1>a 时函数无意义.
18. 设???
??>-=<=1||
11||
01||
1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.
解 ???
??>-=<=1|| 11||
01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即?????>-=<=0 10 00
1)]([x x x x g f . ??
???>=<==-1|| 1||
e 1|| )]([10
1)(x e x x e e x f g x f , 即?????>=<=-1|| 1|| 11
|| )]([1x e x x e x f g . 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角?=40?(图1-37). 当过水断面ABCD
的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域. 图1-37
解 40
sin h DC AB ==, 又从
)]40cot 2([2
1S h BC BC h =?++
得
h h
S BC ?-=
40cot 0, 所以 h h S L 40
sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组
h >0, 040cot 0>?-h h S
确定, 定义域为
40cot 00S h <<.
20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.
(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？ 解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.
令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75. 当100p =90-(x -100)?0.01=91-0. 01x . 综合上述结果得到
??
?
??≥<<-≤≤=1600 751600100
01.0911000
90x x x x p . (2)??
?
??
≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P .
(3) P =31?1000-0.01?10002=21000(元).
习题1-2
1. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限: (1)n
n x 21=;
解 当n →∞时, n
n x 21=→0, 021lim =∞→n n .
(2)n
x n n 1)1(-=;
解 当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→n
n n .
(3)212n
x n +=;
解 当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→n n . (4)1
1+-=n n x n ;
解 当n →∞时, 1
2111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n .
(5) x n =n (-1)n .
解 当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.
2. 设数列{x n }的一般项n
n x n 2cos π
=
. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N . 解 0lim =∞
→n n x .
n n n x n 1|
2c o s ||0|≤=
-π. ?ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε1>n . 取]1[ε
=N ,
则?n >N , 有|x n -0|<ε .
当ε =0.001时, ]1[ε
=N =1000.
3. 根据数列极限的定义证明:
(1)01lim 2
=∞→n n ;
分析 要使ε<=
-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε
1>n . 证明 因为?ε>0, ?]1[ε
=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim 2=∞→n n . (2)2
31213lim =++∞→n n n ;
分析 要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε41, 即ε41>n .
证明 因为?ε>0, ?]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n .
(3)1lim
22=+∞
→n
a n n ;
分析 要使ε<<++=-+=-+n
a n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >.
证明 因为?ε>0, ?][2ε
a N =, 当?n >N 时, 有ε<-+|1|2
2n a n , 所以
1lim
22=+∞
→n
a n n .
(4)19 999.0lim =???∞
→
个
n n . 分析 要使|0.99 ? ? ? 9-1|ε<=-1
101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg
1+>n . 证明 因为?ε>0, ?]1lg 1[ε
+=N , 当?n >N 时, 有|0.99 ? ? ? 9-1|<ε , 所以
19 999.0lim =???∞→ 个
n n .
4. a u n n =∞
→lim , 证明||||lim a u n n =∞
→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列
{x n }未必有极限.
证明 因为a u n n =∞
→lim , 所以?ε>0, ?N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而
||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .
这就证明了||||lim a u n n =∞
→.
数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞
→n n , 但n n )1(lim -∞
→不
存在.
5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞
→n n y , 证明: 0lim =∞
→n n n y x .
证明 因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使?n ∈Z , 有|x n |≤M .
又0lim =∞→n n y , 所以?ε>0, ?N ∈N , 当n >N 时, 有M
y n ε<||. 从而当n >N 时, 有
εε=?<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,
所以0lim =∞
→n n n y x .
6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 证明: x n →a (n →∞).
证明 因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以?ε>0, ?K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ?K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε .
取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞).
习题1-3
1. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3
=-→x x ;
分析 因为
|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε3
1|3|<-x .
证明 因为?ε>0, ?εδ3
1=, 当0<|x -3|<δ时, 有
|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3
=-→x x .
(2)12)25(lim 2
=+→x x ;
分析 因为
|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .
证明 因为?ε >0, ?εδ5
1=, 当0<|x -2|<δ时, 有 |(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2
=+→x x .
(3)42
4lim
22-=+--→x x x ;
分析 因为
|)2(||2|244)4(242
2--=+=+++=--+-x x x x x x x ,
所以要使
ε<--+-)4(2
42x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明 因为?ε >0, ?εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有
ε<--+-)4(242x x , 所以424lim 2
2-=+--→x x x .
(4)21
241lim 3
2
1=+--→x x x .
分析 因为
|)21(|2|221|212413
--=--=-+-x x x x ,
所以要使ε<-+-212413x x , 只须ε2
1|)21(|<--x . 证明 因为?ε >0, ?εδ2
1=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有
ε<-+-21
2413
x x ,
所以21241lim 3
2
1=+--
→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:
(1)2
121lim 33
=
+∞→x x x ; 分析 因为
3
33333
||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε
>x . 证明 因为?ε >0, ?321ε
=X , 当|x |>X 时, 有
ε<-+212133
x x , 所以2
121lim 33
=
+∞→x x x . (2)0sin lim =+∞→x
x x .
分析 因为
x
x x x x 1|s i n |0s i n ≤
=-. 所以要使ε<-0sin x x , 只须ε1, 即2
1ε>x . 证明 因为?ε>0, ?2
1ε=X , 当x >X 时, 有
ε<-0s i n x
x , 所以0sin lim =+∞→x
x x .
3. 当x →2时, y =x 2→
4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？ 解 由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05
001.0|2|=<-x .
取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.
4. 当x →∞时, 13
122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01? 解 要使01.03
4131222
<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X .
5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零.
证明 因为
|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.
因为对?ε>0, ?δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0
=→x x .
6. 求,)(x
x x f = x x x |
|)(=?当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极
限是否存在. 证明 因为
11lim lim )(lim 0
00===---→→→x x x x x x f ,
11l i m l i m )(l i m 000===+++→→→x x x x x x f , )(lim )(lim 0
x f x f x x +→→=-,
所以极限)(lim 0
x f x →存在.
因为
1lim |
|lim )(lim 000-=-==--
-→→→x
x x x x x x x ?,
1l i m
||l i m )(l i m 000===+++→→→x x x x x x x x ?, )(lim )(lim 0
x x x x ??+→→≠-,
所以极限)(lim 0
x x ?→不存在.
7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则
A x f x =∞
→)(lim .
证明 因为A x f x =-∞
→)(lim , A x f x =+∞
→)(lim , 所以?ε>0, ?X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ;
?X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .
取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞
→)(lim .
8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
证明 先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则?ε>0, ?δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有
|f (x )-A |<ε .
因此当x 0-δ这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则?ε>0, ?δ1>0, 使当x 0-δ10, 使当x 0取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1即f (x )→A (x →x 0).
9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.
解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|证明 设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ?X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.
这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定.
例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim 0=→x x x βα, )
()
(x x βα不是无
穷小.
2. 根据定义证明:
(1)3
92+-=x x y 当x →3时为无穷小; (2)x
x y 1sin =当x →0时为无穷小.
证明 (1)当x ≠3时|3|3
9||2
-=+-=x x x y . 因为?ε>0, ?δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有
εδ=<-=+-=
|3|3
9||2x x x y , 所以当x →3时3
92+-=x x y 为无穷小. (2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x x
x y . 因为?ε>0, ?δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有
εδ=<-≤=|0||1sin |||||x x
x y ,
所以当x →0时x
x y 1sin =为无穷小.
3. 根据定义证明: 函数x
x y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件,
能使|y |>104？
证明 分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2|
|1, 即
2
1||+<
M x . 证明 因为?M >0, ?2
1+=
M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,
所以当x →0时, 函数x
x y 21+=是无穷大.
取M =104, 则21014+=δ. 当2
101|0|04+<-104. 4. 求下列极限并说明理由: (1)x x x 12lim +∞→;
(2)x
x x --→11lim 2
0. 解 (1)因为x x x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .
(2)因为x x
x +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 2
0=--→x x x .
6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？
解 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.
这是因为?M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如
y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ? ? ?),
当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .
当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.
这是因为?M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如
0)2
2cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ? ? ?),
对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=2
2ππ, 但|y (x )|=07. 证明: 函数x
x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷
大.
证明 函数x
x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为
?M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当
2
21ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ? ? ?)
时, 有
2
2)(ππ+=k x y k ,
当k 充分大时, y (x k )>M .
当x →0+ 时, 函数x
x y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为
?M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0π
k x k 21=(k =0, 1, 2, ? ? ?),
当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0习题1-5
1. 计算下列极限:
(1)3
5lim 2
2-+→x x x ;
解 93
25235lim 222-=-+=-+→x x x . (2)1
3lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)1
12lim 221-+-→x x x x ; 解 02011lim )1)(1()1(lim 1
12lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)x
x x x x x 2324lim
22
30++-→; 解 2
123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)h
x h x h 2
20)(lim -+→;
解 x h x h
x h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2x
x x +-∞→; 解 21lim 1lim
2)112(lim 22
=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)1
21lim 22---∞→x x x x ;
解 2111211lim 121lim 22
2
2
=---=---∞
→∞→x
x x x x x x x . (8)1
3lim 2
42--+∞→x x x x x ; 解 01
3lim 2
42=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 01211
1lim 13lim 4
23224
2=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x . (9)4
586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 3
2142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 442
24=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .
(10))12)(11(lim 2
x x x -+∞→;
解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 2
2=?=-?+
=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n
n +???+++∞→;
解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1
=--=+???++++∞→∞→n n n n . (12)2)
1( 321lim
n
n n -+???+++∞→; 解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 2
2=-=-=-+???+++∞→∞→∞→n n n n
n n n n n n . (13)3
5)
3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;
解 51
5)3)(2)(1(lim 3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为 最高次项系数之比).
或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3
=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .
(14))1311(lim 31x
x x ---→;
解 )
1)(1()
2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→
112lim
2
1-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限: (1)2
232)2(2lim -+→x x x x ; 解 因为0
16
02)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)1
2lim 2
+∞→x x x ;
解 ∞=+∞→1
2lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞
→x x x .
解 ∞=+-∞
→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).
3. 计算下列极限: (1)x
x x 1sin lim 20→;
解 01sin lim 20=→x x x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x
1sin 是有界变量).
(2)x
x x arctan lim ∞→.
解 0arctan 1lim arctan lim =?=∞→∞→x x x
x x x (当x →∞时, x 1是无穷小,
而arctan x 是有界变量).
4. 证明本节定理3中的(2).
习题1-6
1. 计算下列极限: (1)x
x x ωsin lim 0→;
微积分课后题答案第九章习题详解
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
大学高等数学上习题(附答案)
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?
中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<<∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<<∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<<高等数学上复旦第三版 课后习题答案
283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++??
284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ；
高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中
高等数学同济第六版上册课后答案
2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用
了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。
微积分课后题答案习题详解
微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=，
高等数学下-复旦大学出版-习题十答案详解
习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ;
解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：
高等数学第六版课后全部答案
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f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 证明划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则 ∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi + i =1 i =1 n n1 n1 答 dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限 λ→0 λ→0 lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + lim i =1 i =1 即得 ∫L f (x, y)ds =∫L 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 3. 计算下列对弧长的曲线积分: aw i = n1 +1 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为 案 ∑ f (ξi,ηi )Δsi . ∑ f (ξi,ηi )Δsi , n
精品高数课后题答案及详解
高等数学习题及答案 一、填空题（每小题3分，共21分） 1．设b a by ax y x f ,,),(其中+=为常数，则=)),(,(y x f xy f .y b abx axy 2 ++ 2．函数2 2y x z +=在点)2,1(处，沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的 方向导数是 .321+ 3．设有向量场k xz j xy i y A ρρρρ++=2 ，则=A div ρ . x 2 4．二重积分??2 1 ),(x dy y x f dx 交换积分次序后为 .??1 1 ),(y dx y x f dy 5．幂级数∑∞ =-1 3)3(n n n n x 的收敛域为 . [0,6) 6．已知y x e z 2-=，而3 ,sin t y t x ==，则 =dt dz 3sin 22(cos 6)t t e t t -- 7．三重积分 =???Ω dv 3 ， 其中Ω是由3,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的立体. 二、计算题（一）（每小题7分，共21分） 1．设b a b a ρρρρ与,5,2==的夹角为π3 2 ，向量b a n b a m ρρρρρρ-=+=317与λ相互垂直，求λ. 解：由25173 2 cos 52)51(1217)51(3022?-???-+=-?-+=?=πλλλλb b a a n m ρρρρρρ 得.40=λ 2．求过点)1,2,1(-且与直线?? ?=--+=-+-0 4230 532z y x z y x 垂直的平面方程.
解：直线的方向向量为{}11,7,52 13132 =--=k j i s ρρρρ 取平面的法向量为s n ρ ρ=，则平面方程为0)1(11)2(7)1(5=++-+-z y x 即.081175=-++z y x 3．曲面32=xyz 上哪一点处的法线平行于向量}1,8,2{=S ρ ？并求出此法线方程. 解：设曲面在点),,(z y x M 处的法线平行于s ρ ，令32-=xyz F 则在点),,(z y x M 处曲面的法向量为.1 82,}.,,{},,{xy xz yz s n xy xz yz F F F n z y x ====故有 由于ρ ρρ由此解得 y z y x 8,4==，代入曲面方程，解得),,(z y x M 的坐标为)8,1,4(，用点向式即得所求法线 方程为1 8 8124-= -=-z y x 三、计算题（二）（每小题7分，共21分） 1．设)(x y xF xy z +=，其中)(u F 为可导函数，求.y z y x z x ??+?? 解： ),()(u F x y u F y x z '-+=?? )(u F x y z '+=?? xy z xF xy y z y x z x +=+=??+??2 2．将函数??? ? ??-=x e dx d x f x 1)(展成x 的幂级数，并求∑∞ =+1)!1(n n n 的和. 解：???++???++=--1! 1 !2111n x x n x x e
关于高等数学课后习题答案
习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?
(3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?
2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?
(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?
高等数学第四章不定积分课后习题详解
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) ? 思路: 被积函数5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34 134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★ (9) 思路 =？ 11172488x x ++==，直接积分。 解 ：7 15888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)211 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ? 思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然33x x x e e = （）。
同济高等数学下册课后题答案详解
第8章第1节向量及其线性运算 习题8—1 11,12,15,17,18 第8章第2节数量积、向量积、混合积习题8—2 3,4,6,7,9,10 第8章第3节曲面及其方程 习题8—3 2,5,7,9, 10(1)(2)(3)(4) 第8章第4节空间曲线及其方程 习题8—4 3,4,7,8 第8章第5节平面及其方程 习题8—5 1,2,3,5,9 第8章第6节空间直线及其方程 习题8—6 1,2,3,4,5,8,9,10(1)(2),12, 13,15 第8章总复习题 总复习题八 1,7,8,10,11,12,13,14(1)(2), 15,17,19,20 第9章第1节多元函数基本概念 习题9—1 2,5(1)(2),6(1)(2)(4)(5),7(1),8
第9章第2节偏导数 习题9—2 1(3)(4)(5) (6)(7),4,6(2), 9(1) 第9章第3节全微分 习题9—3 1(1)(2)(4),2,3,5 第9章第4节多元复合函数的求导法则习题9—4 2,4,6,7,8(1)(2),10,11, 12(1)(4) 第9章第5节隐函数的求导公式 习题9—5 1,2,4,5,6,8,9,10(1)(3) 第9章第6节多元函数微分学的几何应用习题9—6 3,4,6,7,9,10,12 第9章第7节方向导数与梯度 习题9—7 2,3,5,7,8,10 第9章第8节多元函数的极值及其求法习题9—8 1,2,5,6,7,9,11 第9章第9节二元函数泰勒公式 习题9—9 1,3 第9章总复习题 总复习题九
1,2,3,5,6,8,9, 12,15,16,17,20 第10章第1节二重积分的概念与性质 习题10—1 2,4,5 第10章第2节二重积分的计算法 习题10—2 1(1)(3),2(3)(4),4(1)(3),6(4)(5)(6),7,89,12(1)(2)(3),14(1)(2),15(1)(2)(3),16 第10章第3节三重积分 习题10—3 1(1)(2),2,4,5,7,8,9(1)(2),10(1)(2),11(1) 第10章第4节重积分的应用 习题10—4 1,2,5,6,8,10,14 第10章总复习题 总复习题十 1,2(1) (3),3(1)(2) 6,8(1)(2),10,11,12 第11章第1节对弧长的曲线积分 习题11—1 1,3(3)(4)(5)(7),4 第11章第2节对坐标的曲线积分 习题11—2 3(1) (2)(3) (5) (6)(7), 4(1)(2)(3),7(1)(2),8 第11章第3节格林公式及其应用
(完整word版)同济大学第六版高等数学课后答案详解全集
同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1); (10) x e y 1 =. 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ; (2) f(x)=x , g(x)=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x . 8. 设 ???? ?≥<=3|| 03|| |sin |)(ππ?x x x x , 求)6(π?, )4(π?, ) 4(π?-, ?(-2), 并作出函数y =?(x)
高等数学(同济第六版)上册-期末复习题(含答案)
※高等数学上册期末复习 一.填空题 1.=-→x x e x x 2sin 2cos lim 30 2 3 2.曲线x xe y -=的拐点是 )2,2(2 -e 3.设)(x f 在0=x 处可导且,0)0(=f 则=→x x f x ) (lim 0 )0(f ' 4.曲线x x y +-= 22cos 1在)2 1,2(π π+处的切线方程为 1y x =+ 5.曲线1 22 -=x x y 有垂直渐近线 1±=x 和水平渐近线 1=y 6.设)(u f 可导，)]([sin 2x e f y =，则=dy dx e e f e f x x x ?'?)()]([2sin #7.=?dx e x 4 0 )1(22+e 8.若3)(0-='x f ，则=--+→h h x f h x f h ) 3()(lim 000 12- 9.若 dx x p ? +∞ 1 收敛，则p 的范围是 1-
=0 ,0,)(2x x x x x f ，则?-=11)(dx x f 61 - #14.过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为 12+=x y 15.已知函数?????=≠=0 ,0 ,sin )(x a x x x x f ，则当→x ∞时，函数)(x f 是无穷小；当 =a 1时，函数)(x f 在0=x 处连续，否则0=x 为函数的第 （一）类间断点。 16.已知 ?+=c x F dx x f )()(，则? =-dx x f x )(arcsin 112 c x F +)(arcsin
高等数学第六版课后全部答案
习题 101 1. 设在 xOy 面内有一分布着质量的曲线弧 L, 在点(x, y)处它的线密度为 μ(x, y), 用对弧长的曲线积分分别表达: (1) 这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix, Iy; (2)这曲线弧的重心坐标 x , y . 解在曲线弧 L 上任取一长度很短的小弧段 ds(它的长度也记做 ds), 设(x, y) 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别为 dIx=y2μ(x, y)ds, dIy=x2μ(x, y)ds . 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为 I x = ∫ y 2μ ( x, y)ds , I y = ∫ x2μ ( x, y)ds . L L ww w. kh d ∫L ∫L 和L2, 则 2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1 ∫L f (x, y)ds =∫L n 课 x=
M y ∫L xμ ( x, y)ds M ∫ yμ (x, y)ds = , y= x = L . M M μ ( x, y)ds μ(x, y)ds 后 曲线 L 的重心坐标为 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 证明划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi +i =1 i =1 n n1 n1 答 dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限λ→0 λ→0． lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + lim i =1 i =1 即得 ∫L f (x, y)ds =∫L 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 3. 计算下列对弧长的曲线积分: aw
高等数学下天津大学课后习题详解答案
1.在空间直角坐标系中指出下列各点所在的卦限: A(3,-1,1),B(-3,2,-1),C(-3,-2,-1) D(3,-2,-1),E(-3,-2,1),F(-3,2,1) 解：A.IV B.VI C.VII D.VIII E.III F.II 查看全部文档，请关注微信公众号：高校课后习题 2.指出下列各点在空间直角坐标系中所处的特殊位置: A(0,1,-2),B(-3,2,-1),C(-3,-2,-1) D(3,0,-2),E(-3,-2,1),F(0,-2,0) 解：A.yoz 面 B.z 轴上 C.xoy 面上 D.zox 面上 E.x 轴上 F.y 轴 上3.指出点P(3,-1,2)关于原点、各坐标轴、各坐标面的对称点的坐标.解：关于原点对称(-3,1,-2)；关于x 轴对称(3,1,-2)；关于y 轴对称(-3,-1,-2)；关于z 轴对称(-3,1,2)；关于xoy 面对称(3,-1,-2)；关于zox 面对称(3,1,2)；关于yoz 面对称(-3,-1,2). 4.求点P(4，-3,5)到坐标原点、各坐标轴、各坐标面的距离. 解：到原点 255)3(4222=+-+，到x 轴345)3(22=+-，到y 轴415422=+，到z 轴54)3(22=+-，到xoy ，yoz ，zox 面的距离分别为5,4,3. 5.在二轴上求一点P ，使它到点A(1,3,-4)的距离为5.
解：设)0,0,(x ，25)4(3)1(222=-++-x ，1=x ，故为(1,0,0). 6.在坐标面yOz 上求与三点A(3,1,2),B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距的点. 解：设),,0(z y ，则 222222)1()5()2()2(16)2()1(9-+-=++++=-+-+z y z y z y 得y=1，z=-2，故为(0,1,-2). 7.证明以A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形. 解：)326(--=，，AB ，)632(，，-=CA ，||||CA AB =，)358(--=，，BC ，222||||||BC CA AB =+，故为等腰三角形.
高等数学第六版(上册)总习题三习题答案
高等数学第六版（上册）总复习习题答案及解析 1. 填空: 设常数k >0, 函数k e x x x f +-=ln )(在(0, +∞)内零点的个数为________. 解 应填写2. 提示: e x x f 1 1)(-=', 21)(x x f -=''. 在(0, +∞)内, 令f '(x ) 0, 得唯一驻点x e . 因为f ''(x )<0, 所以曲线k e x x x f +-=ln )(在(0, +∞)内是凸的, 且驻点x e 一定是 最大值点, 最大值为f (e )k >0. 又因为-∞=+→)(lim 0 x f x , -∞=+∞ →)(lim x f x , 所以曲线经过x 轴两次, 即零点的个数为2. 2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设在[0, 1]上f ''(x )>0, 则f '(0), f '(1), f (1)f (0)或f (0)f (1)几个数的大小顺序为( ). (A )f '(1)>f '(0)>f (1)f (0); (B )f '(1)>f (1)f (0)>f '(0); (C )f (1)f (0)>f '(1)>f '(0); (D )f '(1)>f (0)f (1)>f '(0). 解 选择B . 提示: 因为f ''(x )>0, 所以f '(x )在[0, 1]上单调增加, 从而f '(1)>f '(x )>f '(0). 又由拉格朗日中值定理, 有f (1)f (0)f '(), ∈[0, 1], 所以 f '(1)> f (1)f (0)>f '(0). 3. 列举一个函数f (x )满足: f (x )在[a b ](a b )内除某一点外处处 (a b )内不存在点ξ f (b )f (a ) f '(ξ)(b a ). 解 取f (x )|x |, x ∈[1, 1]. 易知f (x )在[1, 1]上连续, 且当x >0时f '(x )1; 当x >0时, f '(x )1; f '(0)不存在, 即f (x )在[1, 1]上除x 0外处处可导. 注意f (1)f (1)0, 所以要使f (1)f (1)f '()(1(1))成立, 即f '()0, 是不可能的. 因此在(1, 1)内不存在点ξ f (1)f (1)f '()(1(1)). 4. 设k x f x ='∞ →)(lim , 求)]()([lim x f a x f x -+∞ →. 解 根据拉格朗日中值公式, f (x +a )-f (x )=f '( )?a , 介于x +a 与x 之间. 当x →∞ 时, → ∞, 于是 ak f a a f x f a x f x x ='=?'=-+∞ →∞ →∞ →)(lim )(lim )]()([lim ξξξ. 5. 证明多项式f (x )x 3 3x a 在[0, 1]上不可能有两个零点. 证明 f '(x )=3x 2-3=3(x 2 -1), 因为当x ∈(0, 1)时, f '(x )<0, 所以f (x )在[0, 1]上单调减少. 因此, f (x ) 在[0, 1]上至多有一个零点. 6. 设1 21 0++???++n a a a n 0, 证明多项式f (x )a 0a 1x +???+a n x n 在(0,1)内至少有 一个零点.
