11.3 相互独立事件同时发生的概率
●高考大纲
了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．
一、知识梳理
1.相互独立事件：事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.
2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验
中，这个事件恰好发生k 次的概率为P n （k ）=C k n p k （1－p ）n －
k . 3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：
第一，相互独立也是研究两个事件的关系；
第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；
第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的.
4.互斥事件与相互独立事件是有区别的：
两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生.
5.事件A 与B 的积记作A ·B ，A ·B 表示这样一个事件，即A 与B 同时发生.
当A 和B 是相互独立事件时，事件A ·B 满足乘法公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ），还要弄清A ·B ，B A ?的区别. A ·B 表示事件A 与B 同时发生，因此它们的对立事件A 与B 同时不发生，也等价于A 与B 至少有一个发生的对立事件即B A +，因此有A ·B ≠B A ?，但A ·B =B A +.
二、基础训练
【例1】 把n 个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m 的m 个盒子内，求1号盒恰有r 个球的概率. n r n r n m m --)
1(C
【例2】 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P ，且各引擎是否故障是独立的，如果至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，问对于多大的P 而言，4引擎飞机比2引擎的飞机更为安全？
【例3】（全国卷Ⅲ）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.
三、例题剖析
【例1】 （2004年广州模拟题）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6
张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.
（1）两人都抽到足球票的概率是多少? 25
6 （2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?
25
19 【例2】 有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A ，3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率. 100
59. 【例3】 （2004年福州模拟题）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.
（1）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；128
21 （2）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.
163 【例4】 （2004年南京模拟题）一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p ，计算在这一时间段内，
（1）恰有一套设备能正常工作的概率；2p 3－2p 6
（2）能进行通讯的概率. 2p 3－p 6
【例5】（江西卷）A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率.
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四、同步练习 g3.1096相互独立事件同时发生的概率
1.若A 与B 相互独立，则下面不相互独立事件有A
A.A 与A
B.A 与B
C. A 与B
D. A 与B
2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是D
A.0.12
B.0.88
C.0.28
D.0.42
3.（2004年辽宁，5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是B
A.p 1p 2
B.p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1）
C.1－p 1p 2
D.1－（1－p 1）（1－p 2）
4.将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k +1次正面的概率，那么k 的值为C
A.0
B.1
C.2
D.3
5.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为3
1，视力合格的概率为61，其他几项标准合格的概率为5
1，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）C A.94 B.901 C.54 D.9
5 6.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为
21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为41，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为______24
11__. 7.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为
53，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是___3125
1053_____. 8.某单位订阅大众日报的概率为0.6，订阅齐鲁晚报的概率为0.3，则至少订阅其中一种报纸的概率为_____0.72___.
9.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是3
1.那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是__27
4______. 10.（全国卷Ⅱ）)甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6．本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响，求：
(Ⅰ) 前三局比赛甲队领先的概率；
(Ⅱ) 本场比赛乙队以3:2取胜的概率．
11. （湖北卷）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p 1，寿命为2年以上的概率为p 2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.
（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；
（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率； （Ⅲ）当p 1=0.8，p 2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.
12.（2004年湖南）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为
41，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为
12
1，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为92. （1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；3
1，41，32
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 6
5 13.（浙江卷）袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是3
1，从B 中摸出一个红球的概率为p ． (Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次．(i )恰好有3次摸到红球的概率；
(ii )第一次、第三次、第五次摸到红球的概率．
(Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为12，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25
，求p 的值．
本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！ 本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！ 相互独立事件概率问题求解辨析 焦景会 055350 河北隆尧一中 事件A 、B 是相互独立事件，当且仅当事件A 和B 是否发生，相互之间没有影响。如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 、A 与B 、A 与B 也都是相互独立的。尤其在涉及“至多”或“至少”问题时，常先求此事件的对立事件的概率，再利用公式()1()P A P A =-求出所求事件的概率。这种解法，称为逆向思考方法。下面就相互独立事件概率问题举例分析如下。 一、 反面求解相互独立事件同时发生的概率 例1、加工某零件需3道工序，设第1、2、3道工序出现次品的概率分别为0.02，0.03，0.05，假设三道工序互不影响，求加工出来的零件是次品的概率。 解：由题中“三道工序互不影响”，可判定1、2、3道工序出现次品的事件是相互独立事件，可用相互独立事件的乘法公式。 设A=“加工出来的零件是次品”，i A =“第i 道工序出现次品”，则123A A A A =??， 由于三道工序互不影响，123()()()()P A p A P A P A ∴=??=（1-0.12）（1-0.03）（1-0.05）=0.90307。所以 ()1()10.903070.09693P A P A =-=-=。 点评：两个或多个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率积，结合“对立事件的概率和为1”，先求其对立事件的概率，然后再求原事件概率，采用这种解法可使问题变得简易。 二、用排列组合思想理解相互独立事件的概率 例2、甲乙两人各投篮3次，每次投中得分概率为0.6，0.7，求甲乙两人得分相同的概率。 解： 甲乙两人得分相同可以有；甲乙都中0、1、2、3次共四种情况。设甲投中0、1、2、3次概率分别为0123A A A A 、、、，乙投中0、1、2、3次概率分别为 0123B 、B 、B 、B ， 则 0012233()()()()P P A B P A B P A B P A B =+++ 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 3 33 30.40.30.60.40.70.30.60.40.70.3C C C C =?+ ???+???3 30.60.70.321+?=。 点评：全面考虑各种可能性，然后利用公式()(1)k k n k n n P k p p C -=-。 三、通过分类或分步将复杂事件分解为简单事件
<随机事件及其概率>教案 （一）教学目标： 1、知识目标： 使学生掌握必然事件，不可能事件，随机事件的概念及概率的统计定义，并了解实际生活中的随机现象，能用概率的知识初步解释这些现象 2、能力目标： 通过自主探究，动手实践的方法使学生理解相关概念，使学生学会主动探究问题，自主实践，分析问题，总结问题。 3、德育目标： 1.培养学生的辩证唯物主义观点. 2.增强学生的科学意识 （二）教学重点与难点： 重点：理解概率统计定义。 难点：认识频率与概率之间的联系与区别。 （三）教学过程： 一、引入新课： 试验1：扔钥匙，钥匙下落。 试验2：掷色子，数字几朝上。 讨论：下列事件能否发生？ (1)“导体通电时,发热”---------------必然发生(2)“抛一石块,下 落”---------------必然发生 (3)“在常温下,铁熔化” -------------不可能发生 (4)“某人射击一次，中靶” -----可能发生也可能不发生(5)“掷一枚硬币，国徽朝上” -----可能发生也可能不发生(6)“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化” ---不可能发生思考： 1、“结果”是否发生与“一定条件”有无直接关系? 2、按事件发生的结果，事件可以如何来分类？ 二、新授： （一）随机事件： 定义1、在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件。 定义2、在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。 定义3、在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 例1、指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件： （1）扬中明年1月1日刮西北风； x （2）当x是实数时，20 （3）手电筒的电池没电，灯泡发亮； （4）一个电影院某天的上座率超过50%。 （5）从分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10张号签中任取一张，得到4号签。讨论：各举一个你生活或学习中的必然事件、不可能事件、随机事件的例子 做一做:(投币实验)抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上?（两人一组） 1.你的结果和其他同学一致吗？为什么会出现这样的情况？ 2.重复试验10次并记录结果(正面朝上的次数)。（一人试验，一人记录）
随机事件及其概率（无答案） 一、知识要点 1.基本事件空间： 不可能事件 必然事件 随机事件 基本事件空间 2.频率与概率 3.概率的加法公式 互斥事件与对立事件 概率的一般加法公式：如果事件A 、B 不互斥，那么事件 A 、B 有一个发生的概率为： ()()()()P A B P A P B P A B =+- A B A B = 中基本事件数+中基本事件数-中基本事件数试验的基本事件总数 二、典型例题 例1. 指出下列事件哪些是不可能事件，哪些是必然事件，哪些 是随机事件？ （1）导体导电时发热； （2）抛一块石头，下落； （3）在标准大气压下且温度低于0℃时冰融化； （4）某人射击一次中靶； （5）掷一枚硬币，正面向上； （6）摸彩票中头奖 例2. 将骰子先后抛掷2次. （1）写出这个试验的基本事件和基本事件空间
（2）其中事件：向上的点数之和为5包括多少个基本事件？ （3）向上点数之和是5的概率是多少？ （4）向上点数之差的绝对值为2的概率是多少？ （5）向上的点数较大的为3的概率是多少？ （6）向上的点数之和为偶数的概率是多少？ 例3. 在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么 “这三个数字的和大于6”这一事件是( ) A.必然事件 B.不可能事件 C.随机事件 D.以上选项均不正确 例4. 随机事件A 的频率n m 满足( ) A.n m =0 B.n m =1 C.0
第1章 随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间： （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录 投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次， 记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰 子，观察出现的各种结果。 解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ； （2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求 )])([(),(),(),(___ ___ AB B A P AB P B A P B A P ??。 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ， 375 .0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ， 875.0)(1)(___ --=AB P AB P ， 5 .0)(625.0)])([()()])([()])([(___ =-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。
解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为 72 .0900 648= 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为 48 344=??个，所以出现奇数的概率为 48 .0100 48= （2）该数大于330的可能个数为48 454542=?+?+?，所以该数大于 330的概率为 48 .0100 48= 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 解: （1）所求概率为 33 8412 1 3 1 42 5= C C C C ；
第79课 相互独立事件的概率 ●考试目标 主词填空 1.如果事件A (或B )是否发生的对事件B (或A )发生的概率没有影响，那么这样的事件叫做相互独 立事件.相互独立事件A 和B 同时发生，记作A ·B,其概率由相互独立事件概率的乘法公式： P (A ·Ｂ)＝Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）． 2.“互斥”事件A 与B ，要记住其判别的依据是A ∩Ｂ=；而“相互独立”事件A 与B ，是指它们中的任何一个发生与否对另一个事件发生的概率没有“影响”. 3.如果在1次试验中，某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次 的概率. P n (k )=k n k k n P P C --)1(． ● 题型示例 点津归纳 【例1】 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率是0.8.计算： (1)两人都击中目标的概率； (2)其中恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率. 【解前点津】 “两人都击中目标”是事件A ·B ；“恰有1人击中目标”是A ·A B 或·B ；“至少有1人击中目标”是A ·B 或A ·A B 或·B . 【规范解答】 我们来记“甲射击一次击中目标”为事件A ，“乙射击一次击中目标”为事件B . (1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件A ·B ，又由于事件A 与B 相互独立. ∴ P (A ·B )=P (A )·P (B )=0.8×0.8=0.64. (2)“两个各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A ·B )，另一种是甲未击中乙击中(即A ·B )，根据题意这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A ·A B 与·B 是互斥的，所以所求概率为： P =)()()()()()(B P A P B P A P B A P B A P ?+?=?+? =0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32. (3) “两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为： P =P (A ·Ｂ)+［P (A ·A P B ()+·Ｂ)］=0.64+0.32=0.96. 【解后归纳】 本题考查应用相互独立事件同时发生的概率的有关知识的正确应用. 【例2】如图，电路由电池A 、B 、C 并联组成.电池A 、B 、C 损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路断电的概率. 【解前点津】 可规定A =“电池A 损坏”，B =“电池B 损坏”，C =“电池C 损坏”.这样，就有事
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A AB - （B ）()A B B ?- （C ）AB （D ）AB 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C ] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D ] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A ] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<
典型例题 例1 掷三颗骰子，试求： （1）没有一颗骰子出现1点或6点的概率； （2）恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率． 分析：我们把三颗骰子出现1点或6点分别记为事件，由已知，是相互独立事件．问题（1）没有1颗骰子出现1点或6点相当于，问题（2）恰有一颗骰子出现1点或6点可分为三类：，三个事件为互斥事件．问题（1）可以用相互独立事件的概率公式求解，问题（2）可以用互斥事件的概率公式求解． 解：记“第1颗骰子出现1点或6点”为事件，由已知是相互独立事件，且． （1）没有1颗骰子出现1点或6点，也就是事件全不发生，即事件，所以所求概率为： ． （2）恰好有1颗骰子出现1点或6点，即发生不发生不发生或 不发生发生不发生或不发生不发生发生，用符号表示为事件 ，所求概率为：
说明：再加上问题：至少有1颗骰子出现1点或6点的概率是多少我们逆向思考，其对立事件为“没有一颗骰子出现1点或6点，即问题（1）中的事件， 所求概率为，在日常生活中，经常遇到几个独立事件，要求出至少有一个发生的概率，比如例1中的至少有1个人译出密码的概率，再比如：有两门高射炮，每一门炮击中飞机的概率都是，求同时发射一发炮弹，击中飞机的概率是多少把两门炮弹击中飞机分别记为事件A与B，击中飞机即 A与B至少有1个发生，所求概率为 ． 例2 某工厂的产品要同时经过两名检验员检验合格方能出厂，但在检验时也可能出现差错，将合格产品不能通过检验或将不合格产品通过检验，对于两名检验员，合格品不能通过检验的概率分别为，不合格产品通过检验的概率分别为，两名检验员的工作独立．求：（1）一件合格品不能出厂的概率，（2）一件不合格产品能出厂的概率． 分析：记“一件合格品通过两名检验员检验”分别记为事件和事件，问题（1）一件合格品不能出厂相当于一件合格品至少不能通过一个检验员检验，逆向考虑，其对立事件为合格品通过两名检验，即发生，而的概率可以用相互独立事件的概率公式求解．我们把“一件不合格品通过两名检验员检验”分别记为事件和事件，则问题（2）一件不合格品能出厂相当于一件不合格品同时通过两名检验员检验，即事件发生，其概率可用相互独立事件概率公式求解． 解：（1）记“一件合格品通过第i名检验员检验”为事件，“一件合格品不能通过检验出厂”的对立事件为“一件合格品同时通过两名检验员检验”，即事件发生．
随机事件及其概率 一、随机事件 1、必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件. 2、不可能事件 在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件. 3、随机事件 在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母A，B，C来表示随机事件. 4、确定事件 必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件. 5、试验 为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观察或模拟，这种观察或模拟的过程就叫作试验. 【注】（1）在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先并不能判断将出现哪种结果，这种现象就叫作随机现象. 应当注意的是，随机现象绝不是杂乱无章的现象，这里的“随机”有两方面意思：①这种现象的结果不确定，发生之前不能预言；②这种现象的结果带有偶然性. 虽然随机现象的结果不确定，带有某种偶然性，但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性，我们称这种规律性为统计规律性. 统计和概率就是从量的侧面去研究和揭示
随机现象的这种规律性，从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一. （2）必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象. （3）随机试验满足的条件：可以在相同条件下重复进行；所有结果都是明确可知的，但不止一个；每一次试验的结果是可能结果中的一个，但不确定是哪一个. 随机事件也可以简称为事件，但有时为了叙述的简洁性，也可能包含不可能事件和必然事件. 二、基本事件空间 1、基本事件 在试验中不能再分的最简单的随机事件，而其他事件都可以用它们进行描述，这样的事件称为基本事件. 2、基本事件空间 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写字母Ω来表示，Ω中的每一个元素都是一个基本事件，并且Ω中包含了所有的基本事件. 【注】基本事件是试验中所有可能发生的结果的最小单位，它不能再分，其他的事件都可以用这些基本事件来表示；在写一个试验的基本事件空间时，应注意每个基本事件是否与顺序有关系；基本事件空间包含了所有的基本事件，在写时应注意不重复、不遗漏. 三、频率与概率 1、频数与频率 在相同条件S下进行了n次试验，观察某一事件A是否出现，则称在n次试验中
4.2 独立事件积的概率 五、教学过程设计 (一)、复习回顾1.事件和 2.事件积------设A 、B 为两个随机事件,把“事件A 与事件B 同时出现”叫做事件A 与事件B 的积.记作A ∩B 或AB. (二)、讲授新课 1、有关概念、公式 概念引入 请同学们观察下面这样两个随机事件:将一枚均匀的硬币接连旋转两次,设A 表示第一次旋转停下后出现图朝上,B 表示第二次旋转停下后出现图朝上.不论第一次旋转停下后出现图朝上还是字朝上对第二次旋转停下后出现图朝上的概率没有影响. 上述现象说明事件A 是否出现对事件B 出现的概率没有影响.同样事件B 是否出现对事件A 出现的概率也没有影响. 概念---互相独立事件 如果事件A 出现和事件Ｂ出现,相互之间没有影响,那么称事件Ａ和事件Ｂ互相独立. 注1. 对立事件指事件Ａ和A 满足⑴A ∪A =Ω⑵A ∩A =φ; 注２.互不相容事件或互斥事件是指不可能同时出现的两个事件; 注3.如果事件A 和事件Ｂ互相独立. A 与Ｂ、Ａ与B 、A 与B 也是互相独立. 概率乘法公式 一般地,如果事件Ａ和事件Ｂ是互相独立事件, 那么 P(AB)=P(A)·P(B) 也就是说, 互相独立的随机事件的积的概率等于各个事件概率的乘积.这个公式叫做互相独立随机事件的概率乘法公式. 更一般地,如果n 21A ,,A ,A ?中每个事件与余下的任意几个事件的积(事件)互相独立,那么称n 21A ,,A ,A ?互相独立.如果n 21A ,,A ,A ?互相独立, 那么 P(n 21A A A ?)=)A (P )A (P )A (P n 21? 2、例题精析 (1)产品检验事件的概率问题(p.67) 例1 如果100件产品有５件次品,那么返回抽取２件产品都是次品的概率是多少？ 解:设事件Ｅ表示“第一次抽取是次品”,事件F 表示“第二次抽取是次品”, “事件Ｅ出现”与“事件F 出现”互相没有影响,即事件Ｅ与事件F 是互相独立事件. 据题意,.1005)F (P ,1005)E (P == 依据互相独立随机事件的概率乘法公式,可得:
第一章 随机事件及其概率 一、选择题 1、以A 表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件A 为（ ） (A) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销” (C) “甲种产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销” 2、设A, B, C 是三个事件, 与事件A 互斥的事件是（ ） (A) C A B A + (B) )(C B A + (C) ABC (D) C B A ++ 3、对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 （ ） （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 4、下面各组事件中，互为对立事件的有 （ ） （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 5、甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 （ ） （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 6、以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为 （ ） （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 7、设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示（ ） （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<
条件概率与独立事件习题课 1.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”则P（B|A）的值为（） A ． B ． C ． D ． 2．从1～9这9个正整数中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A ．B ．C ．D ． 3．10件产品中有5件次品，从中不放回的抽取2次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出的是正品的概率（） A ． B ． C ． D ． 4．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为（） A ． B ． C ． D ． 5．若甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中的命中率打靶，三人各射击一次，则三人中只有一人命中的概率是．二．解答题 6．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量． （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列． （3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．（删）
7．2013年12月21日上午10时，省会首次启动重污染天气Ⅱ级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表： 年龄（岁）[15， 25）[25， 35） [35， 45） [45， 55） [55， 65） [65， 75] 频数510151055 赞成人数469634 （Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图； （Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列8．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布． 9．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立． （Ⅰ）求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率； （Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列．
相互独立事件与概率的乘法公式 说课人：董新森 工作单位：东平县职业中专 时间：2007年5月22日
“相互独立事件与概率的乘法公式”说课稿 一、教材分析 1、教材所处的地位和作用 本节课是概率的第三个计算公式，是在学习了互斥事件和概率的加法公式后而引入的，是对概率计算公式的进一步研究，同时又为下一步学习独立重复试验概率的计算奠定了知识和方法基础。 2、教学目标 （1）能正确区分互斥事件和相互独立事件，会用乘法公式解决简单问题。 （2）在归纳总结乘法公式过程中，进一步提高由特殊推测一般的合情推理能力。 （3）通过教师指导下的学生探索归纳活动，激发学生学习的兴趣，使学生经历数学思维过程，获得成功的体验。 3、教学重点与难点 教学重点：概率的乘法公式的应用 教学难点：区分互斥事件和相互独立事件 二、教学和学法 本节课采用启发探究式教学，由浅入深,由特殊到一般地提出问题,鼓励学生采用观察分析、归纳、总结的学习方法，让学生经历数学知识的应用过程。
三、教学过程设计 1、从数学问题引入探究主题 若事件A=｛甲同学的生日是5月份｝，B=｛乙同学的生日是5月份｝，则A∩B=｛甲和乙的生日都是5月份｝ 问题：（1）说出事件A和事件B是否为互斥事件，为什么？ （引出相互独立事件的概念） （2）试计算P（A）、P（B）、P（A∩B）。 （3）试分析P（A）、P（B）、P（A∩B）三者之间关系。 （4）试举出几个相互独立事件的例子。 2、发现规律 从以上事例中引导学生观察、分析、归纳 P（A∩B）=P（A）×P（B） 一般地说，如果事件A1，A2，…A n相互独立，那么这几个事件
习题一 随机事件及其概率 一、填空题 1．设随机试验E 对应的样本空间S ,与其任何事件不相容的事件为φ，而与其任何事件相互独立的事件为φP （A|B ）=1, 则A 、B 两事件的关系为 A=B ；设E 为等可能型试验，且S 包含 10 个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 0.1 。 2．若A 表示某甲得100分的事件，B 表示某乙得100分的事件，则 （1）A 表示 甲未得100分的事件； （2）A B ?表示 甲乙至少有一人得100分的事件； （3）AB 表示 甲乙都得100的事件； （4）AB 表示 甲得100分，但乙未得100分的事件； （5）AB 表示 甲乙都没得100分的事件； （6）AB 表示 甲乙不都得100分的事件； 3．若事件,,A B C 相互独立，则()P A B C ??= ()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P C P B P C P A P B P C ++---+。 4．若事件,A B 相互独立，且()0.5,()0.25,P A P B ==则 ()P A B ?=0.625。 5．设111()()(),()()(),(),4816 P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======则 ()P A B C ??=167；()P ABC =169 ；(,,)P A B C =至多发生一个43；(,,P A B C =恰好发生一个）163 ；(|)P A A B C ??=74。 6．袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个白球，今有两人依次随机地从袋中各取1球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 0.4 。 7．将 C ，C ，E ，E ，I,N,S 七个字母随机地排成一行，则恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率为11260 。 8．10 件产品有 4 件次品，现逐个进行检查，则不连续出现 2 个次品的概
第一章随机事件及其概率 习题一 一、填空题 1．设样本空间{ x| 0 x 2} ，事件A { x | 1 x 1}, B { x | 1 x 3 }，则A B 2 4 2 { x |0 x 1 3 1 x 1 3 } U { x | x 2} , AB { x | } U { x |1 x } . 4 2 4 2 2 2. 连续射击一目标，A i表示第i次射中，直到射中为止的试验样本空间，则 = A1； A1 A2； L ； A1 A2 L A n 1 A n；L . 3．一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为 1、 2、 3、4 概率为 1 . 12 4．一批 ( N个 ) 产品中有M个次品、从这批产品中任取n 个，其中恰有个 m 个次品的概率是 C M m C n n M m / C N n . 5．某地铁车站 , 每 5 分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过 3 分钟的概率为. 6．在区间（ 0, 1 ）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 6 ”的概率为. 5 7．已知P( A)=, P(B)=, (1) 当 A, B互不相容时, P( A∪B)= ; P( AB)= 0 . (2) 当B A时, P(A+B)= ; P( AB)= ； 8. 若 P(A) , P(B) , P( AB) , P(A B) 1 ; P( AB) ; P(A B) = 1 . 9. 事件 A, B,C 两两独立 , 满足 ABC ，P( A) P( B) P (C) 1 , 且P( A+B+C)= 9 ， 2 16 则 P(A)=. 10．已知随机事件 A 的概率P( A) 0.5 ，随机事件B的概率 P( B) 0.6 ，及条件概率P(B | A) 0.8 ，则和事件A B的概率P(A B). 12．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随机取一件结果不是三
4.2 独立事件积的概率 事件Ａ和事件Ｂ的和 2. 事件Ａ和事件Ｂ的积 3.互不相容事件或互斥事件 4.概率加法公式 互相独立事件----如果事件A 出现和事件Ｂ出现,相互之间没有影响,那么称事件Ａ和事件Ｂ互相独立. 相独立随机事件的概率乘法公式. （1）一般地,如果事件Ａ和事件Ｂ是互相独立事件, 那么P(AB)=P(A)·P(B) （2）推广：如果n 21A ,,A ,A ?中每个事件与余下的任意几个事件的积(事件)互相独立,那么称n 21A ,,A ,A ?互相独立. 如果n 21A ,,A ,A ?互相独立, 那么P(n 21A A A ?)=)A (P )A (P )A (P n 21? 产品检验事件的概率问题 例1、如果100件产品有５件次品,那么返回抽取２件产品都是次品的概率是多少？ 扑克牌抽取事件的概率问题 例2、从一副52张的扑克牌中随机抽取2张牌,求下列事件的概率: （Ⅰ）在放回抽取的情况下,两张牌都是K ； （Ⅱ）在不放回抽取的情况下,两张牌都是K 。 帕斯卡和费马的友人的一个猜测 例3、试证明：将一颗骰子接连抛掷４次至少出现一次６点的可能性大于将两颗 骰子接连抛掷2４次至少出现一次双６点的可能性。
机床维护事件的概率 例4、一名工人维护甲乙丙３台独立的机床,在一小时内,甲乙和丙需要维护的概 率分别为0.9、0.8、0,85,求一小时内下列事件的概率 (Ⅰ)没有一台机床需要维护； (Ⅱ)至少有一台机床不需要护。 频率问题 例5、在射击训练中,小强射中9环及以上频率为0.20,射中7环或8环的频率为0.40,射中3环至6环的频率为0.10,计算小强射击成绩在7环及以上频率和射击成绩3环以下的频率。 例6、已知甲射手射中目标的频率为80%,乙射手射中目标的频率为70%,如果甲乙两人的射击相互独立,那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的频率是多少？ 1、甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中的命中率打靶，3人各射击一次，求3 人中只有一人命中的概率。 2、甲乙两人下象棋，每下三盘，甲平均能胜两盘，若两个人下五盘棋，求甲至少胜三盘的概率。
随机事件及其概率(数学) 练习： 1. 判断正误 （1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。（B ） （2）事件的对立与互不相容是等价的。（B ） （3）若()0,P A = 则A =?。 （B ） （4） ()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。 （B ） （5）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ??（A ） （ 6 ） 考 察 有 两 个 孩 子 的 家 庭 孩 子 的 性 别 ， {()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩， }一个女孩)，则P {}1 =3 两个女孩。 （B ） （7）若 P(A)P(B)≤，则?A B 。 （B ） （8）n 个事件若满足,,()()() i j i j i j P A A P A P A ?=，则n 个事件相互独立。（B ） （9）只有当A B ?时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（A ） 2. 选择题 （1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则C A. A 与B 互斥 B. AB 是不可能事件 C. AB 未必是不可能事件 D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C ) A. P(A)-P(B) B. P(A)-P(B)+P(AB) C. P(A)-P(AB) D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D) A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销” B. “甲乙两种产品均畅销” C. “甲种产品滞销” D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销” （4）若A, B 为两随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是(A ) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设 (),(),()P A B a P A b P B c ?===，则()P AB 等于(B )
高三数学第一轮复习讲义（74） 2005.1.8 相互独立事件的概率 一．复习目标： 1．了解相互独立事件的意义，会求相互独立事件同时发生的概率； 2．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 二．知识要点： 1．相互独立事件的概念： ． 2．,A B 是相互独立事件，则()P A B ?= ． 3．1次试验中某事件发生的概率是P ，则n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是 ． 三．课前预习： 1．下列各对事件 （1）运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”， （2）甲、乙二运动员各射击一次， “甲射中10环”与“乙射中9环”， （3）甲、乙二运动员各射击一次， “甲、乙都射中目标”与，“甲、乙都没有射中目标”， （4）甲、乙二运动员各射击一次， “至少有一人射中目标”与，“甲射中目标但乙没有射中目标”，是互斥事件的有 （1），（3） ．相互独立事件的有 （2） ． 2．某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是30.90.1?； ③他至少击中目标1次的概率是410.1-，其中正确结论的序号 ①③ ． 3．100件产品中有5件次品，从中连续取两次，（1）取后不放回，（2）取后放回，则两次都取合格品的概率分别是 893990 、 361400 ． 4．三个互相认识的人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少两人上了同一车厢的概率是 （ ） ()A 29200 ()B 725 ()C 7125 ()D 718 5．口袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套15只，白色手套10只，现从中随机地取出两只手 套，如果两只是同色手套则甲获胜，两只手套颜色不同则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是 （ ） ()A 甲多 ()B 乙多 ()C 一样多 ()D 不确定 四．例题分析： 例1．某地区有5个工厂，由于电力紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的），假定工厂之间的选择互不影响． （1）求5个工厂均选择星期日停电的概率；（2）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率． 解：设5个工厂均选择星期日停电的事件为A ． 则511()716807 P A ==． （2）设5个工厂选择停电的时间各不相同的事件为B ． 则575360()72401 A P B ==， 至少有两个工厂选择同一天停电的事件为B ，3602041()1()124012401 P B P B =-=-=． 小结：5个工厂均选择星期日停电可看作5个相互独立事件． 例2．某厂生产的A 产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每
相互独立事件概率问题求解辨析 事件A 、B 是相互独立事件，当且仅当事件A 和B 是否发生，相互之间没有影响。如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 、A 与B 、A 与B 也都是相互独立的。尤其在涉及“至多”或“至少”问题时，常先求此事件的对立事件的概率，再利用公式()1()P A P A =-求出所求事件的概率。这种解法，称为逆向思考方法。下面就相互独立事件概率问题举例分析如下。 一、 反面求解相互独立事件同时发生的概率 例1、加工某零件需3道工序，设第1、2、3道工序出现次品的概率分别为0.02，0.03，0.05，假设三道工序互不影响，求加工出来的零件是次品的概率。 解：由题中“三道工序互不影响”，可判定1、2、3道工序出现次品的事件是相互独立事件，可用相互独立事件的乘法公式。 设A=“加工出来的零件是次品”，i A =“第i 道工序出现次品”，则123A A A A =??， 由于三道工序互不影响，123()()()()P A p A P A P A ∴=??=（1-0.12）（1-0.03）（1-0.05）=0.90307。所以 ()1()10.903070.09693P A P A =-=-=。 点评：两个或多个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率积，结合“对立事件的概率和为1”，先求其对立事件的概率，然后再求原事件概率，采用这种解法可使问题变得简易。 二、用排列组合思想理解相互独立事件的概率 例2、甲乙两人各投篮3次，每次投中得分概率为0.6，0.7，求甲乙两人得分相同的概率。 解： 甲乙两人得分相同可以有；甲乙都中0、1、2、3次共四种情况。设甲投中0、1、2、3次概率分别为0123A A A A 、、、，乙投中0、1、2、3次概率分别为 0123B 、B 、B 、B ， 则 0012233()()()()P P A B P AB P A B P A B =+++ 1122 33222233330.40.30.60.40.70.30.60.40.70.3 C C C C =?+???+???330.60.70.321+?=。 点评：全面考虑各种可能性，然后利用公式()(1)k k n k n n P k p p C -= -。 三、通过分类或分步将复杂事件分解为简单事件 例3、某辆汽车载有8名学生从学校回家，途中共有甲、乙、丙三个停车点。如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车，假设每个学生在每个停车点下车的可能性都相等。求 （1）停车次数不少于2的概率；（2）恰好停2次的概率。
概率论与数理统计练习题 _____ 专业______ 班姓名第一 章随机事件及其概率(一) 学号一.选择题 1.对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 (A)不可能事件(B)必然事件(C) 随机事件 2.下面各组事件中，互为对立事件的有 [ (D)样本事件 [ (A) A i ｛抽到的三个产品全是合格品｝｛抽到的三个产品全是废品｝(B) B i ｛抽到的三个产品全是合格品｝B2 ｛抽到的三个产品中至少有一个废 品 (C) C i ｛抽到的三个产品中合格品不少 于2个｝ C2 ｛抽到的三个产品中废品不多于 (D) D i ｛抽到的三个产品中有2个合格品D2 ｛抽到的三个产品中 有2个废品｝ 3.下列事件与事件A B不等价的是 (A) A AB (B) (A B) B (C) AB AB 4.甲、乙两人进行射击，A、B分别表示甲、乙射中目标，则A B表示 (A)二人都没射中(C)二人没有都射着(B)二人都射中(D)至少一个射中 5.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A为. (A) “甲种产品滞销，乙种产品畅销” (C) “甲种产品滞销”；(B) “甲、乙两种产品均畅销”； (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销 6?设{x| x }, A {x|0 x 2}, B {x|1 3｝，则AB表示 (A) {x|0 x 1 } (B) {x|0 1 } (C) {x|1 x 2} (D) {x| 0} {x|1 x } 7 .在事件A , B , C中，A和B至少有一个发生而C不发生的事件可表示为 (A) AC BC ；(B) ABC ； (C) ABC ABC ABC ; (D) &设随机事件A,B满足P(AB) 0，则 (A) A, B互为对立事件(B ) A, B互不相容