动点专题——相似问题
总结：1.对于相似问题，分为已知确定相似和顶点未对应的相似
2.已知确定相似只需利用对应边成比例列方程，一般选已知边和所求边
3.未确定的需分类讨论，一般是钝角对钝角，直角对直角，锐角就需分类讨论。 典型例题
例1.如图1，已知抛物线的方程C 1：1
(2)()y x x m m
=-
+- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．
（1）若抛物线C 1过点M (2, 2)，求实数m 的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H
的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与
△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．
例2.直线1
13
y x =-
+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．
(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；
(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；
(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
例3、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC △是直角三角形，90ACB ∠= ，点A
C ，的坐标分别为(30)A -，，(10)C ，，3
tan 4
BAC ∠=
． （1）求过点A B ，的直线的函数表达式；点(30)A -，，(10)C ，，B
(13)，，39
44
y x =+
（2）在x 轴上找一点D ，连接D B ，使得ADB △与ABC △相似（不包括全等），并求点
D 的坐标； （3）在（2）的条件下，如P Q ，分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设A P
D Q m ==，
问是否存在这样的m 使得APQ △与ADB △相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．
例4.如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴另一个交点为B 。
⑴求抛物线的解析式；
⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；
⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
x
随堂练习
1.如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上．
（1）求m 、n ；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形
A A ′
B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点
B ′、
C 、
D 为顶点的三角形与△ABC 相似．
2.如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．
,
3.如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；
（3）连结OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，使△OBN 与△OAB 相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．
4.在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于
A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，．
（1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．．
得抛物线的解析式为2
23y x x =-++） （2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，，
（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角
PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．
课后练习
1.已知抛物线的顶点为A (2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一交点为B 。
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；
(3)连接OA 、AB ，如图②，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
O
练习3图
练习4图
2.Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k
y k x
=
≠在第一象限内的图象与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．
（1）求m 与n 的数量关系；
（2）当tan ∠A ＝
1
2
时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．
3.设抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m ，0)， 与y 轴交于点C.且∠A C B=90°．
(1)求m 的值和抛物线的解析式；
(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线 于另一点E ．若点P 在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与 △AEB 相似，求点P 的坐标．
(3)在(2)的条件下，△BDP 的外接圆半径等于________________．
4.已知：在平面直角坐标系中，抛物线32+-=x ax y （0≠a ）交x 轴于
A 、
B 两点，交y 轴于点
C ，且对称轴为直线2x =-．
（1）求该抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）若点P （0，t ）是y 轴上的一个动点，请进行如下探究： 探究一：如图1，设△PAD 的面积为S ，令W ＝t 2S ，当0＜t ＜4时， W 是否有最大值？如果有，求出W 的最大值和此时t 的值； 如果没有，说明理由；
探究二：如图2，是否存在以P 、A 、D 为顶点的三角形与Rt △AOC 相似？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． （参考资料：抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 对称轴是直线x =2b a
-
）
5.矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图13所示，A C 、两点的坐标分别为(60)A ，，
(03)C -，，直线3
4
y x =-与BC 边相交于D 点．
（1）求点D 的坐标； （2）若抛物线2
94y ax x =-经过点A
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ， 点P 为对称轴上一动点，以P O M 、、为顶点的三角形 与OCD △相似，求符合条件的点P 的坐标．
图2
图1
附加一份测试卷1
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分． 1． 在2-、0、1、3这四个数中比0小的数是（ ）
Ａ．2-
Ｂ．0
Ｃ．1 D ．3
2． 人的大脑每天能记录大约8600万条信息，数据8600用科学计数法表示为（ ）
A ． 40.8610?
B ． 28.610?
C ． 38.610?
D ． 28610?
3． 不等式组1
3x x >-??
的解集为（ ） Ａ．1x >-
Ｂ．3x <
Ｃ．13x -<< D ．无解
4． ⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）
A ． 相交
B ． 相切
C ． 相离
D ． 无法确定 5． 下面的图形中，是中心对称图形的是（ ）
A
． B ． C ． D ．
6． 下列计算中，正确的是（
）
A ．
2
2-=- B ．
． 325a a a ?= D ． 22x x x -=
7． 从n 个苹果和3个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是
1
2
，则n 的值是（ ） A ． 6 B ． 3 C ． 2 D ． 1 8． 函数1
2
y x =
-的自变量x 的取值范围是（ ） A ． 2x = B ． 2x ≠ C ． 2x ≠- D ． 2x > 9． 数据2，7，3，7，5，3，7的众数是（ ）
Ａ．2
Ｂ．3
Ｃ．5 Ｄ．7
10． 将如图1所示的Rt △ABC 绕直角边BC 旋转一周，所得几何体的左视图是（ ）
11．已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（）
． C
． D ．
12．
如图2所示，已知等边三角形ABC的边长为1
，按图中所示的规律，用2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（）
Ａ．2008
Ｂ．2009
Ｃ．2010Ｄ．2011
二、填空题：本大题共6小题，每小题
4分，共24分．
13．湛江市某天的最高气温是27℃，最低气温是17℃，那么当天的温差是℃．14．分解因式：2
22
a ab
-=．
15．圆柱的底面周长为2π，高为3，则圆柱侧面展开图的面积是．
16．如图3所示，请写出能判定CE∥AB的一个条件．
17．图4
若宇宙中有一块陨石落在地球上，则它落在海洋中的概率是．
18．将正整数按如图5所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是．
三、解答题：本大题共5小题，每小题7分，共35分．
19．计算：(1
-)2008－(π－3)0＋4．
A B
E
图2
A
B
┅┅
20． 某足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队踢14场球负5场共得19分，问这个队胜了几场？
21． 有五张除字不同其余都相同的卡片分别放在甲、乙两盒子中，已知甲盒子有三张，分别写有“北”、“京”、“奥”字样，乙盒子有两张，分别写有“运”、“会”字样，若依次从甲乙两盒子中各取一张卡片，求能拼成“奥运”两字的概率．
22． 如图6所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40?，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高． (精确到0.1米) （供选用的数据：sin400.64≈ ，cos400.77≈ ，tan40
≈
23． 如图7所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，AC 与BD 相交于点O ．请在图中找出一对全等的三角形，并加以证明．
四、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分．
24． 为了了解某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩，从中抽取了部分学生的竞赛成
绩（均为整数），整理后绘制成如下的频数分布直方图(如图8)，请结合图形解答下列问题．
(1) 指出这个问题中的总体．
(2) 求竞赛成绩在79.5～89.5这一小组的频率．
(3) 如果竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学可获得奖励，请估计全校约有多少人获得奖励．
25． 如图9所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ．
（1）求证：∠ACO =∠BCD ．
（2）若E B =8cm ，CD =24cm ，求⊙O 的直径．
26． 某农户种植一种经济作物，总用水量y （米3
）与种植时间x （天）之间的函数关系式如图10所示．
（1）第20天的总用水量为多少米3
？ （2）当x
≥20时，求y 与x 之间的函数关系式．
（3）种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3
？
27． 如图11所示，已知抛物线2
1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．
（1）求A 、B 、C 三点的坐标．
（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积． （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥
x 轴
于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．
若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．
图10
天)
测试卷二
一、选择题：本大题10个小题，其中1~5每小题3分，6~10每小题4分，共35分． 1．下列四个数中，在1-和2之间的数是（ ） A ．0 B ．2- C ．3- D ．3 2．下列各式中，与2(1)x -相等的是（ ） A ．21x -
B ．221x x -+
C ．221x x --
D ．2x
3．湛江是个美丽的海滨城市，三面环海，海岸线长达1556000米，数据1556000用科学记
数法表示为（ ） A ．71.55610? B ．80.155610? C ．515.5610?
D ．61.55610?
4．在右图的几何体中，它的左视图是（ ）
5．沃尔玛商场为了了解本商场的服务质量，随机调查了本商场的100名顾客，调查的结果如图所示，根据图中给出的信息，这100名顾客中对该商场的服务质量表示不满意的有（ ）
A ．6人
B ．11人
C ．39人
D ．44人
6．如图，在等边ABC △中，D E 、分别是AB AC 、的中点，3DE =，则ABC △的周长是（ ）
A ．6
B ．9
C ．18
D ．24
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB 的顶点O 在原点，点C 的坐标为(40)，，点B 的纵坐标是1-，则顶点A 的坐标是（ ） A ．(21)-， B ．(12)-， C ．(12)， D ．
8．根据右图所示程序计算函数值，
第4题图
A ．
B ．
C ．
D ．
A 44%
B 39%
C 11%
D A :很满意 B :满意 C :说不清 D :不满意 第5题图 A B C D
E 第6题图 第7题图
若输入的x 的值为
5
2
，则输出的 函数值为（ ）
A ．
32
B ．2
5 C ．425 D ．25
4
9．下列说法中：
①4的算术平方根是±2;
③点(23)P -，关于原点对称的点的坐标是(23)--，； ④抛物线21
(3)12
y x =-
-+的顶点坐标是(31)，． 其中正确的是（ ） A ．①②④ B ．①③ C ．②④ D ．②③④
10．如图，小林从P 点向西直走12米后，向左转，
转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共
走了108米回到点P ，则α（ ）
A ．30°
B ．40°
C ．80°
D ．不存在
二、填空题：本大题共10个小题，其中11~15每小题3分，16~20每小题4分，共35分． 11．2-的相反数是 ．
12．要使分式1
3
x -有意义，则x 的取值范围是 ． 13．如图，已知155AB CD ∠=∥，°，则2∠= ．
14．分解因式：22
m n -= ．
15．已知在一个样本中，40个数据分别落在4个组内，第一、二、四组数据个数分别为5、12、8，则第三组的频数为 ．
16．如图，AB 是O ⊙的直径，C D E 、、是O ⊙上的点，则12∠+∠= °．
17．一件衬衣标价是132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衬衣的进价是 18．如图，12O O ⊙、⊙的直径分别为2cm 和4cm ，现将1O ⊙向2O ⊙平移，当12OO = cm
时，1O ⊙与2O ⊙相切．
19．已知22223322333388+
=?+=?，，244441515+=?，……，若288a a
b b
+=?（a 、b 为正整数）则a b += ．
P α α 第10题图 C
A B
C
D
1 2 第13题图
20．如图，在梯形ABCD 中，90511AB CD A B CD AB ∠+∠===∥，°，，，点M N
、分别为AB CD 、的中点，则线段MN = ． 三、解答题：本大题共2小题，每小题8分，共16分.
21．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右直爬2个单位到达点B ，点A
表示，设点B 所
表示的数为m ． （1）求m 的值； （2）求01(6)m m -++的值．
22．如图，点O A B 、、的坐标分别为(00)(30)(32)-，、，、，，将O
A B △绕点O 按逆时针方向旋转90°得到OA B ''△．
（1）画出旋转后的OA B ''△，并求点B '的坐标；
（2）求在旋转过程中，点A 所经过的路径 AA '的长度．（结果保留π）
四、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分.
23．某语文老师为了了解中考普通话考试的成绩情况，从所任教的九年级（1）、（2）两班各随机抽取了10名学生的得分，如图所示：
第21题图
第22题图
（
（2）若把16分以上（含16分）记为“优秀”，两班各有60名学生，请估计两班各有多少名学生成绩优秀．
24．如图，某军港有一雷达站P ，军舰M 停泊在雷达站P 的南偏东60°方向36海里处，另一艘军舰N 位于军舰M 的正西方向，与雷达站P 相距
（1）军舰N 在雷达站P 的什么方向？
（2）两军舰M N 、的距离．（结果保留根号）
25．六张大小、质地均相同的卡片上分别标有1、2、3、4、5、6，现将标有数字的一面朝下扣在桌面上，从中随机抽取一张（放回洗匀），再随机抽取第二张．
（1）用列表法或树状图表示出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能结果；
（2）记前后两次抽得的数字分别为m 、n ，若把m 、n 分别作为点A 的横坐标和纵坐标，求点()A m n ，在函数12
y x
=
的图象上的概率．
26．如图，AB 是O
⊙的切线，切点为B AO ，交O ⊙于点C ，过点C 作DC OA ⊥，交AB 于
点D ．
（1）求证：CDO BDO ∠=∠；
（2）若30A O ∠=°，⊙的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留π）
第24题图
北
五、解答题：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
27．某公司为了开发新产品，用A 、B 两种原料各360千克、290千克，试制甲、乙两种 新型产品共50件，下表是试验每件
新产品所需原料的相关数据：
（1
）设生产甲种产品件，根据题意列出不等式组，求出的取值范围；
（2）若甲种产品每件成本为70元，乙种产品每件成本为90元，设两种产品的成本总额为
y 元，写出成本总额y （元）与甲种产品件数x （件）之间的函数关系式；当甲、乙两种产品各生产多少件时，产品的成本总额最少？并求出最少的成本总额．
28．已知矩形纸片OABC 的长为4，宽为3，以长OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建
立平面直角坐标系；点P 是OA 边上的动点（与点O A 、不重合），现将POC △沿PC 翻折得到PEC △，再在AB 边上选取适当的点D ，将PAD △沿PD 翻折，得到PFD △，使得直线PE PF 、重合．
（1）若点E 落在BC 边上，如图①，求点P C D 、、的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；
（2）若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP x AD y ==，，当x 为何值时，y 取得最大值？
（3）在（1）的情况下，过点P C D 、、三点的抛物线上是否存在点Q ，使PDQ △是以PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标
图①
图②
第28题图
测试卷3
一、选择题（本大题共15小题，每题3分，共45分）
1．－2的绝对值是（ ）
A ．－2
B ．2
C ．－ 1 2
D ． 1
2
2．地震无情人有请，情系玉树献爱心．截止4月23日，湛江市慈善会已收到社会各界捐款
和物资共计超过4770000元，数据4770000用科学记数法表示为（ ）
A ．4.773104
B ．4.773105
C ．4.773106
D ．4.773107
3．下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A ．
2
1
B ．4
C ．3
D ．8 4．下列几何体的主视图、左视图和俯视图都是．．
矩形的是（ ）
5．函数1-=
x y 的自变量x 的取值范围是（ ）
A ．x ≥1
B ．x ≥－1
C ．x ≤－1
D ．x ≤1 6．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A ．1，2，3
B ．2，3，4
C ．3，4，5
D ．4，5，6 7．已知∠1＝35o，则∠1的余角的度数是（ ）
A ．55o
B ．65o
C ．135o
D ．145o 8．下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
9．下列计算正确的是（ ）
A ．x 3＋x 3＝x 6
B ．x 6÷x 2＝x 3
C ．3a ＋5b ＝8ab
D ．(ab 2)3＝a 3b 6
10．已知两圆的半径分别为3cm 和4cm ，圆心距为8cm ，则这两圆的位置关系是（ ）
A ．内切
B ．相交
C ．外离
D ．外切
11．如图，已知圆心角∠BOC ＝100o，则圆周角∠BAC 的大小是（ ）
A ．50o
B ．100o
C ．130o
D ．200o 12．下列成语中描述的事件必然发生的是（ ）
A ．水中捞月
B ．瓮中捉鳖
C ．守株待兔
D ．拔苗助长
13．小亮的父亲想购买同一种大小一样、形状相同的地板砖铺设地面，小亮根据所学知识告
诉父亲，为了能够做到无缝隙、不重叠地铺设，购买的地板砖形状不能是（ ） A ．正三角形 B ．正方形 C ．正五边形 D ．正六边形 14
（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
15．观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，……．通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是（）
A．3 B．9 C．7 D．1
二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）
16．计算：(2010－π)0－1＝．
17．点P(1，2)关于x轴的对称点P1的坐标为．
18．一个高为15cm的圆柱笔筒，底面圆的半径为5cm，那么它的侧面积为 cm2(结果保留π)．
19．学校组织一次有关世博的知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都倒扣1分．小明最终得76分，那么他答对题．
20．因为cos30o＝
3
2
，cos210o＝－
3
2
，所以cos210o＝cos(180o＋30o)＝－cos30o＝－
3
2
；
因为cos45o＝
2
2
，cos225o＝－
2
2
，所以cos225o＝cos(180o＋45o)＝－cos45o＝－
2
2
．
猜想：一般地，当α为锐角时，有cos(180o＋α)＝－cosα．由此可知cos240o＝．三、解答题（本大题共8小题，共85分）
21．(8分)已知P＝a2＋b2
a2－b2
，Q＝
2ab
a2－b2
．用“＋”或“－”连接P、Q，总共有三种方式：P
＋Q、P－Q、Q－P，请选择其中一种进行化简求值，其中a＝3，b＝2．
22．(8分)如图，小明在公园放风筝，拿风筝线的手B离地面高度AB为1.5m，风筝飞到C 处时的线长BC为30m，这时测得∠CBD＝60o．求此时风筝离地面的高度（精确到0.1m，3≈1.73）．
23．(10分)端午节吃粽子时中华民族的传统习惯．五月初五早晨，小丽的妈妈用不透明装着一些粽子（粽子除内部馅料不同外，其他一切相同），其中香肠馅粽子两个，还有一
些绿豆馅粽子，现小丽从中任意拿出一个是香肠馅粽子的概率为1
2
．
(1)求袋子中绿豆馅粽子的个数；
(2)小丽第一次任意拿出一个粽子(不放回)，第二次再拿出一个粽子，请你用树形图或
列表法，求小丽两次拿到的都是
．．绿豆馅粽子的概率．
C B
A O
P D
A B C
D E
F
24．(10分)如图，在□ABCD 中，点E 、F 是对角线BD 上的两点，且BE ＝DF ．
求证：(1)△ABE ≌△CDF ；(2)AE ∥CF ．
25．(12分)2010年湛江市某校为了了解400名学生体育加试成绩，从中抽取了部分学生的
成绩(满分为40分，而且成绩均为整数)，绘制了频数分布表与频数分布直方图(如图)，请结合图表信息解答下列问题：
(1)补全频数分布表与频数分布直方图；
(2)如果成绩在31分以上(含31分)的同学属于优良请你估计全校约有多少人达到优良水平；
(3)加试结束后，校长说：“2008年，初一测试时，优良人数只有90人，经过两年的努力，才有今天的成绩……．”假设每年优良人数增长速度一样，请你求出每年的平均增长率(结果精确到1%)．
26．(12分)如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点P ，PD ⊥AC 于点D ，且PD 与⊙
O 相切． (1)求证：AB ＝AC ；(2)若BC ＝6，AB ＝4，求CD 的值．
27．(12分)病人按规定的剂量服用某药物，测得服药后2小时，每毫升血液中含药量达到
最大值为4毫克．已知服药后，2)成正比例；2小时后y 与x 成反比例(如图所示)(1)求当0≤x ≤2时，y 与x 的函数关系式；
(2)求当x ＞2时，y 与x 的函数关系式；
(3)如果每毫升血液中含药量不低于2毫克时治疗有效， 则那么服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
28．(13分)如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标为(－3，－4)，线段OB 绕原点逆时针
旋转后与x 轴的正半轴重合，点B 的对应点为点A ．
(1)直接写出点A 的坐标，并求出经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点C ，使BC ＋OC 的值最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P 是抛物线上的一个动点，且在x 轴的上方，当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？求出此时点P 的坐标和△PAB 的最大面积．
相似三角形基本类型一、“X”型. B C B C 二、“子母”，“A型”，“斜A ”. B B B 三、“K”型 C C C B D
四、共享型 B E B E B 一、圆中相似三角形的判定 例1、如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是△ABC 的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连接BE ，△ABE 与△ADC 相似吗？请证明你的结论． 例2、如图, △ABC 内接于⊙O,∠BAC 的平分线分别交⊙O,BC 于点D,E,连结BD.请找出图中各对相似三角形,并给出证明. 变式： 1.（滨州）如图，直线PM 切⊙O 于点M ，直线PO 交⊙O 于A ，B 点，弦AC ∥PM ，连接OM 、BC. 求证：（1）△ABC ∽△POM ；（2）2OA 2=OP ?BC ． B P D C
2.（日照）如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 与E ，交BC 与D ．求证： （1）D 是BC 的中点； （2）△BE C ∽△ADC ； （3）BC 2=2AB ·CE 二、利用圆中相似三角形证明圆中的比例线段 例3、如图，在圆内接四边形ABCD 中，CD 为∠BCA 的外角的平分线，F 为错误！未找到引用源。上一点，BC=AF ，延长DF 与BA 的延长线交于E ． （1）求证：△ABD 为等腰三角形． （2）求证：AC?AF=DF?FE ． 变式：如图，BD 为⊙O 的直径，AB =AC ,AD 交B C 于点E ,AE =2，ED =4, (1)求证:△ABE ∽△ADB ; (2)求AB 的长； (3)延长DB 到F ,使得BF =BO ,连接FA ,试判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由. 三、利用圆中相似进行计算 例4、如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的 延长线交于点P ，AC=PC ，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）求证： AB =2BC ； （3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB=4，求MN ·MC 的值. 变式1：如图，已知R t △ABC ，∠ABC ＝90°，以直角边AB 为直径作O ，交斜边AC 于点D ，
图形的相似 1．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN 等于（） A．B．C．D． 2．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（） A．点P B．点O C．点M D．点N 3．已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54 4．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！） 5．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q． （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；
（2）求BP：PQ：QR． 6．计算：|3﹣|+（）0+（cos230°）2﹣4sin60°． 7．计算：﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣． 8．计算：|﹣|﹣+（π﹣4）0﹣sin30°． 9．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.1米，≈） 10．在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，已知测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈，≈．） 12．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．
【一】知识梳理 【1】比例 ①定义：四个量a,b,c,d中，其中两个量的比等于另两个量的比，那么这四个量成比例 ②形式：a:b=c:d， ③ 性质：基本性质： d c b a = ac=bd 4，比例中项： b c c a =ab c= 2 【2】黄金分割 定义：如图点C是AB上一点，若BC AB AC? = 2，则点C是AB的黄金分割点，一条线段的黄金分割点有两个 AC AC BC AB AB BC AB AB AC 618 .0 2 1 5 382 .0 2 5 3 618 .0 2 1 5 ≈ - = ≈ - = ≈ - = 注意：如图△ABC，∠A=36°，AB=AC，这是一个黄金三角 形， 【3】平行线推比例 AB AB BC618 .0 2 1 5 ≈ - = d c b a = 注：比例式有顺序性的，比例线段没有负的，比例数有正有负 1、可以把比例式与等积式互化。 2、可以验证四个量是否成比例 上比全=上比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右 全比上=全比上，全比下=全比下下比上=下比上
【4】相似三角形 1、相似三角形的判定 ①AA 相似：∵∠A=∠D, ∠B=∠E ∴△ABC ∽△DEF ②‘S A S ’ E B EF BC DE AB ∠=∠=,Θ ∴△ABC ∽△DEF ③‘S S S ’EF BC DF AC DE AB = Θ ∴△ABC ∽△DEF ④平行相似： ∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC 2、相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等，对应边成比例 ②相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比 ③相似三角形的面积比等于相似比的平方 3、相似三角形的常见图形 ‘A 型图’ ‘ X 型图’ ‘K 型图’ ‘母子图’ ‘一般母子图’ AC 2 =AD ?AB 母子图中的射影定理
《相似图形》水平测试二 一、试试你的身手（每小题3分，共30分） 1在比例尺为1 : 50 0000的福建省地图上，量得省会福州到漳州的距离约为46厘米，则福州到漳州实际距离约为__________ 千米. 2.若线段a , b , c , d成比例，其中a 5cm, b 7cm, c 4cm，则d _________________ 3.已知4x 5y 0,则(x y): (x y)的值为 9： 25,其中一个三角形的周长为36cm,则另一个三角形的周 长是 （如图1），如果把各边中点连线所围成三角形铺成黑色大理石, 其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比为 4?两个相似三角形面积比是 5.把一个矩形的各边都扩大4倍，则对角线扩大到________ 倍，其面积扩大到 _______ 倍. 6?厨房角柜的台面是三角形 7?顶角为36。的等腰三角形称为黄金三角形，如图 黄金三角形，已知AB 1,贝U DE的长_________ 2, △ ABC, △ BDC , △ DEC 都是&在同一时刻，高为 1.5m的标杆的影长为2.5m，一古塔在地面上影长为50m，那么古塔的高为_________ . 9?如图3, △ ABC 中，DE // BC , AD 2 , AE 3, BD 4，贝U AC (: 10.如图4，在△ ABC和厶EBD中 EB 之差为10cm，则△ ABC的周长是_________ 二、相信你的选择（每小题3分，共30分） 1 .在下列说法中，正确的是（） A .两个钝角三角形一定相似 B. 两个等腰三角形一定相似 C. 两个直角三角形一定相似 D .两个等边三角形一定相似 BD ED 3 2.如图5,在厶ABC中，D , E分别是AB、AC边上的点，DE // BC , / ADE 30°, Z C 120°，则/ A ( )
人教版九年级数学下册相似三角形同步练习新人教版 专题一相似形中的开放题 1．如图，在正方形网 2．格中，点A﹨B﹨C﹨D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A﹨D﹨E为顶点的三角形与△ABC相似． 1．已知：如图，△ABC中，点D﹨E分别在边AB﹨AC上.连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC﹨BE，∠BDE+∠BCE=180°. (1)写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）； (2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似 的理由. 专题二相似形中的实际应用题 3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.
专题三相似形中的探究规律题 4．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 cm，AB＝50 cm，依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1﹨a2﹨a2…若使裁得 的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( ) A．24 B．25 C．26 D．27 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3． （1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长； （2）如图②，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长； （3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长； （4）如图④，n个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长． 专题四相似形中的阅读理解题 6．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义﹨判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去，例如，可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方…，请你协助他们探索下列问题： (1)写出判定扇形相似的一种方法：若，则两个扇形相似； (2)有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a，弧长为m，另一个半径为2a，则它的 弧长为；
第一节：相似形与相似三角形 基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB = ====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=bc 。如果ad=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么d c b a =。 ②合比性质：如果d c b a =，那么d d c b b a ±=±。 ③等比性质：如果d c b a ==???=n m (b+d+???+n ≠0)，那么 b a n d b m c a =+???+++???++ ④b 是线段a 、d 的比例中项，则b 2＝ad.
27.1 图形的相似 一．选择题： 1、下列各组数中，成比例的是（ ） A ．－7，－5，14，5 B ．－6，－8，3，4 C ．3，5，9，12 D ．2，3，6，12 2、如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y ＝( ) A. B. C. D. 3、如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ） A 、21 B 、31 C 、32 D 、4 1 4、下列说法中，错误的是（ ） （A ）两个全等三角形一定是相似形 （B ）两个等腰三角形一定相似 （C ）两个等边三角形一定相似 （D ）两个等腰直角三角形一定相似 5、如图，RtΔABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 边上一点，AB ＝5，AC ＝4，若ΔABC ∽ΔBDC ， 则CD ＝ ． A ．2 B ．32 C ．43 D ．9 4 二、填空题 6、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝ ． 7、如图，要使ΔABC ∽ΔACD ，需补充的条件是 ．（只要写出一种） 8、如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE ，他量得AD ＝2m ，BD ＝3m ，CE ＝9m ，则河宽DE 为 （第5题） （第7题） 2 3833258
9、一公园占地面积约为8000002m ，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为 2m ． 10、如图，点P 是RtΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点P 作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC 相似，这样的直线可以作 条． 三、解答题 11、如图18—95，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ．求梯子的长．(8分) 12、如图，已知AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AO ＝78cm ，BO ＝42cm ，CD ＝159cm ，求CO 和DO ．(8分) （第10题）
2018中考数学专题相似形 （共40题） 1．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点． （1）求证：BD=CE； （2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长； 2．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F． （1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE； （2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC； ②AG2=AF?AC． 3．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若AD=3，AB=5，求的值．
4．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF ⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G． （1）求证：BG=DE； （2）若点G为CD的中点，求的值． 5．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF； （2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF 于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论． 6．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD． （1）证明：∠BDC=∠PDC； （2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
27.2相似三角形（2） 教学内容 本节课主要学习27.2探究1和探究2。 教学目标 知识技能 初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法． 数学思考 经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性． 解决问题 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力． 情感态度 在探索活动，培养学生用科学的态度去探求未知世界的理念，激发学生学习数学的热情． 重难点、关键 重点：掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似 难点： 探究两个三角形相似判定方法的过程 关键：会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程 一、 复习引入 1．复习提问： (1) 两个三角形全等有哪些判定方法？ (2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ (3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？ (4) 如图，如果要判定△ABC 与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？ 2．由三角形全等的SSS 判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？ 【活动方略】 教师出示图片，提出问题；学生思考，小组讨论，回答问题． 【设计意图】 从回顾判定两三角形相似的引理及复习两个三角形全等条件来以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。 二、 探索新知 探究1
人教版九年级下册数学 专题类型四多次相似的问题练习题难点突破专题1 两次相似或连环相似 【方法技巧】第一次相似为第二次相似创造条件． 难点突破一相交线型基本图形探究 1. 如图, ∠BEC＝∠BDC＝90°, BD交CE于点O, 若OE＝1，BE＝22, 求DE BC 的值. 答案：Rt△BEO∽Rt△CDO, ∴OE OB OD OC =, 即 OE OD OB OC =, 又∵∠DOE＝∠BOC, ∴△EOD∽△BOC, 易求OB＝3, ∴ 1 3 DE OE BC OB == 2. 如图，BD，CE是△ABC的高，求证: △ADE∽△ABC. 答案：易证△ADB∽△AEC,∴AD AB AE AC =, ∴ AD AE AB AC =, 又∵∠A＝∠A, ∴△ADE∽△ABC. 难点突破二子母型基本图形探究 3. 如图, △ABC中, ∠BAC＝90°, D为AC的中点, AE⊥BD于E, 求证: ∠CBD＝∠ECD. 答案：∵△ADE∽△BDA, ∴AD2＝DE?DB,∴CD2＝DE?DB，∴CD DB DE CD =, 又∵∠CDE＝∠BDC，∴△CDE∽△BDC, ∴ ∠CBD＝∠ECD. 难点突破三旋转型基本图形探究 4. 如图, △ABC和△ADE中, ∠BAD＝∠CAE, ∠ABC＝∠ADE，求证：△ABD∽△ACE 答案：易证△ABC∽△ADE, ∴AB AC AD AE =, ∴ AB AD AC AE =, ∴∠BAD＝∠CAF, ∴△ABD∽△ACE. C D E A E D O A E D B C B A E
难点突破专题2 旋转型相似 【方法技巧】注意图形变换中不变的线段与角度，结合构造相似解题． 难点突破 边角关系→第一次相似→转换比→第二次相似 1．证△ACD ∽△BCE ，∴3AD AC BE BC == ，易求AB ＝6，∴BE ＝22AB AE +＝10，∴AD ＝103 ． 2．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，AB ＝72，BC ＝17，以AC 为斜边在△ABC 外作等腰直角三角形ACD ，连接BD ，求BD 的长． D C A E D C A 解：过B 作EB ⊥AB ，且EB ＝AB ，∴ 2AE AC AB AD == ，又∠EAC ＝∠BAD ，∴△EAC ∽△BAD ，∴EC ＝2BD ，过E 作EF ⊥BC 于F ，∴EF ＝BF ＝22BE ＝7，CF ＝24，∴CE ＝25，∴BD ＝25 22 ． 解：如图，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠ABC ＝∠CED ＝30°，AC ＝3，AE ＝8，求AD 的长． B C A E D B C A E D 3．如图，AC ＝CD ，AE ＝BE ，∠ACD ＝∠AEB ＝90°，BD ，CE 交于点F ． （1）求CE BD 的值． （2）求∠EFD 的度数． F C E A D B 解：（1）证△ABD ∽△AEC ，∴ 2 CE AE BD AB == ； （2）证∠AEC ＝∠ABD ，∴∠EFB ＝∠BAE ＝45°，∴∠EFD ＝135°． 4．如图，△ABC 和△DCE 中，CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，M 、N 分别为AB 、DE 的中点，求 MN BE 的值． N E D C B N E D C B 解：连CM 、CN ，证2 2 CM CN CB CE == ，又∠MCN ＝∠BCE ，∴△MCN ∽△BCE ， ∴22 MN MC BE BC ==．
2019 年中考数学真题分类训练—专题14：图形的相似 一、选 择 题 1．（2019 邵阳）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的 2 倍得到△A′B′C′，以下说法中 错误的是 A．△ABC∽△A′B′C′ B．点C、点O、点C′三点在同一直线上 C．AO∶AA′=1∶ 2 D．AB∥A′B′ 【答案】 C 2．（2019 温州）如图，在矩形ABCD中，E 为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在 边BE上取点M使BM=BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释 了（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段D H于点P，连结EP，记△EPH的面 S 1 积 为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则 S 2 的值为 A． 2 2 B． 2 3
C． 2 4 D． 2 6 【答案】 C 3．（2019 淄博）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，D为BC边上的一点，且∠CAD=∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为 A．2a B．5 2 a C．3a D．7 2 a 【答案】 C 4．（2019 杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C 重合），连接AM交DE于点N，则 A．A D AN AN AE B． BD MN MN CE C．DN NE BM MC D． D N NE MC BM 【答案】 C 5．（2019 玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有
第4章《相似三角形》中考题集： 4.2 相似三角形 选择题 1．（2006?北京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=1，AB=，BC=2，P 是BC边上的一个动点（点P与点B不重合），DE⊥AP于点E．设AP=x，DE=y．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（） A．B．C．D． 2．（2005?连云港）如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（） A．都扩大为原来的5倍B．都扩大为原来的10倍 C．都扩大为原来 的25倍 D．都与原来相等 3．（2010?烟台）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（） A．A B2=BC?BD B．A B2=AC?BD C．A B?AD=BD?BC D．A B?AD=AD?C D 4．（2010?铜仁地区）如图，小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积．然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积．用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是（）
A．B．C．D． 5．（2010?桂林）如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与△ABC的面积比为（） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 6．（2010?百色）下列命题中，是假命题的是（） A．全等三角形的 对应边相等 B．两角和一边分 别对应相等的 两个三角形全 等 C．对应角相等的 两个三角形全 等 D．相似三角形的 面积比等于相 似比的平方 7．（2009?芜湖）下列命题中不成立的是（） A．矩形的对角线 相等 B．三边对应相等 的两个三角形 全等 C．两个相似三角 形面积的比等 于其相似比的 平方
第27章《相似》专题（四） －－－－母子直角三角形与求比的综合 1．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝0 90，AC＝BC，D为BC边上一动点，BD＝nCD，CE⊥AD于点F，交AB于点E. (1) 当n＝1，则DF CF ＝________， BD AF ＝________； (2) 如图2，若n＝2，求BE AE 的值； (3) 当n＝___________时， 2 5 BE AE =． 2如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为AB上一动点，连接DB、DP，AE⊥DP于E，并延长交BD于F． (1) 如图①，若P为AB的中点，则BF DF ＝________； BF AC ＝_________； (2) 如图②，若 1 2 AP BP =时，求证：AC＝4BF； (3) 如图③，若P在BA的延长线上，当BF AC ＝__________， 1 3 AP BP =
3．如图1，在正方形ABCD中，E是边BC上一动点，BC＝nBE，DO⊥AE于点O，CO的延长E线交AB于点F (1) 当n＝2时，DO＝______AD；OE＝_______AO； (2) 如图2，当n＝3时，求证： 11 18 AFCD ABCD S S 四边形 四边形 ； (3) 当n___________时，F是AB的5等分点． 4．如图1，已知正方形ABCD，F为DC边上一动点，DC＝nDF，AE⊥AF交CB的延长线于E，连接EF交AB于G． (1) 若n＝2，则AG BG ＝__________，AGF EGB S S △ △ ＝__________； (2) 如图2，若n＝3，求证AC＝5GB； (3) 当n＝__________时，AG＝6GB．（直接写结果，不要求证明）
中考数学图形的相似专题卷（附答案） 一、选择题 1.如图，在ABC ?中，BC DE //，AD=6，DB=3，AE=4,则EC 的长为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2.若2a=3b ，则=（ ） A ． B ． C ． D ． 3.如图，菱形纸片ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，折叠纸片使点A 与点O 重合，折痕为EF ，若AB=5，BD=8，则△OEF 的面积为（ ） A ．12 B ．6 C ．3 D ．23 4.下列多边形一定相似的为（ ） A ．两个三角形 B ．两个四边形 C ．两个正方形 D ．两个平行四边形 5.现给出四个命题：①等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形；②相似三角形的面积比等于它们的相似比；③菱形的面积等于两条对角线的积；④一组数据2，5，4，3，3的中位数是4，众数是3，其中不正确的命题的个数是（ ） A ．1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个 6.如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别是PB 、PC （靠近点P ）的三等分点，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别为S 1、S 2、S 3，若AD=2，AB=23，∠A=60°，则S 1+S 2+S 3的值为（ ） 7题图 A ．310 B ．29 C ．313 D ．4 7.如图，若DC ∥FE ∥AB ，则有（ ）． A ． OD OC OF OE = B ．OF OB OE OA = C ．OA OD OC OB = D ．CD OD EF OE = 8.已知△ABC 的面积是1，1A 、1B 、1C 分别是△ABC 三边上的中点，△111A B C 的面积记为
专题：相似三角形的几种基本模型 （1）如图：DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC 称为“平截型”的相似三角形. “A ”字型 “X ”（或8）字型 “A ” 字型 （2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜截型”的相似三角形. A B C D E 1 2A A B B C C D D E E 124 1 2 （3） “母子” （双垂直）型 射影定理： 由_____________ ，得____________ __，即______________ _； 由_____________ ，得____________ __，即______________ _； 由_____________ ，得____________ __，即______________ _。 “母子” （双垂直）型 “旋转型” （4）如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形. （5）一线“三等角”型 “K ” 字（三垂直）型 （6）“半角”型 图1 ：△ABC 是等腰直角三角形，∠MAN= 1 2∠BAC ，结论：△ABN ∽△MAN ∽△MCA ； 1 A E B C B E A C D 1 2B D 图2 图1 旋转 N M 60° 120° B A 45° D C B A
应用 1．如图3，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝8，BC ＝6，DE ＝3，则AD 的长为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，那么在下列三角形中，与△ABC 相似的三角形是 ( ) A ．△DBE B ．△AED 和△BDC C ．△ABD D ．不存在 图3 图4 图5 3．如图5, □ABCD 中, G 是AB 延长线上一点, DG 交AC 于E, 交BC 于F, 则图中所有相似三角形有( )对。 A.4 对 B. 5对 C.6对 D. 7对 4．如图6，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，在下列条件下：①∠AED ＝∠B ；②AD ∶AC ＝AE ∶AB ；③DE ∶BC ＝AD ∶AC .能判定△ADE 与△ACB 相似的是 ( )A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．① 5．如图7，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论：①BC ＝2DE ；②△ADE ∽△ABC ； ③ AD AE ＝AB AC .其中正确的有 ( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 6．如图8，添加一个条件：_____________________________，使得△ADE ∽△ACB .(写出一个即可) 7．如图9，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B =∠C =90°，点E 在BC 边上，AB =3，CD =2，BC =7．若△ABE 与△ECD 相似，则CE =___________． 图6 图7 图8 图9 8．如图10，已知∠C ＝∠E ，则不一定能使△ABC ∽△ADE 的条件是 ( ) A ．∠BAD ＝∠CAE B ．∠B ＝∠D C.B C DE ＝AC AE D.AB A D ＝AC AE 9．如图11，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝1 4CD ，下列结论：①∠BAE ＝30°， ②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ， ④△ADF ∽△ECF .其中正确的个数为 个。 图10 图11 A B C D E
图形的相似与位似 1．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为_______ 2．已知 与 相似且面积比为4∶25，则 与 的相似比为 ． 3.如图，在△ABC中，EF∥BC， = ，S四边形BCFE=8，则S△ABC= 4．如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。 若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为______________。 5．如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，
CD=2DE.若△DEF的面积为a，则□ABCD中的面积为 . 6．如图，在平行四边形ABCD中，AD=10厘米，CD=6厘米， E为AD上一点，且BE=BC,CE=CD，则DE= 厘米. 7.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若 AB=2，BC=3， 则△FC与△DG的面积之比为 y x A O C B D E F 8．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心， 相似比为1∶，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（ ）．9．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、 E、B、D、F，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝10．（2012陕西18，6分）如图，在中，的平分线分别与 、交于点、．（1）求证：；
（2）当时，求的值． 11．（2012，黔东南州，21）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB 上，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D。（1）求证： △ABC∽△BDC。（2）若AC=8，BC=6，求△BDC的面积。 12．（2012湖北黄冈，25，14）如图，已知抛物线的方程C1:y=-(x+2) (x-m)(m>0)与x 轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左
中考数学专题复习相似图形 【基础知识回顾】 一、成比例线段： 1、线段的比：如果选用同一长度的两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m、n则这两条线 段的比就是它们的比，即：AB CD= 2、比例线段：四条线段a、b、c、d如果a b=那么四条线段叫做同比例线段，简称 3、比例的基本性质：a b= c d<＝> 4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线 【提醒：表示两条线段的比时，必须使示用相同的，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的单位无关即比值没有单位。】 二、相似三角形： 1、定义：如果两个三角形的各角对应各边对应那么这两个三角形相似 2、性质：⑴相似三角形的对应角对应边 ⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应的比都等于 ⑶相似三角形周长的比等于面积的比等于 1、判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三 角形相似 ⑵两边对应且夹角的两三角形相似 ⑶两角的两三角形相似 ⑷三组对应边的比的两三角形相似 【名师提醒：1、全等是相似比为的特殊相似 2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等，一般要先证判定方法中最常用的是三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】 三、相似多边形： 1、定义：各角对应各边对应的两个多边形叫做相似多边形 2、性质：⑴相似多边形对应角对应边 ⑵相似多边形周长的比等于面积的比等于 【名师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】 一、位似： 1、定义：如果两个图形不仅是而且每组对应点所在直线都经过那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做这时相似比又称为 2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于 【名师提醒：1、位似图形一定是图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或
图形的相似专题复习卷（基础版） 一．相似的图形 1、 相同， 不一定相同的图形叫相似图形。 2、下列各种图形相似的是（ ） A 、（1）、（3） B 、（3）、（4） C 、（1）、（2） D 、（1）、（4） 3、下列说法正确的是（ ） A 、所有的等腰梯形都相似 B 、所有的平行四边形都相似 C 、有一个角是300的等腰三角形相似 D 、所有的等边三角形都相似 4、⑴用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形； ⑵用彩笔在黑板上写上三个大字1、2、3，它们是相似图形； ⑶用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形； 以上说法你认为哪些是正确的，哪些是错误的？ 9、把下列各题图中左边的图形，加以放大1倍后画出与它们相似的图形 . （1） （2） 二．相似图形的性质 （1）成比例线段。 1．若ab=cd ，则有a ∶d= ；若m ∶x=n ∶y, 则x ∶y= . 2． 若a, x, b, y 是比例线段，则比例式为 ；若a=1，x=-2, b=-2.5, 则y= . 3．判断下列线段是否成比例，若成，请写出比例式. ①a=3m, b=5m, c=4.5cm, d=7.5cm ②a=7cm,b=4cm, c=d=27cm ③a=1.1cm, b=2.2cm, c=3.3cm, d=5.5cm 4.若x ∶（x+1）=7∶9，则x= ；若b b a +=38，则b a = .；若5a=3b ，则b a = ，b a b a +-3= 。 5.已知A, B 两地实距5Km ，图距2cm ，则比例尺是 ；若在此地图册上量得 A,C 两地间距离是16cm ，则A,C 两地间实际距离是 . 6．已知b a =43，c b =53，则a ∶b ∶c 等于（ ） A. 3∶4∶5 B.4∶3∶5 C.9∶12∶20 D. 9∶15∶20 7． 如图，两个五边形是相似形，则=a ，=c ，α= ，β= . (1)(2)(3)(4)╮23a c β1550 950 1150 125 7αb ╭╮ ╯650 1150 第7题
27.2 相似三角形 专题一相似形中的开放题文档设计者：设计时间：文档类型： 文库精品文档，欢迎下载使用。Word精品文档，可以编辑修改，放心下载 1．如图，在正方形网 2．格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似． 1．已知：如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.连接 DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、BE， ∠BDE+∠BCE=180°. (1)写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）； (2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由. 专题二相似形中的实际应用题 3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.
专题三相似形中的探究规律题 4．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 cm，AB＝50 cm，依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1、a2、a2…若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( ) A．24 B．25 C．26 D．27 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3． （1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长； （2）如图②，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长； （3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长； （4）如图④，n个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．
中考相似三角形专题复习 1、比例 对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相 等，如a c b d = (即ab ＝bc )，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 1.若a c b d =, 则a c b d =； 2．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ） A ．2，5，10，25 B ．4，7，4，7 C ．2，0.5，0.5，4 D ．a c b d =，a c b d =，a c b d =，a c b d = 3．若a c b d =∶3 =a c b d =∶4 =a c b d =∶5 , 且a c b d =, 则a c b d =； 4．：若a c b d =, 则a c b d = 5、已知 ，求代数式 的值． 2、平行线分线段成比例、 定理： 推论： 练习1、如下图，EF ∥BC ，若AE ∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM ∶AN=____,B N ∶NC=_____ 2、已知：如图，ABCD ，E 为BC 的中点，BF ︰FA ＝1︰2，EF 与对角线BD 相交于G ， 求BG ︰BD 。 3、如图，在ΔABC 中，EF//DC ，DE//BC ，求证： （1）AF ︰FD ＝AD ︰DB ； （2）AD 2 ＝AF ·AB 。 3 、相似三角形的判定方法
判定0.平行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交，所截得的三角形与 判定1. 两个角对应相等的两个三角形__________． 判定2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 判定3. 三边对应成比例的两个三角形___________． 判定4.斜边和 对应成比例的两个直角三角形相似 常见的相似形式： 1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则______________． 2.子母三角形（1） 射影定理：若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形） (2)∠ABD=∠c ∽Rt △CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2 =__ ____． E A D C B E A D C B A D C B 练习 1、如图，已知∠ADE=∠B ，则△AED ∽__________ 2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于D ，则△ADE ∽_________ 3、如图；在∠C=∠B ，则_________ ∽_________,__________ ∽_________ 4.如图，具备下列哪个条件可以使⊿ACD ∽⊿BCA （ ） A a c b d = B a c b d = C a c b d = D a c b d = 5.下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（ ） 6、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值（ ） A. 只有1个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 有无数个 4 、相似三角形的性质与应用 1. 相似三角形的对应边_________，对应角________． 2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示． 3. 相似三角形的对应边上的_______?线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________． O A C B A C B A B E C D E E D D A B C D