论1：． 推论2：， ．推论3： ．注：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．圆中处理问题的思路： ①找圆心，连半径，转移边； ②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式； ③遇直径，找直角，由直角，找直径； ④由弧找角，由角看弧．
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? 精讲精练 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为 M ，下列结论不一定成立的是（ ） ︵ ︵ A ．CM =DM B ． CB = B D C ．∠AC D =∠ADC D ．OM =MB 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC ，若 AB = 的半径为 ． ，则⊙O 3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 mm ． 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，圆拱桥桥拱的跨度 AB =12 m ，桥拱高 CD =4 m ，则拱桥的直径为 ． 5. 如图，在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB ，垂足为 E ，连接 OB ， CB ．已知⊙O 的半径为 2，AB = 2 ，则∠BCD = ． 6 3
14 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版 围田地 漫画释义 满分晋级阶梯 圆7级 期末复习之圆中的 重要结论及应用 圆6级 期末复习之圆的综合 圆5级 圆中三大切线定理 2 圆中三大切线定理
中考内容与要求 中考考点分析 圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考 15
16 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版 查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。 要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。 年份 2011年 2012年 2013年 题号 20，25 8，20，25 8，20，25 分值 13分 17分 17分 考点 圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系 圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系 圆中的动点函数图像，圆的基本性质(垂径定理、圆周角定理)，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系 知识互联网 题型一：切线的性质定理
17 题目中已知圆的切线，可以“连半径，标直角”，然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题。 【例1】 如图，在△ABC 中，BC AB =，以AC 为直径的⊙0与BC 边 交于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE ，交AB 于点E ，若 DE ⊥AB ．求证：BE AE 3=． 判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法，其中常用的是距离法和定理法，可以总结为六字口诀，定理法是“连半径，证垂直”，距离法是“作垂直，证半径”，定理法的使用频率最高，必须熟练掌握。 【例2】 如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过O 作OE ⊥AC 于点E ，过点A 作⊙O 的切线 交OE 的延长线于点F ， 典题精练 思路导航 典题精练 思路导航 题型二：切线的判定定理 E O D C B A
1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr2 3.扇形弧长l=nπr/180 4.扇形面积S=nπr2/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl 〖圆的定义〗 几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。 轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。 集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 〖圆的相关量〗 圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率， 值是 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944 5923078164062862089986280348253421170679...， 通常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)。 圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。 〖圆和圆的相关量字母表示方法〗 圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d 扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S 〖圆和其他图形的位置关系〗 圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
费尔巴赫定理 费尔巴赫定理三角形的九点圆与内切圆内切，而与旁切圆外切。 此定理由德国数学家费尔巴赫（K·W·Feuerbach，1800—1834）于1822年提出。 费尔巴赫定理的证明 在不等边△ABC中,设O,H,I,Q,Ia分别表示△ABC的外心，垂心，内心，九点圆心和∠A所对的旁切圆圆心.s,R,r,ra分别表示△ABC的半周长，外接圆半径，内切圆半径和∠A 所对的旁切圆半径,BC=a,CA=b,AB=c. 易得∠HAO=|B-C|,∠HAI=∠OAI=|B-C|/2; AH=2R*cosA,AO=R,AI=√[(s-a)bc/s],AIa=√[sbc/(s-a)] 在△AHI中，由余弦定理可求得: HI^2=4R^2+4Rr+3r^2-s^2; 在△AHO中，由余弦定理可求得: HO^2=9R^2+8Rr+2r^2-2s^2; 在△AIO中，由余弦定理可求得: OI^2=R(R-2r). ∵九点圆心在线段HO的中点, ∴在△HIO中，由中线公式可求得. 4IQ^2=2(4R^2+4Rr+3r^2-s^2)+ 2(R^2-2Rr)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2) =(R-2r)^2 故IQ=(R-2r)/2. 又△ABC的九点圆半径为R/2, 所以九点圆与内切圆的圆心距为 d=R/2-r=(R-2r)/2=IQ. 因此三角形的九点圆与内切圆内切。 在△AHIa中，由余弦定理可求得: IaH^2=4R^2+4Rr+r^2-s^2+2(ra)^2; 在△AOIa中，由余弦定理可求得: IaO^2=R(R+2ra). 在△HIaO中，由中线公式可求得. 4IaQ^2=2(4R^2+4Rr+r^2-s^2+2ra^2)+2(R^2+2Rra)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)=(R+2ra) ^2 故IaQ=(R+2ra)/2.
中考内容 中考要求 A B C 圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题 圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、 圆心角的关系 能用弧、弦、圆心角的关 系解决简单问题 能运用圆 的性质解 决有关问 题 圆周角了解圆周角与圆心角的关系； 知道直径所对的圆周角是直角 会求圆周角的度数，能用 圆周角的知识解决与角有 关的简单问题 能综合运 用几何知 识解决与 圆周角有 关的问题 垂径定理会在相应的图形中确定垂径定 理的条件和结论 能用垂径定理解决有关问 题 点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了 解切线的概念，理解切线与过 切点的半径之间的关系；会过 圆上一点画圆的切线；了解切 线长的概念 能判定直线和圆的位置关 系；会根据切线长的知识 解决简单的问题；能利用 直线和圆的位置关系解决 简单问题 能解决与 切线有关 的问题 圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题 弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题 扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题 圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积 能解决与圆锥有关的简单 实际问题 中考内容与要求 圆中三大基本定理
圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新题型。 要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解 年份2011年2012年2013年 题号20，25 8，20，25 8，20，25 分值13分17分17分 考点 圆的有关证明，计 算（圆周角定理、 切线、等腰三角形、 相似、解直角三角 形）；直线与圆的 位置关系 圆的基本性质，圆 的切线证明，圆同 相似和三角函数的 结合；直线与圆的 位置关系 圆中的动点函数图 像，圆的基本性质 (垂径定理、圆周角 定理)，圆同相似和 三角函数的结合； 直线与圆的位置关 系 中考考点分析 知识互联网 题型一：垂径定理
学生做题前请先回答以下问题 问题1：圆中处理问题的思路： ①找圆心，连半径，转移边； ②遇弦，_________，垂径定理配合__________建等式； ③遇直径，__________，由直角，__________； ④由弧找______，由_____看______． 圆中的基本概念及定理（二）（人教版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.下列说法正确的是( ) A.长度相等的弧叫等弧 B.平分弦的直径一定垂直于该弦 C.三角形的外心是三条角平分线的交点 D.不在同一直线上的三个点确定一个圆 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角形的外接圆与外心 2.如图，CD是⊙O的直径，已知∠1=30°，则∠2=( ) A.30° B.45° C.60° D.70°
答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：圆心角、弧、弦的关系 3.一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD的长为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆周角定理 4.CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是( ) A.8 B.7 C.2或8 D.3或7 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：垂径定理 5.如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：垂径定理、圆周角定理、解直角三角形 6.如图所示，一圆弧过方格的格点A，B，C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(-2，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是( ) A.(-1，2) B.(1，-1) C.(-1，1) D.(2，1) 答案：C 解题思路：
圆的性质及定理 圆的初步认识 一、圆及圆的相关量的定义(2８个）?１.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。 2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。? 3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。?5．直线与圆有３种位置关系：无公共点为相离；有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。?６.两圆之间有５种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切;有２个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。?7.在圆上,由２条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。?二、有关圆的字母表示方法(７个） 圆--⊙半径—r 弧--⌒直径—d?扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—Ｓ 三、有关圆的基本性质与定理（27个) 1.点P与圆Ｏ的位置关系（设P是一点,则PＯ是点到圆心的距离): P在⊙O外,PO>ｒ;Ｐ在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内,PＯ<ｒ。?2．圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。?３.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦(不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。? 4.在同圆或等圆中,如果2个圆心角，2个圆周角,２条弧，２条弦中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 5．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 6.直径所对的圆周角是直角。9０度的圆周角所对的弦是直径。?７.不在同一直线上的３个点确定一个圆。?8．一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形3个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形３边距离相等。 9.直线AB与圆O的位置关系（设ＯP⊥AＢ于P，则PO是AB到圆心的距离): ＡB与⊙Ｏ相离,ＰO>ｒ;AB与⊙O相切，PO=r；AB与⊙O相交，ＰO＜r。 １0.圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。 11．圆与圆的位置关系（设两圆的半径分别为R和r，且R≥ｒ,圆心距为P）：?外离P>R＋r;外切P=R+ｒ;相交R－r＜Ｐ＜Ｒ+ｒ；内切P=R-r;内含P 1 初三秋季·第1讲·尖子班·教师版 π是什么？ 满分晋级阶梯 漫画释义 圆5级 圆中三大切线定理 圆4级 圆中三大基本定理 圆3级 正多边形 和圆与圆中的计算 1 圆中三大基本定理 2 初三秋季·第1讲·尖子班·教师版 圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考中考考点分析 中考内容与要求 3 初三秋季·第1讲·尖子班·教师版 查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新题型。 要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解 年份 2011年 2012年 2013年 题号 20，25 8，20，25 8，20，25 分值 13分 17分 17分 考点 圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系 圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系 圆中的动点函数图像，圆的基本性质(垂径定理、圆周角定理)，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系 垂径定理反映的是经过圆心的直线和圆中弦的关系，“要求弦长，先求弦长的一半”，注意对由半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形模型的理解和应用. 暑期知识点回顾： 知识互联网 思路导航 题型一：垂径定理 4 初三秋季·第1讲·尖子班·教师版 【例1】 ⑴ 如图，BD 是⊙O 的弦，点C 在BD 上，以BC 为边作等边三角形 △ABC ，点A 在圆内，且AC 恰好经过点O ，其中BC =12，OA =8， 则BD 的长为（ ） A ．20 B ．19 C ．18 D ．16 （2012通州一模） ⑵ 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，以点C 为 圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为 ． （2013黄石） 【解析】 ⑴A; ⑵ 5 18 . 【例2】 ⑴ 如图，AB 是O 直径，弦CD 交AB 于E ，45AEC ∠=?， 2AB =．设A E x =，22CE DE y +=．下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的是（ ） A B C D （2012海淀期中） ⑵ 如图，圆心在y 轴的负半轴上，半径为5的⊙B 与y 轴的正半轴交于点()1 0， A ，过点()7 0-，P 的直线l 与 ⊙ B 相交于 C 、 D 两点．则弦CD 长的所有可能的整 数值有（ ） 典题精练 B A C D B A 圆中的基本概念及定理（综合） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是( ) A.AC=AB B.∠C=∠BOD C.∠C=∠B D.∠C=∠BOD 答案：B 解题思路： 如图，连接OA ∵直径CD⊥AB ∴弧AD=弧BD ∴∠AOD=∠BOD ∵∠C=∠AOD ∴∠C=∠BOD 故B选项正确 试题难度：三颗星知识点：略 2.如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=，CD=1，则BE的长是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案：B 解题思路： ∵OC⊥AB，AB= ∴AD=BD=AB= 设OD=x ∵CD=1 ∴OA=OC=x+1 在Rt△AOD中， ∴x=3 ∵O是AE的中点 ∴OD是△ABE的中位线 ∴BE=2OD=6 试题难度：三颗星知识点：略 3.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，若∠CAB=25°，则∠ADC的度数为( ) A.65° B.55° C.60° D.75° 答案：A 解题思路： 如图，连接OC ∵OA=OC ∴∠CAO=∠OCA ∵∠CAB=25° ∴∠OCA=25° ∴∠AOC=130° ∴∠ADC=∠AOC=65° 试题难度：三颗星知识点：略 4.如图，点A，B，C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB=( ) A.10° B.20° C.40° D.80° 答案：B 解题思路： ∵∠BAC=40° ∴∠BOC=2∠BAC=80° ∵∠BOC=2∠AOB ∴∠AOB=40° ∴∠ACB=∠AOB=20° “圆”来如此 解构圆中基本图形——求解线段长（-） 成都七中嘉祥外国语学校张绮 一、教学目标： 1.1 知识与技能目标 1）应用基本模型、基本定理、基本数学思想求解圆中线段长； 2）应用建模的思想分解出圆中的基本图形。 1.2过程与方法目标 1）经历解模型，用模型，构模型的探索过程，通过学生观察猜想、推理论证等自主探索与合作交流，进一步发展推理能力； 2）能应用复杂图形中抽取出的基本图形或基本模型，再运用相关的基本定理，基本的数学思想求解线段长； 1.3情感与态度目标 让学生在解模型，用模型，构模型的探究过程中不仅学会应用基本模型解决问题，提高自己的解题速度和解题能力。更重要的是通过这一探究活动培养良好的思维品质和优秀的学习习惯。在学习过程中形成独特的人格魅力。 二、教学重点和难点 2.1教学重点： 通过探究二活动，学习从复杂的图形中分解出基本的图形（有的是模型）再应用相关的基本定理、基本数学思想求线段长。 2.2教学难点： 从复杂图形中分解出基本图形 2.3突出重点和突破难点的策略 我通过“问题串”的形式递进式探究问题，突破难点. 三、教学方法和学法指导 本节课的设置选择了“探究-发现”的教学模式,以问题串的形式出现； 3.1教师的教法 通过对周末定时练习题（A20）的回顾，激发学生的兴趣，通过分解、探究、应用、构建一系列学习活动，师生、生生的交流互动，引导学生利用基本模型、基本图形、基本定理把复杂的问题简单化。渗透建模的思想，转换的思想，有意识培养学生良好的思维品质和学习习惯。 3.2学生的学法 注重学生间的交流探究。培养良好的思维品质和合作学习的能力 四、教学过程 4.1 引入——课前定时作业（A卷最后一题A20）的回顾、分析。 (设计意图：从学生感到困难的A20出发，激发学生兴趣) 4.2 探究活动 数学初中知识点：圆的定义、基本性质 与定理 基本性质与定理 1。点P与圆O的位置关系： P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。 2。圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 3。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 4。在同圆或等圆中，如果2个圆心角，2个圆周角，2条弧，2条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 5。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 6。直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 7。不在同一直线上的3个点确定一个圆。 8。一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形3边距离相等。 9。直线AB与圆O的位置关系： AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙ O相交，PO＜r。 10。圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。 11。圆与圆的位置关系： 外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。 定义 1。平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。 2。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 3。顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 4。过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 5。直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有2个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。 6。两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在 一些圆的性质及定理 圆的基本性质 平面上到定点距离等于定长的点的集合 周长2πr（滚一圈），面积πr2（微元法） 切、割、弦、角 切线长定理 1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等； 2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径； 3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形； 4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补； 5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 圆周角定理 圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。（连接圆心和三点，利用等腰三角形。同时定理说明同一条弧所对的圆周角是相等的） 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角。（利用切点半径垂直于切线和半径相等构成等腰三角形） 圆内角和相交弦定理 1）圆内角：圆的两条弦在圆内相交所成的角叫做圆内角。 2）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。（对两个对顶圆内角作所在的三角形证相似） 切割线定理 切割线定理是指从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。（通过连接切点和割线与圆的交点，利用弦切角定理证明相似） 圆外角和割线定理 1）圆外角：过圆外一点作圆的两条割线所成的角叫做圆外角。 2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 （过圆外角定点作圆切线，用两次切割线定理） 圆幂定理 过一定点P作直线交⊙O于两点，点P与两交点所成线段长度乘积等于|OP2-r2|。（该定理是相交弦、切割线和割线定理的统一，可以分情况一一证明） 圆和三角形 三角形内心和内切圆 1）内心：三个内角角分线交点，记I 内心到三边距离相等（AAS），记r 2）内切圆：以内心为圆心半径为r的圆 三边所在直线为内切圆切线。 关于圆的几个定理 1.四点共圆 1.1定义：若四边形ABCD的四点同时共于一圆上，则称A，B，C，D四点共圆基本性质：若凸四边形ABCD是圆内接四边形，则其对角互补 1.2定义：若存在一点O使OA=OB=OC=OD，则A，B，C，D四点共圆 2.若干定理 圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形式。相交弦定理：P是圆内任一点，过P作圆的两弦AB，CD，则PA PB PC PD ?=? （切）割线定理：P是圆外任意一点，过P任作圆的两割（切）线PAB，PCD，则 PA PB PC PD ?=? 圆幂定理：P 是圆O 所在平面上任意一点（可以在圆内，圆上，圆外），过点P 任作一直线交圆O 于A ，B 两点（A ，B 两点可以重合，也可以之一和P 重合）， 圆O 半径为r ，则有：22||PA PB PO r ?=- 圆内接四边形判定方法 相交弦定理逆定理：如果四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点P ，且满足 PA PC PB PD ?=?，则四边形ABCD 有一外接圆 切割线定理逆定理：如果凸四边形ABCD 一双对边AB 与DC 交于点P 且满足PA PC PB PD ?=?，则四边形ABCD 有一外接圆 射影定理：RTΔABC 中，BC 是斜边，AD 是斜边上的高,则 222(1)(2)(3)AD BD CD AB BD BC AC CD BC =?=?=? Miquel 定理：ΔABC 中，X ，Y ，Z 分别是直线AB ，BC ，AC 上的点，则 AXZ BXY CYZ O ,, 共于一点 这样的点O称为X，Y，Z对于ΔABC的Miquel点 Simson定理 P是ΔABC外接圆上一点，过点P作PD垂直BC，PE垂直于AB，同理PF 则D，E，F是共线的三点 直线DEF称为点P关于ΔABC的Simson线 圆中的基本概念及定理（讲义） 课前预习 在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为，固定的线段长称为，还知道半径为r 的圆的周长为，面积为 ． 在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径． A O 一条弧AB 和经过这条弧的两条半径OA，OB 所组成的图形叫做扇形．顶点在圆心的角叫做圆心角． 知识点睛 1.在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个 端点A 所形成的图形叫做．其固定的端点O叫做，线段OA 叫做．以点O 为圆心的圆，记作 ，读作“圆O”． 2.圆中概念： 弧：，弧包括和； 弦：； 圆周角：； 圆心角：； 弦心距：； 等圆：； 等弧：． 3.圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是； 圆是中心对称图形，其对称中心为．4.圆中基本定理： *（1）垂径定理： ．推论： ．（2）四组量关系定理：在中，如果 、、、 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． （3）圆周角定理：．推论1：． 推论2：， ．推论3：． 注：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边 形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． O O O O 圆中处理问题的思路： ①找圆心，连半径，转移边； ②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式； ③遇直径，找直角，由直角，找直径； ④由弧找角，由角看弧． C D O A B C D A R B A B 精讲精练 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为 M ，下列结论不一定成立 的是（ ） ︵ ︵ A ．CM =DM B ． C B =B D C ．∠ACD =∠ADC D ．OM =MB A M O B C 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC ，若 AB = 的半径为 ． ，则⊙O 3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 mm ． O 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，圆拱桥桥拱的跨度 AB =12 m ，桥拱高 CD =4 m ，则拱桥的直径为 ． 5. 如图，在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB ，垂足为 E ，连接 OB ， CB ．已知⊙O 的半径为 2，AB = 2 ，则∠BCD = ． C O E D 6 A 8 mm B 3 切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 如图1对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角（如图2）：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）∠APC,∠APD,∠BPD,∠BPC 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。即如上图中∠APC=∠CDP等 证明：如图2，连接CD、OC、OP，因为∠CPO=∠PCO,所以∠COP=180?-2∠CPO而∠CPO=90?-∠APC,故∠COP=2∠APC,即∠CDP=∠APC。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理图形已知结论证法 相交 弦定 理 ⊙O中， AB、CD 为弦，交 于P. PA·PB＝PC·PD 连结AC、BD，∠C=∠B,∠A=∠D, 所以△APC∽△DPB 相交 弦定 理的 推论 ⊙O中， AB为直 径， CD⊥AB 于P. PC2＝PA·PB 用相交弦定理. 图1 图2 (完整)圆中的基本概念及定理 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)圆中的基本概念及定理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)圆中的基本概念及定理的全部内容。 圆中的基本概念及定理(讲义) 一、知识点睛 1． 平面上到_____的距离等于_____的所有点组成的图形 叫做圆，其中，_____称为圆心，_____称为半径；圆O 记作 _____． 2． 圆中概念： 弧：_________________________；弧包括______和_______； 弦：_______________________________________________； 圆周 角 ：___________________________________________ ； 圆 心 角:___________________________________________; 弦心距：___________________________________________． 3． 圆的对称性: 圆是轴对称图形，其对称轴是_________________________； 圆是中心对称图形，其对称中心为_____________________． 4． 圆中基本定理： （1）垂径定 理:_____________________________________ ______________________________________________; 推论：_________________________________________ ______________________________________________； 总结：知二推三①_______________________________, ②_____________________，③____________________， ④_____________________，⑤____________________． （2）四组量关系定理:在_____________________中，如果_______________、 圆定理_公式总结 1 圆的基本性质 1 1圆的定义 在平面内,和某一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆周,简称为圆；其中定点叫做圆的圆心,廉结圆心与圆上任意一点的线段叫做半径 同圆的半径都相等 连结圆上任意两点的线段叫做这个圆的弦,通过圆心的弦叫做直径 圆上任意两点间的部分叫做弧 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 两个圆全等的充要条件是两个圆的半径相等 半径相等的圆叫做等圆,同圆或等圆的半径相等 1 2 不共线的三点确定一个圆 经过一点可以作无数个圆 经过两点也可以作无数个圆,且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上 定理过不共线的三个点,可以作且只可以作一个圆 推论三角形的三边垂直平分线相交于一点,这个点就是三角形的外心 三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心 1．3 垂径定理 圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心 圆是周对称图形,任一条通过圆心的直线都是它的对称轴 定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且评分弦所对的两条弧 推论1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧 推论2 弦的垂直平分弦经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 推论3 平分弦所对的一条弧的直径,垂直评分弦,并且平分弦所对的另一条弧 1.4 弧、弦和弦心距 定理在同圆或等圆中,相等的弧所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等 2 圆与直线的位置关系 2.1圆与直线的位置关系 如果一条直线和一个圆没有公共点,我们就说这条直线和这个圆相离 如果一条直线和一个圆只有一个公共点,我们就说这条直线和这个圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做它们的切点 定理经过圆的半径外端点,并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线 定理圆的切线垂直经过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 如果一条直线和一个圆有两个公共点,我们就说,这条直线和这个圆相交,这条直线叫这个圆的割线,这两个公共点叫做它们的交点 直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种 2016年春季初三数学学案 圆 一、学习目标 1、熟记并运用圆内定理 2、学会圆内等角的表示或者找角的关系 3、学会运用圆内定理与三角形、四边形等性质一起结合使用。 二、知识点总结 知识点一 圆内定理 1、一个基本思路：圆→等腰三角形→等腰、等角、三线合一 2、三个基本概念：（同圆或者等圆中）弦、弧、圆心角【一等即三等】 【★注意：弦等不能得到圆周角相等】 3、四大定理： （1）圆周角定理：在同圆或等圆中：①同弧或等弧所对的圆周角相等②都等于这条弧所对圆心角的一半 【六字真言→_→隐藏条件：角 找 弧，弧 找 角】 （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。【直 径 → 90°】 （3）圆内接四边形的对角互补【→_→隐藏条件：外 角 等 于 内 对 角】 例1、（2014年质检）如图9，⊙O 是△ABC 的外接圆，D 是︵ACB 的中点，DE ∥BC 交AC 的延长线于点E ，若 AE=10，∠ACB=60°，求BC 的长． 基础练习（★）： 1．（一中第一次月考）如图，BC CD DE ==，已知AB 是圆O 的直径，40BOC ∠=，那么AOE ∠=( ) A ．40? B ．60? C ．80? D ．120? 2．（一模）如图，O 是ABC ?的外接圆，100BOC ∠=?，则A ∠的度数为 第3题 图9 O E D C B A C O 图2B A E D O 图8C B A 3．（双十月考、外国语期中）如图，O 是ABC ?的外接圆，若40OCB ∠=?，则A ∠= 。 4．（莲花月考）如图，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形顶点，O 的半径为2，P 是O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于（ ） A ．30? B ．45? C ．60? D ．90? 5．（湖滨期中）如图，ABC ?为O 内接三角形，AB 为O 的直径，点D 在O 上，68ADC ?∠=， 则BAC ∠的度数为 ． 6．（莲花月考）圆的弦长与它的半径相等，则该弦所对的圆周角的度数是（ ） A ．30? B ．150? C ．30?或150? D ．60? 7、（厦门中考）如图2，在⊙O 中，︵AB ＝︵ AC ，∠A ＝30°，则∠B ＝_________ A ．150° B ．75° C ．60° D ．15° 8、（九上质检）如图，在⊙O 中，弦AC 和BD 相交于点E ，︵AB ＝︵BC ＝︵CD .若∠BEC ＝110°，则∠BDC 的度数是 A . 35° B . 45° C .55° D . 70° 9、（同安一模）如图P ，在圆内接四边形ABCD 中，若∠C =80°，则∠A 等于( ) A ．120° B ．100° C ．80° D ．90° 10、（2014年厦门质检） 如图2，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，若∠AOC ＝110°，则∠ABC ＝ °. 11、（厦门中考）如图8，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，延长DC ，AB 相交于点E ．若BC ＝BE ．求证：△ADE 是等腰三角形. 图1 O E D C B A 图2O C B A 图P第1讲.圆中三大基本定理.尖子班.教师版
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