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四川省绵阳市2015届高三第一次高考模拟考试数学(理)试题

绵阳市高中2012级第一次高考模拟考试

数 学(理工农医类)

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页.全卷共150分,考试时间为120分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共50分)

注意事项:

1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.

3.考试结束时,监考人将第Ⅰ卷的机读答题卡和第Ⅱ卷的答题卡一并收回. 参考公式:

如果事件A 、B 互斥,那么 球是表面积公式

()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=[来源http://www.doczj.com/doc/ea31a30d8762caaedc33d440.html]

如果事件A 、B 相互独立,那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ?=? 球的体积公式

如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 34

3

V R π=

n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径

()(1)k k

n k

n n P k C P P -=-

一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目的要求的.

1.已知全集U =N ,集合{1,3,5,7,9}A =,{0,3,6,9}B =,则()A B =N e (A ){1,2,3}

(B ){1,3,9}

(C ){3,5,7}

(D ){1,5,7}

2.已知i 是虚数单位,复数()2(4)2i z m m =-++(其中m ∈R )是纯虚数,则m = (A )-2

(B )2

(C )2±

(D )4±

3.已知命题p :“若直线ax +y +1=0与直线ax -y +2=0垂直,则a =1”;命题q :“112

2

a b >”是“a b >”的充要条件,则

(A )p 真,q 假

(B )“p q ∧”真

(C )“p q ∨”真

(D )“p q ∨”假

4.当前,某城市正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题.已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户,若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题,先采用分层抽样的方法决定各社区户数,则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为

(A )40 (B )36 (C )30 (D )20 5.在抛物线y 2=2px (p >0)上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则该抛物线的准线方程为

(A )1x =

(B )12

x =

(C )1x =- (D )12x =-

6.已知向量a ,b 不共线,设向量AB k =-a b ,2CB =+a b ,3CD =-a b ,若A ,B ,D 三点共线,则实数k 的值为

(A )10 (B )2 (C )-2 (D )-10 7.如果执行右面所示的程序框图,那么输出的S =

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(A )2352 (B )2450 (C )2550 (D )2652

8.某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按40个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共120台,且冰箱至少生产20台.已知生产这些家电产品每台

所需工时和每台产值如右表所示.该家电生产企业每周生产产品的最高产值为

(A )1050千元

(B )430千元

(C )350千元

(D )300千元

9.含有数字0,1,2,且有两个相同数字1或2的四位数的个数为 (A )12

(B )18

(C )24

(D )36

10.已知函数21,0,

()2

log ,0

ax x f x x x ?

+≤?=??>?(其中a ∈R ),函数()(())1g x f f x =+.下列关于函数()g x 的零点个数的判断,正确的是

(A )当a >0时,有4个零点;当a <0时,有2个零点;当a =0时,有无数个零点

(B )当a >0时,有4个零点;当a <0时,有3个零点;当a =0时,有2个零点 (C )当a >0时,有2个零点;当a ≤0时,有1个零点 (D )当a ≠0时,有2个零点;当a =0时,有1个零点

家电名称 空调器

彩电

冰箱

工 时 1

2 1

3 1

4 产值(千元)

4 3

2

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

注意事项:

1.第Ⅱ卷共2页,请用0.5mm 的黑色墨水签字笔在答题卡上作答,不能直接答在此试题卷上.[来源:http://www.doczj.com/doc/ea31a30d8762caaedc33d440.html]

2.答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚.

二、填空题:本大题共5个小题,每小题5分,共25分.把答案直接填在题目中的横线上.

11.在二项式61

(2)x x

+的展开式中,常数项为_________.

12.在钝角△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A 、B 、C 的对边,b =1,c =3,∠B =30°,则△ABC 的面积等于___________.

13.已知非零向量a ,b 满足23

||||||3

+=-=a b a b a ,则向量+a b 与-a b 的夹角为__________.

14. 设P 是双曲线22

112

y x -=上的一点,1F 、2F 分别是该双曲线的左、右焦点,若

△12PF F 的面积为12,则12F PF ∠=_________.

15.若函数()y f x =对定义域的每一个值1x ,在其定义域内都存在唯一的2x ,使

12()()1f x f x =成立,则称该函数为“依赖函数”.给出以下命题:①21

y x =是“依赖函数”;

②2sin y x =+([,]22

x ππ

∈-)是“依赖函数”;③2x y =是“依赖函数”;④ln y x =是“依赖

函数”;⑤()y f x =,()y g x =都是“依赖函数”,且定义域相同,则()()y f x g x =?是“依赖函数”.其中所有真命题的序号是_____________.

三、解答题:本大题共6个小题,共75分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分12分) 某校团委会组织该校高中一年级某班以

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小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动,且每个小组有5名同学,在实践活动结束后,学校团委会对该班的所有同学都进行了测评,该班的A 、B 两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图所示,其中B 组一同学的分数已被污损,但知道B 组学生的平均分比A 组学生的平均分高1分.

(Ⅰ)若在A ,B 两组学生中各随机选1人,求其得分均超过86分的概率;

(Ⅱ)若校团委会在该班A ,B 两组学生得分超过80分的同学中随机挑选3人参加下一轮的参观学习活动,设B 组中得分超过85分的同学被选中的个数为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.

17.(本小题满分12分)设函数()cos(2)sin 26

f x x x π

=++.

(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间;

(Ⅱ)若11()263f πα-=,且(,)2

π

απ∈,求()f α的值.

18.(本小题满分12分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n S a =-. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)令12

l o g n n

n

b n a

a =+,数列{}n

b 的前n 项和为n T ,若不等式2

19(1)(2)32

n n n S T t n -+-<+

对任意*n ∈N 恒成立,求实数t 的取值范围.

19.(本小题满分12分)如图,边长为a 的正方形ABCD 中,点E 、F 分别在AB 、BC

上,且1

2

BE BF BC ==,将△AED 、△CFD

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分别沿DE 、DF 折起,使A 、C 两点重合于点A ',连结A 'B .[来源:http://www.doczj.com/doc/ea31a30d8762caaedc33d440.html]

(Ⅰ)判断直线EF 与A 'D 的位置关系,并说明理由;

(Ⅱ)求二面角F -A 'B -D 的大小.

20.(本小题满分13分)如图,已知点M 在圆O :224x y +=上运动,MN ⊥y 轴(垂足为N ),点Q 在NM 的延长线上,且||2||QN MN =.

(Ⅰ)求动点Q 的轨迹方程;

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(Ⅱ)直线1

:2

l y x m =+与(Ⅰ)中动点Q 的轨迹交于两个不

同的点A 和B ,圆O 上存在两点C 、D ,满足||||CA CB =,||||DA DB =.

(ⅰ)求m 的取值范围;

(ⅱ)求当||

||

CD AB 取得最小值时直线l 的方程.

21.(本小题满分14分) 已知函数()ln()f x a x b =+,()e 1x g x a =-(其中0a ≠,0b >),

且函数()f x 的图象在点(0,(0))A f 处的切线与函数()g x 的图象在点(0,(0))B g 处的切线重合.

(Ⅰ)求实数a ,b 的值;

(Ⅱ)若0x ?,满足0

00()1

x m

x g x ->+,求实数m 的取值范围; (Ⅲ)若210x x >>,试探究21()()f x f x -与21()g x x -的大小,并说明你的理由.

资阳市高中2010级第一次高考模拟考试

数学(理工农医类)参考答案及评分意见

[来源:http://www.doczj.com/doc/ea31a30d8762caaedc33d440.html]

一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.

1-5. DBDCC ;6-10.BCCBA.

二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共25分.

11.160; 12.

34; 13.60;14.2

π

;15.②③. 三、解答题:本大题共6个小题,共75分.

16.解析:(Ⅰ)A 组学生的平均分为9488868077

855

++++=(分),

∴B 组学生平均分为86分,设被污损的分数为x ,由

91938375865

x ++++

=,

∴8x =, 故B 组学生的分数分别为93,91,88,83,75, ····················································· 4分

则在A ,B 两组学生中各随机选一人的得分均超过86分的概率236

5525P =?=. ··· 6分

(Ⅱ)B 组中得分超过85分的同学有3人,故ξ的所有可能取值为0,1,2,3,则:

3

4374

(0)35C P C ξ===,21433718(1)35C C P C ξ===,12433

712(2)35

C C P C ξ===,33371(3)35C P C ξ===, (10)

∴ξ的分布列为

ξ

[来源:http://www.doczj.com/doc/ea31a30d8762caaedc33d440.html]

0 1 2 3

P

435 1835 1235 135

······································································································································ 11分

故ξ的数学期望4181219

0123353535357

E ξ=?+?+?+?=. ·

········································· 12分

[来源:http://www.doczj.com/doc/ea31a30d8762caaedc33d440.html]

17.解析: ()cos(2)sin 26f x x x π

=++ =31cos 2cos

sin 2sin

sin 2cos 2sin 2sin(2)6

6

223

x x x x x x π

π

π-+=

+=+. ···················· 2分 (Ⅰ)令222,2

3

2

k x k k π

π

π

ππ-

≤+

≤+

∈Z ,则5,1212

k x k k ππ

ππ-

≤≤+∈Z , ∴函数f (x )的单调递增区间为5[,]().1212

k k k ππ

ππ-

+∈Z ·

········································· 4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)11

()sin 263

f παα-==,

∵(,)2π

απ∈,∴22cos 3α=-,··············································································· 6分

故12242sin 22()339α=??-=-,2227cos 22()139

α=--=, ····························· 10分

∴131********

()sin(2)sin 2cos 2()322292918

f π

αααα-=+

=+=?-+?=. ·· 12分 18.解析:(Ⅰ)当1n =时,1122a a =-,解得12a =; 当2n ≥时,11122(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-, ∴12n n a a -=,故数列{}n a 是以12a =为首项,2为公比的等比数列,

故1222n n n a -=?=. ····································································································· 4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得,12

2log 22n n n n b n n n =?+=?-,

∴2312(222322)(12)n n n T b b b n n =+++=+?+?+

+?-+++ ·

························ 5分 令23222322n n R n =+?+?++?, 则23412222322n n R n +=+?+?+

+?,

两式相减得2

3

1

12(12)

22222

212

n n n n n R n n ++--=+++

+-?=-?-

∴1(1)22n n R n +=-+, ································································································· 7分 故112(1)

(1)222

n n n n n T b b b n ++=++

+=-+-

, ······················································· 8分 又由(Ⅰ)得,12222n n n S a +=-=-, ····································································· 9分 不等式219(1)(2)32n n n S T t n -+-<+

即为11

2(1)19(1)2(1)22232

n n n n n n t n +++----+<+,[来

源:http://www.doczj.com/doc/ea31a30d8762caaedc33d440.html]

即为231

2322

t n n >-

+-对任意*n ∈N 恒成立, ·

························································· 10分

设231()2322f n n n =-

+-,则2384

()()3233

f n n =---, ∵*n ∈N ,∴max 43

()(3)32

f n f ==-, 故实数t 的取值范围是43

(,)32

-+∞.

············································································ 12分

19.(本小题满分12分)

解析:(Ⅰ)A 'D ⊥EF . ····························································································· 1分 证明如下:

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因为A 'D ⊥A 'E ,A 'D ⊥A 'F ,[来源:http://www.doczj.com/doc/ea31a30d8762caaedc33d440.html]

所以A 'D ⊥面A 'EF , 又EF ?面A 'EF , 所以A 'D ⊥EF .

∴直线EF 与A 'D 的位置关系是异面垂直 ·

·································································· 4分 (Ⅱ)方法一、设EF 、BD 相交于O ,连结A 'O ,作FH ⊥A 'B 于H ,连结OH , 因为EF ⊥BD ,EF ⊥A 'D .

所以EF ⊥面A 'BD ,A 'B ?面A 'BD , 所以A 'B ⊥EF ,又A 'B ⊥FH , 故A 'B ⊥面OFH ,OH ?面OFH , 所以A 'B ⊥OH , 故∠OHF 是二面角F -A 'B -D 的平面角.

2a BF =

,A 'E =A 'F =2

a

,EF =22a ,则222EF A E A F ''=+,

所以,△A 'EF 是直角三角形,则12

24

OA EF a '==, 则1224OB OF EF a OA '==

==,324OD a =,∴1

sin 3

A D

B '=,22cos 3A DB '=, 则A 'B =22223(2)2233a a a a a +-???

=,所以22236()()4612

a a a

OH =-=, 所以, tan ∠OHF =243612

a

OF

OH a

==,故∠OHF =60. 所以二面角F -A 'B -D 的大小为60. ······································································ 12分

方法二、设EF 、BD 相交于O ,连结A 'O ,作AG

B D '⊥于G ,可得A 'G ⊥面BEDF ,

[来源http://www.doczj.com/doc/ea31a30d8762caaedc33d440.html]

2a BF =,A 'E =A 'F =2

a

,EF =

22a ,则222

E F AE AF ''=+,

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所以,△A 'EF 是直角三角形,则12

24

OA EF a '==, 则1224OB OF EF a OA '==

==,则32

4

OD a =, ∴1

sin 3

A D

B '=,22cos 3A DB '=,

所以sin 3

a

A G A D A D

B '''=?=

,22cos 3a DG A D A DB ''=?=,则23a BG =,

分别以BF 、BE 为空间直角坐标系的x 、y 轴,建立如图坐标系,则(0,,0)2a E ,(,0,0)2a

F ,

(,,0)F a a ,(,,)333a a a A ',故(,0,0)

2

a

BF =,(,,)333a a a BA '=,(,,0)BD a a =,(,,0)22

a a

EF =-,

因0EF BD ?=,0EF BA '?=,故面A 'BD 的一个法向量(,,0)22

a a

EF =-,

设面A 'BF 的一法向量为(,,)x y z =n ,则0,2

0,

333a BF x a a a BA x y z ?

?==????'?=++=??

n n 取(0,1,1)=-n ,

设二面角F -A 'B -D 的平面角为α,则1

2cos 2

||||

222

a EF

EF a α?=

=

=

??

n n ,∴60α=, 故二面角F -A 'B -D 的大小为60. ·········································································· 12分

20.解析:(Ⅰ)设动点(,)Q x y ,点00(,)M x y ,

因为点00(,)M x y 在圆224x y +=上,所以22004x y +=,

因为||2||QN MN =,所以02x x =,0y y =,

把02x x =,0y y =代入22

004x y +=得动点Q 的轨迹方程为221164

x y +=. ·

················ 4分 (Ⅱ)(ⅰ)联立直线l 与(Ⅰ)中的轨迹方程得22

1,21,164

y x m x y ?

=+????+=??∴222280x mx m ++-=,由于有两个交点A 、B ,故0?>,解得||22m <, ① ·········································· 5分

设11(,)A x y ,22(,)B x y ,AB 的中点33(,)E x y ,由根与系数的关系得1233,21(),22

x x x m m y m m +?

==-???

?=?-+=?? 故AB 的垂直平分线方程为2()2m y x m -

=-+,即3202

m

x y ++=.

························ 6分 由圆O 上存在两点C 、D ,满足CA CB =,DA DB =,可知AB 的垂直平分线与圆O 交于C 、D 两点,由直线与圆的位置关系可得3|

|

225

m

<,解得45||3m <, ②

由①、②解得||22m <,

∴m 的取值范围是2222m -<<. ·

········································································ 8分 (ⅱ)由(ⅰ)知122

122,

28,x x m x x m +=-???=-??所以222121212

11()4AB k x x k x x x x =+-=+?+-[来

源:http://www.doczj.com/doc/ea31a30d8762caaedc33d440.html]

222215

1()44(28)32422

m m m =+?--=?-, (10)

又直线3202m x y ++=与圆的相交弦2223|

|

8092||22(

)2205

m

m CD -=-=, ··········· 11分

∴2

22228092

||280929220||53245485

3242

m CD m AB m m m --===+--?-, 由(ⅰ)2222m -<<,故当0m =时,2

||292

||548CD AB m =+-取得最小值, ···· 12分

故直线l 方程为1

2

y x =. ···························································································· 13分

21.解析:(Ⅰ)∵()ln()f x a x b =+,∴()a

f x x b

'=+,则()f x 在点(0,ln )A a b 处切线的斜率(0)a k f b '==

,切点(0,ln )A a b ,则()f x 在点(0,ln )A a b 处切线方程为ln a

y x a b b

=+, 又()e 1x g x a =-,∴()e x g x a '=,则()g x 在点(0,1)B a -处切线的斜率(0)k g a '==,切点(0,1)B a -,则()g x 在点(0,1)B a -处切线方程为1y ax a =+-,

由,ln 1,a

a b a b a ?=???=-?解得1a =,1b =. ············································································ 4分 (Ⅱ)由

()1x m x g x ->+得e

x x m

x ->,故e x m x x <-?在[0,)+∞上有解,

令()e x h x x x =-?,只需max ()m h x <. ······································································ 6分 ①当0x =时,()e 0x h x x x =-?=,所以0m <; ···················································· 7分 ②当0x >时,∵e 1()1(

e )1(

)e 22x x x h x x x x

x

'=-+?=-+,

∵0x >,∴

11

2

222x x +≥=,e 1x >,∴1(

)e 22x x x

+>, 故1()1()e 02x h x x x

'=-+<,即函数()e x h x x x =-?在区间[0,)+∞上单调递减,

所以max ()(0)0h x h ==,此时0m <.

综合①②得实数m 的取值范围是(,0)-∞. ································································ 9分

(Ⅲ)令()()()e 1ln(1)(1)x

u x g x f x x x =-=--+>-,1

()e 1x

u x x '=-+e e 11

x x x x +-=

+. 令()e e 1(1)x x v x x x =+->-,则()e (2)0x v x x '=+>在(0,)+∞上恒成立, ∴当0x >时,()(0)0v x v >=成立,∴()0u x '>在(0,)+∞上恒成立,

故函数()u x 在区间(0,)+∞上单调递增,∴当0x >时,()(0)0u x u >=恒成立, 故对于任意210x x >>,有2121()()g x x f x x ->-. ··················································· 12分

又∵212121111()1011x x x x x x x x +--+-

=>++,∴2212111

ln(1)ln ln(1)ln(1)

1

x x x x x x +-+>=+-++.

∴2121()()()f x x f x f x ->-,从而2121()()()g x x f x f x ->-. ·································· 14分

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