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第二章群论 20

第二章群论

本章讨论具有一个代数运算的代数结构——半群与群,但重点是群的基本知识及典型的两个群-变换群和循环群.群是概括性比较强的一个概念,是近世代数中比较丰富的一个分支,它产生于19世纪初人们对高次方程根号解问题的研究,发展到现在,群论已经应用到数学许多其它分支及一些别的科学领域.如在近世几何中,利用群的观点,把几何加以科学分类;在晶体学中,利用群论的方法,解决了空间晶体的分类问题;在现代通讯理论中,利用群来进行编码,有所谓的群码.我们先从半群开始来研究群.

§1 群的定义及基本性质

2.1 半群的定义

设S是具有一个代数运算的集合,为了方便,将此代数运算叫S的乘法,并且仍用通常的乘法记号“·”来表示,把S的两个元素b

a,关于“·”运算结果b

a?简记为ab.当然,这样被叫做乘法不一定就是指数的乘法,还可表示像矩阵、函数、向量的乘法,但一般来说它们都不是数的乘法.

定义1如果代数结构(S,·)的乘法适合结合律,即b

a∈

c

?)

,S

,

,

ab=,则称S关于它的乘法是一个半群,简称S

a

c

(bc

(

)

是一个半群.

2关于数的乘法是一个半群.关于数的加法也是一例1 偶数集Z

个半群.

n?矩阵作成的集合M n(F),关于矩阵乘法例2数域F上的所有n

是一个半群.

例3 A 是一个非空集合,A 的幂集}|{A x x A P ?=)(

关于∩、∪分别是半群.

例4 +Z (正整数)关于数减法不能作成一个半群,因为数的减

法不是+Z 的一个代数运算;Z 虽然关于数的减法是Z 的代数运算,但

结合律不成立,故),(-Z 不是一个半群.

注 由于一个半群),(?S 的乘法适合结合律,故可以在半群),(?S 中

可以引进一个元素a 的正整数次幂的概念,规定:, 个n n a aa a =

那么,易见半群里有以下指数运算规律:

ba ab b a ab a a a a a n n n nm m n n m n m =?===?+当,)(,)(,,这里+∈Z n m ,。

2.2 幺半群的定义

定义2 在半群),(?S 中,若S 有一个元素e ,,S a ∈?有a ea =,则

e 叫做S 的左单位元.在半群(S ,

·)中,若S 有一个元素e ,,S a ∈?有a ae =,则e 叫做S 的右单位元.若e 是S 的左单位元又是S 的右单位

元,即有,S a ∈?有a ae ea ==,则e 叫做S 的单位元.

例5 整数集Z 关于数的普通乘法是一个半群,有单位元1;整数

集Z 关于数的普通加法是一个半群,有单位元0.

例11 设S 表示平面上所有点的集合,S b a ∈?,,规定b a 表示

线段b a ,的中点,问"" 是不是S 的一个代数运算?),( S 是不是一个半

群?

解:(1)”“ 是代数运算,因为对S 任意两点),(111y x a =,

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),(222y x a =,其中点)2

,2(2121y y x x ++是唯一确定的S 的点. (2)对),( S 的三个元素(1,0),(0,1),(0,0)来说

)4

1,41()0,0()21,21()0,0()]1,0()0,1[(== 且 )4

1,21()21,0()0,1()]0,0();1,0[()0,1(== 从而),( S 不是半群.

注 一个半群不一定有左单位元或有右单位元,例1中),2(?Z 便无

左单位元,也无右单位元,从而无单位元;例2中n 阶单位矩阵E 是

M n (F)的单位元。例3中)),((?A P 的单位元是A ,)),((?A P 的单位元是

?。

例6 设,|0021?

?????∈???? ??=Q a a a S i 关于矩阵的普通乘法是一个半群,并且有左单位元???? ??0001,因为???? ??0001???? ??0021a a =???

? ??0021a a ,容易看出一切

???

? ??001x 都是S 的左单位元,这说明半群的左单位元不一定是惟一的。

此外,当02≠a 时,有???? ??0021a a ???? ??0001=???? ??0001a ≠???? ??0021a a ,故???

? ??0001不是S 的右单位元,这说明半群的左单位元不一定是右单位元.类似

地可以说明半群的右单位元不一定是左单位元.

但是,我们有下列事实。

定理1 在一个半群(S ,·)中,若e 是S 的左单位元,e '是S 的右

单位元,则必有e e '=,即说e 是S 的单位元.

证明 由左、右单位元的定义知,知e e e e ='=',则e 是S 的单位元.

由此易得

定理2 若半群(S ,·)有单位元,则必唯一.

定义3 称有单位元的半群为幺半群.

注意:在一个幺半群,也可以引进元素的零次幂的概念,即规定

.0e a =

例7 (Z ,+),(Z ,·),(M n (F),·),()(A P ,∩),()(A P ,∪)

都是幺半群.

2.3 群的定义

现在来研究群,Galois 于1829年引入置换群.C. Sordan 于1867

年引入运动群;随后A. Cagley 于1854年及1878、W. Van. Dyek 于

1882年分别给出群的概念.下面首先给出群的四个定义.

我们先讨论元素的逆元问题。

定义4 设(S ,·)是一个有单位元e 的半群,S a ∈,若在S 中存

在有a ',使e a a =',则a '叫做a 的左逆元,并称a 左可逆;若在S 中存

在有a ',使e a a =',则a '叫做a 的右逆元,并称a 右可逆;若a '既是a

的左逆元,又是a 的右逆元,即e a a a a ='=',则a '叫做a 的一个逆元.并

称a 可逆。

当然由逆元定义知,如果a '是a 的逆元,则a 是a '的逆元。

例8 (Z ,·)是单位元为1的半群,1,-1都是各自逆元,其它

数无逆元.

例9 设N 是自然数集,用)(N T 表示N 的全体变换作成的集合,则

)(N T 关于映射的合成是一个幺半群,其单位元为恒等变换N I ,设

N n n n ∈?+,1: σ,1,1,00:≥∈-n N n n n 且当 τ,易知τσ,都是N

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上的变换,且N I =τσ但N I ≠στ,即τ是σ的左逆元但不是右逆元。

()(())x x στστ= (x M ?∈)

也是M的一个变换,故()T M στ∈。我们称其为变换的乘法。它是()T M 的一

个代数运算。

这说明左逆元不一定是右逆元,可以在幺半群)(N T 中举例说明右

逆元不一定是左逆元.但我们有下列定理。

定理 3 设(S ,·)是一个有单位元e 的半群,S a ∈,若a 有左逆

元b ,a 有右逆元c ,则必c b =.即说b 必是a 的逆元.

证明:由于ac e ba ==,那么

c ec c ba ac b be b =====)()(.

由此可得

定理 4 设(S ,·)是一个有单位元的半群,a 有逆元,则逆元唯

一.

注 把元素a 的惟一逆元记为1-a ,即a a a a a =?=?--11,并且有

a a =--11)(,这样对S 中的可逆元引负正整方幂的概念,即规定:

111n n a a a a ----= 个,其中n 是正整数.

例10 }0{*-=Q Q .即所有非零有理数作成的集合,代数运算?为

数的普通乘法,易知(*Q ,? )是一个半群,1是它的单位元,每一个元

m n 都有逆元n

m . 定义5 称每个元都有逆元的幺半群为群。

说得详细一点,也可以写成

如果代数结构(G ,·)满足以下条件:

(1) 乘法封闭性,即;,,G ab G b a ∈∈?有

(2) 适合结合律,即);()(,,,bc a c ab G c b a =∈?有

(3) G 有单位元,即;,,a ae ea G a e G ==∈?有有元素

(4) G 中任意a 可逆,,,,111e aa a a a a G a ==∈?---使有逆元

则说G 对于它的乘法作成一个群,简称G 是一个群,并称此定义为群

的公理化定义.

例11 在数普通乘法下,所有非零复数*C 作成一个群;所有的非

零实数*R 作成一个群;所有正实数+R 作成一个群;所有正有理数+Q 作

成一个群.

例 12在数的普通加法下,所有整数Z ,所有有理数Q ,所有实数R ,所

有复数C 都作成一个群。

例12 数域F 上的所有一元多项式集合][x F 关于多项式的加法

作成一个群.

例13 ,][0)(,0)(|)()(?

?????∈≠≠=x R x g x f x g x f G 即所有非零的有理分式作成的集合,G 对于有理分式的乘法来说作成一个群.

例14 数域F 上所有n 阶满秩阵作成的集合对矩阵的普通乘法来

说作成一个群,叫做F 上的一般n 阶线性群,记为)(F GL n .

例15 )1)(,(>??n F n n 虽然都是有单位元的半群,但不是每一个元

素都有逆元,故都不是群.

由上述讨论可知在一个群G 中,由于有单位元以及每一个元素都

有逆元,故对G 的每一个元素a 都可以整数次幂,并对任意整数m ,n

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来说,指数运算规律)(,)(;)(;ba ab b a ab a a a a a n n n nm m n m n m n ====+当

皆成立.

例18 整数集Z 对于数的普通加法显然做成一个交换群,0是它的左单位元,整数-a 是a 的左逆元.这个群常被称为整数加群.

但应注意,整数集Z 对于数的普通乘法不能做成群.因为,尽管普通乘法

是Z 的代数运算,并且满足结合律,也有单位元1,但是,除去1,1-外,其他任

何整数在Z 中都没有逆元.

例19 设G 为整数集.问:G 对运算4++=b a b a 是否做成群?

解 由于对任意整数a,b ,显然4++b a 为由a 与b 唯一确定的整数,故

所给运算 是G 的一个代数运算.其次,有

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c

4)(+++=++++=++=c b a c b a b a c b a )()( 同理有8)(+++=c b a c b a .因此,对G 中任意元素a,b,c 有 .)()(c b a c b a =,即代数运算 满足结合律.

又因为对任意整数a 均有a (-4) =(-4) a =-4+a +4=a ,故-4是a 的单位元.

最后,由于a (-8-a )=(-8-a ) a =-8-a +a +4=-4,故-8-a 是a 的逆元.

因此,整数集G 对于代数运算 作成一个群.

例20 问:由全体正整数作成的集合G 对运算b a b a = 是否做成群?

解 所给运算显然是全体正整数集合的一个代数运算.但是结合律不成立,

因为例如,

422221221=== )(,22122121

2=== )(,即)()(212212 ≠。因此,全体正整数集合对这个代数运算不做成群。

对于一个集合,要考察它是否做成群,不仅要注意它的元素是什么,更要

注意它的代数运算是什么。因为同一个集合,对这个代数运算可能做成群,对另

一个代数运算却不一定做成群;即使对两个不同的代数运算同时做成群,那么一

般来说,也被认为是两个不同的群。

我们知道一个群的代数运算叫什么名称或用什么符号表示,这是非本质的。因此,在不致发生混淆时,有时为了方便,也常把群的代数运算叫做“乘法”,并且还往往把b a 简记为b a ?或ab 。

2.4 群的等价定义

群的方程定义 设(G ,·)一个半群,若G b a ∈,,方程b ax =,b ya =皆在G 中有解,则称G 作成一个群.

群的左左定义 若半群(G ,·)满足:

(1) G 有一个左单位元e ,G a ∈?,有a ea =;

(2) G 的每一个元素a 皆有一个左逆元1-a ,能让e a a =-1

则G 作成一个群.

群的右右定义 若半群(G ,·)满足:

(1) G 有一个右单位元e ,G a ∈?,有a ea =;

(2) G 的每一个元素a 皆有一个左逆元1-a ,能让e a a =-1

则G 作成一个群.

下面讨论群定义的等价性

定理2.4 群的公理化定义蕴含群的方程定义.

证明: G b a ∈?,,对方程b ya b ax ==,.分别令G b a x ∈=-1,G ba y ∈=-1即可。这样群的公理化定义蕴含群的方程定义。

定理2.5 群的方程定义蕴含群的左左定义

证明:先证G 有左单位元e 存在。在G 中取一个固定的元b ,令b yb =的解为e ,即b eb =.G a ∈?,令a bx =有解c ,即a bc =,那么有a bc c eb bc e ea ====)()(,即e 为G 的左单位元.

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其次,证G 任一元素a 有左逆元存在,事实上,方程e ya =的解为a '就是a 的左逆元。这样群的方程定义蕴含着群的左左定义。

定理2.5 群的左左定义蕴含群的公理化定义.

证明:先证元素a 的左逆元a '一定也是a 的右逆元.

因为a a a a a a a a a a '=''='')())((,用a a '的左逆元左乘此式,即得e a a ='.

其次证G 的左单位元e 一定也是G 的右单位元.G a ∈?,设1-a 是

a 的逆元,

则有a ea a aa a a a ae ====--)()(11,故e 又是G 的右单位元,从而e 是G 的单位元.这样由群的左左定义可导出群的公理化定义。

注 (1) 用上述关于类似方法可论述定义群的右右定义与群的其它三个定义等价。

(2)利用群的左左定义,或群的右右定义时,要注意不能一条左一条右,如},,{b a e G =,其乘法由下表给出:

可以验证(G ,·)是一个半群,因e ee =,a ea =,b eb =,故e 是G 的左单位元.又e ee =,e ae =,e be =,即说e 是每一个元素的右逆元,但(G ,·)不是一个群.

2.5 群的分类

定义2 一个群G 的乘法如果适合交换律,即,,,G b a ba ab ∈?=称G 是一个可换群,或Abel 群;否则称为不可换群或非Abel 群。

例如 整数Z 集合关于数的普通加法做成一个可换群;非零有理数集合*Q 关于数的普通乘法做成一个可换群;当1>n 时,一般线性群)(F GL n 是非可换群。

注 习惯上,把一个可换群也叫做一个加群,它的运算叫加法,并通常用加号“+”来表示,它的单位元叫零元,并记为0,即a a a =+=+00,元素a 的逆元a 叫负元,记为a -,即有0)()(=-+=-+a a a a ,相应方

幂改为na ,即有???

????-=-=+++=).()(;00na a n a a a a na n 个,指数规律相应地变为

a m n ma na )(+=+;a mn na m )()(=;n

b na b a n +=+)(.

定义2.3 群G 中的元素个数叫做G 的阶,记为||G ;若||G 为有限数,则G 叫做有限群,否则叫做无限群.

注:无限群的阶称为无限,被认为是大于任意的正整数。例如,||1G >意味着G 可能是阶大于1的有限群,也可能是无限群。

我们前面所提到的一切群都是无限群,下面一个有限群的例子。

例21 n 个n 次单位根作成的集合}1|{=∈=n x C x G 对数的普通乘法做成一个群,把这个群记为n U ,并称n U 为n 次单位根群,其阶n G =||。

事实上,由于任两个n 次单位根的乘积以及n 次单位根的逆均仍为n 次单位根,又1是n 次单位根,故n U 作成群,而且是一个n 阶有限交换群。 以后将知道,n 次单位根群是一种很重要的群。

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2.5 群的基本性质

下面来讨论群的一些基本性质。易知

性质1 群G 的单位元及每个元素的逆元是存在的且惟一。

性质2 设(G ,·)是一个群,则乘法适合消去律:

左消去律,即若ay ax =,则y x =;

右消去律,即若ya xa =,则y x =.

证明:只证左消去律,类似的可证右消去律.

设21ax ax =,用1-a 左乘此式,则得)()(11ay a ax a --=,由结合律,有y a a x a a )()(11--=,即ey ex =,从而y x =.

性质3 设(G ,·)是一个群,G a ∈。如果a a =2,则e a =。 证明由群满足左消去律可证。

性质4 有限半群(G ,·)若适合消去律,则G 是一个群.

证明:设},,,{21n a a a G =,由群的方程定义知,对G 中任意给定的元素j i a a ,,只需证方程j i a x a =,j i a ya =在G 中有解即可.

用i a 左乘G 的所有元素,得n i i i a a a a a a ,,,21 ,由题设消去律成立,故这n 个元素互不相同,亦即还是G 的所有元素.那么,一定在G 中有某一个k a ,使得j k i a a a =,即说k a 就是j i a x a =在G 中的解.

同样,j i a ya =在G 中也有解,故G 是一个群.

性质5 设(G ,·)是一个群,(G ,·)是一个具有乘法结构的集合,其中这两个乘法不必是一致的.若G G ~,则G 也是一个群.

证明:由于G G ~,设G 到G 上的同态满射为?,则G 的乘法适合结合律. 其次,我们证G 有左单位元,在?下,令G 的单位元e 的象为e e =)(?.G a ∈?,必有G a ∈,使a a =)(?,那么

a a ea a e a e ====)()()()(????,即说e 便是G 的左单位元. 最后,看G 的每一元素皆有左逆元.G a ∈?,令a a =)(?,

b a =-)(1?,则e e a a a a a b ====--)()()()(11κ???,故b 便是a 的左逆元. 综上所证,可知G 也是一个群.

推论 若群G 与群G 同态,则G 的单位元的象是G 的单位元.G 的元素a 逆元的象是a 的象的逆元.若G 是可换群,则G 亦为可换群.

例22 设R G =(全体实数),G 的代数运算是数的普通加法,+=R G (全

体正实数),G 的代数运算是数的普通乘法,则群G 与群G 同构。

证明 如果)()(y x ??=,其中A y x ∈,,即y x e e =,则y x =,所以?是单

射;-

∈?A y ,取A y x ∈=ln ,则y e x y ==ln )(?,即?是满射;再由)()()(y x e e e y x y x y x ???===++,A y x ∈?,,所以?是G 到G 的一个同构映射,即-

?G G 。

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例23 看群)(Q GL n 及),(*?Q ,映射A A det : ?是)(Q GL n 到*Q 的一个满射。其次)(,Q GL B A n ∈?,有))(det (det )det()(B A AB AB ==?=)()(B A ??, 故?是群)(Q GL n 到*Q 的一个同态满射,即*~)(Q Q GL n 。

当1>n 时?不是群)(Q GL n 到*Q 的同构映射,因为在?下矩阵??????? ??111 与??????

? ??-111 都对应1,即?不是单射,故?不是同构映射。

§2.2 群中元素的周期

元素的周期是群论中一个非常重要的概念,对它的研究有助于洞察群的内部结构,它刻画了循环群的本质,同时利用它对群可作进一 步的分类,现在我们来研究群中元素的周期。

1. 元素的周期

定义2.1 设G 是一个群,G a ∈,使e a m =成立的最小正整数m 叫做元素a 的周期(也叫做a 的阶).若这样的m 不存在,则说a 的周期为无限,记为∞.

元素a 的周期常用符号)(a 或||a 表示。

由此可知,群中单位元的周期为1,而其它任何元素的周期都大于1.

例1 4U ={1,-1,i,-i}(i 是虚数单位)关于数的普通乘法作成一个群,其中(1)1,(1)2,()4,()4i i =-==-= 。

例2 整数加群(Z ,+)中数零的周期为1,即10=)(

.而其他数的周期皆为无限.

例3 非零有理数乘群*Q 中,(1)1,(1)2=-= ,而其余元素的周期均为无限.

定理1有限群中每一个元的周期都有限。

证明:设有限群G 的阶为n ,任取G 的元素a ,由G 是群可知

12,,,+n a a a 都是G 中元素 , 而G 的阶为n ,所以其中至少有两个元相等,不妨设 t s a a t s <=,,即e a s t =-,其中 0>-s t ,因此元a 的周期不超过s t -,即a 的周期为有限正整数,从而定理得证.

注: 无限群中元素的阶可能无限,也可能有限,甚至可能都无限。

例3 设n U 是全体n 次单位根对数的普通乘法作成的群,即n 次单

位根群,现在令1n n U U ∞

∞== ,则由于一个s 次单位根与t 次单位根的乘

积必是st 次单位根,U ∞每一个m 次单位的逆元也是一个m 次单位根,故U ∞对数的普通乘法作成一个群,而且是一个无限阶交换群,这个无限群中每个元素的周期都有限。

定义2 设G 是一个群,若G 的每一个元素周期皆有限,称G 为周期群;若G 中每一个非单位元的周期皆为无限,称G 为无扭群(或纯无穷群);若G 中非单位元的周期有些是有限的有限是无限的,称G 为混合群.

由定理1知,有限群是周期群,反之不成立,如U ∞是阶为无限的周期群;例2中的整数加群Z 是无扭群,例2中的非零有理数乘群*Q 为混合群.

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2. 元素周期的性质

定理2.2 设G 是一个群,a G ∈。

若a 的周期为m ,则

(1) n m e a n |?=;

(2 ) t s m a a t s -?=|;

(3) 021,,,,m a e a a a -= 互不相同;

(4) 集合{|}n H a n Z =∈的势为m 。

证明:(1)|,m n /若则由带余除法知,n mq r =+其中0r m ≤<,那么,r r r mq r mq n a ea a a a a e =====+,再由()a m = 知,必有0r =,从而|m n ;若|,m n 则存在整数q ,使得n mq =,于是由a 的周期为m 知, e e a a a q q m m q n ====)(;

(2)由于e a a a t s t s =?=-,由(1)知,t s m a a t s -?=|;

(3)若有,i j ,使得i j a a =,其中i j ≠且0,1i j n ≤≤-,则由(2)知|n i j -,而由 0,1i j n ≤≤-知0||1i j n <-≤-,显然|n i j -/,从而12,,,,-m a a a e 互不相同;

(4)n Z ?∈,则由带余除法知,存在整数,q r ,使得,n mq r =+其中0r m ≤<,于是由a 的周期为m 知,n mq r mq r r r a a a a ea a H +====∈,

从而由(3)知,集合H 含有m 个元素,即H 的势为m 。

定理2.3 设G 是一个群,a G ∈。

若a 的周期是无限的,则s t a a s t =?=.

证明:充分性是显然的.只需证必要性.设s t a a =,假设s t ≠,不妨设 s t <,则t s -是正整数,则由s t a a =知,e a s t =-,这与a 的周期是无限的矛盾,故s t =.

2. 元素周期的性质

定理2.4 设G 是一个群,a G ∈且()a m = ,则()(,)k m a m k =

,其中k 为任意整数,(,)m k 为m 与k 的最大公因数。

证明:设(,)d m k =,由于()().m km r

k m d d d

a a a e === 其次,若有正整数n ,使

k n a e =(),则|m rn ;又(,)m k d =.故(,)1m k d d =,且有|m k n d d ,从而|m n d ,因此()k m a d = ,即()(,)

k m a m k = . 推论 1 设G 是一个群,a G ∈且()a m = ,则()k a m = 当且仅当1),(=m k

推论2 设G 是一个群,a G ∈且()a st = ,则()s a t = ,其中t s ,是正整数。

证明 因为()a st = ,则由定理2.4知,()(,)

s st a t s st == 。

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定理2.5 若群中元素a 的周期为m ,b 的周期为n ,则当ba ab =且1),(=n m 时,则ab 的周期为mn .

证明 由于e e e b a b a ab m n m n n m m n m n m n ====)()()(;设e ab k =)(,由,)(km km km km b b a ab ==而,)(e ab km =即e b km =,则由n b =)( 及(m ,n )=1,知k n |.同理可得k m |,再一次利用(m ,n )=1,有k mn |,所以ab 的周期为mn 。

注 该定理中的条件ba ab =是必要的。如,在一般线性群)

(Q GL n 中,易知???? ??-=0110a ,???

? ??--=1110b 的周期都有限,且分别为4,3,但其乘积???

? ??=1011ab 的周期却为无限,这也说明,一般来说一个群G 的全体周期有限的元对G 的乘法并不封闭,又如,仍在)(Q GL n 中,易知

???? ??-=2021c ,???? ?

?=21001d 的周期都无限,但其乘积???? ??-=1011cd 的周期却是有限,是2.

定理中条件1),(=n m ,则是明显必要的,因为易知群中任何元素a 与其逆1-a 有相同的周期,但其乘积e 的周期则是1.

由此可见,当群中元素a 与b 不满足定理中的假设条件时,其乘积ab 的周期将无法根据b a ,的周期来做出判断。

定理2.6 设G 是可换群,且G 中元素的最大周期为m ,则G 中每个元素的周期都是m 的因数。

证明 设G 中元素a 的周期是m ,b 为G 中任意一个元素,周期为

n 。如果m n |/

,则必存在素数p 满足以下等式:1m p m k =,1|m p /, 1n p n t =,1|n p /

,k t >。由于m a =)( ,n b =)( ,则由推论1知1)(m a k

p = ,t n p b =)(1 ,又由于1),(1=t p m ,且G 是可换群,故由定理2.5知m m p m p b a k t n p k =>=11)(1 ,这m 与G 是中元素的最大周期矛盾,因此m n |,所以G 中每个元素的周期都是m 的因数。 §2.3 子群

在线性空间理论中,学过子空间的概念,它是研究原空间的一个工具.同样,群论中也有子群的概念,人们常常利用子群的性质来推测大群的性质,几乎群论中所有内容都或多或少地与子群有关系,如有限生成可换群是一些循环子群的直和;利用一个群的所有不变子群可以得到它的一切同态象;一个群如果没有真子群一定是循环群;有限群的阶一定是其子群阶的倍数,足见子群概念的重要性,所以根据子群来研究群,这也是研究群的重要方法之一.

1. 子群定义及例子

定义2.1设(G ,·)是一个群,H 是G 的一个非空子集.若H 对G 的乘法来说也做成一个群,则H 叫做G 的一个子群,记为G H ≤.

例1 设G 是一个群,易见G 本身以及由单位元作成的单元素集{e }都是G 的子群.这两个子群叫做G 的平凡子群.如果G 还有其它的子群,我们叫做G 的非平凡子群.

例2 }|2{Z n n H ∈=是整数加群(Z ,+)的一个子群.

例3 群)(?*,Q 中部分集合:1{0|*}H a a Q =<∈,2{1,1}H =-,

近世代数 21

3{0|*}H a a Q =>∈,4{2|*}H k k Z =∈,5{21|*}H k k Z =+∈, 哪些作成*Q 的子群,它的阶是多少?那些不能作成*Q 的子群? 易知2H ,3H 是子群,且2||2=H ,∞=||3H ;由于1H 关于乘法不封闭,4H 与5H 关于逆不封闭,所以1H ,4H ,5H 不是子群。

应该注意的是子群的运算要与大群的运算一致,如果不一致,则不算子群.比如(Q ,+)及(*Q ,·)都是群,且Q Q ?*,但(*Q ,·)不算(Q ,+)的子群.

命题 设G H ≤,则H 的单位元e '与G 的单位元e 一样.H a ∈,a 在H 中的逆元a '与a 在G 中的逆元1-a 一样.

证明:因为在G 中e e e '=',在H 中,e e e '=''从而,e e e e ''='由消去律得e e '=.

其次,因在H 中,e a a ='在G 中,1e a a =-故,1a a a a -='由消去律得.1a a '=-

值得注意的是半群与子半群若都有单位元,二者却不一定相同.如

例4 ),(·22?Q 是个有单位元???? ??1001的半群,而?

?????∈???? ??=Q a a H |000是其子半群,H 有单位元???

? ??0001.两个单位元是不一样的.

2.子群的判定

一下看看子群的一些判别条件。

定理2.1 设H 是群G 的一个非空子集.那么,H 是G 的一个子群当且仅当H 满足以下两个条件:

(1) ?H b a ∈,,有H ab ∈; (2) ?H a ∈,有H a ∈-1. 证明:必要性 由子群的定义即知(1),(2)成立.

充分性 由(1)知H 对G 的乘法封闭.又G 的乘法适合结合律,从而H 的乘法也适合结合律.这样,(H ,·)作成一个半群.因H 非空,故至少包含一个元素a ,由(2)知.1H a ∈-再由(1)得H e a a ∈=-1,即说H 有单位元e .又由(2)知H 中任一元素a 在H 中都有逆元,1-a 故H 是G 的一个群.

例5 在一般线性群)(F GL n 中,设{|det 1},H A A ==显然单位矩阵 在H 中;,,A B H ?∈因111)det()det()det(=?==B A AB ,故H AB ∈;其次,设H A ∈,则1)(d e t )d e t 11==--A A ,故H A ∈-1,则由定理2.1知,H 是)(F GL n 的一个子群,这个群叫做n 阶特殊线性群,记为)(F SL n .

定理2.2 设H 是G 的一个非空子集,那么,H 是G 的一个子群当且仅当H 满足一个条件:?H b a ∈,,有H ab ∈-1.

证明:只要证明此条件与定理2.1 中的(1),(2)即可. 必要性 ?H b a ∈,,则由定理2.1 中的(1)知有H b ∈-1,再由定理2.1 中的(1)知有H ab ∈-1;

充分性 ?H a ∈,由条件知H e a a ∈=-1,再由条件知, H a ea ∈=--11,故定理2.1 中的(2)成立;

近世代数模拟试题2

近世代数模拟试题 一、填空题 1、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的,则G 与-----------同构。 2、实数域R 的全部理想是------- 3、n 次对称群Sn 的阶是____________. 4、一个有限非可换群至少含有____________个元素. 5、假定R 是整数环,则:(2,5)=----------------。 6、设A={1,2,…,10}, 给出一个A ×A 到A 的映射,这个映射------------单射。 7、全体整数对于普通加法来说作成一个群,这个群的单位元是 ------,a 的逆元是---------。 8、凯莱定理说:任一个子群都同一个 同构。 9、阶是素数的群一定是-------------群。 二、选择题 1、每一个有限群都与一个置换群( ) A 、同态 B 、相等 C 、同构 D 、不相等 2、从同构的意义讲,阶为4 的群只有( )个。 A. 1 B.2 C. 3 D.4 3、指出下列那些运算是二元运算( ) A 、在整数集Z 上,ab b a b a += ; B 、在有理数集Q 上,ab b a = ; C 、在正实数集+R 上,b a b a ln = ; D 、在集合{} 0≥∈n Z n 上,b a b a -= 。 4、设S3={(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)},则S 中与元(1 2 3)不能交换的元的个数是( )。 A.1 B.2 C.3 D.4 5、同构的观点看,循环群有且只有两种,分别( ) A 、G=(a )与G 的子群 B 、(Z ,+)与(Zn ,+) C 、变换群与置换群 D 、(Q ,+)与(Zn ,+) 三、简答题( 下列题正确错误均需说明,正确的,予以证明;错误的,给出反例。判断3分,说明5分,判断错误,全题无分。) 1、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 2、在一个群G 里,若 0,1的阶是那么a a a -=。 3、任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

近世代数第二章答案分解

近世代数第二章群论答案 §1.群的定义 1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群? 解:不是,因为普通减法不是适合结合律。 例如 () 321110 --=-= --=-=() 321312 ()() --≠-- 321321 2.举一个有两个元的群的例。 解:令G=,e a {},G的乘法由下表给出 首先,容易验证,这个代数运算满足结合律 (1) ()(),, = ∈ x y z x y z x y z G 因为,由于ea ae a ==,若是元素e在(1)中出现,那么(1)成立。(参考第一章,§4,习题3。)若是e不在(1)中出现,那么有 ()aa a ea a == a aa ae a ==() 而(1)仍成立。 其次,G有左单位元,就是e;e有左逆元,就是e,a有左逆元,就是a。所以G是一个群。 读者可以考虑一下,以上运算表是如何作出的。 3.证明,我们也可以用条件Ⅰ,Ⅱ以及下面的条件IV',V'来做群的

定义: IV ' G 里至少存在一个右逆元1a -,能让 =ae a 对于G 的任何元a 都成立; V ' 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元1a -,能让 1=aa e - 解:这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件I,II,IV,V 来做群定义的证明,但读者一定要自己写一下。 §2. 单位元、逆元、消去律 1. 若群G 的每一个元都适合方程2=x e ,那么G 是交换群。 解:令a 和b 是G 的任意两个元。由题设 ()()()2 ==ab ab ab e 另一方面 ()()22====ab ba ab a aea a e 于是有()()()()=ab ab ab ba 。利用消去律,得 =ab ba 所以G 是交换群。 2. 在一个有限群里,阶大于2的元的个数一定是偶数。 解:令G 是一个有限群。设G 有元a 而a 的阶>2n 。 考察1a -。我们有 ()1=n n a a e - ()()11==n n e a a e -- 设正整数

近世代数习题第二章

第二章 群论 近世代数习题第二章 第一组 1-13题;第二组 14-26题;第三组 27-39题;第四组 40-52 题,最后提交时间为11月25日 1、设G 是整数集,则G 对运算 4++=b a b a 是否构成群? 2、设G 是正整数集,则G 对运算 b a b a = 是否构成群? 3、证明:正整数对于普通乘法构成幺半群. 4、证明:正整数对于普通加法构成半群,不含有左右单位元. 5、G 是整数集,则G 对运算 1=b a 是否构成群? 6、设b a ,是群G 中任意两元素. 证明:在G 中存在唯一元素x ,使得b axba =. 7、设u 是群G 中任意取定的元素,证明:G 对新运算aub b a = 也作成群. 8、证:在正有理数乘群中,除1外,其余元素阶数都是无限. 9、证:在非零有理数乘群中,1的阶是1,-1的是2,其余元素阶数都是无限. 10、设群G 中元素a 阶数是n ,则 m n e a m |?=. 11、设群G 中元素a 阶数是n ,则 ) ,(||n m n a m =.,其中k 为任意整数. 设(m,n )=d,m=dk,n=dl,(k,l)=1. 则(a^m)^l=a^(ml)=a^(kdl)=(a^(n))^k=e. 设(a^m )^s=e,,即a^(ms)=e,所以n|ms,则l|ks,又因为(l,k)=1,所以l|s,即a^m 的阶数为l. 12、证明:在一个有限群中,阶数大于2的元素个数一定是偶数. 13、设G 为群,且n G 2||=,则G 中阶数等于2的一定是奇数. 14、证明:如果群G 中每个元素都满足e x =2 ,则G 是交换群. 对每个x ,从x^2=e 可得x=x^(-1),对于G 中任一元x ,y ,由于(xy )^2=e ,所以xy=(xy )^(-1)=y^(-1)*x(-1)=yx. 或者 :(ab)(ba)=a(bb)a=aea=aa=e ,故(ab)的逆为ba ,又(ab)(ab)=e ,这是因为ab 看成G 中元素,元素的平方等于e. 由逆元的唯一性,知道ab=ba 15、证明:n 阶群中元素阶数都不大于n . 16、证明:p 阶群中有1-p 个p 阶元素,p 为素数. 17、设群G 中元素a 阶数是n ,则 )(|t s n a a t s -?=. 18、群G 的任意子群交仍是子群.

2.3近世代数

§2.3循环群和生成群、群的同构 §2.3.1 循环群和生成群 设G 是群,,令 G a ∈ H ={ | } k a Z k ∈此时,称H 为由a 在G 中生成的子群。 注:1°易验证H 确实为G 的子群,1 2 1()k k a a H ?∈。 2°记H =< a >,a 称为它的生成元;若G =< a >,则称群G 为循环群。 定义1 (生成子群)设S 是群G 中的一个非空子集,G 的含有S 的最小子群称为由S 生成的子群,记为< S >,S 称为它的生成元集。 注:1°< S >可表示为 < S >={ …| 2 1 21ε εa a k k a εZ S a i i ∈∈ε,, k=1,2,3…} 这个表达式是合理的:设右式为H ,易见H ?S ,并且H ≤G ;要证明任何包含S 的子群K 必然包含H 。由于S K ,而K 为群G 的子群,所以;这也就是说H =< S >。 ?K a k i i i ∈∏=1 ε 2)如果群G =< S >,且K S ??,>≠,它的极

小生成元集为{a , b }。 (2) (Z ,+)=<1>=<-1>,它是可由1或-1生成的无限阶的循 环群。 (3) (,+)≌,它们都为n 阶循环群。 n Z n U (,+)=< [1] >;= < n Z n U ξ >。 (4) 二面体群>=<0,πρn D =ρ ???????1...22110n ??? ??????11 (2211) 0n n n n=6时: 不难证明,()2k i k n i π=+? (mod n ) k π, 上下均模n 。 l k l ?=ρπ较复杂的例子: P56 例1、设??????=?∈? ? ????=1,,,,)(2bc ad Z d c b a d b c a Z SL 证明: >?? ? ?????????=<1011,1101)(2Z SL 证明: , ??????=1101A ?? ? ???=1011B 有: ,,??????=101k A k ?? ????=101k B k Z k ∈ ? ? ?????=??????????????=????????????????????==??011010110111101111011011 11AB B Q

近世代数

。个代数运算以定义个元素的集合上总共可、含有 n n 12n ( ) ) (群。能作成 对运算集合、由全体正整数作成的 a b a G 2b = 3、循环群的子群仍是循环群。 ( ) 4.正规子群的左陪集也一定是一个右陪集。( ) 5.任何群G 都与其商群G/N 同态。 ( ) 13123321 61)(、=???? ??- ( ) 也是循环群是循环群,则,若是两个群且与、设G G G ~G G G 7 8.整数环Z 的每个理想不一定是主理想。 ( ) 9.设环R 有单位元且每个非零元素都有逆元,若 | R |>1, 则R 一定是体。( ) 10.无零因子的交换环不一定是整环。 ( ) 11.环R 中所含元素的个数叫环R 的特征。( ) 2、什么是理想?3什么是体? 的行列式。是矩阵其中同态映射,且是满射, 的一个 到是:普通乘法,证明:,代数运算是数的;再令运算是方阵的普通乘法 数阶方阵作成的集合,代 上全体是数域分)令三、(A |A | M M |A |A F M n F M 15?→??=四、(15分)设G 是一个群,且H ≤G ,K ≤G , 证明:H 与K 的交集是G 的一个子群。 五、(15分)设N 是群G 的任一正规子群,证明:G ~ G/N 6、(15分)写出三次对称群S 3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}关于子群 H={(1),(23)}的所有左陪集和所有右陪集。 一、判断题。!个双射变换个元素的任意集合共有 、含有 n n 1 2.在模8剩余类环Z 8中{} 6,4,2,0 2>=<是一个极大理想。( ) 4.整数环Z 的每个理想都是主理想。 ( ) 二、单项选择题(每小题2分,共10分) 1、关于半群的说法不正确的是: ( ) (A )半群是带有一个代数运算的代数系统; (B) 半群的乘法一定适合结合律; (C) 半群的乘法不一定适合交换律; (D) 半群中一定有单位元。 2、设G 是一个群,H 是G 的一个非空子集,则 H ≤G 的充要条件是 ( ) (A ) H ab H b ,a ∈?∈ (B) H a H a 1∈?∈-

近世代数习题解答张禾瑞二章

近世代数习题解答 第二章群论 1群论 1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群? 证不是一个群,因为不适合结合律. 2. 举一个有两个元的群的例子. 证G={1,-1}对于普通乘法来说是一个群. 3. 证明,我们也可以用条件1,2以及下面的条件 4,5'来作群的定义: 4'. G至少存在一个右单位元e,能让ae = a 对于G的任何元a都成立 5 . 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元 a ,能让aa e A_1 证(1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由aa e 得a a = e 因为由4 G有元a能使a'a =e 1 1 1 ' 所以(a a)e = (a a)(a a ) 即a a = e (2)一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由ae = a 得ea = a 即ea = a 这样就得到群的第二定义. (3)证ax二b可解 取x = a 这就得到群的第一定义. 反过来有群的定义得到4,5'是不困难的. 2单位元,逆元,消去律 1. 若群G的每一个元都适合方程x2二e,那么G就是交换群. 证由条件知G中的任一元等于它的逆元,因此对a,b^G有ab = (ab),= b°a,= ba . 2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数. _1 n —1 n n —1 —1 证(1)先证a的阶是n则a 的阶也是n . a e= (a ) (a ) e e 若有m n 使(a ')m= e 即(a m)' = e因而a m=e‘ ? a m=e 这与a的阶是n矛盾「a的阶等于a °的阶 _4 _4 2 (2) a的阶大于2,则a=a 若a=a : a=e 这与a的阶大于2矛盾 (3) a b 贝U a「b' 斗

近世代数之我见

一对课程的看法: 1作用与意义 近世代数的理论和方法不仅在数学理论本身中占有及其重要的地位,而且在其他学科中也有着广泛的应用,如理论物理、计算机科学等。其研究的方法和观点,对这些学科产生了越来越大的影响。 本课程旨在使学生对近世代数的基础理论和基本的思想、方法有一个初步的了解,为学生进一步的学习打下必要的基础。要求学生能熟练掌握群、环、域的基本理论,包括其定义和基本的性质,并对模的概念有所理解。要求学生对数学中的公理化思想有初步认识。 2.本课程的主要内容 本课程讲授四类典型的代数系统:集合与运算、群、环和域。其内容包括: 群的各种定义,循环群,n阶对称群,变换群,子群与陪集,Lagrange定理,不变子群的定义及其性质,群同态和同构基本定理,能够计算群元素的阶; 环、域、理想、唯一分解环的定义,环中的可逆元,零因子、素元的定义,判别唯一分解环的方法。 3.教学重点与难点 重点:群、正规子群、环、理想、同态基本原理。 难点:商群、商环。 二、对教法的看法: “近世代数”是一门比较抽象的学科,初学者往往感到虚无飘渺,困难重重。为此,下面介绍五种常用的学习方法。 一、通过例子来加深对基本理论的理解 针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点,我们认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。例如,一元多项式环和整数环是主理想整环的例子,关于主理想整环的许多结论都是通过推广关于多项式和整数的结论得到;一个无零因子交换环的商域就是模仿整数环和有理数环间的关系构造的;整环里的因子分解理论就是分解质因数和多项式的因式分解理论的推广。当我们学习“近世代数”时,就仅仅背下来一些命题、性质和定理,并不意味着真正地理解。要想真正理解,需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的?而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。通常的做法是:去掉一个前提条件后,构造一个结论不成立的例子,从而表明所去掉的前提条件是必要的。例如,关于素理想和极大理想的关系有结论:设R是含1交换环,则R的极大理想一定是素理想。那么这个结论的条件“含1”是必要的吗?这个问题的答案可从下面的例子容易得到。例:设R是所有偶数构成的环,Z表示整数环,则4Z是R的极大理想,但4Z不是R的素理想。 二、通过变换角度来寻求问题的解法 通过变换角度来寻求问题的解法是一种很普遍的解题方法,通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题,或者是将新问题变换为已经解决的问题,或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等。下面举例说明这种方法:

近世代数习题解答张禾瑞二章

近世代数习题解答 第二章 群论 1 群论 1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群? 证 不是一个群,因为不适合结合律. 2. 举一个有两个元的群的例子. 证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群. 3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 ''5,4来作群的定义: '4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立 '5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1 证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1 得 e a a =-1 因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1 所以))(()('111a a a a e a a ---= 即 e a a =-1 (2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = 即 a ea = 这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1-= 这就得到群的第一定义. 反过来有群的定义得到''5,4是不困难的. 2 单位元,逆元,消去律 1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群. 证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有 ba a b ab ab ===---111)(. 2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数. 证 (1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n n n ===?=---111)()( 若有n m ? 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a Θ的阶等于1-a 的阶 (2) a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =?=-21 这与a 的阶大

近世代数第二章规范标准答案

近世代数第二章群论答案 § 1.群的定义 1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?解:不是,因为普通减法不是适合结合律。 例如 3 2 1 3 1 2 3 2 1 1 1 0 3 2 1 3 2 1 2. 举一个有两个元的群的例。 解:令G e,a , G的乘法由下表给出 首先,容易验证,这个代数运算满足结合律 (1) x y z x y z x, y,z G 因为,由于ea ae a,若是元素e在(1)中出现,那么(1)成立。(参考第一章,§ 4,习题3。)若是e不在(1)中出现,那么有 aa a ea a a aa ae a 而(1)仍成立。 其次,G有左单位元,就是e;e有左逆元,就是e,a有左逆元,就是a。所以G是一个群。 读者可以考虑一下,以上运算表是如何作出的。

3. 证明,我们也可以用条件I,H 以及下面的条件IV , V 来做群的 定义: IV G 里至少存在一个右逆元a 1,能让 ae = a 对于G 的任何元a 都成立; V 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元a 1,能让 1 aa = e 解:这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件 I,II,IV,V 来做群 定义的证明,但读者一定要自己写一下。 § 2.单位元、逆元、消去律 1. 若群G 的每一个元都适合方程x 2 = e ,那么G 是交换群。 解:令a 和b 是G 的任意两个元。由题设 2 ab ab = ab = e 另一方面 ab ba = ab 2a = aea= a 2 = e 于是有ab ab = ab ba 。利用消去律,得 ab = ba 所以G 是交换群。 2. 在一个有限群里,阶大于2的元的个数一定是偶数。 解:令G 是一个有 限群。设G 有元a 而a 的阶n>2。 考察a 1。我们有 n 1 n 1 n 1 n a a = e e a = a = e

近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( )是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{}3 ,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( )不是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3 σ 是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14), 3 σ = (1324),则3 σ =( ) A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于 50,则4 a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域 F 的一个代数元,如果存在 F 的----- n a a a ,,,10 使得 10=+++n n a a a α α 。

近世代数期末考试试卷及答案

近世代数期末考试试卷及答案 1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( )是子群. A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( )不是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、 3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则 3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( ). A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分. 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构. 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环. 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4 a 的阶等于------. 4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与-------同构. 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----. 6、若映射?既是单射又是满射,则称?为-----------------. 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得010=+++n n a a a ααΛ. 8、a 是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为---------. 9、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群,如果满足G 对于乘法封

近世代数第二章答案

近世代数第二章群论答案 §1、群得定义 1、全体整数得集合对于普通减法来说就是不就是一个群? 解:不就是,因为普通减法不就是适合结合律。 例如 2、举一个有两个元得群得例。 解:令,得乘法由下表给出 首先,容易验证,这个代数运算满足结合律 (1) 因为,由于,若就是元素在(1)中出现,那么(1)成立。(参考第一章,§4,习题3。)若就是不在(1)中出现,那么有 而(1)仍成立。 其次,有左单位元,就就是;有左逆元,就就是,有左逆元,就就是。所以就是一个群。 读者可以考虑一下,以上运算表就是如何作出得。 3、证明,我们也可以用条件Ⅰ,Ⅱ以及下面得条件,来做群得定义: 里至少存在一个右逆元,能让

对于得任何元都成立; 对于得每一个元,在里至少存在一个右逆元,能让 解:这个题得证法完全平行于本节中关于可以用条件来做群定义得证明,但读者一定要自己写一下。 §2、单位元、逆元、消去律 1.若群得每一个元都适合方程,那么就是交换群。 解:令与就是得任意两个元。由题设 另一方面 于就是有。利用消去律,得 所以就是交换群。 2.在一个有限群里,阶大于2得元得个数一定就是偶数。 解:令就是一个有限群。设有元而得阶。 考察。我们有 设正整数而,那么同上可得,与就是得阶得假设矛盾。这样,也就是得阶,易见。 否则 与得假设矛盾。这样,我们就有一对不同得阶大于2得元与。

设还有元,,,并且b得阶大于2。那么得阶也大于2,并且。我们也有。 否则 消去得,与假设矛盾。同样可证。这样,除与外,又有一对不同得阶大于2得元与。 由于就是有限群,而得阶大于2得元总就是成对出现,所以里这种元得个数一定就是偶数。 3、假定就是一个阶就是偶数得有限群。在里阶等于2得元得个数一定就是奇数。 解:由习题2知,里阶大于2得元得个数就是偶数。但只有一个阶就是1得元,就就是单位元。于就是由于得阶就是偶数,得里阶等于2得元得个数就是奇数。 4、一个有限群得每一个元得阶都有限。 解:令就是一个有限群而就是得任一元素,那么 不能都不相等。因此存在正整数i,j,,使,用乘两边,得 (1) 这样,存在正整数,使(1)成立,因此也存在最小得正整数,使,这就就是说,元得阶就是。 4.群得同态 假定在两个群与得一个同态映射之下, 。与得阶就是不就是一定相同?

近世代数基础 第二章 群论

第二章群论 群是最简单,最重要,有广泛应用的代数系统。 在本章里主要研究具有某种特殊的群存在,结构和构造等。学习中我们从群的定义开如直到同态基本定理和不变子群,共讲十一个问题,它是以下几章的基础,本章开头提出的十一问题是: 一、群在的定义及其基本性质七、循环群; 二、单位元、逆元、消去律;八、子群; 三、有限群的另一定义;九、子群的陪集; 四、群的同态;十、不变子群、商群; 五、变换群;十一、同态与不变子群。 六、置换群; §2.1 群的定义 ●课时安排约1课时 ●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P31-35 群的思想:第一,它有满足结合律的代数运算;第二,这个代数运算具有逆运算。 定义:一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群,则等价于下列条件: (1)(G,·)有单位元,且G中每一个元有逆元。 (2)(G,·)有左单位元,且G 中每个元有左逆元; (3)(G,·)有右单位元,且G 中每个元有右逆元; (4)a,b∈G,方程a.x=b和y.a=b在G中都有解,是一个有限整数;不然的话,这个群叫做无限群,有限群的元素个数叫做这个群的阶。 定义:对 a,b∈G来说,满足ab=ba条件的群叫做交换群。 例 1:证明若G包含一个元g,且乘法是gg=g,则G对于这个第六法来说作成一个群。 例2:设G是一个全体整数的集合,证明G对于普通加法来说作成一个群。 例3:设G是所有不等于零的整数集合,证明G对于普通乘法来说不作成一个群。 习题选讲:P38 1,3 ●教学重点群的定义,基本特点,群的思想方法,群的判定常用的方法。 ●教学难点群定义,群的判定常用的方法,利用群的定义证明性质和判定。 ●教学要求理解群的定义,掌握群定义中的四个等价条件,和群的判定方法,多训练(做题)。 ●布置作业 P35 1,3(2) ●教学辅导

近世代数考题整理

一、二、(45分) 单项选择题和填空题的知识点: 1. 任何有限群G 的子群H 的阶数是G 阶数的因子 2. 任何素数阶数的群是循环群,而循环群是交换群 3. 群的定义是什么?给出一些集合和集合上的运算,能判断集合关于运算是不是群。P31-32 第一定义:一个不空集合G 对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群 (1) G 对于这个乘法来说是闭的 (2) 结合律成立 a(bc)=(ab)c ,对于G 的任意三个元a,b,c 都对 (3) 对于G 的任意两个元a,b 来说,方程ax=b 和ya=b 都在G 里有解 第二定义:一个不空集合G 对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群 (1) G 对于这个乘法来说是闭的 (2) 结合律成立 a(bc)=(ab)c ,对于G 的任意三个元a,b,c 都对 (3) G 里至少存在一个左单位元e ,能让ea = a ,对于G 的任何元a 都成立 (4) 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个左逆元a -1,能让a -1a = e 4. 什么是一个群G 的生成元,给出一个子集合会判断该子集是不是子群 若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的乘方,我们就把G 叫做循环群,也说G 是由a 所生成,并且用符号G=(a)来表示,a 叫做G 的一个生成元 P63 5. 什么叫做结合律?给出一个集合和集合上的运算,会判断该运算是不是可结合的。 一个集合A 的代数运算o 适合结合律,对于A 的任意三个元a,b,c 来说,都有(a o b )o c = a o (b o c ) 6. 已知群G 的元素a 的阶是n, 那么m a 的阶是(,) n n m 。 7. 环、整环、除环、域的定义。 环:一个集合R 叫做环 (1)R 是一个加群,R 对于一个叫做加法的代数运算来说作成一个交换群 (2)R 对于另一个乘法的代数运算来说是闭的 (3)这个乘法适合结合律:a(bc)=(ab)c ,不管a,b,c 是R 的哪三个元 (4)两个分配律都成立a(b+c)=ab+ac ,(b+c)a=ba+ca ,不管a,b,c 是R 的哪三个元 整环:一个环R 叫做整环,假如 (1) 乘法适合交换律ab =ba

循环群的性质研究

淮北师范大学 2012届学士学位论文 循环群的性质研究 学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向高等代数 学生姓名潘帅 学号20081101142 指导教师姓名张波 指导教师职称讲师 2012年4月3日

循环群的性质研究 潘帅 (淮北师范大学数学科学学院,淮北,235000) 摘要 设G是一个群,a G ,如果群G中的每一个元素都能写成元素a的乘方的形式,则称G是一个循环群,循环群是近世代数中的一个重要内容,也是一类基本研究明白的群,本文主要讨论了循环群的相关性质及其应用。 文中首先介绍了群的相关基础知识,由此引出循环群的定义和它的相关性质,讨论了循环群及其元素,子群间的关系,然后利用循环群的基础理论讨论了循环群的同态、同构,并给出了循环群的自同构群是交换群的结论。 关键词:循环群,子群,同构,自同构群

Study on the Properties of Cyclic Groups Pan Shuai (School of Mathematical science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000 ) Abstract Let G be a group, a G ∈. If every element can be written the form n a where ∈, then the group is a cyclic group. Cyclic groups is an important content in the n Z+ algebra, also a kind of group was nearly researched understand, this subject mainly discussed the cyclic group related properties and application. The basic knowledge of relevant firstly be introduced in this subject, then drawn out the definitions of circulation and some related properties, discussed the cyclic group and its elements, even the relations between the subgroup, and used the circulation of the foundation of the theory to discuss the circulation about the homomorphism and isomorphism, lastly made us know the conclusions what automorphism group of circulation group is an exchange of group. Keywords:cyclic group, subgroup, isomorphism, automorphism group

近世代数试题库

近世代数 一、单项选择题 1、若A={1,2,3,5},B={2,3,6,7},则B A ?=( ) A 、{1,2,3,4} B 、{2,3,6,7} C 、{2,3} D 、{1,2,3,5,6,7} 答案:C 2、循环群与交换群关系正确的是( ) A 、循环群是交换群 B 、交换群是循环群 C 、循环群不一定是交换群 D 、以上都不对 答案:A 3、下列命题正确的是( ) A 、n 次对换群n S 的阶为!n B 、整环一定是域 C 、交换环一定是域 D 、以上都不对 答案:A 4、关于陪集的命题中正确的是( )设H 是G 的子群,那么 A 、 对于,,bH aH ?有φ=?bH aH 或bH aH = B 、 H a H aH ∈?= C 、 H b a bH aH ∈?=-1 D 、 以上都对 答案:D 5、设A=R (实数域), B=R+(正实数域) f :a→10a a ∈A 则 f 是从A 到B 的( ) A 、单射 B 、满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 答案:D

6、有限群中的每一个元素的阶都( ) A 、有限 B 、无限 C 、为零 D 、为1 答案:A 7、整环(域)的特征为( ) A 、素数 B 、无限 C 、有限 D 、或素数或无限 答案:D 8、若S 是半群,则( ) A 、任意,,,S c b a ∈都有a(bc)=(ab)c B 、任意,,S b a ∈都有ab=ba C 、必有单位元 D 、任何元素必存在逆元 答案:A 9、在整环Z 中,6的真因子是( ) A 、1,6±± B 、2,3±± C 、1,2±± D 、3,6±± 答案:B 10、偶数环的单位元个数为( ) A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、无数个 答案:A 11、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合,而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射,那么( ) A 、集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同; B 、n A A A ,,,21 的次序不能调换; C 、n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同; D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。

近世代数参考答案

《近世代数》A/B 模拟练习题参考答案 一、判断题(每题4分,共60分) 1、如果循环群G=(a)中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构。( √ ) 2、如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群。( × ) 3、两个子群的交一定还是子群。( × ) 4、若环R 满足左消定律,那么R 必定没有右零因子。( √ ) 5、任意置换均可表示为若干个对换的乘积。( √ ) 6、F (x)中满足条件p(a)=0的多项式叫做元a 在域F 上的极小多项式。( × ) 7、已知H 是群G 的子群,则H 是群G 的正规子群当且仅当g G ?∈,都有 1gHg H -= ( √ ) 8、唯一分解环必是主理想环。( × ) 9、已知R 是交换环,I 是R 的理想,则I 是R 的素理想当且仅当是/R I 整环。 ( √ ) 10、欧氏环必是主理想环。( √ ) 11、整环中,不可约元一定是素元。( √ ) 12、子群的并集必是子群。( × ) 13、任何群都同构于某个变化群。( √ ) 14、交换环中可逆元与幂零元的和是可逆元。( √ ) 15、集合,A Z B N ==,::2f A B n n →+是从A 到B 的映射。( × ) 二、证明题(每题20分,共300分) 1Q 上的最小多项式。 解:令=u 32==u u . 于是3223323315(32-?-=+-+=u u u u u u . 移项后得32152(3+-=-u u u 两边平方,得到3222(152)(35)5+-=-?u u u .

这是u 上满足的Q 上6次方程,故[():]6≤Q u Q . 又3(2=u ()Q u .由[]2=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q , 知2|[():]Q u Q .u (()=Q u Q u .又[]3=Q Q 及 []|[():]Q Q Q u Q ,得3|[():]Q u Q .于是6|[():]Q u Q ,因而[():]6=Q u Q . 由于3222(152)(35)50+---?=u u u , 故6次多项式3222(152)5(35)+---x x x 是u 在Q 上的最小多项式. 2、求出阶是32的循环群(a )的所有子群,这些子群是否都是不变子群。 解:因为(a)为循环群,所以(a)为交换群, 又因为32的所有正整数因子为:1,2,4,8,16,26. 所以循环群(a)的所有子群为循环子群: }{)())()()((),(),(03616842e a a a a a a a == 并且这些子群都是不变子群。 3、记*\{0}C C =表示非零复数集合, {|}i U e R θθ=∈是模为1的复数集合, R +表示正实数集合,证明*/C U R +? 。 证明: Step(1) 证明*C 关于复数的乘法构成群 a) 因为*1C ∈,所以*C 非空 b) 易知,复数的乘法是***C C C ?→的一个映射,从而它是*C 上 的一个二元代数系统 c) *,,C αβγ?∈ ()()αβγαβγ=成立,从而满足结合律 d) *C α?∈,有11ααα==,所以1是单位元 e) *i re C θ?∈,有1()()1i i re e r θθ-=,所以*C 中任意元素均有逆元 综合以上五点可知, *C 关于复数的乘法构成群 Step(2) 证明 U 是*C 的正规子群 a) 可知是交换群,而交换群的子群一定是正规子群,所以仅需证

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