多项式,高次方程,复数

第四讲 多项式、高次方程与复数

多项式问题，就内容来说，常涉及到多项式的恒等，多项式的运

算，整值多项式，多项式的根，多项式的公因式，因式分解，多元多

项式等.

一、

一元多项式 先从一个实际试题谈起.

例1. 计算 4444444444(10324)(22324)(34324)(46324)(58324)(4324)(16324)(28324)(40324)(52324)

++++++++++ 解：仔细观察各括号中的式子，都具有的形式，而 4()324f a a =+

422221818218a a a =+??+-?

222(18)(6)a a =+-

22(618)(618)a a a a =-+++

2()(6)(()618)q a q a q a a a =+?=-+

命4a =,18,10,16,22,…,58,则 原式(10)(22)(34)(46)(58)(4)(16)(28)(40)(52)f f f f f f f f f f = (10)(16)(22)(28)(58)(64)(4)(10)(16)(22)(58)q q q q q q q q q q q ??=

?? (64)3730373(14)10

q q ===. 例2. 以(1)x -的方幂表示232x x ++.

解 设2232(1)(1)x x A x B x C ++≡-+-+，

于是2232(2)()x x Ax B A x A B C ++≡+-+-+

比较恒等式两端同类项的系数，得A=1, 2A+B=3, A-B+C=2.

解之，得 A=1, B=5, C=6.

于是2232(1)5(1)6x x x x ++≡-+-+.

例3. 求多项式()f x 被()()x a x b --除的余式.

解 因为除式是二次多项式，所以余式最多是一次二项式.

设 (()()()()f x Q x x a x b Ax B =--++

令 ,x a x b ==，分别可得

(),()f a Aa b f b Ab B =+=+.

可此可得

()()()(),f a f b bf a af b A B a b b a

--==-- 于是所求余式为

()()()()f a f b bf a af b x a b b a --+-- 例 4. 试将多项式432()1f x x x x x =++++表示为两个不同次数

的实系数多项式的平方差的形式.

分析：可以预见到()f x 有形式：

222()()()(0)f x x ax b cx d c =++-+≥.

想一想为什么？

解：

设4322221()()x x x x x ax b cx d ++++=++-+

432222(2)x ax a b c x =+++-22(22)()ab cd x b d +-+-.

其中a b c d 、、、是待定系数，且0c ≥.由多项式的恒等定理得方

程组

22221,2121,21,221,1.0.

a a

b a b

c ab c

d c b d d ?=?=???=+-=?????-=??=??-=??=? 故 21()12u x x x =++

，()2

v x x =是一个解， 其余三个解为：(),();(),();(),()u x v x u x v x u x v x ----.

二、多元多项式

多元多项式有多种类型，一般可分为齐次多项式和非齐次多项式

两大类.

如果对n 元多项式12(,,,)n f x x x 的变数字母的下标集

｛1,2,…,n ｝施行任意一个置换后，12(,,,)n f x x x 都不改变，那么就称

12(,,,)n f x x x 为一个n 元对称多项式. 例如 2221212(,,

,)n n f x x x x x x =+++. 又如 (,,)f x y z

22222x y z xy xz =++++22221yz x y z +---+

与 (,,)()()()f x y z x y y z z x =+++.

也是对称多项式.由此可见，对称多项式也可以是齐次的，也可以

是非齐次的.

利用待定系数法可以计算齐次对称多项式的同型项的系数.

例5. 求3()a b c ++的展开式

解 3()a b c ++的展开式是三次齐次对称多项式.

设 3()a b c ++333()L a b c =++

222222()M a b ab a c ac b c bc ++++++Nabc +.

取1,0,0a b c ===, 得 1L = ①

取1,1,0a b c ===,得822L M =+②

取1,1,1a b c ===,得27=3L+6M+N.③

由①、②、③式解得

L=1, M=3, N=6, 于是3()a b c ++33322333a b c a b b a a c =+++++2223336c a b c c b a b c ++++. 如果对n 元多项式12(,,

,)n f x x x 的变数字母按照某种次序施行一次轮换后，得到与原来相同的多项式，那么就称12(,,

,)n f x x x 为轮换对称多项式.

例如， 222122331x x x x x x ++； 333()()()x y y z z x -+-+-；

()()()x y z y z x z x y -+-+-+

都是轮换对称多项式，轮换对称多项式不一定是对称多项式，例

如，222x y y z xz ++不是对称多项式，但对称多项式一定是轮换对称多

项式.

三、多项式的恒等变形.

一个多项式用另一个与它恒等的多项式代换称为多项式的恒等变

形.

由多项式乘法的某些特殊情形的结果而形成多项式恒等变形的常

用公式：

（1）222()2x y x xy y +=++；

（2）222()2x y x xy y -=-+ ；

（3）22()()x y x y x y +-=-

（4）33223()33x y x x y xy y +=+++；

（5）33223()33x y x x y xy y -=-+-；

（6）2233()()x y x xy y x y -++=-；

（7）2233()()x y x xy y x y +-+=+；

（8）2()()()x a x b x a b x ab ++=+++；

（9）211()n x x x +++ 2221212131222n n n x x x x x x x x x -=++++++.

（10）1221()()n n n n x y x x y xy y -----++++n n x y =-

（11）222()()x y z x y z xy yz zx ++++---

3333x y z xyz =++-.

（12）()n x y +011n n n n c x c x

y -=+ 222n k n k k n n n n n c x y c x y c y --++

+++. 其中0(1)(1)1.!

k n n n n n k c c k --+== (0,,)k n k N n N <≤∈∈.

例6. 已知x y a +=，221x y +=，求证

455

(5)4a a x y -+=. 证：55432234()()x y x y x x y x y xy y +=+-+-+

42243223(2)a x x y y x y x y xy =++---

22222[()()]a x y xy x xy y =+-++[1(1)]a xy xy =-+.

因为22222()()1xy x y x y a =+-+=-， 所以212

a xy -=，于是 22455

11(5)[1(1)]224a a a a x y a ---+=-+= 四、多项式的因式分解

多项式的因式分解与多项式相乘是相反的恒等变形过程，因此，

多项式因式分解的基本方法是多项式运算法则与运算律的运用.

例7. 将(1)(2)(3)(4)1x x x x +++++分解因式.

解 (1)(2)(3)(4)1x x x x +++++

[(1)(4)][(2)(3)]1x x x x =+++++

22(54)(56)1x x x x =+++++

222(54)2(54)1x x x x =++++++

2222[(54)1](55)x x x x =+++=++.

例8. 将51n n x x ++分解因式.

解 552211n n n n n n x x x x x x ++=-+++

232(1)(1)n n n n x x x x =-++

222(1)(1)(1)n n n n n n x x x x x x =-++++++

232(1)(1)n n n n x x x x =++-+

例9. 将432441369x x x x -+-+分解因式.

解 因为首项与常数项分别为完全平方式，于是，设

43222441369(23)x x x x x mx -+-+=++.

因为 22(23)x mx ++

432244(12)69x mx m x mx =+++++.

所以 44m =-，从而 11n =-.

因为 2212(1)1213m +=-+=，66m =-.

所以，1m =-满足所设的等式，于是

43222441369(23)x x x x x x -+-+=-+.

例10. 将555()x y x y +--分解因式

解 555()x y x y +--

5432234510105x x y x y x y xy =++++555y x y +--

32235(22)xy x x y y x y =+++

335[()2()]xy x y xy x y =+++

225()()xy x y x xy y =+++

例11. 把5555()x y z x y z ++---分解因式

分析和解: 不难看出，当x y =-时，已知多项式等于零，因此，

多项式能被x y +整除.同样，当x z =-和y z =-时，多项式等于零.因

此多项式能被x z +和y z +整除.因此，我们可以肯定多项式能被

()()()x y x z y z +++整除.这个结果可以说明，多项式可以写成

2()()()(,,)x y x z y z P x y z +++的形式，其中2(,,)P x y z 是二次多项式，由

于已知多项式和()()()x y x z y z +++是

齐次和对称多项式，所以2(,,)

P x y z 也应当是齐次和对称多项式，也就是说，它可以写成： 222()()A x y z B xy xz yz +++++，

其中A 和B 是待确定的系数.假定恒等式

5555()x y z x y z ++---=()()()x y y z z x +++

222[()()]A x y z B xy yz zx +++++

中先取1,1,0x y z ===，然后取1,1,1x y z ===，得到215A B +=，

10A B +=，解得5,5A B ==.

于是 5555()x y z x y z ++---

5()()()x y y z z x =+++222()x y z xy yz zx +++++.

例12. 求证：有无穷多个自然数a ，使得4z n a =+对于任何非

零自然数n 均为合数.

分析: 根据题意，应设法找到无数个自然数a ，使得4n a +能分

解成两个大于1的自然数的积.不妨取1,2,3,4,a =去试，会发现a 是

4的倍数时，用拆项、添项、配方较为方便.进一步探索发现a 为44k 形

式的数，能使z 分解因式.

解 设44a k =（k 为大于1的自然数），则

444z n k =+

422422444n k n k k n =++-

=2222(2)(2)n k kn +-

=2222(22)(22)n k kn n k kn +++-.

因为1k >，222222()1n k kn n k k ++=++>，

222222()1n k kn n k k +-=-+>.

所以z 能分解为两个大于1的自然数之积，又k 是任意大于1的自

然数，有无穷多个值。

例13. 已知a 是自然数，向4239a a -+是质数还是合数？

分析 质数只有1和它本身两个约数，而合数除了1和它本身还

有别的约数，要判定4239a a -+是质数还是合数，关键看它能否分解

因式，并且有没有除了1和它本身以外的约数.

解 4242239(69)9a a a a a -+=++-

222(3)(3)a a =+-

22(33)(33)a a a a =++-+.

当0a =时，42399a a -+=是合数.

当1a =时，42397a a -+=是质数.

当2a =时，423913a a -+=也是质数.

当2a >时，2331a a ++>，

233(2)(1)11a a a a -+=--+>，

这说明，此时4239a a -+可以分解为两个大于1的自然数的积，

即它为合数.

所以，当1a =或2时，4239a a -+是质数；

当0a =或2a >时，4239a a -+是合数.

例14. 解不等式

1210864353210x x x x x +++--<.

解 分组分解：

121081086()(222)x x x x x x +-++-864(444)x x x ++-

64242()(1)0x x x x x ++-++-<，

可得 864242(241)(1)0x x x x x x +++++-<，

所以4210x x +-<，

即 220x x ?< ?

???，

所以212x -+<， 即 x <<例15. 设,,a b c 是三角形的三边，求证几何不等式

22()a b c +22()b c a ++22()c a b ++3332a b c abc >+++.

证：由于0,0,0a b c b c a a c b +->+->+->

而 2222()()a b c b c a ++++22333()2c a b a b c abc +----

222222(2)(2)a b c bc a b a c ac b =+--+++-222(2)c a b ab c ++--

2222()()a b c a b a c b ????=--++-????22()c a b c ??+--??

()()()0a b c b c a a c b =+-+-+->.

从而要证的不等式成立.

五、高次方程

1．三次简化方程的韦达公式

如果123,,x x x 是方程320x px qx r +++=的根，那么有

123x x x p ++=-,

122331x x x x x x q ++=,

123x x x r =-.

实际上，如果123,,x x x 是已知方程的根，

那么 32123()()()x px qx r x x x x x x +++=---

即 32x px qx r +++

32123()x x x x x =-++122331123()x x x x x x x x x x +++-

比较x 的同次幂的系数，即证.

2．n 次方程的韦达定理.如果12,,n x x x 是方程

11120n n n n x p x p x p --+++

+=的根，那么有 121n x x x p +++=-

122312n n x x x x x x p -++

+=，

(12)

(1)n n n x x x p =-.

3．如果整系数方程

1110n n n n x p x p x p --++

++= （系数12,,n p p p 是整数）有不等于0的整数根，那么这个根一

定是常数项n p 的约数.

实际上，如果一个不等于零的整数k 是已知方程的根， 那么

1110n n n n k p k p k p --++++=，

即 12110n n n n p k p k p k ---++

++=， 从这个式子可以看出，n p 应当被k 整除，也就是说，k 应当是常

数项n p 的约数.

例16. 已知123,,x x x 是方程310x x -+=的三个根，

求555123

x x x ++的值. 解：如果123,,x x x 是原方程的根，则有

31110x x -+=，32210x x -+=，33310x x -+=，

即 3111x x =-，3221x x =-，3331x x =-. 因此有

555323232123112233

x x x x x x x x x ++=?+?+? 222112233

(1)(1)(1)x x x x x x =-+-+- 323232112233

x x x x x x =-+-+- 222112233

111x x x x x x =--+--+-- 2221231233()x x x x x x =++--++

2123123()3[()x x x x x x =++--++ 1223312()]x x x x x x -++

2123123()()x x x x x x =++-++12233132()x x x x x x -+++

20032(1)5=--+?-=-.

例17. 设实系数方程320x x ax b ---=有三个正根，证明：方程

320x x bx a -++=必有一正根.

证明：设方程

320x x ax b ---= ①

的三个正根为123,,x x x ，又设方程

320x x bx a -++= ②

的三个根为123,,y y y ，由韦达定理，得

1231x x x ++= ③

122334x x x x x x a ++=- ④

123x x x b = ⑤

1231y y y ++= ⑥

122331y y y y y y b ++= ⑦

123y y y a =- ⑧

由④、⑤知,0a b b <>，因此方程②的系数恰好正负相间，这说明

方程②不可能有负数根和零根.

由于方程②是三次方程，故它必有一实根.此根只可能是正根.

例18. 求方程44222028107x y x y --+=的整数解.

分析 如果我们能够把这个方程变形，写成12(,)(,)f x y f x y a ?=（a

是整数）的形式，而因式1(,)f x y 和2(,)f x y 是整系数的关于x 和y 的整

函数的形式，那么已知方程的解的解法就可以求出.

因此，我们应当集中力量去做这种变形.

解 44222028x y x y --+

42222422244x x y x y y x x =+---++222449696y y +-+

42222242(24)(24)x y x x x y y y =+--+-22(4496)96x y ++-+

222222(24)(24)x x y y x y =+--+-224(24)96x y ++-+

2222(24)(4)96x y x y =+--++.

用最后得到的式子代替原方程的左边，得

2222(24)(4)11x y x y +--+=.

问题归结为求下列各方程组的整数解.

①2222412411

x y x y ?-+=??+-=??； ②2222412411x y x y ?-+=-??+-=-??

； ③2222411241

x y x y ?-+=??+-=?? ④2222411241

x y x y ?-+=-??+-=-??； 方程①和方程④没有整数解.

方程②和方程③的整数解是：

(,)(2,3);(2,3);(4,3);(4,3)x y =----；

(,)(2,3);(2,3);(4,3);(4,3)x y =----.

说明：方程左边所作的变形，同因式分解有关.但要求的技巧比较

高.能否有技巧不这么高的其他方法呢？

已知方程的左边可以看作是关于2u 的二次多项式.但我们会分解

二次多项式的因式.为简单起见，设2x u =，2y v =.于是，已知方程变

形为：

222028107u v u v --+= （A ）

方程左边的根是 1,210u =从这个式子可以看出，要使12,u u 是有理根，只需在方程左边减去

96，即把方程写成

2220289611u v u v --+-=. （B ）

1,210u =

10(14)v =±-

解得14u v =-，224u v =-，

方程（B ）可以写成

(4)(24)11u v u v --+-=.

例19. 解方程4324410x x x x -+++=

解 配方得：222(2)(341)0x x x x ----=，引入参数t ：

22222(2)(34124)0x x t x x tx xt t -+---+-+=，

即 2222(2)[(32)4(1)1]0x x t t x t x t -+-+-++-=.

为使第二项为完全平方项，由

22[4(1)]4(32)(1)0t t t +-+-=，

得 2(1)(237)0t t t +--=.

解此方程，得到一个根01t =-，于是

222(21)0x x x ---=

所以，有210x x --=或2310x x --=，

解得 x =，x =. 六、复数

复数具有多种不同的形式，在联系数和形方面有其独特的优势，它与三角、平面解析几何、向量等知识有着广泛都联系，复数方法也是解决很多竞赛问题的重要工具.竞赛中对复数的考查以选择题和填空题为主，考查知识点一般涉及复数的基本概念和幅角主值问题，熟悉以下结论是必要的.

（1）复数的几种形式.

①代数形式：(),z a bi a b R =+∈;

②三角形式：()cos sin z r i θθ=+，其中0,r R θ≥∈.当02θπ≤<时, θ为复数z 的幅角主值;

③指数形式：i z re θ=，其中0,r R θ≥∈；

④几何形式：(),z a bi a b R =+∈与复平面的点(),M a b 是一一对应的.

（2）z R z z ∈?=；z 是纯虚数()00z z z ≠?+=或22z z =-.

（3）z z =，22zz z z ==.

（4）()2Re z z z +=，()2Im z z z -=.

（5）121212z z z z z z -≤±≤+.

（6）1212z z z z ?=?，()11222

0z z z z z =≠. 例20 设1αβ==，10αβ++=.求证：α，β均为1的立方根.

证法一 运用代数形式.设a bi α=+，c di β=+，,,,a b c d R ∈.

则由 1αβ==有 221a b +=， ①

221c d +=. ②

再由 1αβ+=-，根据复数相等的条件得

1a c +=-， ③

0b d +=. ④

将上述四式联立，解得 12a c ==-，b =3d =.

所以 12α=-，132i β=-. 可见 331αβ==.

证法二 运用三角形式由1αβ==，

可设cos sin i αθθ=+，cos sin i βφφ=+,

再由1αβ+=-,有 cos cos 1,sin sin 0.θφθφ+=-??+=?

由此求得1cos 2φ=-，sin φ= 1cos 2θ=-，3sin θ=.

所以12α=-，132i β=-.

证法三 考虑几何意义，由1αβ+=-及1αβ==，可设A α=，B β=，1C =-.根据复数加法的几何意义，可知四边形OACB 是平行四边形，且各边相等.

从而 120XOA ∠=?，120XOB ∠=-?.

因此12α=-，132i β=-. B(A)

A(B)

C o 1x

y

证法四 运用共轭复数的运算技巧.由1αβ+=-，2

1αβ+=，

即()()1αβαβ++=，展开，利用1ααββ==进行化简，

得 10αβαβ++=.

将1βα=--，1βα=--代入上式化简成10αα++=，乘以α，

得 210αα++=.

从而31α=.同理31β=.

例21 已知复数Z 满足210Z Z ++=，

（1）计算()41Z Z ++,并把结果写成复数的三角形式；

（2）试问：使()1n Z +时实数值的最小自然数n 是多少？

思考方法：第一种，从210Z Z ++=，直接解得

122Z =-+

或122

--. 第二种，从210Z Z ++=想到1的三次根.由于1Z ≠，则以1Z -乘以等式两边，得310Z -=，即31Z =，从而有 31n Z =，31n Z Z +=,322n Z Z +=,其中n 为正整数.

第三种，从210Z Z ++=想到0Z ≠，从此有320Z Z Z ++=,又因21Z Z +=-，故有310Z -=，即31Z =，4Z Z =,52Z Z =,……

解：（1）()41Z Z ++()4

Z Z =-+82Z Z Z Z =+=+

1cos sin i ππ==+. （2）()1n Z +()2n Z =-()21n n Z =-，当且仅当n 为3的倍数时，()1n Z +为实数.

所以，使()1n Z +是实数值的最小自然数3n =.

另解 ()1n Z +cos sin 33n i ππ??=± ???cos sin 33n n i ππ=±. ()1n Z +为实数值的充要条件为sin

03n π=，即()3n k k z ππ=∈，所以，3n k =. 例22 已知复数cos sin z i αα=+，cos sin u i ββ=+，

且 4355

z u i +=+. （1）求tan()αβ+的值；

（2）求证：220z u zu ++=.

解 （1）依题设，有

()()cos sin cos sin z u i i ααββ+=+++

()cos cos (sin sin )i αβαβ=+++4355

i =

+. 根据复数相等的充要条件，知

4cos cos ,53sin sin .5αβαβ?+=????+=??

①② 由①得42cos cos 225

αβαβ+-=

. ③ 由②得32sin sin 225

αβαβ+-=. ④ ÷④③得3tan 24

αβ+=. 所以 ()2

2tan 242tan 71tan 2

αβαβαβ++==+-. （2）由（1）可得

()sin αβ+=22tan 242251tan 2αβαβ+=++，()cos αβ+=22

1tan 72251tan 2αβαβ+-=++. 而()()cos sin cos sin zu i i ααββ=++

()cos αβ=+()sin i αβ++7242525i =

+. 所以22z u zu ++=()2z u zu +-2437240552525i i ????=+-+= ? ?????

. 例23 若实系数方程()()32219510x k x x k +-++-=

的一个虚数根的模为k 值，并解此方程.

解 依题设，方程必存在一对共轭虚根和一实根，设这三个根为(),,,,a bi a bi c a b c R +-∈.

于是2

22a b +=， 且根据韦达定理有()()()()()()()()()()21,9,51.a bi a bi c k a bi a bi c a bi c a bi a bi a bi c k ++-+=--??+-+++-=??+-=--?

整理得()221,2,1.a c k ac c k +=-??=??=-?解之得1,2,2,1;a b c k =??=±??=??=-? 或1,2,2,3.

a b c k =-??=±??=-??=?

故当1k =-时，方程的三个根是12,12,2i i +-.

故当3

k=时，方程的三个根是12,12,2

i i

-+---.

例24计算

357 cos cos cos cos 9999

ππππ

+++

例25 设复数z 在1z =的条件下变动. 试求332z z --的最大值和最小值.

解 332z z --()()212z z =+-2

12z z =+?-. ①

因为 1z =，所以

()()2111z z z +=++1z z z z =?+++()22Re z =+，

()()2222z z z -=--()54Re z =-. 令,,z x yi x y R =+∈，则[]1,1x ∈-，有

332z z --=()22x +

()()(

)32

2222543x x x ++++-??≤=????

. 当且仅当2254x x +=-，即12x =时等式成立.

此时y =.

也就是说，z =

又由①易见①12z =-或时，达到最小值0.

例26 设点Z 是单位圆221x y +=上的动点，复数W 是复数Z 的函数：()21

1W Z =+，试求点W 的轨迹.

分析 复数W 是复数Z 的函数，实质上，就是一种复映射.通过这一映射将单位圆转化为另一种轨迹.如果令(),,W x yi x y R =+∈，从1Z =，可设c o s s i n Z i θθ=+，通过x yi +()21

1cos sin i θθ=++可得轨迹的参数方程.

解 ∵1Z =，

∴设cos sin Z i θθ=+，12cos cos sin 222Z i θθθ??+=+ ???

. 令W x yi =+，则

x yi +()

21

1Z =+2214cos cos sin 222i θθθ=??+ ??? ()214cos

cos sin 2i θ

θθ=+()21cos sin 4cos 2i θθθ=-. ∴2cos 4cos 2x θ

θ= ①， 2sin 4cos 2

y θ

θ

=- ②. ÷②①得 tan y x

θ=- ③. 从②得2

2sin cos 224cos 2

y θθ

θ=-1tan 22θ=-.

∴tan 22y θ

=-，代入③得2

22tan 42141tan 2y y x y θ

θ--==--. ∴214

y x =-+，轨迹如图所示. 这里由于10Z +≠，所以()()21,n n Z θπ≠+∈，在0y ≠时，导出轨迹方程.但当2n θπ=时，0y =，14x =，故轨迹过点1,04?? ???，而点1,04?? ???

在此抛物线上

.

多项式的整除问题

浅谈多项式的整除问题 摘要:研究多项式以及多项式的整除理论，并利用这些理论，探究多项式整除的判别方法 关键词:多项式；整除；整除理论；判别方法 Discusses the multinomial shallowly the aliquot question Abstract:Research multinomial as well as many item of aliquot theory,and using these theories,inquisition multinomial aliquot distinction method Key words:Multinomial;Aliquot;Aliquot theory;Distinguished method 本文引入和研究多项式的整出问题，研究的主要内容有：研究多项式以及多项式的整除理论[1]；并利用这些理论，探究多项式整除的判别方法. 1.利用单位根及因式定理 此方法的关键是熟练掌握因式定理[2]和单位根的性质. 例1 证明2331 32 1m n p x x x x x ++++|++（m , n , p 是三个任意的正整数）. 证明 可求得2 10x x ++=的根为1132i -+ ω= ，2 132 i -- ω= ，所以 2 121()()x x x x ++=-ω-ω 又因32 1(1)(1)0i i i i ω-=ω-ω+ω+= (1,2)i =，知31i ω=,从而333m n p i i i ω=ω=ω 设 331 32 ()m n p f x x x x ++=++则有 331 32 2 ()10,(1,2)m n p i i i i i i f i ++ω=ω+ω+ω=+ω+ω== 故由因式定理知12()()()x x f x -ω-ω|，即21() x x f x ++|. 2.利用熟知的乘法公式 此方法的关键是在于熟练的掌握乘法公式，（例如： (1)(2) 1()1 (1)(1)n m s m m s m s m x x x x x x ---=-=- + +++ [3] 等）理解公式包涵的 整除意义，再去解题. 例2 证明1d x -整除1n x -当且仅当d 整除n . 证明 充分性 设d n |，假定n dt =，则有 (1) (2) 1()1(1)(1)n d t d d t d t d x x x x x x ---=-=-++++ 从而有11d n x x -|- 必要性 已知11d n x x -|-，假定n dt r =+，0r d ≤<，则 111(1)(1)n dt r dt r r r dt r r x x x x x x x x x +-=-=?-+-=-+-

高次方程求根公式的故事

高次方程求根公式的故事 1545年意大利学者卡丹将一元三次方程ax3 +bx2+cx+d=0的求根公式公开发表，后来人们就把它叫做“卡丹公式（也有人译作“卡尔丹公式”）。事实上，发现公式的人并不是卡丹本人，而是塔尔塔利亚。 塔尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了。他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人听了不服气，来找他较量，每人各出30道题，由对方去解。结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。塔尔塔利亚大获全胜。 后来，意大利医生兼数学家卡丹请求塔尔塔利亚把解方程的方法告诉他，但遭到了拒绝。尽管卡丹千方百计地想探听塔尔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔尔塔利亚都守口如瓶。可是后来，由于卡丹一再恳切要求，而且说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，还发誓对此保守秘密，于是塔尔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡丹，但是并没有给出详细的证明。 六年后，卡丹不顾原来的信约，在他的著作中将经过改进的三次方程的解法公开发表。他在书中写道：“这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友——布里西亚的塔尔塔利亚。塔尔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。我找到了几种证法。证法很难，我把它叙述如下。”从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为“卡丹公式”，而塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。 卡丹没有遵守誓言，因而受到塔尔塔利亚及许多文献资料的指责。但是卡丹在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔尔塔利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡丹自己给出的，说明卡丹也做了工作。卡丹用自己的工作对塔尔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。 一元三次方程应有三个根。塔尔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大

复数集内一元二次方程的解法

复数集内一元二次方程的解法 一、实系数一元二次方程 只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭， 1．判定下列方程根的情况，并解方程 （1）022=++x x ，0722=++x x ，0452=+-x x （2）0122=+-x x 答：4 71i x ±=，05322=+-x x ，09222=+-x x 2．若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1，x 2满足|x 1-x 2|=3，求实数m 的值． |x 1-x 2|=3，|（x 1-x 2）2|=9；则|（x 1＋x 2）2-4x 1x 2|=9，即|25-4m|=9． 3．已知实系数一元二次方程2x 2 ＋rx ＋s=0的一个根为2i-3，求r ，s 的值． 二、复系数一元二次方程 虚根不一定成对，成对也不一定共轭。 1．求方程x 2-2ix-5=0的解．（当b 2-4ac ≥0时，方程的解都是实数吗？） 求方程x 2-2ix-7=0的解 解方程：x 2-4ix+5=0； 解方程：0)2(25222=--++-i x x x x 答：i x x 5 351,221-==（应用求根公式，不能用复数相等） 06)32(2=+++i x i x 答：i x x 3,221-=-=（b 2-4ac 为虚数，） 2．解方程：x 2＋（1＋i ）x ＋5i=0． 2511 22=+++x x x x 答：4151,13,21i x x ±== 2311 22=+-+x x x x 答：4151,13,21i x x ±=-= 三、方程有实根或纯虚根的问题 1．方程x 2+（m+2i ）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m 的值和这方程的解．

多项式的除法原理(综合除法)

1 2 4 1 3 3 7 ＋＋＋＋　＋＋多項式的除法原理(綜合除法) 1.多項式的除法定理： 設f (x)、g (x)是兩個多項式，且g (x)0≠，則恰有兩多項式q (x)及r(x)使得 f (x )q(x )g(x )r ＝?＋成立，其中r(x)0＝或r(x)

222 ax (b ae) x- e ax bx c ax aex (b ae)x c (b ae)x-e(b ae) c be ae ＋＋＋＋－＋＋＋＋＋＋ 2a x bx c (x e )[a x (b a e )] ＋＋＝－＋＋ 綜合除法表示： ＋e 餘式 思考1： 為何本來長除法中除式為(x －ｅ)，但是在綜合除法中卻變 (＋e)，請提出合理的解釋想法。 思考2： 設多項式32f (x)x 3x 4x 1＝＋－＋，則 (1)請利用綜合除法，以x-1除f(x)，商式為何？餘式為何？ (2)設32f (x)a(x 1)b (x 1)c(x 1)d ＝－＋－＋－＋，則a 、b 、c 、d 為何？ Hinet ：試利用多項式除法跟綜合除法兩種方法，並比較之。 2 a b c ae e(b ae)a (b ae) c be ae ＋＋＋＋＋＋＋＋

复数与方程

复数与方程 重点难点:一元二次方程 一、二项方程:形如(a0, a n∈C,a n≠0, n∈N)的方程 基本解法:化为的形成，利用复数开方求出它的根。 例1．在复数集中解下列方程 解1)法1、求方程的解，即求复数的4次方根， ∵ ∴其4次方根为(k=0,1,2,3) ∴原方程的解为下面4个复数: 法2、求方程的解，即求复数的4次方根。 ∵由知1-i为的一个4次方根， ∴由复数的次方根的几何意义有的其余三个4次方根分别为: ∴方程的解分别为1+i, -1+i, -1-i, 1-i。 解2) 令,∴, ∴解之有,∴原方程的根为2-i或-2+i。 注:解二项方程实质就是求一复数的次方根，所以要注意一复数Z的次方根的几种基本求法:<一>，则可用公式

(k=0,1,2,……,n -1) 求其n 个n 次方根。如例(1)解法1，此n 个复数的几何意义是复平面上n 个点，这n 个点均匀分布在以原点为圆心，以 为半径的圆上，组成一个正n 边形。 <二> 若能由已知中找出个Z 的n 次方根Z 0，则可由n 次方根的几何意义求其余n-1个n 个次根如下: , 。如例(1)解 法2。 <三>若Z 的辐角非特殊值，不好转化为三角形式或也不好看出Z 的n 次方根时，则可以考虑用n 次方根的定义利用代数形式及复数相等直接求。如例(2)。 二、一元二次方程 1. a,b,c ∈R 时基本解法 时，两不等实根可由求根公式 求出， 时，两相等实根。可由上面公式求出， 时，两互为其轭虚根，可由求根公式求出。另:韦达定理仍成立。 2. a,b,c ∈C 时基本解法 判别式定理不成立，所以不能由此判别根的情况。但可由求根公式, δ是b 2-4ac 的一个平方 根 另:韦达定理仍成立。 例2．在复数集中解方程 。 解:∵，∴ =， ∴ 原方程的根为。 注:∵ (x-1)(x 2+x+1)=x 3-1 ∴ x 2+x+1=0的根也是x 3=1的根，即1的两个立方虚根。 记,则，其有如下特征: ① ； ② ； ③ ；

如何进行多项式除以多项式的运算

如何进行多项式除以多项式的运算 多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算)4()209(2+÷++x x x 规范解法 ∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x 解法步骤说明： （1）先把被除式2092 ++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好． （2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项． （3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面． （4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分． （5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式． （6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x 例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ． 规范解法

∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ． 注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ )52()320796(2 245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ． 8．什么是综合除法？ 由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊． 如：计算)3()432(3 -÷-+x x x ． 因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）． 还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再

多项式的整除性

4.3 多项式的整除性 教学内容：4.3多项式的整除性 教学目标：正确理解多项式的整除概念及性质。理解和掌握带余除法。 授课时数：2学时 教学重点：多项式整除的概念及基本性质 教学难点：带余除法定理及证明（定理4.3.1及证明） 教学过程： 在][x F 中除法不是永远可以实施的，因此多项式整除性的研究在多项式理论中占有重要的地位。 一、多项式整除的概念及性质 1. 定义 定义 1 设][)(),(x F x g x f ∈.如果存在][)(x F x h ∈,使得)()()(x h x f x g =,则称)(x f 整除（能除尽）)(x g ,记作)(|)(x g x f 。此时说)(x f 是)(x g 的因式，)(x g 是) (x f 的倍式。如果满足条件的)(x h 不存在，即对任意)()()(],[)(x h x f x g x F x h ≠∈,则称)(x f 不能整除)(x g , 记作()|()f x g x . 由定义1知：1?0|)(],[)(x f x F x f ∈?;特别地，0|0. 2?)(|,x f c F c ∈?. 3?,c d F ?∈,0≠c ，有d c |.如2|0。 4?高次多项式不能整除低次多项式。 课堂思考题：1）能整除任何多项式的多项式是什么？ 2）能被任何多项式整除的多项式是什么？ 2. 整除的基本性质

我们可以将整数的整除性质平移过来 1） 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ,则)(|)(x h x f ; 2） 若)(|)(),(|)(x g x h x f x h ,则))()((|)(x g x f x h ±; 3） 若)(|)(x f x h ,则对任意)(x g ,有)()(|)(x g x f x h ； 4） 若)(x h |i f )(x ,()(),1,2,3,,,i c x F x i n ?∈= 则 | )(x h ∑=n i i i x f x c 1 )()(； (整除倍式和) 5） 对任一多项式(),()|(),|()(0,)f x cf x f x c f x c c F ≠∈; 6） 若),(|)(),(|)(x f x g x g x f ,则存在0,≠∈c F c ,使)()(x cg x f =. 二.带余除法 ⒈ 实例（中学中的多项式除多项式） 例2 3 2 2 ()26,()1f x x x x g x x x =+++=++，求()g x 除()f x 所得商式()q x 及余式()r x 。 由中学的知识，得121()()(),()()()()1f x f x g x x r x f x f x g x =-?==-?， ()()()()1()(1)()f x g x x r x g x g x x r x =++=++。故()1,()5q x x r x x =+=-+， (())(())r x g x ??

一元二次方程求根公式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式

法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，

一元三次方程与复数

浅谈解一元三次方程 江苏省泰州中学袁蕴哲 一、由几个方程引出的讨论 解下列方程： 1、x-1=0 2、x2-1=0 3、x2+1=0 4、x3-1=0 易知，方程1的解为x=1，方程2的解为x=±1，方程3无实数根，方程4的解为x=1。对于2、3两个一元二次方程，有根的判别式Δ=b2-4ac，根据Δ的正负来判断方程根的个数。那么，对于形如ax3+bx2+cx+d=0的方程，我们要判断根的个数，最好的方法就是图像法：令f(x)=ax3+bx2+cx+d，可直观地看出f(x)的零点数，就是方程的根。 如方程5x3+x2-6x+1=0（见下图），易知，该方程有三个根。 将此函数平移，可得到与x轴分别有1个、2个、3个交点，说明任意一元三次方程可能有1～3个实根。 即：一元n次方程最多有n个实根。 再来看方程3，可移项为x2=-1，两边开方，得到。负数的偶次方根是没有意义的，但为了使这个方程有解，我们规定，就有i2=-1。易知，原方程的解就为x=±i。 由于数i没有实际的意义，只在解方程时为了使方程有解才引入，故把i称为虚数

(imaginary number)，意为虚幻的、不存在的数；相对的，我们之前接触的所有数都叫实数(real number)。 规定了虚数以后，类似x2+1=0的方程也可以解了，而且有2个根。 二、解高次方程的数学史话 一元三次方程，乃至更高次方程的解法，经过了漫长的时间才得以给出，塔尔塔利亚、卡当（也译作卡尔丹）、费拉里、阿贝尔等人对这一问题的解决做出了卓越的贡献。 数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛·冯塔纳。冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔利亚”，也就是意大利语中“结巴”的意思。后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔利亚”来称呼冯塔纳。 经过多年的探索和研究，塔尔塔利亚利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。但是塔尔塔利亚不愿意将他的这个重要发现公之于世。 当时的另一位意大利数学家兼医生卡当，对塔尔塔利亚的发现非常感兴趣。他几次诚恳地登门请教，希望获得塔尔塔利亚的求根公式。后来，塔尔塔利亚终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡当。卡当通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了塔尔塔利亚的秘密。 卡当把塔尔塔利亚的三次方程求根公式，写进了自己的学术著作《大法》中，但并未提到塔尔塔利亚的名字。随着《大法》在欧洲的出版发行，人们才了解到三次方程的一般求解方法，因此后人就把这种求解方法称为“卡当公式”。 塔尔塔利亚知道卡当背信弃义的行为后非常生气，要与卡当辩论，卡当排出了他的学生费拉里应战。费拉里也是天资过人，他在老师的基础之上，进一步研究了一元四次方程的解法。由于塔尔塔利亚不会解四次方程，这场论战也就不了了之了。 后来挪威学者阿贝尔终于证明了：一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5 ，那么此方程不可能用根式求解。即不存在根式表达的一般五次方程求根公式。这就是阿贝尔定理。高次方程求解的工作就此告一段落。 值得注意的是，卡当在研究三次方程时，遇到了给负数开根的问题，就首次引入了复数的概念，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 三、复数与一元方程的解 将实数与虚数相加，就得到复数(complex number)，一般用z表示，可写作： z=a+bi 其中a为复数的实部，b为复数的虚部。当b=0时为实数，a=0，b≠0时为虚数，又叫纯虚数。由此，数的概念又扩展了一步：从实数集到复数集（用C表示）。表示如下： 复数实数 有理数 整数 自然数正整数 负整数 分数 无理数 虚数

48、复数中方程问题.doc

三、复数中的方程问题 【教学目标】 1．掌握判别式小于零的实系数一元二次方程的复数根的求法． 2．掌握一元二次方程根与系数的关系并能用于解决一些方程根的问题． 3．在解决问题的过程中体会转化与分类讨论的数学思想的应用． 【教学重点】 一元二次方程的根的讨论． 【教学难点】 含字母系数的方程根的情况的讨论， x 3 1 的根的应用． 【教学过程】 一．知识整理 1．实系数一元二次方程的根的情况 设方程 ax 2 bx c 0 （ a ， b ， c R 且 a 0 ），判别式△ b 2 4ac ． （1）当△ 0 时，方程有两个不相等的实数根： x 1 b b 2 4a c b b 2 4ac 2a ， x 2 2a ． （2）当△ 0 时，方程有两个相等的实数根： x 1 x 2 b ． （3）当△ 0 2a 时，方程有两个共轭虚根： x 1 b 4ac b 2 i b 4ac b 2 i 2a ， x 2 2a ． 2．代数式 a 2 b 2 （ a ， b R ）的因式分解 利用 | z |2 z z ，有 a 2 b 2 (a bi )( a bi ) 3．复系数一元二次方程根与系数的关系 设方程 ax 2 bx c 0 （ a ， b ， c C 且 a 0 ）的两个根为 x 1 ， x 2 ，则 x 1 x 2 b x 1 x 2 a ． c a

4．方程 x 3 1 的根 方程 x 3 1 有三个根， 1 1 ， x 2 1 3 i ， x 3 1 3 i ．若记 1 3 i ， x 2 2 2 2 2 2 则 有性质： 3 1（ 3 n 1， n Z ）， 2 ， 1 2 0． 二．例题解析 【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算 【题目】 在复数范围内分解因式． （1） a 4 b 4 ； （2） 1 x 2 x 3 ． 2 【解答】 解：（ 1） a 4 b 4 ( a 2 b 2 )( a 2 b 2 ) ( )( )( a bi )( a bi ) ． a b a b （2） 1 x 2 x 3 1 ( x 2 2x 6) 1 [( x 1) 2 ( 5) 2 ] 2 2 2 1 ( x 1 5 )( x 1 5 ) ． 2 i i 【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算 【题目】 （1）若 3 2i 是实系数方程 2x 2 bx c 0 的根，求实数 b 与 c ； （2）若 3 2i 是方程 2x 2 bx c 4i 0 的根，求实数 b 与 c ． 【解答】 (3 2i ) b (3 2i ) 解；（ 1）由题意， 3 2i 是方程的另一根，则 2 ， (3 2i )(3 c 2i ) 2 所以 b 12 ， c 26 ． （2）将 3 2i 代入方程得 2(3 2i )2 b(3 2i ) c 4i 0 ，整理得，

一元方程求根公式

solve ax+b=0 for x Isolate terms with x to the left hand side. Solve for x. solve ax^2+bx+c=0 for x Write the quadratic equation in standard form.

２ Solve the quadratic equation by completing the square. Take one half of the coefficient of x and square it,then add it to both sides. Factor the left hand side. Eliminate the exponent on the left hand side. Look at the first equation:Solve for x.

Look at the second equation:Solve for x. solve ax^3+bx^2+cx+d=0 for x Look for a simple substitution that eliminates the quadratic term of a x3 b x2 c x d. Write the cubic polynomial on the left hand side in standard

Write the cubic equation in standard form. Change coordinates by substituting y z Κ z ,where Κis a constant value that will be determined later. Transform the rational equation into a polynomial equation Find an appropriate value forΚ in order to make the coefficients of z2and z4both ４

复数复习提纲

复数 一、知识点梳理： 1、i 的周期性： i 4 =1，所以，i 4n+1 =i, i 4n+2 =-1, i 4n+3 =-i, i 4n =1()n Z ∈ ()44142430n n n n i i i i n Z ++++++=∈ 2、复数的代数形式：(),a bi a b R +∈，a 叫实部，b 叫虚部，实部和虚部都是实数。 {}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。N Z Q R C. 3、复数相等：a bi c di a c +=+?=且b=d ；00a bi a +=?=且b=0 4、复数的分类：0,0)0)0,0)Z a bi a a ?? =+≠≠??≠?? ≠=?? 实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3,62i i ++也没有大小。 5、复数的模：若向量u u r OZ 表示复数z ，则称u u r OZ 的模r 为复数z 的模， 22||z a bi a b =+=+； 积或商的模可利用模的性质（1）112n n z z z z z ?=???L L ，（2）()11 2 22 0z z z z z =≠ 6、复数的几何意义： 复数(),z a bi a b R =+∈←??? →一一对应 复平面内的点(,)Z a b () ,Z a bi a b R =+∈? u u r 一一对应 复数平面向量OZ ， 7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 8、复数代数形式的加减运算 复数z 1与z 2的和：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数z 1与z 2的差：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数的加法运算满足交换律和结合律 数加法的几何意义：复数z 1=a +bi ，z 2=c +di (),,,a b c d R ∈；OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ， d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i 复数减法的几何意义：复数z 1-z 2的差(a －c )+(b －d )i 对应1212Z Z OZ OZ =-u u r u r u u u u r u u u u r ，两个 复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 9. 特别地，AB z =u u u r z B －z A .，B A AB z AB z z ==-u u u r 为两点间的距离。 12||||z z z z -=-z 对应的点的轨迹是线段12Z Z 的垂直平分线；0||z z r -=， z 对应的点的

元次方程的求根公式及其推导

一元三次方程的求根公式及其推导 有三个实数根。有三个零点时，当有两个实数根。 有两个零点时，当有唯一实数根。有唯一零点时，当。，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。 有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。 有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。 点的个数即方程零即方程则设实数根的判定： 程即可。 因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴 三次方程由于任一个一般的一元0)()(0)1281(81 1)()(0)()(0)1281(81 1)()(0)()(0)1281(81 1)()(3 3: 0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(032323221''3333233232323=?<+=?=?=+=?=?>+=?--==- ===<=?===?=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F p x p x x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC A B A B x A B C A B x A D Cx Bx Ax βαβαβαβα

33 2332323233 232332313223 2132323 2333333333333333333333332332332323212811210861128112108610)1281(81 1)27(41281121086112811210861181281918128190)1281(81 1)27(4027 27,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(81 10)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B p q q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A q B A p B A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-=≤+=--?? ???+--==++-==??? ????+--=++-=>+=--=-+?????-=+-=?? ????????-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=?=++=+=?=++>+=?+=?>+≥式，为： 实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。故由以，小于零时会出现虚数等于零时只能解出一个但却又无法直接解出（二或三个实数根，，虽然我们清楚方程有若判别式顺序，则有，如果不考虑。则有，若判别式的两根。为一元二次方程，易知，。，即可令， 对比。 即有， 故， 由于。 ，就是设法求出下面的工作为两个待定的代数式。，的形式。其中，程的求根公式应为了一元三次方根公式的归纳，我得到及特殊一元高次方程求一元一次，一元二次以得到。通过对出的，通常由归纳思维式由演绎推理是很难解一元三次方程的求根公实根式的推导： ）（求根公式的推导： 有三个实数根。 时，方程有两个实数根。 时，方程有唯一实数根。 时，方程，则有以下结论：。令一定有时， ，则当时方程很容易求解同时为不同时为为研究方便，不妨设

第二章多项式

第二章 多项式 §2.1一元多项式的定义和运算 1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是 (6) 222)()()(x xh x xg x f +=， 那么.0)()()(===x h x g x f 2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h 3．证明： ! ) )...(1()1(! ) 1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x n n ---=+---+--+ - §2.2 多项式的整除性 1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式： ( i ) ;13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f (ii) ;23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f 2．证明：k x f x )(|必要且只要).(|x f x 3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F 上的多项式，其中()01≠x f 且 ()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g 4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++ 5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.n n a x - 6．考虑有理数域上多项式 ()() ()() ()(),121211 n k n k n k x x x x x x f ++++++=-++ 这里k 和n 都是非负整数．证明： ()()() .11|1 n k 1+++++-x x f x x k

一元n次方程的求根公式a

一元 n 次方程的求根公式（一） 寻玉殿 当n 为不小于5的奇数时，一元n 次实系数方程 12 32 2 24 36 120 n n n n n n x nAx t A x t A x t A x B -----++++++= 有解，且必有一根为x = + 。 其中自然数i 满足3 21n i -≤≤，对于不同的奇数n ，i t 是特定的常数。 特别的（1）当5n =时， 15t = 原方程化为 532550 x Ax A x B +++= 则此方程必有一根为 5 x = + 。 （2）当7n =时，114t = 27t = 原方程化为 7523371470 x Ax A x A x B ++++= 则此方程必有一根为 x = + 。

（3）当9n =时，127t = 230t = 39t =原方程化为 97253349273090 x Ax A x A x A x B +++++= 则此方程必有一根为x = + 。 （4）当11n =时，144t = 277t = 355t = 411t = 原方程化为 119273543511447755110 x Ax A x A x A x A x B ++++++= 则此方程必有一根为 x = + 等等！ 对于不同的奇数n ，有着相对应之特定的i t 值，就决定了这套5至n 次 系列高次方程的存在形式及数学模型。

而对于n为偶数时，只要设 2 y x ，依然可以采用此套求根公式！ 所以这一套高次方程的模型不一而足，穷尽n次。 此方程的原雏产生于1995年，当时我就其中n等于5时一例在《中学生 数理化》刊物投过稿件，但没有被采纳，所以搞得此方程泥牛入海，一直搁浅至今。当时虽然没有完善到n次，但足以奠定并拓开了我日后的探索之路。本来欲将此高次方程向数学学会申报定理，但由于“黑规矩”肆无忌惮的盗稿窃稿，本人一直心有余悸，畏葸犹豫。几十年的经验总结及对此方程的不断更进完善，方形成这套较令人乐观的数学模型。今天，偶见互联网上已经有涉及此 5次方程课题的文志！唯恐被他人误为抄袭之嫌，所以，挑灯不寐，连夜及时将我这套高次方程的数学模型整理打印出炉，大白于天下，作为我申报定理的一个-“前哨站”，希望互联网有一片正大光明的天地为我们莘莘学子的科学探索之路打开通途。 作者寻玉殿 2017年5月3日星期三整理完毕

复数中的方程问题

复数中的方程问题（教师版） 【知识梳理】 1.一元二次方程2 0(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠ (1)0?>? 方程有两个不相等的实数根1,22b x a -±=; (2) 0?=?方程有两个不相等的实数根1,22b x a -=; (3) 0?

一元二次方程求根公式讲解学习

一元二次方程求根公 式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。

(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往 能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程 ；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若 配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑 运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才 能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3).

复数模与方程典型例题

复数模与复数方程典型例题 例1在复数范围内分解：（1）2x 2+3x+3 (2)x 2+xy+2y 2 (3) x 4+x 2y 2+y 4 (4)x 4+y 4 例2求平方根： （1）3+4i (2) 5+12i 例3解方程：（1）z 2+z =0 （2）z 2-4z +3=0 (3)x 2-(5+i)x+5i=0 例4已知m ∈R,关于x 的方程x 2+(1-2i)x+3m-i=0有实根，求m 并解此方程。 例5已知1-i 是方程x 3-5x 2+8x-6=0的一个根，求方程的其它根？ 例6(1)已知z 满足2-z =1，求：i z 2+的取值范围？ (2)已知z 满足z =1,求z 2-z+1的模的最大与最小值？ 例7（1）已知方程x 2+x+m=0两虚根为βα,,且βα-=3，求实数m 的值。 （2）已知方程x 2+x+m=0两根为βα,,且βα-=3，求实数m 的值。 例8已知方程x 2+2x+m=0两根为βα,,且m ∈R ，求α+ β的值。 例9已知z 满足z =2且存在实数a ，使（z-a ）2=a, 求z 和a 的值。 例10设w 为x 2+x+1=0的根，则(1)1+w+w 2+w 3+… +w 2005 (2) w 2005+w 2005 例11设实系数方程2x 2+3ax+a 2-2a=0至少有一个模为2的根，求实数a 的值？ 例12设z 为虚数，ω=z+z 1是实数,且-1<ω<2 (1) 求z 的值及z 的实部的取值范围？ (2) 设u= z z +-11,求证：u 为纯虚数；（3）求ω-u 2的最小值。 例13已知：1z =2z =1，且21z z +=2,求21z z -的值? 例14已知: βα,是方程ax 2 +bx+c=0两虚根,且βα2 ∈R ，求βα的值。 例15在研究复数性质时规定：如果对n 个复数a 1,a 2…..a n ,存在不全为零的n 个实数k 1,k 2… k n ,使得k 1a 1+k 2a 2+….+k n a n =0成立，那么a 1,a 2….a n 叫做“线性相关”，据此，请判断三个 复数1，-i,2+2i 是否线性相关？若线性相关，请给出一组实数。