执行函数为1、使用方法： Step1：在MATLAB命令窗口输入被积函数 2 1 2 t t e dt 。 输入应为：。 Step2：执行函数。输入形式为mymulNewtonCotes(ft,a,b,m,n)； 其中ft—被积函数，此体重，已经在第一步赋值； a—积分下限，本题中为0； b—积分上限，本题中为1； m—将区间[a,b]等分的子区间数量，本题可选为10； n—采用的Newton-Cotes公式的阶数，必须满足n<8，否则积分没法保证稳定性。 当n=1时，即为复化梯形公式；n=2时，即为复化复化辛普森公式。 所以，分别输入mymulNewtonCotes(ft,0,1,10,1)和mymulNewtonCotes(ft,0,1,10,2)就可以得到两种方法的积分计算结果。 2、计算结果 而根据积分运算，可得： 说明复化梯形和复化辛普森公式计算出的结果基本一致，与实际结果相符。 3、程序代码 functionyy=mymulNewtonCotes(ft,a,b,m,n) %复化Newton-Cotes数值积分公式，即在每个子区间上使用Newton-Cotes公式，然后求和, %参考的输入形式为mymulNewtonCotes(ft,0,1,10,2) %参数说明: %ft——被积函数，此题中ft=@(t)t.*exp(t^2/2) %a——积分下限 %b——积分上限 %m——将区间[a,b]等分的子区间数量 %n——采用的Newton-Cotes公式的阶数，必须满足n<8，否则积分没法保证稳定性 %(1)n=1时为复化梯形公式
%(2)n=2时为复化辛普森公式 xx=linspace(a,b,m+1); forl=1:m s(l)=myNewtonCotes(ft,xx(l),xx(l+1),n); end yy=sum(s); function[y,Ck,Ak]=myNewtonCotes(ft,a,b,n) %牛顿-科特斯数值积分公式 %Ck——科特斯系数 %Ak——求积系数 %y——牛顿-科特斯数值积分结果 xk=linspace(a,b,n+1); forj=1:n+1 ff(j)=ft(xk(j)); end %计算科特斯系数 fori=1:n+1 k=i-1; Ck(i)=(-1)^(n-k)/factorial(k)/factorial(n-k)/n*quadl(@(t)intfun(t,n,k),0,n); end %计算求积系数 Ak=(b-a)*Ck; %求和算积分 y=Ak*ff'; functionf=intfun(t,n,k) %科特斯系数中的积分表达式 f=1; fori=[0:k-1,k+1:n] f=f.*(t-i); end
牛顿—莱布尼茨公式 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间[a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极 限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?
牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。 插值函数 插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。 定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序 程序框图#include 数值计算课程PROJECT 牛顿-柯特斯公式(Newton-Cotes Methods) 例题介绍： 请在MATLAB环境下编写牛顿-柯特斯公式，以求得π的近似值。 Instruction: Using the Newton-Cotes method to solve all the following problems. Solving the problems with MATLAB, printing out your MATLAB code, figures, as well as necessary problem-solving procedures on paper, and submit before final exam. (No late submission is accepted) Students must solve all these questions correctly to get 5 point extra credits, no partial credit is given. Plagiarizing from other’s work will be treated as 0. Problems I: The value of π can be calculated from the integral 1 2121dx x π-=+?(a)Evaluate the integral by using rectangle method, using 60 subintervals. (b)Evaluate the integral by using midpoint method, using 60 subintervals. (c)Evaluate the integral by using trapezoidal method, using 60 subintervals. (d)Evaluate the integral by using Simpson’s 1/3 method, using 60 subintervals. (e)Evaluate the integral by using Simpson’s 3/8 method, using 60 subintervals. (f)Compare the results and discuss the error from each method. 第8讲 牛顿插值公式 §1.4 差商与差分及其性质 1 差商的概念: 称 10110)()(],[x x x f x f x x f --= 为函数f (x )的一阶差商； 称 21021210] ,[],[],,[x x x x f x x f x x x f --= 为函数f (x )的二阶差商； 一般地，称0 10110] ,...,[],...,[],...,,[x x x x f x x f x x x f n n n n --= -为函数f (x )的n 阶 差商； 特别地，定义)(][00x f x f =为函数f (x )关于x o 的零阶差商。 由此可知，高阶差商总是由比它低一阶的的两个差商组合而成。 2 （a ）n 阶差商可以表示成n +1个函数值01 ,,,n y y y 的线性组合,即 ∑ -----==+-k i n i i i i i i i i k x x x x x x x x x x x f x x f 011100)())(())(() (],...,[ 该性质说明：k 阶差商 ],...,,[10n x x x f 计算是由函数值f (x 0 ),f (x 1 ),…f (x k )线 性组合而。 如: ],,[],,[],,[012201210x x x f x x x f x x x f ==； 011100010110) ()()()(],[x x x f x x x f x x x f x f x x f -+ -=--= ))(() ())(()())(()()()()()()()() ()()()(],[],[],,[1202221011201000 21 221210111000 11100020 10112120 21021210x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x x x f x f x x x f x f x x x x f x x f x x x f --+ --+--= --+ ------=-+ -=---- --=--= §2 差商、牛顿插值多项式 在计算过程中，若需要再增加插值节点并求出新的插值函数，则Lagrange 插值公式所有的基函数都要重新计算，造成计算量的很大浪费。而以下介绍的牛顿插值公式可以克服这一缺陷，可在原有插值多项式的基础上灵活的增加插值节点。 一、 差商及其性质： 1、相关定义 设给出函数)(x f 在点0x ，1x ，… ，n x ，…上的函数值 ，则有： 称],[10x x f 1010 ()() f x f x x x -=-为函数 )(x f 在 0x 、1x 点的一阶差商。 一阶差商的差商 ],,[210x x x f 1 21020] ,[],[x x x x f x x f --= 称为函数)(x f 在0x ,1x 和2x 点的二阶差商。 1-n 阶差商的差商 ],,,[10n x x x f Λ1 12020],,,[],,,[------=n n n n n n x x x x x f x x x f ΛΛ 称为函数)(x f 在n x x x ,,,10Λ点的n 阶差商。 见插商表4-1 2、性质： 性质1 ：差商],,,[10n x x x f Λ可表示为函数值的线性组合，即 ∑==n i i i n x f a x x x f 010)(],,,[Λ ， 其中：∏≠=-=n i j j j i i x x a ,0)(/ 1。 该性质表明：差商与节点的排列次序无关，即： ],,,[10n x x x f Λ＝],,,[01n x x x f Λ＝…＝ ],,,[01x x x f n Λ 这就是差商的对称性。 性质 2 101010 [,,][,,] [,,,]n n n n f x x f x x f x x x x x --= -L L L 01110[,,,][,,,]n n n f x x x f x x x x -=Q L L 11100 [,,][,,,] n n n f x x f x x x x x --= -L L 牛顿—莱布尼茨公式 ● 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0 ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ? 摘要 在工程实验及研究中，实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系.可以说，曲线拟合模型与我们的生活生产密切相关. 本课题着重介绍曲线拟合模型及其应用，其中包括它的基本思想、模型的建立、以及具体应用.为了更好的了解曲线拟合模型，可以将它分为线性与非线性模型，在模型建立的基础上我们可以用最小二乘法来解决一些我们日常所应用的问题. 关键词曲线拟合；线性与非线性模型；最小二乘发 目录 引言 (1) 第一章曲线拟合 (2) §1.1 基本思想及基本概念 (2) §1.1.1 方法思想 (2) §1.1.2几个基本概念 (2) §1.2辛普森算法基本定义及其应用 (4) §1.2.1辛普森求积公式的定义 (4) §1.2.2辛普森求积公式的几何意义 (5) §1.2.3辛普森求积公式的代数精度及其余项 (5) §1.2.4辛普森公式的应用 (6) 第二章辛普森求积公式的拓展及其应用 (7) §2.1 复化辛普森求积公式 (7) §2.1.1问题的提出 (7) §2.1.2复化辛普森公式及其分析 (7) §2.1.3复化辛普森公式计算流程图 (8) §2.1.4复化辛普森公式的应用 (9) §2.2 变步长辛普森求积公式 (10) §2.2.1变步长辛普森求积公式的导出过程 (10) §2.2.2变步长辛普森求积公式的加速过程 (12) §2.2.3变步长辛普森求积公式的算法流程图 (13) §2.2.4变步长辛普森公式算法程序代码 (14) §2.2.5变步长辛普森求积公式的应用 (14) §2.2.6小结 (14) §2.2.7数值求积公式在实际工程中的应用 (14) 参考文献 (16) 附录A (17) 牛顿-莱布尼茨公式 牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。 若f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个在[a,b]上的原函数，则 ∫a b f(x)dx=F(b)-F(a) 这个公式叫做牛顿—莱布尼茨公式。 定积分式 如果我们把中的积分区间的上限作为一个变量x，这样我们就定义了一个新的函数： 但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了： 2 Φ性质 1、定义函数，则 与格林公式和高斯公式的联系。 证明：让函数 获得增量，则对应的函数增量 显然， 而 （ξ在x与x+Δx之间，可由积分中值定理推得） 当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x），故有 可见这也是导数的定义，所以最后得出 。 2、，F(x)是f(x)的原函数。 证明：我们已证得 ，故 但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F(a)=C 于是有Φ(x)+F(a)=F(x)，当x=b时，Φ(b) = F(b) - F(a),而 ，所以 把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。相关人物 牛顿 牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。 莱布尼茨 德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。 牛 顿—莱布尼茨公式 ● 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比 公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积 分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认 可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所 以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区 间[a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一 个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 即对任意的x ∈K,都存在一个以|x ?|为半径的区间,使得K(x+x ?)=K(x) ∴函数值在K 内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线 即: F(x)-G(x)=C 性质3：如果f(x)≤g(x),则 设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)≤0. 即 ● 相关定理的证明 介值定理：设f(x)在区间[a,b]上连续，当x ∈[a,b],取m 为f(x)的最小值,M 为f(x)的最大值,对于任意的一个介于m ,M 的数C,至少存在一点ε∈(a,b),有 f(ε)=C 证明： 运用零点定理: 设f(x)在[a,b]上连续,若f(a)*f(b)<0,则至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=0 设x1,x2∈[a,b],且x1 执行函数为mymulNewtonCotes.m 1、使用方法： Step1：在MATLAB 命令窗口输入被积函数212 0t t e dt ?。 输入应为：ft=@(t)t.*exp(t^2/2)。 Step2：执行函数。输入形式为mymulNewtonCotes(ft,a,b,m,n)； 其中ft —被积函数，此体重ft=@(t)t.*exp(t^2/2)，已经在第一步赋值； a —积分下限，本题中为0； b —积分上限，本题中为1； m —将区间[a,b]等分的子区间数量，本题可选为10； n —采用的Newton-Cotes 公式的阶数，必须满足n<8，否则积分没法保 证稳定性。 当n=1时，即为复化梯形公式；n=2时，即为复化复化辛普森公式。 所以，分别输入mymulNewtonCotes(ft,0,1,10,1)和 mymulNewtonCotes(ft,0,1,10,2)就可以得到两种方法的积分计算结果。 2、计算结果 而根据积分运算，可得： 221112 110222 220000() 1.648710.64872t t x x t t e dt e d e dx e e e ====-=-=??? 说明复化梯形和复化辛普森公式计算出的结果基本一致，与实际结果相符。 3、程序代码 function yy = mymulNewtonCotes(ft,a,b,m,n) % 复化Newton-Cotes数值积分公式，即在每个子区间上使用Newton-Cotes公式，然后求和, % 参考的输入形式为mymulNewtonCotes(ft,0,1,10,2) % 参数说明: % ft——被积函数，此题中ft=@(t)t.*exp(t^2/2) % a——积分下限 % b——积分上限 % m——将区间[a,b]等分的子区间数量 % n——采用的Newton-Cotes公式的阶数，必须满足n<8，否则积分没法保证稳定性 % (1)n=1时为复化梯形公式 % (2)n=2时为复化辛普森公式 xx = linspace(a,b,m+1); for l = 1:m s(l) = myNewtonCotes(ft,xx(l),xx(l+1),n); end yy = sum(s); function [y,Ck,Ak] = myNewtonCotes(ft,a,b,n) % 牛顿-科特斯数值积分公式 % Ck——科特斯系数 % Ak——求积系数 % y——牛顿-科特斯数值积分结果 xk = linspace(a,b,n+1); for j = 1:n+1 ff(j) = ft(xk(j)); end % 计算科特斯系数 for i=1:n+1 牛顿-莱布尼茨公式的 详细证明 牛顿—莱布尼茨公式 ●前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) ●定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n个区间[a,x1],[x1,x2]…[x n,x n-1]，其中x0=a，x n=b，第i个小区间?x i= x i-x i-1(i=1,2…n)。由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i=f(εi)?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极 限即： 1 ()lim() n b a n i i i f x dx f x ε →∞ = =? ∑ ? 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 即对任意的x ∈K,都存在一个以|x ?|为半径的区间,使得K(x+x ?)=K(x) ∴函数值在K 内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线 即: F(x)-G(x)=C 性质3：如果f(x)≤g(x),则 设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)≤0. 即 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞ =?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()() ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q ()()b b a a f x dx g x dx ≤??1()lim ()0n b i i a n i k x dx k x ε→∞==?≤∑? Q ()[()()]()()0b b b b a a a a k x dx f x g x dx f x dx g x dx =-=-≤? ???()()b b a a f x dx g x dx ∴≤?? 牛顿—莱布尼茨公式教案设计 学院：数学与统计学院 班级：2010级数学（2）班 姓名：李二亮 牛顿—莱布尼茨公式教案设计 一、【教材分析】 1.教材来源：华东师大版数学分析上册（第三版）第九章. 2.教材的地位与作用：牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分计算提供一个有效地方 法，而且在理论上把定积分与不定积分联系起来. 二、【教学目标】 1.知识与技能；熟练掌握与应用牛顿—莱布尼茨公式，培养学生观察、分析、抽象、 概括的能力，体会知识间的联系，进一步渗透类比、转化的思维方法，激发学习兴趣. 2.过程与方法：根据大学生的心理素质，利用启发式教学，始终从问题出发，层层 设疑，引导学生在不断思考中获取知识. 3.情感、态度与价值观：提高观察、分析、抽象、概括的能力的同时，提高数形结 合的思想意识. 三、【教学重点】 熟练掌握与应用牛顿—莱布尼茨公式. 四、【教学难点】 1.利用牛顿—莱布尼茨公式求一些定积分的极限. 2.利用牛顿—莱布尼茨公式解决实际问题. 五、【教学过程】 针对数学专业大学生的知识结构和心理特征，本节课选择师生互动探索的方法进行教学。教学过程的流程入下： （一）复习旧知识，引入课题 复习—— 1.定积分的概念；2.定积分的几何意义；3.原函数的概念；4.导数的定义；5.积分中值定理（性质7）；6.不定积分的换元积分法；7.函数的定积分与什么量有关？与什么量无关? 引入——利用定积分的定义计算定积分的值是十分繁琐且易出错的，有时甚至无法计算。下面将通过对定积分与原函数关系的讨论，导出一种计算定积分的简便有效的方法. （二）创设情境，得到猜想 示例：变速直线运动中位置函数与速度(速率)函数的联系. 设物体作直线运动，已知已知速度v=v(t)是时间间隔[T 1,T 2]上t 的一个连续函数且v(t )≧0,求物体在这段时间内所经过的路程. 分析示例： 变速直线运动路程： , 另一方面路程可以表示为： 其中， 下面我们将时间段[T 1 ,T 2]任意做一个分割，得到： 如果我们考虑 黎曼和 其中 我们可以发现 和 之间能十分接近. 因此，速度v=v(t)是时间间隔[T 1,T 2]上t 的一个连续函数，且v(t )≧0, ，()s t 是()v t 的原函数，则物体在这段时间内经过的路程 是： 如果剔除问题的物理意义，将有一下猜想： ?2 1 )(T T dt t v )()(12T s T s -).()()(122 1 T s T s dt t v T T -=∴ ? ). ()(t v t s ='其中{}121,, ,,[,] n i i i T t t ????-==[] []211111 1 ()()()()()(),,n i i i n n i i i i i i i i i i s T s T s t s t s t v t t t η?η?η?-=-==∴-=-'==∈=∑∑∑1 ()n i i i v t η?=∑ 1 ()n i i i v t ξ?=∑2 1 ()T T v t dt ? [] 1,i i i i t t ξ?-∈=1 ()n i i i v t ξ?=∑() ()s t v t '=2 1 21()()()T T v t dt s T s T =-? 第九章 定积分 2 牛顿—莱布尼茨公式 定理9.1：若函数f 在[a,b]上连续，且存在原函数F ，即F ’(x)=f(x)， x ∈[a,b]，则f 在[a,b]上可积，且?b a f (x)dx=F(a)-F(b)，称为牛顿—莱布 尼茨公式，常写成：?b a f (x)dx=F(x)b a . 证：对[a,b]上的任一分割T={a=x 0,x 1,…,x n =b}， 在每个小区间[x i-1,x i ]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，则 分别存在ηi ∈(x i-1,x i )，i=1,2,…,n ，使得 F(b)-F(a)=∑=-n 1 i 1-i i )]x (F )x ([F =i n 1 i i x △)η(F ∑='=i n 1 i i x △)η(f ∑=. ∵f 在[a,b]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0，存在δ>0，使 当x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ时，|f(x ’)-f(x ”)|< a b ε -. 于是，当△x i ≤║T ║<δ时，任取ξi ∈(x i-1,x i )，便有|ξi -ηi |<δ， ∴|i n 1 i i x △)ξ(f ∑=-[F(a)-F(b)]|=|i n 1 i i i x △])η(f )ξ([f ∑=-|≤i n 1 i i i x △)η(f )ξ(f ∑=- 牛顿-莱布尼兹公式的几种证法之比较 学生姓名：XXX 指导教师:XX 摘要：微积分学是人类近代史上最杰出的科学成果之一,它是几千年来人类智慧的结晶,微积分的创立,不仅解决了当时的一些重要的科学问题,而且由此产生了诸如微积分方程、无穷级数等一些重要的数学分支。牛顿和莱布尼兹为微积分学的奠基人,他们的巨大贡献早已载入数学史册，本文将依次介绍了牛顿——莱布尼兹公式的历史，并从三个方面谈了著名的牛顿——莱布尼兹公式的作用；用四种方法证明了牛顿——莱布尼兹公式，并对这几种证明方法进行较全面地比较，从中可以知道它们之间的异同和各自特点,以便在教学中适当地选用,博采众长,以取得更好的效果。最后对其应用范围进行了推广，以便让人们更深刻地了解牛顿——莱布尼兹公式并能在教学、实践中熟练应用。 关键词:牛顿——莱布尼兹作用证明比较推广 1.微积分的形成及作用 微积分的酝酿于17世纪上半叶到世纪末,18世纪微积分进一步发展,这种发展与广泛的应用紧密交织在一起,刺激和推动了许多数学新分支的产生,从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域[1]。 微积分从酝酿到萌芽、建立、发展直至完善,凝结了无数数学家的心血和劳动,是无数数学家艰苦奋斗的集体成果,熟悉微积分的历史发展,了解人类这一巨大财富的积累过程和数学家们所经历的艰苦漫长的道路及奋斗精神,对于提高一个人的数学素养,提高自身的数学意识和思维能力,适用于指导实际工作,都具有很重要的意义。 1.1微积分的早期萌芽 积分学的思想萌芽比微分学的思想萌芽早,这要追溯到遥远的古希腊时代，这一时代有许多代表人物。 （1）.欧多克索斯的穷竭法 欧多克索斯是古希腊的数学家,他在数学上的重要贡献是发展和完善了安蒂丰的“穷竭法”，欧多克索斯应用穷竭法成功地证明了下述命题:两圆面积之比等于其半径平方之比;两球体积之比等于其半径 等等。将穷竭法发展成为一立方之比;圆锥体和棱锥体的体积各为同底同高的圆柱体和棱柱体体积的1 3 种严格的证明方法,但他没有明确的极限思想。 （2）.阿基米德的平衡法 阿基米德的数学工作是创造与论证的结合,在《处理力学问题的方法》这篇著作中,阿基米德论述了15个命题,集中阐明了发现求积公式的方法,这种方法被称为“平衡法”,他的平衡法与现代积分的基本思想实质是相同的，阿基米德利用平衡法解决了许多几何图形求面积、体积的问题,而平衡法本身是以极限为基础的,而当时不可能有极限理论,阿基米德意识到了他的平衡法在数学上缺乏严密性,因此,阿基米德用平衡法每求出一个面积或体积后,必定要用穷竭法加以证明。 （3）.刘徽的割圆术和体积理论 刘徽在积分学方面的贡献主要在两个方面:割圆术和体积理论.割圆术是运用极限思想证明圆面积公式及计算圆周率的方法,割圆术的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆;刘徽的面积与体积理论 第九章 定积分 2 牛顿—莱布尼茨公式 定理：若函数f 在[a,b]上连续，且存在原函数F ，即F ’(x)=f(x)， x ∈[a,b]，则f 在[a,b]上可积，且?b a f (x)dx=F(a)-F(b)，称为牛顿—莱布 尼茨公式，常写成：?b a f (x)dx=F(x)b a . 证：对[a,b]上的任一分割T={a=x 0,x 1,…,x n =b}， 在每个小区间[x i-1,x i ]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，则 分别存在ηi ∈(x i-1,x i )，i=1,2,…,n ，使得 F(b)-F(a)=∑=-n 1 i 1-i i )]x (F )x ([F =i n 1 i i x △)η(F ∑='=i n 1 i i x △)η(f ∑=. ； ∵f 在[a,b]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0，存在δ>0，使 当x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ时，|f(x ’)-f(x ”)|< a b ε -. 于是，当△x i ≤║T ║<δ时，任取ξi ∈(x i-1,x i )，便有|ξi -ηi |<δ， ∴|i n 1 i i x △)ξ(f ∑=-[F(a)-F(b)]|=|i n 1 i i i x △])η(f )ξ([f ∑=-|≤i n 1 i i i x △)η(f )ξ(f ∑=- 牛顿-莱布尼茨公式的 详细证明 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 牛顿—莱布尼茨公式 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?()()()()()()()()0 ()()()lim 0F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x ''=='''∴=-=-=+?-'∴==1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?数值计算课程PROJECT- 牛顿-柯特斯公式(Newton-Cotes Methods)
第3讲 牛顿插值公式
4.2 牛顿插值公式
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