第八章 相量法
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4
复数 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
z 重点： 重点： z
1. 正弦量的表示、相位差； 2. 正弦量的相量表示； 3. 电路的相量形式。 4. R、L、C元件VCR的相量表示。
§8-1 复数
1. 复数的表示形式
(1) 代数形式
F = a + jb
式中 j =
? 1 为虚单位
取复数F的实部和虚部的符号: 取复数F的实部 取复数F的虚部
Re[ F ] = a Im[ F ] = b
(2) 相量形式 取复数F在复平面上可以用一条从原点O指向对 应坐标点的有向线段(向量)表示。
+j
b θ F
O
a
+1
图(a)
(3) 三角形式 取复数F的三角形式 b
+j
F θ
F = F (cos θ + jsin θ )
式中
F ——复数的模 ( 值 )
O
a
+1
图(a)
θ
——复数的辐角
θ = arg F
F 和θ 与a和b之间的关系
+j
b θ F
a = F cos θ b = F sin θ
或
O
a
+1
图(a)
F = a2 + b2 b θ = arctan( ) a
(4) 指数形式 根据欧拉公式 b
+j
F θ
e
jθ
= cos θ + jsin θ
O
复数的三角形式
a 图(a)
+1
F = F (cos θ + jsin θ )
转变为指数形式，即
F= F e
jθ
(5) 极坐标形式 b 将指数式
+j
F θ
F= F e
jθ
O
a 图(a)
+1
改写为极坐标形式，即为
F = F ∠θ
2. 复数的加、减运算
(1) 代数法 设 则
F1 = a1 + j b1 ， F2 = a 2 + j b2
F1 ± F2 = ( a1 + jb1 ) + ( a2 + jb2 ) = ( a1 ± a2 ) + j(b1 ± b2 )
(2) 图解法 复数的加、减运算可以用平行四边形法在 复平面上用向量的相加、减求得。 a. 加运算
+j
F1+F2 F1
F2 O 图(a) F1+F2
+1
b. 减运算
+j
F1 F1- F2
F2 O 图(b) F1- F2
+1
3. 复数的乘、除运算
(1) 代数法 a. 乘运算
FF 1 2 = (a 1 + jb 1 )(a2 + jb2 ) = (a1a2 ? bb 1 2 ) + j(a1b2 + a2b 1)
b. 除运算
F1 ( a1 + jb1 ) = F2 ( a2 + jb2 ) (a1 + jb 1)(a 2 ? jb 2) = (a2 + jb2)(a2 ? jb2)
a1a2 + bb a2b1 ? ab 1 2 1 2 = + j (a2 )2 + (b2 )2 (a2 )2 + (b2 )2
式中 ( 表示为F*。
a2 ? jb2 ) 为F2的共轭复数，F的共轭复数
2 2
F2 F = ( a2 + jb2 )( a2 ? jb2 ) = ( a2 ) + (b2 )
? 2
(2) 图解法 逆时针旋转 a. 乘运算
+j
F1 F2
θ2
F2 F1
F1
θ1 θ2
F2
O 图(c)
+1
F1 F2
b. 除运算
F1
+j
F1 F2
θ1
顺时针旋转 θ2
F1 F2
θ2
F2
O 图(d) F1 / F2
+1
(3) 指数法 复数相乘、除用指数形式比较方便。 a. 乘运算
F1 F 2 = F1 e
所以
jθ 1
F2 e
j(θ 1 + θ
jθ 2
2
= F1 F 2 e
)
F1 F 2 = F1 F 2
arg ( F1 F 2 ) = arg ( F1 ) + arg ( F 2 )
b. 除运算
F1 ∠ θ1 F1 F1 = = ∠ θ1 ? θ 2 F2 F2 ∠ θ 2 F2
所以
F1 F1 = F2 F2
F1 arg ( ) = arg ( F1 ) ? arg ( F 2 ) F2
3. 旋转因子
jθ e = 1∠ θ 是一个模等于1，辐角为的θ复数。 复数
jθ jθ 任意复数 A = A e 乘以 e 等于把复数A逆时针
旋转一个角度θ，而A的模值不变，所以称 因子。 根据欧拉公式，知
e jθ 为旋转
e
j
π 2
= j
e
-j
π 2
= ?j
e -j π = ? 1
因此，“±j”和“-1”都可以看成旋转因子。
一个复数乘以j，等于把该复数逆时针旋转90o (在复平面上)。 一个复数除以j，等于把该复数乘以-j，因此等 于把该复数顺时针旋转90o 。 如果两个复数相等，即 F1 = F2 。则必有
R e[ F1 ] = R e[ F2 ] ， Im [ F1 ] = Im [ F2 ]
或
F1 = F2 ，
arg( F1 ) = arg( F2 )
§8-2
1. 定义
正弦量
电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称 为正弦量。
注：对正弦量的数学描述，可以采用sine函数， 可以采用cosine函数,本书采用cosine函数。
答 案 第一章 电路模型和电路定律 【题1】：由U A B =5V 可得：I AC .=-25A ：U D B =0：U S .=125V 。 【题2】：D 。 【题3】：300；-100。 【题4】：D 。 【题5】：()a i i i =-12；()b u u u =-12；()c ()u u i i R =--S S S ；()d ()i i R u u =--S S S 1 。 【题6】：3；-5；-8。 【题7】：D 。 【题8】：P US1 =50 W ；P U S 26=- W ；P U S 3=0；P I S 115=- W ；P I S 2 W = -14；P I S 315=- W 。 【题9】：C 。 【题10】：3；-3。 【题11】：-5；-13。 【题12】：4（吸收）；25。 【题13】：。 【题14】：3123 I +?=；I =1 3 A 。 【题15】：I 43=A ；I 23=-A ；I 31=-A ；I 54=-A 。 【题16】：I =-7A ；U =-35V ；X 元件吸收的功率为P U I =-=-245 W 。 【题17】：由图可得U E B =4V ；流过2 Ω电阻的电流I E B =2A ；由回路ADEBCA 列KVL 得 U I A C =-23；又由节点D 列KCL 得I I C D =-4；由回路CDEC 列KVL 解得；I =3；代入上 式，得U A C =-7V 。 【题18】： P P I I 121 2 2 222==；故I I 1222=；I I 12=； ⑴ KCL ：43211-= I I ；I 18 5=A ；U I I S =-?=218511V 或16.V ；或I I 12=-。 ⑵ KCL ：43 2 11-=-I I ；I 18=-A ；U S = -24V 。 第二章 电阻电路的等效变换 【题1】：[解答]
课程名称：电路理论 使用教材：电路(第五版). 邱关源原著.罗先觉修订. 北京:高等教育出版社 2008.4 专业班级:自动化08101-08103班 授课时数:64课时 授课教师:蔡明山 授课时间:2009--2010学年第一学期 主要参考文献： 1、李瀚荪编．电路分析基础(第三版)． 北京：高等教育出版社，2002 2、江泽佳主编．电路原理(第三版)． 北京：高等教育出版社，1992 3、沈元隆主编．电路分析．北京：人民邮电出版社，2001 4、张永瑞主编．电路分析基础．西安：电子工业出版社，2003
一、本课程的性质和作用 电路理论课程是高等学校电子与电气信息类专业的重要技术基础理论课，是所有强电专业和弱电专业的必修课。电路理论是一门研究电路分析和网络综合与设计基本规律的基础工程学科。电路分析是在电路给定、参数已知的条件下，通过求解电路中的电压、电流而了解电网络具有的特性；网络综合是在给定电路技术指标的情况下，设计出电路并确定元件参数。 主要内容：介绍电路的基本概念和电路的分析方法，分析电路中的电磁现象，研究电路中的基本规律。 课程特点：理论严密，逻辑性强，有广阔的工程背景。 教学目标：使学生掌握电路的基本概念、电路元件的特性、电路的基本定律和定理、一般电路的分析计算，掌握初步的实验技能，为学习后续课程及从事实际工作奠定坚实的基础；使学生树立严肃认真的科学作风和理论联系实际的工程观点；培养科学思维能力、分析计算能力、实验研究能力和科学归纳能力。 前期知识基础：一定的高等数学、工程数学和大学物理（尤其是电磁学）等方面的知识；基本的分析问题和解决问题的能力。 二、本课程的任务与基本要求 本课程的任务是给定电路的结构及元件的参数，在掌握电路基本概念、性质和规律的基础上，对电路进行分析和计算。本课程的基本要求: 1、掌握基尔霍夫定律，掌握电阻、电感、电容、电压源、电流源、受控源的伏安特性，掌握电路变量电压、电流的参考方向。 2、掌握等效电路的概念与等效电阻计算，掌握实际电源两种模型及其等效变换，熟悉电阻的星形连接与三角形连接的等效变换。 3、掌握电路的基本分析方法：支路电流法、网孔分析法、节点分析法，了解含理想运算放大器的电路分析。 4、掌握电路定理：戴维南定理、诺顿定理、置换定理、叠加定理、互易定理、最大功率传输定理。 5、掌握动态电路的时域分析法，理解强制分量、固有分量，暂态和稳态，时间常数等概念，学会一阶电路的完全响应、零输入响应和零状态响应的求解方法。 6、掌握正弦电路的基本概念：周期、频率、角频率、有效值、相位及相位差；掌握正弦电路的分析方法，即相量法，理解阻抗、导纳、平均功率、无功功率、视在功率、复功率及功率因数等概念。 7、掌握串联谐振的条件和特点，谐振频率及品质因数概念。 8、掌握含有耦合电感电路的分析方法。 9、掌握对称三相电路的电压、电流、功率的计算。 10、掌握非正弦周期电流电路的有效值、平均值、平均功率的概念，了解非正弦周期电流电路的计算。 11、掌握拉普拉斯变换法分析线性电路的方法。 12、掌握网络函数的概念，了解极点、零点与响应的关系，会用卷积定理分析电路。 13、掌握电路的图、树的概念，会写关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵，理解状态方程的含义。 14、理解两端口的含义，会计算两端口的参数。
答案 第一章 【1】：由U A B =5V 可得：I AC .=-25A ：U D B =0：U S .=125V 。 【2】：D 。 【3】：300；-100。 【4】：D 。 【题5】：()a i i i =-12；()b u u u =-12；()c ()u u i i R =--S S S ；()d ()i i R u u =--S S S 1 。 【题6】：3；-5；-8。 【题7】：D 。 【题8】：P US1 =50 W ；P U S 26=- W ；P U S 3=0；P I S 115=- W ；P I S 2 W =-14；P I S 315= - W 。 【题9】：C 。 【题10】：3；-3。 【题11】：-5；-13。 【题12】：4（吸收）；25。 【题13】：0.4。 【题14】：3123 I +?=；I =1 3 A 。 【题15】：I 43=A ；I 23=-A ；I 31=-A ；I 54=-A 。 【题16】：I =-7A ；U =-35V ；X 元件吸收的功率为P U I =-=-245 W 。 【题17】：由图可得U E B =4V ；流过2 Ω电阻的电流I E B =2A ；由回路ADEBCA 列KVL 得 U I A C =-23；又由节点D 列KCL 得I I C D =-4；由回路CDEC 列KVL 解得；I =3；代入上 式，得U A C =-7V 。 【题18】： P P I I 121 2 2 222==；故I I 1222=；I I 12=； ⑴ KCL ：43211-= I I ；I 185=A ；U I I S =-?=218 511V 或16.V ；或I I 12=-。 ⑵ KCL ：43 2 11-=-I I ；I 18=-A ；U S = -24V 。
第一章 电路模型和电路定律 电路理论主要研究电路中发生的电磁现象，用电流i 、电压u 和功率p 等物理量来描述其中的过程。因为电路是由电路元件构成的，因而整个电路的表现如何既要看元件的联接方式，又要看每个元件的特性，这就决定了电路中各支路电流、电压要受到两种基本规律的约束，即： （1）电路元件性质的约束。也称电路元件的伏安关系（VCR ），它仅与元件性质有关，与元件在电路中的联接方式无关。 （2）电路联接方式的约束（亦称拓扑约束）。这种约束关系则与构成电路的元件性质无关。基尔霍夫电流定律（KCL ）和基尔霍夫电压定律（KVL ）是概括这种约束关系的基本定律。 掌握电路的基本规律是分析电路的基础。 1-1 说明图（a ）,（b ）中,（1）,u i 的参考方向是否关联？（2）ui 乘积表示什么功率？（3）如果在图（a ）中0,0<>i u ；图（b ）中0,0u i <>，元件实际发出还是吸收功率？ 解：（1）当流过元件的电流的参考方向是从标示电压正极性的一端指向负极性的一端，即电流的参考方向与元件两端电压降落的方向一致，称电压和电流的参考方向关联。所以（a ）图中i u ,的参考方向是关联的；（b ）图中i u ,的参考方向为非关联。 （2）当取元件的i u ,参考方向为关联参考方向时，定义ui p =为元件吸收的功率；当取元件的i u ,参考方向为非关联时，定义ui p =为元件发出的功率。所以（a ）图中的ui 乘积表示元件吸收的功率；（b ）图中的ui 乘积表示元件发出的
功率。 （3）在电压、电流参考方向关联的条件下，带入i u ,数值，经计算，若0>=ui p ，表示元件确实吸收了功率；若0
i u ，则0<=ui p ，表示元件实际发出功率。 在i u ,参考方向非关联的条件下，带入i u ,数值，经计算，若0>=ui p ，为正值，表示元件确实发出功率；若0
>i u ，有0>=ui p ，表示元件实际发出功率。 1-2 若某元件端子上的电压和电流取关联参考方向，而170cos(100)u t V π=，7sin(100)i t A π=，求：（1）该元件吸收功率的最大值；（2）该元件发出功率的最大值。 解：()()()170cos(100)7sin(100)595sin(200)p t u t i t t t t W πππ==?= （1）当0)200sin(>t π时，0)(>t p ，元件吸收功率；当1)200sin(=t π时，元件吸收最大功率：max 595p W = （2）当0)200sin(
电路答案 ——本资料由张纪光编辑整理（C2-241 内部专用） 第一章电路模型和电路定律 【题 1】：由U AB 5 V可得： I AC 2.5A： U DB0 ： U S12.5V。 【题 2】： D。 【题 3】： 300； -100 。【题 4】： D。 【题5】：a i i1i 2；b u u1u2；c u u S i i S R S；d i i S 1 R S u u S。 【题 6】： 3；-5 ； -8。 【题 7】： D。 【题 8】：P US150 W ；P US26W；P US30 ； P IS115 W ； P IS214W ；P IS315W。【题 9】： C。 【题 10】：3； -3 。 【题 11】：-5 ； -13 。 【题 12】：4（吸收）； 25。 【题 13】：0.4 。 【题 14】：31I 2 3； I 1 A 。3 【题 15】：I43A； I23A； I31A； I5 4 A。 【题 16】：I7A；U35 V；X元件吸收的功率为 P UI245W。 【题 17】：由图可得U EB 4 V；流过 2电阻的电流 I EB 2 A；由回路ADEBCA列KVL得 U AC 2 3I ；又由节点D列KCL得 I CD 4I ；由回路CDEC列KVL解得； I 3 ；代入上 式，得 U AC7 V。【题 18】： P12 2 I1 2；故 I 22 ； I 1I 2； P2I 221I 2 ⑴ KCL：4 I 13 I 1 ； I 1 8； U S 2I1 1 I 1 8 V或16.V；或I I。 2 5 A512 ⑵ KCL： 4I 13 I1；I18A；U S 。224 V
答案 第一章 电路模型和电路定律 【题1】：由U A B =5V 可得：I AC .=-25A ：U D B =0：U S .= 125V 。 【题2】：D 。 【题3】：300；-100。 【题4】：D 。 【题5】：()a i i i =-12；()b u u u =-12 ；()c ()u u i i R =--S S S ；()d ()i i R u u =--S S S 1。 【题6】：3；-5；-8。 【题7】：D 。 【题8】：P US1=50 W ；P U S 26=- W ；P U S 3=0；P I S 115=- W ；P I S 2 W =-14；P I S 315= - W 。 【题9】：C 。 【题10】：3；-3。 【题11】：-5；-13。 【题12】：4（吸收）；25。 【题13】：0.4。 【题14】：3123I +?=；I =13 A 。 【题15】：I 43=A ；I 23=-A ；I 31=-A ；I 54=-A 。 【题16】：I =-7A ；U =-35V ；X 元件吸收的功率为P U I =-=-245 W 。 【题17】：由图可得U E B =4V ；流过2 Ω电阻的电流I E B =2A ；由回路ADEBCA 列KVL 得 U I A C =-23；又由节点D 列KCL 得I I C D = -4；由回路CDEC 列KVL 解得；I =3；代入上 式，得U A C = -7V 。 【题18】： P P I I 1212 2222==；故I I 1222=；I I 12=； ⑴ KCL ：43211-= I I ；I 185=A ；U I I S =-?=2185 11V 或16.V ；或I I 12=-。 ⑵ KCL ：43211-=-I I ；I 18=-A ；U S =-24V 。
《电路》邱关源 第五版课后题答案 第一章 电路模型和电路定律 【题1】：由U A B =5V 可得：I AC .=-25A ：U D B =0：U S .=125V 。 【题2】：D 。 【题3】：300；-100。 【题4】：D 。 【题5】：()a i i i =-12；()b u u u =-12；()c ()u u i i R =--S S S ；()d ()i i R u u =--S S S 1 。 【题6】：3；-5；-8。 【题7】：D 。 【题8】：P US1 =50 W ；P U S 26=- W ；P U S 3=0；P I S 115=- W ；P I S 2 W =-14；P I S 315= - W 。 【题9】：C 。 【题10】：3；-3。 【题11】：-5；-13。 【题12】：4（吸收）；25。 【题13】：0.4。 【题14】：3123 I +?=；I =1 3 A 。 【题15】：I 43=A ；I 23=-A ；I 31=-A ；I 54=-A 。 【题16】：I =-7A ；U =-35V ；X 元件吸收的功率为P U I =-=-245 W 。 【题17】：由图可得U E B =4V ；流过2 Ω电阻的电流I E B =2A ；由回路ADEBCA 列KVL 得 U I A C =-23；又由节点D 列KCL 得I I C D =-4；由回路CDEC 列KVL 解得；I =3；代入上 式，得U A C =-7V 。 【题18】： P P I I 1 212 2 222==；故I I 1222=；I I 12=； ⑴ KCL ：43211-= I I ；I 185=A ；U I I S =-?=218 511V 或16.V ；或I I 12=-。 ⑵ KCL ：43 2 11-=-I I ；I 18=-A ；U S = -24V 。
第一章电路模型和电路定律 电路理论主要研究电路中发生的电磁现象，用电流i、电压u和功率p等物理量来描述其中的过程。因为电路是由电路元件构成的，因而整个电路的表现如何既要看元件的联接方式，又要看每个元件的特性，这就决定了电路中各支路电流、电压要受到两种基本规律的约束，即： （1）电路元件性质的约束。也称电路元件的伏安关系（VCR），它仅与元件性质有关，与元件在电路中的联接方式无关。 （2）电路联接方式的约束（亦称拓扑约束）。这种约束关系则与构成电路的元件性质无关。基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL）是概括这种约束关系的基本定律。 掌握电路的基本规律是分析电路的基础。 1-1说明图（a）,（b）中,（1）,u i的参考方向是否关联？（2）ui乘积表示什么功率？（3）如果在图（a）中0 u i <>，元件实际发出还是吸收功 >i u；图（b）中0,0 ,0< 率？ 解：（1）当流过元件的电流的参考方向是从标示电压正极性的一端指向负极性的一端，即电流的参考方向与元件两端电压降落的方向一致，称电压和电流的参考方向关联。所以（a）图中i u,的参考方向为非关联。 u,的参考方向是关联的；（b）图中i （2）当取元件的i u,参考方向为关联参考方向时，定义ui p=为元件吸收的功率；当取元件的i u,参考方向为非关联时，定义ui p=为元件发出的功率。所以（a）图中的ui乘积表示元件吸收的功率；（b）图中的ui乘积表示元件发出的功率。 （3）在电压、电流参考方向关联的条件下，带入i u,数值，经计算，若0 p， > =ui 表示元件确实吸收了功率；若0 p，表示元件吸收负功率，实际是发出功率。（a）图 <
第一章 1、KCL 、KVL 基尔霍夫定律 2、受控电源 CCCS 、CCVS 、VCVS 、VCCS 第二章 1、电阻电路的等效变换 电阻的Y 行联接与△形联接的等效变换 R1、R2、R3为星形联接的三个电阻，R12、R13、R23为△形联接的三个电阻 公式： 形电阻之和形相邻电阻的乘积形电阻??= Y 形不相邻电阻形电阻两两乘积之和形电阻Y Y =? 如： 31231231121R R R R R R ++?= 3 31322112R R R R R R R R ++= 2、电压源、电流源的串并联 电压源串联，电流源并联可以合成为一个激励为其加和的电压源或电流源； 只有激励电压相等且极性一致的电压源才允许并联，否则违背KVL ； 只有激励电流相等且方向一致的电流源才允许串联，否则违背KCL 。 第三章 1、KCL 独立方程数：n-1 ；KVL 独立方程数： b-n+1 其中，（n 为节点数，b 为分支数） 2、支路分流法，网孔电流法，回路电流法； 节点电压法 3、电压源电阻很小，电导很大；电流源电阻很大，电导很小； 第四章 1、叠加定理：在线性电阻电路中，某处电压或电流都是电路中各个独立电源单
独作用时，在该处分别产生的电压或电流的叠加 2、齐性定理：线性电路中，当所有的激励（电压源或电流源）都同时增大或缩小K 倍时，响应（电压或电流）也将同样增大或缩小K 倍 3、替代定理： 4、戴维宁定理：一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串联组合等效替代，此电压源的激励电压等于一端口的开路电压，电阻等于一端口内全部独立电源置零后的输入电阻； 诺顿定理：一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻的并联组合等效置换，电流源的激励电流等于一端口的短路电流，电阻等于一端口中全部独立源置零后的输入电阻。 5、最大功率传输定理：eq 24R U P OC LMAX ， 负载电阻RL=含源一端口的输入电阻Req 第五章 --