福建省厦门市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分48分)
1.(5分)已知a>b,a≠0,b≠0,c∈R,c≠0则下列不等式成立的是()
A.a+c>b+c B.a c>bc C.>D.a2>b2
2.(5分)已知数列{a n}满足a1=1,a n=a n﹣1+3(n≥2),则a100等于()
A.297 B.298 C.299 D.300
3.(5分)在△ABC中,若∠A=30°,∠B=45°,BC=,则AC等于()
A.B.2C.1D.
4.(5分)下列命题中,真命题是()
A.?x∈R,x2>0
B.?x0∈R,x02﹣x0+1=0
C.24是3的倍数且是9的倍数
D.“若b=0,则函数f(x)=ax2+bx+c为偶函数”的逆否命题
5.(5分)已知双曲线﹣=1的右焦点到其渐近线的距离等于,则该双曲线的离心率等于()
A.B.C.2D.
6.(5分)如图,平行六面体OABC﹣O′A′B′C′中,设=,=,=,G为BC′
的中点,用,,表示向量,则等于()
A.++B.++C.++D.+﹣
7.(5分)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若27a2﹣a5=0,则等于()
A.﹣27 B.10 C.27 D.80
8.(3分)已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值等于()
A.7B.8C.9D.10
9.(5分)已知函数f(x)=xsinx,当x1,x2∈(﹣,)时,f(x1)<f(x2),则x1,
x2的关系是()
A.x1>x2B.x1+x2=0 C.x1<x2D.x12<x22
10.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(﹣1,0),不垂直于x轴的直线于抛物线相交于A,B两点,若x轴平分∠AMB,则△FAB的面积的取值范围是()A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(4,+∞)D.[4,+∞)
二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)
11.(5分)已知点A(﹣2,0),B(2,0),P是双曲线﹣y2=1上任意一点,则|PA|﹣|PB|=.
12.(5分)不等式2>的解集是.
[来源:学科网]
13.(5分)已知空间三点A(0,2,3),B(﹣2,1,6),C(1,﹣1,5),则与的夹角为.
14.(5分)已知a,b∈R,则“a=b”是“=”的条件.(充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要)
15.(5分)如图,某观测站C在A城的南偏西20°,一条笔直公路AB,其中B在A城南偏东40°,B与C相距31千米.有一人从B出发沿公路向A城走去,走了20千米后到达D 处,此时C,D之间的距离为21千米,则A,C之间的距离是千米.
16.(5分)对各项均为正整数的数列{a n},若存在正整数m和各项均为整数的数列{b n},满足
(1)0≤b n<m;
(2)m是a n﹣b n的约数;
(3)存在正整数T,使得b n+T=b n对所有n∈N*恒成立.
则称数列{a n}为模周期数列,其中数列{b n}称为数列{a n}的模数列,T叫做数列{b n}的周期.已知数列{a n}是模周期数列,且满足:a1=1,a n+1=2a n+1,若m=10,则一个可能的T=.
三、解答题(共6小题)
17.(12分)已知△ABC的内角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,且a=4,cosB=.
(Ⅰ)若b=3,求sinA的值;
(Ⅱ)若△ABC的面积为12,求b的值.
18.(12分)某厂生产甲,乙两种产品,生产每吨产品所需的劳动力、钢材以及耗电量如下表:
产品品种劳动力(单位:个)钢材(单位:千克)电(单位:千瓦)
甲产品 3 9 4
乙产品10 4 5
已知生产甲产品的利润是每吨3万元,生产乙产品的利润是每吨5万元,现因条件限制,该厂仅有劳动力300个,钢材360千克,并且供电局只能供电200千瓦,试问该厂如何安排生产,才能获得最大利润.
19.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,BC=4,AB=PA=2,M为线段PC的中点,N在线段BC上,且BN=1.
(Ⅰ)证明:BM⊥AN;
(Ⅱ)求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.
20.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=4x﹣1.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象与直线y=kx﹣1有三个公共点,求k的取值范围.21.(12分)设点A,B的坐标分别为(﹣a,0),(a,0),直线AC,BC相交于点C,且它们的斜率之积是﹣(常数a,b为正实数).
(Ⅰ)求点C的轨迹E的方程;
(Ⅱ)设O为坐标原点,P,Q为轨迹E上的动点,且OP⊥OQ,求+的值.
22.(12分)下图中的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.这些三角形中的着色与未着色的三角形的个数具有一定的规律.按图(1)、(2)、(3)、(4)四个三角形的规律继续构建三角形,设第n个三角形中包含f(n)个未着色三角形.
(Ⅰ)求出f(5)的值;
(Ⅱ)写出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并由此求出f(n)的表达式;
(Ⅲ)设,数列{a n}的前n项和为S n,求证:
.
福建省厦门市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分48分)
1.(5分)已知a>b,a≠0,b≠0,c∈R,c≠0则下列不等式成立的是()
A.a+c>b+c B.a c>bc C.>D.a2>b2
[来源:学科网]
考点:不等式的基本性质.
专题:不等式.
分析:利用不等式的基本性质,判定每一个选项中的不等式是否成立即可.
解答:解:A.∵a>b,∴a+c>b+c,故A正确;
B.当c<0时,不成立;
C.取a=2,b=1,满足a>b,但>是不成立.
D,取a=1,b=﹣11,满足a>b,但a2>b2不成立.
故选:A.
点评:本题考查了不等式的基本性质,属于基础题.
2.(5分)已知数列{a n}满足a1=1,a n=a n﹣1+3(n≥2),则a100等于()
A.297 B.298 C.299 D.300
考点:等差数列的通项公式.
专题:等差数列与等比数列.
分析:由已知可知数列{a n}是以3为公差的等差数列,由等差数列的通项公式即可求得a100的值.
解答:解:由a n=a n﹣1+3(n≥2),得a n﹣a n﹣1=3(n≥2),
即数列{a n}是以3为公差的等差数列,
又a1=1,
∴a100=1+(100﹣1)×3=298.
故选:B.
点评:本题考查了等差数列的通项公式,是基础的计算题.
3.(5分)在△ABC中,若∠A=30°,∠B=45°,BC=,则AC等于()
A.B.2C.1D.
考点:正弦定理.
专题:计算题;解三角形.
分析:由正弦定理可得AC=,代入已知即可求值.
解答:解:由正弦定理可得:,
从而有:AC===2,
故选:B.
点评:本题主要考察了正弦定理的应用,属于基本知识的考查.
4.(5分)下列命题中,真命题是()
A.?x∈R,x2>0
B.?x0∈R,x02﹣x0+1=0
C.24是3的倍数且是9的倍数
D.“若b=0,则函数f(x)=ax2+bx+c为偶函数”的逆否命题
考点:命题的真假判断与应用.
专题:阅读型;函数的性质及应用;简易逻辑.
分析:由?x∈R,x2≥0,即可判断A;运用二次方程的判别式,即可判断B;
由倍数的概念即可判断C;运用函数的奇偶性的定义和图象以及互为逆否命题的等价性即可判断D.
解答:解:对于A.?x∈R,x2≥0,则A错;
对于B.由于x2﹣x+1=0,判别式为1﹣4<0,方程无实数解,则B错;
对于C.24是3的倍数但不是9的倍数,则C错;
对于D.若b=0,则函数f(x)=ax2+bx+c即为f(x)=ax2+c为偶函数,
由原命题和逆否命题互为等价命题,则其逆否命题为真命题.则D对.
故选:D.
点评:本题考查全称性和存在性命题的真假的判断,以及命题的四种形式和关系,考查函数的奇偶性的判断,属于基础题和易错题.
5.(5分)已知双曲线﹣=1的右焦点到其渐近线的距离等于,则该双曲线的离心率等于()
A.B.C.2D.
考点:双曲线的简单性质.
专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:求出双曲线的焦点,渐近线方程,再由点到直线的距离公式解方程可得m,再由离心率公式计算即可得到.
解答:解:设双曲线﹣=1的右焦点为(c,0),
且c=,
其渐近线方程为y=x,
则右焦点到其渐近线的距离=|m|=,
则有m2=3,
即有c=,又a=2,
则e==.
故选:D.
点评:本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的运用,考查点到直线的距离公式及离心率的求法,属于基础题.[来源:学科网]
6.(5分)如图,平行六面体OABC﹣O′A′B′C′中,设=,=,=,G为BC′
的中点,用,,表示向量,则等于()
A.++B.++C.++D.+﹣
考点:平面向量的基本定理及其意义.
专题:平面向量及应用.
分析:根据向量的加法运算,向量加法的平行四边形法则,以及平行六面体的边的关系即可用表示出.
解答:解:==.
故选C.
点评:考查向量的加法运算,向量加法的平行四边形法则,以及平行六面体边的关系,相等向量,相反向量的概念.
7.(5分)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若27a2﹣a5=0,则等于()
A.﹣27 B.10 C.27 D.80
考点:等比数列的性质.
专题:等差数列与等比数列.
分析:由题意易得等比数列的公比q,再由求和公式代值计算可得.
解答:解:设等比数列{a n}的公比为q,
则27a2﹣a2q3=0,解得q=3,
∴=?=1+q2=10
故选:B
点评:本题考查等比数列的求和公式和性质,求出公比q是解决问题的关键,属基础题.
8.(3分)已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值等于()
A.7B.8C.9D.10
考点:基本不等式.
专题:不等式的解法及应用.
分析:a>0,b>0,不等式+≥恒成立,可得,利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.
解答:解:∵a>0,b>0,不等式+≥恒成立,
∴,
∵=5+=9,当且仅当a=b=时取等号.
∴m的最大值等于9.
故选:C.
点评:本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法,属于基础题.
9.(5分)已知函数f(x)=xsinx,当x1,x2∈(﹣,)时,f(x1)<f(x2),则x1,
x2的关系是()
A.x1>x2B.x1+x2=0 C.x1<x2D.x12<x22
考点:函数单调性的判断与证明.
专题:函数的性质及应用.
分析:先判断函数f(x)的奇偶性与单调性,再由f(x1)<f(x2)得出正确的结论.
解答:解:∵f(﹣x)=﹣x?sin(﹣x)=xsinx=f(x),
∴函数f(x)=xsinx是偶函数,
又f′(x)=sinx+xcosx,
∴当x∈[0,]时,f′(x)≥0,f(x)是增函数,
∴x∈[﹣,0]时,f′(x)≤0,f(x)是减函数;
∴f(x1)<f(x2)?f(|x1|)<f(|x2|)?|x1|<|x2|?x12<x22.
故选:D.
点评:本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题,是综合性题目.
10.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(﹣1,0),不垂直于x轴的直线于抛物线相交于A,B两点,若x轴平分∠AMB,则△FAB的面积的取值范围是()
A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(4,+∞)D.[4,+∞)
考点:抛物线的简单性质.
专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:如图所示,设A(x1,y1),B(x2,y2).直线AB的方程为my=x+t(m≠0).与抛物线方程联立可得y2﹣8my+8t=0,得到根与系数的关系,由于x轴平分∠AMB,可得
k MA+k MB=0,=0,化为t=﹣1.利用弦长公式可得:
|AB|=,F(2,0)到直线AB的距离d=,
再利用S△FAB=及其二次函数的单调性即可得出.
解答:解:如图所示,
设A(x1,y1),B(x2,y2).直线AB的方程为my=x+t(m≠0).
联立,化为y2﹣8my+8t=0,
△>0,
∴y1+y2=8m,y1y2=8t,
∵x轴平分∠AMB,
∴k MA+k MB=0,
∴=0,
∴y1(my2+1﹣t)+y2(my1+1﹣t)=0,
∴2my1y2+(1﹣t)(y1+y2)=0,
∴16mt+8m(1﹣t)=0,[来源:学科网]
化为t=﹣1.
∴|AB|===
,
F(2,0)到直线AB的距离d==,
∴S△FAB==.(m≠0).
∴△FAB的面积的取值范围是.
故选:A.
点评:本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、角平分线的性质、斜率计算公式、弦长公式、三角形的面积计算公式、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)
11.(5分)已知点A(﹣2,0),B(2,0),P是双曲线﹣y2=1上任意一点,则|PA|﹣|PB|=±2.
考点:双曲线的简单性质.
专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:求出双曲线的a,b,c,则A,B为双曲线的焦点,再由双曲线的定义,即可得到所求值.
解答:解:双曲线﹣y2=1的a=,b=1,则c==2,
则A(﹣2,0),B(2,0)为双曲线的焦点,
由双曲线的定义可得,||PA|﹣|PB||=2a=2.
则|PA|﹣|PB|=±2.
故答案为:±2.
点评:本题考查双曲线的定义和方程,考查运算能力,属于基础题.
12.(5分)不等式2>的解集是{x|x<2或x>3}.
考点:其他不等式的解法;指数函数的单调性与特殊点.
专题:计算题;转化思想;不等式的解法及应用.
分析:直接利用指数函数的单调性,化简不等式,然后求解二次不等式即可.
解答:解:因为指数函数y=2x是增函数,所以2>化为:x2﹣5x+5>﹣1,即
x2﹣5x+6>0,解得x<2或x>3,
所以不等式的解集为:{x|x<2或x>3},
故答案为:{x|x<2或x>3}.
点评:本题考查指数函数的单调性的应用,二次不等式的解法,考查就算了转化思想的应用.
13.(5分)已知空间三点A(0,2,3),B(﹣2,1,6),C(1,﹣1,5),则与的夹角为.
考点:空间向量的夹角与距离求解公式.
专题:计算题;空间位置关系与距离.
分析:由A(0,2,3),B(﹣2,1,6),C(1,﹣1,5),先分别求出,,再由cos<>,求出与的夹角的余弦值,由此能求出与的夹角.
解答:解:∵A(0,2,3),B(﹣2,1,6),C(1,﹣1,5),
∴=(﹣2,﹣1,3),||==,
=(1,﹣3,2),||==,
∴cos<>===.
∴与的夹角为.
故答案为:.
点评:本题考查空间向量的夹角公式的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.14.(5分)已知a,b∈R,则“a=b”是“=”的必要不充分条件.(充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要)
考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.
专题:简易逻辑.
分析:根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
解答:解:若a=b<0,则<0,>0,则=不成立,[来源:学&科&网]
若=,则ab≥0,≥0,即a≥0,b≥0,
则a+b=2,即(﹣)2=0,[来源:学科网]
则=,即a=b≥0,
故“a=b”是“=”的必要不充分条件,
故答案为:必要不充分
点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据定义结合方程之间的关系是解决本题的关键.
15.(5分)如图,某观测站C在A城的南偏西20°,一条笔直公路AB,其中B在A城南偏东40°,B与C相距31千米.有一人从B出发沿公路向A城走去,走了20千米后到达D 处,此时C,D之间的距离为21千米,则A,C之间的距离是24千米.
考点:解三角形的实际应用.
专题:计算题;解三角形.
分析:先求出cos∠BDC,进而设∠ADC=α,则sinα,cosα可求,在△ACD中,由正弦定理即可求得AC.
解答:解:由已知得CD=21,BC=31,BD=20,
在△BCD中,由余弦定理得cos∠BDC==﹣.
设∠ADC=α,则cosα=,sinα=,
在△ACD中,由正弦定理得AC==24,
故答案为:24.
点评:本题主要考查了解三角新的实际应用,考查余弦定理、正弦定理的运用.解题的关键是利用正弦定理,利用边和角的关系求得答案.
16.(5分)对各项均为正整数的数列{a n},若存在正整数m和各项均为整数的数列{b n},满足
(1)0≤b n<m;
(2)m是a n﹣b n的约数;
(3)存在正整数T,使得b n+T=b n对所有n∈N*恒成立.
则称数列{a n}为模周期数列,其中数列{b n}称为数列{a n}的模数列,T叫做数列{b n}的周期.已知数列{a n}是模周期数列,且满足:a1=1,a n+1=2a n+1,若m=10,则一个可能的T=4(或8,12,16…).
考点:数列的应用.
专题:点列、递归数列与数学归纳法.
分析:直接计算出前几项的值,即可得出结果.
解答:解:∵a1=1,a n+1=2a n+1,
∴a2=3,a3=7,a4=15,a5=31,
a6=63,a7=127,a8=255,…
由题可知b1=1,b2=3,b3=7,b4=5,
b5=1,b6=3,b7=7,b8=5,…
显然T=4k (k∈N*).
点评:本题考查数列知识,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
三、解答题(共6小题)
17.(12分)已知△ABC的内角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,且a=4,cosB=.
(Ⅰ)若b=3,求sinA的值;
(Ⅱ)若△ABC的面积为12,求b的值.
考点:正弦定理;余弦定理.
专题:计算题;解三角形.
分析:(Ⅰ)由已知可求得sinB的值,由正弦定理代入已知即可求sinA=的值.(Ⅱ)由面积公式可得,即解得c的值,从而由余弦定理可求b的值.
解答:解:(Ⅰ)∵cosB=,0<B<π,
∴sinB==,
由正弦定理可得:,又a=4,b=3,
∴sinA===.
(Ⅱ)由面积公式,得S△ABC=acsinB,
∴,可解得:c=10.
由余弦定理,b2=a2+c2﹣2accosB=52,解得:b=2.
点评:本题主要考察了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用,属于基本知识的考查.
18.(12分)某厂生产甲,乙两种产品,生产每吨产品所需的劳动力、钢材以及耗电量如下表:
产品品种劳动力(单位:个)钢材(单位:千克)电(单位:千瓦)
甲产品 3 9 4
乙产品10 4 5
已知生产甲产品的利润是每吨3万元,生产乙产品的利润是每吨5万元,现因条件限制,该厂仅有劳动力300个,钢材360千克,并且供电局只能供电200千瓦,试问该厂如何安排生产,才能获得最大利润.[来源:学*科*网]
考点:简单线性规划.
专题:不等式的解法及应用.
分析:根据条件建立约束条件,利用线性规划的知识进行求解即可.
解答:解:设安排生产甲乙两种产品分别为x顿,y顿,利润为z万元,
则由题意得约束条件为,目标函数为z=3x+5y,
由z=3x+5y得y=,
平移直线y=,则由图象可知当直线y=经过点M时直线y=的截
距最大,
此时z=3×20+5×24=180万元,
答:安排生产甲乙两种产品分别为20顿,24顿,才能获得最大利润.最大利润为180万元.
点评:本题主要考查生活中的优化问题,利用线性规划是解决本题的关键.
19.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,BC=4,AB=PA=2,M为线段PC的中点,N在线段BC上,且BN=1.
(Ⅰ)证明:BM⊥AN;
(Ⅱ)求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.
考点:直线与平面垂直的性质;直线与平面所成的角.
专题:空间位置关系与距离;空间向量及应用.
分析:(Ⅰ)以A为原点,分别以,,的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz,由?=0即可证明AN⊥BM.
(Ⅱ)设平面PCD的法向量为=(x,y,z),由,解得:,取y=1得平
面MBD的一个法向量为=(0,1,2),设直线MN与平面PCD所成的角为θ,则由向量
的夹角公式即可求得直线MN与平面PCD所成角的正弦值.
解答:(本题满分12分)
解:如图,以A为原点,分别以,,的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标
系A﹣xyz,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),P(0,0,2),M(1,2,1),N(2,1,0),…(3分)
(Ⅰ)∵=(2,1,0),=(﹣1,2,1),…(4分)
∴?=0…(5分)
∴⊥,即AN⊥BM…(6分)
(Ⅱ)设平面PCD的法向量为=(x,y,z),…(7分)
∵=(2,4,﹣2),=(0,4,﹣2),
由,可得,…(9分)
解得:,
取y=1得平面MBD的一个法向量为=(0,1,2),…(10分)
设直线MN与平面PCD所成的角为θ,则由=(﹣1,1,1),…(11分)[来源:https://www.doczj.com/doc/e014292702.html,]
可得:sinθ=|cos<,>|=||==…(12分)
点评:本题主要考查了直线与平面垂直的性质,直线与平面所成的角的求法,正确利用空间向量的应用是解题的关键,属于基本知识的考查.
20.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=4x﹣1.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象与直线y=kx﹣1有三个公共点,求k的取值范围.
考点:函数解析式的求解及常用方法;利用导数研究曲线上某点切线方程.
专题:导数的概念及应用.
分析:(Ⅰ)由题意可得f′(1)=3+2a+b=4,f(1)=2+a+b=3,联立方程组解得ab可得;(Ⅱ)问题转化为g(x)=x2++1与y=k的交点问题,导数法判g(x)的单调性,数形结
合可得.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=x3+ax2+bx+1,∴f′(x)=3x2+2ax+b,
由题意可得f′(1)=3+2a+b=4,f(1)=2+a+b=3,
联立解得a=0,b=1,
∴函数f(x)的解析式为f(x)=x3+x+1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=x3+x+1,联立y=kx﹣1可得x3+(1﹣k)x+2=0,
易得x=0不是方程的解,故k=x2++1,
设g(x)=x2++1,则g′(x)=2x﹣=,
令g′(x)=0可得x=1,
可得当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,∴g(x)在(1,+∞)上单调递增;
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,∴g(x)在(0,1)上单调递减;
当x∈(﹣∞,0)时,g′(x)<0,∴g(x)在(﹣∞,0)上单调递减;
∴g(x)的大致图象如图所示,g(1)=4是函数的极小值,
结合图象可知当k>4时,直线y=k和函数g(x)恰有三个公共点,
即函数y=f(x)的图象与直线y=kx﹣1有三个公共点.
点评:本题考查函数解析式的求解和导数法判函数的单调性,数形结合是解决问题的关键,属中档题.
21.(12分)设点A,B的坐标分别为(﹣a,0),(a,0),直线AC,BC相交于点C,且它们的斜率之积是﹣(常数a,b为正实数).
(Ⅰ)求点C的轨迹E的方程;
(Ⅱ)设O为坐标原点,P,Q为轨迹E上的动点,且OP⊥OQ,求+的值.
考点:直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程.
专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:(Ⅰ)利用直接法求点C的轨迹E的方程;
(Ⅱ)设P(ρ1,θ),Q(ρ2,θ+),利用极坐标方程求:+的值.
解答:解:(Ⅰ)设C(x,y),则由题意可得=﹣,
化简可得;
(Ⅱ)化为极坐标方程=
设P(ρ1,θ),Q(ρ2,θ+),
∴+=+=.
点评:本题考查轨迹方程,考查极坐标方程的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.[来源:学科网ZXXK]
22.(12分)下图中的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.这些三角形中的着色与未着色的三角形的个数具有一定的规律.按图(1)、(2)、(3)、(4)四个三角形的规律继续构建三角形,设第n个三角形中包含f(n)个未着色三角形.
(Ⅰ)求出f(5)的值;
(Ⅱ)写出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并由此求出f(n)的表达式;
(Ⅲ)设,数列{a n}的前n项和为S n,求证:
.
考点:数列与不等式的综合;归纳推理.
专题:综合题.
分析:(Ⅰ)由图知f(1)=0,f(2)=1,f(3)=4,f(4)=13,从而可得f(5)的值;(Ⅱ)方法1:由f(2)﹣f(1)=1,f(3)﹣f(2)=3,f(4)﹣f(3)=9,f(5)﹣f(4)=27,归纳得:f(n+1)﹣f(n)=3n﹣1(n∈N*),利用叠加法,可求f(n)的表达式;
方法2:f(2)=3f(1)+1,f(3)=3f(2)+1,f(4)=3f(3)+1,f(5)=3f(4)+1,归纳得:f(n+1)=3f(n)+1(n∈N*),从而可证数列是首项为,公比为3的等比数列,即可求f(n)的表达式;
(Ⅲ)由,得
,进而可求数列{a n}的前n项
和为S n,由此可证结论成立.
解答:解:(Ⅰ)由图知f(1)=0,f(2)=1,f(3)=1+3=4,f(4)=1+3+9=13,f(5)=1+3+9+27=40
(Ⅱ)方法1:由f(2)﹣f(1)=1,f(3)﹣f(2)=3,f(4)﹣f(3)=9,f(5)﹣f(4)=27
归纳得:f(n+1)﹣f(n)=3n﹣1(n∈N*)∴f(n)=f(1)+[f(2)﹣f(1)]+[f(3)﹣f(2)]+…+[f
(n)﹣f(n﹣1)]=,
方法2:f(2)=3f(1)+1,f(3)=3f(2)+1,f(4)=3f(3)+1,f(5)=3f(4)+1
归纳得:f(n+1)=3f(n)+1(n∈N*)
由f(n+1)=3f(n)+1,可得
∴数列是首项为,公比为3的等比数列
∴,即
(Ⅲ)由,得
∴
.
∵3n+1≥9,∴,
∴.
点评:本题考查归纳推理,考查数列通项的求解,考查数列的求和,考查学生阅读分析的能力,综合性强.
[来源:https://www.doczj.com/doc/e014292702.html,]
【一】选择题:本大题共12小题,每题5分,总分值60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合要求的. 1.命题〝假设2x =,那么2 320x x -+=〞的逆否命题是〔 〕 A 、假设2x ≠,那么2320x x -+≠ B 、假设2320x x -+=,那么2x = C 、假设2320x x -+≠,那么2x ≠ D 、假设2x ≠,那么2 320x x -+= 2.〝直线l 垂直于ABC △的边AB ,AC 〞是〝直线l 垂直于ABC △的边BC 〞的 〔 〕 A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分也非必要条件 3 .过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点.假设AB 中点M 到抛物线 准线的距离为6,那么线段AB 的长为〔 ) A 、6 B 、9 C 、12 D 、无法确定 4.圆 042 2=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( ) A 、023=-+y x B 、043=-+y x C 、043=+-y x D 、023=+-y x 5.圆心在抛物线x y 22=上,且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 〔 〕 A 、0 122 2 =+--+y x y x B 、041 222=- --+y x y x C 、0 122 2 =+-++y x y x D 、 041222=+ --+y x y x 6.在空间直角坐标系O xyz -中,一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2),(2,2,0), (0,2,0),(2,2,2).那么该四面体在xOz 平面的投影为〔 〕
高二上学期期末数学试卷(理科) 一、选择题 1. 抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1000次,那么第999次出现正面朝上的概率是() A . B . C . D . 2. 直线x+y﹣3=0的倾斜角为() A . B . C . D . 3. 为研究两变量x和y的线性相关性,甲、乙两人分别做了研究,利用线性回归方法得到回归直线方程m和n,两人计算相同,也相同,则下列说法正确的是() A . m与n重合 B . m与n平行 C . m与n交于点(,) D . 无法判定m与n是否相交 4. 一束光线从A(1,0)点处射到y轴上一点B(0,2)后被y轴反射,则反射光线所在直线的方程是() A . x+2y﹣2=0 B . 2x﹣y+2=0 C . x﹣2y+2=0 D . 2x+y﹣2=0 5. 完成下列抽样调查,较为合理的抽样方法依次是() ①从30件产品中抽取3件进行检查. ②某校高中三个年级共有2460人,其中高一890人、高二820人、高三810人,为了了解学生对数学的建议,拟抽取一个容量为300的样本; ③某剧场有28排,每排有32个座位,在一次报告中恰好坐满了听众,报告结束后,为了了解听众意见,需要请28名听众进行座谈.
A . ①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 B . ①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样 C . ①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样 D . ①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样 6. 有四个游戏盒,将它们水平放稳后,在上面仍一粒玻璃珠,若玻璃珠落在阴影部分,则可中奖,则中奖机会大的游戏盘是() A . B . C . D . 7. 以点(5,4)为圆心且与x轴相切的圆的方程是() A . (x﹣5)2+(y﹣4)2=16 B . (x+5)2+(y﹣4)2=16 C . (x﹣5)2+(y﹣4)2=25 D . (x+5)2+(y﹣4)2=25 8. 直线l1:(a+3)x+y﹣4=0与直线l2:x+(a﹣1)y+4=0垂直,则直线l1在x轴上的截距是() A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 9. 公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近于圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的(四舍五入精确到小数点后两位)的值为()(参考数据:sin15°=0.2588,sin75°=0.1305)