利用极坐标解题 知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条 定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -= . 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线
（3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.（复旦自招）确定方程10 53cos ρθ= -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：3102 5333 1cos 1cos 55ρθθ? ==-- 31053 e P ∴==， 2332555851015 103383c a c a a b a c c c ???===??????∴????? ???-===?????? 52 b ∴== 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长 解法二：转化为直角坐标 （2）圆锥曲线弦长问题 若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ， 1、椭圆中，c b c c a p 2 2=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A 、B 两点，求弦长。 解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长
平面内曲线平移伸缩变换的技巧 平移变换是在向量中提出来的，而伸缩变化是在三角函数介绍的，因为有了初中的“左加右减，上加下减”的结论，在教学过程中，很多同学往往会简单的套用这个结论，导致得到和正确答案完全相反的结论，我在近几年教学中，总结了一套简单且容易操作的处理方法，以供参考。 曲线平移和放缩都可以依据以下结论处理：所有的平移和放缩都是x，y在变，且变化的规律与习惯相反。 一、平移 规律中的“习惯”就是在坐标平面内特征，即左右平移是x在变化，且向左变小，向右变大；上下平移是y在变，且向下变小，向上变大。下面举例说明。 例1 将函数的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位。求平移后的函数解析式。 解：向左平移2个单位，“习惯”是越左越小，而变化的结果将原来解析式中的x变成；向上平移1个单位，“习惯”是越上越大，而变化的结果是将原来解析式中的y变成。 所以平移后的函数解析式是。 例2 求向右平移个单位，向下平移2个单位后的得到的函数解析式。
解：依据以上规律，就是将原来的解析式中的x变成，y变成， 所以平移后的函数解析式是， 化简后得。 例1也可以用“左加右减，上加下减”来处理，但如果不能从本质上弄清问题，就会出现错误，如例2还是套用“左加右减，上加下减”来处理，得到的结论就可能是。 二、放缩 课本在三角函数这一章中给出了放缩的规律，笔者发现这个规律可以和平移规律整合在一起。 具体的规律是：纵坐标不变横坐标变为原来的ω倍就是将原来解析式中的x 变成；横坐标不变纵坐标变为原来的A倍就是将原来解析式中的y变成。 例3 （2000年理科全国卷）经过怎样的平移和伸缩得到。 解：。 （变化一） （1）y变成了2y，故横坐标不变，纵坐标变为原来的； （2）x变成了2x，故纵坐标不变，横坐标变为原来的； （3）x变成了，故将图象右移个单位，需要将写成；
利用极坐标解题 知识点精析：椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点( 焦点 ) 的距离和一条定直线 ( 准线 ) 的距离的比等于常数 e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点 ( 双曲线的右焦点、抛物线的焦点) 为极点，过点 F 作相应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： ep . 1 ecos 其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p＞ 0 ． 当 0＜ e＜ 1 时，方程表示椭圆； 当 e＞ 1 时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（ 1）若 ep 1+ecos 则0＜ e＜ 1 当时，方程表示极点在右焦点上的椭 圆当 e=1 时时，方程表示开口向左的抛物线 当 e＞ 1 方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若 ep 1-esin 当0 ＜ e＜ 1 时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1 时，方程表示开口向上的抛物线 当e ＞ 1 时 ! 方程表示极点在上焦点的双曲线 ep （3） 1+esin
当 0 ＜ e ＜ 1 时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当 e=1 时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞ 1 时 ! 方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例 1.（复旦自招）确定方程 10 表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 3cos 5 2 3 10 解法一： 5 3 1 3 cos 1 3 cos 5 5 3 10 e ， P 5 3 c 3 3 a c a 25 a 5 5 8 b 2 10 5 10 c 15 c 3 a c 3 8 3 b ( 25 )2 ( 15 )2 5 8 8 2 3 15 长轴长 25 ，短轴长 5 方程表示椭圆的离心率 e ，焦距 ， 4 5 4 解法二：转化为直角坐标 （ 2）圆锥曲线弦长问题 若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F ， 1、椭圆中， p a 2 c b 2 ， MN ep ep ) a 2 2ab 2 . c c 1 ecos 1 ecos( c 2 cos 2 若椭圆方程为 ，半焦距为 ，焦点 ， 设过 的直线 的倾斜角为 交椭圆于 A 、 B 两点，求弦长 。
1. (2016 广西河池市) 】．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（1,3）．将线段OA 绕原点O 逆时针旋转30°，得到线段OB ，则点B 的坐标是（ ） A ．(0,2) B ．(2,0) C ．（1,―3） D ．（―1,3） 答案：】． 答案A 逐步提示作AC ⊥x 轴于点C ，根据勾股定理求出OA 的长，根据正切的概念求出∠AOC 的度数，再根据旋转变换即可得解. 详细解答解：过点A 作AC ⊥x 轴于点C . ∵点A 的坐标为（1,3），∴OC ＝1，AC ＝3．∴OA ＝12＋ (3)2＝2. ∵tan ∠AOC ＝AC OC ＝3,∴∠AOC ＝60°. ∴将线段OA 绕原点O 逆时针旋转30°得到线段OB 时，点B 恰好在y 轴上. ∴点B 的坐标是(0,2) . 故选择A. 解后反思本题通过作垂线，将点的坐标转化为线段的长度，应用勾股定理求斜边的长，应用特殊角的三角函数值求出特殊角的度数，再根据旋转的方向和角度确定所求点的位置，最后写出其坐标. 关键词 图形旋转的特征、特殊角三角函数值的运用、点的坐标 20160926210454015732 4 坐标系中的旋转变换 选择题 基础知识 2016/9/26 2. (2016 广西贺州市) 】．如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90°得到线段A ′B ′，那么A （﹣2，5）的对应点A ′的坐标是（ ）
A．（2，5） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2） 答案：】． 考点坐标与图形变化-旋转． 分析由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC=A′C′，CO=C′O，由A的坐标就可以求出结论． 解答解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′， ∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°， ∴AO=A′O． 作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′， ∴∠ACO=∠A′C′O=90°． ∵∠COC′=90°， ∴∠AOA′﹣∠COA′=∠COC′﹣∠COA′， ∴∠AOC=∠A′OC′． 在△ACO和△A′C′O中， ， ∴△ACO≌△A′C′O（AAS）， ∴AC=A′C′，CO=C′O． ∵A（﹣2，5）， ∴AC=2，CO=5， ∴A′C′=2，OC′=5， ∴A′（5，2）． 故选：B．
利用仿射变化解决椭圆问题 椭圆 )0(,12 22 2>>=+ b a b y a x 经变换?? ? ??==Y a b y X x 后变成圆2 2 2 a Y X =+，在此变换下有 以下一些性质： ○ 1点变换后，横坐标不变，纵坐标变为原来的b a 倍 ○ 2直线变换后仍然是直线，且斜率为原来的b a 倍 ○ 3平行线经变换后仍平行 ○4区域D 变换后成为D '，则面积D D S b a S '= ○ 5两平行线段的比是不变量 ○6线段PQ 经变换后变为Q P ''，则：α α2 2 22 sin cos ||||b a PQ Q P + ='' 1.求证：直线0:=++C By Ax l 与椭圆)0(,12 22 2>>=+ b a b y a x 相切的充要条件是： 222)()(C bB aA =+ 证明：作仿射变换：? ? ? ??==Y a b y X x 椭圆变为圆：222a Y X =+ 直线l 变为0:=++ 'C Y a bB AX l 直线l '与圆相切的充要条件是 圆心到直线l '的距离 a a B b A C d =+=2 222 | | 整理得：2 2 2 )()(C bB aA =+ ∴原命题得证。
2直线)(m x k y -=与椭圆： 12 22 2=+ b y a x 交于N M ,两点，试求||MN 解：过右焦点作MN 的平行线 易知：θcos 2 c a b M F += '， θ c o s 2 c a b N F -= ' θ ρ2 2 2 2 c o s 2c a ab N M -= ''= 作仿射变换?? ? ??==a bY y X x ， 椭圆变为圆：2 2 2a Y X =+ 直线MN l 变为：0=--akm bY akX 直线N M l ''变为：0=--akc bY akX 圆心到两直线的距离分别为 2 2 1)(||b ak akm d += ，2 2 2)(||b ak akc d += x y M F N A M ' N ' 弦长分别为：2 2 2 2 2 2 2 1)(2b k a b k m a a L ++-= 2 2 2 2)(1 2b ak k ab L ++= ， 长度之比是仿射不变量 ()ρ?++-= ∴2 2 2 2 22 2 b k b b k m a MN ()( ) 2 222 2 22222 2 122b k a k ab b k b b k m a ++?++-=
1.1 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换 目标：平移变换与伸缩变换的应用与理解 一.直角坐标系 1.直线上，取定一个点为原点，规定一个长度为单位长度，规定直线的一个方向为正方向。这样我们就建立了直线上的坐标系 (即数轴)。它使直线上任意一点P 都可以由惟一的实数x 来确定。 2.平面上，取定两条互相垂直的直线作为x 、y 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这两条直线的正方向。这样我们就建立了平面直角坐标系。它使平面上任意一点P 都可以由惟一的二元有序实数对),(y x 来确定。 3.在空间中，选择三条两两垂直且交于一点的直线，以这三条直线分别作为x 、y 、z 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这三条直线的正方向。这样我们就建立了空间直角坐标系。它使空间中任意一点P 都可以由惟一的三元有序实数对),,(z y x 来确定。 事实上，直线上所有点的集合与全体实数的集合一一对应；平面上所有点的集合与全体二元有序数对),(y x 的集合一一对应；空间中所有点的集合与全体三元有序数对),,(z y x 的集合一一对应. 二.平面直角坐标系中图形的平移变换 1.平移变换 在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为 图形F 的平移。若以向量a 表示移动的方向和长度，我们也称图形F 按向量a 平移． 在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h a = ，平移后的对应点为),(y x P '''. 则有：),(),(),(y x k h y x ''=+ 即有：?? ?' =+'=+y k y x h x . 因此，我们也可以说，在平面直角坐标系中，由???' =+'=+y k y x h x 所确定的变换 是一个平移变换。
极坐标秒杀圆锥曲线问题 一、适用题型二、基本理论： （一）极坐标系、 在平面内取一定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的 正方向（通常取逆时针方向），如图 对于平面内任意一点M，用ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。极坐标为ρ,θ的点M，可表示为M (,)ρθ。 （二）圆锥曲线的统一极坐标方程 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点F)的距离和一条定直线(准线L)的距离的比等于常数e 的点的轨迹。建立以焦点F 为极点，x 轴正方向为极轴的极坐标系，其统一的极坐标方程为：θ ρcos 1e ep -= （成为标准极坐标方程）。 （1）当0＜e＜1时，方程表示椭圆； 定点F 是椭圆的左焦点，定直线L 是它的左准线。 （2）e=1时，方程表示开口向右的抛物线. （3）e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点F 是它的右焦点，定直线L 是它的右准线。（若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线）其中： （i）ρ是动点到极点的距离（ρ＞0），θ表示极径与极轴正方向的夹角。 （ii）e 表示圆锥曲线的离心率，c e a = 。
（iii）p 表示焦点到准线的距离。 由焦点与准线的不同位置关系，从而建立不同的极坐标，利用圆锥曲线定义可得其统一极坐标方程为： 推广1： 1+cos ep e ρθ = （1）0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 （2）e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 （3）e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 推广2：1-sin ep e ρθ = （1）0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 （2）e=1时，方程表示开口向上的抛物线 （3）e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 推广3：1+sin ep e ρθ = （1）0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 （2）e=1时，方程表示开口向下的抛物线
利用伸缩变换 解决圆锥曲线中的 线性问题 作者：赵呈海 天津市第一〇二中学 指导教师：马萍天津市第一〇二中学 严虹天津市第一〇二中学 纪洪伟天津市第一〇二中学 张倩天津市第一〇二中学
利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题 赵呈海天津市第一〇二中学 摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。 关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。 我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。这就是解析几何（坐标几何）。 解析几何，高考永恒的重点、难点。圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。
“数、形翻译”的能力是解析几何的核心素养。这是因为，归根结底，解析几何还是在研究几何问题。在利用坐标方法解决几何问题时，我们一般要把几何关系“翻译”成代数的语言。这种“翻译”能力的建立，要求学生对坐标系有深刻的理解，灵活运用代数与几何间的各种“桥梁”将二者建立联系、相互表达。在高中范围内，学生可以通过练习不断培养这种能力，逐渐丰富“翻译”的经验。 坐标方法固然优点重重，但是在使用“代数化”思路解决问题的程序中无法避免地会伴随计算的问题。计算往往是圆锥曲线这一难点的切实所在。其实，如果单纯只是运算的“量大”还是可以通过高强度的训练得到有效改善。但对于一些题目，即便是计算能力非常出色的学生也需要消耗大量的时间，甚至反复多次才能得解。这是由于“算理不明”所致，如果学生选择的计算策略不合理，就会走入死胡同，将运算变成了硬解，即便耗费大量努力，最终还是无法得解。可令人烦恼的，许多二次曲线中的计算涉及“算理”问题，然而，对于明晰“算理”的培养，绝不是一朝一夕所能够完成的小工程，那需要绝对大量的经验积累和一定程度的数学天赋。显然，仅凭高中教学来解决这个问题是不现实的。 为应对高考圆锥曲线计算难的问题，笔者试图在解析几何的相关领域寻找一种较为普适的方法，从而系统地解决一类问题。于是发现，利用平面伸缩变换是不错的处理方法。
函数)sin(A ?ω+=x y 的图像 （1）物理意义：sin()y A x ω?=+（A ＞0，ω＞0），x ∈[0,+ ∞）表示一个振动量时，A 称为振幅，T = ωπ 2， 1 f T = 称为频率，x ω?+称为相位，?称为初相。 （2）函数sin()y A x k ω?=++的图像与sin y x =图像间的关系： ① 函数sin y x =的图像纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移||?个单位得()sin y x ?=+的图像； ② 函数()sin y x ?=+图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ω ，得到函数 ()sin y x ω?=+的图像； ③ 函数()sin y x ω?=+图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数 sin()y A x ω?=+的图像； ④ 函数sin()y A x ω?=+图像的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ω?=++的图像。 要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图像，则向左或向右平移应平移| |? ω 个单位。 ?对)sin(?+=x y 图像的影响 一般地，函数)sin(?+=x y 的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向____(当?>0时)或向______(当?<0时)平移?个单位长度得到的 注意：左右平移时可以简述成“______________” ω对x y ωsin =图像的影响 函数x y ωsin =)10(≠>∈ωω且R x ，的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的横坐标______)1(>ω或_______)10(<<ω到原来的ω 1 倍（纵坐标不变）。 A 对x y sin A =的影响
《图形的平移与旋转》专题专练 专题一：确定图形变换后的坐标 把图形放在平面直角坐标系中，利用点的坐标，可进行图形的变换或确定图形的位置与形状，解答这类问题，是数与形结合的体现，有利于提高综合运用知识的能力．现以坐标系中的平移与旋转的图形变换为例加以说明．例1 如图1，在△AOB中，AO＝AB．在直角坐标系中，点A的坐标是（2，2），点O的坐标是（0，0），将△AOB平移得到△A′O′B′，使得点A′在y轴上，点O′、B′在x轴上．则点B′的坐标是． 析解：因为△AOB是等腰三角形，容易得到B点坐标为（4，0），将△AOB 平移得到△A′O′B′，使得点A′在y轴上，是将图形向左平移2个单位长度．根据平移特点，平移后对应线段相等，因此点B也向左平移2个单位长度，所以点B′的坐标为（2，0）． 例2 已知平面直角坐标系上的三个点O（0，0），A（-1，1），B（-1，0），将△ABO绕点O按顺时针方向旋转135°，则点A，B的对应点坐标为A1（，），B1（，）． 析解：建立如图2所示的直角坐标系，则OA2，所以OA1＝OA2，所以点A120）．因为∠AOB＝45°，所以△AOB是等腰直角三角 形，所以△A1OB1是等腰直角三角形，且OA12 ，所以B1 22 ?? ，． 练习一：1．如图3，若将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则A点的对应点A′的坐标是（）． （A）（-3，-2）（B）（2，2）（C）（3，0）（D）（2，1）
2．如图4，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是（－4，2）、（－2，2），右图案中左眼的坐标是（3，4），则右图案中右眼的坐标是． 3．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2＝2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是．4．如图5，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（－1，－1）． （1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形，并写出点B1的坐标； （2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C 的图形，并写出点B2的坐标． 专题二：图形的变换分析 分析图形的变换一般选择合适的“基本图形”，然后由平移、旋转的定义考查这一基本图形变换到另一个基本图形的运动方式是平移还是旋转，以及运动的距离或角度是多少，并由性质进行检验判断的正确性．
函数()y f x =图像的平移变换与伸缩变换 在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中，我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容，主要要学习函数 y=Asin(x+)+m(A 0, 0)w j w 构的图像是由sin y x =的图像怎样变换得来的，这要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。而我们在后来复习函数时，也要增加函数()y f x =的图像变换的内容。三角函数也属于函数，因此一般函数()y f x =的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。所以为了使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性，我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识，能够高度概括这两种变换。现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文，供大家借鉴使用，提出建设性意见。 大家知道，sin y x =的图像向上(下)平移10个单位，可得到 10sin y x -=(10sin y x +=)，即s i n 10y x =+(sin 10y x =-)的图像；sin y x =的 图像向右(左)平移 10π，可得到sin()10y x p =-(sin()10 y x p =+)的图像；sin y x =的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的12 )，可得到1sin 2 y x =(sin 2y x =)的图像；sin y x =的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的13)，可得到1sin 3y x =(3sin y x =)，即3s i n y x =(1sin 3y x =)的图像；我们可用表格把上述小题的变换内容与解析式的相应变化反
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学薛德斌 一、圆锥曲线的极坐标方程 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系． ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：. 1ecos 其中p是定点F到定直线的距离，p＞0． 当0＜e＜1时，方程表示椭圆； 当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 二、圆锥曲线的焦半径公式 设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PF e PQ，∴PF e(PF cos p)，其中p FH，〈x轴，FP〉∴焦半径PF ep ． 1ecos 当P在双曲线的左支上时，PF ep 1ecos . 推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有 112 . MF NF ep
2 cos 2 . c 2 2 2 三、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F ， a 2 b 2 ep ep 2ab 2 1、椭圆中， p ， MN c c 1 ecos 1 ecos( ) a 2 c 2、双曲线中， ep ep 2ab 2 若 M 、N 在双曲线同一支上， MN ； 1 ecos 1 ecos( ) a 2 c 2 cos ep ep 2ab 2 若 M 、N 在双曲线不同支上， MN . 1 ecos 1 ecos c 2 cos a 2 3、抛物线中， MN p p 2p . 1 cos 1 cos( ) sin 四、直角坐标系中的焦半径公式 设 P （x,y ）是圆锥曲线上的点， 1、若 F 、F 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF 1 2 1 a ex ，PF 2 a ex ； 2、若 F 、 F 分别是双曲线的左、右焦点， 1 2 当点 P 在双曲线右支上时， PF 1 ex a ， PF 2 ex a ； 当点 P 在双曲线左支上时， PF 1 a ex ， PF 2 a ex ； 3、若 F 是抛物线的焦点， PF x p . 2
与函数相联系的图形旋转问题举例 作者：刘春杨|来源：东北育才学校初中部浏览次数：1026次 东北育才网校| 2008-12-22 11:01:57 图形的旋转是图形变换的重要内容之一,又是新课程标准明确的重要内容。 其有利于培养学生实践与操作能力,形成空间观念和运动变化意识.本文列举几道与函数相联系的图形旋转问题，来帮助学生进一步体会数形结合思想在解题中的应用。 一、与一次函数相联系的图形旋转问题 A．三角形作旋转 例1（06沈阳）．如图1-①，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO=30°，OA=4。 (1)求点C的坐标； (2)如图1-②，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A’CB’的位置，其中A’C交直线OA于点E，A’B’分别交直线OA、CA于点F、G，则除△A’B’C≌△AOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；(不再另外添加辅助线) (3)在(2)的基础上，将△A’CB’绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为时，求直线CE的函数表达式。 分析：（1）要求点C的坐标只需求出OC长即可；（2）根据旋转性质：旋转前后图形大小、形状不变可以获得其他3对 全等三角形；（3）问题关键是“其中A’C交直线OA于点E”，所以“当△COE的面积为 时”要注意多解。 解：（1）在中，，．
点的坐标为． （2），，． （3）如图1-③，过点作于点． ，． ∵在中，，，． ∵点的坐标为．直线的． 同理，如图1-④所示，点的坐标为． 设直线． 例2（08金华）如图2，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P 是x轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD. （1）求直线AB的解析式； （2）当点P运动到点（,0）时，求此时DP的长及点D的坐标； （3）是否存在点P,使△OPD的面积等于,若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
圆锥曲线的极坐标方程 极坐标处理二次曲线问题教案 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线
当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55 ρθθ? ==-- 31053 e P ∴==， 2332555851015103383c a c a a b a c c c ???===??????∴????????-===?????? 2225155( )()882 b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需 令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。 点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义， 简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问
23.1图形的旋转 第2课时旋转作图与坐标系中的旋转变换 一、新课导入 1.导入课题： 如图，O是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形？ 2.学习目标： （1）能按要求作出简单平面图形旋转后的图形. （2）能通过图形的旋转设计图案. 3.学习重、难点： 重点：用旋转的有关知识画图． 难点：根据要求设计美丽图案. 二、分层学习 1.自学指导： （1）自学内容：教材第60页例题. （2）自学时间：4分钟. （3）自学方法：依据旋转的性质，关键是确定三个顶点的对应点的位置. （4）自学参考提纲： ①因为A是旋转中心，所以A点的对应点是A . ②根据正方形的性质：AD＝AB，∠OAB＝90°，所以点D的对应点是点B . ③因为旋转前、后的两个图形全等，所以本例根据三角形全等的判定方法SAS ，作出△ADE 的对应图形为△ABE′ . ④E点的对应点E′，还有别的方法作出来吗？ 以AB为一边向正方形外部作∠BAM，在AM上截取AE′=AE即可.（答案不唯一） 2.自学：学生可参考自学指导进行自学. 3.助学： （1）师助生： ①明了学情：看学生能否规范作图，并说明这样作图的理由.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导. （2）生助生：小组内相互交流、研讨. 4.强化： （1）作一个图形旋转后的图形，关键是作出对应点，并按原图的顺序依次连接各对应点. （2）在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点，以点A为中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABP逆时针旋转，画出旋转后的图形. 解：①以AC为一边向△ABC外部作∠CAM=∠BAP. ②在AM上截取AP′=AP. ③连接CP′，则△ACP′就是所求作的三角形. 1.自学指导： （1）自学内容：教材第61页“练习”以下的内容. （2）自学时间：5分钟. （3）自学方法：观察课本上图案的形成过程，探讨它们分别是改变旋转中的哪些要素旋转而成的？ （4）自学参考提纲： ①把一个基本图形进行旋转来设计图案，可以通过哪两种途径获得不同的图案效果？ a.旋转中心不变，旋转角改变，产生不同的旋转效果. b.旋转角不变，旋转中心改变，产生不同的旋转效果. ②任意画一个△ABC，以A为中心，把这个三角形逆时针旋转40°； ③任意画一个△ABC，以AC中点为中心，把这个三角形旋转180°. ④如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC、BD相交于点O，试分别以点O和点A为旋转中心，以90°为旋转角画出图案，并相互交流.
C旋转图形保持坐标不变 方法 This manuscript was revised by the office on December 22, 2012
方法一 前言：自己用ucs命令并不多，所以这几个命令有时候会忽略掉。 但是设计院提供的图纸，有时候会有ucs偏移，让自己有些头痛， 现在记录一下，省的自己忘掉了。 今天找一个CAD里改变视点的命令，由于长期不用，很费了番脑筋才想起来，所以做个记录。 如下图1，红色的线，要把视图调整到坐标与红线平行，红线与水平方向平行（见图2）。 图1 图2 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 先用UCS命令，把当前UCS调整到红线的方向，见图3：
图3 操作方法： 命令：UCS<回车> ……：N<回车> ……：3<回车> ……：捕捉红线上一点（如P1） ……：捕捉红线上另一点（如P2） ……：<回车>结束命令 为了便于以后找回这个UCS，把它保存，操作方法： 命令：UCS<回车> ……：S<回车> ……：001<回车> 然后用PLAN命令调整平面视图，操作方法： 命令：PLAN<回车> 输入选项 [当前 UCS(C)/UCS(U)/世界(W)] <当前 UCS>: C<回车>
则效果如图2所示。 如果要回到原始的图1的视图，则是： 命令：PLAN<回车> ……：W<回车> 通过修改UCS旋转视图的步骤 1. 在布局的命令提示下输入mvsetup。 2. 输入a（对齐）。 3. 输入r（旋转）以将视图旋转到指定角度或使用两点旋转视图。 4. 如果布局上有多个视口可用，请单击要旋转的视图的视口。 5. 指定旋转基点。 6. 指定旋转角度或指定第二个点以确定旋转角度。
用心 爱心 专心 平面内曲线平移伸缩变换的技巧 江苏省靖江高级中学 蔡正伟 在高中教材中，平移变换是在向量中提出来的，而伸缩变化是在三角函数介绍的，因为有了初中的“左加右减，上加下减”的结论，在教学过程中，很多同学往往会简单的套用这个结论，导致得到和正确答案完全相反的结论，笔者在近几年教学中，总结了一套简单且容易操作的处理方法，供同学们学习时参考。 曲线平移和放缩都可以依据以下结论处理：所有的平移和放缩都是x ，y 在变，且变化的规律与习惯相反。 一、平移 规律中的“习惯”就是在坐标平面内特征，即左右平移是x 在变化，且向左变小，向右变大；上下平移是y 在变，且向下变小，向上变大。下面举例说明。 例1 将函数)(x f y =的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位。求平移后的函数解析式。 解：向左平移2个单位，“习惯”是越左越小，而变化的结果将原来解析式中的x 变成2+x ；向上平移1个单位，“习惯”是越上越大，而变化的结果是将原来解析式中的y 变成1-y 。 所以平移后的函数解析式是)2(1+=-x f y 。 例2 求)43sin(21π+= x y 向右平移3π个单位，向下平移2个单位后的得到的函数解析式。 解：依据以上规律，就是将原来的解析式中的x 变成3π- x ，y 变成1+y ， 所以平移后的函数解析式是?? ????+-=+4)3(3sin 211ππx y ， 化简后得1)4 33sin(21--=πx y 。 例1也可以用“左加右减，上加下减”来处理，但如果不能从本质上弄清问题，就会出现错误，如例2还是套用“左加右减，上加下减”来处理，得到的结论就可能是14)3(3sin 211-?? ????+-=+ππx y 。 二、放缩 课本在三角函数这一章中给出了放缩的规律，笔者发现这个规律可以和平移规律整合在一起。
图形的旋转 坐标与图形变换 1、（2018武汉模拟）在平面直角坐标系中， 将点P （4，-3）绕原点旋转90度得到1P ，则1P 的坐标为________ [解析]：分顺时针和逆时针两种情况旋转，1P 的坐标为（-3，-4）或（3，4） 2、（2018洪泽县模拟）已知点P 的坐标为（1，1），若将点P 绕着原点逆时针旋转45度，得到1P ，则1P 的坐标为________ [解析]：1P 的坐标为（-1，1） 3、（2018杜丹江二模）如图，平面直角坐标系中，等边OAB ?边长为2，点B 在第一象限内，AB//x 轴，若将OAB ?绕点O 旋转120度，再关于y 轴对称后得到O B A 11?，由点1A 的坐标为________ [解析]：分顺时针和逆时针两种情况旋转，),3,1(1 --A 或),0,2(1A 4、（2018杜丹江三模）等边ABC ?如图放置，A （1，1），B （3，1），等边三角形的中心是点D ，若将点D 绕点A 旋转90度后得到点、D ，则、D 的坐标是________ [解析]：)331,2(+ D 顺时针旋转得到)0,331(+、D ，逆时针旋转得到)2,331(-、D
5、（2018杜丹江）如图，ABC ?三个顶点的坐标分别是A （1，-1），B （2，-2），C （4，-1），将ABC ?绕着原点O 旋转75度，得到111C B A ?，则点1B 的坐标为________ [解析]：由点B （2，-2），则OB=2，且OB 与x 轴、y 轴夹角为45度，当点B 绕原点逆时针旋转75度后，与x 轴正向夹角为30度，则点1B 到x 轴y 轴距离分别为6,2，则点)2,6(1B ，同理，当点B 绕原点顺时针旋转时，可得)6,2(1--B 6、（2018邵阳期末）如图，已知A （2，1），现将A 点绕原点O 逆时针旋转90度得到1A ，则1A 的坐标是________ [解析]：)2,1(1-A 7、（2018沙坪坝区期末）如图，平面直角坐标系中，已知点B （-3，2），若将ABO ?绕点O 沿顺时针方向旋转90度得到O B A 11?，则点B 的对应点1B 的坐标是________ [解析]：)3,2(1B
常见曲线的极坐标方程（3） 学习目标： 1、进一步体会求简单曲线的极坐标方程的基本方法； 2、了解圆锥曲线的方程； 3、通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面 图形时选择适当坐标系的意义。 活动过程： 活动一：知识回顾 1、若圆心的坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，则圆的极坐标方程为 ； 2、（1）当圆心位于)0,(r M 时，圆的极坐标方程是： ； （2）当圆心位于),(2π r M 时，圆的极坐标方程是： 。 3、圆锥曲线统一定义： 活动二：圆锥曲线的极坐标方程 探究：设定点F 到定直线l 的距离为p ，求到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的 轨迹的极坐标方程。
活动三：圆锥曲线的极坐标方程的简单应用 例1：2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方 案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点（离地面最远的点）距离地面分别为200km 和350km ，然后进入距地面约343km 的圆形轨道。若地球半径取6378km ，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。 例2：求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数。 例3：已知抛物线的极坐标方程为θρcos 14-= ，求此抛物线的准线的极坐标方程。
活动四：课堂小结与自主检测 1、按些列条件写出椭圆的极坐标方程： （1）离心率为0.5，焦点到准线的距离为6； （2）长轴为10，短轴为8。 2、圆心在极轴上，半径为a 的圆经过极点，求此圆过极点的弦的三等分点的轨迹方程。 3、自极点O 作射线与直线4cos =θρ相交于点M ，在OM 上取一点P ，使得12=?OP OM ，求点P 的轨迹方程。
平面内曲线平移伸缩变换的技巧 江苏省靖江高级中学 蔡正伟 在高中教材中，平移变换是在向量中提出来的，而伸缩变化是在三角函数介绍的，因为有了初中的“左加右减，上加下减”的结论，在教学过程中，很多同学往往会简单的套用这个结论，导致得到和正确答案完全相反的结论，笔者在近几年教学中，总结了一套简单且容易操作的处理方法，供同学们学习时参考。 曲线平移和放缩都可以依据以下结论处理：所有的平移和放缩都是x ，y 在变，且变化的规律与习惯相反。 一、平移 规律中的“习惯”就是在坐标平面内特征，即左右平移是x 在变化，且向左变小，向右变大；上下平移是y 在变，且向下变小，向上变大。下面举例说明。 例1 将函数)(x f y =的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位。求平移后的函数解析式。 解：向左平移2个单位，“习惯”是越左越小，而变化的结果将原来解析式中的x 变成2+x ；向上平移1个单位，“习惯”是越上越大，而变化的结果是将原来解析式中的y 变成1-y 。 所以平移后的函数解析式是)2(1+=-x f y 。 例2 求)4 3sin(2 1π + =x y 向右平移 3 π 个单位，向下平移2个单位后的得到的函数 解析式。 解：依据以上规律，就是将原来的解析式中的x 变成3 π - x ，y 变成1+y ， 所以平移后的函数解析式是????? ? +-= +4)3(3sin 21 1ππx y ， 化简后得1)4 33sin(2 1--=πx y 。 例1也可以用“左加右减，上加下减”来处理，但如果不能从本质上弄清问题，就会出现错误，如例2还是套用“左加右减，上加下减”来处理，得到的结论就可能是 14)3(3sin 21 1-????? ? +-= +ππx y 。 二、放缩 课本在三角函数这一章中给出了放缩的规律，笔者发现这个规律可以和平移规律整合在一起。