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几何学的变革
9.1 欧几里得平行公设
直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下．解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧氏几何本身的内容．解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位．许多数学家都相信欧里几得几何是绝对真理，例如巴罗就曾列举8点理由来肯定欧氏几何，说它概念清晰；定义明确；公理直观可靠而且普遍成立；公设清楚可信且易于想象；公理数目少；引出量的方式易于接受；证明顺序自然；避免未知事物，他因而极立主张将数学包括微积分都建立在几何基础之上．17、18世纪的哲学家从霍布斯(Hobbes)、洛克(Locke)到康德(I．Kant)，也都从不同的出发点认为欧氏几何是明白的和必然的。难怪笛卡儿在发明了解析几何以后仍坚持对每一个几何作图给出综合证明，牛顿在首次公开他的微积分发明时也坚持给它披上几何的外衣.
然而，这个近乎科学“圣经”的欧几里得几何并非无懈可击．事实上，公元前3世纪到18世纪末，数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完美与正确，但有一件事却始终让他们耿耿于怀，这就是欧几里得第五公设，也称平行公设．在欧氏几何的所有公设中，唯独这条公设显得比较特殊．它的叙述不像其他公设那样简洁、明了，当时就有人怀疑它不像是一个公设而更像是一个定理，并产生了从其他公设和定理推出这条公设的想法．欧几里得本人对这条公设似乎也心存犹豫，并竭力推迟它的使用，一直到卷I命题29才不得不利用它．
因此，从古希腊时代开始，数学家们就一直没有放弃消除对第五公设疑问的努力．他们或者寻求以一个比较容易接受、更加自然的等价公设来代替它，或者试图把它当作一条定理由其他公设、公理推导出来．在众多的替代公设中，今天最常用的是：
“过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”．
—般将这个替代公设归功于苏格兰数学家、物理学家普莱菲尔(J.Playfair，1748—1819)，所以有时也叫普莱菲尔公设．但实际上古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5世纪就陈述过它，然而问题是，所有这些替代公设并不比原来的第五公设更好接受、更加“自然”．
历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫(Ptolemy，约公元150)作出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线平行于该直线，这就是上面提到的普莱菲尔公设．如第4章所述，中世纪的阿拉伯数学家奥玛·海雅姆和纳西尔丁等也尝试过第五公设的“证明”．
文艺复兴时期对希腊学术兴趣的恢复使欧洲数学家重新关注起第五公设．在17世纪研究过第五公设的数学家有沃利斯等．但每一种“证明”要么隐含了另一个与第五公设等价的假定，要么存在着其他形式的推理错误．而且，这类工作中的大多数对数学思想的进展没有多大现实意义．因此，在18世纪中叶，达朗贝尔曾把平行公设的证明问题称为“几何原理中的家丑”．但就在这一时期前后，对第五公设的研究开始出现有意义的进展．在这方面的代表人物是意大利数学家萨凯里(G.Saccheri)、德国数学家克吕格尔(G.S.Klugel)和瑞士数学家兰伯特．
萨凯里最先使用归谬法来证明平行公设．他在一本名叫《欧几里得无懈可击》(1733)的书中，从著名的“萨凯里四边形”出发来证明平行公设．萨凯里四边形是一个等腰双直角四边形，如图，其中,
AC ∠A=∠B且为直角．
BD
不用平行公设容易证明∠C=∠D．萨凯里指出，顶角具有三种可能性并分别将它们命名为
1．直角假设：∠C和∠D是直角；
2．钝角假设：∠C和∠D是钝角；
3．锐角假设：∠C和∠D是锐角．
可以证明，直角假设与第五公设等价．萨凯里的计划是证明后两个假设可以导致矛盾，根据归谬法就只剩下第一个假设成立，这样就证明了第五公设．萨凯里在假定直线为无限长的情况下，首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中他获得了一系列新奇有趣的结果，如三角形三内角之和小于两个直角；过给定直线外一给定点，有无穷多条直线不与该给定直线相交，等等．虽然这些结果实际上并不包含任何矛盾，但萨凯里认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾而判定锐角假设是不真实的．
萨凯里的工作激发了数学家们进一步的思考．1763年，克吕格尔在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的结论．克吕格尔是第一位对平行公设能否由其他公理加以证明表示怀疑的数学家．他的见解启迪兰伯特对这一问题进行了更加深入的探讨．
1766年，兰伯特写出了《平行线理论》一书，在这本书中，他也像萨凯里那样考虑了一个四边形，不过他是从一个三直角四边形出发，按照第四个角是直角、钝角还是锐角作出了三个假设．由于钝角假设导致矛盾，所以他很快就放弃了它．与萨凯里不同的是，兰伯特并不认为锐角假设导出的结论是矛盾，而且他认识到一组假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的几何．因此，兰伯特最先指出了通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学的道路．
萨凯里、克吕格尔和兰伯特等，都可以看成是非欧几何的先行者．然而，当他们走到了非欧几何的门槛前，却由于各自不同的原因或则却步后退(如萨凯里在证明了一系列非欧几何的定理后却宣布“欧几里得无懈可击”)，或则徘徊不前(兰伯特在生前对是否发表自己的结论一直踌躇不定，《平行线理论》一书是他死后由朋友发表的)．突破具有两千年根基的欧氏几何传统的束缚，需要更高大的巨人，这样的时机在19世纪初逐渐成熟，并且也像解析几何、微积分的创立一样，这样的人物出现了不止一位．对非欧几何来说，他们是高斯、波约(J.Bolyai，1802—1860)和罗巴切夫斯基(N.I.Lobachevsky,1793-1856)．
9.2 非欧几何的诞生
前面讲过，在非欧几何正式建立之前，它的技术性内容已经被大量地推导出来．但最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述物质空间、像欧氏几何一样正确的新几何学的是高斯．
从高斯的遗稿中可以了解到，他从1799年开始意识到平行公设不能从其他的欧几里得公理推出来，并从1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何．他起先称之为“反欧几里得几何”，最后改称为“非欧几里得几何”，所以“非欧几何”这个名称正是来自高斯．但他除了在给朋友的一些信件中对其非欧几何的思想有所透露外，高斯生前并没有发表过任何关于非欧几何的论著．这主要是因为他感到自己的发现与当时流行的康德空间哲学相抵触，担心世俗的攻击．他曾在给贝塞尔(P.W.Bessel)的一封信中说：如果他公布自己的这些发现，“黄蜂就会围着耳朵飞”，并会“引起波哀提亚人的叫嚣”．这里所讲的波哀提
亚人是古希腊的一个部落，向以愚昧著称，高斯是借此影射那些反对他的人．高斯素有“数学之王”的美誉，在许多数学领域都有奠基性贡献，但对于非欧几何却怯于公开同传统挑战，可见为新思想开辟道路并不是件容易的事情．当声誉甚隆的高斯决定将自己的发现秘而不宣时，一位尚名不见经传的匈牙利青年波约却急切地希望通过高斯的评价而将自己关于非欧几何的研究公诸于世，波约的父亲F．波约是高斯的朋友，也是一位数学家．1832年2月14日，F.波约将他儿子的一篇题为《绝对空间的科学》的26页文章寄给高斯，这篇文章也作为F．波约刚刚完成的一本数学著作的附录而发表，其中论述的所谓“绝对几何”就是非欧几何．F．波约请高斯对他儿子的论文发表意见，然而高斯回信说：“称赞他(即J.波约)就等于称赞我自己．整篇文章的内容，您儿子所采取的思路和获得的结果，与我在30至35年前的思考不谋而合．”J.波约对高斯的答复深感失望，认为高斯想剽窃自己的成果．1840年俄国数学家罗巴切夫斯基关于非欧几何的德文著作出版后，更使J.波约灰心丧气，从此便不再发表数学论文，而他的父亲倒很开通，安慰他说：“春天的紫罗兰在各处盛开．”
在非欧几何的三位发明人中，只有罗巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己的研究成果，并且也是最坚定地宣传和捍卫自己的新思想的一位。他先是于1826年在喀山大学发表了《简要论述平行线定理的一个严格证明》的演讲，报告了自己关于非欧几何的发现，而后又在1829年发表了题为《论几何原理》的论文，这是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献，但由于是用俄文刊登在《喀山通讯》上而未引起数学界的注意．罗巴切夫斯基后来为发展、阐释这种新几何学而付出了毕生心血．他生前发表了许多论著，其中1835--1838年间的系列论文《具有完备的平行线理论的新几何学原理》较好地表述了他的思想，而1840年用德文出版的《平行理论的几何研究》则引起高斯的关注，这使他在1842年成为德国哥廷根科学协会会员．
罗巴切夫斯基非欧几何的基本思想与高斯、波约是一致的，即用与欧几里得第五公设相反的断言：通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直线平行于已知直线，作为替代公设，由此出发进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理．罗巴切夫斯基明确指出，这些定理并不包含矛盾，因而它的总体就形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论，这个理论就是一种新的几何学——非欧几里得几何学．设给定了直线a和直线外一点A，从A引a的垂直线AB．按照罗巴切夫斯基的基本假设，至少存在两条直线'
b，通过点A且不与直线a相交(左图，注意图形在
,b
这里只起辅助理解的作用，罗氏论证的并不是我们普通平面上所作的图)．罗巴切夫斯基考虑所有过A不与a相交的直线的极限情形，指出这样的极限直线有两条(c 与'c)，并证明了它们也不与a相交．因此，c与'c，便构成了所有不与a相交的直线的边界，在这两条边界直线所成夹角 内的所有直线都不与a相交(右图)．罗
巴切基称c与'c为a的“平行线”，而落在角口内的所有直线叫不相交直线．如果按不相交即平行的意义理解，那么罗巴切夫斯基的几何里，过直线外一点就可以引无穷多条直线与给定的直线平行．
罗巴切夫斯基还将夹角β的一半称为“平行角”，因β小于两直角，故平行角小于直角．罗巴切夫斯基发现，平行角是点A到直线a的距离d的函数．若把平行角记作)
(d
π，则
2
)
(
π
π=
d时，就得到欧氏平行公设．若0
→
d，则)
(d
π单调增
加且趋于
2
π
；而∞
→
d时，)
(d
π单调减少且趋于0．换句话说，如果在离直线a很远处作与此直线垂线很小夹角的直线，那么我们可以沿着这条“倾斜”的直线前进而永远不与直线a相遇!
用欧氏几何的眼光来看，罗巴切夫斯基几何还有许多令人惊奇的结果，我们只能举一些例子，如：
1．三角形三内角之和小于两直角，假如三角形变大，使它所有三条高都无限增长，则它的三个内角全部趋向于零；
2．不存在面积任意大的三角形；
3．如果两个三角形的三个角相等，它们就全等；
4．圆周长p不与半径r成正比，而是更迅速地增长，并符合下面的公式
),
(k
r
k
r
e
e
k
p
-
-
=π
其中k是依赖于长度单位的常数．利用k
r
e的级数展开又可以得到
.
6
1
1
2
2
2
??
?
?
?
?
+
+
=
k
r
r
pπ
因此，常数k越大，
k
r
就越小，上述公式就越接近于普通欧氏几何中的圆周长公式r
pπ
2
=．这只是一个例子，说明罗巴切夫斯基几何在极限情形下就变成欧几里得几何．
罗巴切夫斯基还发展了非欧三角学，得出一系列三角公式，主要有(如图)：
).
(
sin
)
(
sin
)
(
sin
),
(
sin
cos
sin
,
sin
)
(
cot
)
(
cot
b
a
c
b
B
A
A
c
a
π
π
π
π
π
π
=
=
=
我们不可能在这里全面展开罗巴切夫斯基几何的技术内容，并具体推导那些
公式、结论．当罗巴切夫斯基一开始公布他的这些新几何学的定理时，的确遭到了高斯所预料的“波哀提亚人的叫嚣”．许多人群起攻之，说新几何是“荒唐的笑语”，是“对有学问的数学家的嘲讽”等等．面对种种攻击，罗巴切夫斯基表现出比高斯更有勇气．一直到1855年，当他已是一位双目失明的老人时，他还口述发表了一本叫《泛几何学》的著作，坚信自己的新几何学的正确性．罗巴切夫斯基同时坚信这种新的几何学终有一天“可以像别的物理规律一样用实验来检验”．
9.3 非欧几何的发展与确认
非欧几何从发现到获得普遍接受，经历了曲折的道路．要达到这一目标，需要确实地建立非欧几何自身的无矛盾性和现实意义．罗巴切夫斯基终其一生努力最后并没有实现这个目标．在他之后，非欧几何的发展正是朝着这样的方向进行的．
首先是德国数学家黎曼(B.Riemann ，1826—1866)在1854年发展了罗巴切夫斯基等人的思想而建立了一种更广泛的几何，即现在所称的黎曼几何．罗巴切夫斯基几何以及欧氏几何都只不过是这种几何的特例．
黎曼的研究是以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基础的．内蕴微分几何也是19世纪几何学的重大发展之一．我们知道，在蒙日等人开创的微分几何中，曲面是在欧氏空间内考察的，但高斯1828年发表的论文《关于曲面的一般研究》则提出了一种全新的观念，即一张曲面本身就构成一个空间．它的许多性质(如曲面上的距离、角度、总曲率是等)并不依赖于背景空间，这种以研究曲面内在性质为主的微分几何称为“内蕴微分几何”．
在他1854年发表的题为《关于几何基础的假设》的演讲中，黎曼将高斯关于欧氏空间中曲面的内蕴几何推广为任意空间的内蕴几何．他把n 维空间称作一个流形，n 维流形中的一个点，可以用n 个参数n x x x ,,,21 的一组特定值来表示，这些
参数就叫作流形的坐标．
黎曼从定义两个邻近点的距离出发，假定这个微小距离的平方是一个二次微分齐式
∑∑===n i n
j j i ij dx dx g
ds 112,
其中ij g 是坐标n x x x ,,,21 的函数，ji ij g g =，并且上式右边总取正值．这个表达式
后来以“黎曼度量”著称．
在此基础上，黎曼又定义了曲线的长度，两曲线在一点的交角等，所有这些度
量性质都是仅由2ds 表达式中的系数ij g 确定的．黎曼还引进了流形曲率的概念．
在黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间(即在每一点上曲率都相等的流形)，对于三维空间，有以下三种情形：
1．曲率为正常数；
2．曲率为负常数；
3．曲率恒等于零．
黎曼指出后两种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何学和通常的欧氏几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学．在这种几何中，过已知直线外一点，不能作任何平行于该给定直线的直线．这实际上是以前面提到的萨凯里等人的钝角假设为基础而展开的非欧几何学．
在黎曼之前，从萨凯里到罗巴切夫斯基，都认为钝角假设与直线可以无限延长的假定矛盾，因而取消了这个假设．但黎曼区分了“无限”与“无界”这两个概念，认为直线可以无限延长并不意味着就其长短而言是无限的，只不过是说，它是无端的或无界的．可以证明，在对无限与无界概念作了区分以后，人们在钝角假设下也可像在锐角假设下一样，无矛盾地展开一种几何．这第二种非欧几何，也叫(正常曲率曲面上的)黎曼几何，作为区别，数学史文献上就把罗巴切夫斯基
发现的非欧几何叫作罗巴切夫斯基几何．普通球面上的几何就是黎曼非欧几何，其上的每个大圆可以看成是一条“直线”．容易看出，任意球面“直线”都不可能永不相交(如图)．
黎曼可以说是最先理解非欧几何全部意义的数学家．他创立的黎曼几何不仅是对已经出现的非欧几何(罗巴切夫斯基几何)的承认，而且显示了创造其他非欧几何的可能性。但黎曼的理论仍然难以被同时代人理解．他的上述演讲是在他出任哥廷根大学讲师一职时按规定所作的．
为了照顾大多数听众，黎曼在其演讲中已经去掉了许多技术性的细节，尽管如此，但据说除了年迈的高斯外没有人能听懂黎曼的意思．
黎曼也是现代数学史上最具创造性的数学家之一．他1826年出生在一个牧师家庭，由于家庭环境的影响，黎曼最初进人哥廷根大学时学的是神学和哲学，但不久他就喜欢上了数学，在征得父亲同意后，黎曼将数学选定为自己的专业．然而经过一年后，他发现哥廷根大学开设的数学课程过于陈旧，甚至连高斯也在讲初等的课程，于是他决定去柏林随雅可比、狄利克雷(Dirichlet)等数学家学习．1849年，黎曼重返哥廷根在高斯指导下做博士论文，题目为《单复变函数一般理论基础》．结果，这篇论文得到了高斯的赞赏，他以少有的激情给作者写了如下评语：“黎曼先生提交的博士论文提供了可信的证据，表明作者对他的论文所涉及的主题进行了全面、深入的研究，显示了一个具有创造力的、活跃的、真正数学的头脑以及了不起的富有成果的独创性．”后来，黎曼在狄利克雷之后继承了高斯在哥廷根的数学教授席位．
不幸的是，黎曼正值他的创造高峰时因感染上肺结核而去世，死时还不到40岁．黎曼在他短暂的一生中，对于几何、分析和物理学的众多领域都作了开创性的贡献．有数学家评论说：“黎曼是一个富有想象的天才，他的想法即使没有证明，也鼓舞了整整一个世纪的数学家．”
19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米(E.Beltrami)、德国数学家克莱因(F.Klein)和法国数学家庞加莱(H.Poincare)等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义．至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解．
9.4 射影几何的繁荣
非欧几何揭示了空间的弯曲性质，将平直空间的欧氏几何变成了某种特例．实际上，如果将欧几里得几何限制于其原先的涵义——三维、平直、刚性空间的几何学，那么19世纪的几何学就可以理解为一场广义的“非欧”运动：从三维到高维；从平直到弯曲；…而射影几何的发展，又从另一个方向使“神圣”的欧氏几何再度“降格”为其他几何的特例．
在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，其早期开拓者德沙格、帕斯卡等主要是以欧氏几何的方法处理问题，并且他们的工作由于18世纪解析几何与微积分发展的洪流而被人遗忘．
到18世纪末与19世纪初，蒙日的《画法几何学》(Geometrie descriptive，1799)以及蒙日学生卡诺(L.Carnot)等人的工作，重新激发了人们对综合射影几何的兴趣．不过，将射影几何真正变革为具有自己独立的目标与方法的学科的数学家，是曾受教于蒙日的庞斯列(J-V.Poncelet，1788—1867)．
庞斯列曾任拿破仑远征军的工兵中尉，1812年莫斯科战役法军溃败后被俘，度过了两年铁窗生活．然而正是在这两年里，庞斯列不借助于任何书本，以炭代笔，在俄国萨拉托夫监狱的墙壁上谱写了射影几何的新篇章．庞斯列获释后对自己在狱中的工作进行了修订、扩充，于1822年出版了《论图形的射影性质》，这部著作立即掀起了19世纪射影几何发展的巨大波澜，带来了这门学科历史上的黄金时期．与德沙格和帕斯卡等不同，庞斯列并不限于考虑特殊问题．他探讨的是一般问题：图形在投射和截影下保持不变的性质，这也成为他以后，射影几何研究的主题．由于距离和交角在投射和截影下会改变，庞斯列选择并发展了对合与调和点列的理论而不是以交比的概念为基础．与他的老师蒙日也不同，庞斯列采用中心投影而不是平行投影，并将其提高为研究问题的一种方法．在庞斯列实现射影几何目标的一般研究中，有两个基本原理扮演了重要角色．
首先是连续性原理，它涉及通过投影或其他方法把某一图形变换成另一图形的过程中的几何不变性．用庞斯列本人的话说，就是：“如果一个图形从另一个图形经过连续的变化得出，并且后者与前者一样地—般，那么可以马上断定，第一个图形的任何性质第二个图形也有．”
作为这个原理的一个例子，庞斯列举了圆内相交弦的截段之积相等的定理，当交点位于圆的外部时，它就变成了割线的截段之积的相等关系．
而如果其中的一条割线变成圆的切线，那么这个定理仍然成立，只不过要把这条割线的截段之积换成切线的平方(参见下图1和图2)．
这个原理卡诺也曾用过，但庞斯列将它发展到包括无穷远点的情形．因此，我们总可以说两条直线是相交的，交点或者是一个普通的点，或者是一个无穷远处的点(平行线的情形)．除了无穷远元素，庞斯列还利用连续性原理来引入虚元素．例如两个相交的圆，其公共弦当两圆逐渐分离并变得不再相交时，就成为虚的．无穷远元素与虚元素在庞斯列为达到射影几何的一般性工作中发挥了重要作用．庞斯列强调的另一个原理是对偶原理．射影几何的研究者们曾经注意到，平面图形的“点”和“线”之间存在着异乎寻常的对称性，如果在它所涉及的定理中，将“点”换成“线”，同时将“线”换成“点”，那么就可以得到一个新的定理．例如考虑著名的帕斯卡定理：
如果将一圆锥曲线的6个点看成是一个六边形的顶点，那么相对的边的交点共线(左图)．
它的对偶形式则是：
如果将一圆锥曲线的6条切线看成是一个六边形的边，那么相对的顶点的连线共点(右图)．
帕斯卡定理的对偶形式是布里昂雄(C.J.Brianchon)在1806年发现的，所以常被称为布里昂雄定理，而这离帕斯卡最初陈述他的定理已有近二百年的光景．
虽然布里昂雄发现了帕斯卡定理的对偶定理，但包括他在内的许多数学家对于对偶原理为什么行得通仍是不清楚，事实上，布里昂雄还曾怀疑过这个原理．庞斯列射影几何工作中很重要的一部分，就是为建立对偶原理而发展了配极的一般理论．他深入研究了圆锥曲线的极点与极线的概念，给出了从极点到极线和从极线到极点的变换的一般表述．
与庞斯列用综合的方法为射影几何奠基的同时，德国数学家默比乌斯
(A.P.Mobius ，1790—1868)和普吕克(J.Plucker ，1801—1868)开创了射影几何研究的解析(或代数)途径．
默比乌斯在《重心计算》(1827)一书中第一次引进了齐次坐标，这种坐标后被普吕克发展为更一般的形式，它相当于把笛卡儿坐标y x ,换成
3231
,x x y x x x ==．
齐次坐标成为代数地推导包括对偶原理在内许多射影几何基本结果的有效工具．但这种代数的方法遭到了以庞斯列为首的综合派学者的反对，19世纪的射影几何就是在综合的与代数的这两大派之间的激烈争论中前进的．支持庞斯列的数学家还有斯坦纳(J.Steiner)、沙勒(M.Chasles)和施陶特(K.G.C.von Staudt)等，其中施陶特的工作对于确立射影几何的特殊地位有决定性的意义．
到1850年前后，数学家们对于射影几何与欧氏几何在一般概念与方法上已作出了区别，但对这两种几何的逻辑关系仍不甚了了．即使是综合派的著作中也依然在使用长度的概念，例如作为射影几何中心概念之一的交比，就一直是用长度来定义的，但长度在射影变换下会发生改变，因而不是射影概念．
施陶特在1847年出版的《位置几何学》中提出一套方案，通过给每个点适当配定一个识别标记(也称作坐标)而给交比作了重新定义．如果四点的“坐标”记为4321,,,x x x x ，那么交比就定义为
.4232413
1x x x x x x x x ----
这样施陶特不借助长度概念就得以建立射影几何的基本工具，从而使射影几何摆脱了度量关系，成为与长度等度量概念无关的全新学科．
施陶特还指出：射影几何的概念在逻辑上要先于欧氏几何概念，因而射影几何比欧氏几何更基本．施陶特的工作鼓舞了英国数学家凯莱(A.Cayley ，1821—1895)和普吕克的学生克莱因进一步在射影几何概念基础上建立欧氏几何乃至非欧几何的度量性质，明确了欧氏几何与非欧几何都是射影几何的特例，从而为以射影几何为基础来统一各种几何学铺平了道路．
9.5 几何学的统一
在数学史上，罗巴切夫斯基被称为“几何学上的哥白尼”．这是因为非欧几何的创立不只是解决了两千年来一直悬而未决的平行公设问题，更重要的是它引起了关于几何观念和空间观念的最深刻的革命．
首先，非欧几何对于人们的空间观念产生了极其深远的影响．在19世纪，占统治地位的是欧几里得的绝对空间观念．非欧几何的创始人无一例外地都对这种传统观念提出了挑战．
高斯早在1817年就在给朋友的一封信中写道：“我越来越深信我们不能证明我们的欧几里得几何具有物理的必然性，至少不能用人类的理智一一给出这种证明．或许在另一个世界中我们可能得以洞悉空间的性质，而现在这是不可能达到的．”高斯曾一度把他的非欧几何称为“星空几何”，而从罗巴切夫斯基到黎曼，他们也都相信天文测量将能判断他们的新几何的真实性，认为欧氏公理可能只是
物理空间的近似写照．他们的预言，在20世纪被爱因斯坦的相对论所证实．正是黎曼几何为爱因斯坦的广义相对论提供了最恰当的数学表述，而根据广义相对论所进行的一系列天文观测、实验，也证实了宇宙流形的非欧几里得性．
其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面．19世纪中叶以后，通过否定欧氏几何中这样或那样的公设、公理，产生了各种新而又新的几何学，除了上述几种非欧几何、黎曼几何外，还有如非阿基米德几何、非德沙格几何、非黎曼几何、有限几何等等，加上与非欧几何并行发展的高维几何、射影几何，微分几何以及较晚出现的拓扑学等，19世纪的几何学展现了无限广阔的发展前景．在这样的形势下，寻找不同几何学之间的内在联系，用统一的观点来解释它们，便成为数学家们追求的一个目标．
统—几何学的第一个大胆计划是由德国数学家克莱因(F.Klein ，1849--1925)提出的．1872年，克莱因被聘为爱尔朗根大学的数学教授，按惯例，他要向大学评议会和哲学院作就职演讲，克莱因的演讲以《爱尔朗根纲领》著称，正是在这个演讲中，克莱因基于自己早些时候的工作以及挪威数学家李(S.Lie)在群论方面的工作，阐述了几何学统一的思想：
所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量．这样一来，不仅19世纪涌现的几种重要的、表面上互不相干的几何学被联系到一起，而且变换群的任何一种分类也对应于几何学的一种分类．
例如(就平面的情况)，欧几里得几何研究的是长度、角度、面积等这些在平面中的平移和旋转下保持不变的性质．平面中的平移和旋转(也称刚性运动)构成—个变换群．刚性平面变换可以用代数式表示出来：
???++=++=,
','232221131211a y a x a y a y a x a x
其中121122211=-a a a a ．这些式子构成了一个群的元素，而将这种元素结合在一起
的“运算”就是依次进行这种类型的变换．容易看出，如果在进行上述变换后紧接着进行第二个变换：
???++=++=,
''",''"232221131211b y b x b y b y b x b x
其中121
122211=-b b b b ．那么相继进行这两个变换的结果，就等价于某个单一的这一类型的变换将点),(y x 变成点)","(y x ．
如果在上述变换中，将限制121122211=-a a a a 用更一般的要求
021122211≠-a a a a 来替代，
那么这种新变换也构成一个群．然而，在这样的变换下，长度和面积不再保持不变，不过一个已知种类的圆锥曲线(椭圆，抛物线或双曲线)经过变换后仍是同一种类的圆锥曲线．这样的变换称为仿射变换，它们所刻画的几何称为仿射几何．因此，按照克莱因的观点，欧几里得几何只是仿射几何的一个特例．
仿射几何则是更一般的几何——射影几何的一个特例．一个射影变换可以写成如下形式：
???
????++++=++++=,','333231232221333231131211a y a x a a y a x a y a y a x a a y a x a x 其中ij a 的行列式必须不为零．射影变换下的不变量有线性、共线性、交比、调和点
组以及保持圆锥曲线不变等．显然，如果03231==a a 并且133=a ，射影变换就成
了仿射变换．
下表反映了以射影几何为基础的克莱因几何学分类中一些主要几何间的关系：
在克莱因的分类中，还包括了当时的代数几何和拓扑学．克莱因对拓扑学的定义是“研究由无限小变形组成的变换的不变性”．这里“无限小变形”就是一一对应的双方连续变换．拓扑学在20世纪才获得独立的发展并成为现代数学的核心学科之一．克莱因在1872年就提出把拓扑学作为一门重要的几何学科，确实是有远见的看法．
并非所有的几何都能纳入克莱因的方案，例如今天的代数几何和微分几何，然而克莱因的纲领的确能给大部分的几何提供一个系统的分类方法，对几何思想的发展产生了持久的影响．
克莱因发表爱尔朗根纲领时年仅23岁．1886年，他受聘到哥廷根大学担任教授．克莱因是这样一位数学家，在他身上，创造天才与组织能力完美地融合在一起．他的到来，使哥廷根这座具有高斯、黎曼传统的德国大学更富科学魅力.
在被引向哥廷根的许多年轻数学家中，最重要的一位是希尔伯特(D.Hilbert，1862—1943)．正是这位希尔伯特，在来到哥廷根3年以后，提出了另一条对现代数学影响深远的统一几何学的途径——公理化方法．
公理化方法始于欧几里得，然而当19世纪数学家们重新审视《原本》中的公理体系时．却发现它有许多隐蔽的假设，模糊的定义及逻辑的缺陷，这就迫使他们着手重建欧氏几何以及其他包含同样弱点的几何的基础．这项探索从一开始就是在对几何学作统一处理的观点下进行的．在所有这些努力中，希尔伯特在《几何基础》(1899)中使用的公理化方法最为成功．
公理化方法是从公理出发来建造各种几何．希尔伯特在这方面的划时代贡献在于，他比任何前人都更加透彻地弄清了公理系统的逻辑结构与内在联系．《几何基础》中提出的公理系统包括了20条公理，希尔伯特将它们划分为五组：Ⅰ. 1—8 关联公理；
Ⅱ．1—4 顺序公理；
Ⅲ．1—5 合同公理；
Ⅳ．平行公理；
Ⅴ．1—2 连续公理．
在这样自然地划分公理之后，希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即：
1．相容性．从系统的公理出发不能推出矛盾，故亦称“无矛盾性”；
2．独立性．系统的每一条公理都不能是其余公理的逻辑推论；
3．完备性．系统中所有的定理都可由该系统的公理推出．
在这样组织起来的公理系统中，通过否定或者替换其中的一条或几条公理，就可以得到相应的某种几何．例如用罗巴切夫斯基平行公理替代欧几里得平行公理，
而保持其余所有公理不变，就可以得到双曲几何；如果在抛弃欧氏平行公理的同时，添加任意两条直线都有一个公共点或至少有一个公共点的公理，并适当改变另外一些公理，就分别得到单重与双重椭圆几何，等等．
这样的做法，不仅给出了已有几门非欧几何的统一处理，而且还可以引出新的几何学．最有趣的例子便是“非阿基米德几何”，即通过忽略连续公理(亦称阿基米德公理)而建造的几何学．这是希尔伯特本人的创造，《几何基础》中用了整整5章的篇幅来展开这种新的几何学．我们在后面会看到，希尔伯特所发展的这种形式公理化方法在20世纪已远远超出了几何学的范围而成为现代数学甚至某些物理领域中普遍应用的科学方法．
新版公共政策概论练习（三） 第九章公共政策评估 一、单项选择题 1.公共政策评估是对（Ａ）所进行的研究。 A. 政策实施效果B．公共政策全过程 C．政策方案D．公共政策执行 2.公共政策评估过程包括评估准备、(B )和评估总结三个阶段。 A. 评估调查B．评估实施C．评估执行D．评估完成 3.政策评估工作的基础和起点是（A） A. 评估准备B．评估实施C．评估总结D．评估完成 4.对公共政策效果进行评估时所遵循的客观尺度和准则是（Ｃ） A. 公共政策评估计划B．公共政策评估方案 C．公共政策评估标准D．公共政策评估报告 5.公共政策评估在本质上是一种（ B ） A. 事实判断B．价值判断C．经济效益判断D．社会效益判断 6.公共政策的宏观目标是（ A ）
A. 促进社会生产力发展，实现社会可持续发展B．经济可持续发展 C．分配社会资源，维护社会公平D．保护环境与人的协调发展 二、多项选择题 1.政策效果评估包括（CD ）的整合性评估。 A. 环境发展B．社会公平C．事实层面D．价值层面内容 2.美国的卡尔·帕顿和大卫·沙维奇认为大部分评估标准可以分为的类型包括（ABCD ） A. 技术可行性B．经济和财政可行性 C．政治可行性D．行政操作可行性 3.政策主体通过政策评估获得实施中的现行政策效果的信息后，必须对该项政策的去向作出判断和选择，大致的选择有（BCD ）。 A. 政策制定B．政策补充C．政策修正D．政策终止 4.公共政策评估过程包括的阶段（ABC ） A. 评估准备B．评估实施C．评估总结D．评估计划 5.评估实施阶段的主要任务是（ABD ） A. 采集评估信息B．分析评估信息 C．落实评估资源D．得出评估结论
一维优化方法 最优化设计数学模型中的基本概念： 1、设计变量 在机械设计中，区别不同的设计方案，通常是以一组取值不同的参数来表示。这些参 数可以是表示构件形状、大小、位置等的几何量，也可以是表示构件质量、速度、加速度、力、力矩等的物理量。在构成一项设计方案的全部参数中，可能有一部分参数根据实际情 况预先确定了数值，它们在优化设计过程中始终保持不变，这样的参数称为给定参数(或 叫预定参数)或设计常数。另一部分参数则是需要优选的参数，它们的数值在优化设计过 程中则是需要优选的参数，它们的数值在优化计算过程中是变化的，这类参数称为设计变量，它相当于数学上的独立自变量。一个优化问题如果有n个设计变量，而每个设计变量 用xi(i=1,2, ,n)表示，则可以把n个设计变量按一定的次序排列起来组成一个列阵或行 阵的转置，即写成 ??x1? x=?x? 2?=[x1,x2, ,xT ?? ?n] ?x? n? 我们把x定义为n维欧式空间的一个列向量，设计变量x1,x2, ,xn为向量x的n个 分量。以设计变量x1,x2, ,xn为坐标轴展成的空间称为n维欧式空间，用Rn表示。该空 间包含了该项设计所有可能的设计方案，且每一个设计方案就对应着设计空间上的一个设 计向量或者说一个设计点x。 2、目标函数 优化设计是在多种因素下欲寻求使设计者员满意、且适宜的一组参数。“最满意”、“最适宜”是针对某具体的设计问题，人们所追求的某一特定目标而言。在机械设计中， 人们总希望所设计的产品具有最好的使用性能、体积小、结构紧凑、重量最轻和最少的制 造成本以及最多的经济效益，即有关性能指标和经济指标方面最好。 在优化设计中，一般将所追求的目标(最优指标)用设计变量的函数形式表达，称该函 数为优化设计的目标函数。目标函数的值是评价设计方案优劣程度的标准，也可称为准则 函数。建立这个函数的过程称为建立目标函数。一般的表达式为
《制度、制度变迁与经济绩效》读书笔记 一、作者简介 本书作者是诺贝尔经济学奖得主道格拉斯·诺斯的代表性著作之一。道格拉斯·诺斯于1920年生于美国马萨诸塞州，1942、1952年先后获加利福尼亚大学学士学位和哲学博士学位。曾任《经济史杂志》副主编、美国经济史学协会会长、国民经济研究局董事会董事、东方经济协会会长、西方经济协会会长等职务。1984年，诺思在华盛顿大学圣路易斯分校创建了政治经济研究中心，并在其后的6年中一直担任该中心主任。自1996起，诺思荣任华盛顿大学圣路易斯分校的艺术和科学Spencer T. Olin讲座教授。自20世纪80年代以来，诺思曾兼任斯坦福大学行为科学高级研究中心的研究员（1987—1988年）和美国胡佛研究所（Hoover Institution）的Bartllett Burnap 高级研究员（1997—现在）。 诺斯是新经济史的先驱者、开拓者和抗议者，他开创性地运用新古典经济学和经济计量学来研究经济史问题。他对经济学的贡献主要包括三个方面：用制度经济学的方法来解释历史上的经济增长；重新论证了包括产权制度在内的制度的作用；将新古典经济学中所没有涉及的内容——制度，作为内生变量运用到经济研究中去，特别是将产权制度、意识形态、国家、伦理道德等作为经济演进和经济发展的变量，极大的发展了制度变迁理论。随着新制度经济学前些年在中国经济学界大行其道，尤其是在诺思与罗伯特·福格尔于1993年获得诺
贝尔经济学奖之后，诺思的一些理论发现比较快地在国内经济学界得到传播，因而诺思也已经成为在中国经济学界引用率最高的当代经济学家之一。 二、内容简介 《制度、制度变迁与经济绩效》是诺思最主要的理论著作之一，亦已成为当代制度经济学理论中的一部经典文献。 本书的内容分为三个部分：第一篇探讨了制度研究的方法基础，并随之解释了制度的基本概念；第二篇阐述了制度变迁的一般理论；第三篇则着重分析制度对经济绩效的影响。 第一篇，制度 第一章 诺思就开宗明义地道出了他对制度的基本理解：“制度是一个社会的游戏规则，更规范地说，它们是为决定人们的相互关系而人为设定的一些制约。”他接着指出：“制度变迁决定了社会演化方式，它是理解历史变迁的关键。”按照他自己的理解，“制度”基本上由三个基本部分构成：“正式的规则、非正式的约束（行为规范、惯例和自我限定的行事准则）以及它们的实施特征。”有了对人类社会的制度现象的这样一个基本认识，在这本著作中，诺思首先讨论了制度分析方法论基础中的三个基石性问题，即人类合作、制度分析中的行为假定，以及人类交换中的交易费用问题。 制度分为正规制度与非正规制度。 第五、六、七章
第9课改革开放 评测练习 1.1979年,安徽凤阳小岗村农民兴奋地说:“大呼隆干了20年,越干越穷,……就是治不好我们的穷病,包干到户一年就治好了。”带来上述变化的农村改革措施是（）A.农民获得生产自主权、自负盈B.培育籼型杂交水稻 C.开展人民公社化运动 D.建立深圳等经济特区 2.“交足国家的，留足集体的，剩下都是自己的。”这个说法所反映的政策是（）A.农业合作化 B.发展乡镇企业 C.国有企业改革 D.家庭联产承包责任制 3.改革开放后，深圳从边陲小镇变成为初具规模的现代化城市，被誉为“一夜崛起之城”；1988年以来，海南经济迅速发展，正在建设成为国际旅游岛。这两地的发展都得益于（） A.建立经济特区 B.实行“一国两制” C.建立直辖市 D.建立特别行政区 4.随着我国改革开放的日益深化，已经发展成为国际化经济中心和金融中心的是（） A.海南经济特区 B.上海浦东开发区 C.环渤海地区 D.长江三角洲地区
5.1979年，中国农民以特有的首创精神奏响了改革的序曲，为我国农村经济改革注入了无限的活力。这里的“首创”是指（） A.兴办乡镇企业 B.家庭联产承包责任制 C.设立经济特区 D.建立人民公社 6.小云同学带着一个研究性学习课题，搜集了“政企分开”“公司制”“股份制改革”等资料。根据这些信息，判断他的研究性学习课题是（） A.土地改革 B.家庭联产承包责任制 C.国有企业改革 D.民主与法制建设 7.十一届三中全会以来，我国实行改革开放政策，我国对外开放格局是 A.经济特区------ -沿海开放城市------沿海经济开放区―内地 B.沿海开放城市-------经济特区--------沿海经济开放区―内地 C.内地------沿海经济开放区------沿海开放城市------经济特区 D.经济特区------沿海经济开放区------沿海开放城市―内地 8.自从20世纪80年代中期以来，打破“铁饭碗”和职工“下岗”等现象，已经不再是什么稀罕的事情，这主要与我国的哪一巨大变革有关（） A.加强民主建设 B.实行家庭联产承包责任制 C.建立经济特区 D.国有企业改革9.十一届三中全会以来，我国实行改革开放的根源目的是（）A.为了同国外进行平等互利的B.为了更好地利用外国资金 C.为了发展社会主义经济 D.为了改变不适应生产力发展的管理体制 10.1993年后，大批国有企业积极进行公司制、股份制改革，出现了邯郸钢铁总厂等一批优秀典型。这表明我国经济体制改革的目标是（） A.建立计划经济体制 B.实行解放资本主义
第9课改革开放 备课人：许连聪 重点：城乡经济体制改革和深圳等经济特区的建立 难点：生产关系一定要适应适应生产力发展需要的基本原则；经济特区在社会主义现代化建设中的作用和影响 教学策略：教法：采用问题教学法、启发式教学法，加强学科渗透，增强学习历史的现实性。学法：自主探究学习法，合作、讨论学习法。课堂组织形式：面向全体学生，以小组为活动主体，创设轻松、和谐的学习气氛，体现先学后教，学生自主学习。教具媒体组合应用：利用图片等辅助教学。课程资源开发利用：充分发挥教材的优势，通过上网查找资料进行必要的补充。 教学过程：导入新课：组织学生复习有关内容： 1、十一届三中全会在哪一年召开？（1978年） 2、十一届三中全会作出哪些重要决定？（A. 思想上：彻底否定“两个凡是”的方针，重新确立解放思想、实事求是的思想路线； B. 政治上：停止使用“以阶级斗争为纲”的口号，作出把党和国家的工作重心转移到经济建设上来，实行改革开放的伟大决策； C.组织上：实际上形成了以邓小平为核心的党中央领导集体。） 承上启下，教师讲授：十一届三中全会是建国以来党的历史上具有深远意义的伟大转折。它完成了党的思想路线、政治路线和组织路线的拨乱反正，是改革开放的开端。从此，中国历史进入社会主义现代化建设新时期，建设成就日新月异、辉煌灿烂。（安排学生先阅读全文，作读书标记；然后探索、交流、讨论、练习）组织学生学习和探究新课： 一、家庭联产承包责任制 1、改革前夕的农村“人民公社”体制存在着什么样的弊端？（政社合一，吃大锅饭，农民缺少生产自主权，生产积极性不高。） 2、党和人民怎样解决这个弊端？（A. 先是群众自发行动起来：安徽凤阳小岗村农民首先实行
第9课改革开放 【学习重点】城乡经济体制改革和深圳等经济特区的建立 【学习难点】生产关系一定要适应适应生产力发展需要的基本原则；经济特区在社会主义现代化建设中的作用和影响 【教学方法】小组合作探究学习 【学习过程】：（导入新课）组织学生复习前一节课的相关学习内容： 师：十一届三中全会在哪一年召开？这次会议上做出哪些重要决定？ 生：思想上：重新确立解放思想、实事求是的思想路线；政治上：停止使用“以阶级斗争为纲”的口号，把党和国家的工作重心转移到经济建设上来，实行改革开放的伟大决策；组织上：实际上形成以邓小平为核心的党中央领导集体。） 【教师讲授，承上启下】：十一届三中全会是建国以来党历史上具有深远意义的伟大转折。它完成党的思想路线、政治路线和组织路线的拨乱反正，是改革开放的开端。从此我们开始改革开放的伟大征程，中国历史进入社会主义现代化建设新时期，建设成就日新月异、辉煌灿烂。今天我们就来一起学习新的内容——《改革开放》 下面请同学们以小组为单位，在相互合作的前提下，通读课本，结合导学案完成本节课的自主学习任务。（安排学生先阅读全文，作读书标记；然后探索、交流、讨论、练习）【板书】：对内改革：1、农村经济体制改革——实行家庭联产承包责任制，发展乡镇企业师：改革首先从什么地方开始？目的是什么？ 生：改革首先从农村开始，目的是为了调动农民生产积极性，促进农村经济发展。 师：既然是为了调动农民生产积极性，言外之意就是说以前农民的生产积极性不高，为什么？生：政社合一，统一经营、分配，吃大锅饭，农民缺少生产自主权，生产积极性不高。师：在农村经济改革中，我国农村致富和实现现代化的道路是什么? 生：安徽凤阳小岗村农民自发行动起来首先实行分田包产到户，自负盈亏。后来党中央将家庭联产承包责任制在全国推广，推动农业生产的向着专业化、商品化和社会化的方向发展，迅速发展农村乡镇企业，为农村致富和实现现代化开辟了一条新路。 师：家庭联产承包责任制这种全新的生产关系的确立使得农村经济快速发展，农村面貌发生了巨大变化，所以说生产关系一定要适应生产力的发展。
第9课改革开放 一、教材导学 1、党的十一届三中全会后，我国开始实行改革开放政策，改革首先从什么地区开始？在我国首先实行改革的试点是哪个地区？ 2、党的十一届三中全会后，我国对外开放开始起步，1980年我国建立了四个经济特区，是哪四个？被称为对外开放的“窗口”指哪个城市？后来又增设了一个经济特区是什么地方？设立的开发区是我国哪个城市？ 3、现在我国形成了一个什么样的对外开放的格局？ 4、从1985年起，我国对城市的改革全面展开，重点是对什么的改革？ 5、1992年党的十四大提出了建立什么样的经济体制？ 二、课堂练习 1．党的十一届三中全会以后，党和政府实行改革开放政策，改革首先开始于( ) A．城市改革B．农村改革C．国有企业改革D．沿海地区开放 2、十一届三中全会以后，农村改革的主要形式是（） A、把地主的土地分给无地或少地的农民 B、引导分散的农民参加农业生产合作社 C、实行对个体农业的改造，建立农村集体经济 D、实行以家庭联产承包为主的责任制 3、歌曲《春天的故事》歌颂了邓小平同志的丰功伟绩，歌词"一九七九年，那是一个春天，有一位老人在中国的南海边画了一个圈”，这句歌词指的是（） A、在深圳、珠海搞特区试点 B、开放沿海港口城市广州 C、建海南省作为最大的经济特区 D、开放沿海港口城市上海 4、有一座城市，它是1980年我国建立的第一个经济特区，被誉为“一夜崛起之城”，这座城市是（） A、汕头 B、深圳 C、珠海 D、厦门 5、实行对外开放的最终目的是（） A.引进外国资金 B.引进外国技术 C.学习外国管理经验 D.发展民族经济 6、改革开放后，逐渐形成了一个全方位.多层次.宽领域的对外开放格局，对这个格局表述正确的是（） A.经济特区---沿海开放城市---经济三角洲---沿海经济开放区 B.经济特区---沿海开放城市---沿海经济开放区---内地 C.沿海开放城市---经济特区---沿海经济开放区---内地
第九章组织变革 一、填充题 1、格林纳（Greiner）认为，一个组织的成长大致可分为_________ 、_________ 、_________ 、成熟、_________五个阶段。 2、组织发展，即组织随着客观环境的变化而相应地采取_________和_________的活动的过程。 3、组织变革的外部动力有_________、_________、_________以及一般的社会环境的变化。 4、组织变革的基本过程：_________、_________、_________。 5、组织变革过程中有两种不同的观点：_________、_________。 6、组织变革包括改变组织的_________、_________、_________、职务再设计以及其他结构因素。 7、组际发展的目的是试图改变不同工作小组成员之间的_________、认知和_________。 二、选择题 1、组织内部变革的动力有_________。 A. 人的变化 B. 基础条件的变化 C. 组织运行、成长中遇到的矛盾和问题 D. 新工艺、新材料、新技术的出现 2、下列那些属于风平浪静观的变革方式_________ A. 增加驱动力，使行为脱离现有的状态 B. 减弱制约力 C. 同时使用A、B两种方式 D. 组织必须有足够的灵活性，随机应变 3、组织变革中来自个体的阻力有_________。 A. 经济利益、安全 B. 求全、求稳、保守心理 C. 习惯 D. 对未知和不确定性的恐惧 4、对付阻挠变革的行为，可以采取一下措施_________。 A. 教育和沟通 B. 参与和融合 C. 促进与支持 D. 谈判、操纵与合作、强制 5、创造鼓励创新的氛围，可以采取一下方法_________。 A. 要让企业接受变革 B. 宽容对待失败 C. 制定明确目的，同时给予充分自由去达到目的 D. 给予认可 三、简答题 1.试述组织变革的必要性。
人教版八年级历史（下册）第三单元第9 课改革开放 来宾市兴宾区桥巩一中张宏敏 一、教学目标设计 1、知识认知目标 ①家庭联产承包责任制；②深圳等经济特区的建立；③对外开放格局的形成； ④十一届三中全会的重大决策；⑤国有企业的改革。 2、能力训练目标 ①了解家庭联产承包责任制的探索与推广过程，理解生产关系要适应生产力发展需要的基本原则，初步形成用历史原理分析问题的能力。 ②指导学生读图，掌握“经济特区一沿海开放城市一沿海经济开放区一内地” 的开放格局，培养学生的读图识图能力。 ③引导学生以经济特区的业绩进行讨论，说明实行改革开放的总方针是完全正确的，使学生初步形成在独立思考和进行归纳的能力。 3、情感态度与价值观目标 ①通过对改革开放前后中国农村、城市变化的描述，使学生认识到改革开放是我国社会主义事业繁荣昌盛的强国之路，并逐步确立为祖国社会主义现代化建设做贡献的人生理想； ②通过调查了解自己家乡的生活变化，感受市场经济带来的好处，培养团队合作精神，提高承受挫折、适应环境变化的能力； ③通过对我国以公制经济为主体的多种所有制经济体制讲解，使学生了解到人类社会发展的多样性，学会汲取人类创造的优秀文明成果，逐步形成面向世界，面向未来的国际意识。 二、重点、难点及教材内容分析 1、教学重点：农村和城市的体制改革、深圳等经济特区的建立。特点及相应对策：用多媒体展示大量图片资料和演示改革探索过程，帮助学生理解农村是改革的突破口，国企是改革的攻
坚战，开放是时代的潮流。 2、教学难点：生产关系一定要适应生产力发展的基本原则；经济特区在社会主义现代化建设中的影响。特点及相应对策：通过改革后农村经济的大发展和深圳等经济特区所取得的成就，证明实行改革开放是完全正确的，是为了更好地发展社会主义社会的生产力。 3、教材内容分析： 特点：本课共有三个框目，这三个框目是按改革开放的时间先后顺序串联起来的。但在教学中我认为按对内改革和对外开放两个内容格局来划分上课比较有益学生的理解。“家庭联产承包责任制”和“国有企业改革”这两目所讲的内容都是讲我国为了冲破阻碍生产力发展的旧体制而进行的经济体制改革，不同的是一个是从农村开始，冲破人民公社体制，建立适应生产力发展，推动生产力发展的家庭联产承包责任制；另一个是从国有企业入手，打破了单一的公有制经济，实行了政企分开，按劳分配为主多种分配方式并存的制度。“深圳待经济特区的建立”一目，着重叙述了我国对外开放格局的形成。深圳、珠海、汕头、厦门四大经济特区建，打开了对外开放的突破口。目的为了为进一步扩大开放积累了经验。1984 年，国家又开放了上海、广州等14 个沿海城市。接着，又把长江三角洲、珠江三角洲、闽南三角地区和环渤海地区作为沿海经济开放区，成立海南岛经济特区和上海浦东对外开放区。这样逐步向内地发展。从而逐渐形成了“经济特区—沿海开放城市—沿海经济开放区—内地”这样一个全方位、多层次、宽领域的对外开放格局。 相应对策：“家庭联产承包责任制”和“国有企业改革”这两目，可以把它划归对内改革的教学内容，联在一起进行教学，这样有助于学生理解生产关系一定要 适应生产力发展原则；而对于“深圳等经济特区的建立”这目的教学内容，可以采用多媒体课件制作开放示意图，与学生共同探讨开放格局的形成过程及内容。 三、教学对象分析 学生特点：教材上的内容对于他们来说，理论性较强，而动手实践的能力体现不出来，情感体验可能不充分。同时，由于学生都是20 世纪90年代中出生的学生，他们的生活经历有限，自
第5章 一维搜索 §5.1 最优化算法的简单介绍 1．算法概念 在解非线性规划时，所用的计算方法，最常见的是迭代下降算法． 迭代：从一点) (k x 出发，按照某种规则A 求出后继点) 1(+k x ．用1+k 代替k ，重复以上 过程，产生点列}{) (k x 。 规则A 是在某个空间X 中点到点的映射，即对每一个X x k ∈) (，有点 X x A x k k ∈=+)() () 1(． 更一般地，把A 定义为点到集的映射，即对每个点X x k ∈) (，经A 作用，产生一个点 集X x A k ?)() (.任意选取一个点)() () 1(k k x A x ∈+，作为) (k x 的后继点． 定义1: 算法A 是定义在空间X 上的点到集映射，即对每一个点X x ∈，给定－个子集 X x A ?)(. 例1 考虑线性规划： 1 s.t. min 2 ≥x x 最优解1=x ．设计一个算法A 求出这个最优解． ???????