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张跃辉-矩阵理论与应用 前第四章答案

张跃辉-矩阵理论与应用 前第四章答案
张跃辉-矩阵理论与应用 前第四章答案

矩阵理论中的矩阵分析的实际应用论文

矩阵分析在同步捕获性能研究新应用 摘要:该文提出了一种利用概率转移矩阵计算捕获传输函数的方法,通过将以往分析方法中的流程图转换为概率转移矩阵,仅需知道一步转移概率矩阵,利用现代计算机编程语言(如MAPLE,MATLAB等)的符号运算功能,即可得到捕获系统的传输函数:通过对传输函数求导,可计算平均捕获时间。矩阵分析方法可完整地计算出捕获系统的传输函数,可弥补流程图方法在分析传统连续搜索捕获方案的传输函数时所忽略的项;可纠正流程图方法在分 析非连续搜索捕获方案的传输函数时所引起的误差。 关键词:CDMA;矩阵分析;传输函数;流程图;捕获 A Novel Acquisition Performance Evaluation Approach Based on Matrix Analysis Abstract:A novel acquisition performance analysis approach is proposed based on matrix analysis.Given the first step transition probability matrix,the transfer function of acquisition system can be obtained by utilizing the symbol operation function of computer programming such as MAPLE,MATLAB and so on,and the mean acquisition time can be computed by differentiating the transfer function.The transfer function of acquisition system can be computed perfectly by matrix analysis,it not only complements the items neglected in that of conventional serial acquisition scheme but also corrects the error items in that of nonconsecutive acquisition scheme.

矩阵分析第3章习题答案

第三章 1、 已知()ij A a =是n 阶正定Hermite 矩阵,在n 维线性空间n C 中向量 1212(,,,),(,, ,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ= (1) 证明在上述定义下,n C 是酉空间; (2) 写出n C 中的Canchy-Schwarz 不等式。 2、 已知2111311101A --?? =? ? -?? ,求()N A 的标准正交基。 提示:即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。 3、 已知 308126(1)316,(2)103205114A A --?? ?? ????=-=-?? ?? ????----?? ?? 试求酉矩阵U ,使得H U AU 是上三角矩阵。 提示:参见教材上的例子 4、 试证:在n C 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。 5、 验证下列矩阵是正规矩阵,并求酉矩阵U ,使H U AU 为对角矩阵,已知 1 31(1)612A ????? =????????? ? 01(2)10000i A i -????=??????,434621(3)44326962260i i i A i i i i i +--????=----? ???+--?? 11(4)11A -?? =?? ?? 6、 试求正交矩阵Q ,使T Q AQ 为对角矩阵,已知

220(1)212020A -????=--????-?? ,11011110(2)01111011A -?? ??-? ?=?? -??-?? 7、 试求矩阵P ,使H P AP E =(或T P AP E =),已知 11(1)01112i i A i i +????=-????-??,222(2)254245A -?? ??=-?? ??--?? 8、 设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-,试证:矩阵E U +满秩,且1 ()() H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。反之,若H 是Hermite 矩阵,则E iH +满秩,且1 ()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。 证明:若||0+=E U ,观察0-=E U λ知1-为U 的特征值,矛盾,所以矩阵E U +满 秩。()()1 1()()()--=-+=-+-H H H H H i E U E U i E U E U ,要H H H =,只要 ()()1 1()()()()()()---+-=-+?--+=+-?-=-H H H H H H i E U E U i E U E U E U E U E U E U U U U U 故H H H = 由()0+=--=E iH i iE H 知i 为H 的特征值。由Hermite 矩阵只能有实数特征值可得 0+≠E iH ,即E iH +满秩。 111111()()()()()()()()()()()()------=+-+-=+-+-=++--=H H H U U E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E 9、 若,S T 分别是实对称和实反对称矩阵,且det()0E T iS --≠,试证: 1()()E T iS E T iS -++--是酉矩阵。 证明: 1111 [()()]()()()()()()----++--++--=++--++--H E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS 11()()()()--=++++----=E T iS E T iS E T iS E T iS E

信息论基础理论与应用考试题及答案

信息论基础理论与应用考试题 一﹑填空题(每题2分,共20分) 1.信息论研究的目的就是要找到信息传输过程的共同规律,以提高信息传输的 (可靠性)﹑(有效性)﹑保密性和认证性,使信息传输系统达到最优化。 (考点:信息论的研究目的) 2.电视屏上约有500×600=3×510个格点,按每点有10个不同的灰度等级考虑,则可组成5 31010?个不同的画面。按等概计算,平均每个画面可提供的信息量约为(610bit /画面)。 (考点:信息量的概念及计算) 3.按噪声对信号的作用功能来分类信道可分为 (加性信道)和 (乘性信道)。 (考点:信道按噪声统计特性的分类) 4.英文电报有32个符号(26个英文字母加上6个字符),即q=32。若r=2,N=1,即对信源S 的逐个符号进行二元编码,则每个英文电报符号至少要用 (5)位二元符号编码才行。 (考点:等长码编码位数的计算) 5.如果采用这样一种译码函数,它对于每一个输出符号均译成具有最大后验概率的那个输入符号,则信道的错误概率最小,这种译码规则称为(最大后验概率准则)或(最小错误概率准则)。 (考点:错误概率和译码准则的概念) 6.按码的结构中对信息序列处理方式不同,可将纠错码分为(分组码)和(卷积码)。 (考点:纠错码的分类) 7.码C={(0,0,0,0),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(0,0,1,1)}是((4, 2))线性分组码。 (考点:线性分组码的基本概念) 8.定义自信息的数学期望为信源的平均自信息量,即(11()log ()log ()()q i i i i H X E P a P a P a =??==-????∑)。

矩阵分析模拟试题及答案

矩阵分析模拟试题及答案 一.填空题(每空3分,共15分) 1. 设A 为3阶方阵, 数2-=λ, 3=A , 则A λ= -24. 2. 设向量组T )4,3,2,1(1=α,T )5,4,3,2(2=α,T )6,5,4,3(3=α,T )7,6,5,4(4=α,则 ),,,(4321ααααR =2. 3. 已知??? ?? ??---=11332 223a A ,B 是3阶非零矩阵,且0=AB ,则=a 1/3. 4.设矩阵????? ??------=12422 421x A 与??? ? ? ??-=Λ40000005y 相似,则y x -=-1. 5. 若二次型()32212 3222132122, ,x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型,则a 的取值 范围是22< <-a . 二.单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A 是3阶矩阵,将的第二列加到第一列得矩阵,再交换的第二行与第三行得单位矩阵, 记????? ??=1000110011P ,??? ?? ??=010*******P ,在则=A ( D ) 21)(P P A 211)(P P B - 12)(P P C 112)(-P P D 2. 设A 是4阶矩阵,且A 的行列式0=A ,则A 中( C ) )(A 必有一列元素全为0 )(B 必有两列元素成比例 )(C 必有一列向量是其余列向量的线性组合 )(D 任意列向量是其余列向量的线性组合 3. 设A 与B 均为3阶方阵, 且A 与B 相似, A 的特征值为1, 2, 3, 则1 )2(-B 的特 征值为(B ) )(A 2, 1, 32 )(B 12, 14, 16 )(C 1, 2, 3 )(D 2, 1, 2 3

矩阵变换及应用开题报告

鞍山师范学院 数学系13届学生毕业设计(论文)开题报告 课题名称:浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名:李露露 专业:数学与应用数学 班级:10级1班 学号:30 指导教师:裴银淑 2013年12月26日

一、选题意义 1、理论意义: 矩阵是数学中的一个重要内容,是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种十分重要的运算,它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解决的问题。因此,矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义: 矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性,并起着不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述: 矩阵不仅是个数学学科,而且也是许多理工学科的重要数学工具,因此国内外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词,他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年,凯莱发表了关于矩阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后,国内外有了许多关于矩阵的研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中,就有关于矩阵变换的内容,在第一章中有关于矩阵初等变换的内容,并有初等变换在矩阵方程中的应用,在第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的CharlesR.Johnson联合编著的《矩阵分析》也有关于矩阵变换的内容,此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展,为矩阵知识所涉及的各个领域都作出了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价:

矩阵论答案

习题 一 1.(1)因 cos sin sin cos nx nx nx nx ?? ? ? -?? cos sin sin cos x x x x ????-??= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++?? ??-++?? ,故由归纳法知 cos sin sin cos n nx nx A nx nx ?? =??-?? 。 (2)直接计算得4 A E =-,故设4(0,1,2,3)n k r r =+=,则4(1)n k r k r A A A A ==-,即只需算出23,A A 即可。 (3)记J=0 1 0 1 1 0 ?????? ?????????? ,则 , 112211111 () n n n n n n n n n n n n n n i i n i n n i n n n a C a C a C a C a C a A aE J C a J a C a a -----=-????????=+==?? ???????? n ∑。 2.设11 22 (1,0),0 a A P P a A E λλ-??===?? ?? 则由得 2 1112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,不可能。 而由2 112222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1i PB P -, 其中P 为任意满秩矩阵,而 1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -??????===?????? --?????? 。 注:2 A E =-无实解,n A E =的讨论雷同。 3.设A 为已给矩阵,由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ,即把X 看作2 n 个未知数时线 性方程AX -XA=0有2 n 个线性无关的解,由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵,

信息论基础理论与应用考试题及答案

信息论基础理论与应用考试题及答案

信息论基础理论与应用考试题 一﹑填空题(每题2分,共20分) 1.信息论研究的目的就是要找到信息传输过程的共同规律,以提高信息传输的 (可靠性)﹑(有效性)﹑保密性和认证性,使信息传输系统达到最优化。 (考点:信息论的研究目的) 2.电视屏上约有500×600=3×510个格点,按每点有10个不同的灰度等级考虑, 则可组成5 31010?个不同的画面。按等概计算,平均每个画面可提供的信息量约 为(610bit /画面)。 (考点:信息量的概念及计算) 3.按噪声对信号的作用功能来分类信道可分为 (加性信道)和 (乘性信道)。 (考点:信道按噪声统计特性的分类) 4.英文电报有32个符号(26个英文字母加上6个字符),即q=32。若r=2,N=1, 即对信源S 的逐个符号进行二元编码,则每个英文电报符号至少要用 (5)位 二元符号编码才行。 (考点:等长码编码位数的计算) 5.如果采用这样一种译码函数,它对于每一个输出符号均译成具有最大后验概 率的那个输入符号,则信道的错误概率最小,这种译码规则称为(最大后验 概率准则)或(最小错误概率准则)。 (考点:错误概率和译码准则的概念) 6.按码的结构中对信息序列处理方式不同,可将纠错码分为(分组码)和(卷 积码)。 (考点:纠错码的分类) 7.码C={(0,0,0,0),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(0,0,1,1)}是((4, 2))线性分组码。 (考点:线性分组码的基本概念) 8.定义自信息的数学期望为信源的平均自信息量,即(11()log ()log ()()q i i i i H X E P a P a P a =??==-????∑)。

矩阵分解及其应用

《线性代数与矩阵分析》课程小论文 矩阵分解及其应用 学生姓名:****** 专业:******* 学号:******* 指导教师:******** 2015年12月

Little Paper about the Course of "Linear Algebra and Matrix Analysis" Matrix Decomposition and its Application Candidate:****** Major:********* StudentID:****** Supervisor:****** 12,2015

中文摘要 将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。本文主要介绍几种矩阵的分解方法,它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分,在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。因此,本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。 关键词:等价分解,三角分解,奇异值分解,运用

Abstract Many particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition. Key words:Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application

矩阵分析试题中北大学33

§9. 矩阵的分解 矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积,这是矩阵理论及其应用中常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式,一方面反映了原矩阵的某些数值特性,如矩阵的秩、特征值、奇异值等;另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据,因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便,这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。 这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。 一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。 将一个矩阵分解为酉矩阵(或正交矩阵)与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积,这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。首先我们从满秩方阵的三角分解入手,进而讨论任意矩阵的三角分解。 定义1 如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数,()(,1,2,1;∈<=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则上三角矩阵 1112 1222000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a a a R a 称为正线上三角复(实)矩阵,特别当1(1,2,,)ii a i n == 时,R 称为单位上三角复(实)矩阵。

定义2如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数,()(,1,2,1;∈>=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则下三角矩阵 11212212000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a L a a a 称为正线下三角复(实)矩阵,特别当1(1,2,,)ii a i n == 时,L 称为单位下三角复(实)矩阵。 定理1设,?∈n n n A C (下标表示秩)则A 可唯一地分解为 1=A U R 其中1U 是酉矩阵,R 是正线上三角复矩阵;或者A 可唯一地分解为 2=A LU 其中2U 是酉矩阵,L 是正线下三角复矩阵。 推论1设,?∈n n n A R 则A 可唯一地分解为 1=A Q R 其中1Q 是正交矩阵,R 是正线上三角实矩阵;或者A 可唯一地分解为 2=A LQ 其中2Q 是正交矩阵,L 是正线下三角实矩阵。 推论2 设A 是实对称正交矩阵,则存在唯一的正线上三角实矩阵R ,使得 =T A R R 推论3设A 是正定Hermite 矩阵,则存在唯一的正线上三角复矩阵R ,使得 =T A R R

上海交大研究生矩阵理论答案

n k r n n 1 2 习题 一 1.( 1)因 cosnx sin nx sin nx cosnx cosx sin x sin x = cosx cos(n sin(n 1)x 1)x sin( n cos(n 1)x 1)x ,故由归纳法知 cosnx sin nx A 。 sin nx cosnx ( 2)直接计算得 A 4 E ,故设 n 4 k r (r 0,1,2,3) ,则 A n A 4 k A r ( 1) A , 即 只需算出 A 2, A 3 即可。 0 1 0 1 ( 3 )记 J= ,则 , 1 0 n 1 n 1 2 n 2 n a C n a C n a C n a n C 1 a n 1 C n 1a A n (aE J ) n n C i a i J n i i 0 n n a n 。 C 1a n 1 a n 2. 设 A P 1 a 2 P 1(a 1,0),则由A 2 E 得 a 1时, 1 1 1 1 0 1 2 1 2 1 0 2 不可能。 1 而由 a 1 0时, 2 1 知 1 所以所求矩阵为 PB P 1 , 其中 P 为任意满秩矩阵,而 i i 2 2 2 1 0 1 0 1 0 B 1 , B 2 , B 3 。 0 1 0 1 1 注: A 2 E 无实解, A n E 的讨论雷同。 3. 设 A 为已给矩阵,由条件对任意 n 阶方阵 X 有 AX=XA ,即把 X 看作 n 2 个未知数时线 性方程 AX XA=0 有 n 2 个线性无关的解, 由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵, 1

矩阵理论与应用(张跃辉)(上海交大)第二章参考答案

第二章习题及参考解答 注:第27题(2)(3)错(可将“证明”改为证明或否定),第28题可不布置。第50题(含)以后属于附加内容,没有参考解答。 1.证明子空间判别法:设U是线性空间V的一个非空子集.则U是子空间??对任 意λ∈F,α,β∈U,有α+β∈U与λα∈U. 证明:必要性是显然的,下证充分性。设U关于加法“+”与数乘均封闭。则U中加法“+”的结合律与交换律以及数乘与“+”的分配律、1α=α均自动成立,因为U?V.由 于U关于数乘封闭,而0=0α∈U,?α=?1α∈U,因此U是子空间。 2.证明子空间的下述性质。(1)传递性:即若U是V的子空间,W是U的子空间,则W 也是V的子空间; (2)任意多个(可以无限)子空间的交集仍是子空间,且是含于这些子空间的最大子空间; 特别,两个子空间U与W的交U∩W仍是子空间. 证明:(1)由子空间判别法立即可得。 (2)由子空间判别法可知任意多个(可以无限)子空间的交集仍是子空间,且若某个子空 间含于所有这些子空间,则该子空间必然含于这些子空间的交。 3.(1)设V是线性空间,U与W是V的两个子空间.证明: dim(U+W)=(dim U+dim W)?dim(U∩W). (2)设V是有限维线性空间.证明并解释下面的维数公式: dim V=max{m|0=V0?V1?···?V m?1?V m=V,V i是V i+1的真子空间} 证明:(1)设dim U=s,dim W=t,dim(U∩W)=r.任取U∩W的一组基α1,α2,···,αr.由于U∩W是U与W的公共子空间,故U∩W的基是U与W的线性无关的向量组,因此 可以扩充成U或W的基.设 α1,α2,···,αr,βr+1,βr+2,···,βs(0.0.1) 与 α1,α2,···,αr,γr+1,γr+2,···,γt(0.0.2) 分别是U与W的基.我们证明 α1,α2,···,αr,βr+1,βr+2,···,βs,γr+1,γr+2,···,γt(0.0.3) 是U+W的一组基.为此需要证明该向量组线性无关,且U+W的任何向量均可由这些向量 线性表示. 设 k1α1+k2α2+···+k rαr+b r+1βr+1+···+b sβs+c r+1γr+1+···+c tγt=0.(0.0.4) 12

矩阵分析课后习题解答版

第一章 线性空间与线性变换 (以下题目序号与课后习题序号不一定对应,但题目顺序是一致的,答案为个人整理,不一定正确,仅供参考,另外,此答案未经允许不得擅自上传) (此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别) 1.9.利用子空间定义,)(A R 是m C 的非空子集,即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。 1.10.证明同1.9。 1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim (解空间的维数) 1.13.提示:设),)(- ?==n j i a A n n ij (,分别令T i X X ),0,0,1,0,0(K K ==(其中1位于i X 的第i 行),代入0=AX X T ,得0=ii a ;令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0(K K K ==(其中1位于ij X 的第i 行和第j 行) ,代入0=AX X T ,得0=+++jj ji ij ii a a a a ,由于0==jj ii a a ,则0=+ji ij a a ,故 A A T -=,即A 为反对称阵。若X 是n 维复列向量,同样有0=ii a , 0=+ji ij a a , 再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0(K K K ='=(其中i 位于ij X 的第i 行,1位于ij X 的第j 行),代入0=AX X H ,得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ,由于 0==jj ii a a ,ij ji a a -=,则0==ji ij a a ,故0=A 1.14.AB 是Hermite 矩阵,则AB BA A B AB H H H ===)( 1.15.存在性:令2 ,2H H A A C A A B -=+=,C B A +=,其中A 为任意复矩阵,可验证C C B B H H -==, 唯一性:假设11C B A +=,1111,C C B B H H -==,且C C B B ≠≠11,,由

矩阵论的实际应用(朱月)

“矩阵论”课程研究报告科目:矩阵理论及其应用教师:舒永录 姓名:朱月学号:20140702057t 专业:机械工程类别:学术 上课时间:2014 年9月至2014年12 月 考生成绩: 阅卷评语: 阅卷教师(签名)

相关变量的独立变换 摘要:用矩阵的理论及方法来处理实际生活中或现代工程中的各种问题已 越来越普遍。在工程中引进矩阵理论不仅是理论的表达极为简洁,而且对理论的实质刻画也更为深刻,这一点是毋庸置疑的。本文将矩阵论的知识用于解决实用机械可靠性设计问题。 正文 一、问题描述 在建立机械系统可靠性模型时,一般总假设个元素间关于强度相互独立。但是实际中,各元素间关于应力和强度又往往是相关的,并且这种相关性有时会对系统的可靠度产生显著影响。对于一些随机变量之间不是完全相关,但也不是完全独立的情况,就要进行相关变量的独立变换。 二、方法简述 设系统的基本变量为),,(21n x x x X ,??,各变量之间相关,则随机变量x 的 n 维正态概率密度函数为[1] )1()()(21exp ||2()(1 2 12 ? ??--???-=---X X T X X n X C X C X f μμπ) 式中 ?? ? ???????????=2321232212131212 ),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(21n X n n n n X n X X x x x x x x x x x x x x x x x x x x C σσσ 称为随机变量X 的协方差矩阵。矩阵中的任意元素),cov(j i x x 是变量i x 与变 量j x 的协方差,|C X |是协方差矩阵的行列式,1 -X C 是协方差矩阵的逆矩阵,X ,X μ及 )X X μ-(是n 维列向量 ?? ? ?? ?????--=-????? ?????=?? ??? ?????=n n X n X n x x X x x μμμμμμ 1111, , X

数值分析习题集及答案

数值分析习题集 (适合课程《数值方法A》和《数值方法B》) 长沙理工大学 第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2%,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而 相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足 第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且 .

2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3. 4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数 字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函 数表的步长应取多少? 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误 差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误

矩阵分析 2018年期末试题

一、填空题 1、4[]R x 表示实数域R 上所有次数小于或等于3的多项式构成的向量空间,则微分算子 D 在4[]R x 的基 321234(),(),(),()1p x x p x x p x x p x ====下的矩阵表示______________。 2、λ-矩阵 322(1)()(1)A λλλλλλ??- ?=- ? ??? 的初等因子组为______________________ _______________, Smith 标准形是___________________________ 3、已知矩阵210024120A -??? ?=??????,则 1____,A =____,A ∞= _____F A = 其中1,∞??分别是由向量的1-范数和∞-范数诱导出来的矩阵范数(也称算子范数), F ?是矩阵的Frobenius 范数。 4. 已知函数矩阵222()2x A x x ??= ???,则22()d A x dx =___________, 5、已知n 阶单位矩阵I , 则 sin _______,2I π= 2______,i I e π=cos _______.I π= 6、设()m J a 表示主对角元均为 a 的m 阶Jordan 块。则 ()k m J a 的Jordan 标准形为________ _______, ()k m J a 的最小多项式为___________,这里0,a ≠ ,m k 是整数且 1,1m k >≥. 二、 已知 220260114A -????=?????? , (1)求矩阵的Jordan 标准形和最小多项式; (2)求矩阵函数 sin ,.t A A e 30(())_______.t A x dx '=?

2014矩阵分析试卷

2014矩阵分析试卷 一、判断题(不要求证明)(20分) 1.设n 是大于1的整数,{()|()}V f x f x n F =是次数小于的域上的多项式,V 关于多项式的加法与数乘是一个域F 上的线性空间。 ( √ ) 2.设a r 为XOY 面上的非零向量,V 为XOY 面内所有不平行于a r 的向量构成的集合,V 关于向量的加法与数乘是一个域R 上的线性空间。 ( × ) 3.设V 是域F 上的线性空间, V α∈不是零向量,映射:,()V V ξξα→=+A A 是V 上的线性变 换。 ( × ) 4. 设A 是数域R 上的对称阵,映射:,()n n R R A αα→=A A 是n R 上的对称变换。 ( √ ) 二、计算题 1. (1,1,1,1)T 2. 已知1 12212W ={,},W ={,}Span a a Span b b ,而 1212(0,1,1,1),(1,0,2,0);(0,3,3,1),(1,2,0,0)a a b b =-==-=。 12W W ?的基为(1,1,3,1)T --与维数1; 12122212W +W ={,,}={,,}span span ααβαββ的基122,,ααβ或212,,αββ与维数3 3. 23:,()R R A ββ→=A A ,基 123(1,0,0),(0,1,0);(0,0,1) ααα===及基 12(1,0),(0,1)ββ==下的矩阵为110=211T B ?? ? ?? 。 4. (10分)设线性变换22:R R →A ,在基12(1,0),(0,1)ββ==的矩阵为12=24A ?? ??? ,求A 的核为{k(-2,1)| k}T ?、值域的基1 2+2β β,维数1。 6.(8分)求矩阵11010=0111123131A ?? ? ? ??? 的满秩分解 7.(24分)设矩阵308=3-16-20-5A ?? ? ? ??? ,求可逆矩阵P ,使得1 P AP -为约当阵。 A E -λ = ??? ? ? ??+-+---502613803 λλλ→ ????? ??++2)1(0001 0001λλ,

上海交大研究生矩阵理论答案

|讪 而由a = 0时, 〔0 其中P 为任意满秩矩阵,而 注:A = -E 无实解,A n =E 的讨论雷同。 性方程AX -XA=0有n 2 个线性无关的解,由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵, 习题 -cosnx sin nx[ 1-("因[L sinnxcosnx 丄sin C0SX sin x = COs(n 1)x sin(n 1)x ,故由归纳法知 x cosx f-sin(n 1)x cos(n 1)x A n cosnx sin nx '-sinnx cosnx (2)直接计算得 A 4 - -E ,故设 n =4k r(r =0,1,2,3),则 A n = A 4k A r =(-1)k A r ,即 只需算出A 2, A 3即可。 (3 )记 J= ,则 a n C :a n n i i n _i_ A =(aE J) = 6 C n a J i =0 n 』亠2 n _2 C n a C ;a nJ n a III c :〕 III c^a C : a n 」 n a 2?设 A =P F a 1 -0 /一 2 _ P’yo),则由 A 2 =E 得 冷0 1 〔0 1 一 ,B 2 = 【0 -0] ,艮 0] 。 -1 i 0 -k 0 1 2 _0 所以所求矩阵为PB i P’ , 3?设A 为已给矩阵,由条件对任意 n 阶方阵 X 有AX=XA ,即把X 看作n 个未知数时线

通过直接检验即发现 A 为纯量矩阵。a n ? a n 1 ■ 11( ? = 0 5.先证A 或B 是初等到阵时有 AB *=B *A * ,从而当A 或B 为可逆阵时有 AB 、B *A *。 考虑到初等变换 A 对B 的n 阶子行列式的影响及 A 二A‘即可得前面提到的结果。 下设PAQ = E r 0 ,(这里P , Q 满秩),则由前讨论只需证下式成立即可: 〔0。」 6 .由 r(A)二 r(A —)及 AX 二 0= (AX)—AX = 0,即 AX = 0 与 A —AX = 0 同解,此即所 求证。 7.设其逆为 a j ,则当I 固定时由可逆阵的定义得 n 个方程 .i 1 . 1 2 . 1 n-1 ? a

有限元法理论及应用参考答案

有限元法理论及应用大作业 1、试简要阐述有限元理论分析的基本步骤主要有哪些? 答:有限元分析的主要步骤主要有: (1)结构的离散化,即单元的划分; (2)单元分析,包括选择位移模式、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据虚功原理建立节点力与节点位移的关系,最后得到单元刚度方程; (3)等效节点载荷计算; (4)整体分析,建立整体刚度方程; (5)引入约束,求解整体平衡方程。 2、有限元网格划分的基本原则是什么?指出图示网格划分中不合理的地方。 题2图 答:一般选用三角形或四边形单元,在满足一定精度情况,尽可能少一些单元。 有限元划分网格的基本原则: 1.拓扑正确性原则。即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接 2.几何保持原则。即网络划分后,单元的集合为原结构近似 3.特性一致原则。即材料相同,厚度相同 4.单元形状优良原则。单元边、角相差尽可能小 5.密度可控原则。即在保证一定精度的前提下,网格尽可能的稀疏一些。(a)(b)中节点没有有效的连接,且(b)中单元边差相差很大。 (c)中没有考虑对称性,单元边差很大。 3、分别指出图示平面结构划分为什么单元?有多少个节点?多少个自由度?

题3图 答:(a )划分为杆单元, 8个节点,12个自由度。 (b )划分为平面梁单元,8个节点,15个自由度。 (c )平面四节点四边形单元,8个节点,13个自由度。 (d )平面三角形单元,29个节点,38个自由度。 4、什么是等参数单元?。 答:如果坐标变换和位移插值采用相同的节点,并且单元的形状变换函数与位移插值的形函数一样,则称这种变换为等参变换,这样的单元称为等参单元。 5、在平面三节点三角形单元中,能否选取如下的位移模式,为什么? (1). ?????++=++=2 65432 21),(),(y x y x v y x y x u αααααα (2). ?????++=++=2 65242 3221),(),(y xy x y x v y xy x y x u αααααα 答:(1)不能,因为位移函数要满足几何各向同性,即单元的位移分布不应与人为选取的 坐标方位有关,即位移函数中的坐标x,y 应该是能够互换的。所以位移多项式应按巴斯卡三角形来选择。 (2)不能,位移函数应该包括常数项和一次项。

多元统计分析期末试题及答案

22121212121 ~(,),(,),(,),, 1X N X x x x x x x ρμμμμσρ ?? ∑==∑= ??? +-1、设其中则Cov(,)=____. 10 31 2~(,),1,,10,()()_________i i i i X N i W X X μμμ=' ∑=--∑L 、设则=服从。 ()1 2 34 433,4 92,32 16___________________ X x x x R -?? ?'==-- ? ?-? ? =∑、设随机向量且协方差矩阵则它的相关矩阵 4、 __________, __________, ________________。 215,1,,16(,),(,)15[4()][4()]~___________i p p X i N X A N T X A X μμμμ-=∑∑'=--L 、设是来自多元正态总体和分别为正态总体的样本均值和样本离差矩阵,则。 12332313116421(,,)~(,),(1,0,2),441, 2142X x x x N x x x x x μμ-?? ?'=∑=-∑=-- ? ?-?? -?? + ??? 、设其中试判断与是否独立? (), 12 3设X=x x x 的相关系数矩阵通过因子分析分解为 211X h = 的共性方差1 11 X σ=的方差 21X g = 1公因子f 对的贡献121330.93400.1280.9340.4170.83511 00.4170.8940.02700.8940.44730.8350.4470.1032013R ? ? - ????? ? -?? ? ? ?=-=-+ ? ? ? ??? ? ? ????? ? ?? ?

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