第一章 随机事件及其概率
第三节 事件的关系及运算
一、选择
1.事件AB 表示 （ C ）
（A ） 事件A 与事件B 同时发生 （B ） 事件A 与事件B 都不发生
（C ） 事件A 与事件B 不同时发生 （D ） 以上都不对
2.事件B A ,，有B A ?，则=B A （ B ）
（A ） A （B ）B （C ） AB （D ）A
B
二、填空
1.设,,A B C 表示三个随机事件，用,,A B C 的关系和运算表示⑴仅A 发生为ABC ⑵,,A B C 中正好有一件发生为ABC ABC ABC ++⑶,,A B C 中至少有一件发生为
C B A
第四节 概率的古典定义
一、选择
1．将数字1、2、3、4、5写在5张卡片上，任意取出3张排列成三位数，这个数是奇数的概率是（ B ）
（A ）
21 （B ）53 （C ）103 （D ）10
1 二、填空
1.从装有3只红球，2只白球的盒子中任意取出两只球，则其中有并且只有一只红球的概
率为11322
535
C C C = 2.把10本书任意放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率为
!
10!
8!3 3.为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组，每组10队进行比赛，则最强的两个队
被分在不同组内的概率为1910
10
20
91812=C C C 三、计算
1．将3个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率
（1）A ---任意3个盒子中各有一球；（2）B ---任意一个盒子中有3个球； （3）C---任意1个盒子中有2个球，其他任意1个盒子中有1个球。
解：（1）834!3)(334==C A P （2）1614
)(31
4==C B P （3）169
4)(3132314==C C C C P
第五节 概率加法定理
一、选择
1.设随机事件A 和B 同时发生时，事件C 必发生，则下列式子正确的是（ C ）
(A))()(AB P C P = (B))()()(B P A P C P +=
(C)1)()()(-+≥B P A P C P (D)1)()()(-+≤B P A P C P
2.已知41)()()(=
==C P B P A P ， 0)(=AB P ， 16
1
)()(==BC P AC P 。则事件A 、B 、C 全不发生的概率为（ B ）
(A) 82 (B) 8
3
(C) 85 (D) 86
3.已知事件A 、B 满足条件)()(B A P AB P =，且p A P =)(，则=)(B P （ A ）
(A) p -1 (B) p (C)
2
p (D) 21p
-
二、填空
1.从装有4只红球3只白球的盒子中任取3只球，则其中至少有一只红球的概率为
3
33734
135
C C -=（0.97）
2.掷两枚筛子，则两颗筛子上出现的点数最小为2的概率为 0.25
3.袋中放有2个伍分的钱币，3个贰分的钱币，5个壹分的钱币。任取其中5个，则总数超过一角的概率是 0.5
三、计算
1．一批产品共20件，其中一等品9件，二等品7件，三等品4件。从这批产品中任取3 件，求: (1) 取出的3件产品中恰有2件等级相同的概率；
（2）取出的3件产品中至少有2件等级相同的概率。 解：设事件i A 表示取出的3件产品中有2件i 等品，其中i =1，2，3；
（1）所求事件为事件1A 、2A 、3A 的和事件，由于这三个事件彼此互不相容，故
)()()()(321321A P A P A P A A A P ++=++3
20
1
16
241132711129C C C C C C C ++==0.671 （2）设事件A 表示取出的3件产品中至少有2件等级相同，那么事件A 表示取出的
3件产品中等级各不相同，则779.01)(1)(3
20
14
1719=-=-=C C C C A P A P 第六节 条件概率、概率乘法定理
一、选择
1.事件,A B 为两个互不相容事件，且()0,()0P A P B >>，则必有( B )
(A) ()1()P A P B =- (B) (|)0P A B =
(C ) (|)1P A B = (D) (|)1P A B =
2.将一枚筛子先后掷两次，设事件A 表示两次出现的点数之和是10，事件B 表示第一次出现的点数大于第二次，则=)(A B P （ A ）
(A)
31 (B) 41 (C ) 52 (D) 6
5 3.设A 、B 是两个事件，若B 发生必然导致A 发生，则下列式子中正确的是（ A ）
(A))()(A P B A P = (B))()(A P AB P = (C))()(B P A B P = (D))()()(A P B P A B P -=-
二、填空
1.已知事件A 的概率)(A P =0.5，事件B 的概率)(B P =0.6及条件概率)(A B P =0.8，则和事件B A 的概率=)(B A P 0.7
2.,A B 是两事件，()0.3,()0.4,(|)0.6,
===P A P B P B A 则(|)=P A A
B
577.026
15
= 三、计算
1.猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离便成为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射
击，这时距离变为200米。假定最多进行三次射击，设击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物的概率。
解：设第i 次击中的概率为i p ，（i =1，2，3）因为第i 次击中的概率i p 与距离i d 成反比， 所以设i
i d k
p =
，（i =1，2，3）； 由题设，知1001=d ，6.01=p ，代入上式，得到60=k 再将60=k 代入上式，易计算出4.0150602==
p ，3.0200
60
3==p 设事件A 表示猎人击中动物，事件i B 表示猎人第i 次击中动物（i =1，2，3），则所 求概率为:)()()()(321211B B B P B B P B P A P ++=
)()()()()()(2131211211B B B P B B P B P B B P B P B P ++= 3.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0?-?-+?-+=
832.0=
第七节 全概率公式
一、选择
1．袋中有5个球，3个新球，2个旧球，现每次取一个，无放回的取两次，则第二次取到
新球的概率为 （ A ）
(A)
53 (B) 4
3
(C )
42 (D ) 10
3
2.若随机事件A 和B 都不发生的概率为p ,则以下结论中正确的是（ C ）
(A)A 和B 都发生的概率等于p -1 (B) A 和B 只有一个发生的概率等于p -1 (C)A 和B 至少有一个发生的概率等于p -1(D)A 发生B 不发生或B 发生A 不发生的概率等于p -1
二、填空
1.一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为
6
1
2.试卷中有一道选择题，共有4个答案可供选择，其中只有一个答案是正确的。任一考生如果会解这道题，则一定能选出正确答案；如果他不会解这道题，则不妨任选一个答案。若考生会解这道题的概率是0.8,则考生选出正确答案的概率为 0.85
三、计算题
1.玻璃杯成箱出售，每箱20只.假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1. 一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员任取一箱,而顾客随机的察看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退还.试求顾客买下该箱的概率。
解:设=i A “每箱有i 只次品” （),2,1,0=i , =B “买下该箱” . )|()()|()()|()()(221100A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=
94.01.01.018.0420
418
420419≈?+?+?=C C C C
2．发报台分别以概率0.6及概率0.4发出信号“?”及“-”。由于通信系统受到干扰，当
发出信号“?”时，收报台以概率0.8及0.2收到信号“?”及“-”；又当发出信号“-”时，收报台以概率0.9及0.1收到信号“-”及“?”。 求：（1）当收报台收到信号“-”时，发报台确系发出信号“-”的概率； （2）当收报台收到信号“?”时，发报台确系发出信号“?”的概率。 解：设事件A 表示发报台发出信号“?”，则事件A 表示发报台发出信号“-”； 设事件B 表示收报台收到信号“?”，则事件B 表示收报台收到信号“-”； 根据题设条件可知：4.0)(,6.0)(==A P A P ；
1.0)(,8.0)(==A B P A B P ；9.0)(,
2.0)(==A B P A B P ； 应用贝叶斯公式得所求概率为：
（1）2
.06.09.04.09.04.0)()()()()()()()()(?+??=
+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P =0.75
（2）1.04.08.06.08
.06.0)
()()()()()()()()(?+??=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P
=0.923
第八节 随机事件的独立性
一、选择
1.设B A 、是两个相互独立的随机事件,0>?）（）
（B P A P ，则=)(B A P （ B ） (A) ）（）（B P A P + (B) ）（）（B P A P ?-1
(C) ）（）（B P A P ?+1 (D) ）
（AB P -1 二、填空
1.加工某一零件共需经过三道工序。设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%、3%、
5%。假定各道工序是互不影响的，则加工出来的零件的次品率是 0.09693
三、计算
1.一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人看管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7。求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人看管的概率。
解：设事件i A 表示第i 台车床不需要照管，事件i A 表示第i 台车床需要照管，（i =1，2，3）， 根据题设条件可知：
1.0)(,9.0)(11==A P A P
2.0)(,8.0)(22==A P A P
3.0)(,7.0)(33==A P A P
设所求事件为B ，则)()(321321321321A A A A A A A A A A A A P B P +++= 根据事件的独立性和互不相容事件的关系，得到： )()()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P B P += ++)()()(321A P A P A P )()()(321A P A P A P
3.08.09.07.02.09.07.08.01.07.08.09.0??+??+??+??= =0.902
第九节 独立试验序列
一、选择
1.每次试验成功率为)10(<
(A)64410)1(p p C - (B)6439)1(p p C - (C)54
49)1(p p C - (D)6339
)1(p p C - 二、填空
1.某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875，则这射手在一次射击中命中的概率为 0.5
三、计算
1.射击运动中，一次射击最多能得10环。设某运动员在一次射击中得10环的概率为0.4，得9环的概率为0.3，得8环的概率为0.2，求该运动员在五次独立的射击中得到不少于48环的概率。
解：设事件A 表示5次射击不少于48环，事件1A 表示5次射击每次均中10环，事件2A 表示5次射击一次中9环，4次中10环，事件3A 表示5次射击2次中9环，3次中10环，事件4A 表示5次射击一次中8环，4次中10环，并且4321,,,A A A A 两两互不相容，由于每次射击是相互独立的，
则所求概率∑====4
1
41
)()(
)(i i
i i
A P A P A P
411
5322541155)4.0()2.0()4.0()3.0()4.0()3.0()4.0(C C C +++=
1318.0≈ 2.甲、乙两个乒乓球运动员进行单打比赛。如果每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4.比赛采取五局三胜制，求甲胜的概率有多大。
解：}0:3{1=B (甲净胜三局)，}1:3{1=B （前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜）
}2:3{1=B （前四局甲、乙各胜两局，第五局甲胜），A 表示甲胜
682
.06.04.06.06.04.06.06.0)()()(2
2
24
2
2
3
3
321321=?+?+=++=++=C C B B B P B B B P A P
第一章 练习题
1.电话号码由7个数组成，每个数字可以是0，1，2，… ，9中的任一个数字（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率。 解：设A 表示电话号码是由完全不相同的数字组成
0605.010
)(6196919≈=A A
A A P
2.袋中有a 个白球与b 个黑球。每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去。求第二次
取出的球与第一次取出的球颜色相同的的概率。
解：设事件A 表示第一次取出白球，事件B 表示第二次取出白球，则事件A 表示第一次取出黑球，事件B 表示第二次取出黑球；所求事件用事件A 和事件B 的关系和运算表示即为事件AB 和事件B A 的和事件，又)()()(A B P A P AB P =1
1-+-?+=
b a a b a a ；=
=)()()(A B P A P B A P 1
1
-+-?+b a b b a b 由于两事件互不相容，因此得到所求概率为：)()()(B A P AB P B A AB P +=+
)()()()(A B P A P A B P A P += 11-+-?+=
b a a b a a +1
1-+-?+b a b b a b 3. 盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新球。第一次比赛时从中任取3个来用，比赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率。 解：设事件i B 表示第一次比赛时用了i 个新球（i=0,1,2,3）,事件A 表示第二次取出的球都是新球，则
∑==3
)|()()(i i i B A P B P A P
146.0312
36
312393123731229133123831219233123931233≈?+?+?+?=C C C C C C C C C C C C C C C C C C 4.电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
解：三个灯泡的使用时数显然是相互独立的，已知3=n ，2.0,8.0==q p
211
33003332.08.02.08.0)1
()0()10(??+??=+=≤≤C C P P m P =0.104
5.如下图所示，设构成系统的每个电子元件的可靠性都是)10(<
，并且各个元件
能否正常工作是相互独立的，求系统（1）和（2）的可靠性。
（1） （2）
解：（1）设事件i B 表示第i 个电子元件能正常工作()1,2,3,4,5,6i =，则按题意知：
(),1,2,3,4,5,6i P B p i ==
设事件1A 表示系统（1）能正常工作，则1A 可以分解如下为()()1123456A B B B B B B =
注意到126,,
,B B B 是相互独立的，于是按概率加法公式及概率乘法公式有
()()()()1123456123456P A P B B B P B B B P B B B B B B =+-
33633(2)p p p p p =+-=-
（2）设事件2A 表示系统（2）能正常工作，则2A 可以分解如下为
()()()11
4253
6A B B B B B B =
同理可得系统（2）的可靠性
()()()()
()()()()()()()()11
4253
614143636P A P B B P B B P B B P B P B P B P B P B P B P B P B ==+-+-????????
()3
223(2)p p p p p =+-=-
6.甲乙丙三人同时向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5、0.7。如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；如果有二人击中，则飞机被击落的概率是0.6；如果是三人都击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。
解：设事件C B A ,,分别表示甲击中飞机、乙击中飞机、丙甲击中飞机，事件i D 表示有i 个人击中飞机)3,2,1(=i ，则事件C B A C B A C B A D ++=1 BC A C B A C AB D ++=2 ABC D =3
已知7.0)(,5.0)(,4.0)(===C P B P A P ，根据事件的独立性得到 36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0)(1=??+??+??=D P
41.07.05.06.07.05.04.03.05.04.0)(2=??+??+??=D P
14.07.05.04.0)(3=??=D P
设E 表示飞机被击落，则
458.0114.06.041.02.036.0)|()()(3
1
=?+?+?==∑=i i i D E P D P E P
第二章 随机变量及其分布
第二节 离散随机变量
一、选择
1. 设离散随机变量X 的分布律为:
),3,2,1(,}{ ===k b k X P k λ 且0>b ，则λ为（ C ）
(A) 0>λ (B)1+=b λ (C)b +=
11λ (D)1
1-=b λ 二、填空
1.进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为
54, 失败的概率为5
1
, 将试验进行到出现一次成功为止, 以X 表示所需试验次数, 则X 的分布律是
{} 1,2, , 5
4
)51(1=?==-k k X P k
三、计算
1. 一个袋子中有5个球,编号为1,2,3,4,5, 在其中同时取3只, 以X 表示取出的3个球中的最大号码, 试求X 的概率分布. 解：X 的可能取值为3、4、5，又
5
3
}5{,103}4{,1011}3{352
4352335=========C C X P C C X P C X P
X 3 4 5 P
101 10
3 53
第三节 超几何分布 二项分布 泊松分布
一、选择
1.设随机变量),3(~),,2(~p B Y p B X , {}{}=≥=
≥1,9
5
1Y P X P 则若（ C ）
(A)
4
3 (B)
29
17 (C)
27
19 (D)
9
7 二、填空
1.设离散随机变量X 服从泊松分布,并且已知{}{},21===X P X P
{})0902.0(3
242-=e X P ＝则.
三、计算
1.某地区一个月内发生交通事故的次数X 服从参数为λ的泊松分布,即)(~λP X ,据统计资料知,一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次交通事故的概率的
2.5倍. (1) 求1个月内发生8次、10次交通事故的概率； （2）求1个月内至少发生1次交通事故的概率。 解： 2,1,0,!
}{)(~===∴-k k e k X P P X k λ
λλ
根据题意
6
,36!
105.2!8}10{5.2}8{2108==?====--λλλλλ
λ解出即
e e X P X P
9975
.000248.01}0{1}1{00248
.0}0{)2(0413
.0!
106}10{1033.0!86}8{)1(106
1068≈-≈=-=≥≈===≈==≈==---X P X P e e X P e X P e X P λ 第五节 随机变量的分布函数
一、填空
1.设离散随机变量X 的概率分布如下表，则X 的分布函数为
????
????
?≥<≤<≤--<==++=≤=≥=+=≤=<≤=
≤=<≤-=≤=-<1
,110,2101,311,0)(1
2
1
6131}{)(1;
21
6131}{)(103
1
}{)(01;
0}{)(1x x x x x F x X P x F x x X P x F x x X P x F x x X P x F x 当当当当整理，得
时，当时，当时，当时，当解
二、选择
1.设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数,为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一变量的分布函数,在下列给定的数值中应取( A ) (A)5
2
,53-==
b a (B)3
2
,32==
b a (C)2
3
,21=-
=b a (D)2
3
,21-==
b a 2.设???????≥<<**≤=2
,12)(,4)
(,0)(2x x x
x x F ,当(*)取下列何值时,)(x F 是连续型随机变量的分布函
数.（ A ）
(A) 0 (B) 0.5 (C) 1.0 (D)1.5
三．计算
1.设随机变量X 的分布函数为x B A x F arctan )(+=,求B A ,的值. 解:由随机变量分布函数的性质
.
0)(lim =-∞
→x F x .
1)(lim =+∞
→x F x 知
.2
)2()arctan (lim )(lim 0B A B A x B A x F x x π
π-=-?+=+==-∞→-∞→
.22)arctan (lim )(lim 1B A B A x B A x F x x ππ+=?+=+==+∞→+∞→ 解???
????
=+=-1
202B A B A ππ
得π
1
,21==
B A 第六节 连续随机变量的概率密度
一、选择
1.下列函数中，可为随机变量X 的密度函数的是（ B ）
（A ） sin ,
0()0,
x x f x π≤≤?=?
?其它
（B ）sin ,
0()20,
x x f x π
?
≤≤?=?
??其它
（C ） 3sin ,
0()20x x f x π
?
≤≤
?=?
??，
其它
（D ）()sin ,f x x x =-∞<<+∞ 二、填空
1.设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=
x x x F ,arctan 1
21)(π
(1)(11)P X -≤≤= 0.5 (2)概率密度()f x =
2
11
1
x +?π
三、计算
1. 设随机变量X 的概率密度：,10(),
010,1
c x x f x c x x x +-≤≤?
=-≤≤ >?
求：（1）常数c ；（2）概率(0.5)P X ≤ 解：（1）
1)()(1
1
=-++??
-dx x c dx x c ，c=1
(2) (0.5)P X ≤=
75.0)1()1(5
.00
5
.0=-++??
-dx x dx x
2.已知随机变量X 的概率密度
1(),2
x
f x e x -=
-∞<<+∞， 求：分布函数()F x 。 解：x x t
x
t e dt e dt e x F x 2
12121)(,0===
1
121212121)(,00000
11,0
2
()1,0
2
x
x e x F X e x -?-≥??=?
?
第七节 均匀分布、指数分布
一、选择
1.在区间[]1,2-上服从均匀分布的随机变量X 的密度函数是（ B ）
（A ） 3,12()0,
x f x -≤≤?=?
?其它
（B ）1,
12()3
0,
x f x ?-≤≤?=???其它
（C ） ()3,
f x x =-∞<<+∞ （D ）1(),3
f x x =-∞<<+∞
2.服从参数为0.5的指数分布的随机变量X 的密度函数是（ C ）
（A ） 22,
0()0,
x e x f x x -?>=?
≤? （B ） 2()2,x
f x e
x -=-∞<<+∞
（C ） 12
1,
0()2
0,0
x e x f x x -?>?=??≤?
（D ）1
21(),
2
x f x e x -=-∞<<+∞
二、填空
1.设随机变量X 在在区间[]1,2-上服从均匀分布，则 (1)(61)P x -<<-= 0 , (2) (41)P x -<<=
3
2
⑶ (23)P x -<<= 1 , (4) (16)P x <<=
3
1
三、计算
1.某仪器有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：h ）都服从同一指数分布，
概率密度为：1600
1,0()600
0,0
x e x f x x -?>?
=??≤?
试求：在仪器使用的最初的200h 内至少有一只电子元件损害的概率。
解：31
200600
600
1)200(e dx e X P x ==>?∞
- （一只没损害E 的 概率）
设A 表示最初的200h 内至少有一只电子元件损害
e e A P 111)(3
31-=???
? ??-=
第八节 随机变量函数的分布
一、选择
1.设随机变量X 的概率密度为
22,0()0,
x e x f x x -?>=?
≤?
则随机变量2y X =的概率密度为（ D ）
（A ） 2,
()0,
0y Y e y f y y -?>=?
≤? （B ） 22,
0()0,
y Y e y f y y -?>=?≤?
（C ） 2,
()0,
0y Y e y f y y -?>=?
≤? （D ） ,
0()0,0
y Y e y f y y -?>=?≤?
二、计算题
1.设随机变量X 服从二项分布(3,0.4)B ，求2
Y X X =-的概率分布。
2.设随机变量的概率密度
2,01()0,
x x f x ≤≤?=?
?其它
求2
Y X =的概率密度。 解：
1
)(2)(2)()()()(,100
2='?==≤≤-=≤=≤=≤≤?y y y f xdx
y X y P y X P y Y P y F y Y y
Y
因此1,01()0,
Y y f y <
?其它
第九节 二维随机变量的联合分布
一、选择
1.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 (),0,0;
(,)0,
.x y e x y f x y -+?>>=??其他
则()P X Y <= （ A ）
（A ）0.5 （B ）0.55 （C ） 0.45 （D ）0.6
二、填空
1. 下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部 分数值，试将其余值填入表中的空白处
2.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为(,)(arctan )(arctan
)23
y F x y A B C =++
则系数A =
2
1
π
，B =
2
π
，C =
2
π
， (,)X Y 的联合概率密度为
2226
(,)(4)(9)
f x y x y π=
++
三、计算
1.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为
(2),0,0;
(,)0,
.x y Ae x y f x y -+?>>=?
?其他 试求（1）常数A ； (2) 概率(01,02)P X Y ≤≤≤≤. 解：（1）由于(,)1f x y +∞+∞
-∞-∞
=??
，
故
(2)0
12
x y A
Ae dxdy +∞
+∞-+=
=??
，所以2A = （2）12(2)0
1
(01,02)2x y P X Y dx e dy -+≤≤≤≤=
?
?
14(1)(1)e e --=--
第十节 二维随机变量的边缘分布
一、计算题
1.设二维随机变量X Y （，）的联合概率密度为e ,0(,)0,y x y
f x y -?<<=??其他
，求X 的边缘
概率密度)(x f X 。 解 0,()e d e ,0()0
y x X X x
x f x y x f x +∞-->=
=≤=?
时时，故
e 0
()0,
0x X x f x x -?>=?≤?，
第十一节 随机变量的独立性
一、计算
1.已知随机变量1X 和2X 的概率分布
,412
1
41101~1?
???
??-X ???
?
??2121
10~2X 而且12{0} 1.P X X ==问1X 和2X 是否独立？为什么？ 解： 因为12{0} 1.P X X ==所以12{0}0P X X ≠= 即
12{1,1}0P X X ===，12{1,1}0P X X =-==
所以1X 和2X 的联合概率分布为
因为{}{}{}12121,010P X X P X P X =-=≠=-= 所以1X 和2X 不独立。
2.已知二维随机变量X Y （，）的联合概率密度为(2)2e ,0,0(,)0,
x y x y f x y -+?>>=??其他.
随机变量X 和Y 是否独立？
解 由于 e 0()0,0x X x f x x -?>=?≤?，， 22e 0
()0,0
y Y y f y y -?>=?≤?，。
故(,)f x y =()X f x ()Y f y 所以随机变量X 和Y 独立。
第十二节 二维随机变量函数的分布
一、 填空题
1.设X 和Y 为两个随机变量，且3
{0,0},{0}{0}7
P X Y P X P Y ≥≥=
≥=≥ 4
.7
=则{max(,)0}P X Y ≥=75
2.设相互独立的两个随机变量X 和Y 具有同一分布律，且X 的分布律为
?
???
??212
1
10
~X ，则随机变量max{,}Z X Y =的分布律为??
?
???????75.025.010P Z 二、 选择题
1. 设X 和Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为()X F x ，()Y F y ，则
min{,}Z X Y =的分布函数是 （ D ）
（A ）()Z F z =()X F x （B ）()Z F z =()Y F y
（C ）{}()min (),()Z X Y F z F x F y = （D ）[][]()11()1()Z X Y F z F x F y =--- 2. 设X 和Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为()X F x ，()Y F y ，则
max{,}Z X Y =的分布函数是（ B ）
（A ）{}()max (),()Z X Y F z F x F y = （B ）()()()Z X Y F z F z F z =
（C ）{}()min (),()Z X Y F z F x F y = （D ）[][]()11()1()Z X Y F z F x F y =---
第二章 练习题
1.一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有红绿路灯信号的路口, 每个信号灯为红和
绿，与其他信号为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示时间相等, 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数, 求X 的概率分布。
解：
X 0 1 2 3 P
21 221 321 32
1 2.在纺织工厂里一个女工照顾800个纱锭，每个纱锭旋转时，由于偶然的原因，纱会被扯断。设在某一段时间内每个纱锭被扯断的概率等于0.005，求在这段时间内断纱次数不大于10的概率。
解：设X 表示一段时间内断纱的次数，则)005.0,800(~B X 由于n=800足够大，X 还近似服从)4(P
∑=-≈≤≤10
4
!4)100(k k k e X P =0.997
3.设随机变量X 的概率密度
20()0,
x Ax e x f x x -?>=?
≤?，
求：（1）常数A ；（2）概率(1)P X ≥。 解：（1）
=
∴==Γ=?
∞
-A A A dx e Ax x ,12)3(0
21
2
（2）11
22
5
21)1(-∞
-==
≥?
e dx e x X P x =0.9197 （分部积分法） 4.向某一目标发射炮弹，设弹着点到目的地的距离()X m 的概率密度
2
25001,0()1250
0,0
x xe x f x x -
??>=??≤?
如果弹着点距离目标不超过50m 时，即可摧毁目标。求：
求：（1）发射一枚炮弹，摧毁目标的概率；
（2）至少应发射多少枚炮弹，才能使摧毁目标的概率大于0.95？ 解：（1）=-==
≤--
?
150
2500
11250
1
)50(2e dx xe X P x 0.6321
（2）95.0)6321.01(1≥--n ，解得3n ≥
第一章 随机事件及其概率 §1.1 随机事件§1.2 随机事件的概率 一、单选题 1.以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（ D ） （A ） “甲种产品滞销，乙种产品畅销”（B ）“甲、乙两种产品均畅销” （C ） “甲种产品畅滞销” （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 2.对于事件、A B ，有B A ?，则下述结论正确的是（ C ） （A ）、A B 必同时发生； （B ）A 发生，B 必发生； （C ）B 发生，A 必发生； （D ）B 不发生，A 必发生 3.设随机事件A 和B 同时发生时，事件C 必发生，则下列式子正确的是（ C ） (A)()()P C P AB = (B))()()(B P A P C P += (C)1)()()(-+≥B P A P C P (D)1)()()(-+≤B P A P C P 二、填空题 1. 设,,A B C 表示三个随机事件，用,,A B C 的关系和运算表示 （1）仅A 发生为：ABC ； （2）,,A B C 中正好有一个发生为：ABC ABC ABC ++； （3）,,A B C 中至少有一个发生为：U U A B C ； （4）,,A B C 中至少有一个不发生表示为：U U A B C . 2.某市有50%住户订日报，65%住户订晚报，85%住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的住户所占的百分比是30%. 3. 设111 ()()(),()()(),(),4816 P A P B P C P AB P AC P BC P ABC === ====则 ()P A B C ??= 7 16 ；()P ABC =9 16；(,,)P A B C =至多发生一个34 ；(,,P A B C = 恰好发生一个）316 .
第一章随机事件与概率 一、单项选择题 1.掷一枚骰子，设A ={出现奇数点}，B ={出现1或3点}，则下列选项正确的是 ( B ). A.AB ={出现奇数点} B. AB ={出现5点} C. B ={出现5点} D. A B =Ω 2.设A 、B 为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是 ( A ). A. ()A B B A +-= B. ()A B B A B A AB +-=-=- C. ()A B B A B -+=+ D.AB AB A += 3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A i ={第i 次正面向上}（i =1,2），则“至少有一次正面向上”可表示为 ( D ). A.1212A A A A B.12A A C.12A A D.12A A 4.某人向一目标射击3次，设A i 表示“第i 次射击命中目标”（i =1，2，3），则3次都没有命中目标表示为 ( A ). A.123A A A B.123A A A ++ C.123A A A D.123A A A 5.设A 与B 为互为对立事件，且()0,()0P A P B >>，则下列各式中错误的是 ( A ). A.(|)0P A B = B. (|)0P B A = C. ()0P AB = D. ()1P A B = 6.设事件A 与B 相互独立,P (A )=0.2, P (B )=0.4, 则(|)P A B = ( D ). A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 7.已知事件A 与B 互不相容, P (A )>0, P (B )>0, 则 ( C ).
A.()1P A B = B.()()()P AB P A P B = C. ()0P AB = D.()0P AB > 8.设P (A )=0, B 为任一事件, 则 ( C ). A.A =Φ B.A B ? C.A 与B 相互独立 D. A 与B 互不相容 9.已知P (A )=0.4, P (B )=0.5, 且A B ?,则P (A |B )= ( C ). A. 0 B. 0.4 C. 0.8 D. 1 10.设A 与B 为两事件, 则AB = ( B ). A.A B B. A B C. A B D. A B 11.设事件A B ?, P (A )=0.2, P (B )=0.3,则()P A B = ( A ). A. 0.3 B. 0.2 C. 0.5 D. 0.44 12.设事件A 与B 互不相容, P (A )=0.4, P (B )=0.2, 则P (A|B )= ( D ). A. 0.08 B. 0.4 C. 0.2 D. 0 13.设A , B 为随机事件, P (B )>0, P (A |B )=1, 则必有 ( A ). A.()()P A B P A = B.A B ? C. P (A )=P (B ) D. P (AB )=P (A ) 14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为 ( A ). A. 0.4 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.75 15.某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4人参加社会活动，则4人中恰好2男2女的概率为 ( A ). A. 3 7 B.0.4 C. 0.25 D.16 16.某种动物活20年的概率为0.8，活25年的概率为0.6，现有一只该种动物已经活了20年，它能活到25年的概率是 ( B ). A. 0.48 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.8 17.将两封信随机地投到4个邮筒内，则前两个邮筒内各有一封信的概率为 ( A ).
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
第三章 假设检验 课后作业参考答案 某电器元件平均电阻值一直保持Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为Ω。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响(01.0=α) 解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ， (2)构造统计量36 /06.064 .261.2/u 00 -=-= -= n X σμ (3)否定域???? ??>=???? ??>?? ??? ??<=--21212 αααu u u u u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.22 12 =-=- α αu u ， (5) 2 αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件,测 得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布， 试在显著水平下确定这批元件是否合格。 解：
{}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得： 拒绝域： 本题中：0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。 某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布( )2 ,σ μN ，其中()2 /40cm kg =σ。现从一 批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比， X 较μ大20(2/cm kg )。设总体方差不变，问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提 高 解： (1)提出假设0100::μμμμ>=H H ， (2)构造统计量5.13 /4020 /u 00 == -= n X σμ (3)否定域{}α->=1u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值33.21=-αu (5) α-<1u u ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。 某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）： 设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为
习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、
《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。
第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0 （2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?， 第一章 随机事件及其概率 第三节 事件的关系及运算 一、选择 1.事件AB 表示 （ C ） （A ） 事件A 与事件B 同时发生 （B ） 事件A 与事件B 都不发生 （C ） 事件A 与事件B 不同时发生 （D ） 以上都不对 2.事件B A ,，有B A ?，则=B A （ B ） （A ） A （B ）B （C ） AB （D ）A B 二、填空 1.设,,A B C 表示三个随机事件，用,,A B C 的关系和运算表示⑴仅A 发生为ABC ⑵,,A B C 中正好有一件发生为ABC ABC ABC ++⑶,,A B C 中至少有一件发生为 C B A 第四节 概率的古典定义 一、选择 1．将数字1、2、3、4、5写在5张卡片上，任意取出3张排列成三位数，这个数是奇数的概率是（ B ） （A ） 21 （B ）53 （C ）103 （D ）10 1 二、填空 1.从装有3只红球，2只白球的盒子中任意取出两只球，则其中有并且只有一只红球的概 率为11322 535 C C C = 2.把10本书任意放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率为 ! 10! 8!3 3.为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组，每组10队进行比赛，则最强的两个队 被分在不同组内的概率为1910 10 20 91812=C C C 。 三、简答题 1．将3个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率 （1）A ---任意3个盒子中各有一球；（2）B ---任意一个盒子中有3个球； （3）C---任意1个盒子中有2个球，其他任意1个盒子中有1个球。 解：（1）834!3)(334==C A P （2）1614)(31 4==C B P （3）169 4)(3 132314==C C C C P 第五节 概率加法定理 一、选择 1.设随机事件A 和B 同时发生时，事件C 必发生，则下列式子正确的是（ C ） (A))()(AB P C P = (B))()()(B P A P C P += (C)1)()()(-+≥B P A P C P (D)1)()()(-+≤B P A P C P 2.已知41)()()(= ==C P B P A P ， 0)(=AB P ， 16 1 )()(==BC P AC P 。则事件A 、B 、C 全不发生的概率为（ B ） (A) 82 (B) 8 3 (C) 85 (D) 86 3.已知事件A 、B 满足条件)()(B A P AB P =，且p A P =)(，则=)(B P （ A ） (A) p -1 (B) p (C) 2 p (D) 21p - 二、填空 1.从装有4只红球3只白球的盒子中任取3只球，则其中至少有一只红球的概率为 3 33734 135 C C -=（0.97） 2.掷两枚筛子，则两颗筛子上出现的点数最小为2的概率为 0.25 3.袋中放有2个伍分的钱币，3个贰分的钱币，5个壹分的钱币。任取其中5个，则总数超过一角的概率是 0.5 三、简答题 1．一批产品共20件，其中一等品9件，二等品7件，三等品4件。从这批产品中任取3 件，求: (1) 取出的3件产品中恰有2件等级相同的概率； （2）取出的3件产品中至少有2件等级相同的概率。 解：设事件i A 表示取出的3件产品中有2件i 等品，其中i =1，2，3； （1）所求事件为事件1A 、2A 、3A 的和事件，由于这三个事件彼此互不相容，故 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 习题3-1 而且12{0}1P X X ==. 求1和2的联合分布律. 解 由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律 (2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以 X 1和X 2不独立. 2. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为 (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<< 第二章 随机变量及其分布 第二节 离散随机变量 一、选择 1. 设离散随机变量X 的分布律为: ),3,2,1(,}{ ===k b k X P k λ 且0>b ，则λ为（ C ） (A) 0>λ (B)1+=b λ (C)b += 11λ (D)1 1-=b λ 二、填空 1.进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为 54, 失败的概率为5 1 , 将试验进行到出现一次成功为止, 以X 表示所需试验次数, 则X 的分布律是 {} 1,2, , 5 4 )51(1=?==-K K X P K 三、计算题 1. 一个袋子中有5个球,编号为1,2,3,4,5, 在其中同时取3只, 以X 表示取出的3个球中的最大号码, 试求X 的概率分布. 的概率分布是 从而，种取法，故 只，共有任取 中，，个号码可在，另外只球中最大号码是意味着事件种取法，故 只，共有中任取，，个号码可在，另外只球中最大号码是意味着事件只有一种取法，所以 只球号码分布为只能是取出的事件的可能取值为解X C C X P C X C C X P C X C X P X X 5 3 }5{624,321253},5{10 3 }4{2321243},4{101 1}3{,3,2,13},3{. 5,4,3352 4223523233 5 = ===== ===== == 第三节 超几何分布 二项分布 泊松分布 一、选择 1.设随机变量),3(~),,2(~p B Y p B X , {}{}() C Y P X P =≥= ≥1,9 5 1则若 (A) 4 3 (B) 29 17 (C)27 19 (D) 9 7 二、填空 1.设离散随机变量X 服从泊松分布,并且已知{}{},21===X P X P {})0902.0_____(3 2_42-=e X P ＝则. 三、计算题 1.某地区一个月内发生交通事故的次数X 服从参数为λ的泊松分布,即)(~λP X ,据统计资料知,一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次交通事故的概率的 2.5倍. (1) 求1个月内发生8次、10次交通事故的概率； （2）求1个月内至少发生1次交通事故的概率； 第2章条件概率与独立性 一、大纲要求 <1）理解条件概率的定义. <2）掌握概率的加法公式、乘法公式，会应用全概率公式和贝叶斯公式. <3）理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算. <4）了解独立重复实验概型，掌握计算有关事件概率的方法，熟悉二项概率公式的应用. 二、重点知识结构图 为2这个公式称为乘法定理. 乘法定理可以推广到有限多个随机事件的情形. 定理设12,, ,n A A A 为任意n 个事件<2n ≥），且121()0n P A A A ->，则有 12112131212 1()()(|)(|)(|)n n n n P A A A A P A P A A P A A A P A A A A --= 3．全概率公式 定理设12,,B B 为一列<有限或无限个）两两互不相容的事件，有 1 i i B ∞==Ω∑()0(1,2,)i P B i >= 则对任一事件A ，有1 ()()(|)i i i P A P B P A B ∞==∑. 4.贝叶斯公式 定理设12,,B B 为一系列<有限或无限个）两两互不相容的事件，有 1i i B ∞==Ω∑()0(1,2,)i P B i >= 则对任一具有正概率的事件A ，有 1()(|) (|)()(|)k k k j j j P B P A B P B A P B P A B ∞==∑ 5.事件的相互独立性 定义若两事件A B 、满足，则称A B 、<或B A 、）相互独立，简称独立. 定理若四对事件;;A B A B A B A B 、、 、； 、 中有一对是相互独立的，则另外三对事件也是相互独立的.即这四对事件或者都相互独立，或者都相互不独立.定义设12n A A A ，，，是n 个事件，若对所有可能的组合1i j k n ≤<<<≤成 立： ()()()i j i j P A A P A P A =<共2n C 个） ()()()()i j k i j k P A A A P A P A P A =<共3n C 个） 1212()()()()n n P A A A P A P A P A =<共n n C 个） 则称12,,n A A A 相互独立. 定理设n 个事件12,, n A A A 相互独立，那么，把其中任意m <1m n ≤≤）个事件相应换成它们的对立事件，则所得的n 个事件仍然相互独立. 6. 重复独立实验，而且这些重复实验具备：<1）每次实验条件都相同，因此各次实验中同一个事件的出现概率相同；<2）各次实验结果相互独立；满足这两 概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第三章 多维随机变量及其分布 教学要求： 一、了解多维随机变量的概念，了解二维随机变量的分布函数； 二、了解二维离散型随机变量分布律的概念，理解二维连续型随机变量概率密度的概念； 三、理解二维随机变量的边缘概率分布； 四、理解随机变量的独立性概念； 五、会求两个独立随机变量的简单函数的分布（和、极大、极小）. 重点：二维离散型随机变量的联合分布律及二维连续型随机变量的边缘概率密度，随机变 量的独立性. 难点：边缘分布，随机变量的独立性，随机变量的函数的分布. 练习一 二维随机变量及其分布 1．填空题 (1)设二维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则 =≤}{a X P ()+∞,a F ； =≥}{d Y P ()d F ,1∞+-； =≤<≤<},{d Y c b X a P ),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F +--. (2)设二维连续型随机变量),(Y X 的概率密度为),(y x f ，则其分布函数),(y x F = ?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f ),(；若G 是xoy 平面上的区域，则点),(Y X 落在G 内的概率，即 }),{(G Y X P ∈??=G dxdy y x f ),( （3）若二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ) 1)(1(),(22y x A y x f ++= )0,0(>>y x ， 则系数A = ,4 2 π= <}1{X P 2 1. （4）设二维随机变量),(Y X 的分布函数(),3arctan 2arctan ,?? ? ??+??? ? ?+=y C x B A y x F 第一章 随机事件与概率 1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？ 它们的联系与区别是： （1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。 （2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。 （3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，A A =、?=A A U 、φ=A A I 。 2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？ 两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立，其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容，则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生，或事件B 发生必然导致事件不发生，即A φ=AB ，这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。 3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？ 所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作??φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质 随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如： （1）将一颗骰子连续抛掷三次，观察出现的点数之和，其样本空间为 ?={34}。 518，，，，L （2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ?={012}。 3，，， 在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。 4．频率与概率有何联系与区别？ 事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为： A A 概率的公理化定义：设E 为随机试验，?为它的样本空间，对E 中的每一个事件都赋予一个实数，记为，且满足 A P A () （1）非负性：01≤≤P A ()； （2）规范性：P ()?=1； （3）可加性：若两两互不相容，有。 A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞ =∑11U 则称为事件的概率。 P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比，即A A n n A ()n A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小，并且在一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。 概率与概率分布作业 1、一家电器店想研究顾客对DVD 机的购买意愿与他们购买的TV 机种类的关系。下表为对随机选择的 （1）根据表中记录，求随机一位顾客的以下概率： ① 没有购买高清TV 的概率 考点：事件的逆事件 解：6.04.01)(1)(33=-=-=B P B P ② 同时购买平板TV 和DVD 机的概率 考点：事件的交或积 解：25.0100/25)(21==B A P ③ 购买平板TV 或DVD 机的概率 考点：事件的并或和；概率的加法法则 解：7.025.035.06.0)()()()(212121=-+=-+=?B A P B P A P B A P ④ 已经购买了高清TV ，还会购买DVD 机的概率 考点：条件概率 解：75.04 .03 .0)()()(33131=== B P B A P B A P （2）顾客对DVD 机的购买意愿与他们购买的TV 机种类有统计学上的关系吗？（或者说，顾 客购买的TV 机种类影响购买DVD 机的概率吗？） 考点：事件的独立性 解：以高清TV 为例，3.0)(31=B A P ，24.04.06.0)()(31=?=B P A P )()()(3131B P A P B A P ≠，同理，)()()(1111B P A P B A P ≠，)()()(2121B P A P B A P ≠ 所以，顾客对DVD 机的购买意愿与他们购买的TV 机种类不是独立的。（或者说，顾客购买的TV 机种类影响购买DVD 机的概率。） 【注】一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件独立。此时概率的乘法公式可简化为P(AB)=P(A)·P(B)。反过来，也可以用该公式验证两事件是否独立。 （3）另一份调查指出，买DVD 机的男性比率比不买DVD 机的男性比率多一倍。如果随机选择的第101位顾客是一位男性，他会买DVD 机的概率是多少？ 考点：贝叶斯公式 概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL 概率论与数理统计统计课后习题答案 第二章习题解答 1. 设)(1x F 与)(2 x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(2 1x bF x aF -是某个随机变量的分布函数, 则b a ,的值可取为( A ). A . 5 2,53-==b a B . 32,32==b a C . 23,21=-=b a D . 23,21-==b a 2. 解：因为随机变量X ＝{这4个产品中的次品数} X 的所有可能的取值为：0，1，2，3，4. 且4015542091{0}0.2817323C C P X C ===≈； 31155420455{1}0.4696969C C P X C ===≈； 2215542070{2}0.2167323 C C P X C ===≈； 1315542010{3}0.0310323C C P X C ===≈； 041554201{4}0.0010969 C C P X C ===≈. 因此所求X 的分布律为： 3． 5. 解：设X ＝{其中黑桃张数}. 则X 的所有可能的取值为0，1，2，3，4，5. 051339552 2109 {0}0.22159520C C P x C ===≈； 14 133955227417 {1}0.411466640 C C P x C ===≈； 231339552 27417 {2}0.274399960C C P x C ===≈； 32133955216302 {3}0.0815199920 C C P x C ===≈； 4 11339 552429{4}0.010739984 C C P x C ===≈； 50 133955233 {5}0.000566640 C C P x C ===≈. 所以X 的概率分布为： 6. 习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. 解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C = , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}； (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }. 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生； (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2 3A A ； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标. 习题1-3 1. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C)()()()P AB P A P B = . (D)()()()P A P AB P AB =+. 解 由文氏图易知本题应选(D). (2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C). 2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ). 解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= , 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =- 3. 已知() 0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB .概率作业纸第二章答案
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