第一章
古典代数以研究代数方程求解为中心，其历史源远流长。 19世纪初，年轻数学家伽罗华（Galois）应用群的概念对高次代数方程是否可用根式求解问题进行了透彻研究并给出了明确回答，他成为抽象代数新思想的启蒙者。随后，这种把代数变成集合论的、公理化的科学的改造不断强化，产生了很多新的方法、新的观点、新的结果。到了20世纪20年代，数学最古老的分支之一的代数学完成了一次根本性的革命，完成了初等代数到近世代数的“飞跃”，即从研究数的运算到研究抽象代数系统的结构之“飞跃”。他的标志是范德瓦尔登的《近世代数学》一书的出版。时至今日抽象代数已经成为很多数学分支中最常用的工具，空前普及。以至近年来，人们不再把这门学问冠以“近世”“抽象”等高贵头衔，而朴素地称它为“一般代数学”“基础代数学”甚至“代数学”。本书仍称为《抽象代数》只是想把它与仅仅讨论以数为对象的那种经典代数加以区别。抽象代数是数学中最适合于自学的学科之一，本课程只假定读者学过中学代数并知道一点矩阵运算规则，此外不要求任何高等数学内容作为准备知识。学好本课程的关键在于对“公理化方法”实质和一些重要抽象概念的理解。切忌把抽象代数单纯作为“知识”来学，平均使用力量，每个定义都能背下来，但没有一个能“悟出真谛”。学习抽象代数的一个重要目的就是要提高“抽象思维”能力。
本书共7章，本人将着重介绍二、三、四、五、六章，第一张过于基础，都是些普通的概念，第七章的内容已在《Galois Theory》中详细介绍。大致内容包括：群，环，域，三个方面，三、四章主要介绍群的定义，及几类特殊群；第四章介绍了群同态——仅仅是保运算的一种n对1的对应关系，n取决于ker中元素个数。同样第四章完成的是环的这方面的介绍。第五章主要是对域的一些定义性的介绍，以及如何构造域，当然也对多项式环做了一点介绍，主要是为第六章研究多项式分解做一点铺垫。学完抽象代数印象最深的就是代数系统的定义方式，仅仅是满足几条公理的体系，以至于学拓扑感觉很代数，很亲切！再一个就是同态的那种对应关系，看似复杂的定理形式实际的内涵确实如此的简单，明了！
第一章集合映射和关系
这一章是抽象代数的基础，也差不多是所有现代数学分支的基础。大家一定早已熟练，在此只简要介绍。
1.1集合
定义：集合、元素、集合相等、空集、子集合、真子集、幂集（集合A的所有子集所形成的集合）、并集、交集在此略下。子集族：设J是一个非空集合（可以有无限多个元素），每个j∈J对应集合S的一个子集Aj，则通常说，Aj是S的一个以J标号的子集族，J称为指标集。当然还有子集族的交集和并集，余集的定义在此也略下。
1.2笛卡儿积和关系
定义1 对任意集合A和B，集合A*B={（a，b）l a∈A,b∈B}称为A,B的笛卡儿积。（从实数到实数对的构造方法）
定义2设A,B都是集合。任取笛卡儿积A*B的一个子集R，我们都说确定了A和B的一个关系R。对任意a∈A，b∈B，如果（a，b）∈R，则说a和b有R关系，记为aRb。（一个新的
定义）
1.3等价关系、分类和商集
定义1 等价关系（在高等代数已介绍过，在此略下）
定义2 设~是集合A上的一个等价关系，对每个x∈A，称A的子集Sx={y l y~x}为元素x 的等价类。
命题1.3.1 符号如定义2所设，则对于任意x∈A，Sx非空；对任意x，y∈A，若Sx≠Sy，则必有Sx∩Sy=?；A恰为其所有不同等价类的并集。（这个命题很不一般，直接推导出拉格朗日（Lagrange）定理：有限群G的任意子群H的阶数一定整除G的阶数）（证明：首先A的所有元素都在一个等价类里，就算每个元素自己在一个等价类里x~x（反身性），其次假如Sx与Sy交非空，则由等价关系的传递性必有Sx=Sy。每个A中的任意元素都分到一个等价类里，且只能在一个等价类里）
命题1.3.2 若有集合A的一个分类，既有A的子集族Si，i∈△满足（1）Si∩Sj=?，i≠j，（2）A=∪Si，规定，对任意a，b∈A，a~b当且仅当a，b属于同一Si，则~为A上等价关系，且诸Si，i∈△恰为~对应的不同的等价类。（根据定义证明比较平凡）
定义3 设~是集合A上的一个等价关系。说A的子集T是关系~下的一个等价类表示的完全集，如果T中不同元素的等价类也不同，且A=∪St。
定义4 设~是集合A上的等价关系，T是关系~之下的一个完全集则集合A（上一短线）={St l t∈T}称为对等价关系~的商集（等价类为元素的集合，和以后的商群，商环稍有联系,都是集合的集合）
1.4映射
首先可以定义映射关系，映射定义略，和以前了解的一样。定理1.4.1十分平凡，恒等映射、嵌入映射、投影（笛卡儿积A*B到A或B的映射）、等价关系确定的自然映射（元素对应其等价类的映射）在此只简述。
引理1.4.1对任意m∈I，恒有q，r∈I使得m=qn+r，0≤r＜n。而且，满足上述要求的q，r 均由m唯一确定。（高等代数的多项式中早已介绍过更一般的结论）
映射像Img（f），单、满、双射、复合映射、复合映射满足结合律、单射满射的复合依旧是单射和满射、g*f是满射，则g是满射；g*f是单的，则f是单的、可逆映射、定理1.4.2：映射f是可逆的，必要而只要f是双射。逆映射都不详述。
命题1.4.6 设f：A→B，对B的任意子集T，都有f（f原像（T））=T∩Img（f）。（f不一定是满射，这条命题在3.3节有个小应用，命题3.3.7，类似的群的映射结论）
1.5置换
只含有限个元素的集合称为有限集，非空有限集A到A本身的可逆映射称为A上的置换，也说是A的一个置换。（就是可逆变换）
定义一数码1,2，……，n的每一个有确定次序的排列称为一个n。在一个n排列中，如果较大的数排在较小的数之前，则说这两个数构成了一个反序，该排列中出现的反序的个数称为它的反序数。（和高代行列式中的定义一样，和之后已证的结论也一样）以下结论不予证
明:
命题1.5.2若把一个n排列中某相邻两数码互换位置，则所得到的新排列的反序数与与原排列的反序数差1.
命题1.5.3当n＞1时，n！个n排列中，反序数为偶数者恰有一半（任何人对奇偶排列都没有偏见）
命题1.5.4将一n排列之两数码（未必相邻）对调，得到的新排列与原排列的反序数奇偶性相反。排列为偶数的置换称为偶置换，反之为奇置换。
命题1.5.5可由命题1.5.6平凡推出。两个奇偶性相同的置换复合后必为偶置换，两个奇偶性相反的置换复合后必为奇置换。（复合为序数的和差）
命题1.5.7置换p的逆映射（在此称为逆置换）p逆与p的奇偶性相同。（由P的定义显然）
1.6运算
在抽象代数中，所说的运算是以千差万别的集合为对象的，不只限于数的运算而已。
定义1 设S是非空集合，把S*S到S的映射称为S上的二元运算，简称为S的运算。（定义很简单，不过需要特别注意两点，1，运算封闭；2，相同元素对应的运算结果相同，良定义。还有以后在判断是否构成群的时候首先要注意规定的运算是否合理，是否是二元运算！）
接下来的工作是延照高等代数第一章多项式的内容，定义整除，再简略介绍点相关的结论，在此仅摘录，证明及解释可参看高等代数第一章的总结。
定义若一个整数a可以表示成a=bc，其中b和c都是整数，则说b和c是a的因子，或说它们能整除a，记为b l a，c l a。如果正整数p不等于0,1且它只有因子1和p，则称p 为素数。
引理1.6.1任意两个非零整数a，b恒有最高公因子d，且必有s，t∈I使d=sa+tb。（高代定理1.3.2）
引理1.6.2设b为正整数，a为任意整数，则a和b的最高公因子d可表为d=sa+tb，s，t ∈I，0≤s＜b（这条引理稍有新意，在原有的上一条引理的基础上d=ja+hb，将j用b带余分解，再合并同类项既得）
推论设p为素数。对任意i*∈Ip，如果i≠0，则必有j＜p使i*×j*=1*（此条的证明相对简单，应用却在Ip（p为素数）构成群上十分广泛）
结合律及交换律的定义就不多说了！
第二章
第二章群与子群
一个集合，对于它上的一个运算，满足结合律等几条极简单又极自然的要求，即说该集合对这个运算构成群。群是抽象代数最先遇到的代数系统，很基础，是学习以后内容的前提，也是很有代表性的一个，很有代数的风格。
2.1群的定义
定义1 一个集合G和G上的一个运算·满足下列条件，则说G对·构成群，或说（G，·）是个群，在不致引起混乱时,也可简单地说，G是个群：（0）·是二元运算；（1）结合律；（2）有恒等元，即有e∈G，使对任意a∈G，都有e·a=a·e=a；（3）每个元都有逆元素，即对任意a∈G，都有b∈G使得a·b=b·a=e。（封闭，结合律，有单位元，再加上有逆元，使得群内任意元素都能建立关系，比方说环在乘法下就没有这么好的性质）
下面，我们来看，一个群具有怎样的简单性质。将来，一旦验证了某个集合及其上的一个运算满足了群的定义中的三条要求，那么，它就一定有这些性质，就不需每次都来证明它有这种共性了。这正是公理化方法的优点。
命题2.1.1设（G，·）是个群，那么G中任意元素a只有唯一的一个逆元素。（证明的手法是拆分单位元，在以后证明唯一性的时候经常遇到）
命题2.1.2设G是个群。对任意a，b∈G有（a逆）逆=a，b逆a逆=（ab）逆。（很平凡，根据定义验证就可以）
命题2.1.3设G为群。对任意a，b，c∈G，ab=ac，蕴涵b=c，ba=ca蕴涵b=c，并分别称为左，右消去律。（有逆元即满足消去律，无逆的系统就没有这么好的性质。而对于有限的集合，还可以自己证明二元运算满足左右消去律的还能推出有逆元，和单位元，即构成群；对于二元运算满足分配律的，如环，满足消去律等价于无零因子）推论略
定理2.1.1设·是集合G上的一个运算，只要他满足（1）结合律；（2）有左单位元；（3）有左逆。则（G，·）是个群("削减"了群的形成条件，在以后经常会由此推出集合为群。证明的主要手法是拆分e，再加上考虑每个元素的左逆即可凑出所要得出的结论，最好自己证一下，加深印象)
定理2.1.2设·是集合G上的一个运算且满足结合律。那么（G，·）是个群，必要而只要，对任意a，b∈G都有唯一的c，d∈G使得a·c=b，d·a=b（这条等价条件应用比较少，形式上很容易能推出单位元和逆）
命题2.1.4对任意正整数n，都有a^(-n)=(a^-1)^n（平凡）
命题2.1.5设a是群G的一个元素。对任意的m，n都必有a^m·a^n=a^(m+n),(a^m)^n=a^mn.（平凡）
群（G，·）的运算通常称为乘法。当群的运算·满足交换律时，则称之为交换群或阿贝尔（abel）群。交换群的运算可称之为加法。单位元称为零元素，元素a的逆元素改称为a的负元素，记为-a，m个a相加记为ma。
2.2子群
定义1 设（G，·）是个群，如果G的子集H对同一运算·也构成群，则说（H，·）是（G，·）的子群。或者，简单地说，H是G的子群。（很自然的一个定义，子结构在代数系统一直都占有一定的重要地位）
命题2.2.1 如果H是G的子群，那么H的恒等元f等于G的恒等元e；也就是说e∈H。（很显然，任意元素和其逆的积都等于e,同样在以后子域零元和单位元都保留）
定理2.2.1 设（G，·）是个群，H是G的子集。那么，H是G的子群，当且仅当（1）H非空；
（2）如果a，b∈H，则a·b∈H；（3）如果a∈H，则a在G中的逆元属于H。（首先结合律不需要验证，首先要验证·是否是子集合上的二元运算，即封闭性（2），（3）保证了逆和单位元）
定理2.2.2 设G是个群，H是G的一个子集。那么H是G的子群当且仅当（1）H非空；（2）对任意a，b∈H，都有a·b逆∈H。（近一步简化子群的等价条件，和上定理类似，个人解释也类似，可自己验证，这条等价条件很常用）
命题2.2.2 设G是个群。对于G的任意的一个子群族，它们的交集仍为G的子群。（运算封闭，结合律，单位元，逆自然在每个集合中都满足，当然在交集中也满足，自然构成群）
命题2.2.3 设H和K都是群G的子群。如果它们的并集也是G的子群，那么必有一个子群包含另一个子群。（反证，在各自的集合找非公共的元素h和k，由于构成群h·k属于并集，则必属于H或K，由消去律知另一个也属于H或K，与假设矛盾。在此想起了向量空间的一条性质，内部和外部作用一定属于外部！）
命题2.2.4 设G是个群，a是G的元素。则<{a}>={a^i l i∈I}。（循环群，每个群中最基本的子结构，稍有些“拼凑”的意思！）
定理2.2.3 符号如上所述，则=H。（略）
2.3对称群和置换群
群的初等理论中相当多的问题都来自于几何学，特别是来自对称性的讨论。时至今日，群伦最活跃的几个领域中，如平面或空间运动，晶体结构，生物遗传等，群的威力仍主要体现在处理各式各样的对称问题上。
集合S={1,2，……，n}上所有置换在映射合成之下构成群。今后称这个群为n次对称群，记为Sn。同时，实际上，我们也证明了，S上的所有偶置换，在映射的合成之下也构成群，这是Sn的一个最重要的子群，通常记为An，称为n次交代群。
定义1 n阶对称群Sn的任意一个子群都称为置换群。（集合上映射构成的群，研究集合上的映射的重要性可以参看Galois Theory，域上的自同构与方程有无根式解有紧密关系）
命题2.3.1 当n≥3时，Sn不是可交换的。（反例易举，有交叉，不可交换）
定义2 如果n阶置换P，把1到n中若干个数码i1，i2，……，ik按下方式对应P（i1）=i2，P（i2）=i3，……，P（ik）=i1，而对其余数码不变，则说P是一个K循环，记P=（i1，i2，……，ik）。（着重定义了一种表示方法）
定义3 循环（i1，i2，……，ik）与（j1，j2，……，jl）称为不交的，如果it≠js t=1,2，……，k，s=1,2，……，l。（针对映射交换的定义）
命题2.3.2 若两循环不交，则它们可交换。（两个循环没什么交叉的地方，没什么关系，互不影响）
定理2.3.1 在Sn中，任何一个不等于恒等映射的置换必可表成若干个互不相交的循环的乘积。（很容易证明，只需操作一下，看看先从第一个元素开始映成了什么，依次下来直到回到第一个元素，这就构成了一个循环，再看剩下的第一个，依次下来的各循环都不相交）
定理2.3.2 设P是个n置换P=P1P2……Pl=Q1Q2……Qk，其中P1P2……Pl与Q1Q2……Qk都
是两两不交的循环，则必有k=l，且可将Qi顺序适当调整，使得P1=Q1，P2=Q2，……，Pk=Qk，此循环不包括1循环在内。（实际操作计算一下很容易，很显然得出的结论）
命题2.3.3 任意一个k循环都可以表成若干个2循环的乘积。（任意循环都可以一步一步变两个元素得到）
命题2.3.4 在Sn中k循环生成的子群是p阶循环群。（很平凡，尤其是看完下一节）
命题2.3.5 设G是S={1,2，…，n}上的一个置换群，对于S的任意一个子集T，令GT={P∈G l P（t）=t，对每个t∈T }。则GT是G的一个子群。（根据定义，很规范的过程）
命题2.3.6设G是S={1,2，……，n}上的一个置换群，T是S的一个子集。令G^T={P∈Gl P （T）包含于T}，则G^T是G的一个子群。（也是根据定义验证就可以，此种集合T以后会知道称为不变子集，与不变子空间，不动点体都很相近，本书会直接衍变成下一章很重要的不变子群的概念）
2.4循环群
进一步学习群论还会发现，有一些地位相当重要的群，实际上，可由这种由单个元素生成的子群“拼凑”而成。
定义1 群G称为循环群，如果有g∈G，使得G=
命题2.4.1 设G是个群，g∈G。如果有不同的整数r和k使得g^r=g^k，则存在一个正整数m使得（1）g^m=e；（同乘其中次数较小者的逆）（2）当1≤i＜j≤m时，g^i≠g^j；（与m 最小矛盾）（3）如果有整数t，使得g^t=e,则m l t；（m最小）（4）
命题2.4.2 设G是个群，g∈G。如果对任意的不同的整数r，k都有g^r≠g^k,则
定理2.4.1 设g是循环群G的一个生成元，那么（1）当有正整数r≠k时，使g^r=g^k时，G是m阶循环群，当i，j小于m时g^i≠g^j；（2）当对任意正整数r≠k时均有g^i≠g^j，G={…，e，g，g^2，…}（完全可由上两个命题平凡推出）
命题2.4.3 设G={e，g,g^2,…，g^(m-1)}正整数p与m互素且p＜m，那么G=
命题2.4.4无限循环群的每个子群都是循环群。（还是取次数最小元的一个手法应用，结论比较工整好记，与无限没什么关系）
命题2.4.5和命题2.4.5略
2.5阶数
定义1 群G中元素的个数称为G的阶数。当G有无穷多个元素时，说G是无限阶的；当G 的元素的个数有限的时候，用lGl代表G的元素的个数。对于群G的元素a，如果有非负整数n使得a^n=e，且n为使上等式成立的最小整数，则说n是有限阶的，阶数为n。（关于
群元素数量上的一个定义，方便在数量上考虑群的性质。与本书以后提到的特征数char（）关系紧密，特征数实为加法阶数）
命题2.5.1设a是G的一个元素。那么a的阶数与子群的阶数相等。（由定义显然）
定义2 设H是G的一个子群，H在群G中确定关系~如下：a，b∈G，a~b当且仅当ab逆∈H，称~是H在G中确定的右关系。（由子群定义的一个关系，而且是等价关系，由第一章的内容可将G划分成等价类，而且每个等价类中的元素个数相等，从而得出Lagrange定理，这是本节的主线）
命题2.5.2 设H是G的子群，则H在G中上确定的右关系~是个等价关系。（由等价关系定义的反身性，对称性，传递性验证即可）
定义3 对G之任意非空自己A，B，称G的子集｛g∈G l g=ab，a∈A，b∈B｝为A与B的乘积，记为AB。（类似笛卡儿积）当A为子群，B={b}时，记Ab=AB，并称Ab是A在G中的一个右陪集。类似的也可以定义左陪集。（为了和左右关系建立联系，当然在不变子群的等价定义上也发挥了很大作用）
命题2.5.3 设H是G的子群，~是H在G中确定的右关系，那么元素a∈G在等价关系~之下的等价类恰好是H的右陪集Ha。（右陪集和右关系的紧密联系就在这里，等价类就是陪集，比较直观，证明也很简单）
推论设H是G的子群，a，b∈G。那么ab逆∈H当且仅当Ha=Hb。（a与b等价当然在一个等价类里，陪集就相同，即Ha=Hb）
命题2.5.4如果H是G的有限子群，则子集Ha的元素的个数等于H的阶数。（推出下面重要定理比较关键的一步。Ha明显阶数小于等于H的阶数，只需证明Ha元素各不相同，这一点由群的消去律可以给出）
拉格朗日（Lagrange）定理设G是个有限群。那么G的任意子群H的阶数一定整除G的阶数。（定义2总结的主线各个问题都已解决）（值得注意的是并不是G阶数的因子数就是某子群的阶数，如四次交代群无六阶子群）
推论1 设G是个有限群。那么，它的任意元素a的阶数都能整除G的阶数。（a的阶数等于的阶数，是子群）
推论2 设G是个有限群，lGl是个素数。那么G只有{e}和G两个子群。（只有两个平凡因子）
推论3 设G是个有限群，lGl是个素数。那么G必为循环群。（显然）
命题2.5.5 设G是个有限交换群。如果a∈G的阶数t大于或等于G中所有元素的阶数，那么每个元素的阶数均可整除t。（结论稍奇特，没发现什么应用，证明不难，需要简单构造一下，打字形式稍复杂，略下）
本书关于直积的知识略。
第三章
第三章群的同态
两个群同构时，犹如一个是另一个的复制品，其大小和结构完全相同（代数性质完全复制）。比同构更一般的概念是同态，犹如从照片上反映人物特性，后者表现前者在一定要求下的基本属性，不要求一模一样。同态乃是一个群到另一个群的映射，不要求是双射，这样，这样映射的像通常比原来群要来得“小”些（原来群与同态像阶数上有严格倍数关系，等于Ker中元素个数，同态像与商群同构--同态基本定理（本章最主要的结论））。同态概念同样在环论，模论等几乎所有代数学领域广泛使用，是代数学的最重要概念之一。这一阶段是整个抽象代数学习过程中思想方法上的一次飞跃，如果顺利通过本章各个环节，那么在其后的内容的学习上将不会有根本性障碍！
3.1群的同构
定义1 设（G，△）是个群，（H，·）也是个群。如果f：G→H是个双射，且对任意a，b∈G 恒有f（a△b）=f（a·b），则说f是G到H的同构映射，G和H同构。（可以自己想想一个群有什么，就是元素和它们之间的运算关系，再无其他。在代数上，元素一一对应而且保持之间的运算关系就可以看作是同一系统）
命题3.1.1 设G和H同构，则同构映射f把G中的恒等元映成H中的恒等元。(代数结构相同，恒等元是很特殊且唯一的一个元素，保持下来很显然且自然）
命题3.1.2 条件如命题3.1.1，那么对于G中的任意元素a，都有f（a逆）=f（a）逆。（和上一命题一样，证明起来比较容易，主要就是保运算加上群中元素的逆存在且同态推得，与第三节同态保持的性质一样）
命题3.1.3 设A={（G，△），（H，·），（K，#），…}是由一些群构成的一个集合。我们在A中定义关系≈，（G，△）≈（H，·）当且仅当G同构H。那么≈是A上的等价关系。（结论显然，亦可根据等价关系的定义验证）
命题3.1.4 任意n阶循环群都同构于（In，+）。（没什么好说的，显然）
命题3.1.5 任意无限循环群都同构于整数加法群（I，＋）。（同上，当然都可以用定义步骤证明）
命题3.1.6 设群（G，△）同构于群（H，·），而G是个循环群，则H也是循环群。（所有代数性质都保持，当然保结构）命题3.1.7略。
命题3.1.8 设A是有n个元素的集合，G是A到A的所有可逆映射在映射合成之下构成的群。那么G同构于Sn。（显然置换就是可逆映射）
3.2群上的可逆变换
这一节要讨论群G上的所有可逆映射在映射合成之下构成的群I（G）的性质。最重要的结论是，任意群必同构于其上可以映射构成群的一个子群。一般的群，由于背景各异而千差万别，有了如上的“表示定理”，我们只要把群上可逆映射所构成的群讨论充分，则其他出之各处的群也就清楚了。
定义1 设（G，·）是个群。将G到G的可逆映射称为G上的可逆变换。G上的所有可逆变换在映射的合成之下构成群，记为I（G）。（本节主要讨论可逆变换）群G到G本身的同构映射称为G的自同构。
命题3.2.1 G的所有自同构的集合Aut（G）是I（G）的一个子群。（由子群的定义或等价条
件很容易验证）
命题3.2.2 设G是个群，a是G的一个固定元素。通过a可以得到G上的一个变换λa，规定每个x∈G对应ax，即λa（x）=ax，x∈G。则λa是G上的可逆变换，称为a左乘变换。（验证可逆即可，λa导出的元素个数小于等于G中元素个数，只验证单射即一定是满射。对于任意x，y∈G，若ax=ay，由消去律自然有x=y，故为单射，即左乘变换为可逆变换。当然也可类似定义右乘变换。）
命题3.2.3 设G是个群，G中元素的所有左乘变换的集合L={λ a l a∈G}是I（G）的一个子群。（结论显然，用子群的定义简单验证即可）
命题3.2.4 设G为任意一个群，L是其元素导出的所有左乘变换形成的群，则G同构于群L。（规定a→λa，结论显然）
定理3.2.1（凯莱定理）每个群G都同构于其上所有可逆变换构成的群I（G）的一个子群。（G同构于左乘变换群，右乘变换稍有不同）
推论每个n阶有限群必同构于n阶对称群Sn的一个子群。（可逆变换群同构于Sn）
命题3.2.5 设G是个群，a是G的一个固定元素，通过a可导出一个G到G的映射γa，γa （x）=axa逆，x∈G。那么γa必为G到G的同构映射。（可逆，保运算，形式上比较好验证。形式上比较对称）
定义2 设G是个群。G的元素a所导出的映射γa称为a导出的内自同构。（内自同构是群很重要的一个研究方向，在Galois Theory中有很重要的性质和结论（不动点体上的可离扩张，伽罗华定理等），主要是刻画群中各元素之间的等价属性，反应群的结构，此处只是给出了非交换群内自同构的一种构造方法，当然还有其他非此类的自同构关系）
在2.3节关于置换群的讨论中，我们知道，对有限集S的任意一个子集T，若G是S上的一个置换群，则GT={那些使T不动的的置换}是G的一个子群。一般地，若f是G到G本身的一个映射，T是A的子集，且f（T）包含于T，则说T是f的一个不变子集，此时f在T 上的限制就是T到T本身的一个映射。这个概念广泛的用于数学的各个分支，特别是线性代数，拓扑学，泛函分析，等等。
定义3 设G是个群，H是G的一个子群。如果H在每个内自同构映射之下都不变，即对任意a∈G，任意h∈H，都有aha逆∈H，则说H是G的不变子群。并记成H?G。（可简单理解为在G中除本身没有与H中元等价（代数性质相同，可替换）的元，或者等价也是H中的元。与不动点体相似）
命题3.2.6 设H是G的子群。那么H是G的不变子群的充分必要条件是对任意g∈G，gH=Hg。（换序是不变子群最大的优势！是构造商群推到群同态基本定理必不可少的特性，当然下一章会介绍一个与其作用相当的结构-理想）
命题3.2.7 设G是个群，K是其子群，N是G的不变子群。则KN=NK，且NK也是G的子群。（由于N是不变子群，故易得KN=NK，而且NK=KN是KN是子群的等价条件：由2.5节的定义知KN={x∈G l x=kh，k∈K，h∈N}，首先需验证运算封闭，k1h1k2h2是否属于KN,由于KN=NK，交换顺序可以证明封闭，而且显然满足结合律，ee是单位元，任意逆元属于KN，所以KN=NK 是子群）
命题3.2.8 设N和H都是群G的不变子群，则NH也是G的不变子群。（由于N,H都是不变子群，易知任意NH的左陪集等于右陪集）
命题3.2.9 设G是个群，Nα都是G的不变子群，α∈M，那么这些子群的交也是G的不变子群。（首先由子群的结论知不变子群的交是子群，其次用内自同构定义容易验证验证是不变子群）
3.3群的同态
简单地说：同态就是把原群映成原群（同构），或者除去几个循环群单位及它们交叉乘项后
的群（除去的是Ker中元素），其他性质不变。与由Ker生成的商群代数结构完全相同！
定义1 设（G，·）是个群，（H，#）也是个群。那么，G到H的映射f称为G到H的同态映射，如果对任意a，b∈都有f（a·b）=f（a）#f（b）。粗略地说，同态就是保运算的映射。（映射保持了元素间的关系，没有保持的是对应数量关系）
命题3.3.1 设f是群G到H的同态映射，eG和eH分别是它们的恒等元。那么f（eG）=eH。（原因与同构保持的性质相同--保运算及群中消去律，只能把恒等元映成恒等元。）
命题3.3.2 设f是群G到群H的同态映射，。那么，对G中任意元素g，元素f（g）在H中的逆元素恰为f（g逆），即f（g逆）=f（g）逆。（保运算且逆元素存在且唯一推得）
命题3.3.3 设f是群G到群H的同态映射，那么H中恒等元eH的原像K=f逆（eH）={g∈G l f（g）=eH}是G的不变子群。
定义2 设f是群G到H的一个同态映射，那么称eH的原像为映射f的核，记为Ker（f）。（很重要的一个结构，以下叙述方便仅记为Ker）
命题3.3.4 如果f是群G到群H的同态映射，g是群H到群K的同态映射，则gf是群G到群K的一个同态映射。（这个映射过程的结论比较简单）
定理3.3.1 设f是群G到群H的同态映射，g是群H到群K的同态映射。那么，有Ker（gf）=f原像（Ker（g））。（很平凡，过程简单，很好想出。）
定理3.3.2 设f是群G到群H的同态映射，g是群H到群K的同态映射，那么Img（gf）=g （Img（f））。（比上一个还平凡，在第一章介绍过）
命题3.3.5 设f是群G到群H的同态映射。如果A是G的子群，则f（A）是H的子群；如果B是H的子群，则f逆（B）是G的子群。（由本节开篇总结的过程可容易得出结论，A的一些循环群单位及交叉项原封不动，其余的循环群单位及交叉项映成eH；反过来的过程也是类似的，可以自己推得。抛开定义证明，感受这种同态映射的实际过程是很重要的！）
命题3.3.6 设f是群G到群H的满同态映射，A是G的不变子群，B是H的不变子群。那么f（A）是H的不变子群，f逆（B）是G的不变子群。（A是G的不变子群，就是对于G上的任意自同构只能把A的元素映到A中，A中的元素不可能与A之外的元素等价。按照同态的映射过程，A会保持一些循环群单位及交叉项不变，其余映成H的单位元，而H上的内自同构会少一些，但一定不会把A的像同构到A的像的外边，故f（A）是H的不变子群；反过来的过程类似，不变子群的原像是不变子群与Ker中元素作用生成的群，而原群是Ker与H 作用（同构意义下）生成的群，因为B是H的不变子群，即B在H中没有与B同构意义下等价的元素，那么在原群中任意同构都不可能把B不与Ker作用的原像映成H不与Ker作用的原像中的元素，但是不能保证不把Ker中的元素映成H的不与Ker中元素作用的原像，这种理解的漏洞主要在于定义不变子群的内自同构不是群上的所有内自同构，所以反过来的证明可以参考书上“形式上的证明”。结论还是挺重要的）
定理3.3.3 设f是群G到群H的同态映射，eG和eH分别是G和H的恒等元。那么，f是单射的充分必要条件是Ker（f）={eG}。（由同态实质可简单推出）
命题3.3.7 设f是群G到群H的同态映射，B为H的子群。则f（f逆（B））=B∩Img（f）。（很容易理解，前面提到过类似的结论）
命题3.3.8 设f是群G到群H的同态映射，A是G的子群，则f逆（f（A））=AKer（f）。（f 逆（f（A））等于A和Ker作用生成的群，而Ker是不变子群，由命题3.2.7可写成AKer（f）由前面的铺垫容易得出，结论也从侧面反映了同态的过程）
命题3.3.9 群G到群H的满同态映射f是同构映射，当且仅当Ker（f）={eH}，其中eH是H 的恒等元。（同态把一部分原封不动，一部分映成eH，现在只有单位元映成单位元，就是全部原封不变）
3.4商群
总结一下同态在数量上的对应关系：已经反复提过，同态就是把群中的一部分循环群及交叉项同构，剩下的映成像的单位元。而元群的阶数等于两部分元素个数的乘积，而同态像元素个数等于第一部分元素的个数，故同态是n对1的保运算的映射，n取决于Ker中元素的个数。
定理3.4.1 设N是群G的一个不变子群，G/N代表G对N的所有陪集构成的集合。规定，任意aN，bN∈G/N，对应G/N的元素（a·b）N，则得到G/N的一个运算，记为#，即aN#bN=（a·b）N。进一步，（G/N，#）是个群。（不变子群的换序发挥了很大作用，主要使定义合理，“相同”的元素作用结果应相同唯一，即良定义。其余的结合律，左单位元，左逆元都不是实质上的问题，都比较好解决，所以（G/N，＃）构成群）
定义1 设N是群G的不变子群。在商集G/N中规定aN#bN=（a·b）N，aN，bN∈G/N。则（G/N，#）构成群，称为群G对不变子群N的商群。（我们来看看这个群，对应数量上肯定是n对1，陪集的元素个数等于N中元素的个数，是上一章的结论，和同态映射未映成单位元的元素原像是aKer（f）相同，而且形式上也是一模一样的，推导出同构是十分自然的！此定义就是为了转换了一下形式阐述同态映射性质而定义的！当然转换形式会一定程度上简化形式，不过也会使规律结论失去一定的原本的面目！）
命题3.4.1 如果G是个群，N是G的不变子群，那么映射f：G→G/N，f（a）=aN，对任意a ∈G，是满同态映射，且Ker（f）=N。（Ker（f）=N显然，满同态也比较自然，满的话，肯定任意陪集都有原像，保运算在定义之初证合理性时就涉及到了）
定理（同态基本定理）设G和H都是群，f是G到H的满同态映射，Ker（f）=K。那么有映射φ：G/K→H，使得φ（aK）=f（a），对每个aK∈G/K，且φ是G/K到H的同构映射。从而G/K≈H。（由前几个问题的解释得出结论是平凡的!)
叙述手法比较随意，个人感觉解释比较清楚，只是写的一点总结也就不润色了，当然理解清楚本人的方式可能还需一定的思考过程。
第四章
第四章环与理想
前两张讨论的群是个仅有一个二元运算的代数系统。本书的后几章将要学习同时具有两种二元运算的代数系统。当然，一个集合上的两种二元运算各有各的规律，这就需要读者首先掌握好有一种二院运算的系统的研究方法，特别是群论的研究方法。初步学习环时可以不比过多在意乘法运算，只当是群上加法运算的一个附加运算即可。所以本章的大部分内容都是按照前两章的思路平凡地推广一下：群推广→环；子群→子环；不变子群→理想；商群→商环；群同态→环同态。同时，一个集合上的两种二元运算的配合在一起形成一个整体，进一步研究时就需要密切注意这两种运算之间的联系，而不是讨论那类两种二元运算“不搭边”的各自独立无关系统。（这里主要是域研究的内容方向）近世代数学中常见的有两个二元运算的代数系统有结合环、Lie环、Jordan环、格和Boole代数，等等。其中结合环背景最为广泛，研究的历史最长，已成为近世代数学的最基本的学习内容之一。
4.1环的定义
定义1 设集合R上有两种二元运算，一个叫加法，记为+，一个叫乘法，记为?，且（1）（R，+）是个交换群；（2）乘法?在R上是结合的；（3）对任意a，b，c∈R，都有a·（b+c）=a·b+a·c，（b+c）·a=b·a+c·a（分配律）。则说（R，+，·）是个结合环，简单地，说它是个环。（新
的代数系统，却不是全新的，只不过是交换群上多加了一个满足结合律的新运算，两运算间满足一定的分配律）
命题4.1.1 设（R，+，·）是个环，0是（R，+）的零元素，-a代表（R，+）中a的负元素。那么，对任意a，b，c∈R，有（1）0·a=a·0=0；（2）a·（-b）=（-a）·b=-a·b；（3）（-a）·（-b）=a·b；（4）a·（b-c）=a·b-a·c，（a-b）·c=a·c-b·c。（分配律所保持的性质，第一条用到了加法群中零元及负元的简单性质；第二条比较关键，用到了负元的存在及唯一性，后面两条就直接得出了）
定义2 设（R，+，·）是个环，如果R的乘法有单位元e，则说R是个有单位元环，或称有1环。称e为R的单位元；对于环R的元素a，若有b≠0以及c≠0使ab=0以及ca=0，则说a 是R的一个零因子（那些非零元却可以发挥类似零元作用的元素）；如果环R不含非零的零因子，则称R为无零因子环；如果环R的乘法是可换的，则说R是个交换环；有1的交换的无零因子环称为整环或整区（整环的要求就比较高了，当然性质也比较好，第六章因子分解理论大部分结论都是在整环的基础上的；整环的规整程度大致可以看作域了，只是非零乘法上不一定构成交换群，不过在我们之前讨论的有限集合上，满足分配律、无零因子即满足消去律就会存在逆，即构成域！）。
命题4.1.2 如果（R，+，·），那么R的乘法满足消去律；即a，b，c∈R，a≠0，则a·b=a·c 蕴涵b=c。（群中满足消去律主要是每个元素都有逆，此处用分配律及零因子来推导出了环中的消去律）
命题4.1.3 如果环（R，+，·）有乘法恒等元，设为e，那么对任意n∈I，a∈R，有na=（ne）a。（显然的结论，分配律可以证明） R上所有n阶方阵的集合在矩阵的加法和乘法运算下构成一个环，称为R上的n阶全阵环。（很恰当的例子，代数上再普通不过的矩阵例子，很符合环的定义）
定义3 设R是个有单位元1的环。R的元素a称为R的一个单位，如果有b∈R使ab=ba=1（环中的单位的另一种说法是乘法下可逆的元素，如全阵环中的可逆矩阵，在第六章会有一些特殊的地方）
4.2子环与理想
定义1 设（R，+，·）是个环，S是R的一个非空子集。如果+和·也是S的运算，且（S，+，·）也是个换，则说（S，+，·）是（R，+，·）的一个子环。（子群向子环的平凡推导，没什么新意）
命题4.2.1 设（R，+，·）是个环，S是R的非空子集。那么，S是R的子环的充分必要条件是（1）对任意a，b∈S，有a+b∈S；（2）对任意a∈S，有-a∈S；（3）对任意a，b∈S，有a·b∈S。（首先（1）、（3）验证了运算封闭，即为二元运算，其次由于是环的子集，当然都满足结合律及分配律，（1）、（2）是第二章第二节构成子群的等价条件，综合以上构成了子环）
命题4.2.2 设（R，+，·）是个环，S是R的非空子集。那么，S是R的子环的充分必要条件是（1）（S，+）是（R，+）的子群；（2）对任意a，b∈S，有a·b∈S。（这个太直接了）
命题4.2.3 设（R，+，·）是个环，S是R的非空子集。那么，S是R的子环的充分必要条件是（1）对任意a，b∈S，有a-b∈S；（2）对任意a，b∈S，a·b∈S。（此结论进一步简化了命题4.2.1，在子群的等价条件中出现过）
命题4.2.4 环R的任意一族子环的交仍是R的子环。（首先环亦是群，一族子群的交仍为子群，这是前面介绍过的结论，在加法群的基础上，由上面的命题可知只需验证乘法封闭即可，任意两元素的积必在每个子环中，当然在它们的交集中，故命题得出）
定义2 设R是个环，a∈R。作R的子环族A={S是R的子环l a∈S}，我们把S的交称为由R 的元素a生成的子环，记为。（以后的符号（），[],<>，{}都会出现，注意记准每个的含义。此定义为单个元素生成循环群的推广）
推论设R是个环，a∈R，那么，由a生成的子环是R的所有包含元素a的子环中的最小者。（任意包含a的子环都包含这样一个“单位”，很容易想）
命题4.2.5 设R是个环，a∈R。那么，R中所有形如ma，ma+na^2,……,m1a+m2a+……+mta^t,……的元素做成的集合S恰好就是a生成的子环。（环中无非就是元素加法和乘法相互作用，首先考虑加法即ma，然后考虑乘法a^n，再将它们交叉相加相乘即得到子环，化简后即为命题形式）
命题4.2.6 设T是环R的非空子集，则T在R中生成的子环恰为由下述形式元素组成的集合。a1+……an+b1c1+……bmcm+d1e1f1+……+……x1x2……xl+……+z1z2……zl，其中诸ai，bj，……zk均为T中元素或它们的负元。（无非就是加法和乘法的相互作用，使其封闭，第一项是任意两数相加，第二项是任意两数相乘后再相加，第三项后依此类推…这种构造性的结构，构造本身就给出了证明）
定义3 设（R，+，·）是个环，A是R的非空子集。如果（1）（A，+）是（R，+）的子群；（2）对任意x，y∈A和a，b∈R都有ay∈A，xb∈A，则说A是R的理想，从定义中可以看出，A 为R的理想则A必为R的子环。因此，有人也称环的理想为环的理想子环。（不变子群在环中的推广，主要是为了使商环良定义，从而得到环同态基本定理。理想体现吸附性，和任意元素作用都会被吸进去，当然这种性质是被要求从而得到的）从定义中可以看出，A为R 的理想则A必为R的子环。（乘法封闭）
命题4.2.7 设R是个环，R的一族理想的交集必然也是R的理想。（此种手法又一次用到了，首先子环的交还是子环，其次吸附性在每个理想中都存在当然在它们的交中存在）
定义4 设R是个子环，T包含于R，T非空。作R的理想族B={I是R的理想，T包含于I}，I的交集得到的理想称为R的由子集T生成的理想，记为（T）。（又给出了子集构造或生成理想的定义，这种定义早在生成向量空间、子群、子环…就出现过，算是比较常见的定义类型。给出定义当然下面就会讨论生成理想的具体形式了）
定理4.2.1 设T是环R的非空子集。那么，R中所有形如如下的元素的集合恰为（T）：n1a1+……+ntat+r1b1+……+rkbk+c1s1+……+clsl+x1d1y1+……+xidiyi,其中n是整数，a，b，c，d是T中元素，而r，s，x，y是R的元素。（目的就是包含所有R中与T作用的元素。首先是自封闭加法，然后两项是吸附性的构造，比较简单，就是这样的形式）
推论1 设R是个环，a∈R。那么（a）恰为所有形如下的元素构成的集合：na+ra+as+x1ay1+……+xiayi,其中n为整数，r，s，x，y都是R中的元素。（由上一定理平凡得出）
推论2 设R是个有恒等元素e的环，a∈R。那么a生成的主理想（a）恰为所有形如下的元素构成的集合：x1ay1+……+xjayj,其中x，y是R的任意元素。（只留了第三类项，x或y 为e可得出第二类，都为e得出第一类）
命题4.2.8 设A.B是R的理想。那么A+B=（A∪B)。（稍不太平凡的形式。首先证明A+B为子环，由命题4.2.3很容易判定，其次乘法的吸附性由A,B都是理想也容易得到。接下来证明A+B=(A∪B)，思路就是互相包含，后者包含前者显然，其次（A∪B）是包含A，B最小的理想当然包含于A+B，故得证）类似的结论也可以看一下例题7.
4.3理想与商环（I）
定理4.3.1设（R，+，·）是个环，A是R的理想，作为加法群，得商群R/A，#加法。再在加法群上定义乘法，令任意a+A，b+A，对应ab+A，则构成环。(在加法上，由于满足交换律，对任意子群都可定义商群，关于群同态的结论自然不消细说；然而对于乘法满足群同态的性质，保乘法及分配律则并非对于任意子环都成立，由定义的合理性自然需要子环的吸附性，这也是理想定义产生的原因，就是满足商环定义的合理性，即同一等价类运算作用结果相同，分配律的验证就比较平凡了)
定义设R是个环，A是R的理想，在商集R/A中规定任意a+A，b+A，加法对应（a+b）+A，乘法对应ab+A，得到的环称为环对理想A的商环，或称剩余环。（对于环同态的解释，由于对群同态印象比较深，也可能是对环论接触的比较少，在环中的特殊含义不太清楚，也没太感觉。个人的理解还是在群同态元素的数量及加法对应的基础上添加的乘法及分配律都满足的一种系统对应，普通的环于我而言还是加法群上添加了附加的，不太重要的乘法及分配律的结构）
4.4环的同态映射
定义1 设（R，+，·）和（S，+，⊙）都是环。R到S的映射φ称为R到S的环同态映射,如果对任意a，b∈R恒有φ（a+b）=φ（a）#φ（b），φ（a·b）=φ（a）⊙φ（b）。（保运算，同态的基本要求，没什么新意）特别地，当φ是满射时，称S是R的同态像。（R→S 满同态）当φ是双射时，说φ是R到S的环同构映射。（一一对应，且保运算就是代数结构完全相同，就是同构）
定义2 设φ是环（R，+，·）到环（S，#，⊙）的环同态映射，那么，称集合Img（φ）={s ∈S l 有r∈R使s=φ（r）}为映射φ的像，称集合Ker（φ）={r∈R l φ（r）=0}为映射φ的核。（群到环比较平凡的推广）
命题4.4.1 设φ是环（R，+，·）到环（S，#，⊙）的环同态映射。那么φ的像Img（φ）是环S的子环。（首先由上一章的结论，Img（φ）的像一定是加法群，故只需验证乘法封闭，由保运算，像中任意元素间作用都可以对应到R中的元，故封闭。）
命题4.4.2 设φ是环（R，+，·）到环（S，#，⊙）的环同态映射。如果φ是满的，R有恒等元e，则环S必为恒等元，而且恰好就是φ（e）。（一般而言，R与S同态，二者的恒等元没有什么关系，主要是S中大多数元素可能与R没什么关系，书上有比较好的例子。当然对于满同态而言，这种保运算保结构的映射，保持恒等元就再平凡不过了！）
命题4.4.3 设φ是环（R，+，·）到环（S，#，⊙）的满的同态映射。那么，如果R是交换的，则S必然也是交换的。（这和上一命题都是那种但凡熟悉同态就无需证明的结论！）
命题4.4.4 设φ是环（R，+，·）到环（S，#，⊙）的环同态映射。ψ是（S，#，⊙）到环（K，*，△）的同态映射。那么复合映射ψ·φ是R到K的环同态映射。（不好再说平凡了，按定义自己证一下吧）
命题4.4.5 设φ是环（R，+，·）到环（S，#，⊙）的环同态映射。那么φ的核Ker（φ）必然是环R的理想。（我们来终结一下环同态的过程！概括起来就是定理4.4.1，首先就是上一章总结了好多遍的群同态过程，此处为加法可交换意义下的形式，接下来就要考虑乘法。由于乘法的定义没有固定形式，加上乘法系统本身就不太成体系，需要深入研究，比方域论的研究，给出严格验证详细的介绍不太现实，想看都也不太容易。但是符合已由群同态映过来的的元素体系是一定的，正如群同态时循环群间交叉项形成（通过阶数）循环群一样（根据原本的乘法系统，虽说这个由于没有固定形式也无法轻易给出推断，不过根据定义可以严格证明环同态的基本过程），而Ker的形式比较特别，由于任意元素和0相乘都等于零，可以很容易得出结论）
推论同态映射φ为单射的充分必要条件是Ker（φ）={0}。（无需在意环，只从群伦的角度考虑即可，上一章已有的结论）
命题4.4.6 如果A是环R的理想，那么φ：r→r+A是环R到环R/A的满的同态映射。（证明下一定理的最后一步工序，满射及保运算都比较好验证，就是要和以A为Ker的同态像建立联系！）
定理4.4.1 设f是环（R，+，·）到环（S，#，⊙）的满的同态映射。Ker（f）=A。那么R/A 同构于环（S，#，⊙）。（群同态加上附加的群上的乘法及分配律的自然符合这一系统得出的群上附加的乘法及分配律得到的环的同态规律，详细的过程上面已经总结完了。）
第五章
第五章从环到域
我们已经见过许多种结合环，尽管这些代数系统都满足环的定义中要求的几条公理，但具体的集合在有了加乘运算之后形成的代数系统（同构之下不计差异）仍然各有特点。本章主要讨论几种环的重要类型及各类型的关系的关系及转换。
5.1除环和域
定义1 设（R，+，·）是个至少含2个元素的环。用R0代表R中所有非零元的集合。如果R0在R的乘法下是个群，则说（R，+，·）是个除环。进一步，若（R，+，·）是交换环，又是除环，则说（R，+，·）是个域。有人称除环为体、除体、斜域。有人称域为交换除环或交换体。（我会把环看作是交换群上附加了乘法及结合律的代数结构，主要是环在乘法结构下不太有严格体系，比较杂乱，性质也不好。然而为了更好讨论运算间的关系，这里使乘法系统有了更规整的结构，即构成群。当然这会让大家更熟悉）
定义2 设（R，+，·）是个至少含2个元素的环。如果（1）R有乘法恒等元1；（2）对任意r ∈R有，只要r≠0，则必有s∈R使得rs=sr=1则说环（R，+，·）是个除环。（很初级的集合构成群的验证）
命题5.1.1 只含有限个元素的除环必为域。（之前提过好多遍的结论，最早是在第二章提到过，基本思想就是满足消去律的有限集合，而且有满足结合律的二元运算，则集合构成群）
命题5.1.2 域不含非平凡的理想。（要么只含零元，要么单位元一定属于理想，由之前知道
的理想的形成过程，域中每个元素和单位元相乘都属于理想，当然得到的理想是平凡的）
命题5.1.3 设φ是环R到S的环同态，且为满射。如果R是个域，则φ或者是同构映射，或者将R的所有元素映成S的零元。（环同态中Ker为{0}或R）
定义3 域（F，+，·）的子集S称为F的子域，如果它是F的子环且它在F的运算之下本身是个域。（很平凡的定义类型--子结构，不过与群或环不同，域的扩张的研究是很大的代数分支，在本书第7章介绍，当然那只是Galois Theory的一小部分）
定义4 设R是个环。如果有自然数m使得，对每个r∈R均有mr=0，而小于m的自然数都不具备该性质，则说环R的特征数char为m，如果找不到满足上述要求的自然数，则说环R 的特征数为0。（仅当作加法运算下的元素阶数即可，而且可以明确的说是单位元e的加法阶数，因为任意元素a都可以写成ea，稍有不同之处下面的命题会给出）
命题5.1.4 有限环的特征数比整除其元数。（拉格朗日定理，第二章阶数最主要的结论）
命题5.1.5 域F的特征数或为0或为素数。（此处稍有不同，主要是结合了乘法的性质。me=0，若m不是素数，m=pq，则me=peqe，由于F是个域，满足消去律，无零因子，故pe=0或qe=0矛盾）
命题5.1.6 设域F的特征数为p≠0，那么，对任意a，b∈F，恒有（a+b）^p=a^p+b^p.（张开验证一下即知其余项都为0）
命题5.1.7 设环（R，+，·）有1，那么，当1在群（R，+）中阶数无限时，R之特征数为0，当1的阶数为正整数n时，R之特征数恰为n。（环R的特征数即为1的加法阶数，可平凡得出结论）
5.2理想与商环（II）
定义1 环R的理想M≠R称之为R的极大理想，如果对R的任意理想A，M包含于A，其M≠A 蕴涵A=R。换言之，在R中真比A大的理想只有环R本身。（需特殊注意的就是R的极大理想可能不唯一）
定理5.2.1 设R是个有1的交换环，A是它的一个理想。那么，剩余环R/A为域的充分必要条件是A为R的一个极大理想。(主要体现极大理想的作用，稍朴实的证明方式：R/A是域主要就是需要乘法下构成交换群，结合律及交换律都是保持的，单位元为1+A，最大的问题是乘法的逆元，对于任意的a+A（a不属于A），必能在R/A找到其逆b+A使得ab+A=1+A。有前面的命题可知，R是有1交换环，（a）={y∈R l y=ax，x∈R}，由于（a）+A也是理想且≠A，由极大性只能=R，故1∈（a）+A，1∈ab+A，1+A=（a+A）（b+A）于是b+A就是a+A的逆，于是R/A是个域。当R/A是个域时，设B是理想，A包含于B，A≠B，b∈B不属于A，b+A ≠A故为非零元，由于R/A是域，则有逆c+A，使得（b+A）（c+A）=1+A，即1=bc+a，由于B 是理想，bc∈B，A包含于B，所以1∈B，B=R，A是极大理想)
定义2 设R是个交换环，P是R的一个理想。如果P≠R且对任意的a，b∈R，ab∈P蕴涵a ∈P或b∈P，则说P是R的一个素理想。（这种由需要（剩余环为无零因子环）而构造的定义不太好直接给出理解，主要突出元素与集合间被包含的较直接的关系，在第六章还会有类似的素元的定义）如果{0}是环R的素理想，则说R是个素环。（没太见过应用）
命题5.2.1 设R是个交换环。那么，环R的理想P（≠R）为其素理想的充分必要条件是剩余环R/P为无零因子环。（任意元a+P和b+P，若ab+P=P则当P是主理想整环，则a或b属
于P，即a+P或b+P为零元；当R/P无零因子，则a+P或b+P为零元，即a或b属于P，P 是素理想）
命题5.2.2 设R是个环，A是R的理想。环R/A为交换环的充分必要条件是A包含R中所有形如xy—yx，x，y∈R的元素。（如上面的方法，都是比较正规的证明过程，没什么新意，也比较平凡，可以自己练习）
5.3嵌入问题（本节的主要目的就是介绍由环构造扩张成域的过程）
命题5.3.1 设R是个环，I是整数环。在I*R中，规定运算，对任意（m，a），（n，b）∈I*R，（m，a）#（n，b）=（m+n，a+b），（m，a）⊙（n，b）=（mn，mb+na+ab）。则（I*R，#，⊙）是个环，R同构于它的一个子环。（通过突破性的构造去得出结论是比较困难的，然而已知构造方式去验证结论却是比较容易的，此处就是根据定义验证（I*R，#，⊙）构成环，比较基础。证明同构只需将任意元素a→（0，a）即可得出结论）
推论任意交换环R必同构于一个有1交换环的子环。（交换性显然，由上一构造过程的验证可知（I*R，#，⊙）的恒等元为（1,0））
命题5.3.2 特征数为n的环恒同构于一个特征数为n的有1环的子环。（由第一个命题的构造方式，只需验证（I*R，#，⊙）的恒等元（1,0）的加法阶数为n即可）
定理5.3.1 设R是个交换的无零因子环。那么，R必同构于某个域的一个子环。（定理的证明过程也就是把R同构意义下扩成域的过程，构造出来的域就是包含R的最小的域称为R 的分式域，这种构造在Galois Theory中是很基础的，正如上面的构造方式构造出恒等元是相对容易的，此处的分式主要体现的是关键步骤环中逆的构造，再加上R是个交换无零因子环就构成了域。把环扩成域的方式是比较基础且实用的手法，书上分了八步，这里的具体内容就不介绍了，可以自己尝试练习）
命题5.3.3 设R同构于R’，它们是可交换的无零因子环，Q和Q’分别是它们的分式环，那么，Q同构于Q’。（同构在代数上就是一样的！R和R’一样，Q和Q’也一样）
5.4交换环上的多项式
定义1 设（S，+，·）是个有1交换环。每个形如下面的表达式f（x）=a0+a1x+…+anxn，均称为是环S上的一个关于x的多项式。（早在高等代数第一章最开始就给出过的定义，好怀念啊！只是那里给出的是实数域上的多项式的定义，这里的是建立在有1交换环上的多项式，对系数系统要求放低了，当然具有更一般的结论，当然较域而言稍不太规整）
定义2 多项式的加法和乘法的定义，形式稍麻烦，内容较简单，在此略下。
定理5.4.1 设S是个有1的交换环，那么，S[x]在上面规定的多项式的加法和乘法之下作成一个有1的交换环。（关于环的按照定义的证明再来回顾一下：加法是S[x]是其上的二元运算，满足结合律，0是零元，元素加负号即为负元，构成交换群；乘法是其上的二元运算，由多项式乘法的定义满足交换律结合律，1即为单位元，满足分配律，S[x]构成有1交换环）
定义3 环（S[x]，+，·）称为环S上关于x的多项式环。（把多项式放入代数系统进一步系统研究的一个基础定义）
定义4 多项式f（x）=a0+a1x+…+anx^n+…+amx^m中，如果an≠0，而an+1=…=am=0，则说f（x）的次数为n，记为degf（x）=n。（和高等代数中没什么两样）
命题5.4.1 对任意f（x），g（x）∈S[x]，恒有两多项式相加的次数小于等于其一次数的最大值；（无须解释）两多项式相乘的次数小于等于二者次数的加和。（小于的情况是对于一般环可能有零因子）
推论当S是整环时，S[x]亦为整环。（多项式的预算x除了系数的增加再没有什么，其余都是系数也就是环中元素的运算，S无零因子，S[x]亦无零因子）
命题5.4.2 设R是有1交换环，R[x]是R上关于x的多项式环。那么，取定u∈R时，φ：a0+a1+…+anx^n→a0+a1u+…+anu^n是环R[x]到R的环同态映射。（按定义很正规的证明，也可很容易感受出保运算，而且是多对一。结构上的意义在于建立了一种S[x]到S的对应联系）
定义5 设S是有1交换环，f（x）∈S[x]。说元素r∈S是多项式f（x）的一个根，如果f （r）=0.也可以说r满足多项式f（x）。（和高等代数中和大家熟知的没什么差别）
命题5.4.3 设R是有1交换环，S是R的子环且有（自己的）恒等元，r∈R。如果r不是S[x]中任何非零多项式的根，那么，R的由S∪{r}生成的子环同构于S上的多项式环。（即使不了解域的扩张，也可容易感受到r和x对于S的意义是一样的，都是和自己本身没什么关系的东西）
命题5.4.4 设F是个域，f（x），g（x）∈F[x].那么二者相乘的次数等于二者次数的加和。（域非零元构成群，无零因子）
定义6 首系数：次数最高项的系数。（高代中一般叫首项系数）
命题5.4.5 设D是个整环。f（x）∈D[x]，g（x）是D（x）中首系数为1的多项式。那么，必有q（x），r（x）∈D[x]使f（x）=g（x）q（x）+r（x），r的次数小于g的。（在高代里就解释过，带余除法自然的过程，当然那是在数域上，也就是下面的定理，这里稍有不同的就是在于，环在乘法下不构成群，任意元素不能在乘法下建立联系，所以这里做出了一点要求，即g（x）是D（x）中首系数为1的多项式，任意元都能和1建立联系）
定理5.4.2 设F是个域。那么，任意f（x），g（x）∈F[x]，只要g（x）≠0，必有q（x），r（x）∈F[x]使f（x）=g（x）q（x）+r（x），r的次数小于g的，包括r=0。（F是域乘法下任意元素间都能建立联系（任意元都有逆元））
定理5.4.3 设F是个域。那么，环F[x]的每个理想都是主理想。（结论很特别很好记，证明方法是以前非常惯用的一种手法，取得次数最低的多项式，在高代及本书第一章都有较强的应用（还有一些在习题里），当然最贴近最类似的应用就是在证明循环群的子群是循环群）
命题5.4.6 设F是个域，f（x）∈F[x]，a∈F。那么，a是f(x)的根，当且仅当x-a整除f （x）。（和高等代数中没什么差别）
命题5.4.7 设f（x）是域F上的n次多项式，n≥1.那么，F中至多有n个不同的元素是f （x）的根。（在高等代数1.6中有较详细的个人证明）
命题5.4.8 设F是个域，f（x）=a0+a1x+…+anx^n,an≠0，I是f（x）在F[x]中生成的主理想。那么，剩余环F[x]/I的每个元素均可唯一地表示成如下形式：（b0+b1x+…+bn-1x^n-1）+I，b∈F，而且F’={b+I l b∈F}是F[x]/I的子域，它同构于F。（由理想的形成过程，I={g （x）f（x）l g（x）∈F[x]}，I就是大于等于n的所有多项式，任意多项式g（x）用f（x）除之得g（x）=f（x）q（x）+r（x），显然g（x）+I=r（x）+I，唯一性由多项式除法可容易得到；F→F’同构也是平凡的，只需对任意a→a+I即可）
现在可以回头审视一下，多项式中“x”到底是个什么东西，用Galois Theory的域的扩张来解释比较合适，也就是域上添加了一个超越元（不需要借助分式域内容构造逆），与它是“x”还是“y”没什么关系。不了解与扩张也可以简单地把x当成相对于数量的文字也可以，就是和数没什么关系的东西。
定义7 二元多项式略
定理5.4.4 设F是个域，那么环F[x][y]和环F[x，y]同构。（可以参看Galois Theory域扩张的基础知识，也是本书第七章的内容）
命题5.4.9 设R是个环，S是R的有1可交换的子环，T是R的一个子集。则S∪T在R中生成的子环恰好是S[T].（由子环的生成过程，S∪T生成子环的过程就是S[T]）
5.5素域
定义1 设（F，+，·）是个域。F的子集S称为（F，+，·）的子域。如果（1）（S，+，·）是（F，+，·）的子环；（2）（S，+，·）本身是个域。（第一节给过的定义）
命题5.5.1 设S是F的一个子环，且至少含2个元素。那么，S是F的子域，当且仅当，s∈S，s≠0蕴涵s逆∈S。（乘法构成群就是需要有恒等元和逆，这个条件提供了这个需要）
推论如果S是域F的子域，那么它们的恒等元相同。（子群保恒等元）
命题5.5.2 设F是个域，F的一族子域的交集仍为F的子域。（由群的结论，一族子群的交集还是子群，对于加法和乘法分别形成子群就构成域）
定义2 设F是个域，T是F的一个非空子集，F的所有包含T的子域的交集称为是T生成的子域（很普通的定义方式，在之前出现过好多遍）。特别地，由F的零元素0和恒等元1生成的子域称为F的素域。（由最必要的元素，生成域最小的子域）
定理5.5.1 设（F，+，·）是个域。那么，F的素域P或者同构于有理数域或者同构于Ip，其中p是个素数。（比较显然，在Galois Theory中有介绍，连同下面的推论1）
推论1 域F的素域同构于Ip的冲要条件是它的特征数为p；F的素域同构于Q的充分必要条件。F的特征数为0.（域也是群，考虑加法阶数就可以解决这一问题）
推论2 设F是个域，P是它的素域。那么F的任意子集T在F中生成的子域与T∪P生成的子域恒相等。（任意子域都包含零元和恒等元，也就都包含F的素域，所以说T与T∪P生成的子域都是一样的，P没有作用）素域为域的最小子域。（显然）
第六章
第六章因子分解理论
有点数论知识的读者就会发现，多项式分解的过程与整数分解的过程颇有相似处（高等代数引理1.7.2），但它们最基本的相似之处在何呢？本章，我们将整数、多项式及其他研究对象放到相应的环中进行研究，找出“因子分解”问题的最基本规律。所以，这里要讲的抽象的因子分解理论是整数和多项式分解理论的推广和深化。本章只讨论整环。
6.1整除
定义1 设a，b∈D（整环），b≠0。说元素b能整除元素a，如果有c∈D使得a=bc。此时，也说a能被b整除，或说b是a的因子，并记为b l a，否则，就说b不整除a。（整除的概念，整数集合为整环，整环上的多项式环为整环（当然也是唯一分解的），和高等代数的定义完全相同）
定义2 设a，b∈D。说元素a和元素b是相伴的，如果a l b且b l a。（比较新的一个定义，a，b相伴说明它们之间相差一个可逆元，可以消去）
命题6.1.1 元素a和元素b是相伴的，必要而且只要，有D的单位ε使b=εa。（单位的另一种说法是它可逆）
定义3 对于a∈D，所有单位及与a相伴的元素均称为a的平凡因子。a的因子b，不是其平凡因子者，称b为a的一个非平凡因子。（与高代中的不同，高代中的整环无单位） D的元素不是单位也不是0且没有非平凡的因子，则称a不可约元或既约元。（可以想到既约多项式，本原多项式）
命题6.1.2 若p是D的不可约元，ε是D的单位，则εp亦为D的不可约元。(反证法，εp 可约则可写成非平凡因子乘积，两边同乘ε的逆可推出p可约，矛盾)
命题6.1.3 设D中元a非零，且a=bc，b，c∈D。那么b为a的非平凡因子的充分必要条件是c为a的非平凡因子。（b平凡可以推出c平凡，反过来也一样。所以说其中一个非平凡另一个才非平凡）
定义4 满足下列条件的整环D称为唯一分解整环：（1）如果a∈D，a≠0，a不是单位，那么a必可以写成若干个D的不可约元的乘积，即a=p1p2…ps，pi是D的不可约元。（2）如果a ∈D，且a=p1p2…ps=q1q2…qt，其中pi和qj都是D的不可约元，那么s=t，并且适当调整qj顺序后，可使qj和pj恰好是对应相伴的。（唯一分解：本章比较重要的一个定义，注意强化理解，和多项式稍有不同的就是，多项式分解成既约多项式形式唯一，因为多项式整环中没有单位。下面给出一个·唯一分解整环的等价定义，即第二条可以改成不可约元为素元，本章我介绍的最后一条结论会给出证明！）
定理6.1.1 设D是唯一分解整环，p是不可约元。如果p l （ab），那么必有p l a或p l b。（基本思路是将ab唯一分解成不可约元的乘积，必有一项是和p相伴的，故p l a或p l b，稍有一些细节的严格证明可以参照书上）
定义5 设D是个整环，p∈D。若p不是零元也不是单位，且对任意a，b∈D，只要p l （ab），那么必有p l a或者p l b，则说p是D的一个素元。（和素理想类似，我比较习惯把这种由需要形式而构造出的定义不太着重理解，不过“素”这个词也稍能自己总结出一些规律，就是类似定义的简短作用。由定义知素元一定是不可约元再由上面的定理可知唯一分解整环上的不可约元都是素元，故在讨论唯一分解整环时二者不加区分。对于一般的整环不成立，可以参看书上的例子）
定义6 设D是个整环，a1，a2，…，an∈D，如果c∈D，c整除a1，a2，…，an的每一个，则说c是它们的一个公因子。元素d∈D称为元素a1，a2，…，an的一个最大公因子，如果（1）d是a1，a2，…an的一个公因子；（2）对任意c∈D，只要c是元素a1，a2，…，an的一个公因子，则必有c l d。当一个单位是a1，a2，…，an的最大公因子时，则说它们是互素的。（公因子很平凡的定义，高代中出现过）
从近世代数看数系的扩充现行中小学数学教材中,关于数的概念的发展历程如下: N0 正分数Q+ 负分数 Q 无理数 R 虚数 C 上式中N0：非负整数集；Q+：非负有理数集；Q：有理数集；R：实数集；C：复数集. 在教学中，前两次扩充都是从实践需要来说明其必要性的.这样处理学生易于理解,符合可接受性原则.若从数学本身发展的需要出发,则常从以下两方面来说明:(l)某一运算的逆运算在原有数集中不封闭;(2)某一方程在原有数集中没有解. 事实上,这两个方面是相互等价且互为补充的.我们说某一运算的逆运算在原数集中不封闭,则必定存在与此运算有关的方程在此数集中无解;反之,若存在某一方程在原数集中无解,则此方程中涉及到未知数运算的逆运算并不封闭·例如,在N0中减法不封闭,这意味着当a>b时,方程a+x=b在N0中无解. 从代数系统(A,?)扩充到代数系统(B,。),必须满足以下四个条件:(1)A?B;(2)a°b=a?b,?a,b∈A;(3)在(B,°)中,方程a°x=b有唯一确定的解;(4)如果(C,十)也满足性质(1)~(3),则存在(B,。)到(C,+)的同构映射,这个映射使A中 的元素及运算保持不变. 满足上述条件的数集的扩充可能有多种方法.在中学数学教学中,数集扩充的方法是在已知的集合A上补充新数的集合A,构成扩集B,使B=A∪A这种扩充 思想虽易于接受,但不太严密,且不易了解数的结构思想. 另一种途径是从数学结构的角度,用旧数系中的数为材料构成一个新数集B,然后使它的某个子集与旧数系A相等(严格地说,是同构).下面说明通过这种途 径来建立数系的过程. 一自然数集N 自然数是最简单、最基本的数,皮亚诺四条公理揭示了自然数的根本性质. 在给出加法运算,乘法运算的定义之后,可以证明(N,十,?)是具有加法、乘法交换律和加法、乘法结合律以及分配律的代数系统. 在N中,序关系(<)是利用自然数的加法来定义的.可以证明“<”满足反对 称性、传递性、可比性以及最小数原理.所以(N,<)不仅是一个全序集,而且是一个良序集. 在(N,+,·)中,方程a+x=b,a?x=b不一定有解,因此,在N中,加法、乘法的逆运算都不封闭.对于减法要限制施行.对于除法则分两种情况讨论:(l)a整除b,(2)带余除法. 二从N到有理数域Q的扩充 定理可换半群(A,+)可扩充的充分必要条件是运算“+”是可消去的. 证明必要性:若a+c=a+b,a,b,c∈A,设(B,+)是(A,+)的扩充,则在(B,+)中,a+x=a+b有唯一解x=b;又由a+c=a+b,知c满足a+x=a+b,所以b=c.
《抽象代数基础》习 题 答 解 于延栋编 盐城师范学院数学科学学院二零零九年五月
第一章 群 论 §1 代数运算 1.设},,,{c b a e A =,A 上的乘法”“?的乘法表如下: 证明: ”“?适合结合律. 证明 设z y x ,,为A 中任意三个元素.为了证明”“?适合结合律,只需证明 )()(z y x z y x ??=??. 下面分两种情形来阐明上式成立. I.z y x ,,中至少有一个等于e . 当e x =时,)()(z y x z y z y x ??=?=??; 当e y =时,)()(z y x z x z y x ??=?=??; 当e z =时,)()(z y x y x z y x ??=?=??. II .z y x ,,都不等于e . (I)z y x ==.这时,)()(z y x e x x z z e z y x ??=?===?=??. (II)z y x ,,两两不等.这时,)()(z y x x x e z z z y x ??=?==?=??. (III)z y x ,,中有且仅有两个相等. 当y x =时,x 和z 是},,{c b a 中的两个不同元素,令u 表示},,{c b a 中其余的那个元素.于是,z z e z y x =?=??)(,z u x z y x =?=??)(,从而,)()(z y x z y x ??=??.同理可知,当z y =或x z =时,都有)()(z y x z y x ??=??. 2.设”“?是集合A 上一个适合结合律的代数运算.对于A 中元素,归纳定义∏=n i i a 1为: 111a a i i =∏=,111 1+=+=????? ??=∏∏r r i i r i i a a a . 证明: ∏∏∏+==+==???? ??????? ??m n k k m j j n n i i a a a 1 11.
抽象代数试题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。 A 、2阶 B 、3 阶 C 、4 阶 D 、 6 阶 2、设G 是群，G 有（ ）个元素，则不能肯定G 是交换群。 A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。 A 、偶数 B 、奇数 C 、4的倍数 D 、2的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（ ） A 、（N,≤） B 、（Z,≥） C 、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D 、 (P(A),?) 5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ） A 、(1)，(123)，(132) B 、12)，(13)，(23) C 、(1)，(123) D 、S3中的所有元素 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。 2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1----------。 3、区间[1，2]上的运算},{min b a b a =ο的单位元是-------。
4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。 5、环Z 8的零因子有 -----------------------。 6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------。 7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。 8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------。 9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为--------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？ 2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。S 1+S 2也是子环吗？ 3、设有置换)1245)(1345(=σ， 6)456)(234(S ∈=τ。 1．求στ和στ-1； 2．确定置换στ和στ-1的奇偶性。 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
《近世代数初步》 习题答案与解答
引 论 章 一、知识摘要 1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=?的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算). 2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足：,,,G c b a ∈? (1),ba ab = (2)),()(bc a c ab = (3)存在单位元e 满足,a ae ea == (4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素. 则称G 为一个交换群. (i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群. 3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足： I. F 对加法构成交换群. II. F*=F\{0}对乘法构成交换群. III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈? 就称F 为一个域. 4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足： I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1). III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈? 就称R 为一个环. 5.群G 中满足消去律：.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =?==?=∈?且 6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子. 7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合. 8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义： 个 n n a aa a ...=, 个 n n a a a a e a 1 110...,----==. 则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈?∈?有 .)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+=== (在加法群中可写出相应的形式.)
近世代数题解 第一章基本概念 §1. 1 1. 4. 5. 近世代数题解§1. 2 2. 3. 近世代数题解§1. 3 1. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算． 2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n． 3. 解例如AοB＝E与AοB＝AB—A—B． 4. 5. 近世代数题解§1. 4 1. 2. 3.解 1）略 2）例如规定 4．
近世代数题解§1. 5 1. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射． 2.略 3. 4. 5. §1. 6 1. 2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性； 3)是等价关系；4)是等价关系． 3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类． 4. 则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5. 6.证 1）略2） 7. 8.
9. 10. 11. 12. 第二章群 §2. 1 群的定义和初步性质 一、主要内容 1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子． 2．群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一； 2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一： 3)半群G是群?方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)． 4)有限半群作成群?两个消去律成立． 二、释疑解难 有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种： 1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”； 2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”； 3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”； 4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”． “左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续
近 世 代 数 试 卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整 数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。
代数表示论简介 在数学研究中，我们随处可见表示的思想。例如，复数可以用实平面上的点（或数对）表示；有限维复向量空间上的线性变换可以用它的Jordan标准形表达。狭义的表示是指一个代数系统（如群，结合环，李代数等）在某个向量空间上的作用，这些作用常常自然地出现在数学和物理的研究中。比如，分子的对称性可以用某个群刻画，利用这个群的表示理论可以大大简化分子振动微分方程的求解问题。20世纪30年代，德国女数学家Noether系统地发挥了表示的思想，她把表示解释为模，由此奠定了现代表示论的基础。 有限维(结合)代数是抽象代数中的一个古老的分支。它的起点是Hamilton在1843年发现的有名的四元数代数。此后，历经许多大数学家之手，终于由Wedderburn在20世纪初建立了半单代数的表示理论。目前人们研究的主要是各种各样的非半单代数的表示理论。代数表示论的主要目标是研究有限维代数上的不可分解模以及它们之间的同态映射。一个有限维代数A通常可以用一个箭图Q（即有向图）及某种关系表示, 研究代数A上的模相当于研究箭图Q上的表示。给定一个域k, 所谓箭图Q的一个表示，是指如下的要素：在Q的每个顶点处放一个（有限维）k-向量空间，在Q的每条边上放一个k-线性映射。对于Q的两个表示，可以建立它们之间的同态映射。我们关心的是表示的同构类。把箭图Q的全体表示放在一起，就构成了表示的范畴。这是代数表示论的最基本的研究对象。 例如，不难看出，在复数域上如下箭图的表示的同构类与复数矩阵的Jordan标准形一一对应： 上世纪70年代初，瑞士数学家Gabriel证明了如下的著名结果：箭图Q是表示有限型的（即Q的不可分解表示的同构类只有有限多个）当且仅当Q的底图是有限多个如下形式的图的不交并： A (n≥1):??…?? n 1 2 n-1 n ? 2 D (n≥4):??…?? n 1 3 n-1 n ? 3 E (n=6,7,8):????…?? n 1 2 4 5 n-1 n
近世代数练习题 一、填空题 1、设集合A={1,2,3,?,m}，B={1,2,3,?,n}，是正整数n m ,，集合B A ?含有 个元素。 2、设集合{},,,A e f m n =，{}ργβα,,,=B ，则集合A 到B 之间可以建立 个映射。 3、设集合A 含有m 个元素，则A 上的变换共有 个 4、n 次对称群n S 的阶是 。 5、在模5的剩余类加群的子集{}]1[=A 生成的子群是 。 6、设R 是模2 n （N N n ,∈为自然数集）的剩余类环，[]x R 中的多项式2 x 在R 里有 个根。 7、由13 =x 的三个根对于普通乘法构成的群里，阶数大于2的元的个数是 。 8、一个 环是域。 9、设μ一个环R 的一个不等于R 的理想，如果除了R 和μ以外，没有包含μ的理想，那么μ叫作一个 。 10、若域F 的一个扩域E 的每一个元都是F 上的一个代数元，那么E 叫做F 的 。 二、选择题 1、设集合{}3,2,1=A ，则下列集合A 上的变换不是一一映射的是（ ） 。 332211:→→→τA 133221:→→→ρB 233221:→→→δC 132231:→→→σD 2、下列说法错误的是（ ） 域是除环A 域是整环B 可交换除环是域C 可交换整环是域D 3、在一个有限群里，阶数大于2的元的个数一定是（ ）。 奇数A 偶数B 0C 整数D 4、下列环中不是除环的是（ ） 整数集A 有理数集B 实数集C 复数集D 5、设有理数域Q 上的一元多项式环[]x Q ，理想()()() =+++11 35 2 x x x （ ） 。
()1A ()12 +x B ()135 ++x x C () 2235 +++x x x D 6、对于实数的普通乘法，以下实数域R 的变换中同态满射的是( ） αασ→:A 2:αατ→B ααρ-→:C ααδ→:D 7、设2 2?R 是数域R 上的一切22?矩阵构成的集合，它对于矩阵的加法和乘法做成一个环，则 以下矩阵可作为环2 2?R 的零因子的是（ ）。 ???? ??0000A ???? ??0001B ???? ??0111C ??? ? ??1101D 8、整数环Z 中，可逆元的个数是（ ）。 1A 2A 3C 4A 9、剩余类加群Z 18的子群有( )。 个3A 个4B 个5C 个6D 10、设有理数域Q 上的一元多项式环[]x Q ，理想()()() =+++11 35 2x x x （ ） 。 ()1A ()12 +x B ()135 ++x x C () 2235 +++x x x D 三、计算题 1、设集合{}1174,1，，=A ，{}642，，=B ，求A ?B ， A ? B ,B A ?。 2、设集合{}864,2，，=A ，{}963，，=B ，求A ?B ， A ? B ， B A ?。 3、试举出一个由正实数集+ R 到实数集R 的一一映射。 4、设6元置换 ???? ??=???? ??=???? ??=254613654321;456132654321;245316654321 ρτπ (1)求1 -π ,τρ (2)求π, τ和ρ的循环置换表达式,并求||π, τ, ρ。 5、求出3次对称群3S 的所有子群。 6、求出剩余类加群8Z 的所有子群。 7、设{} Q Q b a b a R ,,2∈+=是有理数集，问R 对于普通加法和乘法能否构成一个域。
近世代数课后习题参考答案 第一章 基本概念 1 集合 1.A B ?,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ?只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明 如下 当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ?,显然矛盾; 若A B ?,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A = 2.假定B A ?,?=B A ,A ∩B=? 解? 此时, A ∩B=A, 这是因为A ∩B=A 及由B A ?得A ?A ∩B=A,故A B A = ,B B A ? , 及由B A ?得B B A ? ,故B B A = , 2 映射 1.A =}{ 100,3,2,1，??,找一个A A ?到A 的映射. 解? 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ?到A 的映射. 2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ?到A 的一个元的的象? 解?容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ?的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ?的象. 3 代数运算 1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法 是A A ?到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ? 解?取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ?到D 的代数运算;同时说明这样的D 不 只一个. 2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解? a b c a a b c a b c
b b c a a a a a c c a b b d a a c a a a 4 结合律 1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:b a b a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律: 2 1 2)11(= , 2)21(1= ,从而 )21(12)11( ≠. 2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律 c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++= )()(c b a c b a ≠ 除非0=c . 3.A ={c b a ,,},由表 所给的代数运算适合不适合结合律? 解? 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律. 5 交换律 1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律? 解? 一般地a b b a -≠- 除非b a =. 2.},,,{d c b a A =,由表 a b c d a a b c d b b d a c c c a b d d d c a b 所给出代数运算适合不适合交换律? a b c a a b c b b c a c c a b
群论与魔方：群论基础知识 要了解破解魔方攻略背后的数学原理，「群论」(Group Theory)是必不可少的知识，本章介绍群论的基础知识。群论是「抽象代数学」(Abstract Algebra)的重要分支，是有关「群」(Group)的理论。抽象代数学跟一般代数学或线性代数学不同，其要旨不是解方程或方程组，而是研究各种代数结构的特性，「群」就是一种非常重要的代数结构。 群的基本定义 设有一个集合G和G上的「二元运算」(Binary Operation)「?」。如果G 的元素和「?」满足以下「公理」(Axiom)，我们便说(G, ?)构成一个「群」(为了行文方便，有时可以把「群(G, ?)」径直称为「群G」)： 1.「封闭性」(Closure)－对G中任何两个元素a和b而言，a ? b ∈ G。 2.「结合性」(Associativity)－对G中任何三个元素a、b和c而言，(a ? b) ? c = a ? (b ? c)。 3.「单位元」(Identity)－存在G中一个元素e (称为「单位元」)，使得对于G中任何元素a而言，e ? a = a ? e = a。 4.「逆元」(Inverse)－对于G中任何元素a而言，都有G中的元素a?1 (称为a的「逆元」)，使得a ? a?1 = a?1? a = e。 请注意由于「?」满足结合性，在写出三个或以上元素之间的运算时，可以不用括号，即写成a ? b ? c。如果某个运算涉及同一个元素，我们可以像一般乘法那样采用「指数」记法，例如可以把a ? a ? a写成a3。我们还可以仿照一般乘法规定零指数和负指数的定义如下：a0= e，a?n= (a?1)n。另外，可以证明上述定义中的「单位元」是唯一的，而且对于G中任一元素a而言，其「逆元」a?1也是唯一的。根据「封闭性」，若a和b是G的元素，则(a ? b)也是G 的元素，因此我们也可以谈论(a ? b)的逆元，而且这个逆元满足 (a ? b)?1 = b?1? a?1(1)
近世代数模拟试题 一. 单项选择题(每题5分，共25分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n，n是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群; B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群; C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群; D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群. 3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ). A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）. A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. －1是其生成元. D. Z是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元， 逆元存在. D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，
逆元存在. 二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ???? == ? ?-????， 的阶. 2. 试求出三次对称群 {}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.
3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明. 三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分). 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程
代数系统Mathematical Structure或Mathematical System 关于代数系统与计算机科学的关系 为什么抽象代数是计算机科学的理论基础之一？ 1）抽象代数研究的对象与计算机科学研究的对象都是一般的通用客体 2）代数系统为计算机系统（包括理论系统、计算机系统组成的结构、工具与环境系统的结构、应用系统的结构、系统的结构分类以及它们之间的关系等）提供必要的理论模型； 3）不论是计算机科学的基础学科、技术学科和应用学科，还是计算机科学的边缘学科，抽象代数都给它们提供了最基本的思维方法 代数系统和以前我们所了解的代数学有什么不同？ 1）对象：以前的代数学中研究的对象都是数（实数和复数）或用字母表示的数；代数系统研究的对象是某集合元素的总体，甚至有时并不指出这个集合是什么，也不指出集合中是元素是什么； 2）运算：以前的代数学中研究的运算是数的四则运算；而代数系统研究的对象不仅仅是加、减、乘、除四则运算，而是满足一定抽象条件的运算，有时也不指出具体的运算是什么； 3）两者的关系：以前我们所了解的代数只是代数系统的一个特例。 代数系统究竟是什么？ 定义一个代数系统时，并不是一个具体的代数系统，而是满足一定抽象条件的一类代数系统的总体，因此，研究的是代数系统的总体结构，提出一个同属于某一大类的所有代数结构的理论模型。 如果对代数系统的对象和运算进行不同的解析，只要在这个解析下可满足这种抽象的结构，则形成一个具体的代数系统。 代数系统和计算机有什么关系？ 计算机是一个通用的计算模型，其通用性在于：任何一个可计算的问题，如果问题本身是有结果的（例如，最后总可以回答“是”或“非”的），只要不考虑时间和空间的可能性，原则上都可以在计算机上得到结果。 计算机的结构也是一个通用结构。只要根据某具体需求解的问题，而对计算机系统的对象（数据模型）和运算（所做的操作）进行解析，则计算机系统就成为解决这个问题的具体理论模型。 代数系统的思维方法如何决定计算机科学的思维方法？ 代数系统的基本思维方法是构造的方法和公理的方法。
近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) - 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 ~ 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：? ? ????=6417352812345678σ，??? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。 ， 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
近世代数中英对照学习 一、字母表 atom：原子 automorphism：自同构 binary operation：二元运算 Boolean algebra：布尔代数 bounded lattice：有界格 center of a group：群的中心 closure：封闭 commutative(Abelian) group：可交换群，阿贝尔群commutative(Abelian) semigroup：可交换半群comparable：可比的 complement：补 concatenation：拼接 congruence relation：同余关系 cycle：周期 cyclic group：循环群 cyclic semigroup：循环半群 determinant：行列式 disjoint：不相交 distributive lattice：分配格 entry：元素 epimorphism：满同态
factor group：商群 free semigroup：自由半群 greatest element：最大元 greatest lower bound：最大下界，下确界group：群 homomorphism：同态 idempotent element：等幂元identity：单位元，么元 identity：单位元，么元 inverse：逆元 isomorphism：同构 join：并 kernel：同态核 lattice：格 least element：最小元 least upper bound：最小上界，上确界left coset：左陪集 lower bound：下界 lower semilattice：下半格 main diagonal：主对角线 maximal element：极大元 meet：交
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分) 1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2 x +1,则（fg ）(x)等于（ B ） A. 2 21x x ++ B. 2 3x + C. 2 45x x ++ D. 2 3x x ++ 2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。 \ A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个 5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8 a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111 ) (---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 [ C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ?A 的子集为等价关系的是( C ) A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 … 12. 在剩余类环8Z 中，其可逆元的个数是( D )。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13. 设（R ，+，·）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。 A. R 的零元惟一 B. 若0x a +=，则x a =-
近世代数习题与答案 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
一、 选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分) 一、 (从下列备选答案中选择正确答案) 1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（ ）。 (A) ｛1，－1，i ,－i ｝ (B) ｛1，－1｝ (C) ｛1，－1，i ｝ 2、设H 是群Ｇ的子群，a ，b ∈Ｇ，则aH = bH 的充要条件是（ ）。 (A) a －1b －1∈H (B) a －1b ∈H (C) ab －1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中，Z 6 的极大理想是( )。 (A) （2），（3） (B) （2） (C)（3） 4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。 (A) 6 (B) 3 (C) 2 5、下列不成立的命题是( )。 (A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环 二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分） （请将正确答案填入空格内） 1、R 为整环，a ，b ∈R ，b |a ，则（b ） （a ）。 2、F 是域，则[](()) F x f x 是域当且仅当 。 3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中，规定等价关系~: A ～ B ?秩(A )=秩(B )，则这个等价关系决定的等价类有________个。 4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。 5、12的剩余类环Z 12的可逆元是 。 三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分） （请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”） 1、设G 是群，?≠H ，若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ，则H≤G .. （ ） 2、群G 中的元,a b ，()2,()7,a b ab ba ===,则()14ab =。 ( ) 3、商环6Z Z 是一个域。 （ ）
环 简介 一个具有两种二元运算的代数系统。在抽象代数产生的19世纪，数学家们开始研究满足所有合成律（即加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律等等）或者满足其中的一部分的集合。倘若一个集合具有加法、乘法和相应的运算性质，它就称为环。整数集Z就构成一个（数）环。 在20世纪，数学家们开始研究一种新型结构叫“环”。环是一个集合，其中的元素能通过一种类似加法运算按下面的方式结合起来： 1. 若a和b都是环中的元素，那么a+b也是环中的元素； 2. 加法符合结合律：若a、b和c都属于这个环，那么a+(b+c)=(a+b)+c； 3. 在环中存在一个类似于0的元素－－甚至也可以称它为0－－具有性质：对于环中的任一元素a，有0+a=a； 4. 对于环中的每个元素a和b，a+b=b+a都成立。 在环中，还对这些元素定义了另一个类似于乘法的运算，它具有下面两个性质： 1. 若a和b属于环，那么它们的乘积ab也属于环； 2. 若a、b和c属于环，那么结合律成立：a(bc)=(ab)c。 环的乘法通常不满足交换律（ab=ba 一般不成立），而且并不是环中的每个元素都有一个乘法的逆元。各种n×n矩阵的集合连同运算选出来，就形成一个具体的环的例子。 在20世纪的前30多年中，由于德国数学家诺特(Emmy Noether，1882-1935年）的工作，环的结构的研究变得非常重要。 环论往往相当抽象。虽然许多对环论感兴趣的数学家常常用字母表示环中的元素，但是由于他们对矩阵的理解非常深刻，给出了许多卓有成效的解释，所以有时把一个特殊的环表示成一个n×n矩阵的集合。这类矩阵表示，不仅能使数学家们把环理解成具体的，甚至是可以计算的问题，而且能使数学家们去运用数学理论家的那种非常抽象的思想。这种用矩阵集合表示环或群的方法，已经成为
《近世代数》课程教学大纲 一、课程性质与目标 （一）课程性质 《近世代数》是数学专业本科生专业基础课，是现代数学的基本内容，培养并提高学生的抽象思维能力，从中掌握分析与解决问题的方式、方法。 （二）课程目标 通过本课程的学习，使学生初步掌握基本的系统的代数知识和抽象严谨的代数方法，进一步熟悉和掌握代数处理问题的方法；进一步提高才抽象思维能力和严格的逻辑推理能力；进一步理解具体和抽象、特殊与一般、有限与无限的辩证关系。能应用所学理论指导中学数学教学以及其它工作，培养学生独立提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学基本素质，同时为今后继续学习奠定基础。 二、课程内容与教学 （一）课程内容 1、课程内容选编的基本原则 （1）把握概念、推理证明相结合的基本原则 （2）注意教学内容与其他相关课程的联系和渗透 2、课程基本内容 群、环、域是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法。重点：群、正规子群、商群、循环群、环、理想、商环、同态基本原理等。难点：商群、理想、商环等。 （二）课程教学 1、注重数学思想与数学素养的培养，阐述所讲内容在整个理论体系中的作用和地位。 2、在传授基础理论，基本概念的掌握的同时，加强学生逻辑推理能力和计算能力的培养。 3、注重课堂讲授、习题课、习题批改等环节。 三、课程实施与评价 （一）学时 本课程总学时为54学时（讲授46学时，习题课8学时）。 （二）教学基本条件 1、教师 教师应具有良好的师德和较高的专业素质与教学水平，一般应具备讲师以上职称或本专业硕士以上学位。 2、教学设备 （1）配备多媒体教学设备。 （2）配置与教学内容相关的图书、期刊、音像资料等。 （三）课程评价 1、对学生能力的评价 （1）基础理论，基本概念的掌握。 （2）逻辑推理能力，包括逻辑思维的合理性和严密性