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中考数学专题圆的切线精华习题[1]

中考数学专题圆的切线精华习题[1]
中考数学专题圆的切线精华习题[1]

中考数学专题圆的位置关系

第一部分真题精讲

【例1】已知:如图,AB 为⊙O 的直径,⊙O 过AC 的中点D ,DE ⊥BC 于点E .(1)求证:DE 为⊙O 的切线; (2)若DE =2,tan C =

1

2

,求⊙O 的直径.

【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙,只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着,让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察,考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感,尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说,自然连接OD ,在△ABC 中OD 就是中位线,平行于BC 。所以利用垂直传递关系可证OD ⊥DE 。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC 是等腰三角形,从而将求AB 转化为求BD ,从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。 【解析】(1)证明:联结OD .∵ D 为AC 中点, O 为AB 中点,

∴ OD 为△ABC 的中位线.∴OD ∥BC . ∵ DE ⊥BC ,∴∠DEC=90°.

∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD ⊥DE 于点D. ∴ DE 为⊙O 的切线.

(2)解:联结DB .∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ADB=90°.∴DB ⊥AC .∴∠CDB=90°. ∵ D 为AC 中点,∴AB=AC . 在Rt △DEC 中,∵DE=2 ,tanC=12,∴EC=4tan DE C

=. (三角函数的意义要记牢) 由勾股定理得:

DC=

在Rt △DCB 中,

BD=tan DC C ? BC=5.

∴AB=BC=5.

∴⊙O 的直径为5.

【例2】已知:如图,⊙O 为ABC ?的外接圆,BC 为⊙O 的直径,作射线BF ,使得BA 平分CBF ∠,过点A 作AD BF ⊥于点D .(1)求证:DA 为⊙O 的切线;(2)若1BD =,1

tan 2

BAD ∠=

,求⊙O 的半径.

A

A

【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。题目中除垂直关系给定以外,就只给了一条BA 平

分∠CBF 。看到这种条件,就需要大家意识到应该通过角度来证平行。用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等,同旁内角互补这么几种。本题中,连OA 之后发现∠ABD=∠ABC ,而OAB 构成一个等腰三角形从而∠ABO=∠BAO ,自然想到传递这几个角之间的关系,从而得证。第二问依然是要用角的传递,将已知角∠BAD 通过等量关系放在△ABC 中,从而达到计算直径或半径的目的。 【解析】证明:连接AO .

∵AO BO =,∴23∠=∠. ∵BA CBF ∠平分,∴12∠=∠. ∴31∠=∠ .

∴DB ∥AO .(得分点,一定不能忘记用内错角相等来证平行) ∵AD DB ⊥,∴90BDA ∠=?.∴90DAO ∠=?.

∵AO 是⊙O 半径,∴DA 为⊙O 的切线. (2)∵AD DB ⊥,1BD =,1

tan 2

BAD ∠=,∴2AD =.

由勾股定理,得AB =

∴sin 4∠=

.(通过三角函数的转换来扩大已知条件) ∵BC 是⊙O 直径,∴90BAC ∠=?.∴290C ∠+∠=?. 又∵4190∠+∠=?, 21∠=∠,

∴4C ∠=∠. (这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sin ∠BAD ) 在Rt △ABC 中,sin AB BC C =

=sin 4AB ∠=5.∴⊙O 的半径为5

2

.

【例3】已知:如图,点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点,点B 在⊙O 上,且.OA AB AD == (1)求证:BD 是⊙O 的切线;

(2)若点E 是劣弧BC 上一点,AE 与BC 相交于点F ,且8BE =

,tan BFA ∠=求⊙O 的半径长.

【思路分析】此题条件中有OA=AB=OD ,聪明的同学瞬间就能看出来BA 其实就是三角形OBD 中斜边OD 上的中线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理,马上可以反推出∠OBD=90°,于是切线问题迎刃而解。事实上如果看不出来,那么连接OB 以后像例2那样用角度传递也是可以做的。本题第二问则稍有难度,额外考察了有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形相似,从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。近年来中考范围压缩,圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求,所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算,希望大家认真掌握。

F

C

F

C

C

(1)证明:连接OB .

∵,OA AB OA OB ==,

∴OA AB OB ==.

∴ABO ?是等边三角形. ∴160BAO ∠=∠=?. ∵AB AD =, ∴230D ∠=∠=?.

∴1290∠+∠=?.

∴DB BO ⊥ .(不用斜边中线逆定理的话就这样解,麻烦一点而已) 又∵点B 在⊙O 上, ∴DB 是⊙O 的切线 .

(2)解:∵CA 是⊙O 的直径, ∴90ABC ∠=?.

在Rt ABF △

中,tan AB BFA BF ∠==

∴设,

AB 则2BF x =,

∴3AF x == . ∴

2

3

BF AF = . (设元的思想很重要) ∵,34C E ∠=∠∠=∠,

∴BFE ?∽AFC ?. ∴

2

3

BE BF AC AF == . ∵8BE =, ∴12AC = .

∴6AO =.………………………………………5分

【例4】如图,等腰三角形ABC 中,6AC BC ==,8AB =.以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ,交AC 于点G ,

DF AC ⊥,垂足为F ,交CB 的延长线于点E . (1)求证:直线EF 是⊙O 的切线; (2)求sin E ∠的值.

【思路分析】本题和前面略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明。欲证EF 是切线,则需证OD 垂直于EF ,但是本题中并未给OD 和其他线角之间的关系,所以就需要多做一条辅助线连接CD ,利用直径的圆周角是90°,并且△ABC 是以AC,CB 为腰的等腰三角形,从而得出D 是中点。成功转化为前面的中点问题,继而求解。第二问利用第一问的结果,转移已知角度,借助勾股定理,在相似的RT 三角形当中构造代数关系,通过解方程的形式求解,也考察了考生对于解三角形的功夫。

C

(1)证明:如图,连结CD ,则90BDC ∠=?. ∴CD AB ⊥.

∵AC BC =,∴AD BD =. ∴D 是AB 的中点. ∵O 是BC 的中点, ∴DO AC ∥. ∵EF AC ⊥于F . ∴EF DO ⊥.

∴EF 是⊙O 的切线.

( 2 ) 连结BG ,∵BC 是直径, ∴90BGC CFE ∠=?=∠.(直径的圆周角都是90°) ∴BG EF ∥.

∴sin FC CG

E EC BC

∠==

. 设CG x =,则6AG x =-.

在Rt BGA △中,222BG BC CG =-. 在Rt BGC △中,222BG AB AG =-.(这一步至关重要,利用两相邻RT △的临边构建等式,事实上也可以直接用直角三角形斜边高分比例的方法)

∴()2

222686x x -=--.解得23x =.即23CG =.

在Rt BGC △中.∴21

3sin 69

CG E BC ∠=

==.

【例5】如图,平行四边形ABCD 中,以A 为圆心,AB 为半径的圆交AD 于F ,交BC 于G ,延长BA 交圆于E .

(1)若ED 与⊙A 相切,试判断GD 与⊙A 的位置关系,并证明你的结论; (2)在(1)的条件不变的情况下,若GC =CD =5,求AD 的长.

【思路分析】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题,但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力。判断出DG 与圆相切不难,难点在于如何证明。事实上,除本题以外,门头沟,石景山D

F

G

C

O B E A

G F

E

D

C

B

A

【解析】

(1)结论:GD 与O 相切

证明:连接AG

∵点G 、E 在圆上, ∴AG AE =

∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD BC ∥

∴123B ∠=∠∠=∠,

∵AB AG =

∴3B ∠=∠ ∴12∠=∠(做多了就会发现,基本此类问题都是要找这一对角,所以考生要善于把握已知条件往这个上面引) 在AED ?和AGD ? 12AE AG AD AD =??

∠=∠??=?

∴AED AGD ??≌ ∴AED AGD ∠=∠ ∵ED 与A 相切 ∴90AED ∠=? ∴90AGD ∠=? ∴AG DG ⊥

∴GD 与A 相切

(2)∵5GC CD ==,四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB DC =,45∠=∠,5AB AG == ∵AD BC ∥ ∴46∠=∠ ∴1

562

B ∠=∠=∠

∴226∠=∠(很多同学觉得题中没有给出特殊角度,于是无从下手,其实用倍分关系放在RT 三角形中就产生了30°和60°的特殊角) ∴630∠=?

∴10AD = .

【总结】经过以上五道一模真题,我们可以得出这类题型的一般解题思路。要证相切,做辅助线连接圆心与切点自不必说,接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的距离,即“连半径,证垂直”。近年来中考基本只要求了这一种证明切线的思路,但是事实上证明切线有三种方式。为以防遇到,还是希望考生能有所了解。

第一种就是课本上所讲的先连半径,再证垂直。这样的前提是题目中所给条件已经暗含了半径在其中。例如圆6543

21G

F E

D

C

B

A

第二种是在题目没有给出交点状况的情况下,不能贸然连接,于是可以先做垂线,然后通过证明垂线等于半径即可,就是所谓的“先证垂直后证半径”。例如大家看这样一道题,如图△ABC中,AB=AC,点O是BC的中点,

与AB切于点D,求证:与AC也相切。

该题中圆0与AC是否有公共点是未知的,所以只能通过O做AC的垂线,然后证明这个距离刚好就是圆半径。如果考生想当然认为有一个交点,然后直接连AC与圆交点这样证明,就误入歧途了。

第三种是比较棘手的一种,一方面题目中并未给出半径,也未给出垂直关系,所以属于半径和垂直都要证明的题型。例如看下面一道题:

如图,中,AB=AC,=,O、D将BC三等分,以OB为圆心画,求证:与AC相切。

本题中并未说明一定过A点,所以需要证明A是切点,同时还要证明O到AC垂线的垂足和A是重合的,这样一来就非常麻烦。但是换个角度想,如果连接AO之后再证明AO=OB,AO⊥AC,那么就非常严密了。

(提示:做垂线,那么垂足同时也是中点,通过数量关系将AO,BO都用AB表示出来即可证明相等,而△AOC中利用直角三角形斜边中线长是斜边一半的逆定理可以证出直角。)

至于本类题型中第二问的计算就比较简单了,把握好圆周角,圆心角,以及可能出现的弦切角所构成的线段,角关系,同时将条件放在同一个RT△当中就可以非常方便的求解。总之,此类题目难度不会太大,所以需要大家做题速度快,准确率高,为后面的代几综合体留出空间。

第二部分发散思考

【思考1】如图,已知AB 为⊙O 的弦,C 为⊙O 上一点,∠C =∠BAD ,且BD ⊥AB 于B . (1)求证:AD 是⊙O 的切线;

(2)若⊙O 的半径为3,AB =4,求AD 的长.

【思路分析】此题为去年海淀一模题,虽然较为简单,但是统计下来得分率却很低. 因为题目中没有给出有关圆心的

任何线段,所以就需要考生自己去构造。同一段弧的圆周角相等这一性质是非常重要的,延长DB 就会得到一个和C 一样的圆周角,利用角度关系,就很容易证明了。第二问考解三角形的计算问题,利用相等的角建立相等的比例关系,从而求解。 (解法见后)

【思考2】已知:如图,AB 为⊙O 的弦,过点O 作AB 的平行线,交 ⊙O 于点C ,直线OC 上一点D 满足∠D =∠ACB .

(1)判断直线BD 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论; (2)若⊙O 的半径等于4,4

tan 3

ACB ∠=

,求CD 的长.

【思路分析】本题也是非常典型的通过角度变换来证明90°的题目。重点在于如何利用∠D=∠ACB 这个条件,去

将他们放在RT 三角形中找出相等,互余等关系。尤其是将∠OBD 拆分成两个角去证明和为90°。 (解法见后)

【思考3】已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,AE 是角平分线,BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过B,M 两点的⊙

O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. (1)求证:AE 与⊙O 相切; (2)当BC=4,cosC=

时,求⊙O 的半径.

【思路分析】这是一道去年北京中考的原题,有些同学可能已经做过了。主要考点还是切线判定,等腰三角形性质

以及解直角三角形,也不会很难。放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法,和我们前面看到的那些题是一个意思。 1

3

【思考4】如图,等腰△ABC 中,AC=BC ,⊙O 为△ABC 的外接圆,

D 为 BC

上一点,CE ⊥AD 于E . 求证:AE= BD +DE .

【思路分析】前面的题目大多是有关切线问题,但是未必所有的圆问题都和切线有关,去年西城区这道模拟题就是

无切线问题的代表。此题的关键在于如何在图形中找到和BD 相等的量来达到转化的目的。如果图形中所有线段现成的没有,那么就需要自己去截一段,然后去找相似或者全等三角形中的线段关系。

【思考5】如图,已知⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是⊙O 的直径,D 是AB 延长线的一点,AE ⊥CD 交DC 的延长线于E ,CF ⊥AB 于F ,且CE =CF . (1) 求证:DE 是⊙O 的切线;

(2) 若AB =6,BD =3,求AE 和BC 的长.

【思路分析】又是一道非常典型的用角证平行的题目。题目中虽未给出AC 评分角EAD 这样的条件,但是通过给

定CE=CF ,加上有一个公共边,那么很容易发现△EAC 和△CAF 是全等的。于是问题迎刃而解。第二问中依然要注意找到已知线段的等量线段,并且利用和,差等关系去转化。

第三部分思考题解析

【思考1解析】

1)证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°.

∴∠EAB +∠E =90°. ∵∠E =∠C , ∠C =∠BAD ,

∴∠EAB +∠BAD =90°. ∴ AD 是⊙O 的切线.

(2)解:由(1)可知∠ABE =90°.

∵AE =2AO =6, AB =4,

∴5222=-=AB AE BE . ∵∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB , ∴.cos cos E BAD ∠=∠ ∴.AE

BE AD AB = .6

524=AD 即

∴5

5

12=

AD .

【思考2解析】 解:(1)直线BD 与⊙O 相切. 证明:如图3,连结OB .-

D

A D

∵AB ∥OC , ∴∠2=∠A . ∴∠A =∠CBD . ∵OB=OC ,

∴23180BOC ∠+∠=?, ∵2BOC A ∠=∠,

∴390A ∠+∠=?. ∴390CBD ∠+∠=?. ∴∠OBD =90°.

∴直线BD 与⊙O 相切.

(2)解:∵∠D =∠ACB ,4tan 3

ACB ∠=, ∴4tan 3

D =

. 在Rt △OBD 中,∠OBD =90°,OB = 4,4

tan 3

D =, ∴4sin 5D =

,5sin OB OD D

==. ∴1CD OD OC =-=.

【思考3解析】

1)证明:连结,则. ∴.

∵平分. ∴. ∴. ∴.

∴.

在中,,是角平分线, ∴. ∴. ∴. ∴. ∴与相切.

(2)解:在中,,是角平分线, ∴. ∵, ∴. 在中,, OM OM OB =12∠=∠BM ABC ∠13∠=∠23∠=∠OM BC ∥AMO AEB ∠=∠ABC △AB AC =AE AE BC ⊥90AEB ∠=°90AMO ∠=°OM AE ⊥AE O ⊙ABC △AB AC =AE 1

2

BE BC ABC C =

∠=∠,14cos 3

BC C ==,

11cos 3

BE ABC =∠=,

ABE △90AEB ∠=°

B

设的半径为,则. ∵,

∴. ∴

. ∴

. 解得. ∴的半径为

【思考4解析】

证明:如图3,在AE 上截取AF=BD ,连结CF 、CD .

在△ACF 和△BCD 中,

, , , AC BC CAF CBD AF BD =??

∠=∠??=?

∴△ACF ≌△BCD . ∴CF=CD .

∵CE ⊥AD 于E , ∴EF=DE .

∴AE AF EF BD DE =+=+.

【思考5解析】 证明:(1)连接OC,

,,,1 2.,2 3.1 3.//..AE CD CF AB CE CF OA OC OC AE OC CD DE O ⊥⊥=∴∠=∠=∴∠=∠∴∠=∠∴∴⊥∴ 又是的切线.

O ⊙r 6AO r =-OM BC ∥AOM ABE △∽△OM AO

BE AB =626

r r -=3

2

r =

O ⊙3

2

00(2)6,1

3.2

3,6,30.60.

9,1922

,3.

AB OB OC AB Rt OCD OC OD OB BD D COD Rt ADE D AB BD AE AD OBC OB OC

BC OB =∴==

=?==+=∴∠=∠=?=+=∴=

=?∠=∴== 0解:在中,在中, A 在中,COD=60

中考数学专题训练圆专题复习

——圆 ◆知识讲解 一.圆的定义 1、在一个平面内,线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆。 2、圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。 3、确定一个圆需要两个要素:一是位置二是大小,圆心确定其位置,半径确定其大小。 4、连接圆上任意两点的线段叫弦,经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。以A、B为端点的弦记作“圆弧AB”,或者“弧AB”。大于半圆的弧叫作优弧(用三个字母表示,如ABC)叫优弧;小于半圆的弧(如AB)叫做劣弧。 二、垂直于弦的直径、弧、弦、圆心角 1、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弦。 2、垂径定理逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。 3、在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等。 在同圆或等圆中,等弧所对的圆心角相等。 在等圆中,弦心距相等的弦相等。 三、圆周角 1、定义:顶点在圆上,并且角的两边和圆相交的角。 2、定理:一条弧所以的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 3、推论:(1)在同圆或等圆中,同弧或等弧所以的圆周角相等。 (2)直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。 四、点和圆的位置关系 1、设⊙O的半径为r,点到圆心的距离为d。 则d>r ?点在圆外,d=r ?点在圆上,d

中考数学专题复习圆的综合的综合题

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,点P在⊙O的直径AB的延长线上,PC为⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交⊙O于点E. (1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC; (2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,BF FA =,连接EF,过点F作AD 的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG; (3)在(2)的条件下,如图3,若AE=2 3 DG,PO=5,求EF的长. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=32. 【解析】 【分析】 (1)连接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根据切线的判定推出即可; (2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案; (3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根据矩形的性质得出 EH∥DG,求出OM=1 2 AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE= 2 3 DG,DG=3a, 求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO= 1 2 MO BM =,tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k,则PC=2k,根据OP=5k=5求出k=5,根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】 (1)证明:连接OC, ∵PC为⊙O的切线,

∴OC⊥PC, ∵AD⊥PC, ∴OC∥AD, ∴∠OCA=∠DAC, ∵OC=OA, ∴∠PAC=∠OCA, ∴∠DAC=∠PAC; (2)证明:连接BE交GF于H,连接OH, ∵FG∥AD, ∴∠FGD+∠D=180°, ∵∠D=90°, ∴∠FGD=90°, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠BEA=90°, ∴∠BED=90°, ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°, ∴四边形HGDE是矩形, ∴DE=GH,DG=HE,∠GHE=90°, ∵BF AF =, ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°, ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°, ∴∠HEF=∠HFE, ∴FH=EH, ∴FG=FH+GH=DE+DG; (3)解:设OC交HE于M,连接OE、OF, ∵EH=HF,OE=OF,HO=HO, ∴△FHO≌△EHO, ∴∠FHO=∠EHO=45°,

2015中考数学分类汇编圆综合题学生版

2015中考数学真题分类汇编圆综合题 一.解答题(共30小题) 1.(2015?大连)如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且AD平分∠CAB,过点D作AC的垂线,与AC的延长线相交于点E,与AB的延长线相交于点F. (1)求证:EF与⊙O相切; (2)若AB=6,AD=4,求EF的长. 2.(2015?潍坊)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,交AB于点E,过点D作DF⊥AB,垂足为F,连接DE. (1)求证:直线DF与⊙O相切; (2)若AE=7,BC=6,求AC的长. 3.(2015?枣庄)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE. (1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)求证:BC2=CD?2OE; (3)若cos∠BAD=,BE=6,求OE的长. 4.(2015?西宁)如图,已知BC为⊙O的直径,BA平分∠FBC交⊙O于点A,D是射线BF上的一点,且满足=,过点O作OM⊥AC于点E,交⊙O于点M,连接BM, AM. (1)求证:AD是⊙O的切线;

(2)若sin∠ABM=,AM=6,求⊙O的半径. 5.(2015?广元)如图,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦于点E,交⊙O于点F,且CE=CB. (1)求证:BC是⊙O的切线; (2)连接AF、BF,求∠ABF的度数; (3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半径. 6.(2015?北海)如图,AB、CD为⊙O的直径,弦AE∥CD,连接BE交CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使∠PED=∠C. (1)求证:PE是⊙O的切线; (2)求证:ED平分∠BEP; (3)若⊙O的半径为5,CF=2EF,求PD的长. 7.(2015?莆田)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,对角线AC,BD交于点E,点O 在线段AE上,⊙O过B,D两点,若OC=5,OB=3,且cos∠BOE=.求证:CB是⊙O的切线.

中考数学专题训练圆的证明与计算(含答案)

圆的证明与计算 1.如图,已知△ABC 内接于△O , P 是圆外一点,P A 为△O 的切线,且P A =PB ,连接 OP ,线段 AB 与线段 OP 相交于点D . (1)求证:PB 为△O 的切线; (2)若P A =4 5PO ,△O 的半径为10,求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明:△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△

△△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明:△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△

△OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解:△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF -△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3.如图,在△ABC 中,AB =BC ,以AB 为直径作△O ,交BC 于点D ,交AC 于点E ,过点E 作△O 的切线EF ,交BC 于点F . (1)求证:EF △BC ; (2)若CD =2,tan C =2,求△O 的半径.

中考数学圆的综合-经典压轴题及答案

中考数学圆的综合-经典压轴题及答案 一、圆的综合 1.如图,点A、B、C分别是⊙O上的点, CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,AP=AC. (1)若∠B=60°,求证:AP是⊙O的切线; (2)若点B是弧CD的中点,AB交CD于点E,CD=4,求BE·AB的值. 【答案】(1)证明见解析;(2)8. 【解析】 (1)求出∠ADC的度数,求出∠P、∠ACO、∠OAC度数,求出∠OAP=90°,根据切线判定推出即可; (2)求出BD长,求出△DBE和△ABD相似,得出比例式,代入即可求出答案. 试题解析:连接AD,OA, ∵∠ADC=∠B,∠B=60°, ∴∠ADC=60°, ∵CD是直径, ∴∠DAC=90°, ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°, ∵AP=AC,OA=OC, ∴∠OAC=∠ACD=30°,∠P=∠ACD=30°, ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°, 即OA⊥AP, ∵OA为半径, ∴AP是⊙O切线. (2)连接AD,BD,

∵CD是直径, ∴∠DBC=90°, ∵CD=4,B为弧CD中点, ∴BD=BC=, ∴∠BDC=∠BCD=45°, ∴∠DAB=∠DCB=45°, 即∠BDE=∠DAB, ∵∠DBE=∠DBA, ∴△DBE∽△ABD, ∴, ∴BE?AB=BD?BD=. 考点:1.切线的判定;2.相似三角形的判定与性质. 2.如图,已知△ABC内接于⊙O,BC交直径AD于点E,过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G,垂足为F.连接OC. (1)若∠G=48°,求∠ACB的度数; (2)若AB=AE,求证:∠BAD=∠COF; (3)在(2)的条件下,连接OB,设△AOB的面积为S1,△ACF的面积为S2.若 tan∠CAF= 1 2,求1 2 S S的值. 【答案】(1)48°(2)证明见解析(3)3 4

深圳中考数学专题--圆

2017届深圳中考数学专题——圆 一.解答题(共30小题) 1.如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且AD平分∠CAB,过点D作AC的垂线,与AC的延长线相交于点E,与AB的延长线相交于点F. (1)求证:EF与⊙O相切; (2)若AB=6,AD=4,求EF的长. 2.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,交AB于点E,过点D作DF⊥AB,垂足为F,连接DE. (1)求证:直线DF与⊙O相切; (2)若AE=7,BC=6,求AC的长. 3.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE. (1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)求证:BC2=CD?2OE; (3)若cos∠BAD=,BE=6,求OE的长.

4.如图,已知BC为⊙O的直径,BA平分∠FBC交⊙O于点A,D是射线BF上的一点,且满足=,过点O作OM⊥AC于点E,交⊙O于点M,连接BM,AM. (1)求证:AD是⊙O的切线; (2)若sin∠ABM=,AM=6,求⊙O的半径. 5.如图,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦于点E,交⊙O 于点F,且CE=CB. (1)求证:BC是⊙O的切线; (2)连接AF、BF,求∠ABF的度数; (3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半径.

6.如图,AB、CD为⊙O的直径,弦AE∥CD,连接BE交CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使∠PED=∠C. (1)求证:PE是⊙O的切线; (2)求证:ED平分∠BEP; (3)若⊙O的半径为5,CF=2EF,求PD的长. 8.如图,△ABC中,以AC为直径的⊙O与边AB交于点D,点E为⊙O上一点,连接CE并延长交AB于点F,连接ED. (1)若∠B+∠FED=90°,求证:BC是⊙O的切线; (2)若FC=6,DE=3,FD=2,求⊙O的直径. 9.如图,△ABC为等边三角形,以边BC为直径的半圆与边AB,AC分别交于D,F两点,过点D作DE⊥AC,垂足为点E. (1)判断DF与⊙O的位置关系,并证明你的结论; (2)过点F作FH⊥BC,垂足为点H,若AB=4,求FH的长(结果保留根号).

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1.(北京市西城区)如图,BC 是⊙O 的直径,P 是CB 延长线上一点,PA 切⊙O 于点A ,如果PA =3,PB =1,那么∠APC 等于 ( ) (A ) 15 (B ) 30 (C ) 45 (D ) 60 2.(北京市西城区)如果圆柱的高为20厘米,底面半径是高的 41,那么这个圆柱的侧面积是 ( ) (A )100π平方厘米 (B )200π平方厘米 (C )500π平方厘米 (D )200平方厘米 3.(北京市西城区)“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题,“今在圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用 现在的数学语言表述是:“如图,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD ,垂足为E ,CE =1寸,AB =寸,求直径CD 的长”.依题意,CD 长为 ( ) (A )2 25寸 (B )13寸 (C )25寸 (D )26寸 4.(北京市朝阳区)已知:如图,⊙O 半径为5,PC 切⊙O 于点C ,PO 交⊙O 于点A ,PA =4,那么PC 的长等于 ( ) (A )6 (B )25 (C )210 (D )214 5.(北京市朝阳区)如果圆锥的侧面积为20π平方厘米,它的母线长为5厘 米,那么此圆锥的底面半径的长等于 ( ) (A )2厘米 (B )22厘米 (C )4厘米 (D )8厘米 6.(天津市)相交两圆的公共弦长为16厘米,若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米,则这两圆的圆心距为 ( ) (A )7厘米 (B )16厘米 (C )21厘米 (D )27厘米 7.(重庆市)如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,∠C = 90,AO 的延长线交BC 于点D ,AC =4,DC =1,,则⊙O 的半径等于 ( )

中考数学圆综合题汇编

25题汇编 1. 如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,切点为B ,AD 为弦,OC ∥AD 。 (1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)若OA=2,求OC AD 的值。 2. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠B=60°,CD 是⊙O 的直径,P 是CD 延长线上的一点,且AP=AC (1)求证:直线AP 是⊙O 的切线; (2)若AC=3,求PD 的长。 D C B A O C B

3. 如图,已知AB 是⊙O 的直径,AM 和BN 是⊙O 的两条切线,点E 是⊙O 上一点,点D 是AM 上一点,连接DE 并延长交BN 于点C ,连接OD 、BE ,且OD ∥BE 。 (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若AD=1,BC=4,求直径AB 的长。 4. 如图,△ABC 内接于⊙O ,弦AD ⊥AB 交BC 于点E ,过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ,且∠ABF=∠ABC 。 (1)求证:AB=AC ; (2)若EF=4,2 3 tan F ,求DE 的长。 M N E D C B A O

5. 在△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径作⊙O ,交BC 于点D ,过点D 作DE ⊥AC ,垂足为E 。 (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若AE=1,52=BD ,求AB 的长。 6. 如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,AD 垂直于过点C 的直线,垂足为D ,且AC 平分 ∠BAD 。 (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若62=AC ,AD=4,求AB 的长。 A

中考数学圆的综合综合经典题及详细答案

中考数学圆的综合综合经典题及详细答案 一、圆的综合 1.如图,四边形OABC 是平行四边形,以O 为圆心,OA 为半径的圆交AB 于D ,延长AO 交O 于E ,连接CD ,CE ,若CE 是⊙O 的切线,解答下列问题: (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若BC=4,CD=6,求平行四边形OABC 的面积. 【答案】(1)证明见解析(2)24 【解析】 试题分析:(1)连接OD ,求出∠EOC=∠DOC ,根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ,推出∠ODC=∠OEC=90°,根据切线的判定推出即可; (2)根据切线长定理求出CE=CD=4,根据平行四边形性质求出OA=OD=4,根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解. 试题解析:(1)证明:连接OD , ∵OD=OA , ∴∠ODA=∠A , ∵四边形OABC 是平行四边形, ∴OC ∥AB , ∴∠EOC=∠A ,∠COD=∠ODA , ∴∠EOC=∠DOC , 在△EOC 和△DOC 中, OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC (SAS ), ∴∠ODC=∠OEC=90°, 即OD ⊥DC , ∴CD 是⊙O 的切线; (2)由(1)知CD 是圆O 的切线, ∴△CDO 为直角三角形, ∵S △CDO = 1 2 CD?OD , 又∵OA=BC=OD=4,

∴S△CDO=1 2 ×6×4=12, ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24. 2.如图,⊙M交x轴于B、C两点,交y轴于A,点M的纵坐标为2.B(﹣33,O),C(3,O). (1)求⊙M的半径; (2)若CE⊥AB于H,交y轴于F,求证:EH=FH. (3)在(2)的条件下求AF的长. 【答案】(1)4;(2)见解析;(3)4. 【解析】 【分析】 (1)过M作MT⊥BC于T连BM,由垂径定理可求出BT的长,再由勾股定理即可求出BM的长; (2)连接AE,由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC,再由AAS定理得出△AEH≌△AFH,进而可得出结论; (3)先由(1)中△BMT的边长确定出∠BMT的度数,再由直角三角形的性质可求出CG 的长,由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形,进而可求出答案.【详解】 (1)如图(一),过M作MT⊥BC于T连BM, ∵BC是⊙O的一条弦,MT是垂直于BC的直径, ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ; (2)如图(二),连接AE,则∠AEC=∠ABC,∵CE⊥AB, ∴∠HBC+∠BCH=90°

天津市2020版中考数学专题练习:圆50题_含答案

、选择题: 1. 如图,小明同学设计了一个测量圆直径的工具,标有刻度的尺子 3. 已知圆内接正三角形的边心距为 1,则这个三角形的面积为( ) A .2 B .3 C .4 D .6 4. 如图,点 A , B , C ,在⊙ O 上,∠ ABO=32°,∠ ACO=38°,则∠ BOC 等于 ( 6.如图, ⊙O 是△ ABC 的外接圆 ,弦AC 的长为 3,sinB=0.75, 则⊙ O 的半径为( ) 圆 50 题 垂直,在测直径时,把 A . O 点靠在圆周上,读得刻度 OE=8个单位, 12 个单位 B . 10 个单位 C CD 是⊙ O 的两条弦,连结 AD 、BC .若∠ BCD=70°, OF=6个单位,则圆的直径为 ( 1 个单位 D . 15 个单位 则∠ BAD 的度数为( 2. 如图, AB 、 A . 40° B .50° C . 60° D . 70° B .70° C .120° D . 140° 5. 如图 , 点 A,B,C 在⊙ O 上, ∠A=36° , ∠ C=28° , 则∠ B=( A.100 B.72 C.64 D.36 OA 、 OB 在 O 点钉在一起,并使它们保持

AD 切⊙ O 于点 A ,点 C 是弧 BE 的中点,则下列结论不成立的是( B . EC=B C C .∠ DAE=∠ABE D .AC ⊥OE 10. 如图 , △ABC 中,AB=5,BC=3,AC=4, 以点 C 为圆心的圆与 AB 相切 ,则⊙ C 半径为( 11. 数学课上,老师让学生尺规作图画 Rt △ABC ,使其斜边 AB=c ,一条直角边 BC=a ,小明的作法如图所 示, 你认为这种作法中判断∠ ACB 是直角的依据是( ) A.4 B.3 C.2 D. OB=6cm,高 OC=8cm 则. 这个圆锥的侧面 积是 7. 如图,圆锥的底面半径 22 A.30cm 2 B.30 π cm 2 C.60 2 π cm D.120cm 9. 如图,AB 是⊙ O 的直径 ,C 、D 是⊙ O 上两点 , 分别连接 AC 、BC 、CD 、OD .∠ DOB=140° A.20° B.30 C.40 D.70 ,则∠ ACD (= B.2.5 C.2.4 D.2.3

“中考数学专题复习 圆来如此简单”经典几何模型之隐圆专题(含答案)

经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单” 一.名称由来 在中考数学中,有一类高频率考题,几乎每年各地都会出现,明明图形中没有出现“圆”,但是解题中必须用到“圆”的知识点,像这样的题我们称之为“隐圆模型”。 正所谓:有“圆”千里来相会,无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“圆”形毕露,则答案手到擒来! 二.模型建立 【模型一:定弦定角】 【模型二:动点到定点定长(通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变)】 【模型三:直角所对的是直径】 【模型四:四点共圆】 ` 三.模型基本类型图形解读 【模型一:定弦定角的“前世今生”】 【模型二:动点到定点定长】

【模型三:直角所对的是直径】 【模型四:四点共圆】 四.“隐圆”破解策略 牢记口诀:定点定长走圆周,定线定角跑双弧。 直角必有外接圆,对角互补也共圆。五.“隐圆”题型知识储备

3 六.“隐圆”典型例题 【模型一:定弦定角】 1.(2017 威海)如图 1,△ABC 为等边三角形,AB=2,若P 为△ABC 内一动点,且满足 ∠PAB=∠ACP,则线段P B 长度的最小值为_ 。 简答:因为∠PAB=∠PCA,∠PAB+∠PAC=60°,所以∠PAC+∠PCA=60°,即∠APC=120°。因为A C定长、∠APC=120°定角,故满足“定弦定角模型”,P在圆上,圆周角∠APC=120°,通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°,故以AC 为边向下作等边△AOC,以O 为圆心,OA 为半径作⊙O,P在⊙O 上。当B、P、O三点共线时,BP最短(知识储备一:点圆距离), 此时B P=2 -2 2.如图1所示,边长为2的等边△ABC 的原点A在x轴的正半轴上移动,∠BOD=30°,顶点A 在射线O D 上移动,则顶点C到原点O的最大距离为。

中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案

中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案 一、圆的综合 1.如图,点P在⊙O的直径AB的延长线上,PC为⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交⊙O于点E. (1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC; (2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,?? BF FA =,连接EF,过点F作AD 的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG; (3)在(2)的条件下,如图3,若AE=2 3 DG,PO=5,求EF的长. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=32. 【解析】 【分析】 (1)连接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根据切线的判定推出即可; (2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案; (3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根据矩形的性质得出 EH∥DG,求出OM=1 2 AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE= 2 3 DG,DG=3a, 求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO= 1 2 MO BM =,tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k,则PC=2k,根据OP=5k=5求出k=5,根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】 (1)证明:连接OC, ∵PC为⊙O的切线,

∴OC⊥PC, ∵AD⊥PC, ∴OC∥AD, ∴∠OCA=∠DAC, ∵OC=OA, ∴∠PAC=∠OCA, ∴∠DAC=∠PAC; (2)证明:连接BE交GF于H,连接OH, ∵FG∥AD, ∴∠FGD+∠D=180°, ∵∠D=90°, ∴∠FGD=90°, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠BEA=90°, ∴∠BED=90°, ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°, ∴四边形HGDE是矩形, ∴DE=GH,DG=HE,∠GHE=90°, ∵?? BF AF =, ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°, ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°, ∴∠HEF=∠HFE, ∴FH=EH, ∴FG=FH+GH=DE+DG; (3)解:设OC交HE于M,连接OE、OF, ∵EH=HF,OE=OF,HO=HO, ∴△FHO≌△EHO, ∴∠FHO=∠EHO=45°,

中考数学培优专题复习圆的综合练习题附详细答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,四边形OABC 是平行四边形,以O 为圆心,OA 为半径的圆交AB 于D ,延长AO 交O 于E ,连接CD ,CE ,若CE 是⊙O 的切线,解答下列问题: (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若BC=4,CD=6,求平行四边形OABC 的面积. 【答案】(1)证明见解析(2)24 【解析】 试题分析:(1)连接OD ,求出∠EOC=∠DOC ,根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ,推出∠ODC=∠OEC=90°,根据切线的判定推出即可; (2)根据切线长定理求出CE=CD=4,根据平行四边形性质求出OA=OD=4,根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解. 试题解析:(1)证明:连接OD , ∵OD=OA , ∴∠ODA=∠A , ∵四边形OABC 是平行四边形, ∴OC ∥AB , ∴∠EOC=∠A ,∠COD=∠ODA , ∴∠EOC=∠DOC , 在△EOC 和△DOC 中, OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC (SAS ), ∴∠ODC=∠OEC=90°, 即OD ⊥DC , ∴CD 是⊙O 的切线; (2)由(1)知CD 是圆O 的切线, ∴△CDO 为直角三角形, ∵S △CDO = 1 2 CD?OD , 又∵OA=BC=OD=4,

∴S △CDO = 1 2 ×6×4=12, ∴平行四边形OABC 的面积S=2S △CDO =24. 2.已知 O 的半径为5,弦AB 的长度为m ,点C 是弦AB 所对优弧上的一动点. ()1如图①,若m 5=,则C ∠的度数为______; ()2如图②,若m 6=. ①求C ∠的正切值; ②若ABC 为等腰三角形,求ABC 面积. 【答案】()130;()2C ∠①的正切值为3 4 ;ABC S 27=②或 432 25 . 【解析】 【分析】 ()1连接OA ,OB ,判断出AOB 是等边三角形,即可得出结论; ()2①先求出10AD =,再用勾股定理求出8BD =,进而求出tan ADB ∠,即可得出结 论; ②分三种情况,利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论. 【详解】 ()1如图1,连接OB ,OA ,

中考数学圆专题练习

中考数学圆 专题练习-- 一、选择题 1.(2010年 湖里区 二次适应性考试)已知半径分别为5 cm 和8 cm 的两圆相交,则它们的圆心距可能是( ) A .1 cm B .3 cm C .10 cm D .15 cm 答案:C 2.(2010年教育联合体)如图,已知AB 是⊙O 的直径,⊙O 交BC 的中点于D ,DE ⊥AC 于E ,连接AD ,则下列结论 正确的个数是( ) ①AD ⊥BC ,②∠EDA =∠B ,③OA = 1 2AC ,④DE 是⊙O 的切线. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 答案:D 3.(2010安徽省模拟)如图,AB 是⊙O 的直径,点D 、E 是圆的三等分点,AE 、BD 的延长线交于点C ,若CE=2,则 ⊙O 中阴影部分的面积是( ) A .433π- B .2 3π C .2 23 π- D .1 3 π 答案:A 4.(2010年重庆市綦江中学模拟1).在直角坐标系中,⊙A 、⊙B 的 位置如图所示.下列四个点中,在⊙A 外部且在⊙B 内部的是( ) A.(1,2) B.(2,1). C.(2,-1). D.(3,1) 答案C 5.(2010年聊城冠县实验中学二模)如下图,将半径为2cm 的圆形纸片 第4题图 O D B C E A 第3题 A O B C D E

折叠后,圆弧恰好经过圆心O ,则折痕AB 的长为( ) A .2cm B .3cm C .32cm D .52cm 答案C 6.(2010年广州市中考六模)、如果圆锥的母线长为6cm ,底面圆半径为3cm ,则这个圆锥的侧面积为( ) A. 2 9cm π B. 2 18cm π C. 2 27cm π D. 2 36cm π 答案:B 7.(2010年广州市中考六模)如图,已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E , 的度数为60°, 的度数为100°,则∠AEC 等于( ) A. 60° B. 100° C. 80° D. 130° 答案:C 8.(2010年广西桂林适应训练)如图,圆弧形桥拱的跨度AB = 12米,拱高CD =4米,则拱桥的半径为( ). A.6.5米 B.9米 C.13米 D.15米 答案:A 9.(2010年广西桂林适应训练)如图,BD 是⊙O 的直径,∠CBD=30o , 则∠A 的度数为( ).[来 A.30o B.45o C.60o D.75o 答案:C 10.(2010山东新泰)已知⊙O 1的半径为5cm ,⊙O 2的半径为3cm ,圆心距O 1O 2=2,那么⊙O 1与⊙O 2的位置关系是( ) A .相离 B .外切 C .相交 D .内切 答案:D 11.(2010年济宁师专附中一模)如图,A B C D ,,,为⊙O 的四等分点,动点P 从圆心O 出发,沿O C D O ---路 7题图 8题图 9题图

中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析

中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析 一、圆的综合 1.如图,点A、B、C分别是⊙O上的点, CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,AP=AC. (1)若∠B=60°,求证:AP是⊙O的切线; (2)若点B是弧CD的中点,AB交CD于点E,CD=4,求BE·AB的值. 【答案】(1)证明见解析;(2)8. 【解析】 (1)求出∠ADC的度数,求出∠P、∠ACO、∠OAC度数,求出∠OAP=90°,根据切线判定推出即可; (2)求出BD长,求出△DBE和△ABD相似,得出比例式,代入即可求出答案. 试题解析:连接AD,OA, ∵∠ADC=∠B,∠B=60°, ∴∠ADC=60°, ∵CD是直径, ∴∠DAC=90°, ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°, ∵AP=AC,OA=OC, ∴∠OAC=∠ACD=30°,∠P=∠ACD=30°, ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°, 即OA⊥AP, ∵OA为半径, ∴AP是⊙O切线. (2)连接AD,BD,

∵CD 是直径, ∴∠DBC=90°, ∵CD=4,B 为弧CD 中点, ∴BD=BC= , ∴∠BDC=∠BCD=45°, ∴∠DAB=∠DCB=45°, 即∠BDE=∠DAB , ∵∠DBE=∠DBA , ∴△DBE ∽△ABD , ∴ , ∴BE?AB=BD?BD= . 考点:1.切线的判定;2.相似三角形的判定与性质. 2.如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,点D 在BC uuu r 上,点E 在弦AB 上(E 不与A 重 合),且四边形BDCE 为菱形. (1)求证:AC=CE ; (2)求证:BC 2﹣AC 2=AB?AC ; (3)已知⊙O 的半径为3. ①若AB AC =5 3 ,求BC 的长; ②当 AB AC 为何值时,AB?AC 的值最大? 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)2;② 32

中考数学专题:圆.(学生版)

中考数学试题专题复习:圆 【学生版】 一、选择题 1. (天津3分)已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别为3 cm 和4 cm ,若12O O =7 cm ,则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是 (A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切 2.(内蒙古包头3分)已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米,圆心距是3厘米,则这两个圆的位置关系是 A 、相交 B 、外切 C 、外离 D 、内含 3,(内蒙古包头3分)已知AB 是⊙O 的直径,点P 是AB 延长线上的一个动点, 过P 作⊙O 的切线,切点为C ,∠APC 的平分线交AC 于点D ,则∠CDP 等于 A 、30° B 、60° C 、45° D 、50° 4.(内蒙古呼和浩特3分)如图所示,四边形ABCD 中,DC∥AB,BC=1, AB=AC=AD=2.则BD 的长为 A. 14 B. 15 C. 32 D. 23 5.(内蒙古呼伦贝尔3分)⊙O 1的半径是cm 2,⊙2的半径是cm 5,圆心距是cm 4,则两圆的位置关系为 A. 相交 B. 外切 C.外离 D. 内切 6.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图,⊙O 的半径为5,弦AB 的长为8,M 是弦AB 上的动点, 则线段OM 长的最小值为. A. 5 B. 4 C. .3 D. 2 7.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图,AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上 ,∠BOD=110°, AC∥OD,则∠AOC 的度数 A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 8.(内蒙古乌兰察布3分)如图, AB 为 ⊙ O 的直径, CD 为弦, AB ⊥ CD , 如果∠BOC = 700 ,那么∠A 的度数为 A 70 0 B. 350 C. 300 D . 200 17.填空题 1.(天津3分)如图,AD ,AC 分别是⊙O 的直径和弦.且∠CAD=30°.OB⊥AD,交AC 于点B .若OB=5,则BC 的长等于 ▲ 。

中考数学圆综合题(含答案)

一.圆地概念 集合形式地概念:1. 圆可以看作是到定点地距离等于定长地点地集合; 2.圆地外部:可以看作是到定点地距离大于定长地点地集合; 3.圆地内部:可以看作是到定点地距离小于定长地点地集合 轨迹形式地概念: 1.圆:到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心,定长为半径地圆; (补充)2.垂直平分线:到线段两端距离相等地点地轨迹是这条线段地垂直平分线(也叫中垂线); 3.角地平分线:到角两边距离相等地点地轨迹是这个角地平分线; 4.到直线地距离相等地点地轨迹是:平行于这条直线且到这条直线地距离等于定长地两条直线; 5.到两条平行线距离相等地点地轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等地一条直线. 二.点与圆地位置关系 1.点在圆内?d r?点A在圆外; 三.直线与圆地位置关系 1.直线与圆相离?d r>?无交点; 2.直线与圆相切?d r=?有一个交点; 3.直线与圆相交?d r+; A

外切(图2)? 有一个交点 ? d R r =+; 相交(图3)? 有两个交点 ? R r d R r -<<+; 内切(图4)? 有一个交点 ? d R r =-; 内含(图5)? 无交点 ? d R r <-; 图1 五.垂径定理 垂径定理:垂直于弦地直径平分弦且平分弦所对地弧. 推论1:(1)平分弦(不是直径)地直径垂直于弦,并且平分弦所对地两条弧; (2)弦地垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对地两条弧; (3)平分弦所对地一条弧地直径,垂直平分弦,并且平分弦所对地另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论. 推论2:圆地两条平行弦所夹地弧相等. 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六.圆心角定理 图2 图4 图5 B D

2021中考数学专题训练——圆 (解析版)

2021中考数学专题训练——圆 考点一 圆的有关概念及性质 1.(2018衢州,10,3分)如图,AC 是☉O 的直径,弦BD ⊥AO 于E,连接BC,过点O 作OF ⊥BC 于F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF 的长度是?( ) A.3 cm B.6cm C. 2.5cm D.5cm 答案 D ∵AC ⊥BD,∴BE=DE=2 1BD=4 cm. 设☉O 的半径为r cm. 连接OB,则在Rt △BOE 中,r 2=42+(r-2)2,解得r=5. ∴CE=8 cm.∴BC=54 cm. 又∵OF ⊥BC,∴CF=2 1BC=52 cm, ∵OC=5 cm,∴OF=5 cm.故选D. 2.(2016杭州,8,3分)如图,已知AC 是☉O 的直径,点B 在圆周上(不与A,C 重合),点D 在AC 的延长线上,连接BD 交☉O 于点E.若∠AOB=3∠ADB,则?( ) A.DE=EB B.?DE=2EB C.3DE=DO D.DE=OB 答案 D 连接OE,∠AOB=∠ADB+∠B=3∠ADB, ∴∠B=2∠ADB,∵OE=OB, ∴∠OEB=∠B=2∠ADB=∠ADB+∠EOC, ∴∠ADB=∠EOC,∴DE=EO,∴DE=OB.故选D. 3. (2019台州,14,5分)如图,AC 是圆内接四边形ABCD 的一条对角线,点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上,连接AE,若∠ABC=64°,则∠BAE 的度数为_______ . 答案 52° 解析 由题意得∠D=180°-∠ABC=116°, ∵点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上, ∴∠D=∠AEC=116°, ∴∠BAE=116°-64°=52°. ? 4.(2018杭州,14,4分)如图,AB 是☉O 的直径,点C 是半径OA 的中点,过点C 作DE ⊥AB,交☉O

中考数学圆综合练习题含答案

数学中考圆综合题附参考答案 1.如图,△ABC 中,以BC 为直径的圆交AB 于点D ,∠ACD =∠ABC . (1)求证:CA 是圆的切线; (2)若点E 是BC 上一点,已知BE =6,tan ∠ABC = 32,tan ∠AEC =3 5 ,求圆的直径. 2. 如图右,已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点,AE 是⊙0的直径.点C 为⊙0上一点,且AC 平分∠PAE ,过C 作CD ⊥PA ,垂足为D 。 (1)求证:CD 为⊙0的切线; (2)若DC+DA=6,⊙0的直径为l0,求AB 的长度. 1. (1)证明:连接OC, ∵点C 在⊙0上,0A=OC,∴∠OCA=∠OAC ,∵CD ⊥PA ,∴∠CDA=90°, 有∠CAD+∠DCA=90°,∵AC 平分∠PAE ,∴∠DAC=∠CAO 。 ∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。 又∵点C 在⊙O 上,OC 为⊙0的半径,∴CD 为⊙0的切线. (2)解:过0作0F ⊥AB ,垂足为F ,∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°, ∴四边形OCDF 为矩形,∴0C=FD ,OF=CD. ∵DC+DA=6,设AD=x ,则OF=CD=6-x ,∵⊙O 的直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x , 在Rt △AOF 中,由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=,化简得:211180x x -+= 解得2x =或9x =。由AD

中考数学总复习专题训练及答案(圆)

2008年中考总复习专题训练(圆) 一、选择题(每小题3分,共45分) 1.在△ABC 中,∠C=90°,AB =3cm ,BC =2cm,以点A 为圆心,以2.5cm 为半径作圆,则点C 和⊙A 的位置关系是( )。 A .C 在⊙A 上 B.C 在⊙A 外 C .C 在⊙A 内 D.C 在⊙A 位置不能确定。 2.一个点到圆的最大距离为11cm ,最小距离为5cm,则圆的半径为( )。 A .16cm 或6cm B.3cm 或8cm C .3cm D.8cm 3.AB 是⊙O 的弦,∠AOB =80°则弦AB 所对的圆周角是( )。 A .40° B.140°或40° C .20° D.20°或160° 4.O 是△ABC 的内心,∠BOC 为130°,则∠A 的度数为( )。 A .130° B.60° C .70° D.80° 5.如图1,⊙O 是△ABC 的内切圆,切点分别是D 、E 、F ,已知∠A = 100°,∠C = 30°, 则∠DFE 的度数是( )。 A .55° B.60° C .65° D.70° 6.如图2,边长为12米的正方形池塘的周围是草地,池塘边A 、B 、C 、D 处各有一棵树, 且AB=BC=CD=3米.现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上.为了使羊在草地上活动区域的面积最大,应将绳子拴在( )。 A . A 处 B . B 处 C .C 处 D .D 处 图1 图2 7.已知两圆的半径分别是2和4,圆心距是3,那么这两圆的位置是( )。 A .内含 B.内切 C .相交 D. 外切 8.已知圆锥的底面半径为3,高为4,则圆锥的侧面积为( )。 A.10π B .12π C.15π D.20π 9.如果在一个顶点周围用两个正方形和n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌,则n 的值是 ( )。 A .3 B .4 C .5 D .6 10.下列语句中不正确的有( )。 ①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧 A .3个 B.2个 C .1个 D.4个 11.先作半径为2 3的第一个圆的外切正六边形,接着作上述外切正六边形的外接圆,再作上述外接圆的外切正六边形,…,则按以上规律作出的第8个外切正六边形的边长为( )。

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