数学1（必修）第二章 基本初等函数（1）
[基础训练A 组] 一、选择题
1 下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ）
A 2
x y = B x
x y 2
=
C )10(l o g ≠>=a a a
y x
a 且 D x
a a y l o g =
2 下列函数中是奇函数的有几个（ ）
①11x x a y a +=- ②2lg(1)
33
x y x -=+- ③x y x = ④1log 1a x y x +=-
A 1
B 2
C 3
D 4
3 函数y x =3与y x =--3的图象关于下列那种图形对称( )
A x 轴
B y 轴
C 直线y x =
D 原点中心对称
4 已知1
3x x
-+=，则332
2
x x -
+值为（ ）
A B C D -
5 函数y =的定义域是（ ）
A [1,
)+∞ B 2(,)3+∞ C 2[,1]3
D 2(,1]3 6 三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ）
A 60.70.70.7log 66<<
B 60.70.70.76log 6<<
C 0.760.7log 660.7<<
D 60.70.7log 60.76<<
7 若f x x (ln )=+34，则f x ()的表达式为（ ）
A 3l n x
B 3l n
4x + C 3x e D 34x e + 二、填空题
1
985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是
2 化简11
410
104
848++的值等于__________ 3 计算：(log )log log 22
22
54541
5
-++=
4 已知x y x y 224250+--+=，则log ()x x y 的值是_____________
5 方程
33131=++-x
x
的解是_____________ 6 函数121
8
x y -=的定义域是______；值域是______
7 判断函数2lg(y x x =的奇偶性
三、解答题
1 已知),0(56>-=a a x
求x
x x
x a
a a a ----33的值
2 计算100011
3
43460022
++-++-lg .lg
lg lg lg .的值
3 已知函数211()log 1x f x x x
+=
--,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性单调性
4 （1）求函数
2()log x f x -=的定义域
（2）求函数)5,0[,)3
1(42∈=-x y x
x 的值域
（数学1必修）第二章 基本初等函数（1）[基础训练A 组]
参考答案
一、选择题
1 D
y x ==，对应法则不同；2
,(0)x y x x
=≠ log ,(0)a x y a x x ==>；log ()x a y a x x R ==∈
2 D 对于111
,()()111x x x x
x x
a a a y f x f x a a a
--+++=-===----，为奇函数； 对于22lg(1)lg(1)
33x x y x x
--==
+-，显然为奇函数；x y x =显然也为奇函数； 对于1log 1a
x y x +=-，11()log log ()11a
a x x
f x f x x x
-+-==-=-+-，为奇函数； 3 D 由y x =--3得3,(,)(,)x y x y x y --=→--，即关于原点对称；
4 B
1111122
22
2
()23,x x
x x x x
-
-
-+=+-=+=
331112
2
2
2
()(1)x x
x x x x -
--+=+-+=5 D 1122
2
log (32)0log 1,0321,
13
x x x -≥=<-≤<≤ 6 D 600.700.70.70.766log 60<><=1，=1，
当,a b 范围一致时，log 0a b >；当,a b 范围不一致时，log 0a b < 注意比较的方法，先和0比较，再和1比较 7 D 由ln (ln )3434x
f x x e
=+=+得()34x f x e =+
二、填空题 1
<<<
123413589
2
22222====，
而
1324138592
<<<< 2 16
16====
3 2- 原式12222log 52log 5log 52log 52-=-+=--=-
4 0 22(2)(1)0,21x y x y -+-===且，22log ()log (1)0x x y ==
5 1- 33333,113
x x x x
x
x ---?+===-+ 6 {}1|,|0,2x x y y ??≠>≠???
?且y 1 1210,2x x -≠≠；1
2180,1x
y y -=>≠且
7 奇函数
22()lg(lg(()f x x x x x f x -=-=-=-
三、解答题
1
解：x x x x a a a a --=+=222()222x x x x a a a a --+=+-=
3322()(1)
23x x x x x x x x x x
a a a a a a a a a a
-------++==-- 2 解：原式13lg32lg300=-+-+
22lg3lg326
=+-++=
3 解：0x ≠且
101x
x +>-，11x -<<且0x ≠，即定义域为(1,0)(0,1)- ； 221111()log log ()11x x f x f x x x x x -+-=-=-+=--+-为奇函数； 212
()log (1)11f x x x
=-+-在(1,0)(0,1)-和上为减函数
4 解：（1）210
2211,,13320
x x x x x ->??
-≠>≠??->?
且，即定义域为2(,1)(1,)3+∞ ；
（2）令2
4,[0,5)u x x x =-∈，则45u -≤<，5
4
11()(),3
3
y -<≤
181243y <≤，即值域为1(,81]243
数学1（必修）第二章 基本初等函数（1） [综合训练B 组]
一、选择题
1 若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值
是最小值的3倍，则a 的值为( ) A
42 B 2
2
C 41
D 21
2 若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(1,0)-
和(0,1)，则( )
A 2,2a b ==
B 2a b =
C 2,1a b ==
D ,a b =
3 已知x x f 26log )(=，那么)8(f 等于（ ）
A
34 B 8 C 18 D 2
1 4 函数lg y x =( )
A ． 是偶函数，在区间(,0)-∞ 上单调递增
B ． 是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减
C ． 是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增
D 是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减
5 已知函数=-=+-=)(.)(.11lg
)(a f b a f x
x
x f 则若（ ） A b B b - C b 1 D 1
b
-
6 函数()log 1a f x x =-在(0,1)上递减，那么()f x 在(1,)+∞上（ ）
A 递增且无最大值
B 递减且无最小值
C 递增且有最大值
D 递减且有最小值
二、填空题
1 若a x f x
x lg 2
2)(-+=是奇函数，则实数a =_________
2 函数(
)
2
12
()log 25f x x x =-+的值域是__________
3 已知1414log 7,log 5,a b ==则用,a b 表示35log 28
4 设(){}1,,lg A y xy =, {}
0,,B x y =,且A B =，则x = ；y
5 计算：
(
)
(
)
5
log 22
32
3-+
6 函数x x e 1
e 1
y -=+的值域是__________
三、解答题
1 比较下列各组数值的大小：
（1）3
.37.1和1
.28
.0；（2）7
.03
.3和8
.04
.3；（3）
25log ,27log ,2
3
98
2 解方程：（1）19
2327x
x ---?= （2）649x x x +=
3 已知,3234+?-=x
x y 当其值域为[1,7]时，求x 的取值范围
4 已知函数()log ()x a f x a a =-(1)a >，求()f x 的定义域和值域；
（数学1必修）第二章 基本初等函数（1）[综合训练B 组]
参考答案
一、选择题
1 A
132
311log 3log (2),log (2),2,8,,384
a a a a a a a a a a a a ======
2 A log (1)0,a b -=且log 1,2a b a b ===
3 D
令16
66
228(0),(8)()log log x x x f f x x =>==
===4 B 令()lg ,()lg lg ()f x x f x x x f x =-=-==，即为偶函数
令,0u x x =<时，u 是x 的减函数，即lg y x =在区间(,0)-∞上单调递减 5 B 11()lg
lg ().()().11x x
f x f x f a f a b x x
+--==-=--=-=--+则 6 A 令1u x =-，(0,1)是u 的递减区间，即1a >，(1,)+∞是u 的
递增区间，即()f x 递增且无最大值
二、填空题 1
110
()()22lg 22lg x x x x
f x f x a a --+-=+++ 1(l
g 1)(22)0,lg 10,10
x
x
a a a -=++=+==
（另法）：x R ∈，由()()f x f x -=-得(0)0f =，即1lg 10,10
a a +== 2 (],2-∞- 2225(1)44,x x x -+=-+≥
而1
01,2<
<()
21122
log 25log 42x x -+≤=- 3
2a a b -+ 141414143514log 28
log 7log 5log 35,log 28log 35
a b +==+= 14
1414141414141414
1log log (214)1log 21(1log 7)27log 35log 35log 35log 35a a b
+?++--=
====+ 4 1,1-- ∵0,0,A y ∈≠∴lg()0,1xy xy ==
又∵1,1,B y ∈≠∴1,1x x =≠而，∴1,1x y =-=-且
5 15
)
(
)(
32
32
32log
log
5
15
--+=
=
=
6 (1,1)- x x e 1
e 1y -=+，10,111x y e y y
+=>-<<-
三、解答题
1 解：（1）∵ 3.301.7 1.71,>= 2.1
00.8
0.81<=，∴ 3.31.7>1.28.0
（2）∵0.70.80.80.83.3 3.3,3.3 3.4<<，∴0.7
3.3<8.0
4.3
（3）8293log 27log 3,log 25log 5,==
33
2222233333
log 2log log 3,log 3log log 5,22
====> ∴983
log 25log 27.2
<
< 2 解：（1）2(3)63270,(33)(39)0,330x x x x x ------?-=+-=+≠而
2390,33,x x ---==
2x =- （2）22422()()1,()()103933
x x x x
+=+-=
2
3
22()0,()33log x x x >=∴=则
3 解：由已知得143237,x x
≤-?+≤
即43237,43231x x x x ?-?+≤??-?+≥??得(21)(24)0(21)(22)0
x x x x
?+-≤?
?--≥?? 即021x
<≤，或224x
≤≤
∴0x ≤，或12x ≤≤
4 解：0,,1x x
a a a a x -><<，即定义域为(,1)-∞；
0,0,log ()1x x x a a a a a a a ><-<-<，
即值域为(,1)-∞
数学1（必修）第二章 基本初等函数（1）
[提高训练C 组] 一、选择题
1 函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x 上的最大值和最小值之和为a ，
则a 的值为（ ）
A
41 B 2
1
C 2
D 4 2 已知log (2)a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )
A （0，1）
B （1，2）
C （0，2）
D ∞[2，+）
3 对于10< ①)11(log )1(log a a a a +<+ ②)1 1(log )1(log a a a a +>+ ③a a a a 111+ +< ④a a a a 111+ +> 其中成立的是（ ） A ①与③ B ①与④ C ②与③ D ②与④ 4 设函数1()()lg 1f x f x x =+，则(10)f 的值为（ ） A 1 B 1- C 10 D 10 1 5 定义在R 上的任意函数()f x 都可以表示成一个奇函数()g x 与一个 偶函数()h x 之和，如果()lg(101),x f x x R =+∈，那么( ) A ()g x x =，()lg(10101)x x h x -=++ B l g (101)()2 x x g x ++=，x lg(101)()2x h x +-= C ()2x g x =，()lg(101)2 x x h x =+- D ()2x g x =-， lg(101)()2 x x h x ++= 6 若ln 2ln 3ln 5 ,,235 a b c = ==,则( ) A a b c << B c b a << C c a b << D b a c << 二、填空题 1 若函数( ) 12log 2 2++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________ 2 若函数() 12log 22++=x ax y 的值域为R ，则a 的范围为__________ 3 函数y =______；值域是______ 4 若函数()11 x m f x a =+ -是奇函数，则m 为__________ 5 求值：22log 3 3 21 272 log 8 -?+=__________ 三、解答题 1 解方程：（1）40.2540.25log (3)log (3)log (1)log (21)x x x x -++=-++ （2）2 (lg )lg 10 20x x x += 2 求函数11()()14 2 x x y =-+在[]3,2x ∈-上的值域 3 已知()1log 3x f x =+，()2log 2x g x =,试比较()f x 与()g x 的大小 4 已知()()110212x f x x x ??=+≠ ?-?? ， ⑴判断()f x 的奇偶性； ⑵证明()0f x > （数学1必修）第二章 基本初等函数（1）[提高训练C 组] 参考答案 一、选择题 1 B 当1a >时1 log 21,log 21,,2a a a a a ++==-= 与1a >矛盾； 当01a <<时1 1log 2,log 21,2 a a a a a ++==-=； 2 B 令[]2,0,0,1u ax a =->是的递减区间，∴1a >而0u >须 恒成立，∴min 20u a =->，即2a <，∴12a <<； 3 D 由10< 1,11,a a a a << +<+②和④都是对的； 4 A 11 (10)()1,()(10)1,(10)(10)111010 f f f f f f =+=-+=-++ 5 C ()()(),()()()()(),f x g x h x f x g x h x g x h x =+-=-+-=-+ ()()()()()lg(101),()222 x f x f x f x f x x h x g x +---= =+== 6 C a b c ===== ==>二、填空题 1 (1,)+∞ 2 210ax x ++>恒成立，则0 440a a >?? ?=- ，得1a > 2 []0,1 2 21ax x ++须取遍所有的正实数，当0a =时，21x +符合 条件；当0a ≠时，则0 440 a a >?? ?=-≥?，得01a <≤，即01a ≤≤ 3 [)[)0,,0,1+∞ 111()0,()1,02 2 x x x -≥≤≥；11()0,01()1,2 2 x x >≤-< 4 2 ()()11011 x x m m f x f x a a --+=+ ++=-- (1) 20,20,21x x m a m m a -+ =-==- 5 19 2 93(3)5)18l g 1019 -?-+=+= 三、解答题 1 解：（1）40.2540.25log (3)log (3)log (1)log (21)x x x x -++=-++ 4 0.2543213 log log log ,1321x x x x x x -++==-++ 33 121 x x x x -+=-+，得7x =或0x =，经检验0x =为所求 （2）2 (lg )lg lg lg lg 10 20,(10)20x x x x x x x +=+= l g l g l g 2 20,10,(l g ) 1,l g 1, x x x x x x x x +====± 10,x =1或 10，经检验10,x =1或10 为所求 2 解：21111()()1[()]()14222x x x x y =-+=-+ 2113[()],224 x =-+ 而[]3,2x ∈-，则11()842 x ≤≤ 当11()22x =时，min 34y =；当1()82 x =时，max 57y = ∴值域为3 [,57]4 3 解：3()()1log 32log 21log 4 x x x f x g x -=+-=+， 当31log 04x +>，即01x <<或4 3x >时，()()f x g x >； 当31log 04x +=，即4 3x =时，()()f x g x =； 当31log 04x +<，即4 13 x <<时，()()f x g x < 4 解：（1）1121 ()()212221 x x x x f x x +=+=?-- 2121 ()()221221 x x x x x x f x f x --++-=-?=?=--，为偶函数 （2）21()221 x x x f x +=?-，当0x >，则210x ->，即()0f x >； 当0x <，则210x -<，即()0f x >，∴()0f x > 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法 （1）定义法： 判断下列函数的单调区间：2 1x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断： 设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在] ,[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数24x y -=的单调递减区间是 ，单调递增区间 为 ． （2）5 412 +-= x x y 的单调递增区间为 ． 3、函数单调性应注意的问题： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)． ③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上 是增（或减）函数 4．例题分析 3. 函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型 如： ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； 常针对根号，举例： 令 ，原式转化为： ，再利用配方法。 ⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： )0(>+ =k x k x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 二．函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 函数基础 令狐采学 一．选择题（每题5分，共50分，每题只有一个符合题意的选 项） 1．如果A=}1|{->x x ，那么 （ ） A ．A ?0 B ． A ∈}0{ C ．A ∈Φ D ．A ?}0{ 2.下列图象中不能作为函数图象的是 （ ） 3.下列从集合A 到集合B 的对应f 是映射的是（ ） 4.下列给出函数()f x 与()g x 的各组中，是同一个关于x 的函数的是 （ ） A ．2()1,()1x f x x g x x =-=- B ．()21,()21f x x g x x =-=+ C ．326(),()f x x g x x == D ．0()1,()f x g x x == 5.如图，U 是全集，M.P.S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示 的集合是 （ ） A.（M S P ??) B.（M S P ??) C.（M ?P ）?（CUS ） D.（M ?P ）?（CUS ） 6.函数5 ||4--=x x y 的定义域为（ ） A ．}5|{±≠x x B ．}4|{≥x x C ．}54|{< A ．5 B ．－1 C ．－7 D ．2 8．若集合}|{},21|{a x x B x x A ≤=<<=，且Φ≠B A ，则实数a 的集 合（ ） A ．}2|{a a D ．}21|{≤≤a a 9．设偶函数f(x)的定义域为R ，当x [0,)∈+∞时f(x)是增函数，则f(－ 2), f(π), f(－3)的大小关系是( ) A. f(π)>f(－3)>f(－2) B. f(π)>f(－2)>f(－ 3) C ．f(π) 高中数学必修1《函数的应用》知识点(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数： 非连续函数： 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点：对于函数，若使=0，则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理： ()[]()()()(),::,. 0.y f x a b p q y f x a b f a f b ????? ()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤： ()()()()()()( )1 2121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ? 必修一第一章 集合与函数概念 二、函数 知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域 ②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域. 2》区间和无穷大 ①设a 、b 是两个实数，且a=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数. 典例分析 题型1：函数定义的考察 例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（ ） A 、x y x f 21)(= → B 、x y x f 31 )(=→ C 、 x y x f 32 )(=→ D 、x y x f =→)( 例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数： ① }{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方； ③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。 是函数的是_________________。 题型2：区间的表示 例1：用区间表示下列集合 （1） }{1≥x x =_____________。 （2）}{42≤ 高中数学函数基础练习 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 函数基础 一．选择题（每题5分，共50分，每题只有一个符合题意的选项） 1．如果A=}1|{->x x ，那么 （ ） A ．A ?0 B ．A ∈}0{ C ．A ∈Φ D ．A ?}0{ 2.下列图象中不能作为函数图象的是 （ ） 3.下列从集合A 到集合B 的对应f 是映射的是（ ） 4.下列给出函数()f x 与()g x 的各组中，是同一个关于x 的函数的是 （ ） A ．2 ()1,()1x f x x g x x =-=- B ．()21,()21f x x g x x =-=+ C ．326(),()f x x g x x == D ．0()1,()f x g x x == 5.如图，U 是全集，M.P.S 是U 的三个子集，则阴影部分 所表示的集合是 （ ） A.（M S P ??) B.（M S P ??) C.（M ?P ）?（C U S ） D.（M ?P ）?（C U S ） 6.函数5||4--=x x y 的定义域为（ ） A ．}5|{±≠x x B ．}4|{≥x x C ．}54|{< 复合函数的定义域 讲解内容： 复合函数的定义域求法 讲解步骤： 第一步：函数概念及其定义域 函数的概念：设是,A B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的函数，记作：(),y f x x A =∈。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值. 第二步：复合函数的定义 一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22 (())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+ 问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。） 第三步：介绍复合函数的定义域求法 例1. 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域； 解：由题意得 35x -<≤ 3325x ∴-<-≤ 137x -<≤ 1 7 33x ∴-<≤ 所以函数(32)f x -的定义域为17,33? ?- ??? . 练1.已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。 解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即 ???≤≤->-+?≤+<13023202320222 x x x x x x x x x ，或 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． ②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：()n n a a =；当 n 为奇数时，n n a a =；当n 为偶数时， (0) || (0) n n a a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 11 ()()(0,,,m m m n n n a a m n N a a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数 图象 1a > 01a << 定义域 R 值域 (0,)+∞ 过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =． x a y =x y (0,1) O 1 y =x a y =x y (0,1) O 1 y = 高中函数大题专练 １、已知关于x 的不等式2 (4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。 ⑴试求不等式的解集A ； ⑵对于不等式的解集A ，若满足A Z B =I （其中Z 为整数集）。试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合 B ；若不能，请说明理由。 ２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2 ()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-? =??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2 =++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =- ≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围； （2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探 求,a b 应满足的条件。 高一数学必修一函数必背知识点整理 高一数学必修一函数必背知识点 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+ba>0,a、b属于Q a^a^b=a^aba>0,a、b属于Q ab^a=a^a*b^aa>0,a、b属于Q 指数函数对称规律： 1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称 2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称 3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称 幂函数y=x^aa属于R 1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数. 2、幂函数性质归纳. 1所有的幂函数在0，+∞都有定义并且图象都过点1，1; 2时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸; 3时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法： 1 代数法求方程的实数根; 2 几何法对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点： 二次函数. 1△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2△=0，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点. 感谢您的阅读，祝您生活愉快。 高中数学函数的基础知识测试题 （时间：100分钟 分数：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的） 1．当 2 3 高中数学必修系列函数基础知识 初等函数的性质定义判定方法函数的奇偶性 函如果对一函数f（x)定义域内任意一个ｘ，都有 ｆ(-x）=-f(ｘ),那么函数ｆ(x）叫做奇函数； 函如果对一函数ｆ（x)定义域内任意一个ｘ,都有 f(－x)＝f（x),那么函数ｆ(x)叫做偶函数 （1)利用定义直接判断; (２)利用等价变形判断： f(x)是奇函数ｆ(-x)+f(x)＝0?f(x)是 数ｆ(－ｘ)－ｆ(ｘ)=0 函数的单调性 对于给定的区间上的函数f(x): （1)如果对于属于这个去件的任意两个自变的值 x1、x2,当x1 二次函数 y=ａｘ2+bx+ｃ（a、 b、ｃ为常数,其中a ≠0) R a>0时，?[－ ,+∞） a＜０时,?(- ∞,] ｂ=0时为偶函数 b≠0时为非奇非 偶函数 ａ＞0时,?在(－∞，-]上是减函数 在（－,+∞]上是增函数 a<0时, 在（-∞,-］上是增函数 在(-，+∞]上是减函数角 一条射线绕着它的端点旋转所产生的图形叫做角。旋转开始时的射线叫角的始边，旋转终止时的射线叫 角的终边，射线的端点叫做角的顶点。 角的单 位制 关系弧长公式扇形面积公式 角度制１0＝弧度≈0.０1７４５ 弧度 l=S 扇形= 弧度制１弧度=≈５7018＇ｌ＝∣α∣·r S 扇形=∣α∣·r 2=lr 角的终 边 位置角的集合 在x轴正半轴上{α∣α=2kπ,k Z} 在ｘ轴负半轴上｛α∣α＝2kπ＋π,ｋZ} 在x轴上｛α∣α=ｋπ,k Z｝ 在y轴上{α∣α=ｋπ＋，k Z} 在第一象限内{α∣２ｋπ<α<2kπ+,kＺ} 在第二象限内{α∣2kπ+＜α<2kπ＋π,k Z｝ 在第三象限内 {α∣2ｋπ+π<α<2kπ+,ｋZ} 在第四象限内 ｛α∣2kπ+＜α<２kπ＋2π,kＺ} 特殊角 的三角 函数值 函数/角0 π2π ｓｉna 0 1 0 -1 ０ ｃosa １0 -１０ 1 第一章集合与函数概念 课时一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。 例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 函数部分难题汇总 1．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 2．为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（ ） A ．沿x 轴向右平移1个单位 B ．沿x 轴向右平移 1 2个单位 C ．沿x 轴向左平移1个单位 D ．沿x 轴向左平移1 2 个单位 3．设? ??<+≥-=)10()],6([) 10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 4．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ） A ．[]052 ， B. []-14， C. []-55， D. []-37， 5．函数x x x y += 的图象是（ ） 6．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．)2()1()2 3(f f f <-<- B ．)2()2 3()1(f f f <-<- C ．)23()1()2(-<- 基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合得含义: 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成得总体叫做集合(简称为集)。 2、集合得中元素得三个特性: (1)元素得确定性:对于一个给定得集合,集合中得元素就是确定得,任何一个对象或者就是或者不就是这个给定得集合得元素。 (2)元素得互异性:任何一个给定得集合中,任何两个元素都就是不同得对象,相同得对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)元素得无序性:集合中得元素就是平等得,没有先后顺序,因此判定两个集合就是否一样,仅需比较它们得元素就是否一样,不需考查排列顺序就是否一样。 3、元素与集合得关系:2hf7sHC。51kBEbP。 (1)如果 a 就是集合 A 得元素,就说 a 属于A,记作: (2)如果 a 不就是集合 A 得元素,就说 a 不属于A,记作: 4、集合得表示: *用拉丁字母表示集合:A={我校得篮球队员},B={1,2,3,4,5} *常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R (1)列举法:把集合中得元素一一列举出来,写在大括号内。如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2} aypYuMZ。0DeBxzM。 (2) 图示法:Venn图 (3) 描述法(数学式子描述与语言描述):把集合中得元素得公共属性描述出来,写在大括号{}内。具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素得一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有得共同特征。 如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{直角三角形}90qy1aJ。2fZxY1j。 5、集合得分类: (1)有限集含有有限个元素得集合 (2)无限集含有无限个元素得集合 (3)空集不含任何元素得集合例:{x|x2=-5｝ 二、集合间得基本关系 1、包含关系 (1)子集:真子集或相等 (2)真子集 2、相等关系:元素相同 两个结论:任何一个集合就是它本身得子集,即A A 对于集合A,B,C,如果 A B, B C ,那么 A C 3、空集 结论:空集就是任何集合得子集,就是任何非空集合得真子集 *集合子集公式:含n个元素得集合子集有2?个,真子集有2?-1个 三、集合得基本运算 1、并集 2、交集 *性质:A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∩B=A, A∩B=B AUA=A, AUΦ=A,AUB=BUA ,AUB包含A, AUB包含B 3、全集与补集 *性质:CU(CUA)=A,(CUA)∩A=Φ,(CUA)∪A=U,(CuA)∩(CuB)= Cu(AUB),(CuA) U (CuB)= Cu(A∩B)al5t6aw。eN17HuK。 选择补充:集合中元素得个数: 四、函数有关概念 1.2函数及其表示 §1.2.1函数的概念 【教学目的】 1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域； 3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号； 4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 【教学重点】 在对应的基础上理解函数的概念 【教学难点】 函数概念的理解 【教学过程】 一、复习引入 〖提问〗初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函 数的传统定义。 〖讲述〗初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 〖提问〗问题1：y =1（x ∈R ）是函数吗？ 问题2：y =x 与y = x x 2 是同一函数吗？ 〖投影〗观察对应： 〖分析〗观察分析集合A 与B 之间的元素有什么对应关系？ 二、讲授新课 函数的概念 （一）函数与映射 〖投影〗函数：设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个 数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =)(x f ，x ∈A 。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数y =)(x f 的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{)(x f |x ∈A}，叫做函数y =)(x f 的值域。 函数符号y =)(x f 表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f 。 函数的三要素：对应法则f 、定义域A 、值域{)(x f |x ∈A} 注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。 映射：设,A B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射. 如果集合A 中的元素x 对应集合B 中元素y ,那么集合A 中的元素x 叫集合B 中元素y 的原象,集合B 中元素y 叫合A 中的元素x 的象. 映射概念的理解 (1)映射B A f →:包含三个要素:原像集合A ,像集合B(或B 的子集)以及从集合A 到集合B 的对应法则f .两个集合A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f 可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有: (1)方向性:映射是有次序的,一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的; (2)任意性:集合A 中的任意一个元素都有像,但不要求B 中的每一个元素都有原像; (3)唯一性:集合A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”. 函数与映射的关系 函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出. 映射B A f →: 函数B y A x x f y ∈∈=,),( 集合A,B 可为任何集合,其元素可以是物,人,数等 函数的定义域和值域均为非空的数集 对于集合A 中任一元素a ,在集合B 中都有唯一确定的像 对函数的定义域中每一个x ,值域中都有唯一确定的值与之对应 对集合B 中任一元素b ,在集合A 中不一定有原像 对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应 函数是特殊的映射,映射是函数的推广. 〖注意〗（1）函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f ：A →B 。这里A ，B 为非空的数集。 （2）A ：定义域，原象的集合；{)(x f |x ∈A}：值域，象的集合，其中{)(x f |x ∈A}?B ；f ：对应法则，x ∈A ，y ∈B （3）函数符号：y =)(x f ，y 是x 的函数，简记) (x f 〖回顾〗（二）已学函数的定义域和值域： 1、一次函数)(x f =ax ＋b (a ≠0)：定义域R ，值域R 2、反比例函数)(x f = x k (k ≠0)：定义域{x |x ≠0}，值域{y | y ≠0} 3、二次函数)(x f =ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)：定义域R ，值域：当a ＞0时，｛y |y ≥a b a c 442 -｝；人教版_数学_必修1函数的基本性质_教案
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