/Modern Control Theory Spring 2010 by 第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
5.2 李雅普诺夫稳定性理论
5.3 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
小结
教学要求：
1.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义下稳定性概念；
2.熟练掌握李氏第二法；
3.掌握线性系统渐近稳定性分析方法；
4.了解非线性系统的稳定性分析。
重点内容：
1.李雅普诺夫第二法的主要定义与定理；
2.李雅普诺夫函数的构造；
3.线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别；
4.李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别。
研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。
要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到
原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。
稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用无关。
Stable?
稳定性问题：
系统处于某一平衡状态，在干扰作用下离开了原来的平衡位置，在干扰消失后，系统能否回到原来的平衡状态。
科学技术的发展，尤其是航空、航天工业的发展。
控制问题：
线性、定常、单输入单输出系统
非线性、时变、多输入多输出系统
稳定性分析异常复杂
◆非线性系统：
◆古典控制理论稳定性判别方法：
代数判据（劳斯，赫尔维茨判据）奈奎斯特频率法根轨迹法
相平面法（只适用于一，二阶非线性系统）描述函数法（是一种近似方法）
◆1892年，俄国学者李雅普诺夫发表了《运动稳定性一般问题》，建立了运动稳定性的一般理论和方法。
应用：
自适应，最优控制，非线性控制等。
提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。
主要内容：
李氏第一法（间接法）：
求解特征方程的解,分析系统的稳定性。困难!李氏第二法（直接法）：
利用经验和技巧来构造李氏函数，分析稳定性。思想：稳定系统外界作用能量变化
时间增长能量衰减系统稳定
k
f
x
m
例：一个弹簧—质量—阻尼器系统，如图所示，
系统的微分方程为：
0mx
fx kx ++= 性摩擦系数，为位移。
式中：为质量，为弹簧刚度，为阻尼器的粘m f k x
0x
fx kx ++= 令，则系统的微分方程为：
1m =12,x x x
x == 选取状态变量：12212x
x x
kx fx ==-- 状态方程为
22
1221
11(,)22
E x x x kx =+系统的总能量包括质量的动能和弹簧的位能。
22
1221
11(,)22
E x x x kx =+显然
()00
E x x >≠(0)00
E x ==12
121122122
122122
(,)()d E dx E dx E x x kx x
x x dt x dt x dt
kx x x kx fx fx
??=+=+=??+--=- 122(,)0,0,
0dE x x x f dt ≠><122(,)
0,0dE x x x dt
==
系统的总能量是衰减的，则系统稳定。
考察总能量的几何表示。
22
122111(,)22E x x x kx =+E
1
x 2
x 1
E 2
E 3E 321
E E E >>杯形曲面
轨迹是一个椭圆
则随着时间的变化，向杯的最低点运动
2
x 1
x 2
E 1
E 3
E 1020(,)
x x
对于一般的控制系统而言，并无这样的直观性。通过系统总能量确定系统稳定性的方法具有
普遍性。
李雅普诺夫构造了所谓广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数，记成或。
(,)V x t ()V x 通过研究或及其或的
定号性就可以给出系统稳定性的信息。
(,)V x t ()V x (,)V x t ()V x
一、平衡状态/Equilibrium state
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
连续系统的状态方程描述
[]0
(),(),()t t t t t t =≥ x
f x u 1.自治系统：输入为0的系统
0()(,()) (5.2)
t t t t t =≥ x f x 2.轨迹：对于给定的初始状态00()t =x x 式(5.2)有唯一解
000
()(,) t t t t t =≥x x ,φ即
()
t x 是状态空间中起始于初始状态
0x 的一条状态轨迹或
一个运动。对于状态空间中不同的初始状态，系统有许多不同的状态轨迹或运动。
3.平衡状态：在式(5.2)描述的系统中，若对于所有
e e (,)t ==0 x
f x 0()t t t ≥总存在则称为系统e x = x
Ax n
R
∈x e e 00
=?=Ax x e e 0=?Ax x a.线性系统A 非奇异：
A 奇异：有无穷多个即状态空间的原点是系统唯一的平衡状态。的平衡状态。Equilibrium state e e (,)t ==?0 x
f x e
x b.非线性系统
可能有多个
32
21211x x x x
x x
-+== 01=x
02=x
00x ????
??
=1e ?
?
????-=102e x ?
?
????=103e x ?
例:
5. 运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性，
结构因素而返回到平衡状态，或者限制在它的一个有限邻域内。
对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的坐标4.孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的领域内不存在别的平衡状态。
变换，把它变换到状态空间的原点。
偏离平衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的
二、稳定性的几个定义
1.欧几里德范数：e ε≤x x -称为向量的欧几里德范数(表示空间距离)。x
2.邻域：e x 以平衡状态为圆心，半径为的超球体
可以表示为当很小时，称εε为的邻域。
()S ε()S εe x 12
2
2
2
1
2n x x x ??=+++??
x 12
2
22
1122e [()()()]
e e n ne x x x x x x -+-=+-+ x x -
0>ε00(,)
e t δε-≤x x 的任意初始状态出发的运动轨迹都有
使得由满足1. 李雅普诺夫意义下稳定/Stability in the sense of Liapunov
在式(5.2)描述的系统中，如果对于任意给定的实数0),(0>t εδ0x ()x t 都相应地存在一个实数0() e t t t ε-≤≤<∞
x x e x 则称平衡状态为李雅普诺夫意义下稳定。
不等式δ0,t ε一般：与有关
0e t δ?无关为稳x 若与一致定
则由域上的任一点出发的运动轨迹，
超球体，球域记为。
记为。
以原点为球心构造半径为的一个超球体，其球域
()S εε0(,)t δε则存在一个对应的正实数，其大小同时依赖于()e x 和初始时刻，则构造原点为球心，半径为的另一
()S δε
0(,)t δε0t 00(;,)t x t φ()S δe x 对所有，都不脱离域。0t t ≥则原点平衡状态
是李雅普诺夫意义下稳定的。
()S ε几何含义：
李雅普诺夫意义下的稳定，是工程意义下的不稳定。
第四章 相平衡 复习题 1．判断下列说法是否正确，为什么？ （1） 在一个密封的容器内，装满了373.2K的水，一点空隙也不留，这时水的蒸气压等于零；（2） 在室温和大气压力下，纯水的蒸气压为P*,若在水面上充入N2（g）以增加外压，则纯水的蒸气压下降； （3） 小水滴与水汽混在一起成雾状，因为它们都有相同的化学组成和性质，所以是一个相；（4） 面粉和米粉混合得十分均匀，肉眼已无法分清彼此，所以它们已成为一相； （5） 将金粉和银粉混合加热至熔融，再冷却至固态它们已成为一相； （6） 1molNaCl（s）溶于一定量的水中，在298K时，只有一个蒸气压； （7） 1molNaCl（s）溶于一定量的水中，再加少量的KNO3（S），在一定的外压下，当达到气—液平衡时，温度必有定值； （8） 纯水在三相点和冰点时，都是三相共存，根据相律，这两点的自由度都应该等于零。 答（1）不对 （2）不对 （3）不对，两相——气相与液相 （4）不对，两相 （5）正确。 （6）正确 （7）冰点时，两相共存，f=1。 2．指出下列平衡系统中的物种数、组分数、相数和自由度数。 （1）NH4Cl（s）在真空容器中，分解成NH3（g）和HCl（g）达平衡； （2）NH4Cl（s）在含有一定量NH3（g）的容器中，分解成NH3（g）和HCl（g）达平衡；（3）CaCO3（s）在真空容器中，分解成CO2（g）和CaO（s）达平衡； （4）NH4 HCO3（s）在真空容器中，分解成NH3（g），CO2（g）和H2O(g) 达平衡； （5）NaCl水溶液与纯水分置于某半透膜两边，达渗透平衡； （6）NaCl（s）与其饱和溶液达平衡； （7）过量的NH4Cl（s），NH4I（s）在真空容器中达成如下的分解平衡； NH4Cl（s）NH3（g）+HCl（g） NH4I（s） NH3（g）+ HI（g） i. 含有Na+ ,K+ ,SO42- ,NO3- 四种离子的均匀水溶液。 答(1) S=3, C=1, f=1. (2) S=3, C=2, f=1. (3) S=3, C=2, f=1. (4) S=4, C=1, f=1. (5) S=2,C=1, f=1. (6) S=2, C=1, f=1. (7) S=5, C=2, f=1. (8) S=5, C=4, f=5. 3．回答下列问题。 （1） 在同一温度下，某研究系统中有两相共存，但它们的压力不等，能否达成平衡？
学前指导将学习到的知识点： 知识点094.具有一个低温分解、高温稳定二元化合物的三元 系统相图
6.4.3.6 具有一个低温稳定、高温分解的二元 化合物的三元系统相图 ●化合物S的组成点在AB边上，化合物在 T R温度以下才能稳定存在，温度高于T R， 则分解为A、B两种晶相。 ●由于其分解温度低于A、B两组元的低共 熔温度，因而不可能从A、B二元的液相 线A′e3′和B′e3′直接析出 S晶体，即S晶体 的初晶区不会与AB边相接触。
E和R，但只能划分出与P和E对应的两个副三 角形。 ●P点在对应的△ASC外的交叉位置，是双升点。 E点在对应的△BSC内的重心位置，是低共熔 ●R点周围的三个初晶区是（A）、（S）、 （B），对应的三种晶相的组成点A、S、B在 一条直线上，不能形成一个副三角形。
在R点上进行的过程是化合物的形成或分解过程，即: A＋B<-> S（A m B n）。 ●这种无变量点称为过渡点。从R点周围三条界 线上的温降方向看，类似于双降点，所以R点 ●在过渡点上由于F=0。系统的温度不变，液相 组成在R点上不变，实际上液相量也不变，这 个情况和前面介绍的各种无变量点有所不同。
●M点在副三角形SBC内，对应的无变量点E， 最终析晶产物为晶相B、S、C ●M的初晶区在A内，冷却先析出A，P=2， F=2，液相组成沿着AM背向线变化，固相组成在A， ●液相组成到达界线Re3上的a后析出A和B， P=3，F=1，液相组成沿着界线aR变化，固相组成离开A沿着AB变化。
●液相组成到R点，固相组成在D点， A+B->S， P=4，F=0,系统不能继续降温，直到A消失。 ●液相组成才沿RE界线变化，不断析出B、S。P=3，F=1，固相离开D，向G变化，固相组 成为B、S ●最后在E点，液相中同时析出B、S、C，固相 组成由G离开AB边进入三角形内部，当固相 组成与M重合，液相消耗完毕，析晶结束。