16、依测度收敛 (一)

几种收敛函数的介绍

概率论中的收敛-正文 概率论中的极限定理和数理统计学中各种统计量的极限性质，都是按随机变量序列的各种不同的收敛性来研究的。 设{X n,n≥1}是概率空间(Ω,F,P)（见概率）上的随机变量序列，从随机变量作为可测函数看，常用的收敛概念有以下几种： 以概率1收敛若,则称｛X n,n≥1｝以概率1收敛于X。强大数律（见大数律）就是阐明事件发生的频率和样本观测值的算术平均分别以概率 1收敛于该事件的概率和总体的均值。以概率 1收敛也常称为几乎必然（简记为α.s）收敛,它相当于测度论中的几乎处处（简记为α.e.）收敛。 依概率收敛若对任一正数ε,都有，则称{X n,n≥1}依概率收敛于X。它表明随机变量X n与X发生较大偏差(≥ε)的概率随n无限增大而趋于零。概率论中的伯努利大数律就是最早阐明随机试验中某事件 A发生的频率依概率收敛于其概率P(A)的。依概率收敛相当于测度论中的依测度收敛。 r阶平均收敛对r≥1,若X n-X的r阶绝对矩(见矩)的极限,则称{X n,n≥1}r阶平均收敛于X。特别，当r=1时，称为平均收敛；当r=2时,称为均方收敛，它在宽平稳过程（见平稳过程）理论中是一个常用的概念。 弱收敛设X n的均值都是有限的，若对任一有界随机变量Y都有,则称{X n,n≥1}弱收敛于X。由平均收敛可以推出弱收敛。 从随机变量的分布函数（见概率分布）看，常用的有如下收敛概念。 分布弱收敛设F n、F分别表示随机变量X n、X的分布函数,若对F的每一个连续点x都有，则称X n的分布F n弱收敛于X的分布F,也称X n依分布收敛于X。分布弱收敛还有各种等价条件，例如,对任一有界连续函数?(x)， img src="image/254-6.gif" align="absmiddle">。 分布弱收敛是概率论和数理统计中经常用到的一种收敛性。中心极限定理就是讨论随机变量序列的标准化部分和依分布收敛于正态随机变量的定理。大样本统计中也要讨论各种统计量依分布收敛的问题。 分布淡收敛设{F n(x)，n≥1}为分布函数列，而F(x)为一非降右连续函数（不一定是分布函数），若对F(x)的每一个连续点x都有 ，则称F n淡收敛于F。 上述各种收敛之间有如下蕴含关系（A崊B表示由A可推出B）,若r′≥r≥1,则有:。此外，依概率收敛于常数与依分布收敛于常数是等价的。

泛函分析关于各种收敛的定义及其关系讨论

泛函分析关于各种收敛的定义及其关系讨论 1.弱收敛：设χ是一个巴拿赫空间，{}n x ?χ，x χ∈，称{}n x 弱收敛到x ，记做 n x x ，是指：对于?f ∈χ*都有()()lim .n n f x f x →∞ = 这时x 称做点列n x 的弱极限。 2.强收敛：0n x x -→()n →∞，也称为按范数收敛，x 是n x 的强极限。 强收敛与弱收敛的关系： 若dim χ<∞，则弱收敛与强收敛是等价的。 命题：弱收敛若存在必唯一，强极限若存在必是弱极限。 当dim =χ∞时，弱极限存在却未必有强极限。 定理：设 是一个巴拿赫空间，n x x ， 则0，()01,2, ,i i n λ?≥=，1 1n i i λ==∑， 使得01 .n i i i x x λε=-≤∑ 既然也是一个赋范线性空间，在 上自然也有两种收敛性：强收敛和弱收敛。所谓弱收 敛n f f ，是指对x χ****?∈都有()().n n x f x f **→ 3.*弱收敛：设χ是巴拿赫空间，{}n f χ*?，f χ*∈。称n f *弱收敛到f ，记做 lim n n f f ω*→∞ -=，是指：对于x χ?∈，都有()()lim n n f x f x →∞ =。这时f 称做泛函序列{} n f 的*弱极限。 *弱收敛与弱收敛的关系： 由于χχ** ?，因此χ* 上的弱收敛蕴含着χ* 上的*弱收敛，而且当χ是一个自反空间时， *弱收敛与弱收敛等价。 定理：设χ是巴拿赫空间，又设{}n x ?χ，x χ∈，则为了n x x ，必须且仅须 ⑴n x 有界； ⑵对χ* 中的一个稠密子集M * 上的一切f 都有()()lim n n f x f x →∞ =。 定理：设χ是一个B 空间，又设{}n f χ*?，{}f χ* ?，则为了n f *弱收敛到f ，必须且

§ 3.2 可测函数的收敛性

83 §3.2 可测函数的收敛性 教学目的 使学生对可测函数序列的几乎处处收敛性, 依测度收敛性和几乎一致收敛性及它们的之间蕴涵关系有一个全面的了解. 本节要点 本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性. 特别是依测度收敛是一种全新的收敛, 与熟知的处处收敛有很大的差异. Egorov 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁. 设),,(μF X 是一测度空间. 以下所有的讨论都是在这一测度空间上进行的. 先介绍几乎处处成立的概念. 几乎处处成立的性质 设)(x P 是一个定义在E 上与x 有关的命题. 若 存在一个零测度集N , 使得当N x ?时)(x P 成立(换言之, })(:{不成立x P x N ?), 则称P (关于测度μ)在E 上几乎处处成立. 记为)(x P a.e.?μ, 或者)(x P a.e. 在上面的定义中, 若)(x P 几乎处处成立, 则集})(:{不成立x P x 包含在一个零测度集内. 若})(:{不成立x P x 是可测集, 则由测度的单调性知道.0}))(:({=不成立x P x μ 特别地, 当测度空间),,(μF X 是完备的时候如此. 例1 设给定两个函数f 和g . 若存在一个零测度集N , 使得当N x ?时),()(x g x f = 则称f 和g 几乎处处相等, 记为g f = a.e. 例2 设f 为一广义实值函数. 若存在一个零测度集N, 使得当N x ?时,+∞

实变函数复习题

1.若E有界,则m*E<正无穷 2.可数点集的外测度为零 3.设E是直线上一有界集合,m*E>0,则对任意小于m*E的正数c,恒有E的子集E1,使m*E=c 4.设S1,S2,…，Sn是一些互不相交的可测集合，Ei包含于Si，i=1，2，3...n，求证m*（E1并E2并E3...并En）=m*E1+m*E2+…+m*En 5.若m*E=0，则E可测。

6.证明康托尔（Cantor）集合的测度为0 7.设A，B包含于Rp，且m*B<正无穷，若A是可测集，证明m*（A并B）=mA+m*B-m*（A 交B） 8.证明：若E可测，则对于任意e〉0，恒有开集G及闭集F，使F包含于E包含于G，而m （G-E）〈e，m（E-F）〈e

9.设E包含于Rq，存在两列可测集{An}，{Bn}，使得An包含于E包含于Bn且m（Bn-An）--> 0(n-->无穷)，则E可测。 10.设是一列可测集，证明和都是可测集且

11.设{En}是一列可测集，若求和m（En）<正无穷，证明m（En上极限）=0 12.设E是[0，1]中可测集，若m（E）=1，证明对任意可测集A包含于[0，1]，m（E交A）=m（A） 13.设{En}是[0，1]中可测集列，若m（En）=1，n=1，2，...，则 定理5.6设E是任一可测集，则一定存在型集G，使G包含E，且m（G-E）=0。 设E是任一可测集，则一定存在型集F，使F包含于E，且m（E-F）=0。 次可数可加性证明

卡拉泰奥多里条件：m*T=m*（T交E）+m*（T交Ec）极限的测度等于测度的极限

1.证明：f（x）在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，E[f〉r]可测，如果集E[f=r]可测，问f（x）是否可测？

可测函数列常见的几种收敛

可测函数列常见的几种收敛 摘 要：本文介绍了可测函数列常见的几种收敛：一致收敛、几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等以及它们之间的关系． 关键字：可测函数列；一致收敛；几乎一致收敛；几乎处处收敛；依测度收敛 前言 在数学分析中我们知道一致收敛是函数列很重要的性质，比如它能保证函数列的极限过程和(R)积分过程可交换次序等．可是一般而言函数列的一致收敛性是不方便证明的，而且有些函数列在其收敛域内也不一定是一致收敛的，如文中所给的例2函数()f x 在收敛域[0,1]内不一致收敛，但对于一个0δ>当0δ→时在[0,]δ内一致收敛，这不见说明了一致收敛的特殊性，也验证了我们平时常说的“矛盾的同一性和矛盾的斗争性是相联系的、相辅相成的”[1] 1 可测函数列几种收敛的定义 1.1 一致收敛[3] 设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集E 上的实值函数．若对于0,ε?>存在,K N +∈使得对于,k K x E ?≥?∈都有 ()()k f x f x ε-< 则称}{()k f x 在E 上一致收敛到()f x ．记作： u k f f ??→(其中u 表示一致uniform)． 1.2 点点收敛 若函数列12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 在点集D E ?上每一点都收敛，则称它在D 上点点收敛． 例1 定义在[0,1]E =上的函数列1(),1k f x kx =+则()k f x 在E 上点点收敛到函数 1,0,()0,0 1. x f x x =?=?<≤? 而且还能看出{()}k f x 在[]0,1上不一致收敛到()f x ，但对于0,{()}k f x δ?>在[,1]δ上一致收敛到()f x ．

鲁津定理与依测度收敛的关系

鲁津定理与依测度收敛 鲁津定理是沟通可测函数与连续函数的桥梁，其表现形式有很多种，针对一维情形来说有以下表述： 定理：设E是中的有界可测集，f(x)是E上几乎处处有限的可测函数，则对任意ε>0，存在E的闭子集F及上连续函数g(x)，使 （i），即任意x∈F，有f(x)=g(x)； （ii）m(E-F)<ε。 此外，若|f(x)|0，有m[E{x||f(x)-g(x)|>δ}]<ε，取一列单调收敛到0的正数序列εn，则存在上的连续函数gn，使得。 在实变函数里，人们叫它测度收敛，也叫概收敛，一般地可以这样定义：定义：设E是可测集，f(x)，f_1(x)，f_2(x)，f_3(x)，…都是E上几乎处处有限的可测函数，如果对于任意ε>0，都有lim E{x||f_n(x)-f(x)|>ε}=0 ，则称fn(x) 在E上依测度收敛到f(x)，记作。 先简单介绍下抽象测度：假设R是非空集合S的一簇非空子集簇，如果R 中的元素对于集合的有限或可数交、并、差运算封闭，则称R是S的子集构成的环。μ是R上满足如下条件的函数： 1、（非负性）对任意E∈R，μ(E)≧0； 2、（单调性）对任意E、F∈R，若F是E的子集，则μ(F)≦μ(E)； 3、（可数可加性）设E_n是R中一列互不相交的序列，则 μ(∪_nE_n)=∑_nμ(E_n)。

则称μ是R上的测度。 众所周知，柯尔莫哥洛夫利用抽象测度奠定了现代概率论的理论基础，使得这一出身“低贱”的学问终于登堂入室，成为数学的一个重要分支。

《实变函数》中依测度收敛的定义(精)

复习 (1) 教材14P 频率与概率的关系：只要n 相当大，频率)(1ωn f 与概率 )(1ωP 是会非常靠近的，频率是概率的一个近似； (2) 教材68P 普哇松定理：当np 很大时怎么办呢？； (3) 教材115P ：一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响，那么这个变量一般是一个正态变量，在下一章中我们将讨论这个问题； (4) 契贝晓夫不等式：2 )|(|ε ξ εξξD E P ≤ ≥-； (5) 《实变函数》中依测度收敛的定义：对0>?σ，有 0]|[|lim =≥-σf f mE n n ，则称函数列)}({x f n 依测度收敛于)(x f ，记 作)()(x f x f n ?。

第四章大数定律与中心极限定理 极限定理是概率论与数理统计学中最重要的理论结果。本章简单地介绍两类极限定理---“大数定律”和“中心极限定理”。 通常，把叙述在什么条件下一随机变量序列的算术平均值（按某种意义）收敛于某数的定理称为“大数定律”；把叙述在什么条件下大量的随机变量之和近似服从正态分布的定理称为“中心极限定理”。本教材只介绍极限定理的经典结果。分布函数、矩和特征函数是解决经典极限定理的主要工具。 一、教学目的与要求 1．掌握四个大数定律的条件、结论及数学意义； 2．理解随机变量序列的两种收敛性的定义及其关系，了解特征函数的连续性定理； 3．掌握独立同分布中心极限定理的条件、结论，并会用来解决一些实际问题。 二、教学重点和难点 教学重点是讲清大数定律的条件、结论和中心极限定理的条件、结论。 教学难点是随机变量序列的两种收敛性及大数定律和中心极限定理的应用。