课题：2012年武汉外校数学真题教学过程：
一、填空题（第1-2题，每题2分，第3-8题，每题3分，共22分）
1.（1）如果:516%:7
★=，那么★=；
（2）若
3111
0.5
16332
（□）
?+÷=，则□=。
2.下列说法：①“神舟九号”载人航天飞船绕地球飞行一天一夜耗电43度，则飞行一小时约耗电1.8
度；②爸爸给小雨买了一辆自行车，原价400元，现在只花了340元购买，相当于商店打八五折出售；③李希的身份证号码为：420104************，那么到今年奥运会时，她已经快11岁了；④2012年欧洲杯英格兰队进入了四分之一决赛，表明该队已经顺利地成为了前四名的球队之一。其中正确的是。（填序号）
3.某厂改进生产技术后，生产人员减少1
5
，而生产量却增加了40%，那么改进技术后的生产效率比改
进前提高了 %。
4.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗。五月初五早晨，妈妈为乐乐准备了4只粽子：一只豆沙馅，
一只香肠陷，两只什锦陷。四只粽子除内部馅料不同外，其他一切相同。乐乐喜欢吃什锦陷的粽子，则他吃两只粽子恰好都是什锦陷的可能性是。
5.六年级三个班学生给山区的小学捐献图书。二班捐献的书本数是一班的5
6
，三班捐献的比二班少
1
5
，
一班和三班共捐献图书180本。那么这三个班共捐献图书本。
6.如图，将侧面积是157平方厘米的圆柱体，切拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加平方
厘米。（π取3.14）
7.在一次师生同台的课本剧表演活动中，学生和老师共54人，已知学生人数比老师的两倍还多，女生
比男生多，女老师比女生少5人，至少有3名男老师，那么这54人中，共有男生人。
8.将自然数从1开始，按如图所表示的规律排列。规定图中第m行、第n、列的位置记作（m，n），
如自然数8的位置是（2，3），则自然数178的位置记作。
2524232221
20
19
18
17
161514131211109865421
二、计算题（共6分）
9. 计算（每题3分，共6分）： （1）51122
(65)[2(128) 1.4]181573
-÷+-÷
（2）245114
[75%(43)0.25][(21)21]3963215
--?÷+÷-
三、应用题（共5分）
10. 某市从2012年5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下：
2012年5月份，该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元。
（1）上表中a= ；b= 。
（2）李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份
用电多少度吗？
四、操作题（第11题2分，第12题5分，共7分）
11. 在下面由火柴棒拼成的等式中，你能移动一根火柴棒，是等式仍成立吗？
请写出移动后仍成立的两个等式：
①
②
12. 如下左图，一个长为
24厘米，宽为3
厘米的长方形从正方形的左边平移到右边，下右图是平移过程中它们重叠部分面积与时间的部分关系图。
（1）正方形的边长为 厘米。
（2）当平移时间为多少秒时，长方形和正方形的重叠部分面积是24平方厘米？
2012年武汉外校数学真题解析答案
一、填空题（第1-2题，每题2分，第3-8题，每题3分，共22分） 1. （1）如果:516%:7★=，那么★= ；
分析与解：将★看成未知数，那么由比例的基本性质可知，35
475%16=÷?=★。 （2）若
31110.516332
（□）?+÷=，则□= 。 时间/秒
3厘米
分析与解：将□看成未知数，那么4
1
343121611313163211315.0=÷=-=÷?=÷+，□□，□。
2. 下列说法：①“神舟九号”载人航天飞船绕地球飞行一天一夜耗电43度，则飞行一小时约耗电1.8
度；②爸爸给小雨买了一辆自行车，原价400元，现在只花了340元购买，相当于商店打八五折出售；③李希的身份证号码为：420104************，那么到今年奥运会时，她已经快11岁了；④2012年欧洲杯英格兰队进入了四分之一决赛，表明该队已经顺利地成为了前四名的球队之一。其中正确的而是 。（填序号）
分析与解：①一天游24小时，那么每小时耗电8.16791.12443.
≈=÷，所以是正确的；②直接算
340%85400=?（元），所以是正确的；③从身份证上得知李希的生日是2001年9月18日，而伦敦
奥运会是2012年7月27日至8月12日，那么1120012012=-（年），到9月份李希才11岁，所以是正确的；④体育比赛中，四分之一决赛指的前8名进前4名的比赛，所以是错误的。
3. 某厂改进生产技术后，生产人员减少
1
5
，而生产量却增加了40%，那么改进技术后的生产效率比 改进前提高了 %。
分析与解：改进后的生产效率是4
7
)5
11(%)401(=
-÷+ ，那么改进后比改进前提高了%754
3
1)147(==÷-。
4. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗。五月初五早晨，妈妈为乐乐准备了4只粽子：一只豆沙馅，
一只香肠馅，两只什锦馅。四只粽子除内部馅料不同外，其他一切相同。乐乐喜欢吃什锦陷的粽子，则他吃两只粽子恰好都是什锦陷的可能性是 。
分析与解：四个粽子中有一个香肠肉馅，一个豆沙馅，两个什锦馅，那么从中拿出一个粽子是什 锦馅的概率是2142=
÷，再剩下的三个中拿出什锦馅的概率是3
1
31=÷，所以吃两个什锦馅的概率是6
1
3121=?。
5. 六年级三个班学生给山区的小学捐献图书。二班捐献的书本数是一班的
56，三班捐献的比二班少1
5
，一班和三班共捐献图书180本。那么这三个班共捐献图书 本。 分析与解：将一班捐的图书看成单位“1”，那么二班捐了65651=?
，三班捐了3
2
)511(65=-?，又一班和三班共捐书180本，那么一班捐书108)3
21(180=+÷（本），所以三个班一起捐书
270)3
2
651(108=++
?（本）。
2524232221
20
19
18
17
16151413121110987654321219890497531071690669025157328127161511518
56÷=???
????+÷??? ??-+=?
?????÷??? ??--+÷??? ??
--+=原式6. 如图，将侧面积是157平方厘米的圆柱体，切拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加 平方
厘米。（π取3.14）
分析与解：圆柱侧面积公式是)(15722cm rh Ch S ===π， 由图可知，圆柱切拼前后，表面积增加的部分是长方体的两个侧面， 那么)(5014.315722cm rh S =÷==增。
7. 在一次师生同台的课本剧表演活动中，学生和老师共54人，已知学生人数比老师的两倍还多，女生
比男生多，女老师比女生少5人，至少有3名男老师，那么这54人中，共有男生 人。 分析与解：老师和学生全部人数是54人，因为学生人数是老师人数的两倍还多，那么老师至多 17人，学生至少37人，又因为男老师至少3人，所以女老师就至多14人，而女生比女老师多5人，所以女生至多19人，最后由于学生人数至少37人，而女生比男生多，所以女生至少19人，故可知女生人数就是19人，所以男生有181937=-（人）。
8. 将自然数从1开始，按如图所表示的规律排列。规定图中第m 行、第n 列的位置记作（m ，n ），如
自然数8的位置是（2，3），则自然数178的位置记作 。 分析与解：由图观察可知，第一行从1开始，每隔一个数都恰 好是奇数的平方，如1，9，25，… …，且每到奇数平方后整个数 列都是往右再往下进行数字的排序。题目现要求指出178的位置， 那么就要找到178所在的列与行，由数的平方知13的平方是169， 那么169后的数即是170，在170所在这一列为第14列，并且继续 往下进行数字的排序从170数到178恰好是第9个数，那么178位 于第9行，第14列，它的位置记作（9，14）。
二、计算题（共6分）
9. 计算（每题3分，共6分）： （1）51122
(6
5)[2(128) 1.4]181573
-÷+-÷ 分析与解：
9
10529415195262541911431519253116524194332443=÷=??????-?÷???????-=?
?????-÷??? ??+++÷?????????? ?
?--+-=原式
（2）245114
[75%(43)0.25][(21)21]3963215
--?÷+÷- 分析与解：
三、应用题（共5分）
10. 某市从2012年5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下：
2012年5月份，该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元。
（1）上表中a= ；b= 。
（2）李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家
5月份用电多少度吗？ 分析与解： （1）由题意65.01502001506.05.122=-÷?-=）（）（a （元/度）；
9.030035065.01501506.05.
232=-÷?-?-=）（）（b （元/度）
（2）本小问弓有两种思路解决：但是两种解题思路在进行正式解题之前都必须进行一个判断，根据题意我们可以得知随着电量的不断增大，会直接导致电费的平均价格的提升，而且用得越多提升的越大，那么我们不得不考虑，此时李老师的家的平均电价为0.62元每度，那么整个用电量在哪个范围之内，据此，我们进行了一个平均价格区间的划分如下。
易看出用电量应该再150度至300度之间。下面是给出的两组解法：
①利用方程的思想，设这个月用电x 度，那么就有方程x x 62.065.0)150(1506.0=?-+?，解得
250=x ；②利用浓度问题的思想，因为平均每度0.62元，而这个平均价格是由两个价格0.6元和0.65
元混合后产生的，这两个价格用电度数比为
2:36.062.0:62.065.0=--）（）（，那么在0.65元部分的价格用电度数为：10023150=?÷（度），所以总共用电250100150=+（度）。 四、操作题（第11题2分，第12题5分，共7分）
11. 在下面由火柴棒拼成的等式中，你能移动一根火柴棒，是等式仍成立吗？
请写出移动后仍成立的两个等式： ① 分析与解：
② 分析与解：
12. 如下左图，一个长为24厘米，宽为3厘米的长方形从正方形的左边平移到右边，下右图是平移过程
中它们重叠部分面积与时间的部分关系图。
（1
（2
，当从第6
秒开始，重叠面积没发生变化，说明长方形的右边宽的部分已经移到正方形右边，此时移动了1262=?（厘米），所以正方形边长为12厘米；
（2）当长方形从正方形从左边移到右边时，会有两个时刻与正方形的重叠面积是24平
方厘米，第一个时刻是长方形刚移到正方形内时，此时长方形的右半部分与正方形重叠，此时移动了
3
厘米
8324=÷厘米，用时428=÷秒；第二个时刻是长方形从正方形内移出时，此时长方形只剩左半部分
与正方形重叠，还剩8324=÷厘米在正方形内，共移动28424=+厘米，用时14228=÷秒。
试卷分析
1、2分 解方程 2个解方程，特别指出第一个用到比例的性质。
2、2分 生活常识题 本题算得上一个亮点，找正确的选项。四个选项中第一个找平均数，比较简单；第二个，百分数之利润问题，也算简单；第三个，对于身份证编号的理解，估计很少小学生知道吧，嘿嘿（不会的人可以百度下）；第四个，四分之一决赛的理解，男生或者喜欢看球的女生估计还好，其他的就只能%>_<%
3、3分 分数应用题 也可算作工程问题，六年级的重点，用参数法比较好做。
4、3分 可能性问题，从三年级开始出现的一个概念，在各大竞赛中都比较常见，外校考试中也连续出现过几次。难度不大，主要是概念的理解。
5、3分分数应用题单位1的转化，学校附加题常考内容，重点在于确定“1”和对应分率。当然，用方程解理解起来会更加直观。
6、3分立体图形圆柱的表面积的简单变化。注意找清楚多出的面积在哪里。
7、3分不等式的运用本题算是试卷的难题了。通过不等式确定人数的范围，再去唯一确定，当然，因为是填空题，有些感觉比较好的同学也可以直接试出答案。
8、3分数列规律本题难度偏上，首先进行分组，注意方向，然后确定位置，应该也是一个比较大的失分点。
9、6分两道四则混合计算。重点指出：计算是王道。6分啊！！！！
10、5分分段计费，实际生活应用题。解这类题型，题意的理解最重要，解题倒不复杂。
11、2分操作题，移火柴棒。很好玩的一题，不过对于大多数学生，是碰运气了。
12、5分综合运用，数形结合。包含了行程，平面图形面积和统计图。
考点分析及复习建议
1、计算计算部分共2题，共8分，占20%的分值。由此可见，计算仍然是外校考试中的重中之重。有志于外校的家长们注意，让孩子们在家里面多练计算，每天定时定量。
2、应用题 4题，共3+3+5+5=16分，占40%的分值。应用题部分以六年级的分数应用题为主，顺应了目前大纲中解决实际问题的倡议，以综合运用为压轴。在复习的时候，应用题这块不需求难，求偏。内容上对于在竞赛中经常出现的平均数、年龄、盈亏、牛吃草、鸡兔，钟面等基本掌握，重点在于五六年级的行程、工程、以及分数应用题。方法上面方程，“1”的转化要重点掌握，参数、比的应用次之，其他方式要会。
3、图形题单独考到的图形只有第6题一题，价值3分。小学部分，对于平面图形要求比较多，一些常见的模型要记、要背，这是解决组合图形所必须的；立体部分，考点较少，长方体和正方体、圆柱和圆锥，基本公式和基本题型掌握即可，不需过深，重点在于表面积的变化和体积的不变。
4、其他内容第4题的可能性问题，第8题的数列规律，都是在数学试卷中常见的题型，平时见的，练得也比较多，掌握基本概念，常用方法后应该比较好解决。重在小心。第7题的不等式运用，对于理解题意和逻辑思维能力要求比较高，平时要多见见，即使不为考试，锻炼思维能力也是不错的。如果考试中遇到，1分钟没有思路，建议放弃。
5、新题型第2题的生活常识和第11题的移火柴棒算是试卷中较为轻松的两个部分，要求孩子们对于生活中的一些常见概念有所了解，不能读“关门书”。印象中有的小学要求孩子每天必须看30分钟新
闻联播，个人觉得，很有必要。
整体而言，外校的考点还是跟以往差不多。重点还是学校大纲上应该要有的一些基本题型，计算，分数应用题，比，图形等等。而以往经常出现的数论，计数，行程，工程，却很少考查，不知道是不是更加贯彻了新课标对于小学生的要求，但是对于2013年的考试，却还是不能忽视，有可能出现这方面的一些内容。
在备考方面，学生一则重视计算速度，二则重点应该放在学校知识点的拓展与深入，多熟悉基础题型，提高解题速度。
2012年10月18日
武汉理工大学数学建模公共选修课考试试题 A题：最低生活保障问题 温家宝总理在十届人大三次会议所作的《政府工作报告》中指出，要贯彻落实科学发展观，着力解决与人民群众切身利益相关的突出问题，高度重视解决城乡困难群众基本生活问题，维护社会稳定，努力构建社会主义和谐社会。 1999年国务院颁布《城市居民最低生活保障条例》，规定对持有非农业户口的城市居民，凡共同生活的家庭成员人均收入低于当地城市居民最低生活标准的，均可从当地政府获得基本生活物质帮助。据民政部统计，截至2004年12月底，全国城市低保对象总人数为2200．8万人，各级财政累计支出低保金172．9亿元，其中中央财政支出102亿元。低保对象月人均领取低保金65元。城市居民低保制度的实施，对于巩固社会稳定, 促进社会进步和经济发展起到了极其重大作用。 但是低保制度在实施过程中，也存在一些具体问题。突出表现在以下两点：一是保障标准的确定问题。既要能维持保障对象的基本生活需求，又要避免标准设置过高降低工作的积极性；既要随着经济发展逐步提高，又要考虑财政承受力；既要和当地经济社会发展水平相适应，又要防止各地在标准的高低上互相攀比。二是保障对象的资格问题。如何实现动态管理下的“应保尽保”，如何合理平衡收入因素和资产、教育、住房、赡养问题等非收入因素，如何制定更为合理有效的“分类施保”政策，避免出现贫困家庭保障不足，相对富裕家庭领取低保的现象。对这些问题，定性分析较多，定量研究尚不多。 1．分析、确定制定保障标准的主要依据。 2．试就以上一个或两个问题，运用数学工具，建立数学模型，并给出相应的结论。 3．对模型作实证分析，并与当前的有关政策和规定进行比较。 B题房价问题 房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。 请根据中国国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的几类城市对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量
数学分析考研2021复旦与山东科大考研真题库 一、山东科技大学《603数学分析》考研真题
二、复旦大学数学系 第1部分数项级数和反常积分
第9章数项级数 一、判断题 1．若收敛，则存在．[重庆大学2003研] 【答案】错查看答案 【解析】举反例：，虽然，但是 发散． 2．若收敛，，则收敛．[南京师范大学研] 【答案】错查看答案 【解析】举反例：满足条件，而且很容易知道 但是发散，所以发散． 二、解答题 1．求级数的和．[深圳大学2006研、浙江师范大学2006研] 解： 2．讨论正项级数的敛散性．[武汉理工大学研]
解：由于，所以当a＞1时收敛，当0＜a＜1时发散；当a＝1时，由于 ，故发散． 3．证明：收敛．[东南大学研] 证明：因为所以 又因为 而收敛，故收敛． 4．讨论：，p∈R的敛散性．[上海交通大学研] 证明：因为为增数列，而为减数列，所以．从而
所以．于是当p＞0时，由积分判别法知收敛，故由Weierstrass判别法知 收敛：当p＝0时，因为发散，所以发散：当p＜0时， 发散． 5．设级数绝对收敛，证明：级数收敛．[上海理工大学研] 证明：因为绝对收敛，所以．从而存在N＞0，使得当n＞N 时，有，则有 ，故由比较判别法知级数收敛． 6．求．[中山大学2007研] 解：由于，所以绝对收敛． 7．设，且有，证明： 收敛．[大连理工大学研] 证明：因为，所以对任意的ε，存在N，当n＞N时，有
， 即 取ε充分小，使得，即．因为，所以单调递减，且 现在证明．因为，即则 ． 所以对任意的ε，存在N，当n＞N时，有．对任意的0＜c-ε＜r，有 所以存在N，当n＞N时，，则 因此 ，
2015年线性代数 一、 ①证明?? ????-C B C A A 可逆的充要条件是AB 可逆 ②若??????-C B C A A 可逆，求出?? ????-C B C A A 的逆。 二、r b A r A r b ==≠),()(,0，b Ax =的所有解集合为S,证明： ①S 中包含1+-r n 个线性无关的向量121,...,+-r n ηηη。 ②ξ是S 中元素充要条件是存在)1...,2,1(,+-=r n i k i ， 111=∑+-=r n i i k ，使得 ∑+-==1 1r n i i i k ηξ 三、已知A 为实正交矩阵，det(A)=1,证明存在正交矩阵P ，使得 21cos ,cos sin 0sin cos 00 01 332211'-++=??????????-=a a a AP P θθθθθ 其中。 四、以下有关矩阵秩的命题在数域F 上判断正误，如正确请说明理由，如不正确请举例说明。 （1）、若)()(B r A r =，则()()* *B r A r = （2）、若())(B r AB r =，则)()(BC r ABC r = （3）、)()('AA r A r = （4）、若一个对称矩阵的秩为r ，则有一个非0 的r 阶主子式。 五、A 是n 阶实对称矩阵，其正负惯性指数分别是q p ,， AX X x f ')(=，记{} n f R x x f x N ∈==,0)(|，证明： （1）、包含于f N 的线性空间维数至多是),max(q p n - （2）、若w 是n R 的一个线性子空间，将二次型限定w 在中，得到的正负惯性指数分别是p1,q1，则有q q p p ≤≤11,。
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武汉理工大学 2003 年研究生入学考试试题 课程 数学分析 （共 页，共 题，答题时不必抄题，标明题目序号） 一、计算下列各题（12′×6=72分） 1．求极限x t x x t x t sin sin sin sin lim -→??? ??，记此极限为)(x f ，求函数)(x f 的间 断点，并指出其类型。 2．求dx e e x x 2arctan ? 3．计算二重积分dxdy e y x D },max{22??，其中?? ????????≤≤≤≤=1010) ,(y x y x D 4．计算曲线积分224y x ydx xdy I L +-=? ，其中L 是以点（1，0）为中心，R 为半径的圆周（R ＞1），取逆时针方向。 5．设xdx x I n n cos sin 4 0?=π，n =0，1，2，…，求n n I ∑∞=0 6．计算dxdy z z ydzdx xdydz )2(2-++??∑ ，∑为曲面22y x z +=介于 z =0与z =1之间的部分，取下侧。 二（15分）、设)(x f 在0=x 的某邻域内的二阶导数存在且连续，0))(3sin (lim 230=+→x x f x x x ，求)0(f ，)0(f '，)0(f ''。 三（15分）、假设f 是一可微函数，求曲面)(x y xf z =上任一点)0(),,(0000≠x z y x M 处的切平面方程，并指出该切平面是否过坐标原点。 四（15分）、设),,(z y x F 的一阶偏导数处处存在且连续，且0>≥??+??-??αz F y F x x F y （α为常数），令)0(),sin ,cos ()(≥-=t t t t F t f ，求证+∞=+∞→)(lim t f t 。
南开大学年数学分析考研试卷答案 一、 设),,(x y x y x f w -+= 其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w . 解：令u =x +y ，v =x -y ，z =x ，则z v u x f f f w ++=； )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、 设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ，证明 a a a a n n n n n n =+++∞ →1 21][lim . 解：因为a n 非负单增，故有n n n n n n n n n na a a a a 11 21)(][≤+++≤ . 由a a n n =∞ →lim ；据两边夹定理有极限成立。 三、 设? ??≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α,试确定α的取值范围，使f (x )分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x + →存在 （2） f (x )在x=0连续 （3） f (x )在x=0可导 解：（1）因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 2 0x x x ++ →α=)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++- -→+ α极限存在，则 2+α0≥知α2-≥. (2)因为)(lim 0 x f x - →=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α . （3）0)0(='- f 所以要使f(x)在0可导则1->α. 四、设f (x )在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关. 解；令U =22 y x +，则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又f (x )在R 上连续，故存 在F （u ）使d F (u )=f (u )du=ydy xdx y x f ++)(22. 所以积分与路径无关。
武汉理工大学2014年数学建模课程论文题目：金属板的切割问题 姓名：李冬波 学院：自动化学院 专业：自动化 学号：012121136329 选课老师：何朗 2014年6月22日
摘要 金属板的切割问题要求对金属板的切割方式进行构思，希望通过数学可以达到效率较高、成本较低的可能性。应该先通过穷举的方法找到所有可能性，在所有可能性中保留最优的可能性。所谓最优即效率较高、成本较低的可能。 在确立了6种切割模式的基础上，再建立非线性规划的数学模型，以模式为基点，将题中订单需求转化为求解金属原料此目标函数的约束条件。在通过LINGO软件的数学规划模型求解功能求解出目标函数值，并通过检验证明，该模型求解出的最少原料使用量与具体切割模式是完全满足题目要求的。 关键词：切割模式、非线性规划、 LINGO
目录 一、问题重述 ------------------------------4 二、问题假设 ------------------------------4 三、模型建立----------------------------------------------5 符号说明------------------------------------------------5 建立模型------------------------------------------------5 四、模型求解----------------------------------------------6 五、求解结果---------------------------------------------7 六、结果检验分析---------------------------------------7 七丶结论-----------------------------------------------8 八、参考文献---------------------------------------------8
学生实验报告书 实验课程名称算法设计与分析开课学院计算机科学与技术学院 指导教师姓名李晓红 学生姓名 学生专业班级软件工程zy1302班2015-- 2016学年第一学期
实验课程名称：算法设计与分析 同组者实验日期2015年10月20日第一部分：实验分析与设计 一．实验内容描述（问题域描述） 1、利用分治法，写一个快速排序的递归算法，并利用任何一种语言，在计算机上实现，同时 进行时间复杂性分析； 2、要求用递归的方法实现。 二.实验基本原理与设计（包括实验方案设计，实验手段的确定，试验步骤等，用硬件逻辑或者算法描述） 本次的解法使用的是“三向切分的快速排序”，它是快速排序的一种优化版本。不仅利用了分治法和递归实现，而且对于存在大量重复元素的数组，它的效率比快速排序基本版高得多。 它从左到右遍历数组一次，维护一个指针lt使得a[lo..lt-1]中的元素都小于v，一个指针gt 使得a[gt+1..hi]中的元素都大于v，一个指针i使得a[lt..i-1]中的元素都等于v，a[i..gt]中的元素都还未确定，如下图所示： public class Quick3way { public static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) { if (lo >= hi) return; int lt = lo, i = lo + 1, gt = hi; Comparable pivot = a[lo];
第二部分：实验调试与结果分析 一、调试过程（包括调试方法描述、实验数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等） 1、调试方法描述： 对程序入口进行断点，随着程序的运行，一步一步的调试，得到运行轨迹； 2、实验数据： "R", "B", "W", "W", "R", "W", "B", "R", "R", "W", "B", "R"； 3、实验现象： 4、实验过程中发现的问题： （1）边界问题： 在设计快速排序的代码时要非常小心，因为其中包含非常关键的边界问题，例如： 什么时候跳出while循环，递归什么时候结束，是对指针的左半部分还是右半部分 排序等等； （2）程序的调试跳转： 在调试过程中要时刻记住程序是对那一部分进行排序，当完成了这部分的排序后， 会跳到哪里又去对另外的那一部分进行排序，这些都是要了然于心的，这样才能准 确的定位程序。 二、实验结果分析（包括结果描述、实验现象分析、影响因素讨论、综合分析和结论等） 1、实验结果：
2015武汉大学数学分析 一、（40分） 1、.) 1()1)(1()1()1)(1(lim 2111------+--→k k n n n x x x x x x x 2、.sin cos cos lim 20x bx ax m n x -→ 3、).11(lim 132 n -+∑=∞→n k n k 4、已知 2 110n a a n n +≤<+，证明数列{}n a 极限存在。 二、已知曲面0)))((,))(((11=------c z y b c z x a F ，且),(t s F 二阶偏导连续，梯度处处不为零，（1）证明，曲面的切平面必过一定点；（2）()y x z z ,=，证明 .02 22222=??? ? ?????-?????y x z y z x z 三、0>n a ，01lim 1n >=??? ? ??-+∞→λa a n n n ，证明，()∑∞=--111n n n a 收敛. 四、求?????????????? ??--??-∞→t t y x t dxdy y x e e e 00t lim 的极限，或证明它不存在。 五、（1）、求积分()??+ππ 00cos dxdy y x 的值，（2）、10<<α，求积分()d t t f ?1 α的上确界，其中)t (f 是连续函数， ().110 ≤?dt t f 六、已知()dt x tx f ?∞+=0 21cos t ，证明， （1）、()x f 在()∞+∞， -上一致收敛； （2）()0lim =∞→t f t （3）()x f 在()∞+∞， -上一致连续； （4）()0dt sin 0 ≤?∞ t t f ；
学生实验报告书 实验课程名称数学实验 开课学院理学院 指导教师姓名尹强 学生姓名李欣 学生专业班级电信科1201班 2013-- 2014学年第 2 学期
实验教学管理基本规范 实验是培养学生动手能力、分析解决问题能力的重要环节；实验报告是反映实验教学水平与质量的重要依据。为加强实验过程管理，改革实验成绩考核方法，改善实验教学效果，提高学生质量，特制定实验教学管理基本规范。 1、本规范适用于理工科类专业实验课程，文、经、管、计算机类实验课程可根据具体情况参 照执行或暂不执行。 2、每门实验课程一般会包括许多实验项目，除非常简单的验证演示性实验项目可以不写实验 报告外，其他实验项目均应按本格式完成实验报告。 3、实验报告应由实验预习、实验过程、结果分析三大部分组成。每部分均在实验成绩中占一 定比例。各部分成绩的观测点、考核目标、所占比例可参考附表执行。各专业也可以根据具体情况，调整考核内容和评分标准。 4、学生必须在完成实验预习内容的前提下进行实验。教师要在实验过程中抽查学生预习情况， 在学生离开实验室前，检查学生实验操作和记录情况，并在实验报告第二部分教师签字栏签名，以确保实验记录的真实性。 5、教师应及时评阅学生的实验报告并给出各实验项目成绩，完整保存实验报告。在完成所有 实验项目后，教师应按学生姓名将批改好的各实验项目实验报告装订成册，构成该实验课程总报告，按班级交课程承担单位（实验中心或实验室）保管存档。 6、实验课程成绩按其类型采取百分制或优、良、中、及格和不及格五级评定。
实验课程名称：__数学实验_____________
实验课程名称：__数学实验_____________
武汉理工大学 2004 年硕士研究生入学考试试题 课 程: 数学分析 （共1 页，共 7 大题，答题时不必抄题，标明题目序号） 一、计算下列各题（10′×6=60分） 1. 计算 x x e x x /220)1(lim +-→ 2. 计算 I = dx x x n ?π0sin ,其中 n 为正整数。 3. 计算 dxdy y x D )(22??+, 其中D 是椭圆区域 1422≤+y x 4. 设 f(x) 连续,Ω为空间区域???≤≤≤+1 02 22z t y x ,dv y x f z t F )]([)(222++=???Ω,求)('t F 5. 设s(a)是曲线 y=ax 2 ( a>0 ) 在y=1下方的一段弧长,求)(lim a s a +∞ → 6. 计算曲线积分22y x ydx xdy I L +-=?，其中L 是圆周2)1(22=+-y x ，取逆时针方向。 二. （15分）设f(x) 有三阶连续导数,且3/10))(1(lim e x x f x x x =++→,求)0(),0(),0('''f f f 三. （15分）证明:在光滑曲面F (x,y,z) = 0上离原点最近的点处的法线必过原点。 四. （15分）计算第二类曲面积分 ?? ∑+dxdy y x e z 22, 其中Σ为由锥面22y x z += 和z=1,z=2所围立体整个表面外侧。 五. （15分）将函数?-=x t x dt e x f 022)(展开成 x 的幂级数。 六. （15分）设f ( x )为定义在),(∞-∞上的实函数, ],[b a x ∈?存在x 的邻域,使得 f ( x )在该邻域上有界, 证明f ( x )在[a, b]上有界。 七. （15分）以下两题任选一题，且仅选一题 1. 讨论正项级数 ∑∞=++1)/1()2ln(n n n a n ( a > 0 ) 的敛散性。 2. 设dx x ax a I ?++=1021)1ln()(, 求 I (1)
学院：理学院 班级：电信科0901 姓名：王伟 学号：0120914420118 1、计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε= 故度量半径R 时允许的相对误差限为1 (*)10.333 r R ε=?≈ 2、求方程2 5610x x -+=的两个根，使它至少具有4 27.982=）。 解：25610x x -+=， 故方程的根应为1,228x =故 1282827.98255.982x =≈+= 1x ∴具有5位有效数字 211 280.0178632827.98255.982 x =-= ≈ =≈+ 2x 具有5位有效数字 3、当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解：
0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 4、给出()ln f x x =的数值表 用线性插值及二次插值计算的近似值。 解：由表格知， 01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144 x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=- 若采用线性插值法计算ln 0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<< 2 112 1 221 11122()10(0.6)()10(0.5)()()()()() x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----= =---=+ 6.93147( 0.6) 5.10826 (x x =--- 1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈-
武汉大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题 科目名称：数学分析 科目代码：369 一、计算下列各题： 1． 2. 2212lim(...),(1)11()1lim()11(1)1n n n n n n a a a a n a a a a a a →∞→∞+++>-=-=---lim(sin 1sin ) 11lim 2sin()cos 2211lim 2sin cos 22(1) x x x x x x x x x x x x x →∞ →∞→∞+-+-++=++=++= 3. 4. 20 30 220sin()lim sin()lim (')313x x x t dt x x L Hospital x →→==?法则2 1 11 arctan 2arctan(21)arctan(21)244 k k k k k πππ∞ =∞ ==+--=-=∑∑ 5. 4812 4812323 3 1... ()59!13!1()...3!11!15! ()()sin ()4()()()24x x A B e e A x B x x A e e e e B A x B x π π πππππππππππππππππππ---+ +++= ++++-?-=??==?--+= ??！7！ 6. " '2"22' 2(,)()(),()(,) (,)()()()() (,)()(23)()(1)()xy x xy y xy x y y xy F x y x yz f z dz f z F x y F x y z f z dz x xy xf xy x x F x y f x y f xy xy y f xy y y =-=-+-= +-+-??设：其中为可微函数，求
2005年南开大学数学分析试题答案 0D .1为成奇函数，所以该积分轴对称，被积函数关于关于由于y x 2.x z f x y f f dx du z y x ??+??+=，其中x z x y ????,由 00=??+??+=??+??+x z h x y h h x z g x y g g z y x z y x 求出 =??--=??x z h g h g g h g h x y y z z y x z z x ,y z z y x y y x h g h g g h g h -- 3.?∑+=-=-=∞→1021 23234)(411lim πx dx n k n n k n 4.t x dt t M +≤?1,2sin 0在),0(+∞∈x 上单调一致趋于0，则)(x f 在),0(+∞∈x 上一致收敛，又t x t +sin 在),0(+∞∈x 上连续，则)(x f 在),0(+∞∈x 上连续。 5.由泰勒公式)!1(!1!21!111+++++=n e n e ξ ，则 )! 1()!1(!1!21!111+≤+=+++-n e n e n e ξ ，后者收敛，则原级数收敛。 6.由拉格朗日中值定理， ,)('1)(122n M n Mx n x f n n x f n ≤≤=ξ后者收敛，由魏尔特拉斯定理，原级数一致收敛。 由)(x s 一致收敛，则可以逐项求导，∑∞== 12)(')('n n n x f x s 也一致收敛且连续，故)(x s 连续可导 7.反证：设存在),(00y x 有0),)((00≠??-??y x y P x Q ，不妨设0),)((00>??-??y x y P x Q ，由连
武汉大学数学分析1992 1．给定数列如下： }{n x 00>x ，?? ? ???+?=?+11)1(1k n n n x a x k k x ，",2,1,0=n （1）证明数列收敛。 }{n x （2）求出其极限值。 2．设函数定义在区间)(x f I 上，试对“函数在)(x f I 上不一致连续”的含义作一肯定语气的（即不用否定词的）叙述，并且证明：函数在区间x x ln ),0(+∞上不一致连续。 3．设函数在区间上严格递增且连续，)(x f ],0[a 0)0(=f ，为的反函数，试证明成立等式： 。 )(x g )(x f []x x g a x x f a f a d )(d )()(0 0∫ ∫?=4．给定级数∑+∞ =+01 n n n x 。 （1）求它的和函数。 )(x S （2）证明广义积分 x x S d )(10 ∫ 收敛，交写出它的值。 5．对于函数??? ????=+≠++=0,00,),(222 22 22y x y x y x y x y x f ，证明： （1）处处对),(y x f x ，对可导； y （2）偏导函数，有界； ),(y x f x ′),(y x f y ′（3）在点不可微。 ),(y x f )0,0(（4）一阶偏导函数，中至少有一个在点不连续。 ),(y x f x ′),(y x f y ′)0,0(6．计算下列积分： （1）x x x x a b d ln 10 ?∫ ，其中为常数，b a ,b a <<0。 （2），其中为平面上由直线∫∫?D y y x e d d 2 D x y =及曲线31 x y =围成的有界闭区域。 武汉大学数学分析1994 1．设正无穷大数列（即对于任意正数}{n x M ，存在自然数，当时，成立）， N N n >M x n >E 为的一切项组成的数集。试证必存在自然数}{n x p ，使得E x p inf =。 2．设函数在点的某空心邻域内有定义，对于任意以为极限且含于的数列 ，极限都存在（有限数）。 )(x f 0x 0 U 0x 0 U }{n x )(lim n n x f ∞ →（1）试证：相对于一切满足上述条件的数列来说，数列的极限是唯一确定的， 即如果和是任意两个以为极限且含于的数列，那么总有 }{n x )}({n x f }{n x }{n x ′0x 0 U )(lim )(lim n n n n x f x f ′=∞ →∞ →。 （2）记（1）中的唯一确定的极限为，试证：)}({n x f A A x f x x =→)(lim 0 。 3．设函数在点的邻域)(x f 0x I 内有定义，证明：导数)(0x f ′存在的充要条件是存在这样的函数，它在)(x g I 内有定义，在点连续，且使得在0x I 内成立等式：
第25章含参变量的积分 1．证明在区间（1，＋∞）上连续可微．[厦门大学研] 证明：令 上连续，对一切，而收敛，从而在[a，b]上一致收敛，因此F（x）在[a，b]上连续，由[a，b]的任意性知，F（x）在（1，＋∞）上连续． 又 显然f（x，t）在a≤x≤b上连续， 显然在[e，＋∞）上有界；在上当时单调趋于0，所以在上一致收敛，又F（x）在[a，b]上收敛，所以F（x）在[a，b]上可微，由[a，b]的任意性可知，F（x）在（1，＋∞）上可微． 2．求积分之值．[山东大学研] 解：由于， 所以 记 则f（x，t）在（或上连续，且对一切
（或[α，1]）上一致收敛． 所以 3．求 解： 方法一： 视a为参数令则 在[0，＋∞）×[0，＋∞）上都连续，因为 及收敛，故根据Weierstrass判别法， 收敛（a≥0）， 又因为所以在上一致收敛（β＞α＞0），于是
方法二： 由 得到 4．设，求．[武汉大学研] 解：本题利用Leibniz求导法则．当x＞1时，有
所以＝0．当x＜0时，有 所以＝0．当x∈（0，1）时，有 从而．所以在x＝0、1处不存在． 5．设，求．[南京大学、武汉理工大学研] 解：由含参变量积分的可微性知 因此
故 6．证明：在[a，＋∞）上一致收敛，但在（0，＋∞）上不一致收敛．[南京师范大学研] 证明：由Dirichlet判别法可知在[a，＋∞）上一致收敛．由于反常积分收敛，故对任意的正数ε0与M，总存在某个x＞0，使得 即 现令，则由上面的不等式知 所以在（0，＋∞）内不一致收敛． 7．证明：含参变量反常积分在[δ，＋∞]上一致收敛，其中δ＞0，但是在（0，＋∞）内不一致收敛．[武汉大学研] 证明：（1）对任意的A＞0，当x∈[δ，＋∞]时，有
武汉理工大学网络学院试卷参考答案 课程名称：高等数学 专业班级：2010秋入学考试 一、选择题（5×3分 = 15分） B;A;D;B;A; 二、填空题（5×3分 = 15分） 1、2350x y +-= 2、1,1==b a 3、2=x 4、x e 2 5、2 121cos 2y x x c x c =-+++ 三、计算题（5×8分 = 40分） 1、由 ???≥-≥00 x x x 得 ???≥≥x x x 20 或 ? ??≥-≥0)1(0x x x ， 从而定义域为 {}01=≥x x x 或． 2、2 22 21)1)(1(ln )1ln()(x x x x x x x x x y ++++-++=++-=- )()1ln(11ln 22 x y x x x x -=++-=++=； 故)(x y 为奇函数. 3、1 sin 1sin x y e x '??'= ??? 1 sin 11 cos x e x x '??=?? ???1 sin 211cos .x e x x =-? 4、令2sin x t =，得2cos dx tdt =，,22t ππ?? ∈- ??? 原式(2sin )2cos t tdt =? 322232sin cos 32sin (1cos )cos t tdt t t tdt ==-?? 2432(cos cos )cos t t d t =--? 351 132cos cos 35t t C ??=--+ ???
3 5 32 32.35C =-+ + 5、标准化得1 ln y y x x '- =，其中1()P x x =-，()ln Q x x =， 通解为()()[()]P x d x P x d x y e Q x e d x C -??=+?l n l n [l n ]x x e xe dx C -=+?]ln [?+=C dx x x x ]ln [ln C x x +=. 代入初始条件,x e y e ==，得所求特解为)ln ln 1(x x y +=. 四、应用题（2×10分 = 20分） 1、设2r A π=，10=r 厘米，05.0=?r 厘米 r r dA A ??=≈?∴π205.0102??=ππ =（厘米2），即面积大约增大了π厘米2． 2、?-=10 22)1(2dx x V π ?-+=1024)21(2dx x x π ππ154 )32 511(2=-+= 五、证明题（1×10分 = 10分） 1、证： 设x e x x f -+=2)(， 则有2(0)10,(2)40f f e =>=-<，显然()f x 在[0,2]连续，故由零点定理知，存在)2,0(0∈x 使0)(0=x f ，即方程02=-+x e x 在(0,2)有实根．
2005 年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答（武 汉 大 学） 一、设{}n x 满足: 11||||||n n n n n x x q x x +--=-,||1n q r ≤< ，证明{}n x 收敛。 证明：（分析：压缩映像原理） 1111 11 11 11 2121211,|12 ||||||||, ||||(1...)|| ||1||111ln || l n n n n n n n n n p p n p n i i n n i n n p n r m q m x x q x x m x x Cauchy x x x x m m x x m x x m m x x m m m x x N εε+--+--+-+=+--+= <<-=-<-?-≤ -<+++---=-<----=∑令：则显然|(此即压缩映像原理证明)以下证明压缩映像原理利用收敛准则，对取n ||n p n n N m x x ε+>-≤+1,对任意的。从而知命题收敛 二、对任意δ > 0。证明级数01 n n x +∞ =∑ 在(1,1+δ)上不一致收敛。 证明：（利用反证法，Cauchy 收敛准则和定义证明。） 10,(1,1),,,1 1()11111(1,{1(1,1),M N M n n n n N x N n M N x x x x x x min εδεδδ-+=?>?∈+?>->=>-∈+?+∑如果级数收敛， 那么对于当时 只需令代入上式，矛盾 从而知非一致收敛 三、设1 ()||sin ,"()f x x y f x =-?求 解，（本题利用莱布尼兹求导法则：）
第八届湖北省高等学校教学成果奖申请简表推荐学校（盖章）：武汉理工大学成果科类：理学 申报等次：湖北省教学成果一等奖 成果名称：面向创新人才培养的大学数学课程教学改革研究与实践 完成单位：武汉理工大学成果主要完成人： 姓名专业技术 职称 所在单位 近三年年均 教学工作量 在该成果中承担的工作 何朗副教授理学院320全面负责课题各项工作吴传生教授理学院310精品课程建设、教材编写陈建业讲师理学院630精品课程建设、网络资源建设楚杨杰副教授理学院600精品课程建设、教学内容改革方玺副教授理学院620精品课程建设、数字化资源建设韩华教授理学院550精品课程建设、数字化资源建设彭斯俊教授理学院410精品课程建设、教学团队建设陈晓江副教授理学院580精品课程建设、国际化能力培养一、成果主要创新点（400字以内） （1）结合专业特色进行课程分类教学，结合个性化培养需要进行分层教学，结合数学应用创新的需要开展数学实践教学，研究并构建了富有特色的数学立体化课程教学体系。 （2）搭建了国家级和省级精品课程等为主体的课程平台，根据人才培养需要，采用基础、提高、实践等模块进行组合教学，对学生创新能力培养成效显著。 （3）课程教学资源内容丰富、系统完整、功能齐全、科学实用。建设有国家级精品资源共享课、国家级精品视频公开课，均在“爱课程”网免费向社会开放，建有省级精品课程多门；精心打造精品教材和编写多部优质教材，如《经济数学》系列教材（第三版）是“十二五”国家级规划教材，被全国100多所高校采用。 （4）师资队伍建设成效显著，形成了一套完善的团队建设及运行保障制度；人才培养质量显著提高，各类大学生学科科技竞赛中获奖人数稳步提升，本科生利用相关数学知识发表高质量论文多篇，数学教学获得了学生的高度认可。 二、成果主要内容概述（1000字以内） 成果在前期工作基础上，经过进一步研究与实践，为适应信息时代创新人才培养和数学课程教育教学改革的要求，在大学数学课程教学内容、教学方法和手段、教材建设、师资队伍建设和创新人才培养等方面，目标明确，措施得力，取得了丰硕成果。 （1）针对不同创新人才培养要求进行课程设置，结合一流专业建设工程，根据专业特色进行课程分类教学，支撑学校行业领军人才的培养；结合个性化培养需要进行分层教学，根据专业的需要，选用不同的层次类的教学内容，形成“教材分层、学生分层、培养分层”的教学模式；结合数学应用创新的需要开展数学实践教学，构建“432”数学建模教学和竞赛培训模式。
第11章幂级数 1．求在处的T aylor级数，并求其收敛半径．[浙江大学研] 解： 再求收敛半径，令，则 即 所以|x|<1．故级数收敛半径为1． 2．试求下列级数的和： （1） （2）[山东大学研] 解：（1）的收敛区间为（－1，1），所以 故
（2）的收敛区间为（－1，1） 所以 又 所以 故 3．已知绝对收敛，收敛，证明：级数收敛．[哈尔滨工业大学研] 证明：根据阿贝尔引理的一般形式，对任意的自然数p考虑 （1）由于级数收敛，故对，当n>N时，对任何自然数p，有 （2）由于绝对收敛，设，从而对任意的自然数n有并且由于，从而
根据①式，对，当n>N时，对任何自然数p有 由的任意性及柯西准则知，级数收敛．4．设在x=-2处条件收敛，求其收敛半径．[东南大学研] 解：当x=-2时，原幂级数为条件收敛，所以不收敛，即当x=4时不收敛．故其收敛半径为． 5．求幂级数的收敛域．[天津工业大学研] 解：由于，又，故收敛半径R=1．由积分判别法知发散，所以发散；由Leibniz判别法知 收敛．故的收敛域为[-1，1）． 6．求幂级数的收敛域及和函数．[哈尔滨工业大学2006研] 解：因为，所以收敛半径R=1．因为当x=0时，幂级数 收敛；当x=2时，幂级数发散．故该幂级数的收敛域为[0，2）．7．求的收敛域及和函数．[东南大学2006研]
解：因为，当x-1=±1时，该级数变为，其一般项均不趋于0，所以当x-1=±1时该级数发散，故该级数的收敛域为（0，2）．在（0，2）内该幂级数可以逐项求导、求积分，所以有 8．求的收敛域，并求该级数的和．[华南理工大学研] 解：因为，所以R=1．当x=±1时，有 ， 所以的收敛域为（-1，1）．由于 这两个级数在（-1，1）内可以逐项求导、求积分．令 ， 则有 令，则 同时令，所以