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3量子力学初步(学生)

量子力学第三章作业及答案

第三章 3.1 设??,A B 均为厄米算符,试证: ()????1 AB-BA 是否为厄米算符; ()()????2 i AB-BA 是否为厄米算符. 解: () ? ?????????????? AB-BA =B A -A B =BA-AB 所以不是厄米算符 () ()( ) ()() ? ???????????????i A B -B A =-i A B -B A =-i B A ????????=-i B A -A B =i A B -B A ???? 所以是厄米算符 3.2 设体系的波函数为球谐函数(),lm Y θ?,求其角动量矢量与z 轴的夹角 解: 由于z L cos L θ=, 因为( )()()22?,1,lm lm L Y l l Y θ?θ?=+ ()()?,,z lm lm L Y m Y θ?θ?= 故可取 L =,z L m = ,

所以, cos z L m L θ== 3.3 已知 ?[sin cot cos ]x L i φθφθφ ??=+?? , ?[c o s c o t s i n ] y L i φθφθφ ?? =--?? 问(),1lm Y θ?=是否为?x L ,?y L 的本征态;如果 是,求其本征值. 解: 由于()?,0x lm L Y θ?=, ()?,0y lm L Y θ?= 所以为?x L ,?y L 的本征态, 其本征值为0 3.4 在经典情形,对称陀螺的能量算符为 () 222 11????22x y z x z H L L L I I =++ 1. 问(),lm Y θ?是否为?H 的本征态; 2. 如果是,求其本征值. 解:

高一物理竞赛相对论:《量子力学初步》

一个光子的能量: E=hv v 是光的频率,h 是普朗克常数 光子质量: 22c hv c E m == 秒焦??=-341063.6h 光子动量: c hv mc P = = ②德布罗意波 德布罗意把光的波粒二象性推广到实物粒子。他认为,波粒二象性是一切微观粒子共有的特性。第一个实物粒子在自由运动时所具有的能量为E 、动量为p ,这样的自由粒子必定对应一个振动频率为v 、波长为λ的平面简谐波。这两组特征量之间的关系仍是 λh p hv E =?= 自由的实物粒子所对应的平面简谐波常称为物质波或德布罗意波,它的客观真实性已为许多实验所证实。 物质波的物理意义究竟是什么?波是振动状态在空间传播形成的,波在空间某处振动状态的强弱可用该处振幅的平方米来表征。对于光波,若某处振幅平方较大,则该处的光较强,光子数较多,这也意味着光子在该处出现的可能性较大,物质波也是如此。物质波若在某处振幅的平方较大,则实物粒子在该处出现的可能性较大,可能性的大小可定量地用数学上的概率大来

表述,物质波各处振幅的平方便与粒子在该处出现的概率联系起来,这就是物质波的物理意义。 例1、试估算热中子的德布罗意波长。(中子的质量 kg m n 271067.1-?=)热中子是指在室温下(T=300K )与周围处于热平衡的中子,它的平均动能 eV J kT 038.01021.63001038.123232123=?=???==--ερ 它的方均根速率 s m m v n 32721107.21067.11021.622?≈???== --ε,相应的德布罗 意波长 nm v m h n 15.027001067.11063.62734 =???==--λ 这一波长与X 射线的波长同数量级,与晶体的晶面距离也有相同的数量级,所以也可以产生中子衍射。 3.2.2、海森伯测不准原理 设一束自由粒子朝z 轴方向运动,每一个粒子的质量为m ,速度为v ,沿z 轴方向的动量P=mv 。这一束自由粒子对应一个平面简谐波,在与z 轴垂直的波阵面上沿任何一个方向(记为x 方向)的动量取0=x p 精确值。波阵面上各处振幅相同,每一个粒子在各处出现的概率相同,这意味着粒子的x 位置坐标可取任意值,或者说粒子的x 位置坐标不确定范围为∞→?x 。为了在波阵面的某个x 位置“抓”到一个粒子,设想用镊子去夹粒子。实验上可等效地这样去做:在波阵面的前方平行地放置一块挡板,板上开一条与x 轴垂直的狭缝,狭缝相当于一个并合不够严实的镊子。如果狭缝的宽度为△x ,那么对于通过狭缝的粒子可以判定它的x 位置不确定范围为△x 。△x 越小,通过狭缝粒子以x 位置就越是确定。然而问题在于物质波与光波一样。通过狭

《大学物理aii》作业 no08 量子力学基出 参考解答

《大学物理AII 》作业No.08量子力学基础 班级________学号________姓名_________成绩_______-------------------------------------------------------------------------------------------------------****************************本章教学要求**************************** 1、掌握物质波公式、理解实物粒子的波粒二象性特征。 2、理解概率波及波函数概念。 3、理解不确定关系,会用它进行估算;理解量子力学中的互补原理。 4、会用波函数的标准条件和归一化条件求解一维定态薛定谔方程。 5、理解薛定谔方程在一维无限深势阱、一维势垒中的应用结果、理解量子隧穿效应。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 一、填空题 1、德布罗意在爱因斯坦光子理论的启发下提出,具有一定能量E 和动量P 的实物粒子也具波动性,这种波称为(物质)波;其联系的波长λ和频率ν与粒子能量E 和动量P 的关系为(νh E =)、(λh p =)。德布罗意的假设,最先由(戴维 孙-革末)实验得到了证实。因此实物粒子与光子一样,都具有(波粒二象性)的特征。 2、玻恩提出一种对物质波物理意义的解释,他认为物质波是一种(概率波),物质波的强度能够用来描述(微观粒子在空间的概率密度分布)。 3、对物体任何性质的测量,都涉及到与物体的相互作用。对宏观世界来说,这种相互作用可以忽略不计,但是对于微观客体来说,这种作用却是不能忽略。因此对微观客体的测量存在一个不确定关系。其中位置与动量不确定关系的表达式为(2 ≥???x p x );能量与时间不确定关系的表达式为(2 ≥???t E )。 4、薛定谔将(德布罗意公式)引入经典的波函数中,得到了一种既含有能量E 、动量P ,又含有时空座标的波函数),,,,,(P E t z y x ψ,这种波函数体现了微观粒子的波粒二象的特征,因此在薛定谔建立的量子力学体系中,就将这种波函数用来描述(微观粒子的运动状态)。

量子力学初步-作业(含答案)

量子力学初步 1. 设描述微观粒子运动的波函数为(),r t ψ ,则ψψ*表示______________________________________;(),r t ψ 须满足的条件是_______________________________; 其 归 一 化 条 件 是 _______________________________. 2. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍,则粒子在空间的分布概率将_______________________________. (填入:增大D 2倍、增大2D 倍、增大D 倍或不变) 3. 粒子在一维无限深方势阱中运动(势阱宽度为a ),其波函数为 ()()30x x x a a πψ= << 粒子出现的概率最大的各个位置是x = ____________________. 4. 在电子单缝衍射实验中,若缝宽为a =0.1 nm (1 nm = 10-9 m),电子束垂直射在单缝面上,则衍射的电子横向动量的最小不确定量y p ?= _________N·s. (普朗克常量h =6.63×10-34 J·s) 5. 波长λ= 5000 ?的光沿x 轴正向传播,若光的波长的不确定量λ?= 10-3 ?,则利用不确定关系式x p x h ??≥可得光子的x 坐标的不确定量至少为_________. 6. 粒子做一维运动,其波函数为 ()00 x Axe x x x λψ-≥= ≤ 式中λ>0,粒子出现的概率最大的位置为x = _____________. 7. 量子力学中的隧道效应是指______________________________________ 这种效应是微观粒子_______________的表现. 8. 一维无限深方势阱中,已知势阱宽度为a ,应用测不准关系估计势阱中质量为m 的粒子的零点能量为____________. 9. 按照普朗克能量子假说,频率为ν的谐振子的能量只能为_________;而

原子物理第三章量子力学初步答案

第三章 量子力学初步 3.1 波长为ο A 1的X 光光子的动量和能量各为多少? 解:根据德布罗意关系式,得: 动量为:1 24 10 34 10 63.610 1063.6----???=?= = 秒 米千克λ h p 能量为:λ/hc hv E == 焦耳 15 10 834 10 986.110 /10310 63.6---?=???=。 3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长?=λ 用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少? 解:德布罗意波长与加速电压之间有如下关系: meV h 2/ =λ 对于电子:库仑 公斤,19 31 10 60.110 11.9--?=?=e m 把上述二量及h 的值代入波长的表示式,可得: ο οο λA A A V 1225.010000 25.1225.12== = 对于质子,库仑 公斤,19 27 10 60.110 67.1--?=?=e m ,代入波长的 表示式,得:ο λ A 3 19 27 34 10 862.210000 1060.110 67.1210 626.6----?=??????= 3.3 电子被加速后的速度很大,必须考虑相对论修正。因而原来ο λ A V 25.12=的电子德布罗意波长与加速电压的关系 式应改为: ο λA V V )10 489.01(25.126 -?-= 其中V 是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。 证明:德布罗意波长:p h /=λ

对高速粒子在考虑相对论效应时,其动能K 与其动量p 之间有如下关系:2 22 02 2c p c Km K =+ 而被电压V 加速的电子的动能为:eV K = 2 2 002 2 2 /)(22)(c eV eV m p eV m c eV p += += ∴ 因此有: 2 002112/c m eV eV m h p h + ?= =λ 一般情况下,等式右边根式中2 02/c m eV 一项的值都是很小 的。所以,可以将上式的根式作泰勒展开。只取前两项,得: )10 489.01(2)41(26 02 00V eV m h c m eV eV m h -?-= - = λ 由于上式中ο A V eV m h 25.122/0≈ ,其中V 以伏特为单位,代回原 式得: ο λA V V )10 489.01(25.126 -?-= 由此可见,随着加速电压逐渐升高,电子的速度增大,由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。 3.4 试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长。上述结果不但适用于圆轨道,同样适用于椭圆轨道,试证明之。

量子力学初步

第三章 量子力学初步 一、学习要点 1.德布罗意假设: (1)内容: ων ==h E , n k k h p λ πλ2,=== (2)试验验证:戴维孙—革末试验 电子 λ=V meV h 26 .122≈(?) 2.测不准关系:2 ≥???x p x , 2 ≥???E t ; 3.波函数及其统计解释、标准条件、归一化条件 薛定谔方程、定态薛定谔方程、定态波函数、定态 4量子力学对氢原子的处理 轨道角动量()1,,2,1,0,1-=+=n l l l p l ,l 称为轨道角量子数, 轨道角量子数l =0 1 2 3 4 … 电 子 态 s p d f g … 原 子 态 S P D F G … 能量()n hcT n hc R n e m E e n --=-=∞22 224220Z 2Z )41 ( πε,n =1.2.3…… 轨道投影角动量()l l l l m m p l l lz ,1,,1,0,,1,,----== ,称轨道磁量子数,表征轨道角动量对外场方向的取向,轨道角动量对外场方向的投影图 描述电子空间运动的三个量子数l m l n ,,的名称、取值范围、所表征的物理量表达式 二、基本练习 1.楮书 P 113习题①②③ 2.选择题 (1)为了证实德布罗意假设,戴维孙—革末于1927年在镍单晶体上做了电子衍射实验从而证明了: A.电子的波动性和粒子性 B.电子的波动性 C.电子的粒子性 D.所有粒子具有二项性 (2)德布罗意假设可归结为下列关系式: A .E=h υ, p =λh ; B.E=ω ,P=κ ; C. E=h υ ,p =λ ; D. E=ω ,p=λ (3)为使电子的德布罗意假设波长为100埃,应加多大的加速电压: A .11.51?106V ; B.24.4V ; C.24.4?105V ; D.15.1V (4)基于德布罗意假设得出的公式V 26 .12=λ ?的适用条件是: A.自由电子,非相对论近似; B.一切实物粒子,非相对论近似; C.被电场束缚的电子,相对论结果; D 带电的任何粒子,非相对论近似 (5)如果一个原子处于某能态的时间为10-7S,原子这个能态能量的最小不确定数量级为

清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题解读

清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题解读

一、选择题 1.4185:已知一单色光照射在钠表面上, 测得光电子的最大动能是1.2 eV ,而钠的红限波 长是5400 ?,那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? [ ] 2.4244:在均匀磁场B 内放置一极薄的金 属片,其红限波长为λ0。今用单色光照射,发现 有电子放出,有些放出的电子(质量为m ,电荷 的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为 R 的圆周运动,那末此照射光光子的能量是: (A) (B) (C) (D) [ ] 3.4383:用频率为ν 的单色光照射某种金 属时,逸出光电子的最大动能为E K ;若改用频 率为2ν 的单色光照射此种金属时,则逸出光电 子的最大动能为: (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K [ ] 4.4737: 在康普顿效应实验中,若散射光 波长是入射光波长的1.2倍,则散射光光子能量 ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 [ ] 0λhc 0λhc m eRB 2)(2+0λhc m eRB +0λhc eRB 2+

5.4190:要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线,至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV [] 6.4197:由氢原子理论知,当大量氢原子处于n =3的激发态时,原子跃迁将发出: (A) 一种波长的光(B) 两种波长的光(C) 三种波长的光(D) 连续光谱[] 7.4748:已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV,当氢原子从能量为-0.85 eV的状态跃迁到上述定态时,所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV [] 8.4750:在气体放电管中,用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子,此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV,10.2 eV和1.9 eV (D) 12.1 eV,10.2 eV和 3.4 eV [] 9.4241:若 粒子(电荷为2e)在磁感应

量子力学第三章讲解

第三章 力学量用算符表达 §3.1 算符的运算规则 一、算符的定义: 算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。 ?Au v = 表示?把函数u 变成 v , ?就是这种变换的算符。 为强调算符的特点,常常在算符的符号上方加一个“^”号。但在不会引起误解的地方,也常把“^”略去。 二、算符的一般特性 1、线性算符 满足如下运算规律的算符?,称为线性算符 11221122 ???()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数,ψ1, ψ2是任意两个波函数。 例如:动量算符?p i =-?, 单位算符I 是线性算符。 2、算符相等 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同,即??A B ψψ=,则算符?和算符?B 相等记为??A B =。 3、算符之和 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ有:?????()A B A B C ψψψψ+=+=,则???A B C +=称为算符之和。 ????A B B A +=+,??????()()A B C A B C ++=++ 4、算符之积 算符?与?B 之积,记为??AB ,定义为 ????()()AB A B ψψ=?C ψ= ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律,即????AB BA ≠。 5、对易关系 若????AB BA ≠,则称?与?B 不对易。 若A B B A ????=,则称?与?B 对易。 若算符满足????AB BA =-, 则称?A 和?B 反对易。 例如:算符x , ?x p i x ?=-?不对易

证明:(1) ?()x xp x i x ψψ?=-?i x x ψ?=-? (2) ?()x p x i x x ψψ?=-?i i x x ψψ?=--? 显然二者结果不相等,所以: ??x x xp p x ≠ ??()x x xp p x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数,所以 ??x x xp p x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足 ??y y yp p y i - =,??z z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易,各动量之间相互对易。 ??0??0y y z z xp p x xp p x -=??-=?,??0??0x x z z yp p y yp p y -=??-=?,??0??0x x y y zp p z zp p z -=???-=?? ????0x y y x p p p p -=,????0y z z y p p p p -=,????0z x x z p p p p -= ????0xy yx -=,????0y z z y p p p p -=,????0z x x z p p p p -= 写成通式(概括起来): ??x p p x i αββααβδ-= (1) ????0x x x x αββα-= ????0p p p p αββα-= 其中,,,x y z αβ=或1,2,3 量子力学中最基本的对易关系。 注意:当?与?B 对易,?B 与?对易,不能推知?与?对易与否。 6、对易括号(对易式) 为了表述简洁,运算便利和研究量子力学与经典力学的关系,人们定义了对易括号: ??????[,]A B AB BA ≡- 这样一来,坐标和动量的对易关系可改写成如下形式: ?[,]x p i αβαβδ= 不难证明对易括号满足下列代数恒等式: 1) ????[,][,]A B B A =- 2) ???????[,][,][,]A B C A B A C +=+ 3) ?????????[,][,][,]A BC B A C A B C =+ ,?????????[,][,][,]AB C A B C A C B =+,]?,?[]?,?[B A k B k A = 4) ?????????[,[,]][,[,]][,[,]]0A B C B C A C A B ++= ——称为 Jacobi 恒等式。

量子力学第三章作业

1、指出下列算符哪个是厄米算符,说明其理由。 22 4 dx d dx d i dx d ,,,x p x ??, )????(21x p p x x x + 2、如果 F ?和 G ?都是厄米算符,但互不对易,试判断下列算符中哪些是厄米算符? (1)G F ??; (2)F G ??;(3)G F ??+F G ??; (4)G F ??F G ??-; (5)i (G F ??+F G ??); (6)i (G F ??F G ??-); (7)G F ??+; (8)G F ??-; (9))??(G F i +; (10))??(G F i -; 3、下列函数哪些是算符22 dx d 的本征函数,其本征值是什么? ①2x , ② x e , ③x s i n , ④x c o s 3, ⑤x x c o s s i n + 4、证明:[?,[?,ê]] + [?,[ê, ?]] + [ê,[ ?,?]] = 0 5、证明:处于1s 、2p 和3d 态的氢原子中的电子,当它处于距原子核的距离分别为00094a a a 、、的球壳处的几率最(0a 为第一玻尔轨道半径) 。 6、设氢原子处在0301),,(a r e a r -= πφθψ的态(0a 为第一玻尔轨道半径),求 ①r 的平均值; ②势能r e 2 -的平均值。 7、一个质量为m 的粒子被限制在一维区域0x a ≤≤中。初始时刻(t=0)其归一化波函数为( ),01cos sin x x x a a ππψ???=+? ???? ,求(a )t>0时刻粒子的状态波函数(),x t ψ;(b )在t=0与t>0时,在势箱左半部(02a x ≤≤ )发现粒子的概率是多少? 8、粒子被限制在,22a a ??-???? 区间内做一维运动。若在t=0时刻,设粒子运动的波函数为: (1)()1cos 202x a A x a x a x πψ?≤??=??>??

量子力学第三章算符

第三章算符与力学量算符 3、1 算符概述 设某种运算把函数u变为函数v,用算符表示为: (3、1-1) 称为算符。u与v中得变量可能相同,也可能不同。例如,,,,,,则,x,,,都就是算符。 1.算符得一般运算 (1)算符得相等:对于任意函数u,若,则。 (2)算符得相加:对于任意函数u,若,则。算符得相加满足交换律。 (3)算符得相乘:对于任意函数u,若,则。算符得相乘一般不满足交换律。如果,则称与对易。 2.几种特殊算符 (1)单位算符 对于任意涵数u,若u=u,则称为单位算符。与1就是等价得。 (2)线性算符 对于任意函数u与v,若,则称为反线性算符。 (3)逆算符 对于任意函数u,若则称与互为逆算符。即,。 并非所有得算符都有逆算符,例如把零作为算符时,称之为零算符,零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程:,其中为与函数构成得线性算符,a为常数。其解u可表示为对应齐次方程得通解u。与非齐次方程得特解之与,即。因,所以不存在使。一般说来,在特解中应允许含有对应齐次方程得通解成分,但如果当a=0时,=0,则中将不含对应齐次方程得通解成分,这时存在使,从而由得:。从上述分析可知,就是否存在逆算符还与算符所作用得函数有关。 (4)转置算符 令,则称与得转置算符,就是一个向左作用得算符。若算符表示一般函数(或常数),由于函数得左乘等于右乘,所以函数得转置就等于它本身。 定义波函数与得标积为: (3、1-2) 与得标积以及与得标积为:

若上两式中得与都就是任意波函数,则称上两式中得与为任意标积中得算符。下面考虑在任意标积中得性质。 波函数与在无限远点也应满足连续性条件: [可都等于零],,所以得: 可见在任意标积中,。 (5)转置共轭算符(也称为厄密共轭算符)与厄密算符 转置共轭算符通常也就是向左作用得算符,同时算符本身要取共轭。以标记得转置共轭算符,则若在任意标积中,,则称为厄密算符。即厄密算符得定义为: 或写为(3、1-3) 可以证明,位置算符与动量算符都就是厄密算符。因x就是实数,而,所以。在任意标积中,因,所以。也可以直接从定义式(3、1-3)出发,来证明就是厄密算符。 ,所以就是厄密算符。 (6)幺正算符 若在任意标积中,,则称为幺正算符。设,若为厄密算符,则必为幺正算符。 (7)算符得函数 设函数F(A)得各阶导数都存在,则定义算符得函数F()为: (3、1-4) 其中表示n个得乘幂,即。例如 3、2 算符得对易关系 定义算符得泊松(Poisson)括号为: (3、2-1) 一般说来,例如,这样得关系或称为对易关系式。就是对易关系式中得特例,这时,称与就是对易得。 1.量子力学中基本对易关系 在位置表象中,,即,此式对任意得都成立,所以得: 在动量表象中 ,即,此式对任意得都成立,所以得: 可见在位置表象中与动量表象中都得:

量子力学发展历程

量子力学发展历程 摘要:量子理论是在普朗克为了克服经典理论解释黑体辐射规律的困难,引入能量子概念的基础上发展起来的,爱因斯坦提出光量子假说、运用能量子概念使量子理论得到进一步发展。玻尔、德布罗意、薛定谔、玻恩、狄拉克等人为解决量子理论遇到的困难,进行了开创性的工作,先后提出电子自旋概念,创立矩阵力学、波动力学,诠释波函数进行物理以及提出测不准原理和互补原理。终于在1925年到1928年形成了完整的量子力学理论,与爱因斯坦的相对论并肩形成现代物理学的两大理论支柱。 关键词:量子力学;量子理论;矩阵力学;波动力学;测不准原理 量子力学(Quantum Mechanics)是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科,它主要研究原子、分子、凝聚态物质,以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论,它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学揭示了微观物质世界的基本规律,为原子物理、固体物理学、核物理学和粒子物理学奠定了基础。它能很好地解释原子结构、原子光谱的规律性、化学元素的性质,光的吸收与辐射等等方面。从1900年到1913年量子论的早期提出,到经过许多科学家如玻恩、海森伯、玻尔等人的努力诠释,量子力学得到了进一步发展。后来遭到爱因斯坦和薛定谔等人的批评,他们不同意对方提出的波函数的几率解释、测不准原理和互补原理。双方展开了一场长达半个世纪的论战,至今尚未结束。 1 普朗克的能量子假设 普朗克在黑体辐射的维恩公式(u = b(λ^-5)(e^-a/λT))和瑞利公式(u = 8π(υ^2)kT / c^3)之间寻求协调统一,找到了与实际结果符合极好的内插公式,迫使他致力于从理论上推导这一新定律。1900年,普朗克提出辐射量子假说,假定电磁场和物质交换能量是以间断的形式(能量子)实现的,能量子的大小同辐射频率成正比,比例常数称为普朗克常数,从而得出黑体辐射能量分布公式,成功地解释了黑体辐射现象。 2光电效应和固体比热的研究 普朗克的出能量子假说具有划时代的意义,但是,不论是他本人还是同时代人当时对这一点都没有充分认识。爱因斯坦最早明确地认识到,普朗克的发现标志了物理学的新纪元.1905年,爱因斯坦在其论文《关于光的产生和转化的一个试探性观点》中,发展了普朗克的量子假说,提出了光量子概念,并应用到光的发射和转化上,很好地解释了光电效应等现象。在那篇论文中,爱因斯坦总结了光学发展中微粒说和波动说长期争论的历史,提示了经典理论的困境,提出只要把光的能量看成不是连续的,而是一份一份地集中在一起,就可以作出合理的解释。与此同时,他还大胆地提出了光电方程,当时还没有足够的实验事实来支持他的理论,因此,爱因斯坦称之为“试探性观点”。但他的光量子理论并没有及时地得到人们的理解和支持,直到1916年,美国物理学家密立根对爱因斯坦的光电方程作出了全面的验证,光量子理论才开始得到人们的承认。1906年,爱因斯坦将普

3.2量子力学初步.doc

§3、2 量子力学初步 3.2.1、 物质的二象性 ①光的二象性: 众所周知,光在许多情况下(干涉、偏振、衍射等)表现为波动性,但在有些情况下(如光电效应、黑体辐射等)又表现为粒子字。因而对光完整的认识应是光具有波粒二象性。 一个光子的能量: E=hv v 是光的频率,h 是普朗克常数 光子质量: 22c hv c E m == 秒焦??=-341063.6h 光子动量: c hv mc P = = ②德布罗意波 德布罗意把光的波粒二象性推广到实物粒子。他认为,波粒二象性是一切微观粒子共有的特性。第一个实物粒子在自由运动时所具有的能量为E 、动量为p ,这样的自由粒子必定对应一个振动频率为v 、波长为λ的平面简谐波。这两组特征量之间的关系仍是 λh p hv E =?= 自由的实物粒子所对应的平面简谐波常称为物质波或德布罗意波,它的客观真实性已为许多实验所证实。 物质波的物理意义究竟是什么?波是振动状态在空间传播形成的,波在空间某处振动状态的强弱可用该处振幅的平方米来表征。对于光波,若某处振幅平方较大,则该处的光较强,光子数较多,这也意味着光子在该处出现的可能性较大,物质波也是如此。物质波若在某处振幅的平方较大,

则实物粒子在该处出现的可能性较大,可能性的大小可定量地用数学上的概率大来表述,物质波各处振幅的平方便与粒子在该处出现的概率联系起来,这就是物质波的物理意义。 例1、试估算热中子的德布罗意波长。(中子的质量 kg m n 271067.1-?=)热中子是指在室温下(T=300K )与周围处于热平衡的中子,它的平均动能 eV J kT 038.01021.63001038.123232123=?=???==--ερ 它的方均根速率 s m m v n 32721107.21067.11021.622?≈???==--ε,相应的德布罗 意波长 nm v m h n 15.027001067.11063.62734 =???==--λ 这一波长与X 射线的波长同数量级,与晶体的晶面距离也有相同的数量级,所以也可以产生中子衍射。 3.2.2、海森伯测不准原理 设一束自由粒子朝z 轴方向运动,每一个粒子的质量为m ,速度为v ,沿z 轴方向的动量P=mv 。这一束自由粒子对应一个平面简谐波,在与z 轴垂直的波阵面上沿任何一个方向(记为x 方向)的动量取0=x p 精确值。波阵面上各处振幅相同,每一个粒子在各处出现的概率相同,这意味着粒子的x 位置坐标可取任意值,或者说粒子的x 位置坐标不确定范围为∞→?x 。为了在波阵面的某个x 位置“抓”到一个粒子,设想用镊子去夹粒子。实验上可等效地这样去做:在波阵面的前方平行地放置一块挡板,板上开一条与x 轴垂直的狭缝,狭缝相当于一个并合不够严实的镊子。如果狭缝的宽度为△x ,那么对于通过狭缝的粒子可以判定它的x 位置不确定范围为△

大学物理量子力学习题附答案

1.4185:已知一单色光照射在钠表面上,测得光电子的最大动能是1.2 eV ,而钠的红限波长是5400 ?,那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? [ ] 2.4244:在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片,其红限波长为λ0。今用单色光照射,发现有电子放出,有些放出的电子(质量为m ,电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动,那末此照射光光子的能量是: (A) 0λhc (B) 0 λhc m eRB 2)(2+ (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ [ ] 3.4383:用频率为ν 的单色光照射某种金属时,逸出光电子的最大动能为E K ;若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时,则逸出光电子的最大动能为: (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K [ ] 4.4737: 在康普顿效应实验中,若散射光波长是入射光波长的1.2倍,则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 [ ] 5.4190:要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线,至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV [ ] 6.4197:由氢原子理论知,当大量氢原子处于n =3的激发态时,原子跃迁将发出: (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 [ ] 7.4748:已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ,当氢原子从能量为-0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时,所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV [ ] 8.4750:在气体放电管中,用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子,此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ,10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ,10.2 eV 和 3.4 eV [ ] 9.4241: 若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动,则α粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh [ ] 10.4770:如果两种不同质量的粒子,其德布罗意波长相同,则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 [ ] 11.4428:已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动,其波函数为: a x a x 23cos 1)(π?= ψ ( - a ≤x ≤a ),那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) a 2/1 (D) a /1 [ ] 12.4778:设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示,那么其中确定 粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图?

量子力学第三章算符

第三章 算符和力学量算符 算符概述 设某种运算把函数u 变为函数v ,用算符表示为: ?Fu v = () ? F 称为算符。u 与v 中的变量可能相同,也可能不同。例如,11du v dx =,22xu v =3 v =, (,) x t ?∞ -∞ ,(,)x i p x h x e dx C p t -=,则d dx ,x dx ∞ -∞ ,x i p x h e -?都是算符。 1.算符的一般运算 (1)算符的相等:对于任意函数u ,若??Fu Gu =,则??G F =。 (2)算符的相加:对于任意函数u ,若???Fu Gu Mu +=,则???M F G =+。算符的相加满足交换律。 (3)算符的相乘:对于任意函数u ,若???FFu Mu =,则???M GF =。算符的相乘一般不满足交换律。如果????FG GF =,则称?F 与?G 对易。 2.几种特殊算符 (1)单位算符 对于任意涵数u ,若?I u=u ,则称?I 为单位算符。?I 与1是等价的。 (2)线性算符 对于任意函数u 与v ,若**1212 ???()F C u C v C Fu C Fv +=+,则称?F 为反线性算符。 (3)逆算符 对于任意函数u ,若????FGu GFu u ==则称?F 与?G 互为逆算符。即1??G F -=,111??????,1F G FF F F ---===。 并非所有的算符都有逆算符,例如把零作为算符时,称之为零算符,零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程:?()()Fu x af x =,其中?F 为d dx 与函数构成的线性算符,a 为常数。

最新大学物理-量子力学基础习题思考题及答案

大学物理-量子力学基础习题思考题及答案

习题 22-1.计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长,(1)电子;(2)质子。 解:(1) 电子高速运动,设电子的总能量可写为:20K E E m c =+ 用相对论公式, 22224 0E c p m c =+ 可得 p = = = h p λ= = 834 -= 131.210m -=? (2)对于质子,利用德布罗意波的计算公式即可得出: 3415h 9.110m p λ--====? 22-2.计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长,已知加速电压为kV 0.25,(1)用非相对论公式;(2)用相对论公式。 解:(1)用非相对论公式: m meU h mE h 123 193134108.71025106.1101.921063.622p h ----?=???????====λ(2)用相对论公式: 4 20222c m c p +=E eU E E k ==-20c m

m eU eU c m h mE h 122 20107.722p h -?=+= == ) (λ 22-3.一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距nm 1032.72-?=d ,中子的动能eV 20.4k =E ,求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角. 解:先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长: 34 11 h 1.410p m λ--====? 再利用晶体衍射的公式,可得出:2sin d k ?λ= 0,1,2k =… 1111 1.410sin 0.095227.3210k d λ?--?===?? , 5.48?= 22-4.以速度m/s 1063?=v 运动的电子射入场强为5V/cm =E 的匀强电场中加速,为使电子波长 A 1=λ,电子在此场中应该飞行多长的距离? 解:34 10 h 110p m λ--====? 可得:U=150.9V ,所以 U=Ed ,得出d=30.2cm 。 22-5.设电子的位置不确定度为 A 1.0,计算它的动量的不确定度;若电子的能量约为keV 1,计算电子能量的不确定度。 解:由测不准关系: 34 2410 1.0510 5.2510220.110h p x ---??===???? 由波长关系式:E c h =λ 可推出: E E c h ?=?λ 2 151.2410E E E J hc pc λ-??===?? 22-6.氢原子的吸收谱线 A 5.4340=λ的谱线宽度为 A 102 -,计算原子处在被激发态上的平均寿命。 解:能量hc E h νλ == ,由于激发能级有一定的宽度ΔE ,造成谱线也有一定宽度Δλ,两 者之间的关系为:2 hc E λ λ?=? 由测不准关系,/2,E t ??≥平均寿命τ=Δt ,则

量子力学教程高等教育出版社周世勋课后答案-第三章

第三章 量子力学中的力学量 3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπ αψ2 2 22)(-- = ,求: (1)势能的平均值222 1 x U μω= ; (2)动能的平均值μ22 p T =; (3)动量的几率分布函数。 解:(1) ? ∞ ∞ --== dx e x x U x 2 2 22222121α π αμωμω μωμωαμωα παπαμω ?==?= 2 2 222241212121221 ω 4 1 = (2) ?∞∞-==dx x p x p T )(?)(2122* 2ψψμμ ?∞∞----=dx e dx d e x x 2 22 221 2 22 21 )(21αα μπ α ?∞ ∞ ---=dx e x x 2 2)1(22222αααμ πα ][22 22 222 22??∞∞ --∞∞---= dx e x dx e x x ααααμ πα ]2[23222απ ααπαμ πα?-= μωμαμαπαμ πα? ===442222222ω 41 = 或 ωωω 4 14121 =-=-=U E T

(3)*(,)() ()p c p t x x dx ψψ=? 222 2 x i i t px e dx αωαπ π ∞ - ---∞ = ? 2212 2 i i x px t e e dxe αωαπ π ∞ ----∞ = ? 22222 2 1()222 ip p i x t e dxe αωαααππ - +-∞ --∞ = ? 22222 21()222 p ip i x t e e dxe αωα α αππ- - +∞ --∞ = ? 22 2 22 2 p i t e ωααα π π - -= 22 2 22 p i t e e ωααπ - -= 动量几率分布函数为 2 2 2 2 ()(,)p p c p t e αωαπ - == 3.2.氢原子处在基态0/30 1 ),,(a r e a r -=π?θψ,求: (1)r 的平均值; (2)势能r e 2 -的平均值; (3)最可几半径; (4)动能的平均值; (5)动量的几率分布函数。 解:(1) ?θθπτ?θψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0 220 /230 2 0??? ?∞ -== ? ∞ -= /2330 04dr a r a a r 04 03023 2!34a a a =??? ? ??=

量子力学导论第3章答案

第三章一维定态问题 3.1)设粒子处在二维无限深势阱中, ?? ?∞<<<<=其余区域 ,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如b a = ,能级的简并度如何? 解:能量的本征值和本征函数为 m E y x n n 222π = )(2 22 2b n a n y x + ,2,1, ,sin sin 2== y x y x n n n n b y n a x n ab y x ππψ 若b a =,则 )(22 22 22y x n n n n ma E y x +=π a y n a x n a y x n n y x ππψsin sin 2= 这时,若y x n n =,则能级不简并;若y x n n ≠,则能级一般是二度简并的(有偶然简并情况,如5,10==y x n n 与2,11' ' ==y x n n ) 3.2)设粒子限制在矩形匣子中运动,即 ? ??∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如c b a ==,讨论能级的简并度。 解:能量本征值和本征波函数为 )(222 2 222 22c n b n a n m n n n E z y x z y x + +=π , ,3,2,1,, , sin sin sin 8 == z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n z y x πππψ 当c b a ==时, )(2222222z y x n n n ma n n n E z y x ++=π a y n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsin sin sin 22 3 ??? ??= z y x n n n ==时,能级不简并; z y x n n n ,,三者中有二者相等,而第三者不等时,能级一般为三重简并的。

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