考点13 变化率与导数、导数的运算
1．设曲线（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围（）
A． B． C． D．
【答案】D
2．已知函数在点处的切线为，动点在直线上，则的最小值是（）
A． 4 B． 2 C． D．
【答案】D
【解析】
由题得所以切线方程为即
，故选D.
3．函数，则在其图像上的点处的切线的斜率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】把点的坐标（1，-2）代入函数的解析式得-2=1+2a-3,所以a=0,所以f(x)=，
所以，所以切线的斜率为-2.
故答案为：D.
4．将函数f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若
对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图像，则α的最大值为( )
A．π B． C． D．
【答案】D
5．曲线在处的切线的倾斜角是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当时，
，则倾斜角为
故选.
6．已知函数是定义在区间上的可导函数，为其导函数，当且时，
，若曲线在点处的切线的斜率为，则的值为（）A． 4 B． 6 C． 8 D． 10
【答案】A
7．已知函数的导函数为，且满足（其中为自然对数的底数），则（）
A． B． C． -1 D． 1
【答案】B
【解析】根据题意，f（x）=2xf'（e）+lnx，
其导数，
令x=e，可得，
变形可得
故选：B．
8．已知函数，记是的导函数，将满足的所有正数从小到大排成数
列，，则数列的通项公式是（）
A． B． C． D．
【答案】C
9．已知函数，则的值为( )
A． B． 0 C． D．
【答案】D
【解析】
由题意，化简得，
而，所以，得，故，
所以，，所以,故选D.
10．函数是定义在R上的可导函数,其图象关于轴对称,且当时,有则下列不等关系不正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
11．已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（）
A．函数图象的对称轴方程为
B．函数的最大值为
C．函数的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线平行
D．方程的两个不同的解分别为，，则最小值为
【答案】C
12．已知函数,则曲线在点处的切线倾斜角是_________。
【答案】
【解析】f′（x）=x′c os2x+x（cos2x）′=cos2x﹣2xsin2x，
k=f′（）=cosπ=﹣1=tanθ
∴θ=.
故答案为：．
13．曲线在点A(1，2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为_____________．【答案】
14．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则___________．
【答案】0或1
【解析】
直线与的切点为，与的切点．
故且，消去得到，
故或，故或，故切线为或，所以或者．填或．
15．已知函数，则过点的切线方程为_____________．
【答案】
【解析】因为点在上,所以切点为，又，所以
，所以切线方程为，即
，故填.
16．已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则= ____________ 【答案】
17．如图，y=f(x)是可导函数，直线l：y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x)，其中g'(x)是g(x)的导函数，则曲线g(x)在x=3处的切线方程为____．
【答案】
【解析】因为直线是曲线在处的切线，所以，
由点在直线上，所以，从而，
所以，
因为，所以，
则.
18．函数，若对一切恒成立，则实数a的取值范围是___________. 【答案】a=1
19．对于三次函数，定义：设是函数y＝f(x)的导数y＝的导数，若方程＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”
请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为__________；
计算=__________________
【答案】2012
【解析】①∵f（x）=，
∴f′（x）=3x2﹣3x+3，f″（x）=6x﹣3，
由f″（x）=0得x=，
f（）=﹣×+3×﹣=1；
20．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，证明：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】（1）由题意，又，
所以，
因此在点处的切线方程为，即
（2）证明：因为，所以
所以，即
综上①②可得：.
21．函数
(1)函数在区间(-1,1)上是单调递减函数,求的取值范围;
(2)求曲线y=f(x)过点(0,1)的切线方程
【答案】（1）；（2）和
综上可得，曲线过点(0，1)的切线方程为和．
22．已知函数 . （1）求在处的切线方程；
（2）试判断在区间上有没有零点？若有则判断零点的个数.
【答案】（1）；（2）2.
23．已知函数.
(1)若直线过点（1，0），并且与曲线相切，求直线的方程；
(2)设函数在[1,e]上有且只有一个零点，求的取值范围.(其中∈R，e为自然对数的底数)
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
24．设，函数.
（1）当时,求曲线在处的切线方程;
（2）当时,求函数的最小值.
【答案】（1）；（2）①；② .
所以此时的最小值为；
当时，在时的最小值为，而，
所以此时的最小值为.
当时，在时最小值为，在时的最小值为，
而，所以此时的最小值为
所以函数的最小值为.
25．已知函数图象上一点处的切线方程为. （Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（为自然对数的底数）；(Ⅲ)令,若恒成立,求的最大值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；(Ⅲ) 。
当是增函数；当是减函数；
由题意得解得.
∴实数的取值范围为。
(Ⅲ) ，即在上恒成立.
设，
令，得，
.
当时，，当时，，
∴
则，即的最大值.
26．如图，由，，围成的曲边三角形，在曲线弧上有一点，（1）求以为切点的切线方程；
（2）若与，两直线分别交于两点，试确定的位置，使面积最大。
【答案】(1)；（2）M(，.
27．已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)递增区间为；递减区间为;(2). 【解析】（Ⅰ）由题意得函数的定义域为，
∵，
∴，
令，且，
则，