第二十七章：流场计算中变量的定义
●27.1网格节点和控制体积值的估算
●27.2速率选择面板
●27.3可流场变量列表
●27.4流场变量（按阿拉伯字母顺序）列表及其定义
●27.5自定义流场函数
●27.1网格节点和控制体积值的估算
本文为后处理节电网格和控制体积网格估值提供了两种方法，如下：“面”是指在面板操作中由面、线、点相交而产生的。在大多数例子中，面是有交叉计算区域和现有的面相交而产生的。
27.1.1控制体积估值
FLUENT将变量储存在控制体积中，为了后处理方便，整个计算区域都一起赋值给控制体积。一个“面”控制体积的值就是由“面”上的面、线或点分割出的控制体积的值。因为一个“面”上的面和线是以有的控制体积网格和等值交叉建立的，这是一个唯一的定义。在控制体积分界线上的控制体积估值是在控制体积里接近分界线的估值。
27.1.2网格节点的估值
网格节点估值由平均控制体积数据来准确的获得。各种边界条件都会影响在边界范围处流场变量的估值，所以要准确定义在这些边界区域的网格节点值。另外，在所有的节点处，明确节点值对许多变量（例如：节点坐标）都有用。对大多数变量，网格节点值是由共有此节点的所有控制体积的平均数据计算所得。
计算节点值由两个步骤：
1．每个节点的原始值是共有此节点的所有控制体积的平均值。
2．在分界线处，这些节点值是边界值（如果有效）。（表27.3.1-27.3.14的bnv可说明在边界线处节点值对变量是否有效。）
例如，在图27.1.1，节点n1的值由共有此节点的控制体积c1-c6的平均值计算得出，节点n2的值是边界值（不是控制体积c1、c6、c7的平均值），假设在此问题中边界值对变量有效。
图27.1.1：计算节点值
Figure 27.1.1: Computing Node V alues
！！注意边界节点值对自定义流场函数无效。
在“面”上的节点值要用线性内插法以内插值网格节点数据替换。因为按“面”上的节点分区区域协调，所以值是等同的。对于等值面和等值线，其值由在等值分割的面上的网格节点替换。对于等值点，其值由控制体积包含的点的网格节点替换。
27.2速率选择面板
以下是选择速率有效方法：
。笛卡尔速率：这些速率是基于几何学中的笛卡尔坐标系。选择笛卡尔速率，要分出x 速率，y速率，z速率。这是最普通的速率选择类型。
。柱状速率：这些速率是基于下面各坐标系轴向的，径向的，切向的组合：。对于以x轴为旋转轴的轴对称问题，x方向为轴向，y方向为径向。（如果模拟轴对称旋转，那旋转方向为切向。）
。对于包括一单个控制体积区域的2D问题，z方向为轴向，它的原点指定在Fluid panel。
。对于包括一单个控制体积区域的3D问题，坐标系规定为指定在Fluid panel的旋转轴和原点。
。包含多重区域的问题（例如：多重结构或滑动的网孔），坐标系规定为在fluid(or solid)panel for the “reference zone”的旋转轴。参考区域是从参考值panel选取的，像如26.8节关于2D问题描述的那样，可指定唯一的轴端点，z方向通常是轴向。
对于上述定义的所有柱状坐标系，正的径向速率是从旋转轴沿径向指向外，正的轴向速率是沿旋转轴向量方向，正的切向速率是基于旋转轴正向的右手法则规定。
为选择柱状速度，就要选定轴向速度，径向速度，等等。图27.2.1说明了在不同的区域各柱状速度：在3D问题中划分为轴向速度，径向速度和切向速度。在2D问题中则是径向速度和切向速度。在轴对称问题中划分为轴向速度和径向速度，当建模为旋转对称轴时也可选择旋转速度（等同于切向速度）。
图27.2.1：在3D,2D和轴对称问题中柱状速度的组成
Figure 27.2.1: Cylindrical V elocity Components in 3D, 2D, and Axisymmetric Domains
。相对速度：这些速度以坐标系和移动的参考系为基础。当你用旋转坐标系统或混合平面或多重坐标系统或滑动网孔建模你的流体，他们是很有用的。（参看第9章关于在移动区域的
流体建模。）为选择相对速度，需要选定相对X速度,相对Y速度，相对径向速度，等等。（注意可以为笛卡尔和柱状速度各组分划分相对速度。）
如果用单一旋转坐标系，那相对速度值要考虑移动的参考系。如果用多重坐标系，或混合平面，或滑动网孔，需要在Reference values panel（参看26.8节）中选择适当的控制体积作为参照区域从而指定出所求速度的相对体系。每个控制体积的旋转轴定义在与之关联的流体面板或固体面板。（参看6.17.1节或6.18.1节。）
注意如果问题中没有移动区域，那么相对速度和绝对速度是等同的。
注意相对速度也可用来计算滞流值（总压和总温），上述第二项中的柱状坐标系也可用来定义轴向坐标和径向坐标。
27.3可流场变量列表
下面是对标记变量的规定，用于表27.3.1-27.3.14：
2d 2D情况下的流体
2da 2D轴对称情况下的流体（有无旋转）
2dasw 2D轴对称旋转流体
3d 3D流体
bnv 边界处的网格节点值
cpl available only in the coupled solvers
cv 控制体积值（节点值面板关闭）
dil not available with full multicomponent diffusion
do 当离散纵向辐射模型启用
dpm 联结的分散相的计算
dtrm 当离散转移辐射模型启用
e 能量计算
edc 用于湍流化学交互作用的EDC模型
emm 当欧拉多相模型启用
ewt 增强的间隔层处理
gran 粒状阶段
h2o 含水的混合剂
id 理想气体定律用于密度
ke 当一个k-e湍流模型启用
kw 当一个k-w湍流模型启用
les 当LES湍流模型启用
mix 当多相混合模型启用
melt 当熔融凝固模型启用
mp 多相模型
nox NOX计算
np not available in parallel solvers
nv 采用显节点值函数
p 在平行解算器中
pl 当P-1辐射模型启用
pdf 不预混和燃烧计算
pmx 预混和燃烧计算
ppmx 部分预混和燃烧计算
r 当罗斯兰辐射模型启用
rad 辐射热转移计算
rc 有限率反映
rsm 当雷诺应力湍流模型启用
s2s 地对地辐射模型启用
sa Spalart-Allmaras湍流模型启用seg 在隔离解算器中
sp 种类计算
sr 表面反应
soot 烟灰计算
stat 不稳定统计的数据取样
stcm 刚性化学计算
t 湍流
turbo 一个涡轮机的局部解剖
udm 当一个用户定义存储启用
uds 当一个用户定义标量启用
v 粘性流体
类别变量
压强静态压强（bnv,nv）
压强系数
动态压强
绝对压强（bnv,nv）
总压强（bnv,nv）
相对总压强
密度密度
n相密度（mp）
全部密度
27.4流场变量（按阿拉伯字母顺序）列表及其定义
下面，在表27.3.1-27.3.14列出的变量被定义。一些变量（诸如残值）会在范畴名称下赋予一个一般的定义，变量在其范畴下并不个别列出。适当的时候，当它在装置单位面板的数量列表中出现时，单位量被包括。
Abs(C-H)Spanwise坐标
（在网络节点范畴下）是空间坐标在spanwise方向，从casing到中枢。单位量是长度。Abs(H-C)Spanwise坐标
（在网络节点范畴下）是空间坐标在spanwise方向，从中枢到casing。单位量是长度。Abs经纬坐标
（在网络节点范畴下）是沿着流迹从入口到出口的空间坐标。单位量是长度。
Abs Pitchwise坐标
（在网络节点范畴下）是在圆周（Pitchwise）方向的空间坐标。单位量是角度。
绝对压强
（在压强范畴下）等于工作压强加上标准压强。参看7.12节。单位量是压强。
吸收系数
（在辐射范畴下）描述了媒介的性质，是描述在媒介中每单位波程长度吸收辐射热的量。它可反过来解释为一个光子在被吸收前走过的平均路径（如果吸收系数沿路径并不变化）。吸收系数的单位量是反向长度。
主动控制体积分区
（在控制体积范畴下）是一个整体鉴别器指出一个精确的控制体积所从属的分区。网络节点被分为若干区利用fluent的并行型式多重处理器来解决问题，分区的ID可用来确定不同控制体积群的范围。当保存文件时，主动控制体积分区用于当前的计算，同时存储的控制体积分区（最后执行的分区）被使用。详细信息参看28.4.3节。
配合
包括一般的流场变量用于配合节点。关于解决配合的信息，参看23章。
配合功能
（在配合范畴下）是在临时控制体积存储未分配的值的拉普拉斯算子。例如，为显示压强的拉普拉斯算子等值线，必须选择静态压强，单击计算（或显示）按钮，选择配合功能，最后单击显示按钮。
隔热火焰温度
（在预混和燃烧范畴下）是燃烧产物在层状预混合焰的隔热温度（等式15.2-21中的Tb）。单位量是温度。
N反应的阿伦纽斯率
（在反应范畴下）如下列表达式（如下变量的定义参看等式13.1-7）
所选值不受具体物种限制，单位是kgmol/m3-s。
要找出关于给定物种i对应的反应r的生产/破坏率，将反应r的所选反应率乘以条件
M i(v”i,r-v’i,r)，M i代表物种i的分子量，v”i,r和v’i,r 是物种i在反应r中的分子当量系数。
轴向坐标
（在网格节点范畴下）是在轴向方向从远点出发的距离。在流体或固体面板中每个控制体积区域轴的原点和（在3D）方向都被定义。一个2D模型的轴向方向通常是Z方向，一个2D 轴对称模型的轴向方向通常是X方向。轴坐标的单位量是长度。
轴向牵引速度
（在凝固和熔融范畴）是在连续铸件加工操作的固体材料的牵引速度的轴向组分。单位量是速度。
轴向速度
（在速度范畴下）是在轴向的速度组分。（参看27.2）单位量是速度。
第n相轴相速率
（在速率范畴内）是第n相的轴相速率的组成部分。（相名称为第n相），单位量为速率。轴向壁剪切力
（属于壁函数范畴）是沿切线作用于表面而产生摩擦的力的轴向部分。单位量是压强。控制体积边界距离
（属于配合范畴）是说明一个边界区域的控制体积大约数量。
标准边界距离
（属于配合范畴）是最近的边界区域到控制体积质心的距离。
容量边界距离
（属于配合范畴）是定义在边界配合面板的基于边界容量，放大因子，标准距离并同所选的边界区域区分的控制体积容量。
子控制体积
（属于配合范畴）是区分控制体积是否是在hanging-node配合过程细分的控制体积的产物（value=1）或（value=0）的二元标识。
控制体积元素种类
（属于控制体积信息范畴）是整体控制体积元素种类的标识数量。每个控制体积都有一个下面的元素种类：
三角形 1
四面体 2
四边形 3
六面体 4
棱锥 5
楔形 6
控制体积等角度倾斜
（属于网格和配合范畴）是一种用规范角度偏差方法的无因次参数计算，定义为
(27.4.1)
在这里q max=控制面或体积中最大的角度
q min=控制面或体积中最小的角度
q e =等角的控制面或体积中的角度（例如三角形60和正方形90）
值为0说明是一个最好的等角控制体积，值为1说明是一个完全简化的控制体积。简化控制体积（条片）的特点是节点几乎共面（在2D共线）。控制体积等角度倾斜适用于所有元素。控制体积等容量倾斜
（属于网格和配合范畴）是一种用容量偏差方法的无因次参数计算，定义为
(27.4.2)
在这里最佳控制体积尺寸是一个有相同外接圆半径的等边控制体积的尺寸。值为0说明是一个最佳等边控制体积，值为1说明是一个完全简化控制体积。简化控制体积（条片）的特点是节点几乎共面（在2D共线）。控制体积等容量倾斜仅仅适用于三角形和四面体元素。
控制体积ID
(在控制体积信息范畴)是一个联系每个控制体积的唯一的整体标识。
控制体积信息
包括了识别控制体积和与其它控制体积关联的量值。
控制体积分区
（属于控制体积信息范畴）是一个指明分区属于哪个具体控制体积的整体标识。在这个问题中利用fluent的平行型式由多重处理器将网格节点分成了若干分区，分区的标识可用来确定各种控制体积群的范围。
控制体积细化水平
（属于配合范畴）是说明控制体积与原始网格比较在hanging节点配合过程中被细分的次数。例如，如果一个四元控制体积列成四块，那么这四个新的体积每个的控制体积细化水平是1。如果这四个体积再次分裂，那么产生的16个体积每个控制体积细化水平是2。
控制体积雷诺数
（属于速度范畴）是在一个控制体积内的雷诺数值。（雷诺数是惯性力同粘性力的比值，是一个无因次参数。）控制体积雷诺数定义为
(27.4.3)
在这里ρ是密度，u是速度大小，μ是有效粘性（层流加上湍流），d是2D情况下控制体积容量1/2是3D情况下控制体积容量1/3或者轴对称情况。
控制体积挤压指数
（属于网络节点范畴）是网孔性质的测量标准，是每个从控制体积质心指向每个面心的矢量的点产物计算得来，相关面的面积矢量是
(27.4.4)
因此，最差的控制体积的挤压指数接近1。
控制体积表面面积
（属于配合范畴）是控制体积总的表面面积，是组成控制体积的所有面的面积的总和。
控制体积容量
学而思高中完整讲义：随机变量及其分布列.版块一.离散型随机变量 及其分布列1.学生版 1． 离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y L 表示． 如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X 所有可能的取值x 与该取值对应的概率p ,)n L 列表表示： X 1x 2x … i x … n x P 1p 2p … i p … n p X 的分布列． 2．几类典型的随机分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X X 的分布列满足二点分布． X 1 P 0.8 0.2 两点分布又称01-布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为 C C ()C m n m M N M n N P X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ， n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． ⑶二项分布 1．独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为 ()C (1) k k n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =L ． 知识内容
随机变量及其分布知识点汇总 知识点一 离散型随机变量及其分布列 （一）、离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????，X 取每一个值 (1,2,,)i x i n =???的概率()i i P X x p ==，则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1,2,,i P i n =???≥ （2）121n p p p ++???+= 1．两点分布 如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为： (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== 则随机变量X 的概率分布列如下： {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注意：超几何分布的模型是不放回抽样
知识点二 条件概率与事件的独立性 （一）、条件概率 一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称() (|)() P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+ （二）、相互独立事件 设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即 ()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。 ()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =. 注意：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生； (2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响. （三）、n 次独立重复试验 1．一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 在n 次独立重复试验中，记i A 是“第i 次试验的结果”，显然， 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ???=??? “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注意: 独立重复试验模型满足以下三方面特征 第一：每次试验是在同样条件下进行； 第二：各次试验中的事件是相互独立的； 第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. 2．n 次独立重复试验的公式： n A X A p n A k 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为 ()(1),0,1,2,...,.(1)k k n k k k n k n n P X k C p p C p q k n q p --==-===-其中，而称p 为成功
第二章 随机变量及其分布 复习 一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 3、分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为：ΛΛ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1(Λ=i x 的概率p x P ==)(，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 典型例题： 1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1) c P k k k k ξ== =+……，则P(13)____ξ≤≤= 2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为1 7 ，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一 球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用ξ表示取球的次数。（1）求ξ的分布列（2）求甲取到白球的的概率 3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。 4 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5 ． （1）请将上面的列联表补充完整； （2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率． (参考公式：2 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)
“随机变量及其分布”简介 北京师范大学数学科学院李勇 随机变量是研究随机现象的重要工具之一，他建立了连接随机现象和实数空间的一座桥梁，使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质，从而可以建立起应用到不同领域的概率模型，如二项分布模型、超几何分布模型、正态分布模型等。 在本章中将通过具体实例，帮助学生理解取有限值的离散型随机变量及其分布列、均值、方差的概念，理解超几何分布和二项分布的模型并能解决简单的实际问题，使学生认识分布列对于刻画随机现象的重要性，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。 一、内容与要求 1. 随机变量及其分布的概念。 通过具体实例使学生理解随机变量及其分布列的概念，认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性。要求学生会用随机变量表达简单的随机事件，并会用分布列来计算这类事件的概率。 2.超几何分布模型及其应用。 通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 3. 二项分布模型及其应用。 通过具体实例使学生了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验和二项分布模型，并能解决一些简单的实际问题。 4.离散随机变量的均值与方差。 通过实例使学生理解离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。 5.正态分布模型。 借助直观使学生认识正态分布曲线的特点及含义。 二、内容安排及说明 1.全章共安排了4个小节，教学约需12课时，具体内容和课时分配如下（仅供参考）： 2．1 离散型随机变量及其分布列约3课时 2．2 二项分布及其应用约4课时
2．3 离散型随机变量的均值与方差约3课时 2．4 正态分布约1课时 小结约1课时 2. 本章知识框图 3.对内容安排的说明。 研究一个随机现象，可以借助于随机变量，而分布描述了随机变量取值的概率分布规律。二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型．为了使学生能够更好地理解它们，并能用来解决一些实际问题，教科书在内容安排上作了如下考虑： (1) 为学生把注意力集中在随机变量的基本概念和方法的理解上，通过取有限个不同 值的随机变量为载体介绍这些概念，以便他们能更好的应用这些概念解决实际问 题。例如，如何定义随机变量来描述所感兴趣的随机事件；一个具体的随机变量都 能表达什么样的事件，如何表达这些事件；如何用分布列来表达随机事件发生的概 率等。 (2) 介绍超几何分布模型及其应用，其目的是 i. 让学生了解它的广泛应用背景，并使学生能够应用该分布设计一些能够丰富学生课外
第二章 随机变量及其分布 §1 随机变量 一 概念 1、为什么要引入随机变量的概念？ 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究，因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化．当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念．在实际问题中，有些随机试验的结果可以用数量来表示(如掷色子产生的点数),但是在有些试验中，试验结果看来与数值无关，如何将他们与数值联系起来呢？例如，某个事件发生，可以记为1，不发生可以记为0，这样事件就可以和数值联系起来了，由此就产生了随机变量的概念. 2、随机变量的定义 ,.E Ω设是随机试验它的样本空间是如果对于每一个,ω∈Ω()X ω有一个实数 ,与之对应(),X ωΩ这样就得到一个定义在上的单值实值函数X=()X ω称为随机变 量。 注：(1)随机变量与普通的函数不同 随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数). (2)随机变量的取值具有一定的概率规律 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律。 (3)随机变量与随机事件的关系 随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说:随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象. 3、随机变量的分类 ?? ?????? 离散型:取值有限或无限可数个随机变量连续型：取值连续的充满某区间非离散型非连续型 4、离散型随机变量定义：设k x (1,2,...)k =是离散型随机变量X 所取的一切可能值，称()k k P X x p ==为离散型随机变量X 的概率分布或分布律，有的书上也称概率函数。 注：(1)0,1,2, k p k ≥= 1 (2) 1k k p ∞ ==∑ 离散型随机变量的分布律也可表示为：1 21 2 ~n n x x x X p p p ?? ??? 例如 观察掷一个骰子出现的点数，随机变量 X 的可能值是 :1, 2, 3, 4, 5, 6.
圆梦教育中心 随机变量及其分布知识点整理 一、离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =???的概率 ()i i P X x p ==，则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1,2,,i P i n =???≥ （2）121n p p p ++???+= 1．两点分布 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为： (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注：超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率 一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称() (|)() P AB P B A P A = 为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+U 三、相互独立事件 设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =.
第五节离散型随机变量及其分布列 一、离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量. 二、离散型随机变量的分布列及性质 1.一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为 x1,x2,…,x i,…,x n,X取每一个值x i(i=1,2,…,n)的概率P(X=x i)=p i,则表
称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列. 2.离散型随机变量的分布列的性质 (1)p i≥0,i=1,2,…,n. (2)p1+p2+…+p n=1. 三、相互独立事件 一般地,对两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立. 四、两点分布 若随机变量X的分布列为 则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率. 五、独立重复试验与二项分布 1.独立重复试验 一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. 2.二项分布 一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,事件A恰好发生k次的概率为 P(X=k)=C k p k(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n). n 此时称随机变量X服从二项分布,记作X～B(n,p),并称p为成功概率.
1.概念理解 (1)随机变量是将随机试验的结果数量化. (2)离散型随机变量的分布列从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小,反映了随机变量取值的规律性. (3)因为一次试验的各种结果是互斥的,而全部结果之和为一个必然事件,所以离散型随机变量的分布列具有性质p 1+p 2+…+p i +…+p n =1. (4)由事件A 和B 同时发生所构成的事件称为事件A 与B 的交(或积),记作A ∩B(或AB). (5)相互独立的两个事件实质上是一个事件的发生对另一个事件的发生没有影响. (6)独立重复试验必须满足三个特征:①每次试验的条件都完全相同,即每次试验事件发生的概率相等;②各次试验互相独立;③每次试验只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生. (7)P(X=k)=C k n p k (1-p)n-k 恰好是[(1-p)+p]n 展开式的第k+1项 1k T =C k n (1-p) n-k p k . (8)独立重复试验的实际原型是有放回的抽样问题,但在实际中,从大批产品中抽取少量样品的不放回检验,也可以近似地看作此类型. (9)独立重复试验中的概率公式P n (k)=C k n p k (1-p)n-k 中的p 与(1-p)的位 置不能互换,否则式子表示为事件A 有k 次不发生的概率. 2.与独立事件有关的结论 (1)若A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B,A 与B 也都相互独立.
离散型随机变量的概念》教学设计 一、教材分析 《离散型随机变量的概念》是人教A版《普通高中课程标准实验教科书 数学选修2-3》第二章随机变量及其分布的第一节离散型随机变量及其分布列的第一课时。本章是在必修三中学习了基本的概率统计知识的基础上，进一步学习 随机变量及其分布的知识。本节内容一方面承接了必修三的知识；另一方面，掌握好这一节课将有助于后续的学习，因此它在知识体系上起着承上启下的作用。随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，从而使得更多的数学工具有了用武之地。离散型随机变量是最简单的随机变量。本节课主要通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法。 二、学情分析 学生在必修3概率一章中学习过的随机试验、随机事件、简单的概率模型和必修1中学习过的变量、函数、映射等知识是学习、领悟和“接纳”随机变量概念的重要知识基础，教学时应充分注意这一教学条件；另外，为更好地形成随机变量和离散型随机变量两个概念，教学中可借助媒体列举和展现丰富的实例和问题，以留给学生更多的时间思考和概括。 三、教学策略分析 学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会。本课以情境为载体，以学生为主体，以问题为手段，激发学生观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。 四、目标分析 1、知识与技能目标：理解随机变量和离散型随机变量的概念，能够运用随机变量表示随机事件，学会恰当的定义随机变量； 2、过程与方法目标：在教学过程中，以不同的实际问题为导向，弓I导学生分析问题的特点，归纳问题的共性，提高理解分析能力和抽象概括能力；
1． 离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y L 表示． 如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X 所有可能的取值x 与该取值对应的概率,)n L 列表表示： X 1x 2x … i x … n x P 1p 2p … i p … n p X 的分布列． 2．几类典型的随机分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X X 的分布列满足二点分布． X 1 P 0.8 0.2 两点分布又称01-布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为 C C ()C m n m M N M n N P X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ， 知识内容 超几何分布
M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． ⑶二项分布 1．独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为 ()C (1)k k n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =L ． 2．二项分布 若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复 试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =L ．于是得到X 0 1 … k … n P 00C n n p q 111 C n n p q - … C k k n k n p q - 0 C n n n p q 由式 001110 ()C C C C n n n k k n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++L L 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布， 记作~(,)X B n p ． 二项分布的均值与方差： 若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则 ()E X np =，()D x npq =(1)q p =-． ⑷正态分布 1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线． 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布 ⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22 ()2()2πx f x μσσ --= ?， x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞． 式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望 为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线． ⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论： ①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%． ②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1， 在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率x=μO y x
随机变量及其分布总结 1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示． 2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质： （1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1． 5.求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: （1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(ξ=x i )=p i （3）画出表格 6.两点分布列: 7超几何分布列： 一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品 数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k m C --===,其中 mi n {,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布 8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 k n k k n n q p C k P -==)(ξ， （k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ 1 … k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - … q p C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。 9．离散型随机变量的均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 10．离散型随机变量的均值或数学期望的性质： （1）若ξ服从两点分布，则=ξE p ． （2）若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ． （3）()c c E =，c 为常数 （4）ξ～N (μ，2σ),则=ξE μ （5）b aE b a E +=+ξξ)( 11．方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么, ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋222)(p E x ?-ξ＋…＋n n p E x ?-2)(ξ＋…
随机变量及其分布知识点整理 一、离散型随机变量的分布列 一般地,设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????,Ｘ取每一个值(1,2,,)i x i n =???的概率()i i P X x p ==,则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列,简称X 的分布列、 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质: (1)0,1,2,,i P i n =???≥ (2)121n p p p ++???+= 1、两点分布 则称Ｘ服从两点分布,并称=P(X=1)p 为成功概率、 2、超几何分布 一般地,在含有Ｍ件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{}X k =发生的概率为: (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注:超几何分布的模型就是不放回抽样 二、条件概率 一般地,设Ａ,Ｂ为两个事件,且()0P A >,称()(|)() P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率、 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 与C 互斥,那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+ 三、相互独立事件 设A,Ｂ两个事件,如果事件A 就是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事
件A 与事件B 相互独立。()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地,如果事件Ａ1,A ２,…,A n 两两相互独立,那么这n 个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =. 注:(1)互斥事件:指同一次试验中的两个事件不可能同时发生; (２)相互独立事件:指在不同试验下的两个事件互不影响、 四、n 次独立重复试验 一般地,在相同条件下,重复做的n 次试验称为ｎ次独立重复试验、 在n 次独立重复试验中,记i A 就是“第i 次试验的结果”,显然,1212()()()()n n P A A A P A P A P A ???=??? “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其她试验的影响 注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征 第一:每次试验就是在同样条件下进行; 第二:各次试验中的事件就是相互独立的; 第三:每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生、 n 次独立重复试验的公式: n A X A p n A k 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为 ()(1),0,1,2,...,.(1)k k n k k k n k n n P X k C p p C p q k n q p --==-===-其中,而称p 为成功概率、 五、二项分布 一般地,在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为p ,则 ()(1)0,1,2,,k k n k n P X k C p p k n -==-=???， 此时称随机变量Ｘ服从二项分布,记作~(,)X B n p ,并称ｐ为成功概率、 六、离散随机变量的均值(数学期望) 则称1122()i i n n E X x p x p x p x p =+++++ 为X 的数学期望或均值,简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 则()EY aE X b =+,即()()E aX b aE X b +=+ 2.一般地,如果随机变量X 服从两点分布,那么
第四节 随机变量函数的分布 一、 随机变量的函数 定义 如果存在一个函数)(X g , 使得随机变量Y X ,满足: )(X g Y =, 则称随机变量Y 是随机变量X 的函数. 注: 在微积分中,我们讨论变量间的函数关系时, 主要研究函数关系的确定性特征, 例如:导数、积分等.而在概率论中, 我们主要研究是随机变量函数的随机性特征, 即由自变量X 的统计规律性出发研究因变量Y 的统计性规律. 一般地, 对任意区间I , 令})(|{I x g x C ∈=, 则 },{})({}{C X I x g I Y ∈=∈=∈ }.{})({}{C X P I x g P I Y P ∈=∈=∈ 注: 随机变量Y 与X 的函数关系确定,为从X 的分布出发导出Y 的分布提供了可能. 二、离散型随机变量函数的分布 设离散型随机变量X 的概率分布为 ,2,1,}{===i p x X P i i 易见, X 的函数)(X g Y =显然还是离散型随机变量. 如何由X 的概率分布出发导出Y 的概率分布? 其一般方法是：先根据自变量X 的可能取值确定因变量Y 的所有可能取值, 然后对Y 的每一个可能取值,,2,1, =i y i 确定相应的},)(|{i j j i y x g x C ==于是 },{})({}{i i i i C X y x g y Y ∈==== .}{}{}{∑∈== ∈==i j C x j i i x X P C X P y Y P 从而求得Y 的概率分布. 三、 连续型随机变量函数的分布 一般地, 连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量, 但我们主要讨论连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形, 此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数, 而且还希望求出其概率密度函数. 设已知X 的分布函数)(x F X 或概率密度函数)(x f X , 则随机变量函数)(X g Y =的分布函数可按如下方法求得: }.{})({}{)(y Y C X P y X g P y Y P y F ∈=≤=≤= 其中}.)(|{y x g x C y ≤= 而}{y C X P ∈常常可由X 的分布函数)(x F X 来表达或用其概率密度函数)(x f X 的积分来
第7节离散型随机变量及其分布列 最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用. 知识梳理 1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i ＝1，2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，则表 X x1x2…x i…x n P p1p2…p i…p n 称为离散型随机变量X的概率分布列. (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①p i≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝1. 3.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为， X 0 1 P 1－p p 其中p＝P(X＝1)称为成功概率. (2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝ C k M C n－k N－M C n N，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N *，称随机变量X服从超几何分布. X 01…m P C0M C n－0 N－M C n N C1M C n－1 N－M C n N … C m M C n－m N－M C n N
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.() (2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义.() (3)如果随机变量X 的分布列由下表给出， X 2 5 P 0.30.7 则它服从两点分布.() (4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布.() 2.(选修2－3P49练习2改编)抛掷一枚质地均匀的硬币2次，则正面向上次数X的所有可能取值是________. 3.(选修2－3P77A1改编)已知离散型随机变量X的分布列为 则常数q＝________. 4.(2018·菏泽联考)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为() A. 1 220 B. 27 55 C. 27 220 D. 21 55 5.(2019·郑州二模)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________. 6.(2019·南宁二模改编)设随机变量X的概率分布列为 X 123 4 P 1 3 m 1 4 1 6 则P(|X－3|＝1)＝________. X 01 2 P 0.51－2q q2
随机变量及其分布知识点整理 、离散型随机变量的分布列 般地，设离散型随机变量 X 可能取的值为x-i , x 2, , x i , , Xn , X 取每一个值X j (i 1,2, ,n)的概率 P(X x ) p ，则称以下表格 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： (1) P > 0,i 1,2, , n (2) p 1 p 2 p n 1 1.两点分布 如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称 p=P(X=1)为成功概率? 2.超几何分布 一般地，在含有 M 件次品的N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品，则事件 x k 发生的概率为: 其中 m min M , n ，且n N, M N,n ,M,N N 。 注：超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率 般地，设A,B 为两个事件，且P(A) 0,称P(B|A)鵲为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条 件概率? 0 < P(B | A) < 1 如果 B 和 C 互斥，那么 P[(BUC)|A] P(B|A) P(C|A) 三、相互独立事件 设A , B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响(即P(AB) P(A)P(B)),则称事件 A 与事件 B 相互独立。 即A 、B 相互独立 P(AB) P(A)P(B) 般地，如果事件 A,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这 n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率 P(X k) k n k C M C N M k C N 0,1,2,3,…，m
的积，即P(AA..A) P(A)P(A2)...P(A n). 注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生； (2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响? 四、n次独立重复试验 一般地，在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验? 在n次独立重复试验中，记A是“第i次试验的结果”，显然，P(AA2 A n) P(A)P(A2) P(AJ “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注：独立重复试验模型满足以下三方面特征 第一：每次试验是在同样条件下进行； 第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生 n次独立重复试验的公式： 一般地，在r次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 P(X k) C：p k(1 p)n k C：p k q nk,k 0,1,2,…，n.(其中q 1 p)，而称p 为成功概率? 五、二项分布 一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则k k n k P(X k) C n p (1 p) ，k 0,1,2, ,n 此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率 六、离散随机变量的均值(数学期望) 则称E(X) Xg X2P2 X i P i X n P n 为X的数学期望或均值，简称为期望?它反映了离散型随机变量取值的平均水平 则EY aE(X) b，即E(aX b) aE(X) b 2.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么 E(X)=1 p 0 (1 p) p 即若X服从两点分布，则E(X) p 3?若X ~ B(n, p)，则E(X) np 七、离散型随机变量取值的方差和标准差 般地，若离散型随机变量x的概率分布列为
概率分布的概念概率分布是一个随机变量取任何给定值或属于某一给定值集的概率随取值而变化的函数，该函数称为概率密度函数 试写出测量值X落在区间[a,b]内的概率p与概率密度函数的函数关系式，并说 明其物理意义 式中，为概率密度函数，数学上积 分代表面积。 物理意义: 概率分布曲线 概率分布通常用概率密度 函数随随机变量变化的曲线来表示，如图所示。 测量值X落在区间[a,b]内的概率P可用上式计算 由此可见，概率P是概率分布曲线下在区间[a,b]内包含的面积，又称包含概率或置信水平。当，表明测量值有90%的可能性落在该区间[a,b]内，该 区间包含了概率分布下总面积的90%。在(一∞～+∞)区间内的概率为1，即随机变量在整个值集的概率为l。当1(即概率为1)表明测量值以100%的可能性落 在该区间内，也就是可以相信测量值必定在此区间内。 表征概率分布的特征参数期望和方差是表征概率分布的两个特征参数。 期望和标准偏差分别表征概率分布的特性期望影响概率分布曲线的位置；标准偏差影响概率分布曲线的形状，表明测量值的分散性。 有限次测量时，期望和标准偏差的估计值有限次测量时，算术平均值是概率分布的期望的估计值。即： 有限次测量时，实验标准偏差是标准偏差的估计值。即： 正态分布时，测量值落在区间[μ-kα，μ+kα]内，k=2时的概率是多少?是如何得来的?测量值落在区间内的概率为: 式中，
已知：，2，令，设， 当时，置信概率为95.45% 常用的概率分布及它们的置信区间半宽度与置信因子的关系 ①均匀分布：置信区间半宽度等于倍的标准偏差。 ②三角分布：置信区间半宽度等于倍的标准偏差。 ③梯形分布：置信区间半宽度等于倍的标准偏差。 ④反正弦分布：置信区间半宽度等于倍的标准偏差。 相关性的含义及表示相关性的参数相关性审是描述两个或多个随机变量间的相互依赖关系的特性。参数是 协方差与相关系数的关系及相关系数的特点协方差估计值与相关系数估计值的关系 相关系数是一个纯数字，在-1到+1之间，表示两个量的相关程度。相关系数为零，表示两个量不相关；相关系数为+1，表明X与Y全部相关（正强相关），即随着X增大Y也增大；相关系数为-1，表明X与Y负相关（负强相关），即随着X增大Y变小。 协方差与相关系数的估计值的获得方法及协方差估计值及相关系数估计值的表示符号协方差的估计值是通过有限次测量的数据得到的，相关系数的估计值也是 通过有限次测量的数据得到的。协方差估计值的符号为，相关系数估计值 的符号为评定测量不确定度的一般步骤1)明确被测量，必要时给出被测量的定义及测量过程的简单描述； (2)列出所有影响测量不确定度的影响量(即输入量)，并给出用以评定测量不确定度的数学模型； (3)评定各输入量的标准不确定度，并通过灵敏系数进而给出与各输入量对应的不确定度分量；
离散型随机变量及其分布列教学讲义 ZHI SHI SHU LI 知识梳理 1．离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为__随机变量___，所有取值可以一一列出的随机变量，称为__离散型___随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 称为离散型随机变量X __概率分布列___(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；②∑n i ＝1p i ＝__p 1＋p 2＋…＋p n ___＝1. 3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，其分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． (2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝ k )＝C k M C n － k N －M C n N ，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N 、M ≤N ，n 、M 、N ∈N ＋，称 随机变量X 服从超几何分布. X 0 1 … m P C 0M C n － N －M C n N C 1M C n － 1 N －M C n N … C m M C n － m N －M C n N ZHONG YAO JIE LUN 重要结论 1．若X 是随机变量，则Y ＝aX ＋b (a ，b 是常数)也是随机变量． 2．随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的．