课时跟踪检测(二十八) 平面向量的数量积与平面向量的应用举例
1．(2012·豫东、豫北十校阶段性测试)若向量a ＝(x ＋1,2)和向量b ＝(1，－1)平行，则|a ＋b |＝( )
A.10
B.10
2 C. 2
D.22
2．(2012·山西省考前适应性训练)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的射影为( )
A.13
B.13
5 C.65
D.655
3．已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB
＝(1,1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC
＝2，则n ·BC
等于( )
A ．－2
B ．2
C ．0
D ．2或－2
4．(2012·湖南高考)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB ·BC
＝1，则BC ＝( )
A. 3
B.7 C ．2 2 D.23
5．已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝23
3
|a |，则a ＋b 与a －b 的夹角θ为( ) A ．30° B ．60° C ．120°
D ．150°
6．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋1
2|a |x 2＋a·bx 在R 上有极值，则a 与b
的夹角θ的取值范围为( )
A.????0，π
6 B.????
π6，π C.????π3，π
D.????π3，2π3
7．(2012·安徽省“江南十校”联考)若|a |＝2，|b |＝4，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角是________．
8．(2012·新课标全国卷)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.
9．(2012·烟台调研)在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，如果AB 的长为2，
则(AB ＋AC )·
AD
的值为________． 10．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n )，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ；
(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .
11．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝????－12，3
2.
(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；
(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．
12．已知两个不共线的向量a ，b 的夹角为θ，且|a |＝3，|b |＝1，x 为正实数． (1)若a ＋2b 与a －4b 垂直，求tan θ；
(2)若θ＝π
6，求|xa －b |的最小值及对应的x 的值，并判断此时向量a 与xa －b 是否垂直．
1．设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λa
D ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
2．(2012·石家庄质检)△ABC 中，∠C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM ＝2AM
，则CM ·CA ＝________.
3．已知AB
＝(6,1)，BC ＝(x ，y )，CD ＝(－2，－3)．
(1)若BC ∥DA
，求x 与y 之间的关系式；
(2)在(1)条件下，若AC ⊥BD
，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积．
答 案
课时跟踪检测(二十八)
A 级
1．选C 依题意得，－(x ＋1)－2×1＝0，得x ＝－3，故a ＋b ＝(－2,2)＋(1，－1)＝(－1,1)，所以|a ＋b |＝(－1)2＋12＝ 2.
2．选D 依题意得，向量a 在b 方向上的射影为a ·b |b |＝2×(－4)＋3×7(－4)2＋72
＝65
5.
3．选B n ·BC ＝n ·
(BA ＋AC )＝n ·BA
＋n ·AC ＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.
4．选A ∵AB ·BC
＝1，且AB ＝2，
∴1＝|AB ||BC
|cos(π－B )， ∴|BC |cos B ＝－12
.
在△ABC 中，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB ||BC |cos B ， 即9＝4＋|BC |2－2×2×????－12. ∴|BC |＝ 3.
5．选B 将|a ＋b |＝|a －b |两边同时平方得a·b ＝0； 将|a －b |＝233|a |两边同时平方得b 2＝1
3a 2，
所以cos θ＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b |·|a －b |
＝a 2－b 243
a 2＝1
2，θ＝60°.
6．选C f (x )＝13x 3＋1
2
|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，即f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有两个不
同的实数解，
故Δ＝|a |2－4a·b ＞0?cos θ＜1
2，
又θ∈[0，π]， 所以θ∈????
π3，π.
7．解析：设向量a ，b 的夹角为θ.由(a ＋b )⊥a 得(a ＋b )·a ＝0，即|a |2＋a ·b ＝0， ∵|a |＝2，∴a ·b ＝－4，∴|a |·|b |·cos θ＝－4，又|b |＝4，∴cos θ＝－12，即θ＝2π3
.∴向量a ，
b 的夹角为2π
3
.
答案：2π3
8．解析：∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 45°＝2
2
|b |， ∴|2a －b |2＝4－4×2
2
|b |＋|b |2＝10. ∴|b |＝3 2. 答案：3 2
9．解析：|BC |2＝|AB |2＋|AC |2＝8，|AD |＝12|BC |，AB ＋AC ＝2AD ，(AB
＋
AC )·
AD ＝2AD ·AD ＝12|BC
|2＝4. 答案：4
10．解：(1)∵a ·b ＝2n －2，|a |＝5， |b |＝n 2＋4， ∴cos 45°＝
2n －2
5·n 2＋4＝2
2，
∴3n 2－16n －12＝0(n >1)，
∴n ＝6或n ＝－2
3(舍)，∴b ＝(－2,6)．
(2)由(1)知，a ·b ＝10，|a |2＝5. 又∵c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)． ∵(c －a )·a ＝0，
∴λb ·a －|a |2
＝0，∴λ＝|a |2b ·a ＝510＝12
，
∴c ＝1
2
b ＝(－1,3)．
11．解：(1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－????
14＋34＝0， 所以a ＋b 与a －b 垂直．
(2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得 3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2， 所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0. 而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，
则????－12×cos α＋3
2×sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0， 所以α＋60°＝k ·180°＋90°， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z .
又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°. 12．解：(1)由题意，得(a ＋2b )·(a －4b )＝0， 即a 2－2a ·b －8b 2＝0，
得32－2×3×1×cos θ－8×12＝0， 得cos θ＝1
6.又θ∈(0，π)，
所以sin θ＝1－cos 2θ＝ 1－????162＝356
， tan θ＝sin θ
cos θ＝35.
(2)|x a －b |＝(x a －b )2 ＝x 2a 2－2x a ·b ＋b 2 ＝ 9x 2－2x ×3×1×cos π
6＋1
＝
9?
???x －
362＋1
4
， 故当x ＝
36时，|x a －b |取得最小值为12
， 此时a ·(x a －b )＝x a 2－a ·b ＝
36×9－3×1×cos π
6
＝0，故向量a 与x a －b 垂直． B 级
1．选C ∵|a ＋b |＝|a|－|b |，∴(a ＋b )2＝(|a |－|b |)2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a ||b |＋|b |2，∴a ·b ＝－|a ||b |.∵a ·b ＝|a ||b |·cos a ，b ，∴cos a ，b ＝－1，
∴ a ，b ＝π，此时a 与b 反向共线，因此A 错误．当a ⊥b 时，a 与b 不反向也不共线，因此B 错误．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ＝－1，使b ＝－a ，满足a 与b 反向共线，故C 正确．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a ＋λa |＝|1＋λ||a |，|a |－|b |＝|a |－|λa |＝(1－|λ|)|a |，只有当－1≤λ≤0时，|a ＋b |＝|a |－|b |才能成立，否则不能成立，故D 错误．
2．解析：由BM ＝2AM
可知，A 是线段MB 的中点，如图所示．
∵AC ⊥BC ，且CA ＝CB ＝3，
∴CM ·CA ＝(CA ＋AM )·CA
＝(CA ＋BA )·CA
＝(CA ＋CA －CB )·CA
＝(2CA －CB )·CA
＝2CA 2－CB ·CA ＝2×32＝18.
答案：18
3．解：(1)∵AD ＝AB ＋BC
＋CD ＝(x ＋4，y －2)， ∴DA ＝－AD
＝(－x －4,2－y )．
又∵BC ∥DA 且BC
＝(x ，y )，
∴x (2－y )－y (－x －4)＝0， 即x ＋2y ＝0.①
(2)由于AC ＝AB ＋BC
＝(x ＋6，y ＋1)，
BD ＝BC
＋CD ＝(x －2，y －3)， 又AC ⊥BD ，
所以AC ·BD ＝0，
即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0.② 联立①②化简，得y 2－2y －3＝0. 解得y ＝3或y ＝－1. 故当y ＝3时，x ＝－6，
此时AC ＝(0,4)，BD
＝(－8,0)，
所以S ABCD ＝12
|AC
|·|BD |＝16；
当y ＝－1时，x ＝2，
此时AC ＝(8,0)，BD
＝(0，－4)，
∴S ABCD ＝12
|AC
|·|BD |＝16.
平 面 向 量 数 量 积 练 习 题 一.选择题 1.下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a ) ·b =λ·(a b )=a · (λb ), （2）|a ·b |= | a |·| b |, （3）(a ·b )· c = a · (b ·c ), （4）(a +b ) · c = a ·c +b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2.在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-= ,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3． 已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 4.已知||=1,||=2，且(－)与垂直，则与的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5.设||= 4，||= 3，夹角为60°，则|+|等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 6．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 7． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.????79，73 B.????－73，－79 C.????73，79 D.????－79，－73 二.填空题 8.已知e 是单位向量，∥e 且18-=?e a ，则向量a =__________. 9．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 10． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三.解答题 11． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .
平面向量的数量积与应用举例专题训练 A组基础题组 1.已知向量a=(2,1),b=(1,m),c=(2,4),且(2a-5b)⊥c,则实数m=( ) A.- B.- C. D. 2.已知向量a=(1,0),|b|=,a与b的夹角为45°,若c=a+b,d=a-b,则c在d方向上的投影为( ) A. B.- C.1 D.-1 3.向量a,b满足|a+b|=2|a|,且(a-b)·a=0,则a,b的夹角的余弦值为( ) A.0 B. C. D. 4.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记 I1=·,I2=·,I3=·,则( ) A.I1 10.已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-∈[0,π]. (1)若a∥b,求x的值; (2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. B组提升题组 1.已知a、b均为单位向量,且a·b=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,则|c+a|的取值范围是( ) A.[3,] B.[3,5] C.[3,4] D.[,5] 2.非零向量m,n的夹角为,且满足|n|=λ|m|(λ>0),向量组x1,x2,x3由一个m和两个n排列而成,向量组 y1,y2,y3由两个m和一个n排列而成,若x1·y1+x2·y2+x3·y3的所有可能值中的最小值为4|m|2,则λ = . 3.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值. §5.3 平面向量的数量积 一、选择题 1．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 解析：由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ， 则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 答案：D 2．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －? ?? ?? a ·a a · b b ，则向量a 与 c 的夹角为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π 2 解析 ∵a·c ＝a·???? ??a －? ????a·a a·b b ＝a·a －? ?? ?? a 2a· b a·b ＝a 2－a 2＝0， 又a ≠0， c ≠0，∴a⊥c ，∴〈a ，c 〉＝π 2 ，故选D. 答案 D 3. 设向量a =（1.cos θ）与b =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于 （ ） A 2 B 1 2 C .0 D.-1 解析 22,0,12cos 0,cos 22cos 10.a b a b θθθ⊥∴?=∴-+=∴=-=正确的是C. 答案C 4．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )． A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 解析 设a 与b 的夹角为θ，∵a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，而cos θ＝ a · b |a ||b |＝－2 3 ， ∴|a |cos θ＝6×? ???? －23＝－4. 答案 A 5．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )． A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 解析 由已知条件，向量a ，b ，c 都是单位向量可以求出，a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0，及(a －c )(b －c )≤0，可以知道，(a ＋b )·c ≥c 2＝1，因为|a ＋b － c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，所以有|a ＋b －c |2＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1， 故|a ＋b －c |≤1. 答案 B 6．已知非零向量a 、b 满足|a |＝3|b |，若函数f (x )＝1 3x 3＋|a |x 2＋2a·b x ＋1 在x ∈R 上有极值，则〈a ，b 〉的取值范围是( ) A.? ? ????0，π6 B.? ? ???0，π3 C.? ?? ?? π6，π2 D.? ?? ?? π6，π 解析 ∵f (x )＝13x 3＋|a |x 2 ＋2a·b x ＋1在x ∈R 上有极值，∴f ′(x )＝0有两不 相等的实根，∵f ′(x )＝x 2＋2|a |x ＋2a·b ，∴x 2＋2|a |x ＋2a·b ＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4|a |2－8a·b ＞0，即a·b ＜12|a |2，∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |， |a |＝3|b |，∴cos 〈a ，b 〉＜1 2|a |2|a ||b |＝3 2，∵0≤〈a ，b 〉≤π， ∴π 6＜〈a ，b 〉≤π. 答案 D 7．如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是 ( )． . 平面向量数量积运算平面向量数量积的基本运算题型一DCBCEFABCDBAD，，＝120°，点的边长为2，∠1 例(1)(2014·天津)已知菱形分别在边→→AFDFAEBCBEDC________. .若λ·上，的值为＝3＝，1＝λ，则→→PBPAPAOPBAB) · (2)已知圆为切点，的半径为1，， 那么为该圆的两条切线，的最小值为，( 2 －43＋2 ＋B.A.－2 3＋2C.－4＋D.22 －→→→→→OBOAOAABOA________. ·＝|＝1 变式训练(2015·湖北)已知向量3⊥，则，| 利用平面向量数量积求两向量夹角题型二 22babaababab与＋(|，且2－(1)(2015·重庆例2 )若非零向量，则，)⊥(3满足||)＝|3的夹 角为( ) ππ3πA. B. C. D.π424πabababab的夹角2－＋与＝|2，|，则|＝32(2)若平面向量与平面向量，的夹角等于|3的余弦值等于( ) 1111A. B.－ C. D.－262612121→→→→ABCOAOABACAB与)＝(＋，则上的三点，若2 变式训练(2014·课标全国Ⅰ)已知，，为圆2→AC的夹角为________. 教育资料． . 利用数量积求向量的模题型三 baababab等于＋的夹角为|120°，则|＝2，且例3 (1)已知平面向量|2和与，|||＝1，) ( B.4 A.2 D.6 5 C.2ABCDADBCADCADBCPDC上的动点，则是腰＝，∠1＝90°，，＝(2)已知直角梯形2中，，∥→→PAPB|的最小值为________. ＋3|1eeeebbe·.是平面单位向量，且若平面向量·满足变式训练3 (2015·浙江)已知，＝beb|＝，则＝|·________. 112212 ＝12 平面向量的数量积 一．选择题 1. 已知 a ( 2,3), b ( 1, 1),则 a ?b 等于 （ ） A.1 B.-1 C.5 D.-5 r r r r r r r r 2．向量 a ， b 满足 a 1, b 4, 且 a b 2 ,则 a 与 b 的夹角为（ ） A ． B ． 4 C ． D ． 2 6 3 r r 60 0 r r ） 3．已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 a 3b （ A ． 7 B ． 10 C ． 13 D ． 4 4 ．若平面向量 与向量 的夹角是 ，且 ，则 ( ) A ． B ． C ． D ． 5. 下面 4 个有关向量的数量积的关系式① 0 ?0 =0 ②（ a ?b ） ?c = a ?（ b ? c ） ③ a ?b = b ?a ④ | a ?b | ≦ a ?b ⑤ | a ?b | | a | ?| b | 其中正确的是（ ） A ． ① ② B 。 ① ③ C 。③ ④ D 。③ ⑤ 6. 已知 | a |=8 ， e 为单位向量，当它们的夹角为 时， a 在 e 方向上的投影为（ ） 3 A ． 4 3B.4 C.4 2 3 D.8+ 2 7. 设 a 、 b 是夹角为 的单位向量，则 2a b 和 3a 2b 的夹角为（ ） A ． B ． C ． D ． 8. 已知 a =(2,3) , b =( 4 ,7) , 则 a 在 b 上的投影值为（ ） A 、 13 B 、 13 C 、 65 D 、 65 5 5 9. 已知 a (1,2), b ( 3,2), ka b 与 a 3b 垂直时 k 值为 （ ） A 、 17 B 、 18 C 、 19 D 、 20 平面向量的数量积 【知识点精讲】 一、平面向量的数量积 （1）已知两个非零向量a r 和b r ，记为OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，，则)0(πθθ≤≤=∠AOB 叫做向量a r 与b r 的夹角，记作,a b <>r r ，并规定[],0,a b π<>∈r r 。如果a 与b 的夹角是2 π，就称a r 与b r 垂直，记为.a b ⊥r r （2）cos ,a b a b <>r r r r 叫做向量a r 与b r 的数量积（或内积），记作a b ?r r ，即b a ? cos ,a b a b <>r r r r . 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 两个非零向量a r 与b r 垂直的充要条件是0.a b ?=r r 两个非零向量a r 与b r 平行的充要条件是.a b a b ?=±r r r r 二、平面向量数量积的几何意义 数量积a b ?r r 等于a r 的长度a r 与b r 在a r 方向上的投影cos b θr 的乘积，即cos a b a b θ ?=r r r r （b r 在a r 方向上的投影为cos a b b a θ?=r r r r ）；a r 在b r 方向上的投影为 cos .a b a b θ?=r r r r 三、平面向量数量积的重要性质 性质1 cos .e a a e a θ?=?=r r r r r 性质2 0.a b a b ⊥??=r r r r 性质3 当a r 与b r 同向时，a b a b ?=r r r r ；当a r 与b r 反向时，a b a b ?=-r r r r ；22a a a a ?==r r r r 或 a =r 性质4 cos (00)a b a b a b θ?=≠≠r r r r r r r r 且 性质5 a b a b ?≤r r r r 注：利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题。 四、平面向量数量积满足的运算律 （1）a b b a ?=?r r r r （交换律）； 培优点9 平面向量数量积的最值问题 平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化． 例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC → |AC →|，则PB →·PC → 的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ????1t ，0，C (0，t )，AB →＝????1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB →|AB →|＋4AC →| AC →|＝t ????1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝????1t －1，－4· (－1，t －4) ＝17－????1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13， 当且仅当t ＝12 时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13. (2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3 的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为________． 答案 5－213 解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)， 设P (2cos θ，2sin θ)????π3≤θ≤2π3， 则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)， 其中0 精品 平面向量的数量积及运算练习题 一、选择题： 1、下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a · (λb), （2）|a ·b|= | a |·| b |, （3）(a ·b)· c= a · (b ·c), （4）(a+b) · c = a ·c+b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2、在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-=,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3、若| a |=| b |=| a －b |, 则b 与a+b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 4、已知| a |=1,| b |=2 ,且(a －b)和a 垂直,则a 与b 的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5、若2AB BC AB 0?+=,则ΔABC 为 （ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 6、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 7、己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与的夹角为60, c =3a+b, d =λa －b ,若c ⊥d,则实数λ的值为（ ） A ． 74 B ．75 C ．47 D ．5 7 8、设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则其中真命题是 （ ） ① (a ·b)·c －(c ·a)·b=0 ② | a | －| b |< | a －b | ③ (b ·c)·a －(c ·a)·b 不与c 垂直 ④ (3a+2b) ·(3a －2b)= 9| a | 2－4| b | 2 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 9.（陕西）已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ???且12AB AC AB AC ?=, 则ABC △为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形 10(全国Ⅰ文）点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则点O 是ABC △的 .A 三个内角的角平分线的交点 .B 三条边的垂直平分线的交点 .C 三条中线的交点 .D 三条高的交点 11．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )． A ．[－2,2] B ．[－2,3] C ．[－3,2] D ．[－3,3] 一．方法综述 平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．由于命题方式灵活多样，试题内容活泼、新颖，因此，在高考试卷中备受青睐，是一个稳定的高频考点．解决这类问题有三种基本方法：投影法、基底法和坐标法．“三法”的准确定位应是并举！即不应人为地、凭主观划分它们的优劣，而应具体问题具体分析． 本专题举例说明解答解决平面向量数量积问题的方法、技巧. 二．解题策略 类型一投影定义法 【例1】【2018届河南省中原名校高三上第一次考评】已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·（＋）＝_________． 【答案】6 【解析】设BC的中点为D，则AD⊥BC， 【指点迷津】 1、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）： 向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ?=，可变形为()cos a b a b θ?=?或() cos a b b a θ?=?，进而与向量投影找到联系 （1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→?=?（记a b λ→为a 在b 上的投影） （2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解： a b a b b λ→?= 即数量积除以被投影向量的模长 2、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题 （1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）学科&网 （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 【举一反三】 已知圆M 为直角三角形ABC 的外接圆，OB 是斜边AC 上的高，且6,22AC OB ==，AO OC <，点P 为线段OA 的中点，若DE 是 M 中绕圆心M 运动的一条直径，则PD PE ?=_________ M C A O B P D E Q 【答案】-5 【解析】思路：本题的难点在于DE 是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解.考虑到DE 为直径，所以延长EP 交圆M 于Q ，即可得DQ QE ⊥，则PD 在PE 上的投影向量为PQ .所求 PD PE PE PQ ?=-?，而由PE PQ ?联想到相交弦定理，从而PE PQ AP PC ?=?.考虑与已知条 件联系求出直径AC 上的各段线段长度.由射影定理可得：2 8AO CO OB ?==，且 平面向量的数量积 A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1 2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ?? ??－79，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于 ( ) A ．－32 B ．－23 C.23 D.32 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分) 8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与 向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2 D.－3＋2 2 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝22 3 |b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π 3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦 值等于( ) A.126 B.－126 C.112 D.－1 12 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与 AC → 的夹角为________. 题型三 利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5 D.6 (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB → |的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1 2.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2 ＝1，则|b |＝________. 平面向量的数量积导学案 监利县长江高中 祝磊 考纲要求:掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度、垂 直问题,掌握向量垂直的条件. 高考预测:(1)客观题---- 考查数量积的定义、性质及运算律,难度较低. (2)主观题---以平面向量的数量积为工具,考查其综合应用,多与函数、三角函数、不等 式联系,难度中等. 教学目标： (i)知识目标: （1）掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示. (2) 平面向量数量积的应用. (ii)能力目标: (1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. (2) 正确运用向量运算律进行推理、运算. 教学重点: 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义. 2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算. 教学难点: 平面向量数量积的综合应用. 教 具：多媒体. 教材教法分析: 本节课是高三第一轮平面向量数量积复习课,重点掌握平面向量数量积及几何意义.用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.渗透化归思想以及数形结合思想. 教学过程： 一、追溯 1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ 叫a 与b 的数量积，记作a ?b ，即a ?b = |a ||b |cos θ，(0)θπ≤≤并规定0 与任何向量的 数量积为0 2．平面向量的数量积的几何意义：数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |c os θ的乘积. 3．两个向量的数量积的性质 设a 、 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量 1?e ?a = a ?e =|a |cos θ； 2?a ⊥b ? a ?b = 0 3?当a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ?b = -|a ||b |,特别地a ?a = |a |2 4?cos θ =| |||b a b a ? ； 5?|a ?b | ≤ |a ||b | 4.平面向量数量积的运算律 ① 交换律：a ? b = b ? a ② 数乘结合律：(λa )?b =λ(a ?b ) = a ?(λb ) 平面向量的数量积及运算律同步练习 一、选择题： 1. 若｜a ｜＝｜b ｜=１，a ⊥b ，且2a ＋３b 与k a -4b 也互相垂直，则k 的值为( ) A.－６ B.６ C.３ D.－３ 2．若AP 31=PB ，AB λ=BP ，则λ的值为 ( ) A ．41 B ．43 C ．34 D ．34 - 3．设a 和b 的长度均为6，夹角为 120?，则-|a b|等于 （ ） A ．36 B ．12 C ．6 D ．36 4．若||＝2sin15°，||＝4cos375°、，夹角为30°，则·为（ ） A ．23 B ．3 C ．32 D ．21 5．若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 6．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别（ ） A ．0,24 B ．24,4 C ．16，0 D ．4，0 7．已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+ 3| = （ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 8．已知,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=?=? （ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既非乙的充分条件也非乙的必要条件 9．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6π B ．3 π C ．3 2π D ．65π 10．若向量 a 与b 的夹角为60 ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,则向量a 的模为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 11．设)41,cos 1(),cos 1,2(-+=--=θθ，且,20,||π θ<<则θ为（ ） A ．4π B ．6π C ．3π D ．3π或6π 12．在ABC ?中，5||,3||,415 ,0,,=== 必修4《平面向量的数量积》 一、填空题 1．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x ＝ 1 . 解：由|a ·b |＝|a ||b |知，a ∥b . 故sin2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)，故sin x ＝cos x ， 即x ＝π 4，故tan x ＝1. 2．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为120°，若向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a ·b ＝ 0 . 解：a ·b ＝(e 1＋2e 2)·4e 1＝4e 1?e 2＋8 e 1?e 2＝4×1×1＋8×1×1×cos120°＝4＋8×(－12 )＝0. 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB ·AC 等于16 . 解：法一：因为cos A ＝AC AB ，故AB ·AC ＝|AB ||AC |cos A ＝|AC |2＝16. 法二：AB 在AC 上的投影为|AB |cos A ＝|AC |，故AB ·AC ＝|AC ||AB |cos A ＝|AC |2＝16. 4．在锐角△ABC 中，AB ＝a ，CA ＝b ，S △ABC ＝1，且|a |＝2，|b |＝2，则a·b 等于 -2. 解：S △ABC ＝12|AB ||AC |sin A ＝12×2×2sin A ＝1，∴ sin A ＝22，∵ A 为锐角，∴ A ＝π 4 . ∴ a·b ＝AB ·CA ＝|a ||b |cos(π－A )＝2×2cos 3π 4＝－2. 5．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0 < α < β < π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α＝ π2. 解：由|2a ＋b |＝|a －2b |得3|a |2－3|b |2＋8a·b ＝0，而|a |＝|b |＝1，故a·b ＝0，∴ cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即cos(α－β)＝0，由于0 < α < β < π，故－π < α－β < 0，∴ α－β＝－π2，即β－α＝π 2 . 6．若△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且(AB ＋AC )·BC ＝0，则△ABC 的是等边三角形． 解：由题意可知，在△ABC 中，BC 边上的中线又是BC 边上的高，因此△ABC 是等腰三角形，而三 个内角A ，B ，C 成等差数列，故角B 为60°，所以△ABC 一定是等边三角形． 7．力F 的大小为50 N ，与水平方向的夹角为30°(斜向上)，使物体沿水平方向运动了20 m ，则力F 所做的功为 5003J ． 解：设木块的位移为s ，则F·s ＝|F |·|s |cos30°＝50×20× 3 2 ＝5003(J)． 8．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )， 则向量MN 的模为82． 解：∵ a //b ，∴ x ＝4，∴ b ＝(4，－2)，∴ a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )．∵ (a ＋b )⊥(b －c )， ∴ (a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3×(－2－y )＝0，∴ y ＝－4，∴ M (4，－4)，N (－4,4)．故向量MN ＝ (－8,8)，|MN |＝8 2. 9．给出以下四个命题： ①对任意两个向量a ，b 都有|a·b |＝|a ||b |； ②若a ，b 是两个不共线的向量，且AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A 、B 、C 共线 绝密★启用前 2018年01月19日214****9063的高中数学组卷 试卷副标题 考试围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号一二三总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人得分 一．选择题（共2小题） 1．若向量，满足，，则?=（） A．1 B．2 C．3 D．5 2．已知向量||=3，||=2，=m+n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为（） A．B．C．6 D．4 - z - 第Ⅱ卷（非选择题） 请点击修改第Ⅱ卷的文字说明 评卷人得分 二．填空题（共6小题） 3．设=（2m+1，m），=（1，m），且⊥，则m= ． 4．已知平面向量的夹角为，且||=1，||=2，若（）），则λ= ． 5．已知向量，，且，则= ．6．已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m= ．7．已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．8．已知两个单位向量，的夹角为60°，则|+2|= ． 评卷人得分 三．解答题（共6小题） 9．化简： （1）； （2）． 10．如图，平面有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与 的夹角为30°．且||=1，||=1，||=2，若+，求λ+μ的值． - z - 11．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC，DC的中点，G为DE，BF的交点，若，试用，表示、、． 12．在平面直角坐标系中，以坐标原点O和A（5，2）为顶点作等腰直角△ABO，使∠B=90°，求点B和向量的坐标． 13．已知=（1，1），=（1，﹣1），当k为何值时： （1）k+与﹣2垂直？ （2）k+与﹣2平行？ 14．已知向量，的夹角为60°，且||=4，||=2， （1）求?； （2）求|+|． - z - 平面向量的数量积(20131119)作业 姓名 成绩 A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－1 2 C.12 D ．1 2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.???? 79，73 B.????－73，－79 C.????73，79 D.????－79 ，－7 3 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC → 等于 ( ) A ．－3 2 B ．－23 C.23 D.3 2 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分) 8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的 夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 考点20 平面向量的数量积及向量的应用 一、平面向量的数量积 1．平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念 已知两个非零向量,a b ，我们把数量||||cos θa b 叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作?a b ,即 ?=a b ||||cos θa b ，其中θ是a 与b 的夹角. 【注】零向量与任一向量的数量积为0. （2）投影的概念 设非零向量a 与b 的夹角是θ，则||cos θa (||cos θb )叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影. 如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量a 与b 的夹角为锐角、钝角、直角时向量a 在b 方向上的投影的情形，其中1OB =||cos θa ，它的意义是，向量a 在向量b 方向上的投影长是向量1OB 的长度. （3）数量积的几何意义 由向量投影的定义，我们可以得到?a b 的几何意义：数量积?a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||cos θb 的乘积. 2．平面向量数量积的运算律 已知向量,,a b c 和实数λ,则 ①交换律：?=?a b b a ； ②数乘结合律：()()λλ?=?a b a b =()λ?a b ； ③分配律：()+??+?a b c =a c b c 二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质 设非零向量1122(,),(,)x y x y ==a b ，θ是a 与b 的夹角. （1）数量积：?=a b 1212||||cos x x y y θ=+a b . （2 ）模：||= =a （3）夹角：cos |||| θ?= =a b a b . （4）垂直与平行：0⊥??=?a b a b 12120x x y y +=；a ∥b ?a ·b =±|a ||b |. 【注】当a 与b 同向时,||||?=a b a b ；当a 与b 反向时,?=a b ||||-a b . （5）性质：|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立) ?1212||x x y y +≤三、平面向量的应用 1．向量在平面几何中常见的应用 已知1122(,),(,)x y x y ==a b . （1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件： λ?=?∥a b a b 1221x y x y -0(0)=≠b （2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂 直的条件： 0⊥??=?a b a b 1212x x y y +0=（其中,a b 为非零向量） （3）求夹角问题，若向量a 与b 的夹角为θ，利用夹角公式： cos θ= |||| ?a b a b =（其中,a b 为非零向量） （4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模： ||= a 或||||AB AB = = ,A B 两点的坐标分别为3344(,),(,)x y x y ） （5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直 角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题. 2．向量在物理中常见的应用 （1）向量与力、速度、加速度及位移 （2）向量与功、动量 平面向量的数量积练习题 、选择题 答案: a , b 满足 |a + b|=V i0, |a — b|=V 6，贝U a b =( ) 因为 |a + b|2= (a + b)2= a 2+b 2+ 2a b = 10, |a — b|2= (a — b)2= a 2+ b 2 — 2ab= 6,两式相减得：4a b 答案: b 满足|a|= 2, |b|= 1, a b = 1,则向量a 与a — b 的夹角为（ ） |a — b|= 寸(a — b )—2 =寸a 2 + b 2— 2a b =寸3,设向量a 与a — b 的夹角为 0,则 a ? (a — b ) = 22 — 1、J 3 |a||a — b| = 2X3 = 2， n 又0€[0, n ，所以=n 答案：A D . 12 因为(a + 2b) (a — 3b)= a 2— a b = 6b 2 = |a|2— |a| |b|cos 60 — 6|「b|2 = 「|a|2— 2|a|— 96 = — 72, 所以 |a|2— 2|a|— 24= 0,所以 |a|= 6. 答案：C 1已知|b| = 3, a 在b 方向上的投影是 2 3，则a b 为（ 解析: B.f C . 3 D . 2 由数量积的几何意义知所以 a ? b = IX3 = 2. 2.设向量 解析: =.4，所以 a b = 1. 3.已知向量a , n A. 6 r n B ■ 亍 f 2 n D -3 解析: cos 0= 4. （2015陕西卷）对任意向量 a , b ，下列关系式中不恒成立的是 （ ） A . |ab| 毛|b| |a — b| 4|— |b|| C . (a + b)2= |a + b|2 解 析：根据 a b = |a||b|cos D . (a + b) (a — b)= a 2 — b 2 0又cos 0<1知|a b|毛||b|, A 恒成立.当向量 a 和b 方向不相同时，|a — b|>||a|— |b||, B 不恒成立.根 据 — = — , 恒成立. |a + b|2= a 2+ 2a b + b 2= (a + b)2, C 恒成立.根据向量的运算性质得 (a + b) (a 答案: 5.若向量 a 与b 的夹角为60 ,|b|= 4，且(a + 2 b) (a — 3b) = — 72,贝U a 的模为( 解析:平面向量的数量积练习题[
平面向量数量积运算专题附答案
(完整版)平面向量的数量积练习题.doc
向量数量积专题(总)
专题二 培优点9 平面向量数量积的最值问题
平面向量数量积及运算基础练习题
专题03 “三法”解决平面向量数量积问题(第二篇)-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破(解析
(完整版)平面向量的数量积练习题(含答案)
平面向量数量积运算专题(附标准答案)
平面向量的数量积导学案
平面向量的数量积及运算律同步练习
必修4《平面向量的数量积》专项练习题及参考答案
平面向量的数量积 练习题
平面向量的数量积习题(精品绝对好)
专题20 平面向量的数量积及向量的应用知识点
2017.04.27平面向量的数量积练习题(含答案)
相关主题
文本预览