第3讲 平面向量
1．(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →
，则( ) A.AD →
＝－13AB →＋43AC →
B.AD →＝13AB →－43AC →
C.AD →＝43AB →＋13
AC →
D.AD →＝43AB →－13
AC →
2．(2015·四川)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →
，DN →
＝2NC →，则AM →·NM →
等于( )
A ．20 B. 15 C ．9 D ．6
3．(2015·江苏)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．
4．(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →
|的最大值是________．
1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.
2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.
热点一 平面向量的线性运算
(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；
(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．
例1 (1)(2014·陕西)设0<θ<π
2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝
(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝______.
(2)如图，在△ABC 中，AF ＝1
3AB ，D 为BC 的中点，AD 与CF 交于点E .
若AB →＝a ，AC →＝b ，且CE →
＝x a ＋y b ，则x ＋y ＝________.
思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．
跟踪演练1 (1)(2015·黄冈中学期中)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →
＝n i ＋j ，
m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( )
A ．m ＋n ＝1
B ．m ＋n ＝－1
C ．mn ＝1
D ．mn ＝－1
(2)(2015·北京)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →
，则x ＝________；
y ＝________.
热点二 平面向量的数量积
(1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. (2)三个结论
①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2
＋y 2
. ②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2.
③若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，
则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21x 22＋y 22
.
例2 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →
，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →
的值是________．
(2)在△AOB 中，G 为△AOB 的重心，且∠AOB ＝60°，若OA →·OB →＝6，则|OG →
|的最小值是________． 思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算． 跟踪演练2 (1)(2015·山东)过点P (1，3)作圆x 2
＋y 2
＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，
则PA
→
·PB
→
＝
________________________________________________________________________. (2)(2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →
的夹角
为________．
热点三 平面向量与三角函数
平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．
例3 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α (1)若α＝π 4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值； (2)若a 与b 的夹角为π 3，且a ⊥c ，求tan 2α的值． 思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中 的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题． 跟踪演练3 (2014·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC → ＝2，cos B ＝1 3，b ＝3.求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值． 1．如图，在△ABC 中，AD →＝13AB → ，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →.则AN → 等于( ) A.1 2(a ＋b ) B.1 3(a ＋b ) C.1 6 (a ＋b ) D.1 8 (a ＋b ) 2．如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE → 等于( ) A ．－34 B ．－89 C ．－14 D ．－49 3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，且a ⊥b ，则tan(2α＋π 4)＝________. 4．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP → 最小值是_______________________________________________________． 二轮专题强化练 专题三 第3讲 平面向量 A 组 专题通关 1．(2015·佛山月考)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC → ＝(1,3)，则DA → 等于( ) A ．(2,4) B ．(3,5) C ．(1,1) D ．(－1，－1) 2．(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC → ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥BC → 3．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 边上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC → ，则实 数m 的值为( ) A.1 9 B.13 C ．1 D ．3 4．(2015·福建)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP → ＝AB → |AB →|＋4AC →|AC →| ，则PB →·PC → 的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 5．(2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB → ＝________. 6．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC → ，则△ABM 与△ABC 的面积比值为________． 7．(2015·天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16 DC →，则AE →·AF → 的值为________． 8．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ?b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(2，12)，n ＝(π 3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ?OP → ＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________． 9．(2015·惠州二调)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π 2 ]． (1)若|a |＝|b |，求x 的值； (2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 10．已知向量a ＝(2sin(ωx ＋2π 3)，0)，b ＝(2cos ωx,3)(ω>0)，函数f (x )＝a ·b 的图象 与直线y ＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π. (1)求ω的值； (2)求函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间． B 组 能力提高 11．已知非零单位向量a 与非零向量b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则向量b －a 在向量a 上的投影为( ) A ．1 B.22 C ．－1 D ．－ 22 12．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1] B ．[2－1，2＋2] C ．[1，2＋1] D ．[1，2＋2] 13．(2015·江苏)设向量a k ＝? ????cos k π 6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0,1,2，…，12)，则∑k ＝0 11 (a k ·a k ＋1 )的值为________． 14．(2014·陕西)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上． (1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP → |； (2)设OP →＝mAB →＋nAC → (m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 学生用书答案精析 第3讲 平面向量 高考真题体验 1．A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC → )， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD → ＝－13AB →＋43AC →.] 2．C [AM →＝AB →＋34AD → ， NM →＝CM →－CN → ＝－14AD →＋13 AB →， ∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD → )·112 (4AB →－3AD →) ＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42 )＝9，选C.] 3．－3 解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即??? ?? 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得? ?? ?? m ＝2， n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3. 4.7＋1 解析 设D (x ，y )，由CD → ＝(x －3，y )及 |CD →|＝1知(x －3)2＋y 2 ＝1， 即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆． 又O A →＋OB →＋OD → ＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y ) ＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD → |＝ x －1 2 ＋ y ＋3 2 . 问题转化为圆(x －3)2 ＋y 2 ＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为 3－1 2 ＋ 0＋3 2 ＝7， 故 x －1 2＋ y ＋3 2 的最大值为7＋1. 热点分类突破 例1 (1)12 (2)－1 2 解析 (1)因为a ∥b ， 所以sin 2θ＝cos 2 θ，2sin θcos θ＝cos 2 θ. 因为0<θ<π 2，所以cos θ>0， 得2sin θ＝cos θ，tan θ＝1 2. (2)如图，设FB 的中点为M ，连接MD . 因为D 为BC 的中点，M 为FB 的中点，所以MD ∥CF . 因为AF ＝1 3AB ，所以F 为AM 的中点，E 为AD 的中点． 方法一 因为AB →＝a ，AC → ＝b ，D 为BC 的中点， 所以AD →＝1 2(a ＋b )． 所以AE →＝12AD →＝1 4(a ＋b )． 所以CE →＝CA →＋AE →＝－AC →＋AE → ＝－b ＋1 4(a ＋b ) ＝14a －34 b . 所以x ＝14，y ＝－34，所以x ＋y ＝－1 2. 方法二 易得EF ＝12MD ，MD ＝1 2CF ， 所以EF ＝14CF ，所以CE ＝3 4 CF . 因为CF →＝CA →＋AF →＝－AC →＋AF → ＝－b ＋13 a ， 所以CE →＝3 4(－b ＋13a )＝14a －34b . 所以x ＝14，y ＝－34，则x ＋y ＝－1 2. 跟踪演练1 (1)C (2)12 －1 6 解析 (1)因为A ，B ，D 三点共线，所以 AB → ＝λAD → ?i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，m ≠1，又向量i 与j 不共线，所以? ?? ?? 1＝λn ，m ＝λ，所以mn ＝1. (2)如图，MN →＝MC →＋CN → ＝13AC →＋12CB → ＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16. 例2 (1)22 (2)2 解析 (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝ AD → －34 AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD → ＋ 14AB →)·(AD →－34 AB →)＝2，即AD → 2－ 12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD → ＝22. (2)如图，在△AOB 中，OG →＝23OE →＝23×12(OA →＋OB →) ＝13 (OA →＋OB → )， 又OA →·OB →＝|OA →||OB → |·cos 60°＝6， ∴|OA →||OB → |＝12， ∴|OG →|2＝19(OA →＋OB →)2＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →)＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋12)≥19×(2|OA →||OB → | ＋12)＝19×36＝4(当且仅当|OA →|＝|OB → |时取等号)． ∴|OG →|≥2，故|OG → |的最小值是2. 跟踪演练2 (1)3 2 (2)90° 解析 (1)由题意，圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示， ∵P (1，3)，∴PA ⊥x 轴，PA ＝PB ＝ 3. ∴△POA 为直角三角形，其中OA ＝1，AP ＝3，则OP ＝2， ∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°. ∴PA →·PB →＝|PA →||PB → |·cos∠APB ＝3×3×cos 60°＝32. (2)∵AO →＝12 (AB →＋AC → )， ∴点O 是△ABC 中边BC 的中点， ∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB →，AC → 〉＝90°. 例3 解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )， c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4 ， ∴f (x )＝b ·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α ＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )． 令t ＝sin x ＋cos x ? ??? ?π4 则2sin x cos x ＝t 2 －1，且－1 ＋2t －1＝? ????t ＋222－3 2 ，－1 22时，y min ＝－32 ， 此时sin x ＋cos x ＝－ 2 2 ， 即2sin ? ????x ＋π4＝－22， ∵π4 4π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12 . ∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π 12. (2)∵a 与b 的夹角为π 3 ， ∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)． ∵0<α 3. ∵a ⊥c ， ∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0， ∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0， 即sin ? ????2α＋π3＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－3 5. 跟踪演练3 解 (1)由BA →·BC → ＝2得c ·a cos B ＝2. 又cos B ＝1 3 ，所以ac ＝6. 由余弦定理，得a 2 ＋c 2 ＝b 2 ＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2 ＝9＋2×6×13 ＝13. 解????? ac ＝6，a 2＋c 2 ＝13， 得????? a ＝2， c ＝3 或????? a ＝3， c ＝2. 因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中， sin B ＝1－cos 2 B ＝ 1－ 13 2＝22 3 ， 由正弦定理， 得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝42 9 . 因为a ＝b >c ， 所以C 为锐角， 因此cos C ＝1－sin 2 C ＝ 1－ 429 2＝7 9 . 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝23 27. 高考押题精练 1．C [因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ，则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝AD AB . 因为AD →＝13AB →，所以AN →＝13AM → . 因为M 为BC 的中点， 所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝1 2(a ＋b )， 所以AN →＝13AM →＝1 6(a ＋b )． 故选C.] 2．B [∵BF →＝2FO → ，圆O 的半径为1， ∴|FO → |＝13 ， ∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝(13)2 ＋0－1＝－89.] 3．－1 7 解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，且a ⊥b ， 所以cos α＋2sin α＝0， 则tan α＝－1 2 . 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－4 3 . 所以tan(2α＋π4)＝tan 2α＋tan π 4 1－tan 2α·tan π4＝－43＋11－ －43 ×1 ＝－1 373＝－1 7 . 4．－1 16 解析 因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋(BP →)2 .又因为∠AOB ＝60°， OA ＝OB ， ∴∠OBA ＝60°.OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP → |2 ＝(|BP →|－14)2－116≥－116.故当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →最小值是－116 . 二轮专题强化练答案精析 第3讲 平面向量 1．C [DA →＝CB →＝AB →－AC → ＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．] 2．D [在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB → ＝2a ＋b －2a ＝b ， 得|b |＝2. 又|a |＝1，所以a·b ＝|a||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b |2 ＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC → ，故选D.] 3．B [如图，因为AN →＝12NC →，所以AN →＝13AC → ， AP → ＝mAB →＋29 AC → ＝mAB → ＋23 AN →，因为B ，P ，N 三点共线， 所以m ＋23＝1，所以m ＝1 3.] 4.A [建立如图所示坐标系，则 B ? ????1 t ，0，C (0，t )，AB →＝? ????1 t ，0，AC → ＝(0，t )， AP → ＝AB → |AB →|＋4AC →|AC →| ＝t ? ????1t ，0＋4 t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)，PB →·PC →＝ ? ????1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－? ?? ??1t ＋4t ≤17－21 t ·4t ＝13， 故选A.] 5．9 解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2 ＋0＝32 ＝9. 6.35 解析 设AB 的中点为D ， 由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC → ＝2AD →－2AM →， 即3CM →＝2MD →. 如图所示，故C ，M ，D 三点共线， 且MD →＝35 CD →， 也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5， 则△ABM 与△ABC 的面积比值为3 5. 7.2918 解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1， ∠ABC ＝60°，∴CD ＝1，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC → ， AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16 DC →， ∴AE →·AF →＝? ????AB →＋23BC →·? ????AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC → ＝2×1×cos 60°＋2×16＋23×1×cos 60°＋23×16×cos 120°＝29 18. 8．[－12，1 2 ] 解析 令Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m ?OP → ＋n ＝(2x ，12sin x )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12 sin x )， ∴????? c ＝2x ＋π 3，d ＝1 2sin x ， 消去x 得d ＝12sin(12c －π 6 )， ∴y ＝f (x )＝12sin(12x －π 6)， 易知y ＝f (x )的值域是[－12，1 2 ]． 9．解 (1)由|a |2 ＝(3sin x )2 ＋(sin x )2 ＝4sin 2 x ， |b |2 ＝(cos x )2 ＋(sin x )2 ＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2 x ＝1. 又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝1 2， 所以x ＝π 6 . (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2 x ＝ 32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12 ， 当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π 6)取最大值1. 所以f (x )的最大值为32 . 10．解 (1)因为向量a ＝(2sin(ωx ＋2π 3)，0)，b ＝(2cos ωx,3)(ω>0)，所以函数f (x ) ＝a ·b ＝4sin(ωx ＋ 2π3)cos ωx ＝4[sin ωx ·(－12)＋cos ωx ·3 2 ]cos ωx ＝23·cos 2 ωx －2sin ωx cos ωx ＝3(1＋cos 2ωx )－sin 2ωx ＝2cos(2ωx ＋π6)＋3， 由题意，可知f (x )的最小正周期为T ＝π，所以2π 2ω ＝π，即ω＝1. (2)易知f (x )＝2cos(2x ＋π6)＋3，当x ∈[0,2π]时，2x ＋π6∈[π6，4π＋π 6]， 故2x ＋π6∈[π，2π]或2x ＋π 6∈[3π，4π]时，函数f (x )单调递增， 所以函数f (x )的单调递增区间为[5π12，11π12]和[17π12，23π 12]． 11．C [因为|a ＋b |＝|a －b |， 所以(a ＋b )2 ＝(a －b )2 ， 解得a ·b ＝0，所以向量b －a 在向量a 上的投影为|b －a |cos 〈a ，b －a 〉＝a · b －a |a | ＝ 0－|a | 2 |a | ＝－|a |＝－1.] 12．A [∵a ·b ＝0，且a ，b 是单位向量， ∴|a |＝|b |＝1. 又∵|c －a －b |2 ＝c 2 －2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2 ＋b 2 ＝1， ∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1. ∵|a |＝|b |＝1且a ·b ＝0， ∴|a ＋b |＝2， ∴c 2 ＋1＝22|c |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)． 又－1≤cos θ≤1，∴0 ＋1≤22|c |， ∴c 2 －22|c |＋1≤0， ∴2－1≤|c |≤2＋1.] 13．9 3 解析 ∵a k ＝? ?? ?? cos k π 6，sin k π 6 ＋cos k π6， ∴a k ·a k ＋1＝? ? ? ?? cos k π 6 ，sin k π 6 ＋cos k π6· ? ????cos k ＋16π，sin k ＋16π＋cos k ＋16π＝cos k π6·cos k ＋16π＋? ????sin k π6＋cos k π6· ? ????sin k ＋16π＋cos k ＋16π＝32cos π6＋12cos 2k ＋16π＋sin 2k ＋16π. 故∑k ＝011 (a k ·a k ＋1)＝∑k ＝0 11 ? ????32cos π6＋12cos 2k ＋16π＋sin 2k ＋16π ＝32∑k ＝011cos π6＋12∑k ＝011cos 2k ＋16π＋∑k ＝0 11 sin 2k ＋16π. 由∑k ＝011 cos 2k ＋16π＝0，∑k ＝0 11 sin 2k ＋1 6π＝0，得 ∑k ＝0 11 (a k ·a k ＋1)＝32cos π 6×12＝9 3. 14．解 (1)方法一 ∵PA →＋PB →＋PC → ＝0， 又PA →＋PB →＋PC → ＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )， ∴????? 6－3x ＝0，6－3y ＝0， 解得??? ?? x ＝2， y ＝2， 即OP →＝(2,2)，故|OP → |＝2 2. 方法二 ∵PA →＋PB →＋PC → ＝0， 则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP → )＝0， ∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC → )＝(2,2)， ∴|OP → |＝2 2. (2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )， ∴? ?? ?? x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 两式相减得，m －n ＝y －x . 令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1. 2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120° 4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（） A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个 5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（） A．B．C．1 D． 6．（5分）已知a=，b=，c=，则（） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（）A．B．C．﹣D．﹣ 9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（） A．18+36B．54+18C．90 D．81 10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（） A．4πB． C．6πD． 11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点， A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（） A．B．C．D． 12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（） A．18个B．16个C．14个D．12个 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为． 2017-2018学年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）（四） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．集合A={x|lnx≥0}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（） A．（1，3）B．[1，3）C．[1，+∞）D．[e，3） 2．若复数（1﹣ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a=（） A．1 B．﹣1 C．0 D．±1 3．如图所示，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的M的值是（） A．1 B．2 C．3 D．4 4．设，是两个非零向量，若p：?＞0，q：，夹角是锐角，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若tanα=2，则sin2α﹣cos2α的值为（） A．B．﹣C．D．﹣ 6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（） A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8 7．一个体积为8的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（） A．4B．4 C．6D．6 8．等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项都是1，公差公比都是2，则b b b=（）A．64 B．32 C．256 D．4096 9．如图，若在矩阵OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（） A．1﹣B．C． D．1﹣ 10．已知实数x，y满足，若目标函数z=x﹣y的最大值为a，最小值为b，则（a ﹣bt）6展开式中t4的系数为（） A．200 B．240 C．﹣60 D．60 11．双曲线的一个焦点F与抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点相同，它们交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线C1的离心率为（） A．B．C．D．2 12．定义在[0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的x≥0，恒有f′（x）＞f （x），a=e3f（2），b=e2f（3），则a，b的大小关系是（） A．a＞b B．a＜b C．a=b D．无法确定 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．已知随机向量X服从正态分布N（3，1），且P（X＞2c﹣1）=P（X＜c+3），则c=______．14．P是棱长为2的正四面体内任意一点，则它到该正四面体各个面的距离之和等于______． 15．函数f（x）=，对任意x∈R恒有f（x）≥f（0），则实数a的取值 范围是______． 16．在△ABC中，O是外接圆的圆心，若?=﹣，∠A=60°，则△ABC周长的最大值______． 三、解答题（共5小题，满分60分） 17．设数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣2． （1）求数列{a n}的通项公式； （2）求数列{na n}的前n项和T n． 18．如图，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC将梯形CDFE折起，使得平面CDFE⊥平面ABCD． （1）证明：AC∥平面BEF； （2）求平面BEF和平面ABCD所成锐角二面角的余弦值． 2016安徽高考文科数学真题及答案 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =I （ ）。 （A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7} 【参考答案】B 【答案解析】集合A 与集合B 公共元素有3，5，故{}35A B ?=， 选B 。 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第一章《集合》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺 班中均有涉及。 （２）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（ ）。 （A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3 【参考答案】A 【答案解析】设i a a i a i )21(2))(21(++-=++，由已知，得a a 212+=-，解得3-=a ，选A. 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 （3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学.科.网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （A ） 13（B ）12（C ）13（D ）56 【参考答案】A 【答案解析】将4中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有2种，故概率为 3 1 ，选A. 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 （4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2 cos 3 A = ，则b=（ ）。 （A （B C ）2（D ）3 【参考答案】D 【答案解析】由余弦定理得3222452 ? ??-+=b b ，解得3=b （3 1 -=b 舍去），选D. 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日 冲刺班中均有涉及。 2016年陕西省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求. 1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（） A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{1，2，3}D．{1，2} 2．（5分）设复数z满足z+i=3﹣i，则=（） A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i 3．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（） A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin （x+） 4．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π 5．（5分）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF ⊥x轴，则k=（） A．B．1 C．D．2 6．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣ C．D．2 7．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（） A．20πB．24πC．28πD．32π 8．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（） A．B．C．D． 9．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（） A．7 B．12 C．17 D．34 10．（5分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（） A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y= 11．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（） 安徽省高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合为自然数集，则下列选项正确的是（） A．M?{x|x≥1} B．M?{x|x＞﹣2} C．M∩N={0} D．M∪N=N 2．若i是虚数单位，复数z满足（1﹣i）z=1，则|2z﹣3|=（） A．B．C．D． 3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a9=1，S18=0，当S n取最大值时n的值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 5．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为（）A．B． C．±1 D． 6．点G为△ABC的重心，设=，=，则=（） A．﹣B．C．﹣2D．2 7．由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A．14 B．C．22 D． 8．执行下面的程序框图，则输出的n的值为（） A．10 B．11 C．1024 D．2048 9．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，，则三棱锥P ﹣ABC的外接球的表面积为（） A．20πB．24πC．28πD．32π 10．已知实数x，y满足，若z=kx﹣y的最小值为﹣5，则实数k的值为（） A．﹣3 B．3或﹣5 C．﹣3或﹣5 D．±3 11．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为（）A．B．C．D． 12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf′（x）＜2恒成立，则使x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1成立的实数x的取值范围为（） A．{x|x≠±1} B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．命题“”的否定是______． 14．双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|=2c，以坐标原点O为圆心，c 为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|=c+2，则P点的横坐标为______． 2016年广东省高等职业院校招收中等职业学校毕业生考试 数 学 班级 学号 姓名 本试卷共4页，24小题，满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：(本大题共15小题，每小题5分，满分75分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。） 1. 若集合{}2,3,A a =，{}1,4B =,且{}=4A B ，则a = ( ). A.1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 函数()f x = ( ). A. (,)-∞+∞ B. 3,2 ??-+∞???? C. 3,2? ?-∞- ?? ? D. ()0,+∞ 3. 设,a b 为实数，则 “3b =”是“(3)0a b -=”的 ( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分不必要条件 4. 不等式2560x x --≤的解集是 ( ). A. {}23x x -≤≤ B. {}16x x -≤≤ C. {}61x x -≤≤ D. {}16x x x ≤-≥或 5.下列函数在其定义域内单调递增的是 ( ) . A. 2 y x = B. 13x y ??= ??? C. 32x x y = D. 3log y x =- 6.函数cos()2 y x π=-在区间5, 3 6ππ?? ???? 上的最大值是 ( ). A. 1 2 B. 2 C. D. 1 7. 设向量(3,1)a =-，(0,5)b =，则a b -= ( ). A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 8. 在等比数列{}n a 中，已知37a =，656a =，则该等比数列的公比是 ( ). A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 9. 函数()2 sin 2cos2y x x =-的最小正周期是 ( ). A. 2 π B. π C. 2π D. 4π 10. 已知()f x 为偶函数，且()y f x =的图像经过点()2,5-，则下列等式恒成立的是 （ ）. A. (5)2f -= B. (5)2f -=- C. (2)5f -= D. (2)5f -=- 11. 抛物线24x y =的准线方程是 ( ). A. 1y =- B. 1y = C. 1x =- D. 1x = 12. 设三点()1,2A ,()1,3B -和()1,5C x -，若AB 与BC 共线，则x = ( ). A. 4- B. 1- C. 1 D. 4 13. 已知直线l 的倾斜角为4 π ，在y 轴上的截距为2，则l 的方程是 ( ). A. 20y x +-= B. 20y x ++= C. 20y x --= D. 20y x -+= 14.若样本数据3,2,,5x 的均值为3.则该样本的方差是 ( ). A. 1 B. 1.5 C. 2.5 D. 6 15.同时抛三枚硬币，恰有两枚硬币正面朝上的概率是 ( ). A. 18 B.14 C. 38 D. 58 二、填空题：(本大题共5个小题，每小题5分，满分25分。) 如对你有帮助，请购买下载打赏，谢谢！ 2016年普通高等学校招生全统一考试 全国卷一理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合{}2430A x x x =-+<，{} 032>-=x x B ，则=B A （A ）（3-，23- ） （B ）（3-，23） （C ）（1，23） （D ）（2 3-，3） 2.设yi x i +=+1)1(，其中x ,y 是实数，则=+yi x （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 3.已知等差数列{}n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 4.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）3 1 （B ） 21 （C ）32 （D ）43 5.已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则m 的取值范围是 （A ）（1-，3） （B ）（1-，3） （C ）（0，3） （D ）（0，3） 6.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是3 28π，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 7.函数x e x y -=22在[]22， -的图象大致为 （A ） （B ） （C ） （D ） 8.若1>>b a ，10< 2016年安徽省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3） 2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（） A．1 B．C．D．2 3．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97 4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（） A．B．C．D． 5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离 为4，则n的取值范围是（） A．（﹣1，3）B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，） 6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（） A．17πB．18πC．20πD．28π 7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（） A．B． C．D． 8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（） A．a c＜b c B．ab c＜ba c C．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c 9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（） A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、 E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8 11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D． 2016年高考数学新课标1（文）试题及答案解析 （使用地区山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东） -、选择题，本大题共 12小题，每小题5分，共60分?在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 【2016 新课标1（文）】1.设集合 A={1,3,5,7} , B={x|2 ? 5},贝U A AB=（ ） A . {1,3} B . {3,5} C . {5,7} D . {1,7} 【答案】B 【解析】取A , B 中共有的元素是{3,5}，故选B 【2016新课标1（文）】2?设（1+2i ）（a+i ）的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则a=（ ） A . -3 B . -2 C . 2 D . 3 【答案】A 【解析】（1+2i ）（a+i ）= a-2+（1+2 a ）i ，依题 a-2=1+2a ，解得 a=-3，故选 A 【2016新课标1（文）】3.为美化环境，从红、黄、白、紫 4种颜色的花中任选 2种花种 在一个花坛中，余下的 2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概 率是（ ） 1 1 2 A .- B .- C . 3 2 3 【答案】C 【解析】设红、黄、白、紫4种颜色的花分别用 (13,24), (14,23), (23,14), (24,13), (34,12)，共 4 2 个，其概率为P= ，故选C 6 3 【2016新课标I （文）】4 . a . 5,c 2,cosA -，贝U b=( ) 3 A . 、、2 B . 3 C . 2 【答案】D 2 【解析】由余弦定理得： 5=4+b 2-4b X-,则3b 2-8b-3=0，解得b=3，故选D 3 【2016新课标1（文）】5.直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 I 的距离 为其短轴长的 1 ，则该椭圆的离心率为（ ） 4 1 1 2 3 A .- B .— C . D .— 3 2 3 4 【答 案】 B bc=」 【解析】 由直角三角形的面积关系得 2bsb 2 c 2，解得 e c 1，故选 B 4 a 2 1,2,3,4来表示，则所有基本事件有 （12,34 ）, A ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理科） 第Ⅰ卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年四川，理1，5分】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则集合A Z 中元素的个数是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】C 【解析】由题可知， {}2,1,0,1,2A =--Z ，则A Z 中元素的个数为5，故选C ． 【点评】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题．一般是结合不等式，函数的 定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答． （2）【2016年四川，理2，5分】设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含4x 的项为（ ） （A ）415x - （B ）415x （C ）420i x - （D ）420i x 【答案】A 【解析】由题可知，含4x 的项为242 46 C i 15x x =-，故选A ． 【点评】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容 易题．一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式6(i)x +的展开式可以改为6()x +i ，则 其通项为66r r r C x -i ，即含4x 的项为4644 4615C x x -=-i ． （3）【2016年四川，理3，5分】为了得到函数πsin 23y x ? ?=- ?? ?的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点 （ ） （A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π 3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π 6个单位长度 【答案】D 【解析】由题可知，ππsin 2sin 236y x x ??? ???=-=- ? ?????? ???，则只需把sin 2y x =的图象向右平移6π个单位，故选D ． 【点评】本题考查三角函数的图象平移，在函数()sin()f x A ωx φ=+的图象平移变换中要注意人“ω”的影响，变 换有两种顺序：一种sin y x =的图象向左平移φ个单位得sin()y x φ=+，再把横坐标变为原来的1 ω 倍， 纵坐标不变，得sin()y ωx φ=+的图象，另一种是把sin y x =的图象横坐标变为原来的1 ω 倍，纵坐标不 变，得sin y ωx =的图象，向左平移φ ω 个单位得sin()y ωx φ=+的图象． （4）【2016年四川，理4，5分】用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D 【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个 位数有13C ，再将剩下的4个数字排列得到44A ，则满足条件的五位数有14 34C A 72?=，故选D ． 【点评】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的 完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置． （5）【2016年四川，理5，5分】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发 资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg 20.30=） （A ）2018年 （B ）2019年 （C ）2020年 （D ）2021年 【答案】B 2016年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合为自然数集，则下列选项正确的是（） A．M?{x|x≥1} B．M?{x|x＞﹣2}C．M∩N={0} D．M∪N=N 2．若i是虚数单位，复数z满足（1﹣i）z=1，则|2z﹣3|=（） A．B．C．D． 3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a9=1，S18=0，当S n取最大值时n的值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 5．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为（） A．B． C．±1 D． 6．点G为△ABC的重心，设=，=，则=（） A．﹣B． C．﹣2D．2 7．由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A．14 B．C．22 D． 8．执行下面的程序框图，则输出的n的值为（） A．10 B．11 C．1024 D．2048 9．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，，则三棱锥P﹣ABC 的外接球的表面积为（） A．20πB．24πC．28πD．32π 10．已知实数x，y满足，若z=kx﹣y的最小值为﹣5，则实数k的值为（） A．﹣3 B．3或﹣5 C．﹣3或﹣5 D．±3 11．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为（） A．B．C．D． 12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf′（x）＜2恒成立，则使x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1成立的实数x的取值范围为（） A．{x|x≠±1} B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．命题“”的否定是______． 14．双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|=2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|=c+2，则P点的横坐标为______． 15．已知各项均为正数的数列{a n}前n项和为S n，若，则a n=______．16．若函数f（x）=x2（x﹣2）2﹣a|x﹣1|+a有4个零点，则a的取值范围为______． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数 为偶函数， （1）求b； （2）若a=3，求△ABC的面积S． 18．某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（x个月）和市场y% （2）根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%（精确到月） 附：． 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 12i 12i +=- A ．43i 55 -- B ．43i 55 -+ C ．34i 55 -- D ．34i 55 -+ 2．已知集合(){} 2 23A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 3．函数()2 e e x x f x x --=的图像大致为 4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5 ．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y = D ．y = 6．在ABC △中，cos 2C = 1BC =，5AC =，则AB = A ．B C D ．7．为计算11111123499100 S =- +-++-…，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成 果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112 B ．114 C ．1 15 D ． 118 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC == ，1AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B C D 10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．π4 B ．π2 C ．3π4 D ．π 11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则 A ．50- B ．0 C ．2 D ．50 12．已知1F ，2F 是椭圆22 221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=?，则C 的离心率为 A ． 23 B ． 12 C ．13 D ． 14 2016年安徽省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7} 2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（） A．B．C．D． 4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（） A．B．C．2 D．3 5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（） A．B．C．D． 6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（） A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣） 7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（） A．17πB．18πC．20πD．28π 8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（） A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b 9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（） A．B． C．D． 10．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（） 绝密 ★ 启用前 2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 理科数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． （1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-≤，则A B = （A ）{}11x x -≤≤ （B ）{}01x x ≤≤ （C ）{}01x x <≤ （D ）{}01x x ≤< （2）已知复数3i 1i z +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为 （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 （4）如果函数()sin 6f x x ωπ??=+ ??? ()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为 （A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24 （5）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且271224a a a ++=，则13S = （A ）52 （B ）78 （C ）104 （D ）208 （6）如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：2 4y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++= （A ）10n + （B ）20n + （C ）210n + （ D ） 绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合，，则 （A）（B）（C）（D） （2）设，其中x，y是实数，则 （A）1（B）（C）（D）2 （3）已知等差数列前9项的和为27，，则 （A）100（B）99（C）98（D）97 （4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A）（B）（C）（D） （5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值围是 （A）(–1,3) （B）(–1,3) （C）(0,3) （D）(0,3) （6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是 （A）17π（B）18π（C）20π（D）28π （7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为 （A）（B） （C）（D） （8）若，则 （A）（B）（C）（D） （9）执行右面的程序图，如果输入的，则输出x，y的值满足 （A）（B）（C）（D） (10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 (11)平面a过体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为 (A)(B) (C) (D) 12.已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 （A）11（B）9（C）7（D）5 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 (13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=__________. (14)的展开式中，x3的系数是_________.（用数字填写答案） （15）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为____________。 （16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A 2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．2 3．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．97 4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（） A．B．C．D． 5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离 为4，则n的取值范围是（） A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（） A．17πB．18πC．20πD．28π 7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（） A．B． C．D． 8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（） A．a c＜b c B．ab c＜ba c C．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c 9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（） A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．8 2019年广东省清远市高考数学一模试卷（理科） 一、择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合A={x|x2≤7}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（） A．3 B．4 C．5 D．6 2．在复平面内，复数对应的点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 3 ．设x∈R，向量，且，则=（）A．B．C．10 D． 4．高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n 层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在（）A．2楼B．3楼C．4楼D．8楼 5．函数的值域为（） A ．B．C．[﹣2，2]D．[﹣1，1] 6．如图所示的程序框图，若f（x）=logπx，g（x）=lnx，输入x=2016，则输出的h（x）=（） A．2016 B．2017 C．logπ2016 D．ln2016 7．在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，A=，且bcosC=3ccosB， 则的值为（） A． B． C．D． 8．函数f（x）的导函数f′（x），对?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f（2）=e2，则不等式f（x）＞e x的解是（） A．（2，+∞）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（0，ln2）9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） A．50 B．50.5 C．51.5 D．60 2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ） 数学（理科） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年全国Ⅲ，理1，5分】设集合()(){}{}|230,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T = （ ） （A ）[]2,3 （B ）(][),23,-∞+∞ （C ）[)3,+∞ （D ）(][)0,23,+∞ 【答案】D 【解析】由()()230x x --≥解得3x ≥或2x ≤，{}23S x x ∴=≤≥或，所以{}023S T x x x =<≤≥ 或，故选D ． 【点评】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地， 对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化． （2）【2016年全国Ⅲ，理2，5分】若i 12z =+，则4i 1 zz =-（ ） （A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i - 【答案】C 【解析】 4i 4i i (12i)(12i)11 zz ==+---，故选C ． 【点评】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多 项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成1-．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解． （3）【2016年全国Ⅲ，理3，5 分】已知向量1(2BA =uu v ，1 )2BC =uu u v ，则ABC ∠=（ ） （A ）30? （B ）45? （C ）60? （D ）120? 【答案】A 【解析】由题意，得112222cos 11BA BC ABC BA BC +?∠== =? ，所以30ABC ∠=?，故选A ． 【点评】（1）平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ ＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值 范围：0180θ?≤≤?；（2 ）由向量的数量积的性质有|a ·cos a b a b θ= ，· 0a b a b ?⊥ ＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题． （4）【2016年全国Ⅲ，理4，5分】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年 中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ?，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ?．下面叙述不正确的是（ ） （A ）各月的平均最低气温都在0C ?以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 （C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于20C ?的月份有5个 【答案】D 【解析】由图可知0C ?均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0C ?以上，A 正确；由图可 在七月的平均温差大于7.5C ?，而一月的平均温差小于7.5C ?，所以七月的平均温差 比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5C ?，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20C ?的月份有3个或2个，所以不正确，故选D ． 【点评】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在 一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)及答案
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