动态规划算法原理及其应用研究 系别：x x x 姓名：x x x 指导教员： x x x 2012年5月20日
摘要：动态规划是解决最优化问题的基本方法，本文介绍了动态规划的基本思想和基本步骤，并通过几个实例的分析，研究了利用动态规划设计算法的具体途径。关键词：动态规划多阶段决策 1.引言 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhauser）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数
五种最优化方法 1.最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1）无约束和有约束条件； 2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）； 3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）； 4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。 1.2最优化问题的一般形式（有约束条件）： 式中f（X）称为目标函数（或求它的极小，或求它的极大），si（X）称为不等式约束，hj（X）称为等式约束。化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。 2.牛顿法 2.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）是一种函数逼近法。 2.2原理和步骤
3.最速下降法（梯度法） 3.1最速下降法简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向； 3.2最速下降法算法原理和步骤
4.模式搜索法（步长加速法） 4.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤
5.评价函数法 5.1简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t. g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权求合法介绍。 5.2线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进
动态规划是对最优化问题的一种新的算法设计方法。由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的没计法对不同的问题，有各具特色的表示方式。不存在一种万能的动态规划算法。但是可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行讨论，学会这一设计方法。 多阶段决策过程最优化问题 ——动态规划的基本模型 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。因此各个阶段决策的选取不能任意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线。这种把一个问题看做是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策最优化问题。 【例题1】最短路径问题。图中给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路的长度。现在，想从城市A到达城市E，怎样走路程最短，最短路程的长度是多少? 【分析】把从A到E的全过程分成四个阶段，用k表示阶段变量，第1阶段有一个初始状态A，两条可供选择的支路ABl、AB2；第2阶段有两个初始状态B1、 B2，B1有三条可供选择的支路，B2有两条可供选择的支路……。用dk(x k，x k+1)表示在第k阶段由初始状态x k到下阶段的初始状态x k+1的路径距离，Fk(x k)表示从第k阶段的x k到终点E的最短距离，利用倒推方法求解A到E的最短距离。具体计算过程如下： S1：K=4，有：F4(D1)=3，F4(D2)=4，F4(D3)=3 S2: K=3，有： F3(C1)=min{d3(C1,D1)+F4(D1),d3(C1,D2)+F4(d2)}=min{8,10}=8 F3(C2)=d3(C2,D1)+f4(D1)=5+3=8 F3(C3)=d3(C3,D3)+f4(D3)=8+3=11 F3(C4)=d3(C4,D3)+f4(D3)=3+3=6
《动态最优化基础》第3章 课后习题 3.2.1（P88）对于泛函V [y ]=∫(t 2+y′2)dt T 0，欧拉方程的通解是y ?(t )=c 1t +c 2（参见联系2.2中问题1） （a ）如果初始条件是y (0)=4且终结条件是T =2，y T 是自由的，那么找出极值线。 （b ）画出一个图形来显示初始点、终结点和极值线。 解：由F =t 2+y′2可知，F y′=2y′。 根据垂直终结线的横截条件可知[F y′]t=T =0，即y ′=0。 又由于y 沿着极值曲线y ?(t )=c 1t +c 2取值，故有y ?′(t =2)=c 1=0。 根据初始条件y (0)=4可得y ?(t =0)=c 2=4。 故极值曲线为：y ?(t )=4。 图形中显示初始点、终结点和极值曲线如下： y t t=2A 3.2.3（P88）令问题1中的终结条件改变为y T =5，T 是自由的 （a ）找出新的极值线。最优终结时间T ?是多少？ （b ）画出一个图形来显示初始点、终结点和极值线。 解：根据水平终结线的横截条件可知[F ?y′F y′]t=T =0，
即T2+y′2?y′?2y′=0。 亦即y?′(t=T)=c1=T。 根据初始条件y(0)=4可得y?(t=0)=c2=4。 又由终结条件y T=5可得y T=c1T+c2=T2+c2=5，解得T?=1。故极值曲线为：y?(t)=t+4。 图形中显示初始点、终结点和极值曲线如下： y A=4 t T*=1
《动态最优化基础》第4章 课后习题 4.2.1（P110）对于练习2.2的问题1（V [y ]=∫(t 2+y ′2 )dt T 0，y (0)=0，y (1)=2） （a ）用行列式检验（4.9）检查函数F 是否关于(y,y ′)是严格凹/凸的。 （b ）如果此检验失败，利用行列式检验（4.12）或特征根检验来检查凹性/凸性。 （c ）最大化/最小化的充分条件满足吗？ 解：（a ）由被积函数F =t 2+y ′2 可得： F y =0，F y′=2y ′，F y ′y ′=2，F yy =F yy′=F y′y =0 故行列式|D |=| 2 00 0|，|D 1| =2，|D 2|=0。 不能判定F 是否关于(y,y ′)是严格凹/凸的。 （b ）特征方程为： | 2?r 0 ?r |=r (r ?2)=0 特征根为：r 1=2和r 2=0。两个特征根均为非负的，所以q 是处处半正定的，即F 是凸的。 （c ）根据欧拉定理和边界条件可得到极值曲线y ?(t )=2t 。 又因为被积函数F 是凸函数，所以满足最小化的充分条件。 4.2.3（P110）对于练习2.2的问题5进行上面问题1提到的检验。 解：（a ）由被积函数F =y 2+4yy′+4y ′2 可得： F y =2y +4y′，F y′=4y +8y ′，F y ′y ′=8，F yy =2，F yy′=F y′y =4 故行列式|D |=| 8 44 2|，|D 1| =8，|D 2|=0。 不能判定F 是否关于(y,y ′)是严格凹/凸的。 （b ）特征方程为： | 8?r 4 4 2?r |=(r ?8)(r ?2)?16=0
最优化方法及其应用 作者：郭科 出版社：高等教育出版社 类别：不限 出版日期：20070701 最优化方法及其应用 的图书简介 系统地介绍了最优化的理论和计算方法,由浅入深,突出方法的原则,对最优化技术的理论作丁适当深度的讨论,着重强调方法与应用的有机结合,包括最优化问题总论,线性规划及其对偶问题,常用无约束最优化方法,动态规划,现代优化算法简介,其中前八章为传统优化算法,最后一章还给出了部分优化问题的设计实例,也可供一般工科研究生以及数学建模竞赛参赛人员和工程技术人员参考, 最优化方法及其应用 的pdf电子书下载 最优化方法及其应用 的电子版预览 第一章 最优化问题总论1.1 最优化问题数学模型1.2 最优化问题的算法1.3 最优化算法分类1.4
组合优化问題简卉习题一第二章 最优化问题的数学基础2.1 二次型与正定矩阵2.2 方向导数与梯度2.3 Hesse矩阵及泰勒展式2.4 极小点的判定条件2.5 锥、凸集、凸锥2.6 凸函数2.7 约束问题的最优性条件习题二第三章 线性规划及其对偶问题3.1线性规划数学模型基本原理3.2 线性规划迭代算法3.3 对偶问题的基本原理3.4 线性规划问题的灵敏度习题三第四章 一维搜索法4.1 搜索区间及其确定方法4.2 对分法4.3 Newton切线法4.4 黄金分割法4.5 抛物线插值法习题四第五章 常用无约束最优化方法5.1 最速下降法5.2 Newton法5.3 修正Newton法5.4 共轭方向法5.5 共轭梯度法5.6 变尺度法5.7 坐标轮换法5.8 单纯形法习題五第六章 常用约束最优化方法6.1外点罚函数法6.2 內点罚函数法6.3 混合罚函数法6.4 约束坐标轮换法6.5 复合形法习题六第七章 动态规划7.1 动态规划基本原理7.2 动态规划迭代算法7.3 动态规划有关说明习题七第八章 多目标优化8.1 多目标最优化问题的基本原理8.2 评价函数法8.3 分层求解法8.4目标规划法习题八第九章 现代优化算法简介9.1 模拟退火算法9.2遗传算法9.3 禁忌搜索算法9.4 人工神经网络第十章 最优化问题程序设计方法10.1 最优化问题建模的一般步骤10.2 常用最优化方法的特点及选用标准10.3 最优化问题编程的一般过程10.4 优化问题设计实例参考文献 更多 最优化方法及其应用 相关pdf电子书下载
《最优化方法与应用》 实验指导书 信息与计算科学系编制
1 实验目的 基于单纯形法求解线性规划问题，编写算法步骤，绘制算法流程图，编写单纯形法程序，并针对实例完成计算求解。 2实验要求 程序设计语言：C++ 输入：线性规划模型（包括线性规划模型的价值系数、系数矩阵、右侧常数等） 输出：线性规划问题的最优解及目标函数值 备注：可将线性规划模型先转化成标准形式，也可以在程序中将线性规划模型从一般形式转化成标准形式。 3实验数据 123()-5-4-6=Min f x x x x 121231212320 324423230,,0３-+≤??++≤??+≤??≥? x x x x x x st x x x x x
1 实验目的 基于线性搜索的对分法、Newton 切线法、黄金分割法、抛物线法等的原理及方法，编写算法步骤和算法流程图，编写程序求解一维最优化问题，并针对实例具体计算。 2实验要求 程序设计语言：C++ 输入：线性搜索模型（目标函数系数，搜索区间，误差限等） 输出：最优解及对应目标函数值 备注：可从对分法、Newton 切线法、黄金分割法、抛物线法中选择2种具体的算法进行算法编程。 3实验数据 2211 ()+-6(0.3)0.01(0.9)0.04 = -+-+Min f x x x 区间[0.3,1],ε=10-4
实验三 无约束最优化方法 1实验目的 了解最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、DFP 法和BFGS 法等的基本原理及方法，掌握其迭代步骤和算法流程图，运用Matlab 软件求解无约束非线性多元函数的最小值问题。 2实验要求 程序设计语言：Matlab 针对实验数据，对比最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、DFP 法和BFGS 法等算法，比较不同算法的计算速度和收敛特性。 3实验数据 Rosenbrock's function 222211()(100)+(1-)=-Min f x x x x 初始点x=[-1.9, 2]，,ε=10-4
陆吾生教授是加拿大维多利亚大学电气与计算机工程系 (Dept. of Elect. and Comp. Eng. University of Victoria) 的正教授, 且为我校兼职教授，曾多次来我校数学系电子系讲学。陆吾生教授的研究方向是：最优化理论和小波理论及其在1维和2维的数字信号处理、数字图像处理、控制系统优化方面的应用。 现陆吾生教授计划在 2007 年 10－11 月来校开设一门为期一个月的短期课程“最优化理论及其应用”（每周两次，每次两节课），对象是数学系、计算机系、电子系的教师、高年级本科生及研究生，以他在2006年出版的最优化理论的专著作为教材。欢迎数学系、计算机系、电子系的研究生及高年级本科生选修该短期课程，修毕的研究生及本科生可给学分。 上课地点及时间：每周二及周四下午2:00开始，在闵行新校区第三教学楼326教室。（自10月11日至11月8日） 下面是此课程的内容介绍。 ----------------------------------- 最优化方法及应用 I. 函数的最优化及应用 1.1 无约束和有约束的函数优化问题 1.2 有约束优化问题的Karush-Kuhn-Tucker条件 1.3 凸集、凸函数和凸规划 1.4 Wolfe对偶 1.5 线性规划与二次规划 1.6 半正定规划 1.7 二次凸锥规划 1.8 多项式规划 1.9解最优化问题的计算机软件 II 泛函的最优化及应用 2.1 有界变差函数 2.2 泛函的变分与泛函的极值问题 2.3 Euler-Lagrange方程 2.4 二维图像的Osher模型 2.5 泛函最优化方法在图像处理中的应用 2.5.1 噪声的消减 2.5.2 De-Blurring 2.5.3 Segmentation ----------------------------------------------- 注：这是一门约二十学时左右的短期课程，旨在介绍函数及泛函的最优化理论和方法，及其在信息处理中的应用。只要学过一元及多元微积分和线性代数的学生就能修读并听懂本课程。课程中涉及到的算法实现和应用举例都使用数学软件MATLAB 华东师大数学系
宏观经济学心得体会-心得 体会 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
宏观经济学心得体会 这一阶段的宏观经济学课程结束了，在本课的学习中我最大的收获就是获得了一种把经济学理论和实际经济问题相结合的思维，逐步尝试把平时看到的新闻中的经济问题与所学过的理论结合起来，宏观经济学心得体会。 一，理论基础仍是重点 当然宏观经济理论的学习仍然是基础，凯恩斯的理论仍然是学习的重点。随着经济的发展，在一定的时期产生了一些凯恩斯主义无法解决的问题，凯恩斯主义一度走入低谷，但是现代宏观经济学的发展趋势是凯恩斯主义将重新受到重视，实际经济周期理论相信凯恩斯主义经济学靠拢，新增长理论将继续是一个研究热点，不远的将来宏观经济学将出现新的综合。 二，宏观经济问题的关注和理论的应用 在本课的学习中着重讲到了宏观经济学关注的问题：首先，经济的增长问题，在学习的过程中以我国的经济增长现状为例。现阶段中国经济高速增长，可是我们大多数人并没有感觉到财富的相应迅速增加，甚至感觉在缩水。到底中国经济高速增长能持续多久?这个问题从乐观和悲观两方面来分析，并从两种观点中分析中国的经济增长的现状。中国近几年的国民生产总值增长的很快，增长百分比在10%左右，但是人们一直对现在反应经济增长的GDP的核算是
否能反应经济的实际增长存在怀疑，所以在学习中我们引入了绿色GDP的核算。 除了对经济增长的关注，我们还对经济周期、失业和通货膨胀等问题都进行了学习，分别以中国的数据作为实例进行了详细的( 的财政政策和货币政策，随着经济的高速增长在1998年至现在国家一直采用稳健的经济政策。 经济政策的实施效果可以用研究产品市场和金融市场的IS-LM 曲线来分析，并且对IS-LM模型进行了进一步的学习。随着经济的全球化每一个国家不再可能是完全封闭的，所以IS-LM模型进一步扩展为IS-LM-BP模型。这样可以更完善分析各国的经济。从IS-LM 模型中还可以推出AD-AS曲线，这时价格不再作为一个常量而是作为一个变量来考虑，并且把总供给和总需求结合了起来。用AD-AS 模型可以充分的分析美国90年代后的新经济，从而研究对我国经济的发展有启示的因素。 三，结论 在宏观经济学的学习过程中，可以看出这是一门论战激烈，不断变动发展的学科。除了在有关影响经济增长的基本因素方面经济学家能达成一致以外，在其他领域中，尤其是在涉及商业周期，失业，通货膨胀中宏观经济学各流派争论不休。而且各个流派的理论研究都是在很多假设条件的基础上建立起来的，每个流派在研究时都是寻找能够支持自己观点的依据，而对反方面的实际问题则不予考虑，这样在实际应用中存在很多局限性，精品范文网|宏观经济学
《最优化方法》复习题 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{}.:)(min :)(max n n R D x x f R D x x f ?∈-=? ∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为 最优化问题)(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(* x N ε，使得对一切 )(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称* x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最 优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈* . 则对D x ∈?，有 ).()()()(* **-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法， 则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ .
动态规划算法 1. 动态规划算法介绍 基本思想是将待求解问题分解成若干子问题，先求解子问题，最后用这些子问题带到原问题，与分治算法的不同是，经分解得到的子问题往往是不是相互独立，若用分治则子问题太多。 2. 适用动态规划算法问题的特征 （1）最优子结构 设计动态规划算法的第一步骤通常是要刻画最优解的结构。当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质提供了该问题可用动态规划算法求解的重要线索。 在动态规划算法中，问题的最优子结构性质使我们能够以自底向下的方式递归地从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。同时，它也使我们能在相对小的子问题空间中考虑问题。 （2）重叠子问题 可用动态规划算法求解的问题应具备的另一基本要素是子问题的重叠性质。在用递归算法自顶向下解此问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，当再次需要解此子问题时，只有简单地用常数时间查看一下结果。通常，不同的子问题个数随输入问题的大小呈多项式增长。因此，用动态规划算法通常只需要多项式时间，从而获得较高的解题效率。 （3）备忘录方法
动态规划算法的一个变形是备忘录方法。备忘录方法也是一个表格来保存已解决的子问题的答案，在下次需要解此子问题时，只要简单地查看该子问题的解答，而不必重新计算。与动态规划算法不同的是，备忘录方法的递归方式是自顶向下的，而动态规划算法则是自底向上递归的。因此，备忘录方法的控制结构与直接递归方法的控制结构相同，区别在于备忘录方法为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时查看，避免了相同子问题的重复求解。 备忘录方法为每个子问题建立一个记录项，初始化时，该记录项存入一个特殊的值，表示该子问题尚未求解。在求解过程中，对每个待求的子问题，首先查看其相应的记录项。若记录项中存储的是初始化时存入的特殊值，则表示该子问题是第一次遇到，则此时计算出该子问题的解，并保存在其相应的记录项中。若记录项中存储的已不是初始化时存入的特殊值，则表示该子问题已被计算过，其相应的记录项中存储的是该子问题的解答。此时，只要从记录项中取出该子问题的解答即可。 3. 基本步骤 a 、找出最优解的性质，并刻画其结构特征。 b 、递归地定义最优值。 c 、以自底向上的方式计算出最优值。 d 、根据计算最优值时得到的信息构造一个最优解。（可省） 例1-1 [0/1背包问题] [问题描述] 用贪心算法不能保证求出最优解。在0/1背包问题中，需要对容量为c 的背包进行装载。从n 个物品中选取装入背包的物品，每件物品i 的重量为i w ，价 值为 i v 。对于可行的背包装载，背包中物品的总重量不能超过背包的容量，最佳 装载是指所装入的物品价值最高，即∑=n i i i x v 1 取得最大值。约束条件为 c x w n i i i ≤∑=1 ， {}() n i x i ≤≤∈11,0。
1 2 ( ( 最优化方法部分课后习题解答 1.一直优化问题的数学模型为： 习题一 min f (x ) = (x ? 3)2 + (x ? 4)2 ? g (x ) = x ? x ? 5 ≥ ? 1 1 2 2 ? 试用图解法求出： s .t . ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 ≥ 0 ?g (x ) = x ≥ 0 ? 3 1 ??g 4 (x ) = x 2 ≥ 0 （1） 无约束最优点，并求出最优值。 （2） 约束最优点，并求出其最优值。 （3） 如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 ? x 2 = 0 ，其约束最优解是什么？ * 解 ：（1）在无约束条件下， f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上，不难看出，当 x =（3，4） 时， f (x ) 取最小值，即，最优点为 x * =（3，4）：且最优值为： f (x * ) =0 （2）在约束条件下， f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是 在约束集合即可行域中找一点 (x 1 , x 2 ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可 以看出，当 x * = 15 , 5 ) 时， f (x ) 所在的圆的半径最小。 4 4 ?g (x ) = x ? x ? 5 = 0 ? 15 ?x 1 = 其中：点为 g 1 (x ) 和 g 2 (x ) 的交点，令 ? 1 1 2 ? 2 求解得到： ? 4 5 即最优点为 x * = ? ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 = 0 15 , 5 ) ：最优值为： f (x * ) = 65 ?x = ?? 2 4 4 4 8 （3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。 2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优 化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题. 解：列出这个优化问题的数学模型为： max f (x ) = x 1x 2 x 3 ?x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S
一．单纯性法 1.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 12 2121212max 2515 6224..5 ,0 z x x x x x s t x x x x =+≤??+≤??+≤??≥? 2.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 12 121212max 2322 ..2210 ,0 z x x x x s t x x x x =+-≥-??+≤??≥? 3.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 1234 123412341234max 24564282 ..2341 ,,,z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+≤? ?-+++≤??≥ ? 4.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 123 123123123123max 2360 210..20 ,,0 z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤??-+≤??+-≤??≥? 5.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 123 12312123max 224 ..26,,0 z x x x x x x s t x x x x x =-++++≤??+≤??≥? 6.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）
12 121212 max 105349..528 ,0z x x x x s t x x x x =++≤??+≤??≥? 7.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 16 分） 12 121212max 254 212..3218 ,0 z x x x x s t x x x x =+≤??≤??+≤??≥?
湖州师范学院实验报告 课程名称：算法 实验二：动态规划方法及其应用 一、实验目的 1、掌握动态规划方法的基本思想和算法设计的基本步骤。 2、应用动态规划方法解决实际问题。 二、实验内容 1、问题描述 1 ）背包问题 给定 N 种物品和一个背包。物品 i 的重量是 C i ，价值为 W i ；背包的容量为 V。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？在选择装入背包的物品，对每种物品只有两个选择：装入或不装入，且不能重复装入。输入数据的第一行分别为：背包的容量 V，物品的个数 N。接下来的 N 行表示 N 个物品的重量和价值。输出为最大的总价值。 2）矩阵连乘问题 给定 n 个矩阵：A1,A2,...,An，其中 Ai 与 Ai+1 是可乘的，i=1 ， 2... ， n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。 3 ）LCS问题 给定两个序列，求最长的公共子序列及其长度。输出为最长公共子序列及其长度。 2、数据输入：文件输入或键盘输入。 3、要求： 1）完成上述两个问题，时间为 2 次课。 2）独立完成实验及实验报告。 三、实验步骤 1、理解方法思想和问题要求。 2、采用编程语言实现题目要求。 3、上机输入和调试自己所写的程序。 4、附程序主要代码： (1) #include
(2005) 西安交通大学对具有排队的多模式动态交通分配问题及其相关应用进行研究。本文对动态交通分配模型发展进行了介绍和总结，并详细讨论了模型中的路段动态函数、流量传播约束、FIFO等相关特性。 将单一交通模式的点排队路段动态模型扩展到多模式动态路段模型，并且证明了各种模式的路段行程时间函数合乎模式内的FIFO特性，以及在拥挤情况下各模式车辆的速度收敛特性。 将多模式随机动态同时的路径与出发时间选择平衡条件描述为变分不等式问题，提出了两个不同的算法用于求解变分不等式问题： 算法一是基于路段的算法，这个算法给出了基于logit的同时的路径与出发时间选择的随机动态网络配载方法，并证明了这个方法的正确性； 算法二是基于路径的启发式算法。仿真试验验证了模型以及两个算法的有效性。提出了多模式多用户动态交通分配模型，用于评估ATIS对不同模式出行者和交通系统的影响。将每一模式的出行者分为两类：一类是装配ATIS的出行者，另一类是未装配ATIS的出行者。由于所能获得的交通信息质量的差异，他们将遵循不同的动态用户平衡条件。同时，每一种模式出行者在选择路径和出发时间时，不但考虑出行费用和进度延误费用的影响，而且还考虑油耗费用的影响。将多模式多用户动态用户平衡条件描述为统一的变分不等式问题，利用对角化算法计算相应的平衡流量状态，并通过仿真试验验证了模型与算法的有效性。使用nested-logit模型模拟ATIS的市场渗透率与服从率，模型的上层模拟了驾驶小汽车出行者的购买行为(市场渗透率)，底层主要描述了装配ATIS设备的小汽车出行者的服从行为(服从率)。设计了固定点算法计算ATIS的平衡市场渗透率与服从率。并在简单的路网上进行了仿真研究，结果证明算法与模型是正确和有效的。提出了组合模式动态交通分配模型，模型中假设有两类出行者：一类是纯模式出行者，他们自己驾驶小汽车完成一次出行。另一类是组合模式出行者，在其一次出行的第一部分是自己驾驶小汽车完成的，剩余部分是乘公交车完成的。使用nested-logit模型模拟出行者的复杂出行选择行为。将各种不同的选择行为描述为一个变分不等式问题。并给出了启发式算法求解相应的变分不等式问题。最后，利用仿真研究验证了模型与算法的有效性。 交通分配： (2005)所谓交通分配是指按照一定的原则，将各OD (Origin-Destination)对间的出行量分配到具体的交通网络上去，从而得到各路段的交通量，以判断各路段的负荷水平。近半个世纪以来，国内外学者对交通分配问题进行了大量的研究，提出了不少交通流分配模型与软件。总体来看，这些模型可以分为两大类: 平衡分配模型：遵循War drop用户最优(UO, User Optimum)准则或系统最优(SO, System Optimum)准则。它们或者使得个别交通参与者的出行费用最低，或者使得交通网络上所有出行者的总出行费用最低。 非平衡分配模型：运用启发式解法或其他近似解法的分配模型则统称为非平衡分配模型，如全有全无分配模型、容量受限分配模型、多路径概率分配模型、随机分配模型和嫡分配模型等。 静态模型不能反映交通流的时变特性，相反，动态交通分配考虑了交通需求随时间变化和出行费用随交通负荷变化的特性，能够给出瞬间的交通流分布状态。 DTA（Dynamic Traffic Assignment） 所谓动态交通分配, 就是将时变的交通出行合理分配到不同的路径上, 以降低个人的出行费用或系统总费用。动态交通分配是在交通供给状况以及交通需求状况均为已知的条件下, 分析其最优的交通流量分布模式, 从而为交通流管理、动态路径诱导等提供依据。 交通供给状况：网络拓扑结构、网段特性、既定控制策略等。
本科毕业论文 （2014届） 题目：最优化求解法在实际问题中的应用学院：计算机与科学技术学院 专业：数学与应用数学 班级：10数本班 学号：1006131084 姓名：严慧 指导老师：孙钢钢
目录 1．摘要 (3) 2．关键字 (3) 3．引言 (3) 4．最优化求解法在实际问题中的应用 (4) 4.1．无约束最优化问题的求解............................................... ....... 4.2．有约束最优化问题的求解............................................... ....... 4.3．线性规划问题的求解............................................... ........... ... 4.4．非线性规划问题的求解............................................... ........... 5．结束语................................................................................................参考书目
1.摘要：本文介绍最优化及相关知识在实际生活中的应用，主要是利用运筹 学来研究解决在实际生活中所遇到的一些问题，找到最优的解决方案，帮助人们提供最好的最有科学依据的最佳方法。 2.关键字：最优化，运筹学，生活，应用。 Abstract：This paper introduced the Optimization in the real life application，this is use of Operations research to solve the problem in real life，finding the best solution，and provide the best and scientifically valid solution to the people . Key words: Optimization, Operations research, life, application. 3.引言 随着社会迅速发展，各行各业中的竞争日益激烈，我们日常生活中好多事情都会牵扯到最优化，比如运输成本问题、效益分配问题等等。 什么是数学最优化问题，就是利用合理的安排和规划在一件事情或者问题上取得利润最大，时间最少，路线最短，损失最少的方法。所以最优化解决方法对实际生活现实社会的帮助作用很大。现如今，最优化解决问题已经渗透到生活中的方方面面。 一个好的决策也许会让你绝处逢生，反败为胜，譬如中国历史上田忌赛马的故事，田忌的聪明之处在于在已有的条件下，经过策划安排，选择了最好的方案，所以最后就是自己看似劣势也能取胜，筹划是非常重要的，这就是运筹学的魅力。 我们在中国的古代史上就可以看到中国古人已经具有很好的运筹学思想了，在战争中，两兵交战，各方都会有自己的军师，历史上有很多著名的军师，比如诸葛亮，刘伯温等。他们在战争中所起到的作用就是“运筹于帷幄之中，决胜于千里之外”，运筹学二字也是来源于此，了解敌方的军情，以此做出相应的对策，筹划最佳作战计划，做到“知己知彼百战不殆”，历史上也不乏一些以少胜多以弱胜强的战争，由此可见运筹学在军事中的力量有多强大。 现代社会中运筹学不仅在军事方面发挥着重要作用，同样在企业经营管理方面也是非常重要的，最优化理论最早是在工业领域产生的，它的对象可以是产
MOBILE BRAVIA ENGINE 移动图像引擎 在索尼爱立信LT18i发布之初，很多人对它的显示效果并不看好，从它的配置参数来看，480×854像素的分辨率并不是最高的，而且屏幕材质也为并不先进的TFT材质，然而在实际使用过程中，LT18i的显示效果令我们十分惊喜。这是因为它采用了MOBILE BRAVIA ENGINE （移动图像处理引擎）。 索尼爱立信LT18i采用了MOBILE BRAVIA ENGINE 要想了解MOBILE BRAVIA ENGINE，我们先了解一下BRAVIA。BRAVIA是日本索尼的一个电视品牌。BRAVIA是“Best Resolution Audio Visual Integrated Architecture”的缩写，代表“最高品质的影音整合架构”。BRAVIA拥有索尼独创的BRAVIA ENGINE（图像处理引擎），能够改良屏幕的显示效果。现在这项技术被应用在索尼爱立信的手机上，就是我们今天要说的MOBILE BRAVIA ENGINE（移动图像处理引擎）。
索尼第三代BRAVIA ENGINE图像处理引擎 在这里我们需要提一下，手机的屏幕是不能直接显示手机内存储的图像数据的，它需要一个图像处理器，将数据文件转换成图像文件，然后才能在屏幕中显示出我们能够看到的图像。而MOBILE BRAVIA ENGINE实际上就是一个图像处理器，它具备Digital Reality Creation （画质精细高倍密技术），能将不良的影像讯号，转换成精细而层次分明的画质，同时过滤噪声，加倍提升锐利度，呈现出高分辨率、丰富的立体层次。 MOBILE BRAVIA ENGINE开启和关闭时的显示效果对比
作用： ①仿真的过程也是实验的过程，而且还是系统地收集和积累信息的过程。尤其是对一些复杂的随机问题，应用仿真技术是提供所需信息的唯一令人满意的方法。 ②仿真技术有可能对一些难以建立物理模型或数学模型的对象系统，通过仿真模型来顺利地解决预测、分析和评价等系统问题。 ③通过系统仿真，可以把一个复杂的系统化降阶成若干子系统以便于分析，并能指出各子系统之间的各种逻辑关系。 ④通过系统仿真，还能启发新的策略或新思想的产生，或能暴露出在系统中隐藏着的实质性问题。同时，当有新的要素增加到系统中时，仿真可以预先指出系统状态中可能会出现的瓶颈现象或其它的问题。 2.简述两个Wardrop 均衡原理及其适用范围。 答： Wardrop提出的第一原理定义是：在道路的利用者都确切知道网络的交通状态并试图选择最短径路时，网络将会达到平衡状态。在考虑拥挤对行驶时间影响的网络中，当网络达到平衡状态时，每个 OD 对的各条被使用的径路具有相等而且最小的行驶时间；没有被使用的径路的行驶时间大于或等于最小行 驶时间。 Wardrop提出的第二原理是：系统平衡条件下，拥挤的路网上交通流应该按照平均或总的出行成本 最小为依据来分配。 第一原理对应的行为原则是网络出行者各自寻求最小的个人出行成本，而第二原理对应的行为原则是网络的总出行成本最小。 3.系统协调的特点。 答： （1）各子系统之间既涉及合作行为，又涉及到竞争行为。 （2）各子系统之间相互作用构成一个反馈控制系统，通过信息作为“中介”而构成整体 （3）整体系统往往具有多个决策人，构成竞争决策模式。 （4）系统可能存在第三方介入进行协调的可能。 6．对已经建立了概念模型的系统处理方式及其特点、适用范围。答：对系统概念模型有三种解决方式。 1.建立解析模型方式 对简单系统问题，如物流系统库存、城市公交离线调度方案的确定、交通量不大的城市交叉口交通控制等问题，可以运用专业知识建立系统的量化模型（如解析数学模型），然后采用优化方法确定系统解决方案，以满足决策者决策的需要，有关该方面的内容见第四、五章。 在三种方式中，解析模型是最科学的，但仅限于简单交通运输系统问题，或仅是在实际工程中一定的情况下（仅以一定的概率）符合。所以在教科书上很多漂亮的解析模型，无法应用于工程实际中。 2.建立模拟仿真模型方式 对一般复杂系统，如城市轨道交通调度系统、机场调度系统、城市整个交通控制系统等问题，可以对系统概念模型中各个部件等采用变量予以量化表示，并通过系统辨识的方式建立这些变量之间关系的动力学方程组，采用一定的编程语言、仿真技术使其转化为系统仿真模型，通过模拟仿真寻找较满意的优化方案，包括离线和在线均可以，有关该方面的内容见第七章。 模拟仿真模型比解析模型更能反映系统的实际，所以在交通运输系统中被更高层次的所使用，包括
一、 填空题 1 ． 若 ()()??? ? ??+???? ?????? ??=212121 312112)(x x x x x x x f ，则 =?)(x f ，=?)(2x f . ２．设f 连续可微且0)(≠?x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向。 3.向量T ) 3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量 有 ． 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算 法: . 6.以下约束优化问题： )(01)(..)(min 212121 ≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f 的K-K-T 条件为： . 7．以下约束优化问题： 1 ..)(min 212 2 21=++=x x t s x x x f 的外点罚函数为(取罚参数为μ) . 二、证明题（７分+8分) 1.设1,2,1,:m i R R g n i =→和m m i R R h n i ,1,:1+=→都是线性函数,证明下 面的约束问题: } ,,1{, 0)(},1{, 0)(..)(min 1112 m m E j x h m I i x g t s x x f j i n k k +=∈==∈≥=∑= 是凸规划问题。
2.设R R f →2 :连续可微，n i R a ∈,R h i ∈,m i ,2,1=,考察如下的约束条件问题: } ,1{,0} 2,1{,0..) (min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i T i +=∈=-=∈≥- 设d 是问题 1 ||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥?d E i d a I i d a t s d x f T i T i T 的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。 三、计算题（每小题１2分) １.取初始点T x )1,1() 0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题 (迭代２步）: 2 2212)(m in x x x f += 2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题： 212 2212 1)(min x x x x x f -+= 3.用有效集法求解下面的二次规划问题: . 0,001..42)(min 21212 12 221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f 4．用可行方向算法(Zoutend ｉj ｋ算法或Ｆrank Wol ｆｅ算法）求解下面的问题（初值设为)0,0() 0(=x ,计算到)2(x 即可）： . 0,033..22 1)(min 212112 22121≥≥≤+-+-= x x x x t s x x x x x x f