有限元
概念题（选择题、判断题、名词解释、简答题）共90分，主要知识点如下：
1. 在有限单元法的发展历史中，做出了重要贡献的国内外学者有哪些？有限元法的基本理论可以采用哪三种方式来建立？
答：1’发展历史：（1）国外：R.Courant——单元法则
Rw.Clough——有限单元法
卞学璜——广义变分原理
J.T.oden——能量原理
G.C.Lee——伽辽金法
（2）国内：冯康：《基于变分原理的差分格式》
胡海昌：《论弹性力学和受范性体力学中的一般广义变分原理》
钱伟长：广义变分原理
徐芝纶：推广应用
2’三种方式建立基本理论：（1）广义变分法（2）能量原理（3）伽辽金法（残数加权法）
2. 有限单元法的基本分析步骤（以三角形单元为例）
答：（1）离散化——划分网格——前处理（2）单元分析
（3）整体分析（4）数值求解（5）后处理（结果分析）
3. 弹性力学的基本假设，基本量有哪些？
答：基本假设：（1）连续性假设（2）完全弹性假设（3）均匀性变形假设
（4）各向同性假设（5）小变形假设
基本量：位移，应变（线应变，切应变，应力，荷载）
4. 弹性力学的三大基本方程和边界条件是什么？（本点详情见笔记）
答：（1）平衡方程
（2）几何方程
（3）物理方程
（4）边界条件a.位移边界
b.应力边界
c.混合边界
5. 平面应力问题和平面应变问题的定义和水利工程中可以简化成两类平面问题的实例
答：（1）平面应力问题：a.物体沿一个轴方向的尺寸远小于其他两个方向尺寸
b.外力作用于板边，平行于板面，不沿厚度变化
c.板面不受外力作用
（2）平面应变问题：a.设一个构件其纵向尺寸远大于横向，且横截面沿纵向不发生变化
b.受到重力垂直于纵向，但沿纵向不发生变化，而约束条件沿程也不发生变化。
（3）例：对混凝土重力坝受力分析时可以简化成悬臂梁
6. 说明采用弹性力学中的“位移法”进行结构分析问题的基本思路
答：（1）以结点位移为基本未知量，要将其他未知量用结点位移表达（2）取单元的位移模式（3）由结点位移推求单元位移函数（4）根据几何方程由单元结构求单元应变（5）根据物理方程，将单元应力用结点位移来进行表述（6）用虚功方程，推导出单元结点应力的表达式，并将单元的各种外力荷载向结点移置7. 划分有限元网格应时该注意的问题
答：（1）网格的数量恰当（2）必须注意节点与节点相连，切莫将节点与边连接（3）单元各边的长不要相差太大（4）尽量将集中力或集中力偶作用点选为节点（5）尽量利用对称性以减少计算量
8. 位移基本模式的定义和应满足的条件；高次单元的位移模式可根据什么来进行选取？
答：（1）位移基本模式表示的是单元中的位移函数，位移模式也就是根据结点位移值在单元中作业的位移差值函数。
（2）满足的条件：A.位移模式必须能反映单元刚体的位移。
B.位移模式必须包含单元常量应变。
C.位移模式必须尽可能保证结构连续性。
（3）高次单元的位移模式可根据向单元点位移通过插值展开来选取。
9. 单元结点力、单元等效结点荷载的含义
答：单元结点力是指单元只受到结点对单元的作用力（对于任一单元，假定单元荷载已经移置到结点处后，并且单元已经与结点切开，该单元只受到结点对它的作用）
单元等效结点荷载：把非结点荷载转换到结点上的荷载。
10. “静力等效原则”的含义
答：移置前力系在虚位移方向做的功，要等于等效结点荷载在虚位移上做的功。
11. 单元刚度矩阵的性质
答：（1）对称性（2）奇异性（各行各列元素之和为零）（3）主元恒正
12 整体刚度矩阵的性质
答：（1）对称性（2）稀疏性：零元素占绝大多数（3）非零元素带状分布，靠近主对角线。
Kδ=左右两边两种力的含义分别是什么？
13. 整体分析是如何进行的？R
答：（1）形成整体载荷列阵（2）形成整体刚度矩阵，得到总体平衡方程（3）引入边界条件，求解总体平衡方程，求出结点位移
左边：其他单元给予该节点的反作用力右边：作用在节点上的等效节点力。
14. 什么是等参单元？引入等参单元的目的？雅克比矩阵的定义以及和网格编号的关系。
答：如果子单元的位移函数插值节点数与其位置坐标变换节点数相等，其位移函数插值公式与位置坐标变换式都用相同的形函数与节点参数进行插值，成为等参单元。
目的是建立矩阵母单元与任意四边形单元的坐标映射关系。
已知函数f（x，y），定义域D，连续。J（u，v）=（见笔记补充，有符号打不出）
网格编号：使｜J｜≠0
15. 什么是半带宽？怎样进行结点编号的优化？
答：把半个斜带形区域中各行所具有的非零元素的最大个数叫做刚度矩阵的半带宽。
优化：任意一个单元的任意相邻两节点的号码差尽可能小。
Kδ=的常用方法
16. 求解大型稀疏线性方程组R
答：可以转化为求解f（δ）=1/2δ^T×Kδ－Fl^T×δ的最小值问题。
17. 与弹性力学法相比，分析有限单元法的误差主要出现在哪里？
答：主要表现在用单元把求解区域离散化中自由度数量的选取。如果自由度选的太少，近似解的误差很大。
18. 有限单元计算结果可以如何表示
答：可以用等值线图或等值带来表示。
19. 举例说明有限元法在水利工程和其它领域内的应用（可从网络进行搜索）
答：应用于渗流问题有限元分析，边坡稳定分析，机械领域用于零件的强度分析。
静力分析，动力分析，失效和破坏分析，热传导分析，电磁场分析等。
20. 根据教学程序的上机过程，说明进行有限元计算所需的基本输入信息有哪些？
答：（1）节点坐标（2）土层的渗透系数（3）面边界条件（4）点边界条件（5）坡面形状（左右两侧水位）
有限元知识点归纳 1.、有限元解的特点、原因？ 答：有限元解一般偏小，即位移解下限性 原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。 2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49 (1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0; (2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续； (3)应包含完全一次多项式； (4)应满足∑Ni=1 以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。 4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131） 答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。即： 为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即： 其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。称前者为母单元，后者为子单元。 还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。 5、单元离散？P42 答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。每个部分称为一个单元，连接点称为结点。对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。这种单元称为常应变三角形单元。常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。 6、数值积分，阶次选择的基本要求？ 答：通常是选用高斯积分 积分阶次的选择—采用数值积分代替精确积分时，积分阶数的选取应适当，因为它直接影响计算精度，计算工作量。选择时主要从两方面考虑。一是要保证积分的精度，不损失收敛性；二是要避免引起结构总刚度矩阵的奇异性，导致计算的失败。
CATIA有限元分析计算实例 CATIA有限元分析计算实例 11.1例题1 受扭矩作用的圆筒 11.1－1划分四面体网格的计算 （1）进入【零部件设计】工作台 启动CATIA软件。单击【开始】→【机械设计】→【零部件设计】选项，如图11－1所示，进入【零部件设计】工作台。 图11－1单击【开始】→【机械设计】→【零部件设计】选项 单击后弹出【新建零部件】对话框，如图11-2所示。在对话框内输入新的零件名称，在本例题中，使用默认的零件名称【Part1】。点击对话框内的【确定】按钮，关闭对话框，进入【零部件设计】工作台。 （2）进入【草图绘制器】工作台 在左边的模型树中单击选中【xy平面】, 如图11-3所示。单击【草图编辑器】工具栏内的【草图】按钮，如图11-4所示。这时进入【草图绘制器】工作台。 图11－2【新建零部件】对话框
图11－3单击选中【xy平面】 （3）绘制两个同心圆草图 点击【轮廓】工具栏内的【圆】按钮，如图11-5所示。在原点点击一点，作为圆草图的圆心位置，然后移动鼠标，绘制一个圆。用同样分方法再绘制一个同心圆，如图11-6所示。 图11－4【草图编辑器】工具栏 图11－5【轮廓】工具栏 下面标注圆的尺寸。点击【约束】工具栏内的【约束】按钮，如图11-7所示。点击选择圆，就标注出圆的直径尺寸。用同样分方法标注另外一个圆的直径，如图11-8所示。 图11－6两个同心圆草图 图11－7【约束】工具栏 双击一个尺寸线，弹出【约束定义】对话框，如图11－9所示。在【直径】数值栏内输入100mm，点击对话框内的【确定】按钮，关闭对话框，同时圆的直径尺寸被修改为100mm。用同样的方法修改第二个圆的直径尺寸为50mm。修改尺寸后的圆如图11-10所示。
有限元知识点汇总 第一章 1、何为有限元法？其基本思想是什么？ 》有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法。 》基本思想：化整为零，化零为整 2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？ 》有限元法的基本思想是几何离散和分片插值； 》用离散单元的组合来逼近原始结构，体现了几何上的近似；用近似函数逼近未知量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利用与问题的等效的变分原理建立有限元基本方程，又体现了明确的物理背景。 3、单元、节点的概念？ 》单元：把参数单元划分成网格，这些网格就称为单元。 》节点：网格间相互连接的点称为节点。 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？ 》3大步骤；——结构离散化；——单元分析；——整体分析。 5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？ 》有限元方法分3种；——位移法、力法、混合法。 》本课程讲授的：位移法 6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？》弹性力学的基本变量是——{外力、应力、应变、位移} 》几何方程——{描述弹性体应变分量与位移分量之间关系的方程} 》物理方程——{描述应力分量与应变分量之间的关系} 》虚功方程——{描述内力和外力的关系的方程} 》弹性矩阵特点——{ } 7、何为平面应力问题和平面应变问题？ 》平面应力问题——{满足（1）几何条件——所研究的是一根很薄的等厚度薄板，即一个方向上的几何尺寸远远小于其余两个面上的几何尺寸;（2）载荷条件——作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用} 》平面应变问题——{满足（1）几何条件——所研究的是长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变；（2）载荷条件——作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力} 第二章 7、形函数的特点？ 》1形函数Ni再节点i处等于1，在其他节点上的值等于0，对于Nj、Nm也有同样的性质。》2在单元内任一点的各形函数之和等于1，即Ni+Nj+Nm=1 8、单元刚度矩阵的性质？ 》1 K^e中每个元素都有明确的物理意义，每个元素都是一个刚度系数，他是单位节点位移分量所引起的节点力分量 》2 k^e是对称矩阵，具有对称性。 》3 K^e的每一行或每一列元素之和为零，是奇异矩阵
有限元法的基本思想及计算步骤 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。 用有限元法求解问题的计算步骤比较繁多，其中最主要的计算步骤为： 1）连续体离散化。首先，应根据连续体的形状选择最能完满地描述连续体形状的单元。常见的单元有：杆单元，梁单元，三角形单元，矩形单元，四边形单元，曲边四边形单元，四面体单元，六面体单元以及曲面六面体单元等等。其次，进行单元划分，单元划分完毕后，要将全部单元和结点按一定顺序编号，每个单元所受的荷载均按静力等效原理移植到结点上，并在位移受约束的结点上根据实际情况设置约束条件。 2）单元分析。所谓单元分析，就是建立各个单元的结点位移和结点力之间的关系式。现以三角形单元为例说明单元分析的过程。如图1所示，三角形有三个结点i，j，m。在平面问题中每个结点有两个位移分量u，v和两个结点力分量F x，F y。三个结点共六个结点位移分量可用列
有限元分析重点 1. 诉述有限元法的定义P1 答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法 2. 有限元法的基本思想是什么P3 答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。 3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些P3 答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。 4. 有限元法有哪些优缺点P4 答：优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。 缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。对无限求解域问题没有较好的处理办法。尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术，但在具体应用时，采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。 5. 梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定 答：每个节点上有几个节点位移分量，就称每个节点有几个自由度 6. 简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义P9 答：单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵 单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第L个节点位移分量等于1，其他节点位移分量等于0时，对应的第m 个节点力分量。 7. 有限元法基本方程中的每一项的意义是什么P14 答：整个结构的节点载荷列阵（外载荷、约束力），：整个结构的节点位移列阵，：结构的整体刚度矩阵，又称总刚度矩阵。 8. 位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么 答：由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解，从而引入边界条件。 9. 简述整体刚度矩阵的性质和特点P14 答：对称性；奇异性；稀疏性；对角线上的元素恒为正。 10. 写出面钢架问题中单元刚度矩阵的坐标变换式P27 答：手写． 11. 简述整体坐标的概念P25 答：单元刚度矩阵的坐标变换式把平面刚架的所有单元在局部坐标系X'Y'Z'下的单元刚度矩阵变换到一个统一的坐标系xOy下，这个统一的坐标系xOy称为整体坐标系。 12. 平面钢架局部坐标系下的单元刚度矩阵与整体坐标系的下单元刚度矩阵的关系P31 答： 13. 简述平面钢架问题有限元法的基本过程 答：力学模型的确定，结构的离散化，计算载荷的等效节点力，计算各单元的刚度矩阵，组集整体刚度矩阵，施加边界约束条件，求解降价的有限元基本方程，求解单元应力，计算结果的输出。 14. 弹性力学的基本假设是什么。P36
《有限元分析与应用》详细例题 试题1：图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比 较： 1）分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算； 2）分别采用不同数量的三节点常应变单元计算； 3）当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。 一．问题描述及数学建模 无限长的刚性地基上的三角形大坝受齐顶的水压作用可看作一个平面问题，简化为平面三角形受力问题，把无限长的地基看着平面三角形的底边受固定支座约束的作用，受力面的受力简化为受均布载荷的作用。 二．建模及计算过程 1. 分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算 下面简述三节点常应变单元有限元建模过程（其他类型的建模过程类似）： 1.1进入ANSYS 【开始】→【程序】→ANSYS 10.0→ANSYS Product Launcher →change the working directory →Job Name: shiti1→Run 1.2设置计算类型 ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural →OK 1.3选择单元类型 单元是三节点常应变单元，可以用4节点退化表示。 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4 node 42 →OK (back to Element Types window)→Options… →select K3: Plane Strain→OK→Close (the Element Type window) 1.4定义材料参数
有限元分析及其应用-2010 思考题： 1、有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步骤有那些？其中“离散”的含义是什 么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？ 答：基本思想：几何离散和分片插值。 基本步骤：结构离散、单元分析和整体分析。 离散的含义：用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合，且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。当单元趋近无限小，节点无限多，则这种离散结构将趋近于实际的连续结构。 2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？ 区别：差分法：均匀离散求解域，差分代替微分，要求规则边界，几何形状复杂精度较低； 里兹法：根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式，求得近似解； 有限元：基于变分法，采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。 3、一根单位长度重量为q的悬挂直杆，上端固定，下端受垂直向下的外力P，试 1）建立其受拉伸的微分方程及边界条件； 2）构造其泛函形式； 3）基于有限元基本思想和泛函求极值构造其有限元的计算格式（即最小势能原理）。4、以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩 阵）。 5、什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？ 答：节点力：单元与单元之间通过节点相互作用 节点载荷：作用于节点上的外载 6、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自 由度和节点解释）？ 答：单元刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正 整体刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正、稀疏性、带状性。 Kij，表示j节点产生单位位移、其他节点位移为零时作用i节点的力，节点力等于节点位移与单元刚度元素乘积之和。 7、单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？ 答：形函数的特点：Ni为x，y的坐标函数，与位移函数有相同的阶次。 形函数Ni在i节点的值为1，而在其他节点上的值为0； 单元内任一点的形函数之和恒等于1； 形函数的值在0~1间变化。 8、描述弹性体的基本变量是什么？基本方程有哪些组成？ 答：基本变量：外力、应力、应变、位移 基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、几何条件 9、何谓应力、应变、位移的概念？应力与强度是什么关系？ 答：应力：lim△Q/△A=S △A→0 应变：物体形状的改变 位移：弹性体内质点位置的变化 10、问题的微分方程提法、等效积分提法和泛函变分提法之间有何关系？何谓“强形 式”？何谓“弱形式”，两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？
一、命令流 举例： 有一长为 100mm 的矩形截面梁，截面为 10X1mm ，与一规格为 20mmX7mmX10mm 的实体连接， 约束实体的端面， 在梁端施加大小为 3N 的 y 方向的压力， 梁与实体都为一材 料，弹性模量为 30Gpa ，泊松比为 0.3 。本例主要讲解梁与实体连接处如何利用耦合及约束 方程进行处理。 命令流如下： FINI /CLE LSEL,S,LOC,X,21,130 ! 选择梁线 LATT,1,2,2 ! 指定梁的单元属性 LESIZE,ALL,,,10 !指定梁上的单元份数 LMESH,ALL !划分梁单元 VSEL,ALL !选择所有实体 VATT,1,1,1 ! 设置实体的单元属性 ESIZE,1 !指定实体单元尺寸 MSHAPE,0,2D ! 设置实体单元为 2D MSHKEY,1 !设置为映射网格划分方法 VMESH,ALL ! 划分实体单元 ALLS !全选 FINI !退出前处理 /FILNAME,BEAM_AND_SOLID_ELEMENTS_CONNECTION ! 定义工作文件名 /TITLE,COUPLE_AND_CONSTRAINT_EQUATION ! 定义工作名 /PREP7 ET,1,SOLID95 ET,2,BEAM4 MP,EX,1,3E4 MP,PRXY,1,0.3 R,1 R,2,10.0,10/12.0,1000/12.0,10.0,1.0 BLC4,,,20,7,10 WPOFFS,0,3.5 WPROTA,0,90 VSBW,ALL WPOFFS,0,5 WPROTA,0,90 VSBW,ALL WPCSYS,-1 K,100,20,3.5,5 K,101,120,3.5,5 L,100,101 !进入前处理 !定义实体单元类型为 SOLID95 ! 定义梁单元类型为 BEAM4 !定义材料的弹性模量 !定义泊松比 !定义实体单元实常数 !定义梁单元实常数 !创建矩形块为实体模型 !将工作平面向 Y 方向移动 3.5 !将工作平面绕 X 轴旋转 !将实体沿工作平面剖开 !将工作平面向 Y 方向移动 !将工作平面绕 X 轴旋转 !将实体沿工作平面剖开 90 度 5 90 度 !将工作平面设为与总体笛卡儿坐标一致 !创建关键点 !创建关键点 !连接关键点生成梁的线实体
有限元分析软件 有限元分析是对于结构力学分析迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50 年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 有限元分析软件目前最流行的有：ANSYS、ADINA、ABAQUS、MSC 四个比较知名比较大的公司，其中ADINA、ABAQUS 在非线性分析方面有较强的能力目前是业内最认可的两款有限元分析软件，ANSYS、MSC 进入中国比较早所以在国内知名度高应用广泛。目前在多物理场耦合方面几大公司都可以做到结构、流体、热的耦合分析，但是除ADINA 以外其它三个必须与别的软件搭配进行迭代分析，唯一能做到真正流固耦合的软件只有ADINA。ANSYS是商业化比较早的一个软件，目前公司收购了很多其他软件在旗下。ABAQUS专注结构分析目前没有流体模块。MSC是比较老的一款软件目前更新速度比较慢。ADINA是在同一体系下开发有结构、流体、热分析的一款软件，功能强大但进入中国时间比较晚市场还没有完全铺开。 结构分析能力排名：ABAQUS、ADINA、MSC、ANSYS 流体分析能力排名：ANSYS、ADINA、MSC、ABAQUS 耦合分析能力排名：ADINA、ANSYS、MSC、ABAQUS 性价比排名：最好的是ADINA，其次ABAQUS、再次ANSYS、最后MSC ABAQUS 软件与ANSYS 软件的对比分析： 1．在世界范围内的知名度：两种软件同为国际知名的有限元分析软件，在世界范围内具有各自广泛的用户群。ANSYS 软件在致力于线性分析的用户中具有很好的声誉，它在计算机资源的利用，用户界面开发等方面也做出了较大的贡献。ABAQUS软件则致力于更复杂和深入的工程问题，其强大的非线性分析功能在设计和研究的高端用户群中得到了广泛的认可。由于ANSYS 产品进入中国市场早于ABAQUS，并且在五年前ANSYS 的界面是当时最好的界面之一，所以在中国，ANSYS 软件在用户数量和市场推广度方面要高于ABAQUS。但随着ABAQUS北京办事处的成立，ABAQUS软件的用户数目和市场占有率正在大幅度和稳步提高，并可望在今后的几年内赶上和超过ANSYS。 2．应用领域：ANSYS 软件注重应用领域的拓展，目前已覆盖流体、电磁场和多物理场耦合等十分广泛的研究领域。ABAQUS 则集中于结构力学和相关领域研究，致力于解决该领域的深层次实际问题。 3．性价比：ANSYS 软件由于价格政策灵活，具有多种销售方案，在解决常规的
有限元法基本原理与应用 班级机械2081 姓名方志平 指导老师钟相强 摘要：有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 关键词：有限元法；变分原理；加权余量法；函数。 Abstract：Finite element method is based on the variational principle and the weighted residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivative by the variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it constitutes a different finite element method. Keywords：Finite element method; variational principle; weighted residual method; function。 引言 有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计
Film Coefficient(对流换热系数) 流体与固体表面之间的换热能力，比如说，物体表面与附近空气温差1℃，单位时间单位面积上通过对流与附近空气交换的热量。单位为W/(m^2·℃)。表面对流换热系数的数值与换热过程中流体的物理性质、换热表面的形状、部位、表面与流体之间的温差以及流体的流速等都有密切关系。物体表面附近的流体的流速愈大，其表面对流换热系数也愈大。如人处在风速较大的环境中，由于皮肤表面的对流换热系数较大，其散热（或吸热）量也较大。对流换热系数可用经验公式计算，通常用巴兹公式计算 1、详细内容 对流传热系数也称对流换热系数。对流换热系数的基本计算公式由牛顿于1701年提出，又称牛顿冷却定律。牛顿指出，流体与固体壁面之间对流传热的热流与它们的温度差成正比，即： q = h*(tw-t∞) Q = h*A*(tw-t∞)=q*A 式中： q为单位面积的固体表面与流体之间在单位时间内交换的热量，称作热流密度，单位W/m^2； tw、t∞分别为固体表面和流体的温度，单位K； A为壁面面积，单位m^2； Q为面积A上的传热热量，单位W； h称为表面对流传热系数，单位W/(m^2.K)。 2、理论发展 对流换热系数h的物理意义是：当流体与固体表面之间的温度差为1K时，1m*1m壁面面积在每秒所能传递的热量。h的大小反映对流换热的强弱。 如上所述，h与影响换热过程的诸因素有关，并且可以在很大的范围内变化，所以牛顿公式只能看作是传热系数的一个定义式。它既没有揭示影响对流换热的诸因素与h之间的内在联系,也没有给工程计算带来任何实质性的简化，只不过把问题的复杂性转移到传热系数的确定上去了。因此，在工程传热计算中，主要的任务是计算h。计算传热系数的方法主要有实验求解法、数学分析解法和数值分析解法。 影响对流传热强弱的主要因素有： 1. 对流运动成因和流动状态； 2. 流体的物理性质（随种类、温度和压力而变化）； 3. 传热表面的形状、尺寸和相对位置； 4. 流体有无相变（如气态与液态之间的转化）。 3、实例应用 在不同的情况下，传热强度会发生成倍直至成千倍的变化，所以对流换热是一个受许多因素影响且其强度变化幅度又很大的复杂过程。 4、对流换热系数的大致量级： 空气自然对流 5 ～ 25 气体强制对流 20 ～ 100 水的自然对流 200 ～1000 水的强制对流 1000 ～ 15000
有限元分析软件的比较（购买必看）－转贴 随着现代科学技术的发展，人们正在不断建造更为快速的交通工具、更大规模的建筑物、更大跨度的桥梁、更大功率的发电机组和更为精密的机械设备。这一切都要求工程师在设计阶段就能精确地预测出产品和工程的技术性能，需要对结构的静、动力强度以及温度场、流场、电磁场和渗流等技术参数进行分析计算。例如分析计算高层建筑和大跨度桥梁在地震时所受到的影响，看看是否会发生破坏性事故；分析计算核反应堆的温度场，确定传热和冷却系统是否合理；分析涡轮机叶片内的流体动力学参数，以提高其运转效率。这些都可归结为求解物理问题的控制偏微分方程式，这些问题的解析计算往往是不现实的。近年来在计算机技术和数值分析方法支持下发展起来的有限元分析（FEA，Finite Element A nalysis）方法则为解决这些复杂的工程分析计算问题提供了有效的途径。在工程实践中，有限元分析软件与CAD系统的集成应用使设计水平发生了质的飞跃，主要表现在以下几个方面： 增加设计功能，减少设计成本； 缩短设计和分析的循环周期； 增加产品和工程的可靠性； 采用优化设计，降低材料的消耗或成本； 在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 进行机械事故分析，查找事故原因。 在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造都离不开有限元分析计算，FEA在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。国际上早20世纪在50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。从那时到现在，世界各地的研究机构和大学也发展了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有德国的ASKA、英国的PA FEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。 以下对一些常用的软件进行一些比较分析： 1. LSTC公司的LS-DYNA系列软件
有限元动力学分析知识 点
复习目录 一、模型输入、建模 A 输入几何模型 1、两种方法：No defeaturing 和 defeaturing （Merge合并选项、Solid实体选项、Small选项） 2、产品接口。输入IGES 文件的方法虽然很好，但是双重转换过程CAD > IGES > ANSYS 在很多情况下并不能实现100%的转 换.ANSYS 的产品接口直接读入“原始”的CAD 文件，解决了上面提到的问题. 3、输入有限元模型。除了实体几何模型外， ANSYS 也可输入由某些软件包生成的有限元单元模型数据（节点和单元）。 B 实体建模 1、定义实体建模：建立实体模型的过程。（两种途径） 1）自上而下建模：首先建立体（或面）,对这些体或面按一定规则组合得到最终需要的形状. ?开始建立的体或面称为图元. ?工作平面用来定位并帮助生成图元. ?对原始体组合形成最终形状的过程称为布尔运算 ?总体直角坐标系 [csys,0] 总体柱坐标系[csys,1] 总体球坐标系[csys,2] 工作平面 [csys,4] 2）自下而上建模：按照从点到线，从线到面，从面到体的顺序建立模型。
B 网格划分 1、网格划分三步骤: 定义单元属性、指定网格的控制参数、生成网格 2、单元属性（单元类型 (TYPE)、实常数 (REAL)、材料特性 (MAT)） 3、单元类型 单元类型是一个重要选项，它决定如下单元特性： 自由度(DOF)设置、单元形状、维数、假设的位移形函数。 1）线单元（梁单元、杆单元、弹簧单元） 2）壳用来模拟平面或曲面。 3）二维实体用于模拟实体截面 4）三维实体 ?用于几何属性，材料属性，荷载或分析要求考虑细节，而无法采用更简单的单元进行建模的结构。 ?也用于从三维CAD系统转化而来的几何模型，而这些几何模型转化成二维模型或壳体会花费大量的时间和精力 4、单元阶次与形函数 ?单元阶次是指单元形函数的多项式阶次。 ?什么是形函数? –形函数是指给出单元内结果形态的数值函数。因为FEA 的解答只是节点自由度值，需要通过形函数用节点自由 度的值来描述单元内任一点的值。 –形函数根据给定的单元特性给出。
第一章结构分析及有限元分析基础知识 注：摘自《NX知识工程应用技术——CAD/CAE篇》 洪如瑾编译 清华大学出版社 [目标] 本章将简述结构分析及有限元分析的基础知识，为学习与应用结构分析做好准备，包括： ※ 结构与结构分析定义 ※ 结构的线性静态分析 ※ 材料行为与故障 ※ 有限元分析的基本概念 ※ 有限元模型 1.1结构分析基础知识 1.1.1结构基本概念 1.结构定义 结构可以定义为一个正承受作用的载荷处于平衡中的系统。平衡条件意味着结构是不移动的。一个自由的支架不是一个结构，它未被连接到任一物体上并无载荷作用与它。仅当它附着到外部世界，并且有作用力、压力或力矩时，支架成为一个结构。 例如横跨江面的大桥就是一个普通的结构，一个支架通过它的支撑连接到地面上，桥的重量是在结构上的一种载荷（力）。当汽车通过桥时，附加的力作用于桥的不同位置。 一个好的结构必须满足以下标准： （1） 当预期的载荷作用时，结构必须不出现故障。这个似乎是显而易见的，并意味着结构必须是“强度足够的”。故障意味着结构破裂、分离、弯曲，以及支撑作用载荷失败。 注意：考虑到意外的载荷，通常在设计中提供安全余量。余量常常利用安全因素来描述。例如，如果在结构上期待载荷是10 000磅，规定安全因素是2.0，则结构将设计成能经受住20 000磅载荷。 （2） 当载荷作用时，结构必须不产生过分变形。这意味着结构必须“刚度足够”。 变形可接受的极限（弯曲度、挠度、拉伸等）取决于特定情况。例如，在通常住宅中的地板由足够的吊带支撑，以防止当人在地板岸上行走时有“柔软”的感觉。 （3） 在它的服务生命周期，结构的行为应不会恶化。这意味着结构必须“足够耐用”，必须考虑环境影响和“磨损与破裂”。如果一座桥假定维持50年，则桥的设计必须提供整个50年寿命的结构完整性与充分的安全余量。2.结构分析 结构分析是用于决定一个结构是否将正确完成任务的工程分析过程。结构将在某些方式中进行模拟和求解描述它的行为的数学方程。分析可以人工方法或用计算机方法来完成。 结构分析的结果（答案）用于评估性能，摘要如下： （1）“强度足够吗？”：应力必须是在一可接受的范围内。 （2）“刚度足够吗？”：位移必须是在一可接受的范围内。 （3）“耐用度足够？”：对一个长的疲劳周期应力必须足够低。
机械与汽车学院 曹国强 主要内容： 1、有限元法的基本思想。 2、结构力学模型的简化和结构离散化。 3、有限元法的实施过程。 一、有限元法的基本思想 有限元法是随着计算机的发展而发展起来的一种有效的数值方法。其基本思想是：将连续的结构分割成数目有限的小单元体（称为单元），这些小单元体彼此之间只在数目有限的指定点（称为节点）上相互连接。用这些小单元体组成的集合体来代替原来的连续结构。再把每个小单元体上实际作用的外载荷按弹性力学中的虚功等效原理分配到单元的节点上，构成等效节点力，并按结构实际约束情况决定受约束节点的约束。这一过程称为结构的离散化。其次，对每个小单元体选择一个简单的函数来近似地表示其位移分量的分布规律，并按弹性力学中的变分原理建立起单元节点力和节点位移之间的关系（单元刚度方程），最后，把全部单元的节点力和节点位移之间的关系组集起来，就得到了一组以结构节点位移为未知量的代数方程组（总体刚度方程），同时考虑结构的约束情况，消去那些结构节点位移为零的方程，再由最后的代数方程组就可求得结构上有限个离散节点的各位移分量。求得了结构上各节点的位移分量之后，即可按单元的几何方程和物理方程求得各单元的应变和应力分量。 有限元法的实质就是把具有无限个自由度的连续体，理想化为有限个自由度的单元的集合体，使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。 经典解法（解析法）与有限元法的区别 解析法 { } 建立一个描述连续体性质的偏微分方程组 有限元解法 连续体 数目增加到∞ 大小趋于0 微元 有限元 离散化 （单元分析）集合 总体分析 求得近似解
二、结构力学模型的简化和结构离散化 （一）结构力学模型的简化 用有限元法研究实际工程结构问题时，首先要从工程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件、约束条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能地反映实际情况，不至于使简化后的解答与实际差别过大，但也不要带来计算上的过分复杂，在力学模型的简化过程中，必须判断实际结构的问题类型，是二维问题还是三维问题。如果是平面问题，是平面应力问题，还是平面应变问题。同时还要搞清楚结构是否对称，外载荷大小和作用位置，结构的几何尺寸和力学参数（弹性模量E、波松比μ等）。 （二）结构的离散化 将已经简化好的结构力学模型划分成只在一些节点连续的有限个单元，把每个单元看成是一个连续的小单元体，各单元之间只在一些点上互相联结，这些点称作节点，每个单元体称为一个单元。用只在节点处连接的单元的集合体代替原来的连续结构，把外载荷按虚功等效原理移置到有关受载的节点上，构成节点载荷，把连续结构进行这样分割的过程称为结构的离散化。现举例说明。 设一平面薄板，中间有一个园孔，其左端固定，右端受面力载荷q，试对其进行有限元分割和力学模型简化。
1、有限元这种数值计算方法起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构的矩阵分析。 2、有限单元法的基本思想:在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定 大小的单元,这些单元仅在有限个节点上相连接,并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。 3、节点:网格间相互连接的点。 4、边界:网格与网格的交界线。 5、有限元的优点:①理论基础简明,物理概念清晰,且可在不同的水平上建立起对该法的 理解②具有灵活性和适用性,应用范围极为广泛③该法在具体推导运算中,广泛采用了矩阵方法。 6、有限单元法分类(从选择基本未知量的角度:位移法(以节点位移为基本未知量,通用 性广、力法(以节点力、混合法(一部分以节点位移,另一部分以节点力 7、有限元法分析计算的基本步骤:①结构的离散化②单元分析(选择位移模式,建立单元 刚度方程,计算等效节点力③整体分析④求解方程,得出节点位移⑤由节点位移计算单元的应变与应力。 8、单元划分:将某个机械结构划分为由各种单元组成的计算模型。 9、有限元法基本近似性------几何近似。
10、弹性力学的任务:分析弹性体在受外力作用并处于平衡状态下产生的应力、应变和位移状态及其相互关系等。 11、弹性力学假设所研究的物体是连续的、完全弹性的、均匀的、各向同性的、微小变形的和无初应力的 12、外力:体力(分布在物体体积内的力---重力、惯性力、电磁力面力(分布在物体表面上的力---流体压力、接触力、风力 13、应力:物体受外力作用,或由于温度有所改变,其内部发生的内力。σ={ σx σy σz τx τy τz } = [σx σy σz τx τy τz ]T 14、应变:物体受到外力作用时,其形状发生改变时的形变。---长度和角度。 ε={ εx εy εz γx γy γz } = [εx εy εz γx γy γz ]T 15、位移:弹性体在载荷作用下,不仅会发生形变,还将产生位移,即弹性体位置 的移动。 δ={u v w }=[u v w ]T 16:、变形协调条件:设想在变形前,把弹性体分为许多微小立方单元体。变形后,每个单元体都产生任意变形而变成一些六面体。可能发生这样的情况,这些六面体
复习目录 一、模型输入、建模 A 输入几何模型 1、两种方法：No defeaturing 和 defeaturing （Merge合并选项、Solid实体选项、Small选项） 2、产品接口。输入IGES 文件的方法虽然很好，但是双重转换过程CAD > IGES > ANSYS 在很多情况下并不能实现100%的转换.ANSYS 的产品接口直接读入“原始”的CAD 文件，解决了上面提到的问题. 3、输入有限元模型。除了实体几何模型外， ANSYS 也可输入由某些软件包生成的有限元单元模型数据（节点和单元）。 B 实体建模 1、定义实体建模：建立实体模型的过程。（两种途径） 1）自上而下建模：首先建立体（或面）,对这些体或面按一定规则组合得到最终需要的形状. ?开始建立的体或面称为图元. ?工作平面用来定位并帮助生成图元. ?对原始体组合形成最终形状的过程称为布尔运算 ?总体直角坐标系 [csys,0] 总体柱坐标系[csys,1] 总体球坐标系[csys,2] 工作平面 [csys,4] 2）自下而上建模：按照从点到线，从线到面，从面到体的顺序建立模型。 B 网格划分 1、网格划分三步骤: 定义单元属性、指定网格的控制参数、生成网格 2、单元属性（单元类型 (TYPE)、实常数 (REAL)、材料特性 (MAT)） 3、单元类型 单元类型是一个重要选项，它决定如下单元特性： 自由度(DOF)设置、单元形状、维数、假设的位移形函数。 1）线单元（梁单元、杆单元、弹簧单元） 2）壳用来模拟平面或曲面。 3）二维实体用于模拟实体截面 4）三维实体 ?用于几何属性，材料属性，荷载或分析要求考虑细节，而无法采用更简单的单元进行建模的结构。
CATIA有限元分析计算实例 11.1例题1 受扭矩作用的圆筒 11.1－1划分四面体网格的计算 （1）进入【零部件设计】工作台 启动CATIA软件。单击【开始】→【机械设计】→【零部件设计】选项，如图11－1所示，进入【零部件设计】工作台。 图11－1单击【开始】→【机械设计】→【零部件设计】选项 单击后弹出【新建零部件】对话框，如图11-2所示。在对话框内输入新的零件名称，在本例题中，使用默认的零件名称【Part1】。点击对话框内的【确定】按钮，关闭对话框，进入【零部件设计】工作台。 （2）进入【草图绘制器】工作台 在左边的模型树中单击选中【xy平面】, 如图11-3所示。单击【草图编辑器】工具栏内的【草图】按钮，如图11-4所示。这时进入【草图绘制器】工作台。
图11－2【新建零部件】对话框 图11－3单击选中【xy平面】 （3）绘制两个同心圆草图 点击【轮廓】工具栏内的【圆】按钮，如图11-5所示。在原点点击一点，作为圆草图的圆心位置，然后移动鼠标，绘制一个圆。用同样分方法再绘制一个同心圆，如图11-6所示。 图11－4【草图编辑器】工具栏 图11－5【轮廓】工具栏 下面标注圆的尺寸。点击【约束】工具栏内的【约束】按钮，如图11-7所示。点击选择圆，就标注出圆的直径尺寸。用同样分方法标注另外一个圆的直径，如图11-8所示。
图11－6两个同心圆草图 图11－7【约束】工具栏 双击一个尺寸线，弹出【约束定义】对话框，如图11－9所示。在【直径】数值栏内输入100mm，点击对话框内的【确定】按钮，关闭对话框，同时圆的直径尺寸被修改为100mm。用同样的方法修改第二个圆的直径尺寸为50mm。修改尺寸后的圆如图11-10所示。 图11－8标注直径尺寸的圆草图 图11－9【约束定义】对话框 （4）离开【草图绘制器】工作台 点击【工作台】工具栏内的【退出工作台】按钮，如图11-11所示。退出【草图绘制器】工作台，进入【零部件设计】工作台。 图11－10修改直径尺寸后的圆 图11－11【工作台】工具栏
有限元法基础试题（A ） 一、填空题（5×2分） 1.1单元刚度矩阵e T k B DBd Ω = Ω? 中，矩阵B 为__________，矩阵D 为___________。 1.2边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为_______边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为_______边界。 1.3内部微元体上外力总虚功： ()(),,,,e x x xy y bx xy x y y by d W F u F v dxdy δστδτσδ??=+++++??+(),,,,x x y y xy y x u v u u dxdy σδσδτδδ??+++??的表达式中，第一项为____________________的虚功，第二项为____________________的虚功。 1.4弹簧单元的位移函数1N +2N =_________。 1.5 ij k 数学表达式：令j d =_____，k d =_____，k j ≠，则力i ij F k =。 二、判断题（5×2分） 2.1位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。（ ） 2.2变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。 （ ） 2.3变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。 （ ） 2.4常应变三角单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 2.5 对称单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 三、简答题（26分） 3.1列举有限元法的优点。（8分） 3.2写出有限单元法的分析过程。（8分） 3.3列出3种普通的有限元单元类型。（6分） 3.4简要阐述变形体虚位移原理。（4分） 四、计算题（54分） 4.1对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为10000N/m ，单元②的弹簧常数为20000N/m ，单元③的弹簧常数为10000N/m ，确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。（10分） 4.2对于如图所示的杆组装，弹性模量E 为10GPa ，杆单元长L 均为2m ，横截面面积A 均为2×10-4m 2，弹簧常数为2000kN/m ，所受荷载如图。采用直接刚度法确定节点位移、作用力和单元②的应力。（10分）