广东省2016届高三数学文一轮复习专题突破训练
导数及其应用
2016年广东省高考将采用全国卷,下面是近三年全国卷的高考试题及2015届广东省部分地区的模拟试题,供同学们在复习时参考。 一、选择、填空题
1、(2015年全国I 卷)已知函数()3
1f x ax x =++的图像在点()()
1,1f 的处的切线过点()2,7,
则 a = .
2、(2014年全国I 卷)已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值 范围是
(A )()2,+∞ (B )()1,+∞ (C )(),2-∞- (D )(),1-∞- 3、(佛山市2015届高三二模)不可能以直线1
2
y x b =+作为切线的曲线是( ) A .sin y x = B .1y x
=
C .ln y x =
D . x y e = 4、(广州市2015届高三一模)已知e 为自然对数的底数,则曲线2y =e x
在点()1,2e 处的切线斜率为
5、(华南师大附中2015届高三三模)函数2ln 2)(x x x f +=在1=x 处的切线方程是 ***
6、(惠州市2015届高三4月模拟)函数3
2
()34f x x x =-+在x = 处取得极小值. 7、(茂名市2015届高三二模)函数2ln 1y x =+在点(1,1)处的切线方程为
8、(珠海市2015届高三二模)已知函数32
()1f x ax x =-+在(01),
上有增区间,则a 的取值范围是 .
9、(深圳市2015届高三上期末)函数ax
x x f 1
)(+=在)1,(--∞上单调递增,则实数a 的取值范围是( )
A.),1[+∞ B 。]1,0()0,(U -∞ C 。]1,0( D 。),1[)0,(+∞-∞U
10、(韶关市2015届高三上期末)设曲线ln y x x =在点(,)e e 处的切线与直线10ax y ++=垂直, 则=a
11、(珠海市2015届高三上期末)函数()ln x
f x e x =?在点()1,0处的切线方程为
二、解答题
1、(2015年全国I 卷)设函数()2ln x
f x e
a x =-.
(I )讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数; (II )证明:当0a >时()22ln f x a a a
≥+.
2、(2014年全国I 卷)设函数()()2
1ln 12
a f x a x x bx a -=+-≠,曲线()()()11y f x f =在点,处的切线斜率为0 (I )求b;
(II )若存在01,x ≥使得()01
a
f x a <
-,求a 的取值范围。
3、(2013年全国I 卷)已知函数f(x)=e x (ax +b)-x 2
-4x ,曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y =4x +4. (1)求a ,b 的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
4、(佛山市2015届高三二模)设常数a >0,R ∈λ,函数32)()()(a x a x x x f +--=λ. (1)若函数)(x f 恰有两个零点,求λ的值;
(2)若)(λg 是函数)(x f 的极大值点,求)(λg 的取值范围.
5、(广州市2015届高三一模)已知t 为常数,且01t <<,函数()()1102t g x x x x -??=+> ???
的最小值和函数
()222h x x x t =-++的最小值都是函数()32f x x ax bx =-++(,a b ∈R )的零点.
(1)用含a 的式子表示b ,并求出a 的取值范围; (2)求函数()f x 在区间[]1,2上的最大值和最小值.
6、(华南师大附中2015届高三三模)已知a b ,是实数,1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点.
(1)求a 和b 的值;
(2)设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+,求()g x 的极值点;
(3)设()(())h x f f x c =-,其中[22]c ∈-,
,求函数()y h x =的零点个数.
7、(惠州市2015届高三4月模拟)已知a R ∈,函数3()42f x x ax a =-+.
(1)求()f x 的单调区间;
(2)证明:当01x ≤≤时,()20f x a +->.
8、(茂名市2015届高三二模)设函数()()()()()ln ,
212.f x x g x a x f x ==---
(1)当1a =时,求函数()g x 的单调区间;
(2)若对任意()10,,02x g x ??∈> ???
恒成立,求实数a 的最小值;
(3)设()()1122,,,A x y B x y 是函数()y f x =图象上任意不同的两点,线段AB 的中点为
()00,C x y ,直线AB 的斜率为k . 证明:()0k f x '>.
9、(梅州市2015届高三一模)已知函数()(,,)x x f x ae be cx a b c R -=--∈的导函数'()f x 为偶函数,且曲线()y f x =在点(0,(0))f 年的切线的斜率为2-c 。
(1)确定,a b 的值;
(2)当c =1时,判断f (x )的单调性; (3)若f (x )有极值,求c 的取值范围。
10、(深圳市2015届高三二模)已知函数()ln (,)R b
f x x ax a b x
=-+
∈,且对任意0x >,都有0)1
()(=+x
f x f .
(1)求a ,b 的关系式;
(2)若)(x f 存在两个极值点1x ,2x ,且12x x <,求出a 的取值范围并证明0)2
(2>a
f ;
(3)在(2)的条件下,判断()y f x =零点的个数,并说明理由.
11、(湛江市2015届高三二模)已知函数()x
f x e =,()ln ln
g x x a =-(a 为常数, 2.718e =???),
且函数()y f x =在0x =处的切线和()y g x =在x a =处的切线互相平行.
()1求常数a 的值;
()2若存在x 使不等式()x m x f x ->?成立,求实数m 的取值范围;
()3对于函数()y f x =和()y g x =公共定义域内的任意实数0x ,把()()00f x g x -的值称为两函
数在0x 处的偏差.求证:函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
12、(珠海市2015届高三二模)已知1,0≠>a a ,ak x x f -=)(,22)(a x x g -=.
(1)若方程()
log log ()f x a
a g x = 有解,求k 的取值范围;
(2)若函数)(x h 满足:)()()(x kf x g x h -=',求当2=a 时函数)(x h 的单调区间.
13、(潮州市2015届高三上期末)已知函数()ln a
f x x x
=-
,其中R a ∈. ()1当2a =时,求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程;
()2如果对于任意()1,x ∈+∞,都有()2f x x >--,求a 的取值范围.
14、(东莞市2015届高三上期末)设函数
(1)当a =1时,求 f (x )的极小值; (2)讨论函数零点的个数;
(3)若对任意恒成立,求实数a 的取值范围.
15、(佛山市2015届高三上期末)设函数()e x
f x x a
=-的导函数为()f x '(a 为常数,e 2.71828=???
是自然对数的底数).
(Ⅰ) 讨论函数()f x 的单调性;
(Ⅱ) 求实数a ,使曲线()y f x =在点()()2,2a f a ++处的切线斜率为326127
4
a a a +++-;
(Ⅲ) 当x a ≠时,若不等式
()
()
1f x k x a f x '+-≥恒成立,求实数k 的取值范围.
参考答案
一、选择、填空题 1、【答案】1 【解析】
试题分析:∵2
()31f x ax '=+,∴(1)31f a '=+,即切线斜率31k a =+, 又∵(1)2f a =+,∴切点为(1,2a +),∵切线过(2,7),∴27
3112
a a +-=+-,解得a =1.
考点:利用导数的几何意义求函数的切线;常见函数的导数;
2、【答案】:C
【解析】:由已知0a ≠,2()36f x ax x '=-,令()0f x '=,得0x =或2x a
=, 当0a >时,()22,0,()0;0,
,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ????'''∈-∞>∈<∈+∞> ? ?????
; 且(0)10f =>,()f x 有小于零的零点,不符合题意。
当0a <时,()22,
,()0;,0,()0;0,,()0x f x x f x x f x a a ?
???'''∈-∞<∈>∈+∞< ? ?????
要使()f x 有唯一的零点0x 且0x >0,只需2
()0f a
>,即2
4a >,2a <-.选C 3、B 4、2e
5、4x -y -3=0
6、2 【解析】 由2()360f x x x '=-=得:02x x ==或,列表得:
x (,0)-∞
0 (0,2)
2
(2,)+∞
()f x ' + 0
_
+ ()f x
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以在=2x 处取得极小值.
7、210x y --=
8、2()3
+∞,
9、B 10、
12
11、0ex y e --=
二、解答题
1、【答案】(I )当0a £时,()f x ¢没有零点;当0a >时,()f x ¢存在唯一零点.(II )见解析 【解析】
试题分析:(I )先求出导函数,分0a £与0a >考虑()f x '的单调性及性质,即可判断出零点个
数;(II )由(I )可设()f x ¢在()0+¥,
的唯一零点为0
x ,根据()f x '的正负,即可判定函数的图
像与性质,求出函数的最小值,即可证明其最小值不小于2
2ln
a a a
+,即证明了所证不等式.
试题解析:(I )()f x 的定义域为()
0+¥,
,()
2()=20x a
f x e x x
¢->.
当0a £时,()0f x ¢>,()f x ¢没有零点; 当0a >时,因为2x e 单调递增,a
x
-单调递增,所以()f x ¢在()0+¥,
单调递增.又()0f a ¢>,
当b 满足04a b <<
且1
4
b <时,(b)0f ¢<,故当0a >时,()f x ¢存在唯一零点. (II )由(I ),可设()f x ¢在()0+¥,
的唯一零点为0
x ,当()0
0x x ?,时,()0f x ¢<;
当()0+x x ∈∞, 时,()0f x ¢>. 故()f x 在()00x ,单调递减,在()0+x ¥,
单调递增,所以当0
x x =时,()f x 取得最小值,最
小值为0()f x . 由于0
20
2=0x a
e
x -
,所以00022()=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a ++?. 故当0a >时,2()2ln
f x a a a
?. 考点:常见函数导数及导数运算法则;函数的零点;利用导数研究函数图像与性质;利用导数证明不等式;运算求解能力.
2、【解析】:(I )()(1)a
f x a x b x
'=
+--,由题设知 (1)0f '=,解得b 1. ……………4 分 (Ⅱ) f (x )的定义域为(0, ),由(Ⅰ)知, 2
1()ln 2
a f x a x x x -=+-, ()1()(1)111a a a f x a x x x x x a -??'=
+--=-- ?-??
(i)若12a ≤
,则
11a
a
≤-,故当x (1, )时, f '(x ) 0 , f (x )在(1, )上单调递增. 所以,存在0x 1, 使得 0()1a f x a ≤-的充要条件为(1)1a f a ≤-,即1121a a
a
--<-
所以 2 1 a 2 1;
(ii)若
112a <<,则11a a >-,故当x (1, 1a a -)时, f '(x ) < 0 , x (,1a
a
+∞-)时,()0f x '>,f (x )在(1, 1a a -)上单调递减,f (x )在
,1a
a
+∞-单调递增. 所以,存在0x 1, 使得 0()1a f x a ≤-的充要条件为()11a a
f a a
≤--,而
()2()ln 112111a a a a a
f a a a a a a
=++>
-----,所以不和题意. (ⅲ) 若1a >,则11(1)1221
a a a
f a ---=
-=<-。 综上,a 的取值范围为:()
()21,211,---?+∞ 3、解:(1)f′(x)=e x
(ax +a +b)-2x -4.
由已知得f(0)=4,f ′(0)=4,故b =4,a +b =8. 从而a =4,b =4.
(2)由(1)知,f(x)=4e x (x +1)-x 2
-4x.
f ′(x)=4e x
(x +2)-2x -4=4(x +2)?
????e x -12.
令f′(x)=0,得x =-ln 2或x =-2.
从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f ′(x)>0;当x∈(-2,-ln 2)时,f ′(x)<0. 故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减.
当x =-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e -2
). 4、
5、(1)解: 由于01t <<,0x >,则()11112122t t g x x x t x x
--??=+≥??=- ???, 当且仅当1t
x x
-=,即1x t =-时,()min
1g x t =-????. …………………1分 ()222h x x x t =
-++()
2
11x t =
-++,当1x =时,()min 1h x t =+????.
………………………2分
∵01t <<,
∴112t <+<,011t <-<.
由于()32
f x x ax bx =-++()
2x x ax b =-++,结合题意,可知,
方程2
0x ax b -++=的两根是1t +,1t -, ………………………3分 故11t t a ++-=,11t t b +?-=-. ………………………4分 ∴2
221122a t t b =++?-=-. ∴2
112
b a =-
. ………………………5分 而方程2
0x ax b -++=的一个根在区间()
1,2上,另一个根在区间()0,1上. 令()2
x x ax b ?=-++,
则()()()
00,110,2220.b a b a b ????
=?
=-++>??
=-++?
………………………6分
即2
22110,
21110,212210.2a a a a a ?-?
?
-++->???
-++-?
解得22,02,2.a a a a ?<->?<?
≠?或 ………………………7分
∴22a <<. ………………………8分 ∴2
112
b a =-
,22a <<. 求a 的取值范围的其它解法:
另法1:由11a t t =++-,得22221a t =+-, ………………………6分 ∵01t <<,
∴2
24a <<. ………………………7分 ∵11a t t =++-0>,
∴22a <<. ………………………8分 另法2:设()11t t t ?=++-,01t <<, 则()2
11110212121t t
t t t t
?--+'=
-=<+--, ………………………6分
故函数()t ?在区间()0,1上单调递减. ∴()(
)
2,2t ?∈
. ………………………7分
∴22a <<. ………………………8分 (2)解:由(1)得()3
2
2112f x x ax a x ??
=-++-
???
, 则()2
2
13212
f x x ax a '=-++-
. ………………………9分 ∵22a <<,
∴二次函数()2
213212f x x ax a '=-++-
的开口向下,对称轴233
a x =<. 故函数()f x '在区间[]1,2上单调递减. ………………………10分 又()()2
21113212022
f a a a '=-++-
=--<, ………………………11分 ∴当[]1,2x ∈时,()()10f x f ''≤<.
∴函数()f x 在区间[]1,2上单调递减. ………………………12分 ∴函数()f x 的最大值为()2
112
f a a =-
,最小值为()2246f a a =-+-. ………………………14分
6、
7、解:(1)由题意得2()122f x x a
'=-
…………1分
当0a ≤时,()0f x '≥恒成立,此时()f x 的单调递增区间为()+-∞∞, ………………2分
当0a >时,()12()()66
a a
f x x x '=-
+, …………4分 此时函数()f x 的单调递增区间为 (-∞,6a -] ,[6a
,+∞). ………5分
()f x 的单调递减区间为 [6a -,6
a
]. ………………6分
(2)证明:由于0≤x ≤1,故
当a ≤2时,f (x )+|a -2|=4x 3-2ax +2≥4x 3
-4x +2. ………………
8分
当a >2时,f (x )+|a -2|=4x 3+2a (1-x )-2≥4x 3+4(1-x )-2=4x 3
-4x +2.…
10分
设g (x )=2x 3
-2x +1, 01x ≤≤,
则g ′(x )=6x 2
-2=6(x -33)(x +33
), …………11分 于是
………………12分
所以,g (x )min =g (
33)=1-439>0 ∴ 当01x ≤≤时,3
2210x x -+>
………………13分
故3
()24420f x a x x +-≥-+>. ∴ 当01x ≤≤时,()20
f x a +->
………………14分
(注:此问还可以按分类讨论的思想,令2)()(-+=a x f x h ,
证明当10≤≤x 时,0)(min >x h 成立,请参照给分)
8、解(1)()g x 的定义域为(0,)+∞
当1a =时,()12ln g x x x =--, ()22
1x g x x x
-'=-=………………………1分 当()0,2x ∈时,()0g x '<,()g x 单调递减 当()2,x ∈+∞时,()0g x '>,()g x 单调递增,
综上,()g x 的单调递增区间为()2,+∞,单调递减区间为()0,2 ………………3分 (2)由题意知:()()212ln 0a x x --->,在10,2x ??∈ ???
上恒成立,
x 0 (0,
33) 33
(
3
3
,1) 1 g ′(x )
- 0 + g (x )
1
减
极小值
增
1
即()()212ln a x x -->在区间10,2?? ???
上恒成立,
又10x ->,∴2ln 21x a x >+
-在区间10,2??
???
上恒成立 …………………………4分 设()2ln 21x h x x =+-,10,2x ??∈ ???,则()()()()
22
22
12ln 22ln 11x x x x x h x x x -+-+'==-- …5分 又令()2122ln ,0,2m x x x x ??
=
-+∈ ???
,则()22
2222x m x x x x -+'=-+= ……6分 当10,2x ?
?∈ ???时,()0m x '<,()m x 单调递减,∴()1422l n 202m x m ??>=-->
???
,
即()0h x '>在10,2?
? ???
恒成立 ………………………………………………………7分
所以()h x 在10,2?? ???单调递增,∴()1
2ln 12224ln 21
22
h x h ??
<=+=-
???
,
故24ln 2a ≥-,所以实数a 的最小值24ln 2-. …………………………………8分 (3)2121
2121
ln ln y y x x k x x x x --=
=
--, …………………………………………………………9分 又1202x x x +=
,所以()()00012
12
ln x x f x x x x x =''===+ ……………………10分 要证()0k f x '>.
即证212112ln ln 2
x x x x x x ->
-+,不妨设120x x <<,即证()2121122ln ln x x x x x x -->+, 即证21221
1
21ln 1x x x x x x ??
- ???>+………………………………………………………………11分 设2
1
1x t x =
>,即证:()214ln 211t t t t ->
=-++,
也就是要证:4
ln 201
t t +
->+,其中()1,t ∈+∞, ……………………………12分 事实上:设()()()4
ln 21,1
k t t t t =+-∈+∞+, 则()()()()()()
22
222
14114
0111t t t k t t t t t t t +--'=-==>+++,……………………………13分 所以()k t 在()1,+∞上单调递增,因此()()10k t k >=。
9、解:(1)对()f x 求导得, c be ae x f x x -+='-)(, …………1分 由()f x '为偶函数,知()()f x f x ''-=, …………2分 即成立对R x e e b a x x ∈?=---,0))((,所以a b =. …………3分 又,2)0(c c b a f -=-+='
解得1,1a b ==. …………4分 (2)当1=c 时,x e e x f x x --=-)(,那么
.01121)(>=-?≥-+='--x x x x e e e e x f …………6分
故
()f x 在R 上为增函数. …………7分
(3)由(1)知c e e x f x x -+='-)(,
而,22=?≥+--x x x x e e e e 当0x =时,等号成立. …………8分
下面分三种情况进行讨论. 当2
当2>c 时,令,t e x =方程01,012
=+-=-+ct t c t
t 即有两根,
,2
4242221-+=<--=c c t c c t …………11分
所以()0f x '=有两个根.ln ,ln 2211t x t x == 当12x x x <<时,()0f x '<;当2x x >时,()0
f x '>,
从而()f x 在2x x =处取得极小值. …………13分
综上,若()f x 有极值,则c 的取值范围为),2(+∞. …………14分 10、解:(1)法一:根据题意:令1x =,可得0)1
1
()1(=+f f ,
∴(1)0f a b =-+=,…………………………………………………………………………1分 经验证,可得当a b =时,对任意0x >,都有0)1()(=+x
f x f ,
∴b a =.………………………………………………………………………………………2分 法二:1()()ln ln b a
f x f x ax x bx x x x
+=-+
--+Q b a
ax bx x x
=-+
-+, 1
()()0b a x x
=-+=,………………………………………………1分
∴要使上式对任意0x >恒成立,则须有0b a -=,即b a =.……………………………2分 (2)由(1)可知()ln a
f x x ax x
=-+
,且0x >, 222
1'()a ax x a
f x a x x x
-+-∴=--=,………………………………………………………3分 令2()g x ax x a =-+-,
要使)(x f 存在两个极值点1x ,2x ,则须有()y g x =有两个不相等的正数根,
20102140(0)0a a a g a >???>?∴???=->?=-?或20
102140(0)0
a a a g a ??>????=->?=->??,解得102a <<或无解,………………………5分 a ∴的取值范围102a <<,可得2
1028
a <<, 由题意知2ln 2
2ln 2222ln )2(3
322--+=+-=a a a a a a a f ,
令32()2ln ln 22x h x x x =+--,则2422
223344
'()22x x x h x x x x
-+-=--=, 而当1
(0,
)2
x ∈时,4434434(1)0x x x x -+-=---<,即'()0h x <, ()h x ∴在1
(0,
)2
上单调递减,
∴1163()()2ln 24ln 23ln e 021616
h x h >=-+-
->->, 即102a <<时,0)2
(2
>a f .……………………………………………………………7分
(3)∵222
1'()a ax x a f x a x x x
-+-=--=,2
()g x ax x a =-+-, 令0)('=x f 得:211142a x a --=,221142a x a
+-=,由(2)知210< 称轴1 (1,)2x a = ∈+∞,2140a ?=->,(0)0g a =-<, ∴21x >,又121x x =,可得11x <, 此时,)(x f 在),0(1x 上单调递减,),(21x x 上单调递增,),(2∞+x 上单调递减, 所以()y f x =最多只有三个不同的零点,…………………………………………………10分 又∵(1)0f =, ∴()f x 在)1,(1x 上递增,即1[,1)x x ∈时,()0f x <恒成立, 根据(2)可知0)2(2>a f 且21028a <<所以21(,1)2a x ?,即2 1(0,)2 a x ∈ ∴2 01(,)2 a x x ?∈,使得0)(0=x f ,……………………………………………………12分 由0101x x <<<,得 011x >,又0)1(,0)()1 (00 ==-=f x f x f , ∴()f x 恰有三个不同的零点:0 01 , 1,x x . 综上所述,()y f x =恰有三个不同的零点.………………………………………………14分 【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,包括函数的极值、零点,二次方程根的分布等知识,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力,同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想. 11、 12、解:(1)由题意得:[][][]?? ???-=->->-3......)(2......01....... 02222 2a x ak x a x ak x ......2分(全对2分,不全对最多1 分) 易知[1][3]成立时,[2]显然成立,所以只需解[1][3]。 由[3]得:)1(22 k a kx +=......[4]......3分 当0=k 时,由0>a 知[4]无解;......4分 所以0≠k ,k k a x 2) 1(2+=,代入[1]得: 0) 1(02)1(2)1(2)1(2222>-?>-+?>+?>+k k k k k k k k ak k k a 0)1)(1(>+-k k k 即......6分 )1,0()1,(?--∞∈∴k ......7分 (2)42)()()(22-+-=-='k kx x x kf x g x h ......8分 2 716k -=?......9分 22 121212124747 0()077 () (4747) 077 1616()0, (22) ()0,()(,)(,)()10111().........3k k h x h x R k k k k k h x x x x x x x h x h x x x h x x x '≤-≥?≤≥∴- <>--+-'==='<>>-∞+∞当或者时,,恒成立,在上单调递增;当时,,令,得当或者时,所以在和单调递增;同理,在,单调递减,分分 分 22 22 4747 ();77 47471616()(,),(,);77221616(,) (1422) k k h x R k k k k k h x k k k k ∴≤- ≥--+--<<-∞+∞--+-当或时,的递增区间为当时,的递增区间为递减区间为分 13、(1)解:当2a =时,由已知得2 ()ln f x x x =-,故212()f x x x '=+,………...… 2分 所以'(1)123f =+=,又因为2 (1)ln121 f =- =-, 所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为23(1)y x +=-, 即350x y --=;…………………………………………………………... 5分 (2)解:由()2f x x >-+,得ln 2a x x x - >-+,又(1,)x ∈+∞, 故2ln 2a x x x x <+-. …………………………7分 设函数2 ()ln 2g x x x x x =+-, 则1 '()ln 22ln 21g x x x x x x x =+? +-=+-. ………….…..……… 8分 因为(1,)x ∈+∞, 所以ln 0x >,210x ->, 所以当(1,)x ∈+∞时,'()ln 210g x x x =+->,…………………… 10分 故函数()g x 在(1,)+∞上单调递增. 所以当(1,)x ∈+∞时,()(1)1ln11211g x g >=?+-?=-.. …….… 12分 因为对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+成立, 所以对于任意(1,)x ∈+∞,都有()a g x <成立. 所以1a ≤-. ………………………………..……… 14分 14、解:(本小题满分14分) (1)当时1=a ,x x x x f 2 ln )(++ =,易得()f x 的定义域为(0,)+∞ …………1分 222 21)('x x x x x f -=-=∴ ……………2分 ∴当)2,0(∈x 时,()0f x '<,此时()f x 在)2,0(上单调递减; 当),2(+∞∈x 时,()0f x '>,此时()f x 在),2(+∞上单调递增; …………3分 ∴当2=x 时,()f x 取得极小值22ln )2(+=f ∴()f x 的极小值为22ln )2(+=f …4分 (2) 函数)0(6 216)(')(2>--=-=x x x a x x x f x g 令()0g x =,得)0(1223>-=x x x a ,设)0(12 2)(3 ≥-=x x x x ? …………5分 )2)(2(4 1 421)('∴2-+-=-=x x x x ? 当)2,0(∈x 时,()0x ?'>,此时()x ?在)2,0(上单调递增; 当),2(+∞∈x 时,()0x ?'<,此时()x ?在),2(+∞上单调递减; 所以2= x 是()x ?的唯一极值点,且是极大值点,因此2=x 也是()x ?的最大值点, ∴()x ?的最大值为3 2 )2(= ?,又(0)0?=,结合)(x y ?=的图像(如图),可知……6分 ① 当32>a 时,函数()g x 无零点; ② 32=a 时,函数()g x 有且仅有一个零点; ③当3 2 0< 综上所述,当32> a 时,函数()g x 无零点;当3 2=a 或0≤a 时,函数()g x 有且仅有一个零点;当3 2 0<