黑龙江省大庆市2017届高三第三次教学质量检测（三模）
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}{}
2
|02,N ,|450,N A y y y B x x x x =≤<∈=--≤∈，则A
B = （ ）
A ．{}1
B ．{}0,1
C ．[)0,2
D ．? 2. 已知复数34i
z 12i
-=
-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若201720172017a S ==，则首项1a =（ ） A ．2014- B ．2015- C ．2016- D ．2017-
4. 在区间[]0,1内随机取两个数分别为,a b ，则使得方程22
20x ax b ++=有实根的概率为（ ）
A ．
14 B ．25 C.13 D ．12
5. 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n =（ ） A ．3 B ．2 C.4 D ．5
6. 给出下列四个命题：①若x A
B ∈，则x A ∈或x B ∈；
②()2x ?∈+∞,都有22x
x >；
③若,a b 是实数，则a b >是22
a b >的充分不必要条件；
④“2
000R,23x x x ?∈+>” 的否定是“2R,23x x x ?∈+≤” ；
其中真命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2 C.3 D ．4
7.已知等比数列{}n a 的公比2210.1,6n n n q a a a a ++>=+=，则{}n a 的前4项和4S =（ ） A ．
152 B ．15
2
- C.15 D ．30 8. 函数()()sin f x x ω?=+（其中2
π
?<）的图象如图所示，为了得到()sin g x x ω=的图象，只需将()
f x 的图象（ ）
A ．向右平移
12π个单位长度 B ．向左平移12π
个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6
π
个单位长度
9. 在平行四边形ABCD 中，213
3,5,,,cos 335
AD AB AE AD BF BC A =====，则EF =（ ）
A ．2542．21110. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．
27
2
B ．27 C.272．27311. 已知点2,F P 分别为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点与右支上的一点，O 为坐标原点，若
2222,OM OP OF OF F M =+=，且2
222
c OF F M =，则该双曲线的离心率为（ ）
A
．．
32
12. 设函数()322ln f x x ex mx x =-+-，记()()
f x
g x x
=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．21,e e ?
?-∞+ ??
? B ．210,e e
??+ ??
?
C. 2
1e ,e ?
?
++∞ ??? D ．2211e ,e e e
?
?--+ ??
?
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知0
2sin cos 22
x x
a dx π
=
?
，则a = ．
14. 不等式组031x x y y x ≥??
+≤??≥+?
表示的平面区域为Ω，直线1y kx =-与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围
为 ．
15. 某校高三年级要从5名男主和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是 ．
16. 巳知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当()0,x ∈+∞时，都有不等式()()'0f x xf x +>成立，若
()()()0.20.244441144,log 3log 3,log log 1616a f b f c f ?
??
?=== ?
????
?，则,,a b c 的大小关系是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且cos cos 23sin B C A
b c +=
（1）求b 的值；
（2）若cos 3sin 2B B =,求a c +的取值范围.
18. 五一期间，某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品进行促销活动. （1）试求选出3种商品中至少有一种是家电的概率；
（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高60元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会: 若中一次奖，则获得数额为n 元的奖金；若中两次奖，则获得数额为3n 元的奖
金；若中三次奖，则共获得数额为 6n 元的奖金. 假设顾客每次抽奖中奖的概率都是1
4
，请问: 商场将奖金数额n 最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？
19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD , ABCD 是直角梯形，,AB AD AB CD ⊥，且
222,AB AD CD E ===是PB 的中点.
（1）求证: 平面EAC ⊥平面PBC ； （2）若二面角P AC E --3
,求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值. 20. 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆，离心率1e 2=，且椭圆过点31,2?? ???
. （1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，则1F AB ?的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数()22ln f x x x ax =+-. （1）当5a =时，求()f x 的单调区间；
（2）设()()1122,,,A x y B x y 是曲线()y f x =图象上的两个相异的点，若直线AB 的斜率1k >恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）设函数()f x 有两个极值点1212,,x x x x <且2e x >,若()()12f x f x m ->恒成立，求实数m 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
将圆2cos (2sin x y θθθ
=??=?为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的1
2倍，得到曲线C .
（1）求出C 的普通方程；
（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x x =+-.
（1）解关于x 的不等式()5f x x -≥；
（2）设(){}
,|m n y y f x ∈=，试比较4mn +与()2m n +的大小.
理科数学 参考答案：(请各位阅卷教师核对答案和评分标准后，再开始阅卷）
一．BABDC BADBD DA 二．13．2 14．[)+∞,3 15．5
3
16． b a c >> 17．解： （1）由
C
A
c C b B sin 3sin 32cos cos =
+， 应用余弦定理，可得
c
a
abc c b a abc b c a 33222222222=
-++-+ 化简得32=
b 则2
3
=
b （2） 2sin 3cos =+B B
1sin 2
3
cos 21=+∴B B 即1)6sin(=+B π
),0(π∈B 26ππB =+
∴ 所以3
π
B =
法一. 1sin 2==B
b
R , 则C A c a sin sin +=+
=)3
2sin(sin A A -+π
=
A A cos 2
3sin 23+ =)6
sin(3π
+
A