第二章 静电场
静电场是静止电荷产生的电场。本章从库仑定律和叠加原理出发，运用矢量分析，得出真空中静电场的基本方程；由此讨论静电场的基本性质并引入电位函数；进而讨论了介质中静电场的基本方程和不同介质分界面上的边界条件，最后介绍了静电场的能量和静电力。
2.1 电场的基本性质
2.1.1电荷与电荷分布
假定电荷以连续分布的形式充满于该某空间，可用电荷密度来描述电荷在空间的分布。
1． 电荷体密度
电荷连续分布于体积V '内，用电荷体密度()r ρ'
描述其分布。设体积元V '?内的电荷量为q ?，则该体积内任一源点处的电荷体密度为
0()lim V q dq
r V dV
ρ'?→?'==''? (2.1)
式中的r ' 是源点的位置矢量，电荷体密度的单位为3
/C m 。利用电荷体密度()r ρ' 可求
出体积V '内的总电荷量
()V
q r dV ρ''=?
(2.2)
2． 电荷面密度
电荷连续分布于厚度可以忽略的曲面S '上，用电荷面密度()r σ'
描述其分布。设体积元S '?上的电荷量为q ?，则该曲面上任一源点处的电荷面密度为
0()lim
S q dq
r S dS σ'?→?'==''
?
(2.3)
电荷面密度的单位为2
/C m 。面积S '上的总电荷量为
()S
q r dS σ''=?
(2.4)
3． 电荷线密度
电荷连续分布于横截面积可以忽略的细线l '上，用电荷线密度()l r ρ'
描述其分布。
设长度元l '?上的电荷量为q ?，则该细线上任一源点处的电荷线密度为
0()lim
l l q dq r l dl ρ'?→?'==''
?
(2.5)
电荷线密度的单位为/C m 。细线l '上的总电荷量为
()l l
q r dl ρ''=?
(2.6)
4．点电荷
当电量为q 的电荷集中在一个体积为零的几何点上时，这样的电荷称为点电荷。其电荷体密度0()lim
V q
r V ρ'?→?'=→∞'
?
，即体密度函数值在0r r = 时无限大，表示该点有一
个点电荷q 。对位于坐标原点的点电荷q ，有????
?=∞
≠=??=→?)
0()0(0
lim )(0r V q V ρ。
5．点电荷的δ函数表示法 1)δ函数的定义和性质
设坐标原点为O ，场点坐标为r ，源点坐标为r '
，
'R r r =-
，如图2.1.1所示。δ函数的定义如下
????
?=∞
≠=-)
()'(0
)(r r r r δ (2.7)
或 ????
?=-?)
V '(1
)'(0
)(内在外在r V r dV r V
δ (2.8)
δ函数的性质如下： ①δ函数是一个偶函数
)'()(r -=-δδ (2.9)
②δ函数的抽样性
若)(f 为一个连续函数，则有
0(')()(')()
('V )V
r V f r r r dV f r r δ??-=?'???
在外在内 (2.10) 当0=r （将源点选在坐标原点)时，则有)()'(r r r δδ=- 2)用δ函数表示点电荷的体密度
图2.1.1 场点和源点
设点电荷q 位于r ，空间任意点处的电荷体密度)(ρ可以用δ函数表示，即
)(r ρ)(q -=δ????
?=∞
≠=)
()(0
r r (2.11)
同理，空间任意体积V 中的总电量Q 可表示为
?=V dV r Q )(ρ?-=V
dV r r q )'(δ????
?=)
V ()(0
内在外在r q
V r (2.12)
当点电荷q 位于坐标原点时，即0=r ，则空间的电荷体密度为
)(r ρ)(q δ=
如果空间中有N 个点电荷i q ，它们分别位于),,2,1(N i r i =，则空间的体电荷密度为
)(ρ∑=-=N
i i i r q 1
)(δ (2.13)
在不同的坐标系下，δ函数具有不同的表达式 直角坐标系下
)'()'()'()(z z y y x x r ---=-δδδδ (2.14)
柱坐标系下 1
(')(')(')(')r r z z δδρρδ??δρ
-=--- (2.15)
球坐标系下 )'()'()'(sin 1
)(2
θθδ??δδθ
δ---=-r r r r (2.16) 例2.1.1 证明：)1
(412R
?-
π是δ函数。 '-= 解 在直角坐标系下，
R =2222
2221111
()()()()R x R y R z R
????=++???
其中
221()[x R x x ???=???
3
2222
3
2
35
1
2(')
2{}[(')(')(')](')[]13(')x x x x x y y z z x x x R x x R R -?-?=?-+-+-?--=?-=-+
同理，22
235
113(')()y y y R R R ?-=-+? 22235113(')()z z z R R R ?-=-+? 所以 2
222
35131()[3(')3(')3(')]0
(')x x y y z z r r R R R
?=-+-+-+-=≠ 当'r r = 时，以'r
为中心作半径为R 的球面S ，限定体积为V ，于是
2311()()()V V V R dV dV dV R R R ?=???=-????? 32R
S S e R d S d S R R =-?=-???
在球面上，d S 的方向就是R e
的方向，则 R
R d S d S e d S
R
=
?= 22221111()41444V S dV dS R R R R
ππππ-
?==?=?? 故
20'11
()41
'V
r V dV R r V π?-
?= ??
在外在内 所以函数)1
(412R
?-
π
为δ函数。
2.1.2库仑定律
真空中静止的点电荷1q 对另一个点电荷2q 的作用力为
3
021********R
q q e R q q F R πεπε==
(2.17) 反之，静止的点电荷2q 对另一个点电荷1q 的作用力为
302121'
4'
R q q F πε= (2.18)
其中'-=，-=-=''，|'|R -=。
故静电力满足牛顿第三定律：1221F F
-=
2.1.3电场强度
1．点电荷的电场强度
由电场强度的定义可知，一个静止的点电荷q 所产生的电场强度为
3
001()44q
q E R R R πεπε=
=-? (2.19) 其中'-=，|'|r r R -=。
它的物理意义是：单位正电荷在电场中所受的力，电荷q 在场中某点所受的作用力为
R R qq E q
3
04'πε=
= (2.20)
实验证明，多个点电荷所激发的电场服从叠加原理
3
111001
()()44n n n i i i i i i i i i
q R q E r E R R πεπε======-?∑∑∑ (2.21) ∑∑==→==N
i i i
i N
i q
q R R qq i 13
014 πε (2.22) 2．分布电荷的电场强度
实际上，理想的点电荷是不存在的。电荷或是分布在一个体积内，或是分布在一个面积上。电荷的分布是不连续的，但在研究宏观电磁规律时可以将电荷看成是连续分布的。
连续分布的体电荷：
?
='3
4'
)'()(V R dV περ (2.23)
连续分布的面电荷：
?
='3
4'
)'()(S S R dS περ (2.24)
连续分布的线电荷：
?
='3
4'
)'()(l l R dl περ (2.25)
例2.1.2 求如图2.1.2所示的电偶极子的电场。 解 在球坐标内，电偶极子的场强为
011()[()()]4q E r R r
πε=-?-?
其中，1
1
22
2
(2cos )
R
r l rl θ--=+-，将1R -展
开成幂级数，即
21
2
3cos 1(1cos )2l l l
R r r r
θθ--=+++ 当l r 时，略去高阶项后得到
1211
cos R l r r
θ-=
+，代入电场表达式得 20111()[(cos )()]
4q E r l r r r θπε=-?+-? 233000cos cos sin ()424r q
l ql ql e e r r r
θ
θθθπεπεπε=-?=+
若定义p ql = 为电偶极子的电极矩矢量，l
的规定为q -指向q +，则有
23330001cos 1111()()()[()()()]444ql p r E r p r p r r r r r
θπεπεπε?=-?=-?=-??+??
其中()()x y z x y z x y z p r p x p y p z p e p e p e p ??=?++=++=
图 2.1.2 电偶极子
因此有 53013()()[]4p r p
E r r r r
πε?=-
(2.26)
2.2真空中静电场的基本方程
静电场由静止电荷产生的，它是在电荷周围形成的一个特殊空间。通过讨论这个空间中电场强度矢量的散度和旋度，可以全面了解空间电场分布的特性，进而得出静电场的一般性质。
2.2.1静电场的散度与高斯定理
1．静电场的散度：
设静止电荷分布在体积为V 的区域内，电荷体密度为)'(r ρ，由上一节可得到空间任一点r
的电场强度为
?=
'3
0')'(41)(V dV R R
r r E
ρπε
把3)1(R
R
R
-=?代入上式，得
?
?-
='
')1()'(41
)(V dV R
r r E ρπε (2.27)
将式(2.27)两边取散度，得到
?
???-
=??'
')1()(41V dV R
r E ρπε ?
?-
='
20
')1()(41V dV R
r ρπε
将)'(4)1(2
r r R
--=?πδ代入上式，得
?---
=??'0
'))(4)('(41V dV r E πδρπε =???
??内）在外）在V V r ()(1(00
ρε
由于假设电荷分布在V 内，V 外无电荷，电荷体密度为0，所以上式可写成
ερ
=??E (2.28)
上式称为静电场高斯定理的微分形式，它表明：在真空的静电场中，任意点场强的散度
与该点电荷体密度成正比，而与其它各点的电荷分布无关。 2. 静电场的高斯定理
将高斯定理在体积V 上进行积分，并且利用高斯散度定理可得
00
S
V
V
q
E dS EdV dV ρεε?=??==???
(2.29) 式中，S 为体积V 的边界，q 为体积V 中包含的总电量。这就是高斯定理的积分形式。
2.2.2电场的旋度 静电场的环路定理
1．静电场的旋度：
在式(2.27)中，由于微分算子?是对场点坐标r 求导，与源点坐标'r 无关，所以算子?可以从积分呈中提出来，有
'
'00
1
11(')
()(')()'(')44V V r E r r dV dV R R ρρπεπε=-
?=-???
等式两边取旋度，得 )')
'(41
(
'
?
??-?=??V dV R
E ρπε
由于式中的括号内是一个连续的标量函数，利用恒等式0=???u ，故上式的右边为零，于是有
0=??E
(2.30)
这就是静电场环路定理的微分形式，是静电场的第二个基本方程。 2．静电场的环路定理
在空间选取任意一个曲面S ，其边界为曲线L ，将环路定理在S 上积分，并利用斯托克斯公式可得
()0L
S
E dl E dS ?=???=?
? (2.31)
这就是静电场环路定理的积分形式。它表明沿任意闭合回路静电场的积分为零。
2.2.3静电场的性质：
真空中静电场的基本方程为
0=??E
0=??l
l d E
ερ
=??E
εq S d E S
=??
任意一个矢量场的性质可以用其散度和旋度全面地描述。散度是标量，描述矢量场场线扩散的状况，旋度描述矢量场场线旋转的状况。根据以上对静电场散度和旋度的讨论，可以得到静电场的基本性质。
1） 有源场。电力线由电荷发出，电荷是电场的源。 2） 无旋场。电力线不构成闭合回路。
3） 有源无旋的静电场呈现扩散状的分布形式。
在场源变量ρ已知的条件下，通过0
ερ
=??E ，联立求解上述两个矢量方程就能求
得E 。当电荷分布具有一定的对称性时，选择适当的坐标系，使E
只有一个坐标分量，且仅是该坐标变量的函数，可以证明E 自动满足0=??E
。因此只要求解方程
0εq S d E S
=?? （或0
ερ
=??E )，就能获得场解。下面举例说明这种计算方法。
例2.2.1 电荷按体密度2
02()(1)r r a
ρρ=- 分布于一个半径为a 的球形区域内，其中0
ρ为常数，试计算球内外的电场强度矢量。
解 1)电场明显具有球对称性，E
沿半径方向且大小只是r 的函数。球的电荷总量为
422
30020
08()44()15
a
a r Q r r dr r dr a a ρππρπρ==-=?
?
对于球外的点()r a ≥，以球心到场点的距离为半径作一球面（高斯面)，应用高斯定理的积分形式，得到
23
22000
8415S
Q E d S r E a ππρεε?===? 3
2020215a E r
ρε=
对于球内的点(r a ≤)，用同样的方法求得
23
110008415S
Q E d S r E a ππρεε?===? 2311000
8415S
Q E d S r E a ππρεε?===? 3
2020215a E r
ρε=
2)可单独利用微分形式0
ερ
=??E 来求解。以球心为原点的球坐标系内，电场强度E 只
有r e
方向的分量，所以，对于球外的点（r a ≥)，散度方程为
22221()0E r E r r
???==?
2
22C E r
=
当r →∞时，320220
01181(
)()4415q E a r r
πρπεπε→
=，故 3200
2
15C a ρε=
对于球外的点（r a ≥)，有
3202021
()15E a r
ρε=
对于球内的点（r a ≤)，散度方程为
2
20112201()(1)r E r E r r a
ρε???==-?
22
2
011200(1)r r r E r dr C a
ρε=-+?
22
011222
00(1)r C r E r dr r a r
ρε=-+? 5330011
122222
001111()()3535C C r r E r r r a r a r ρρεε=-+=-+
当r a =时，12D D =，求得10C =，所以r a ≤区域内
3
012
011()35r E r a
ρε=- 2.3电位函数
2.3.1电位的定义：
由于静电场是无旋的矢量场，因此可引入一个标量函数来描述静电场。由0=??E ，
0=????，可引入一个标量函数?，使
?-?=E (2.32)
式中标量函数?称为电位函数。
从(2.32)式可知，如果已知?求E ，则E 是唯一的，如果已知E
求?，则解不是唯
一的。这是因为对于一个任意常数C ，由于满足0C ?=，所以有()C E ??-?=-?+=
，
这说明?和C ?+对应的是同一个E
，也就是说在静电场中电位?的绝对值是没有意义
的，因为它依赖于常数C 的选取，是不确定的。
为了使场中每一点的电位具有确定的值，必须选择场中某一固定点作为电位的参考点，即规该点的电位值为零。
电位参考点的选择原则：
1)电位参考点电位一般为零。当电荷分布在有限区域时，通常选无穷远点为电势参考点；当电荷分布在无限区域时，不能选无穷远点作参考点，否则积分将无穷大，应根据实际情况选取参考点。
2)应使电位表达式尽可能简单。
3)同一个问题中只能选择一个电位参考点。
将(2.32)式两端点乘dl
，则有
dl d d d θ?θ??cos ||cos ||||?-=??-=?-?=? (2.33) 由前可得，
θ?θ???
cos ||cos ||||?=??=??=??l l e e l
，代入上式，有 E dl dl d l
????=-?=-?
在场中，对上式两端从B A →沿任意路径进行积分，得到,A B 两点间的电位差
???=-=-B
A
B A
l d E d B A ???)()( (2.34)
若选∞为电位参考点，则场中任一点A 的电位为
??=B
A
d A )(?
(2.35)
2.3.2电位的表达式：
1． 点电荷产生的电位
R
q 04πε?=
(2.36)
位于不同位置的N 个点电荷N q q q q ,,,,321 ，，所组成的点电荷系统，其电位为
|'|41
0i i N
i i
i
r r R R q -==
∑=πε
? N i ,2,1= (2.37)
式中，i r '
是点电荷(1,2,,)i q i N = 的位置矢量。
2． 连续分布电荷系统产生的电位：
对于连续分布于体积V 中的电荷（体电荷)，利用电场强度公式，可得到空间任意点的电位为
1()
()4V
r r dV R ρ?πε''=
?
(2.38)
同理可得面电荷和线电荷产生的电位为：
1()
4S
r dS R
σ?πε''=
?
(2.39)
()
14l l
r dl R
ρ?πε''=
?
(2.40)
式中，|'|r r R i -=，为场点的位置函数，r 为源点的位置函数。
例2.3.1 求电偶极子P ql = 的电位()r ?
。
解 采用与上节相同的坐标系，电偶极子位于原点，指向与z 轴一致，场点的电位等于两个点电荷电位的叠加。
11(
)4q R r
?πε=
- 如图2.1.2所示，2
22,2cos R r l R r l rl θ=-=+- ，故有
1R =
在r l >>的区域内，1R
可近似为
2111
cos l R r r θ=+ 因此， )11cos 1(
420
r r dl r q -+=
θπε?)cos (42
0r
dl q θ
πε= 由于cos r ql P e θ=?
，所以，电偶极子的电位为
)(
412
r
e P r
?=
πε?)(4130r ?=πε (2.41) 对上式求负梯度便得电偶极子的电场强度为
5301()[]4P r P
E r r r
πε?=
-
上式与上节的结果完全相同。
2.4电介质的极化 极化强度
前面讨论了真空中的静电场，本节将讨论存在电介质时静电场的特性。电介质是完
全不同于导体的一种物质，在工程实际中很有用，它内部几乎没有自由电子，原子核把
所有的电子紧密地束缚在其周围，因而它不导电，但外电场可以渗入电介质内部，使原来呈中性的介质由于极化而形成极化电荷。这些极化电荷又构成了新的附加场源，使电场的分析与计算复杂化，因而有必要单独加以讨论。
2.4.1介质的极化
介质中的分子一般有两种类型：
1)无极分子：分子的正负电荷中心重合，没有电偶极矩。 2)有极分子：分子的正负电荷中心不重合，有电偶极矩。
在热平衡的情况下，分子无规则运动，其取向各方向均等，宏观上不显出电偶极矩和电特性。有外加电场的影响下，无极分子正负电荷的中心相对位移，变为有极分子。有极分子的取向将沿电场方向呈现一定的规则性，宏观上出现电偶极矩，这就是介质的极化。
有极分子取向的一致性反映介质的极化程度，用极化强度矢量P
来描述极化的程
度，它等于单位体积内的电偶极矩，即i i
p P V
=?∑ ，其中i p 为小体积V ?中的第i 个分子
的电偶极矩。
介质受到极化以后，其表面和内部会出现宏观电荷分布，即极化电荷。介质中的极化电荷不能离开分子移动，所以又称为束缚电荷。极化电荷的分布用极化电荷体密度P ρ或极化电荷面密度P σ来表示，它们与介质的极化程度有关。
2.4.2极化电荷与极化强度矢量P
的关系
如图2.4.1所示，设有一块已被极化的电介质，其体积为V '，如果要求解此极化介质在空间产生的电位或电场，可以在V '中取体积元dV '，它的偶极矩为
d p PdV '=
由前节可知，电偶极子的电位为
201()4r p e r ?πε?= 301()4p r
r πε?=
则 301()4d p r
d r
?πε?=
其中，r 为源点到场点的距离。
在该例中，偶极矩在P 处所产生的电位为
33
001()()44d p R P r R
d dV R R
?πεπε'??'== 图 2.4.1 被极化的电介质在空间所产生的电位
整个极化介质所产生的电位为
30
0()11
()()()44V V P r R r dV P r dV R R
?πεπε''
'?''''==
????
(2.42) 式中，||R r r '=- ，31()R
R R '?=
，算子'?是对r ' 微分。
将矢量恒等式 11
()()P P P R R R
'''??=??+??
11()()P P P R R R
'''??=-??+??
代入(2.42)式，得
00
11
()44V V P P r dV dV R R ?πεπε'''-??'''=
+
????
00
11
44V S P P n dV dS R R πεπε'''-???''=+
??
(2.43)
上式中的P '-?? 具有体电荷密度的量纲3
/C m ，而P n ? 则具有面电荷密度的量纲
2/C m ，将此式与自由电荷的体电荷密度和面电荷密度公式相比较，可以定义
P P ρ'=-??
(2.44) P n P n P σ=?=
(2.45)
P ρ和P σ分别是人为定义的极化（束缚电荷)体密度和极化电荷密度，将它们代入(2.43)
式，得 0
11()44P
P
V S r dV dS R
R
ρσ?πεπε'
'
''=
+
?
?
(2.46)
上式表明，介质极化后所产生的电位可以这样来计算，即将电介质从所研究的区域取走，而代之以由(2.44)、(2.45)两式所计算出的P ρ和P σ，然后按照计算自由电荷的电场的方法来计算极化（束缚电荷)的电场。
1） 式中的负号是因为P 的正方向规定为自负电荷指向正电荷，而电场强度E
的正方向
则是自正电荷指向负电荷。
2） 当极化强度P
为常数时，称为均匀极化。均匀极化时介质内部不会出现极化电荷，
极化电荷只会出现在介质表面上。均匀介质一般有P
为常数，而真空中有0P = 。
3） 自由电荷所在地一定有极化电荷出现。 4） 电介质内的总极化电荷应为零，即
()P V S Q P dV P ndS '
'
'''=-??+??
?
0S S P ndS P ndS '
'
''=-
?+?=?
?
这一结论与电介质整体呈电中性，没有净单极矩是一致的。
例2.4.1 一个半径为a 、介电常数为ε的均匀介质球内的极化强度为r r
K
=，其中K 为一常数。
1)计算束缚电荷体密度和面密度； 2)计算自由电荷体密度；
3)计算球内、外的电场和电位分布。 解 1)介质球内的束缚电荷体密度为
222)(1r
K
r K r dr d r P -=?-
=?-?=ρ 在r a =的球面上，束缚电荷体密度为
a
K
a r r a r P =
?=?===|σ 2)由于+=0ε，所以P D P E D ??+??=
??+??=??ε
εε0
0 即 ??=??-
)1(0
ε
ε 由此得到介质球内的自由电荷体密度为 200000)(r K
P εεερεεεεεερ-=
--=??-=
??= 总的自由电荷量 ?
?
-=-=
=
V
a
aK dr r r
K
dV q 02
2
441εεπεπεεερ 3） 介质球内、外的电场强度分别为
)()(2
0001a r r K
P r
<-=-=
εεεεε
)()(42
002
02a r r aK
r q r
r
>-==εεεεπε
介质球内、外的电位分别为
)
()(ln )()()(0002000211a r r
K
r a K dr r
aK dr r K dr E dr E l d E a
r
a a r
a
r
≤-+
-=
-+-=+=?=?
????∞∞
∞εεεεεεεεεεεε?
)
()(ln )()(0002
0022a r r
aK r a K dr
r aK
dr E r
r
≥-+
-=-==?
?∞
∞
εεεεεεεεεε?
2.5介质中的高斯定理 边界条件
2.5.1介质中的高斯定理
1．介质中的静电场方程
真空中静电场的基本方程为
0E ??=
E ρ
ε
??=
由此可见，自由电荷是激发静电场的源。
在介质中，极化电荷只是静电场的散度源，对其旋度没有影响。极化电荷激发的场E '
仍满足'0E ??=
。根据叠加原理，介质中的总场仍是无旋的。即满足
0E ??= 0L
E dl ?=?
故可引入标势?，且E ?=-?
。
散度方程式要发生变化，介质中的静电场是自由电荷与极化电荷共同激发的，故
E ρρε
'
+??= (2.47)
将P ρ=-??
代入上式，得
0()E P ερ??+=
(2.48)
令 0D E P ε=+
称为电位移矢量。
于是可得到 D ρ??=
(2.49)
上式表明：存在电介质的静电场中，任意一点电位移D
的散度等于该点自由电荷体
密度ρ，而与极化电荷无关。根据高斯定理，有
S
V
D d S DdV ?=???? S
V
D d S dV ρ?=?? (2.50)
上式即为介质中的高斯定理。
综上所述，介质中静电场的基本方程为
0E ??= D ρ??=
0L
E dl ?=?
S
V
D d S dV Q ρ?==??
2．,,D E P
的关系
对于大多数介质而言，0E = 时，P 也为零，而且P 与E
的方向也相同，这样的介质
称为各向同性介质，有 0e P E εχ=
(2.51)
式中标量e χ称为介质的电极化率，无量纲。
000(1)e r D E P E E E εεχεεε=+=+==
式中0r εεε=称为介质的介电常数，单位与0ε相同，1r e εχ=+称为相对介电常数，无
量纲。于是D 与E 的关系为 D E
ε=
(2.53)
P 与E
的关系为 0()P E εε=- (2.54) 在真空中，0P = ，1r ε=，因而0D E ε=
。
3．介质中电位所满足的微分方程
如果电场中充满均匀介质，ε=常数,则有
D E ερ
??=??=
将D E ε= 和E ?=-?
代入上式得到介质中的泊松方程为
2
ρ?ε?
=- (2.55)
在0ρ=的区域，得到拉普拉斯方程
20??= (2.56)
在许多实际问题中，虽然整个空间一般不是完全均匀的，但往往可以分成几个均匀区域。这样，可分区域分别写出泊松方程或拉普拉斯方程，求出各区的电位通解式后，再根据边界条件，把各区的解衔接起来，从而求出各区的电位分布。
例2.5.1 已知半径为a ，介电常数为ε的介质球带电荷为q ，球外为空气，分别在下列情况下求空间各点的电场和介质中的极化电荷分布： 1)电荷q 均匀分布在球体内； 2)电荷q 集中在球心；
3)电荷q 均匀分布在球面上。
解 1)电荷q 均匀分布在球体内时，电场分布为
S D d S q ?=? , 3
43
q
a
ρπ=
2333443q
D r r r a πρπ?=?=
34qr D a π= 3
()4r qr D e r a a π=
<
13()4r
qr E e r a a πε=< 22
0()4r q E e r a r πε=>
极化电荷分布为
介质球内，11100[()]()P P E E ρεεεε=-??=-??-=--??
球坐标中，2
2
1()r A r A r r
???=??
200233
3()1()()44P q d qr
r r dr a a εερεεπεπε-=--=-
r a =的球面上，01012
()||()|4r P r a r a r a
P n E e q a εεσεεπε===-=?=-?= 2)电荷q 集中在球心时，电场分布为
12()4r
q E e r a r πε=< 220()4r
q E e r a r
πε=> 极化电荷分布为
介质球内，0r ≠处，110()P P E ρεε=-??=--?? 202
2
1()()04d q
r r dr r
εεπε=--= 0r =处为电场的奇异点，该处应有一极化电荷，设此极化点电荷为p q P ，根据高斯定理，
有
10P S
E d S q q ε?=+?
取S 为以介质球心为中心，()r r a <为半径的球面，则有
20
2
44P q r q q r εππε?
=+
故 0
P q q εεε
-=-
在r a =的球面上，01012
0()
||()|4r P r a r a r a
P n E e q a εεσεεπε===-=?=-?= 3)电荷q 均匀分布在球面上时，电场分布为
10
()E r a =<
220()4r
q E e r a r
πε=
>
极化电荷分布为
介质球内，110[()]0P P E ρεε=-??=-??-=
在r a =的球面上，1||0P r a r a P n σ===?=
第二章 静电场 重点和难点 电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。 利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。 至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。 关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可以从简。 重要公式 真空中静电场方程： 积分形式： ? = ?S S E 0 d εq ?=?l l E 0d 微分形式： ερ= ??E 0=??E 已知电荷分布求解电场强度： 1， )()(r r E ?-?=； ? ' '-'= V V d ) (41)(| r r |r r ρπε? 2， ? '''-'-'=V V 3 d |4) )(()(|r r r r r r E περ 3， ? = ?S S E 0 d εq 高斯定律
介质中静电场方程： 积分形式： q S =?? d S D ?=?l l E 0d 微分形式： ρ=??D 0=??E 线性均匀各向同性介质中静电场方程： 积分形式： ε q S = ?? d S E ?=?l l E 0d 微分形式： ε ρ= ??E 0=??E 静电场边界条件： 1， t t E E 21=。对于两种各向同性的线性介质，则 2 21 1εεt t D D = 2， s n n D D ρ=-12。在两种介质形成的边界上，则 n n D D 21= 对于两种各向同性的线性介质，则 n n E E 2211εε= 3，介质与导体的边界条件： 0=?E e n ； S n D e ρ=? 若导体周围是各向同性的线性介质，则 ε ρS n E = ； ε ρ? S n -=?? 静电场的能量：
第一章静电场单元测试卷 一、选择题（1-8题单选，每题3分，9-13题多选，每题4分） 1．下列选项中的各 1/4圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各 1/4 圆环间彼此绝缘．坐标原点O 处电场强度最大的是 （ ） 2．将一电荷量为 +Q 的小球放在不带电的金属球附近，所形成的电场线分布如图所示，金属球表面的电势处处相等．a 、b 为电场中的两点，则 如图所示，M 、N 和P 是以MN 为直径的半圆弧上的三点，O 点为半圆弧的圆心，∠MOP = 60°．电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M 、N 两点，这时O 点电场强度的大小为E 1；若将N 点处的点电荷移至P 点，则O 点的场强大小变为E 2，E 1与E 2之比为（ ） A ．1∶2 B ．2∶1 C ．2∶ 3 D ．4∶ 3 3.点电荷A 和B ，分别带正电和负电，电量分别为4Q 和Q ，在AB 连线上，如图1-69所示，电场强度为零的地方在 ( ) A ．A 和 B 之间 B ．A 右侧 C ．B 左侧 D ．A 的右侧及B 的左侧 4．如图1-70所示，平行板电容器的两极板A 、B 接于电池两极，一带正电的小球悬挂在电容器内部，闭合S ，电容器充电，这时悬线偏离竖直方向的夹角为θ，则下列说法正确的是（ ） A ．保持S 闭合，将A 板向B 板靠近，则θ增大 B ．保持S 闭合，将A 板向B 板靠近，则θ不变 C ．断开S ，将A 板向B 板靠近，则θ增大 D ．断开S ，将A 板向B 板靠近，则θ不变 图1-69 B A Q 4Q 图1-70 图1-71 A B C D
5．如图1-71所示，一带电小球用丝线悬挂在水平方向的匀强电场中，当小球静止后把悬线烧断，则小球在电场中将作（ ） A ．自由落体运动 B ．曲线运动 C ．沿着悬线的延长线作匀加速运动 D ．变加速直线运动 6.如图是表示在一个电场中的a 、b 、c 、d 四点分别引入检验电荷时，测得的检验电荷的电量跟它所受电场力的函数关系图象，那么下列叙述正确的是（ ） A ．这个电场是匀强电场 B ．a 、b 、c 、d 四点的场强大小关系是E d >E a >E b >E c C ．a 、b 、c 、d 四点的场强大小关系是E a >E b >E c >E d D ．无法确定这四个点的场强大小关系 7．以下说法正确的是（ ） A ．由q F E = 可知此场中某点的电场强度E 与F 成正比 B ．由公式q E P = φ可知电场中某点的电势φ与q 成反比 C ．由U ab =Ed 可知，匀强电场中的任意两点a 、b 间的距离越大，则两点间的电势差也一定越大 D ．公式C=Q/U ，电容器的电容大小C 与电容器两极板间电势差U 无关 8.如图1-75所示，质量为m ，带电量为q 的粒子，以初速度v 0，从A 点竖直向上射入真空中的沿水平方向的匀强电场中，粒子通过电场中B 点时，速率v B =2v 0，方向与电场的方向一致，则A ，B 两点的电势差为：( ) 9.两个用相同材料制成的半径相等的带电金属小球,其中一个球的带电量的绝对值是另一个的5倍,它们间的库仑力大小是F ,现将两球接触后再放回原处,它们间库仑力的大小可能是（ ） A.5 F /9 B.4F /5 C.5F /4 D.9F /5 10. A 、B 在两个等量异种点电荷连线的中垂线上,且到连线的距离相等,如 图1-75 A B
库仑定律 (20分钟50分) 一、选择题(本题共7小题,每小题5分,共35分) 1.下列关于点电荷的说法,正确的是 ( ) A.只有体积很大的带电体才能看成点电荷 B.体积很大的带电体一定不能看成点电荷 C.一切带电体都能看成点电荷 D.当两个带电体的大小及形状对它们之间的相互作用力的影响可以忽略时,这两个带电体才可以看成点电荷 【解析】选D。带电体能否被看成点电荷,与体积大小无关。当带电体的大小及形状对相互作用力的影响可以忽略时,这样的带电体就可以看成点电荷。例如,两带电球体半径均为a,若将它们放在球心相距3a的位置时,它们不能看成点电荷;若将它们放在相距100a的位置时,因为它们的大小和形状对相互作用力的影响非常小,小到可以忽略的程度,故此时两带电球体可以看成点电荷。 2.两个半径均为r的金属球放在绝缘支架上,两球面最近距离为r,带等量异种电荷,电荷量为Q。两球之间的静电力为下列选项中的哪一个 ( ) A.等于k B.大于k C.小于k D.等于k 【解析】选B。两球间的距离和球本身的大小差不多,不符合简化为点电荷的条件,因为库仑定律的公式计算只适用于点电荷,所以不能用公式去计算,我们可以根据电荷间的相互作用的规律来作一个定性分析。由于两带电体带等量异种电荷,电荷间相互吸引,因此电荷在导体球上的分布不均匀,会向正对的一面集中,电荷间的距离就要比3r小。 根据库仑定律,静电力一定大于k。电荷的吸引不会使电荷全部集中在相距为r的两点上,所以说静电力也不等于k。正确选项为B。
3.关于库仑定律,以下说法中正确的是( ) A.库仑定律是实验定律 B.库仑定律适用于点电荷,点电荷其实就是体积很小的带电体 C.库仑定律表示对静止的点电荷间的相互作用 D.根据库仑定律,当两个点电荷间的距离趋近于零时,则库仑力趋近于无穷大 【解析】选A。库仑定律是库仑通过实验得出的规律,实验过程中注意确保间距要大且电荷量不能变,故A正确;当两带电体的间距远大于自身的大小时,才能看成点电荷,并不是体积很小就能当作点电荷,故B错误;库仑定律只要是点电荷及其电量不变,库仑力就会满足与两电荷量的乘积成正比,与两电荷间距的平方成反比,不一定是静止的电荷,故C错误; 由公式 F=可知,当r→0时,此时已不满足点电荷条件,所以公式不适用,故D错误。 4.两点电荷相距为d,相互作用力为F,保持两点电荷的电荷量不变,改变它们之间的距离,使之相互作用力的大小变为4F,则两电荷之间的距离应变为( ) A.4d B.2d C. D.不能确定 【解析】选C。设两点电荷带电荷量分别为q1和q2,则F=k,又因为4F=k,所以d x=d,故选项C正确。 5.如图所示,abcde是半径为r的圆的内接正五边形,在其顶点a、b、c、d处各固定有电荷量为+Q的点电荷,在e处固定有电荷量为-3Q的点电荷,放置在圆心O处的点电荷-q受到的静电力的大小和方向为( ) A.,方向从e指向O B.,方向从e指向O
静电场的能量 静电场的能量 一个物体带了电是否就具有了静电能？为了回答这个问题，让我们把带电体的带电过程作下述理解：物体所带电量是由众多电荷元聚集而成的，原先这些电荷元处于彼此无限离散的状态，即它们处于彼此相距无限远的地方，使物体带电的过程就是外界把它们从无限远聚集到现在这个物体上来。在外界把众多电荷元由无限远离的状态聚集成一个带电体系的过程中，必须作功。根据功能原理，外界所作的总功必定等于带电体系电势能的增加。因为电势能本身的数值是相对的，是相对于电势能为零的某状态而言的。按照通常的规定，取众多电荷元处于彼此无限远离的状态的电势能为零，所以带电体系电势能的增加就是它所具有的电势能。于是我们就得到这样的结论：一个带电体系所具有的静电能就是该体系所具有的电势能，它等于把各电荷元从无限远离的状态聚集成该带电体系的过程中，外界所作的功。 那么带电体系所具有的静电能是由电荷所携带呢，还是由电荷激发的电场所携带？也就是，能量定域于电荷还是定域于电场？在静电学范围内我们无法回答这个问题，因为在一切静电现象中，静电场与静电荷是相互依存，无法分离的。随时间变化的电场和磁场形成电磁波，电磁波则可以脱离激发它的电荷和电流而独立传播并携带了能量。太阳光就是一种电磁波，它给大地带来了巨大的能量。这就是说，能量是定域于场的，静电能是定域于静电场的。 既然静电能是定域于电场的，那么我们就可以用场量来量度或表示它所具有的能量。 , 式中C是电容器的电容。电容器所带电量从零增大到Q的整个过程中，外力所作的总功为 . 外力所作的功A等于电容器这个带电体系的电势能的增加，所增加的这部分能量，储存在电容器极板之间的电场中，因为原先极板上无电荷，极板间无电场，所以极板间电场的能量，在数值上等于外力所作的功A，即 . (9-77) 若电容器带电量为Q时两极板间的电势差为U AB ，则平行板电容器极板间电场的能量还可以表示为
§10.2 电场 电场强度 一．选择题和填空题 1. 下列几个说法中哪一个是正确的？ （A ）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向. （B ）在以点电荷为中心的球面上， 由该点电荷所产生的场强处处相同． (C) 场强可由q F E / =定出，其中q 为试验电荷，q 可正、可负，F 为 试验电荷所受的电场力． (D) 以上说法都不正确． [ C ] 2. 如图所示，在坐标(a ，0)处放置一点电荷+q ，在坐标(-a ，0)处放置另一点电荷－q ．P 点是x 轴上的一点，坐标为(x ，0)．当x >>a 时，该点场强的大小为： (A) x q 04επ． (B) 3 0x qa επ． (C) 3 02x qa επ． (D) 204x q επ． [ B ] 3. 两个平行的“无限大”均匀带电平面， 其电荷面密度分别为＋σ和＋ 2 σ，如图所示，则A 、B 、C 三个区域的电场强度分别为： E A ＝－3σ / (2ε0)_，E B ＝_－σ / (2ε0) ， E C ＝_3σ / (2ε0)_ (设方向向右为正)． 4. d (d< 第一章 静电场 1. 已知空气中，某种球对称分布的电荷产生的电位在球坐标系中的表达式为 ()e br a r r ?=(a ，b 均为常数)，单位V ，求体电荷密度ρ。 2. 已知某空间电场强度(2)x y z E yz x e xze xye =-++，问：(1)该电场可能是静态电场吗？(2)如果是静电场，求与之对应的电位分布。 3. 一个半径为6cm 的导体球，要使得它在空气中带电且不放电，试求导体球所能带的最大电荷量及导体球表面电位。已知空气的击穿场强为6310V/m ?。 4. 从静电场基本方程出发，证明当电介质均匀时，极化电荷密度p ρ存在的条件是自由电荷的体密度ρ不为零，且有关系式0(1/)p ρεερ=--。 5. 试证明不均匀电介质在没有自由电荷体密度时可能有极化电荷体密度，并导出极化电荷体密度p ρ的表达式。 6. 一个半径为R 介质球，介电常数为ε，球内的极化强度r K P e r = ，其中K 为常数。试计算(1)束缚电荷体密度和面密度；(2)自由电荷密度；(3)球内、外的电场和电位分布。 (说明：虽然介质是均匀的，但极化强度P 不是常矢量，所以介质的极化是非均匀的。因此，介质体内可能有极化电荷，此即意味着介质内有自由电荷分布，但介质表面上通常不存在面分布的自由电荷) 7. 一个空气平行板电容器的板间距为d ，极板面积为S ，两板之间所加电压为0U 。如果保持所加电源不变，使两板的间距扩大到10d 。求下面每一个量变化的倍数：0U 、C 、E 、D 、Q 、极板面电荷密度σ、电容器储存的能量e W 。 8. 高压同轴线的最佳尺寸设计：一个高压同轴圆柱电缆，外导体的内半径为2cm ，内外导体间电介质的击穿场强为200kV/cm 。内导体的半径a ，其值可以自由选定，但有一最佳值。因为若a 太大，内外导体的间隙就变得很小，以至在给定的电压下，最大的E 会超过电介质的击穿场强。另一方面，由于E 的最大值m E 总是在内导体表面上，当a 很小时，其表面的E 必定很大。试问a 为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压值？ (击穿场强：当电场增大到某一数值时，使得电介质中的束缚电荷能够脱离它们的分子而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘性能，称为被击穿。某种材料能安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿场强)。 9. 有一分区均匀电介质电场，区域1(0z <)中的相对介电常数为1r ε，区域2(0z >)中的相对介电常数为2r ε。已知1201050x y z E e e e =-+，求1D ，2E 和2D 。 第二章 静电场 (注意：以下各题中凡是未标明电介质和导体的空间，按真空考虑） 2-1 在边长为a 的正方形四角顶点上放置电荷量为q 的点电荷，在正方形几何中 心处放置电荷量为Q 的点电荷。问Q 为何值时四个顶点上的电荷受力均为零。 解 如图建立坐标系，可得 x x x x a Q a a q E e e e 2/12242122142 0220??+???? ???+=πεπε y y y y a Q a a q E e e e 2/12242122142 0220??+??? ? ???+=πεπε 据题设条件，令 022421=??? ??+??? ? ??+Q q ， 解得 () 2214 +-=q Q 2-2 有一长为2l ，电荷线密度为τ的直线电荷。 1）求直线延长线上到线电荷中心距离为2l 处的电场强度和电位； 2）求线电荷中垂线上到线电荷中心距离为2l 处的电场强度和电位。 解 1）如图（a ）建立坐标系，题设线电荷位于x 轴上l ~l 3之间，则x 处的电荷微元在坐标原点产生的电场强度和电位分别为 ()x x x e E -=2 04d d πετ，x x 04d d πετ?= 由此可得线电荷在坐标原点产生的电场强度和电位 分别为 ()()()x l l x l l l x x e e E E -=-==??0320364d d 0πετ πετ ()3ln 44d d 0030 3l πετ πετ??===??l l l x x 2）如图（b ）建立坐标系，题设线电荷位于y 轴 上l -~l 之间，则y 处的电荷微元在点()l 2,0处产生的电场强度和电位分别为 ()r r y e E -=2 04d d πετ，r y 04d d πετ?= 式中，θθ2cos d 2d l y =，θcos 2l r =，51 4sin 22=+=l l l α，分别代入上两式，并考虑对称性，可知电场强度仅为x 方向，因此可得所求的电场强度和电位分别为 ()l l l r y l x x x x 0000020 054sin 4d cos 4cos 4d 2d 20,2πεταπετθθπετθπεταααe e e e E E =====??? 第一章 静电场 章末检测 (时间：90分钟，满分：100分) 一、不定项选择题(本题共10个小题，每小题5分，共50分) 1．如图1所示，在真空中，把一个绝缘导体向带负电的球P 慢慢靠近．关于绝缘导体两端的电荷，下列说法中正确的是( ) A ．两端的感应电荷越来越多 B ．两端的感应电荷是同种电荷 C ．两端的感应电荷是异种电荷 D ．两端的感应电荷电荷量相等 2．同一直线上的三个点电荷q 1、q 2、q 3，恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用．已知q 1、q 2间的距离是q 2、q 3间的距离的2倍．下列说法可能正确的是( ) A ．q 1、q 3为正电荷，q 2为负电荷 B ．q 1、q 3为负电荷，q 2为正电荷 C ．q 1∶q 2∶q 3＝36∶4∶9 D ．q 1∶q 2∶q 3＝9∶4∶36 3．电场强度的定义式为E ＝F q ，点电荷的场强公式为E ＝kQ r 2，下列说法中正确的是( ) A ．E ＝F q 中的场强E 是电荷q 产生的 B ．E ＝kQ r 2中的场强E 是电荷Q 产生的 C ．E ＝F q 中的F 表示单位正电荷的受力 D ． E ＝ F q 和E ＝kQ r 2都只对点电荷适用 4．下列说法中正确的是( ) A ．在电场中，电场强度大的点，电势必定高 B ．电荷置于电势越高的点，其所具有的电势能也越大 C ．电场中电场强度大的地方，沿电场线方向电势降落快 D ．一带电粒子只受电场力作用在电场中运动时，电势能一定变化 5.如图2所示，质量为m 、带电荷量为q 的粒子，以初速度v 0从A 点竖直向上射入真空中的沿水平方向的匀强电场中，粒子通过电场中B 点时，速率v B ＝2v 0，方向与电场的方向一致，则A 、B 两点的电势差为( ) 6．一带电粒子沿着图3中曲线JK 穿过一匀强电场，a 、b 、c 、d 为该电场的电势面，其中φa <φb <φc <φd ，若不计粒子受的重力，可以确定 ( ) A ．该粒子带正电 B ．该粒子带负电 C ．从J 到K 粒子的电势能增加 D ．粒子从J 到K 运动过程中的动能与电势能之和不变 7. 如图4所示，导体球A 与导体球壳B 同心，原来都不带电，也不接地，设M 、N 两 第二章 供稿：group5&2 整理：徐阳 §1静电场中的导体 概念： 1.静电平衡：当自由电子不作宏观运动（没有电流）时的状态。 2．平衡条件：导体内部场强处处为0。（仅当导体内部不受除静电力以外其它力。例如一节电池，还必须有不为0的静电场力来抵消非静电力来达到平衡。3.静电屏蔽：无论封闭导体壳是否接地，壳内电荷不影响壳外电场；封闭导体壳接地时，壳外电荷不影响壳内电场（不接地时可能影响）。 公式： σ ε0（运用高斯定理） 1.导体表面附近场强： dFσ= 2.导体表面单位面积所受静电力：ds2ε0（运用公式1、叠加原理E= 及体内场强为0） 推论： 1.静电平衡时，导体是个等势体，处处电势相等，导体表面是个等位面；导体以外靠近表面地方场强方向垂直表面。 2．对于实心导体：净电荷只存在于外表面 对于内部有空腔导体：若空腔内无净电荷，； 若空腔有净电荷q，内表面感生出-q，其余净电荷只分布于外表面。 3．对于孤立导体：凸处（表面曲率为正且较大）电荷面密度较大，凹处（表面曲率为负且较小）电荷面密度较小。所以凸处易产生尖端放电， 应用： 1.避雷针。 2.为了避免输电过程中的电晕，导线要求光滑且半径较大。 3.库仑平方反比律的精确验证。 4.利用法拉第圆筒吸走带电体的净电荷。 5.范德格拉夫起电机：使导体电位不断升高，加速带电粒子。 §2 电容器 1概念： 电容：对于一个确定的孤立导体，电位U随着带电量Q的增加而成比例的增加，所以定义C=Q U.(注意：C和电容器自身属性有关，和Q、 U无关，这只是定义和度量方法) 2电容的计算方法： 1.定义：场强积分得出U，再根据 C=C=QU。（注意：这是最根本的方法！） 2.利用串并联关系：串联： 3常见电容： 1.平行板电容器：C=C1?C2C1+C2；并联：C=C1+C2 ε0S d 2.球形电容器：C=4πε0R（不过只有一极，实用价值不大） C= 3.同心球电容器：4πε0R1R24πε0R12ε0SC0≈=R2-R1（1)当R2-R1=d< 第一章静电场 全章概述 本章主要研究静电场的基本性质及带电粒子在静电场中的运动问题。场强和电势是分别描述电场的力的性质和能的性质的两个物理量。正确理解场强和电势的物理意义，是掌握好本章知识的关键。本章的其他内容，如导体在电场中的静电感应现象和静电平衡问题，实质上是电场中力的性质研究的继续；电势差、电场力的功、电势能的变化等是电场的能的性质讨论的延伸；带电粒子在电场中的运动问题则是电场中上述两性质的综合运用。本章的内容是电学的基础知识，也是学习以后各章的准备知识。 新课标要求 1．掌握库仑定律和电荷守恒定律。 2．了解电场、电场强度及电场线，能进行电场强度的计算，特别是在匀强电场中的计算。 3．掌握电场力做功与电势能的关系，理解电势，能画出等势面。 4．根据做功原理，能够计算两点间的电势差。 5．理解电势差与电场强度的关系，能进行简单计算。 6，了解电容器的构成及常用的电容器，掌握平行板电容器的性质。 7．掌握带电粒子在电场中的加速及偏转，并会对其进行计算。 1.1 电荷及其守恒定律 教学目标： （一）知识与技能 知道各种起电方法及实质，认识元电荷，掌握电荷守恒定律的内容。 （二）过程与方法 结合具体事实理解概念及定律，化抽象为具体。 （三）情感、态度与价值观 体会生活中的静电现象，提高抽象思维水平。培养学生对实验的观察和分析的能力。 教学重点：掌握电荷的基本性质与电荷守恒定律。 教学难点：电荷基本性质与电荷守恒定律的理解及应用。 教学方法：实验归纳法、讲授法 教学用具：静电感应演示器、玻璃棒、丝绸，多媒体辅助教学设备 教学过程 （一）引入新课 教师：初中学过自然界有几种电荷，它们间的相互作用如何？电荷的多少用什么表示？ 学生：自然界只存在两种电荷，同种电荷互相排斥，异种电荷相互吸引。电荷的多少是用电荷量来表示。 教师：一般情况下物体不带电，不带电的物体内是否存在电荷？如何使物体带电？ 学生：不带电的物体内存在电荷，且存在等量正、负电荷，在物体内中和，对外不显电性。用摩擦的方法可以使物体带电，用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电，用毛皮摩擦过的硬橡胶棒带负电。 教师：摩擦起电的实质是什么？ 第二章静电场 重点和难点 电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分 形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方 程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特 性。 利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。 通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三 种方法。 至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、 各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密 度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静 电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。 关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量 不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常 电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可 以从简。 重要公式 真空中静电场方程： q E d SE d l 0积分形式： Sl EE 0微分形式： 已知电荷分布求解电场强度： 1(r ) 1，E (r )(r )；(r )d V 4|rr| V 0 2， E (r ) V 4 (r 0 )( | r r r r ) 3 | d V q E d S 3， 高斯定律 S 1 介质中静电场方程： E d l0 积分形式：D d S q S l 微分形式：DE0 线性均匀各向同性介质中静电场方程： q E d SE d l0积分形式： S l 微分形式：EE0 静电场边界条件： 1，E1t E2t。对于两种各向同性的线性介质，则 D 1tD t 2 12 2，D2n D1ns。在两种介质形成的边界上，则 D 1 2n nD 对于两种各向同性的线性介质，则 E 2n 1 12 nE 3，介质与导体的边界条件： e n E0；e n DS 若导体周围是各向同性的线性介质，则 S S E； n n 静电场的能量： 第二篇 电磁学 第一章 静电场 1-1 解：设正方形的边长为a ，则点电荷Q 所受的电场力分别为 2 12 01 42Q F a πε= ； 232 01 4Qq F F a πε== ； 由于作用在Q 上的力为零，故 2 122 00012cos 4542Q F F a πε==== 从上式可知Q 与q 的关系为 Q =- （带异种电荷） 1-2 解：沿细棒方向建立坐标系，中点为坐标原点O ，距离坐标原点x 处取一线元d x ，带 电量为d d q q x L = 可看做点电荷，它到点电荷0q 的距离为r ，故两点电荷之间的作用力为 0022200d 1 d d 44q q q q x F L r x a πεπε= = + 整个细棒与点电荷0q 的作用力为 ? -+=22 2 2004L L a x dx L q q F πε 根据对称性可知沿x 轴库仑力的分量0=x F 。 沿y 轴库仑力的分量为 L y F == ? 1-3 解：将正的试探电荷0q 放在点)1P -处，根据库仑定律可得试探电荷受到的库仑力为 r e q Q F 4410101πε-= j q Q F y 1 410202πε= 将1F 分解在,x y 方向上有?=30cos 11F F x ，?-=30cos 11F F y 故点)1P -处的场强为 12100 y y x F F F E i j q q += + ，即 j i j Q Q i Q E 6.90149.381645.023160 2101+-=+-=πεπε 大小为E == C N /7.9014 方向为与x 轴正向夹角为?且0043.06 .80146 .38tan -=- =? 1-4 解：（1）沿棒长方向建立坐标，A 为坐标原点。设棒的带电量为q ，在棒上距坐 标原点x 处取线元d x ，带电量为d d q q x L =，则其在距棒B 端为a 处激发的电 第二章 静电场 习题2.1 真空中有一密度为2πnC/m 的无限长电荷沿y 轴放置，另有密度分别为0.1nC/m 2和-0.1nC/m 2 的无限大带电平面分别位于z =3m 和z =-4m 处。求点 P （1,7,2）的电场强度E 。 z=-4 x y z z=3 τ O 图2.1 题意分析： 题目中给出了3 个不同类型电荷的位置与大小，计算空间中一点的电场强度E 。可 以先分别计算每个电荷在场点产生的电场强度，然后采用叠加原理得出总的场强。考虑平面电荷与直线电荷的电场共同产生电场，选用用直角坐标系进行计算比较合适，如图2.1所示，对圆柱坐标系中计算出的直线电荷电场，需要转换成直角坐标下的形式，再进行矢量叠加求总电场。 解： （1）计算无限大平板在P 点产生的电场强度 在计算无限大平板在P 点产生的电场强度时，建立图2.1所示的直角坐标系，则位 于z =3m 处的无穷大带电平板在P 点产生的电场强度1σE 为： Z e E 0 21.01εσ-= （1） 位于z =-4m 的无穷大带电平板在P 点产生的电场强度为： Z e E 0 21.02εσ-= （2） 因此，2个无穷大带电板在P 点产生的合成场强1E 为： Z e E 11.0ε-= （3） （2）计算无穷长直电荷产生的电场强度 对于圆柱坐标系中位于z 轴上的长直电荷产生的电场强度至于场点的ρ坐标有关，其电场强度的表达式为： ρ ρ πετ e E 02- = z=-4 x y z z=3 τ O z' ρ O' 图2.2 因此图2.2中所示在沿y 轴放置的无穷长线电荷产生的电场2E 为： ρ ρ πετ e E 022- = 式中 2 2 x z ρ= + z x e z x z e z x x e 2 2 2 2 ++ += ρ ∴ () z x z x e z e x z x e z x z e z x x z x E ++=???? ??++ ++= 2 2 02 22 2 220 21 1 122επεπ 所以，P 点(1,7,2)的电场强度E 为: 人教版物理高二上学期《静电场》知识点归纳 考点1.电荷、电荷守恒定律 自然界中存在两种电荷：正电荷和负电荷。例如：用毛皮摩擦过的橡胶棒带负电，用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电。 1. 元电荷：电荷量e=1.60×10-19C 的电荷，叫元电荷。说明任意带电体的电荷量都是元电荷电荷量 的整数倍。 2. 电荷守恒定律：电荷既不能被创造，又不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，电荷的总量保持不变。 3. 两个完全相同的带电金属小球接触时,电量分配规律:原带异种电荷的先中和后平分,原带同种电荷的总量平分。 考点2.库仑定律 1. 内容：在真空中静止的两个点电荷之间的作用力跟它们的电荷量的乘积成正比，跟它们之间的距离的平方成反比，作用力的方向在他们的连线上。 2. 公式：叫静电力常量）式中,/100.9(229221C m N k r Q Q k F ??== 3. 适用条件：真空中的点电荷。 4. 点电荷：如果带电体间的距离比它们的大小大得多，以致带电体的形状对相互作用力的影响可忽略不计，这样的带电体可以看成点电荷。 考点3.电场强度 1.电场 （1）定义：存在于电荷周围、能传递电荷间相互作用的一种特殊物质。 （2）基本性质：对放入其中的电荷有力的作用。 2.电场强度 ⑴ 定义：放入电场中的电荷受到的电场力F 与它的电荷量q 的比值，叫做该点的电场强度。 ⑵ 单位：N/C 或V/m 。 ⑶ 电场强度的三种表达方式的比较 ⑷方向：规定正电荷在电场中受到的电场力的方向为该点电场强度的方向，或与负电荷在电场中受到的电场力的方向相反。 ⑸叠加性：多个电荷在电场中某点的电场强度为各个电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，这种关系叫做电场强度的叠加，电场强度的叠加尊从平行四边形定则。 考点4.电场线、匀强电场 1.电场线：为了形象直观描述电场的强弱和方向，在电场中画出一系列的曲线，曲线上的各点的切线方向代表该点的电场强度的方向，曲线的疏密程度表示场强的大小。 2.电场线的特点 ⑴电场线是为了直观形象的描述电场而假想的、实际是不存在的理想化模型。 ⑵始于正电荷或无穷远，终于无穷远或负电荷，静电场的电场线是不闭合曲线。 ⑶任意两条电场线不相交。 ⑷电场线的疏密表示电场的强弱，某点的切线方向表示该点的场强方向，它不表示电荷在电场中的运动轨迹。 ⑸沿着电场线的方向电势降低；电场线从高等势面（线）垂直指向低等势面（线）。 3.匀强电场 ⑴定义：场强方向处处相同，场强大小处处相等的区域称之为匀强电场。 ⑵特点：匀强电场中的电场线是等距的并行线。平行正对的两金属板带等量异种电荷后，在两板之间除边缘外的电场就是匀强电场。 4.几种典型的电场线 孤立的正电荷、负电荷、等量异种电荷、等量同种电荷、带等量异种电荷的平行金属板间（正点电荷与大金属板间）的电场线 考点5.电势能 1.定义：电荷在电场中某点的电势能在数值上等于把电荷从这一点移动到电势能为零处（电势为零） 第2章 静电场(二) 2.1 静电场的唯一性定理及其应用 静电场中的待求量：电场强度E ，静电力F 。 静电场求解方法： (1) 直接由电场强度公式计算； (2) 求解泊松方程(或拉普拉斯方程)→电位→电场强度E 。 唯一性定理的重要意义：确定静电场解的唯一性。 2.1.1 唯一性定理 静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的。 2.1.2 导体边界时，边界条件的分类 (1) 自然边界条件：有限值参考点=∞ →?r r lim (相当于指定电位参考点的值) (2) 边界衔接条件：σ?ε?ε??=??-??=n n 221121 (该条件主要用于求解区域内部) (3) 导体表面边界条件 (a) 给定各导体表面的电位值。(第一类边界条件) (b) 导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量。 该条件相当于给定了第二类边界条件。在求解过程中，可通过积分运算确定任意常数。 S n ??-=?εσ，(注：n 的正方向由介质导向导体内部) (c) 给定某些导体表面的电位值及其它每一导体表面的电荷量。 相当于给定了第三类边界条件。 思考？ 为什么条件(a),或(c)可唯一确定电位函数，而条件(b)确定的电位函数相关任一常数？ 答：边值问题的求解所需的边界条件有：自然边界条件、衔接条件和区域边界条件。条件(a)，(c)中，同时给定了边界条件和自然边界条件，与条件(2)结合，可唯一地确定场解；而条件(c)没有指定自然边界条件(电位参考点的值)，因而，其解相差一个任意常数。 2.1.3 静电场唯一性定理的意义 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等)提供了思路及理论根据 第二章 重点和难点 电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导岀微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。 利用亥姆霍兹定理，直接导岀真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳岀根据电荷分布计算电场强度的三种方法。 至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。 关于静电场的能量与力，应总结岀计算能量的三种方法，指岀电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可以从简。 重要公式 真空中静电场方程： q 积分形式：：i E d S E d I = 0 S - - I % 微分形式：'' E= —V E =O 已知电荷分布求解电场强度： 1，E (r )--''?(r); φ( r) -[ . (IdV 4 叭J I r —r | 2， r P(r )( r E (r) LV 4πε0 | r ^r)d" 3 -r I 3，r q E d S = S；0 高斯定律 介质中静电场方程： 静电场 积分形式：■. D d S =q =S E ■ l d I= 0 微分形式：? D=-V X E= 0线性均匀各向同性介质中静电场方程： 积分形式： q E d S =- ■2 S ε I E d I= 0 微分形式：V E =V X E= 0静电场边界条件： 1,E1t =E2t。对于两种各向同性的线性介质，贝U D 1t D 2t ∑1 2,D2n-D1n = I。在两种介质形成的边界上，则 Dm = D2n 对于两种各向同性的线性介质，则 ；疋仆_ ；2E2n 3,介质与导体的边界条件： e n E =O ；e n D = \ 若导体周围是各向同性的线性介质，则 ;:n 静电场的能量： 第二章静态电磁场I：静电场 2．1 基本方程与场的特性 1．静态电磁场 c J H= ? ? = ? ?E ??B = 0 ??D = ρ 可见，在静止条件下电场和磁场之间没有相互耦合的关系，可以分别对电场和磁场进行分析和讨论。由于此时电场或磁场的源量与场量都不随时间变化，故统称为静态电磁场。 2．静电场的基本方程 = ? ?E ??D = ρ 其媒质的构成方程为D = εE 显然，静电场是有散(有源)、无旋场。 3．静电场的有散性 在真空中，有 ε ρ = ? ?E 其积分形式为（高斯定理）： V S q dV d ε ε ρ = = ? ? ?S E 上图表明：静电场是有散(有源)场。若场中某点▽?E>0，则ρ >0(正电荷)，该点电力线向外发散，且为“源”的所在处；若某点▽?E<0，则ρ<0(负电荷)，电力线从周围向该点汇集，是“汇”的所在处；若某点的▽?E=0，则ρ =0(无电荷)，电力线既不自该点发出，也不向该点汇集，而是通过该点，因此该点不存在场源。 ▽?E < 0，ρ < 0 图散度与场源的关系 ▽?E > 0，ρ > 0▽?E = 0，ρ = 0 4．静电场的无旋性 ▽×E ＝0 这表明静电场的旋度处处为零，静电场为无旋场，其电力线不是闭合曲线。 对右图闭合曲线作曲线积分，并应用斯托克斯定理，得： 0d d d d S ????=???=?+?=?S E l E l E l E BnA AmB AmBnA 即 ????=?-=?AnB BnA AmB l E l E l E d d d 表明在静电场中，电场力作功与路径无关，仅取决于起点和终点的位置。 2．2 自由空间中的电场 1．电位函数的引入 因为??E =0，由矢量恒等式??(??)=0，E (r )可以表示为 ()()r r E ?-?= 式中，称为标量函数?(r )为静电场的标量电位函数，简称电位。上式表明，自由空间中任一点静电场的电场强度E 等于该点电位梯度的负值。另外，由亥姆霍兹定理，有： ()()()r A r r E ??+-?=? 式中 ()()?'''-'??'π= V V d 41r r r E r ? ()() ?'''-'??'π= V V d 41r r r E r A R =|r - r ' | = [(x - x ' )2 + (y - y ' )2 + (z - z ' )2]1/2 由静电场的基本方程，得： ()()?'''π= V 0V d R 41r r ρε? A (r ) = 0 显然，亥姆霍兹定理再次证实了()()r r E ?-?=。 2．电位函数的表达式 图 电场力作功与路径无关 第二章 静电场 重点和难点 本章的重点是，静电场方程、边界条件和介质的电特性等。主要讲解如何由积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。 利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。 对于介质的电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。 介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程在边界上不成立。 关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容一节可以从简。 题 解 2-1 若真空中相距为d 的两个电荷q 1及q 2的电量分别为q 及4q ，当点电荷q '位于q 1及q 2的连线上时，系统处于平衡状态，试求q '的大小及位置。 解 要使系统处于平衡状态，点电荷q '受到点电荷q 1及q 2的力应该大小相等，方向相反，即q q q q F F ''=21。那么，由 122122 010224π4πq q q q r r r r εε'' =?=，同时考虑到d r r =+21，求得 d r d r 3 2 ,3121== 可见点电荷q '可以任意，但应位于点电荷q 1和q 2的连线上，且与点电荷1q 相距 d 3 1 。 2-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为 ) 0,1,0( ,4 )1,0,1( ,1 )1,0,0( ,1332211P C q P C q P C q === 试求位于)0,1,0(-P 点的电场强度。 解 令321,,r r r 分别为三个 点电荷的位置321,,P P P 至P 点的距离，则21=r ，32=r ， 23=r 。 利用点电荷的场强公式2 04πr q r ε= E e ，式中r e 为点电 荷q 指向场点P 的单位矢量。那么，1q 在P 点的场强大小为112 01014π8πq E r εε= =，方向 为)1r y z =+e e e ；2q 在P 点的场强大小为222 020 1 4π12πq E r εε= =，方向 为)2r x y z =++e e e e ；3q 在P 点的场强大小为 332 030 14π4πq E r εε= =，方向为3r y =-e e 。P 点的合成电场强度为 1230 1 1 π4x y z ε=++???=- +++????E E E E e e E2014作业02_第一章静电场
第二章静电场题解
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