毕业论文
2015届
浅谈中学数学分类讨论的问题及教学
策略
学生姓名吴绍安
院系数理信息学院
专业数学与应用数学
指导教师黄玲娣
完成日期2015年5月11日
浅谈中学数学分类讨论的问题及教学
策略
摘要
数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法，在中学数学中常表现为数学分类讨论法。所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。分类讨论思想贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：涉及的数学概念是分类定义的；运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又能促进学生研究问题、探索规律的能力。
关键词分类讨论；标准；原则；应用；教学策略
THE PROBLEMS AND TEACHING STRATEGIES ON MIDDLE SCHOOL MATHEMATICS CLASSIFICATION
DISCUSSION
ABSTRACT
The mathematical classification thought, is essentially according to
the same point and different points of the mathematical objects, a kind of mathematical thinking will be divided into several different types. It is thought a kind of important mathematics thought, it is also an important method in mathematical logic, in middle school mathematics is often expressed as a mathematical classification discussion method. The so-called mathematical classification discussion method, is a mathematical object that divide into several categories, a mathematical method is discussed to solve the problem. Discuss the ideas about mathematical problem is logical, comprehensive exploration, clear thinking, training organization and generality of the people. The classification discussion thought throughout the Middle School of mathematics. The math problems need to be solved by means of classification discussion thought, the reasons caused by classification, can be summed up as: mathematics concept is related to the definition of classification; mathematical theorems, formulas, rules or operational properties using the classification given; mathematical problem solving results there is more than one or several possibility; With the parametric mathematical problems, these parameter values will lead to different results. The application of classified discussion often can help to simplify complex issues. The classification process can cultivate students' thinking careful and clarity, and discussion can promote the ability of students to explore the law of the problem and the research of the problem.
KEY WORDS Classification discussion; standard; principle; application; teaching strategies
目录
英文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II 目录．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．III 引言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 1简述分类讨论思想．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 2分类讨论思想的标准和原则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 3分类讨论思想在中学数学中的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 3.1分类讨论思想在函数中的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 3.2分类讨论思想在导数中的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 3.3分类讨论思想在数列上的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 3.4分类讨论思想在排列组合中的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 3.5分类讨论在最优方案问题中的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 4分类讨论的教学策略．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11 5 总结．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 致
．．．．．．．．．14
引言
数学分类讨论既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法，在中学数学中常表现为数学分类讨论法。分类讨论思想是一种非常重要的数学思想，关于分类讨论的题目一般来说都有一定的难度，成为历年高考的宠儿，经常出现在压轴题。考生往往由于考虑不周，而导致失分现象严重。所以探究分类讨论这一数学思想是有实际意义的。通过对近些年数学高考试卷的研究，发现分类讨论思想在以下几个方面的应用最为明显：1.分类讨论思想在函数中的应用。2.分类讨论思想在导数中的应用。3.分类讨论思想在数列中的应用。4.分类讨论思想在排列组合中的应用。5.分类讨论思想在最优方案问题中的应用。此外，分类讨论的题目在高考中占有一定比例，通过对近5年浙江、上海、北京、湖南、湖北五地的高考试卷分类讨论题型的总结，发现每年各地至少有两道是分类讨论题目，分值占到20分左右。而近年来，湖北高考卷分类讨论题目特别多，很多大题都要进行分类讨论，因此分类讨论思想非常重要。对分类讨论的研究有助于提高考生在此类题的得分率。
表（一）
历年数学高考（浙江卷）分类讨论题型分析（理科卷）
2010 2011 2012 2013 2014 选择题0 3 1 0 0 填空题 1 0 0 0 1 解答题 2 1 1 2 1
表（二）
2010 2011 2012 2013 2014 选择题0 0 0 1 0 填空题 1 0 1 1 0 解答题 1 2 1 1 2
表（三）
历年数学高考（北京卷）分类讨论题型分析（理科卷）
2010 2011 2012 2013 2014 选择题0 0 1 0 0 填空题0 1 1 0 0 解答题 2 2 1 1 2
表（四）
历年数学高考（湖南卷）分类讨论题型分析（理科卷）
2010 2011 2012 2013 2014 选择题 1 1 0 0 0 填空题0 1 1 1 0 解答题 3 2 2 2 2
表（五）
2010 2011 2012 2013 2014 选择题0 1 0 0 1 填空题0 2 0 0 0 解答题 2 3 3 3 4
1 简述分类讨论思想
每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。
欧阳献忠和周绍云在2012年12月发表在宜春学院学报上有一文《数学教学中的分类讨论及其应用》。该文从以下几个方面对分类讨论方法进行了阐述:（1）分类讨论在数学教学中的地位和作用。（2）分类讨论在数学教学中的运用原则。（3）分类讨论的步骤及要注意的问题。（4）小结部分。就第二点，他们展开了如下阐述：a) 确定分类对象。b) 确定分类标准，科学合理地分类。c) 逐类求解或证明。d）归纳、总结问题的结论。e）多级分类讨论。这篇文章较为系统的对中学数学分类讨论问题进行了研究，尤其是在含参变量的数学问题需要分类讨论的时候，研究的十分透彻。唯
一的瑕疵在于多级分类讨论部分缺乏强有力的例题作为应证，举得例子范围比较狭窄。
而江西科技师范学院的万志珍在《浅析中学数学中的分类讨论思想方法》的毕业论中，从以下几个方面对分类讨论思想进行了阐述：1.引言。
2.在什么情况下要进行分类要论以及分类讨论的步骤、原则和方法。
3.分类讨论思想在高中数学中的应用。
4.结论。就第三点，她展开了如下阐述：a）由绝对值引起的分类讨论。b）由不等式引起的分类讨论。c)由等比数列前项和公式引起的分类讨论。d）由排列组合等问题引起的分类讨论。e）由大小关系引起的分类讨论。f）圆锥曲线的统一定义引起的讨论。
2 分类讨论思想的标准和原则
分类讨论思想的标准：一般地，在集合上讨论某一个数学问题时，可以根据某个标准，把划分为子类这时，在上实施对问题的讨论等价于在上实施对问题的讨论，把称为分类讨论的标准。
分类讨论思想的原则：
（1）同一性原则：分类应该按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类依据。例如把三角形分为直角三角形，锐角三角形，钝角三角形和等腰三角形就不符合同一性原则，因为用了两个不同的原则。（2）互斥性原则：分类后的每个子项应互不相容，即要做到每个子项相互排斥，分类后不能有些元素既属于这个子项，又属于那个子项。例如将三角形分为等腰三角形和等边三角形不符合互斥性原则，因为子项不互斥。（3）层次性原则：分类有一次分类和多次分类之分，一次分类是对被讨论对象只进行分类一次；多次分类是把分类后的所有子项作为母项，再进行分类，直到满足需要为止。例如对不等式的解的讨论，要进行多次分类讨论。先对是否等于进行第一次讨论，当时，又可以分为和进行第二次讨论。当时，又可以对两根的大小进行第三次讨论。
3 分类讨论思想在中学数学中的应用
3.1 分类讨论思想在函数中的应用
一般来说，此类题目所占分值不大，常常出现在选择填空题，考查的数学思想比较广泛，分类讨论思想和换元思想、数形结合思想、转化与化归思想通常要结合使用。
例1.（2014年浙江卷）15.设函数 ，若，则实数的取值范围是________ 分析：本题考查分段函数的知识，考查分段函数背景下求解不等式的等价转换的能力，以及分类讨论和换元的数学思想方法，难度中等。 解：令则 ，等价于 ①或②
解①得 ，解②得，所以。于是，此等价于③ 或 ④ ，解③得，解④得,所以.
例 2.（2014湖北卷）10.已知函数是定义在上的奇函数，当时，)32(2
1)(222a a x a x x f --+-=。若，则实数的取值范围为（ ）
分析：本题考查分段函数、函数的奇偶性、函数的图像、不等式恒成立问题、一元一次不等式以及分类讨论、数形结合、转化与化归的数学思想，难度较大。 解：因为当时，)32(2
1)(222a a x a x x f --+-= , 所以当时，x a x a x a x f -=--+-=)32(2
1)(222； 当时，)32(2
1)(222a x a a x x f =-+-=；
当时， ，综上，??
???≥-<<-≤≤-=222222
2,32,0,)(a x a x a x a a a x x x f
因此，根据奇函数的图像关于原点对称作出函数在R 上的大致图像，观察图像可知，要使,则需满足，解得.
例3.（2013上海卷）12.设为实常数，是定义在上的奇函数，当时， .若对一切成立，则的取值范围为________
分析：本题考查函数的奇偶性及函数不等式的求解问题，其中运用了分类讨论思想，难度中等。
解：是定义在上的奇函数， ，且当时，，此时由得，解得，当时，
79)()(2
-+=--=x
a x x f x f ，此时由得，由此不等式恒成立及a x
a x x a x 69292
2=?≥+,（当且仅当时等号成立）可得，结合，可得，解得，综上得的取值范围为.
例 4.（2012北京卷）14.已知22)(),3)(2()(-=++-=x x g m x m x m x f ,若同时满足条件：
①0)(或0)(,<<∈?x g x f R x ②0)()(),4,(<--∞∈?x g x f x
则的取值范围是________
析：本题考查一元二次不等式的解法、方程根的分布及数形结合与分类讨论思想的运用，考查学生的综合分析与转化能力，难度较大。
解：由于当时，；当时， ，故据题意得只需当时，0)3)(2()(<++-=m x m x m x f 即可，当时，二次函数开口方向向上，
不符合时， ，故必有，结合二次函数图像只需两根满足 即可，解得，对于条件②，由于，故只需当时，使得0)3)(2()(>++-=m x m x m x f 即可，此时应使得比方程两根中的小根大即可，当时，只需，解得，不符合条件舍去；当,不符合题意，当,解得，综上得：的取值范围是.
3.2 分类讨论思想在导数中的应用
一般来说，此类题目所占分值较大，常出现在高考压轴题，难度普遍较大。此类题目一般可以分为两类，含参变量和不含参变量。含参变量题目难度一般较大。
例1.（2014年北京卷）18.已知函数??
????∈-=2,0,sin cos )(πx x x x x f
（1）求证：
（2）若对恒成立，求的最大值与的最小值.
分析：第一问很简单，考生很容易做出来。第二问有点难度，要进行分类讨论。
解：（2）当时，等价于，
等价于
令则
当时，对任意恒成立。
当时，对任意，，所以在区间上单调递减。从而对任意恒成立。 当时，存在唯一的，使得
因为在区间上是增函数，所以，进一步，“对任意恒成立”，当且仅当，即. 综上所述，当且仅当时，对任意恒成立。
当且仅当时，对任意恒成立。
所以，若对恒成立，则的最大值为，的最小值为.
例2.（2014年浙江卷）22.已知函数)(3)(3R a a x x x f ∈-+=
（1） 若在上的最大值和最小值分别记为求；
（2） 设. 若对恒成立，求的取值范围。
分析：本题主要考查函数的最大(最小)值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证、分类讨论（多级分类讨论）、分析问题和解决问题等综合解题能力。
解：（1）因???<+-≥-+=a
x a x x a x a x x x f ,33,33)(33， 所以由于， （i ）当时，有，故，此时在上是增函数，因此，， ，所以.
（ii ）当时，若， ，在上是增函数；
若，，在上是减函数。所以， .由于，因此当时，43)()(3+--=-a a a m a M ，当时，23)()(3++-=-a a a m a M （iii ）当时，有，故，此时在上是减函数，因此
4)1()1()()(=--=-f f a m a M . 综上得：?????????≥<<++-≤<-+---≤=-1
,4131,23311,431,8)()(33a a a a a a a a a m a M （2） 第二问与第一问解题方法相似，得出.
例3.（2014湖南卷）22.已知常数，函数2
2)1()(+-
+=x x ax In x f . （1） 讨论在区间上的单调性。
（2） 若存在两个极值点，且，求的取值范围
分析：第一小问只是简单的运用了分类讨论，第二小问运用了多级分类讨论，难度比较大。
解:
（1）222)2)(1()1(4)2(2)2(21)(++-+=+-+-+='x ax a ax x x x ax a
x f （） 当时，，此时，在区间上单调递增。 当时，由得)舍去12(1221a a x a a x --=-= ，当时，
；当时，.故在区间上单调递减，在区间上单调递增。
(2)由（）知，当时，，此时不存在极值点。因而要有极值点，必有.又的极值点只可能是a a x a a x --=-=12和12
21，且由的定义可知， ，所以 ，，解得
此时，由（）易知，分别为的极小值点和极大值点。而21
22)12()()(221--+
-=+a a In x f x f ，令，由且知，当时，；当时， .记 （i ）当时，因为22
)(222
)(2-+-=-+=x x In x Inx x g ，对之求导可
得，因此，在区间上单调递减，从而，故当时，.
（ii ）当时，22222)(2-+=-+
=x
Inx x Inx x g ，，因此，在区间上单调递减，从而，故当时，.
综上所述，满足条件的取值范围是.
3.3 分类讨论思想在数列中的应用
一般来说，此类题目出现在解答题前几题，很少放在压轴题。难度普遍不大。常对公差和公比进行分类讨论。
例1.（2014湖北卷）18.已知等差数列满足：，且成等比数列。
（1）求数列的通项公式。
（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；
若不存在，请说明原因。
分析：本题难度一般，用了分类讨论，分两种情况进行讨论。
解：（1）设数列的公差为,依题意,成等比数列，故有，解得，当时，；当时，
从而得数列的通项公式为或.
（2）当时，，显然，此时不存在正整数，使得成立。当时，，令，解得，所以存在正整数，使得成立，的最小值为
综上：当时，不存在满足题意的，
当时，存在满足题意的，的最小值为.
例2.（2014上海卷）23.已知数列满足，，
（1）若，求的取值范围；
（2）设是公比为的等比数列，，若，，求的取值范围；
（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值以及取最大值时相应数列的公差。
分析：本题难度较大，第二问用了分类讨论，对的取值范围进行分类讨论。解：（1）由条件得且，解得,所以的取值范围是
（2）由，且，得，所以，又，所以.当时，，由得成立。当时，，即
①若，则，由，得，所以.
②若时，则，由，得，所以.
综上得：的取值范围是.
(3)设的公差为，由，且，得
[][]d n nd d n )1(131)1(13
1-+≤+≤-+， ，即，当时，；当时，由得，所以，
所以1
222)
1(2)1(10001--?-+≥-+=k k k k d k k ka ，即，得，所以的最大值为，公差为.
例3.（2013浙江卷）18.在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列。
（1） 求，
（2） 若，求
分析：本题考查了等差数列、等比数列概念，等差数列通项公式、求和公式，贯穿了分类讨论思想，难度一般。
解：（1）由题意得，即，所以
所以或
（2）设数列的前项和为，因为，所以，，则当时，
n n S a a a a n n 2
2121...2321+-==++++，当时，110221212...211321+-=
+-=++++n n S S a a a a n n ，综上所述，
???????≥+-≤+-=++++12，1102212
111，22121...22321n n n n n n a a a a n
3.4 分类讨论思想在排列组合中的应用
一般来说，此类题目分值不大，出现在选择填空题。浙江卷偏爱出这种题
型，难度一般。
例1.（2013浙江卷）14.将这六个字母排成一排，且均在的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）。
解：若均在的左侧，有种，在将逐个插空，有种，所以共种；若均在的右侧，同样有种，故共有种。
例2.（2012浙江卷）6.若将这个整数中同时取个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）种。
分析：本题主要考查分类计数原理和组合等基础知识，考查考生分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力，此外还有简单的分类讨论能力，属中档题。
解：分三类：（1）四个偶数：种；（2）二个偶数二个奇数：种；（3）四个奇数：种；所以共有种。
3.5 分类讨论思想在最优方案问题中的应用
一般来说，此类题目难度中等。出现频率不高（近年只出现过次，湖南湖北各次），其它省份（如浙江、上海、北京三地近年没出现过此类题目）。主要考查考生对材料的理解和解决问题的能力。
例1.（2014湖北卷）20.计划在某水库建一座至多安装台发电机的水电站。过去年的水文资料显示，水库年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和。单位：亿立方米）都在以上。其中，不足的年份有年，不低于且不超过的年份有年，超过的年份有年。将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立。
（1）求未来年中，至多有年的年入流量超过的概率；
水电站希望安装的发电机尽可能的运行，但每年发电机最多可运行台数
受年入流量限制，并有如下关系：
发电机受年入流量限制图 年入流量
发电机最多运行
台数
（2）若某台发电机运行，则该台年利润为万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损万元。欲使水电站的年利润的均值达到最大，应该安装发电机多少台？
分析：第二问用了分类讨论，本题比较新颖，有一点难度，考查了学生对问题的综合分析能力和分类讨论能力。
解：（2）记水电站年总利润为（单位：万元）
（i ）安装台发电机的情形。
由于水库年入流量总大于，故一台发电机运行的概率为，对应的年利润500015000）(，5000=?==Y E Y .
（ii ）安装台发电机的情形。
依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此2.0)80()4200(=≥==X P Y P ；当时，两台发电机运行，此时，因此8.01.07.0)80()10000(=+=≥==X P Y P
所以，88408.0100002.04200)(=?+?=Y E .
（iii ）安装台发电机的情形。
依题意，当时，一台发电机运行，此时，
因此2.0)8040()3400(=<<==x P Y P ；当时，两台发电机运行，此时920080025000=-?=Y ，因此7.0)12080()9200(=≤≤==x P Y P ；
当时，三台发电机运行，此时，因此1.0)120()15000(=>==X P Y P
所以，86201.0150007.092002.03400)(=?+?+?=Y E 综上，欲使水电站的年利润的均值达到最大，应该安装发电机台. 4 分类讨论的教学策略
在纵观最近几年的数学高考题（尤其是浙江、上海、北京、湖南、湖北这五地），可以明显的发现分类讨论问题占用一定的比例，而且分类讨论思想在导数中的应用最为重要，它考的往往是压轴题，难度一般较大。此外，学生在面对较难的分类讨论问题时，虽然知道要进行分类讨论，但苦于无从下手，或分类不清、对某些情况会有所遗漏。所以，在日常的数学教学中，教师要渗透分类讨论思想。
首先，教师在备课的时候，要有意识的结合本节课的具体教学内容，来渗透分类讨论思想，培养学生分类讨论的意识和思考的周密性和条理性，把分类讨论思想融入到具体的教学过程中。一般来说，分类讨论问题可归结为以下几个方面：涉及的数学概念是分类定义的；运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。所以在讲授绝对值等数学概念时可以渗透分类讨论思想，在法则的推导过程中体现分类讨论思想，在求解数学问题的过程中应用数学分类讨论思想。
其次，教师在上课的时候（分类讨论问题），不能一味的追求教学进
度，不给学生留有充足的思考时间，针对学生分类讨论中出现的问题要及时的给予指导及纠正。
此外，教师应该开设分类讨论专题课，总结出高考常见的分类讨论题目，让学生进行练习。而高考中常见的分类讨论题型，无外乎以下几种：分类讨论思想在函数、导数、数列、排列组合、集合、最优化问题的应用。而前两种情况是比较重要的，在历年高考试题中占有很大比重，教师该多出例子、及时引导，学生认真练习、扎实的掌握。
最后，很多数学问题中往往不是简单的运用一种分类讨论思想就能解决问题，分类讨论思想往往会和换元思想、数形结合思想、转化与化归思想、推理论证思想等结合来运用。因此，学生掌握分类讨论思想还是有所欠缺的，应该掌握多种数学思想。而有一些题目可以避免分类讨论思想，使问题简单化，所以对于分类讨论思想，学生该灵活运用。
5 总结
随着新课程改革的不读那深入，数学思想方法作为数学素质教育中的重要内容已经引起教育者的普遍关注，数学课程标准已经将数学思想方法的培养列入数学的课程目标。而分类讨论思想作为高中四大数学思想之一，显得尤为重要。教师在日常的教学活动中，应该有意无意地贯彻数学分类讨论思想，分类讨论思想的掌握不是一朝一夕的事情，所以要循序渐进，逐步深化，给学生留有思考的空间，激发学生的学习兴趣，教师要采取灵活的教学手段实施分类讨论教学。而分类讨论思想往往与其它思想有着交集，因此教师在教学过程中，要结合其它数学思想方法。教师通过积极的引导，培养学生的分类讨论能力，锻炼学生的思维的深刻性、周密性和条理性，从而提高学生的解题能力。
参考文献
[1] 薛金星. 高中数学解题方法与技巧（第三版）[M].高等教育出版社，2003(08):
浅谈教学方法与技巧 教学是一项复杂的系统工程，也是一门教育人、塑造人灵魂的艺术，对教学艺术的不断追求可以说是一种高级的精神享受。有人说，一个成熟的教师，就是一个艺术家。他从事于教学，犹如琴师从事于操练一样。他和缓地触动人类思想感情上的琴弦，刺激之，安慰之，兴奋之，鼓励之。然而，作为教师，在教学中要达到这样的境界，就必须研究并掌握好的教学方法和教学技巧才行。 教学方法是指师生为达到一定的教学目的和任务而采取的教与学的方式和手段的总称。教学技巧是指教师巧妙或熟练运用教学方法的能力。 《孟子集注》中讲：“事必有法，然后可成。师舍是则无以教，弟子舍是则无以学。”意思是说，再好的教师，再好的学生，再好的教材，如果不采取好的教学方法和技巧，也难以达到教学目的。有经验的教师常讲：“要给学生一杯水，教师就得有一桶水。”这是说做教师的必须要有足够的知识。然而，人们在评论某些教师的教学效果时又有这样的说法：“该教师知识渊博，可就是茶壶里饺子——倒不出来。”这说明，一个合格的教师不仅要有博深的知识，还必须熟练地、恰当地运用和掌握教学方法和教学技巧。只有这样，才能卓有成效地向学生进行思想教育，传授科学知识，开发学生的智力，培养学生的能力，提高教学效果和完成教学任务。现将几种常用的教学方法作以介绍，以求和大家共勉。 一、生动活泼的讲授法（讲述、讲解、讲读、讲演） 讲授法是教师通过口头语言系统地向学生传授知识，发展智力的方法。讲授法是教学中应用时间最长，应用范围最广的一种最基本的教学方法。几乎所有其他的教学方法在运用时都必须与讲授法相配合，才能顺利地进行和发挥应有的功能。无论是过去还是现在，讲授法都是学校教学中既经济又可靠，而且最为常用的一种有效方法。 讲授法的优点是能充分发挥教师的主导作用，有利于节省时间，提高教学效率，有利于学生掌握系统的知识。缺点是，在课堂上学生的活动少，容易产生依赖思想，容易形成教师满堂灌的僵死局面。在实际的教学中，讲授法又可以表现为讲述、讲解、讲读、讲演等不同
浅谈高中数学解题策略实践方法 发表时间：2019-08-22T15:51:57.230Z 来源：《教育学文摘》2019年9月总第313期作者：张春香 [导读] 使学生掌握解决数学问题的方法作为高中数学教育的生命力所在，对于学生的数学学习有着重要的意义。云南省迪庆州藏文中学674400 摘要：随着高中数学课程改革的进行，培养学生们的自主学习能力和知识转移应用能力已成为高中数学的重要教育目标。在高中数学的教学实践中，我们发现，对于高中学生而言，他们当前学习的数学知识是复杂抽象的，导致学生在学习过程中往往畏难不前。因此，本文将对高中数学解题的教育战略进行深入研究，以期提高学生的学习效率，培养学生的解决问题的能力，这对教师来说是具有重要意义的。 关键词：高中数学解题策略实践方法教学建议 使学生掌握解决数学问题的方法作为高中数学教育的生命力所在，对于学生的数学学习有着重要的意义。在传统的高中数学课上，教师们尽管传授了数学知识和基本的解题方法，并通过大量的题海战法，提高了学生解决数学问题的速度，但是从长期来看，学生的数学学习热情将会在无聊的题海实践中逐渐消失。 作为数学教师，我希望以个人在教育实践中学习到和总结的经验，启发各位教育同仁的高中数学解题策略的实践教学。 一、加强数学教材的应用 高中数学教师上课时教授的数学知识来自于教材的应用价值。在教学过程中，教师应当注重教材的价值，充分发挥教材的重要作用，探索其中蕴含的数学思想，用适当的教学方法教给学生数学知识。 教师们首先要创造民主、和谐的授课氛围，培养学生们的创意性思考。提高高中数学解题教学效率的需要要求教师优化教学结构，建立和谐的师生关系。在日常生活中，教师可以与学生以平等的态度交流教学的有效方法，了解学生喜欢的解题教学模式和数学学习中的瓶颈，这有利于教师们转换教育战略，优化教育设计，提高教育效率性。 其次，教师能够通过创建课堂环境而激发学生对学习的兴趣。 最后,是教师应当提高自己的专业解题能力,这要求高中数学教师要对教育方法进行革新,改变传统的“全面”授课模式,摸索自主合作探究解题模式的实施。例如，当我们进入到“三角函数”的授课时，可以以提问的方式引导学生自主地探究学习三角函数的题目，在共同探究中教学了学生类比、变换、数形组合的数学解题思想。 二、引导学生了解题目条件 解决数学问题的开始在于认真审视题目。在教授数学解题的课上，教师们通过培养学生的阅读能力和根据学生的实际情况，可以示范性地将题目的文本词汇转换成数学语言的能力，帮助学生快速地提取出题目中的关键词和关键数据。在高中数学解题策略的实际教育中，由于许多学生的疏忽和对问题审视不清楚、不仔细，造成了对题目的误读和误解，因此，教师应该整理学生对问题的看法，帮助他们挖掘数学题目中的重要条件。厘清数学解题过程，应该对所有问题确立明确的审视标准。 我们引入一个高中数学题目来探析函数图像和题目所给条件之间的关系：“第一个选项是A同学刚离开家没多久，就想起来家里的钥匙没有带，落在桌子上了，于是原路折返。第二个选项是A同学以正常速度开车，在回家路上遭遇了严重的交通堵塞。第三个选项是由于时间有限，A同学提高了行驶速度。”为了找出符合函数图像的条件,学生们首先可以通过A同学的活动过程中涉及的关键词找到明确的线索,引导学生们整理出A 同学“出门—折返——堵塞—加速”的行动过程，然后对函数图像中的x轴与y轴代表的意思进行探析，构建时间和速度的分段函数图像。教师要在学生掌握基础知识的过程中树立明确的数形结合解题理念，提高学生的题目阅读和解读能力，真正提高学生的数学解题技巧。 三、综合多种多样的题目解法 高中数学教师要想真正提高学生数学的解题能力，不能只交给学生题目的答案，更重要的是要传授学生各种不同的数学解题思维。在抽象性、平面化的高中数学课上，教师很难仅仅教授基础知识就让学生拥有解决问题的能力。为了在解决问题的过程中，学生可以灵活运用所学的知识，通过消化知识进行数学问题分析，教师的教学内容应该从基础知识扩散到解决问题的智慧，教师们必须重视学生们的数学素养。 从“数列”知识的情况来看，这一部分的知识点在高考数学分值中占很大比重。因此，教师在讲授这一课题的时，要将讲课过程设计得非常细致，并可以用一个课时的时间向学生详细说明这一类题型的多种解题方法，以此来作为教授的方法。举例来说，如果已知数列{an}中a1=2，an=4an-1-3(n≥2)，求{an}的通项公式。在解决这一道数学题时，数学教师可以引导学生通过等比数列来获得{an}。求数列前n项和的方法，也可以依照题目的含义通过倒序相加法、公式法、裂项相消法、错位相减法、并项求和及分组求和法算出最后答案。以此类推，在解决其他的数列与函数计算及不等式综合题，高中教师也可以花一个课时的时间来分析典型例题的不同做法，让学生对这些题型的解题策略有更深的理解和掌握。 参考文献 [1]张文尼数学思维能力在高中数学教学中的培养探究[J].新教育时代电子杂志（学生版），2017年15期。 [2]蒋晓军现代信息技术条件下的教育创新研究[J].语数外学习（高中数学教学），2014年4期。
中学生数学课堂教学刍议 发表时间：2015-07-15T16:02:06.057Z 来源：《未来教育家》2015年第6期供稿作者：张静宇[导读] 长期以来，学科教学受应试教育的影响，教师在课堂上采用满堂灌的方式。山西省交城县奈林初中张静宇 030500 【关键词】：研究性学习；学习方式；创新意识；实践能力 一、学科教学进行研究性学习的必要性 长期以来，学科教学受应试教育的影响，教师在课堂上采用满堂灌的方式，学生被动机械的接受，缺少对内容的感受和理解，没有自己的观点和主张，缺乏创新意识和创新精神。教师往往忽视了所教学科的特点，在课堂上侧重于对内容的条分缕析上，忽视了对学生基本功的训练；忽视了学生主体地位的作用，对学生缺乏必要的了解，把握不住学生的心理，不顾学生的心理承受能力和知识接受能力，一味的加压加量，单纯的进行学科知识传授；忽视了师生情感的交流，造成了师生间不应有的隔阂，学生失去了进取精神和创新精神，对所学学科没兴趣，教学效果也不理想。这些弊病影响了素质教育的实施，不利于学生的健康成长，不利于培养学生的创新精神和创新能力。因此，探索一种新的课程模式势在必行。而以激发学生主动探索的积极性，培养学生的创新精神为追求目标的研究性学习，对我们学科教学来说，可谓是久旱逢甘霖。 研究性学习强调的能力，不只是对课堂上教师传授的书本知识的背诵、理解、掌握、复述的能力。它要求学生能从多种渠道去寻找自己需要的信息资料，能对各种资料进行分析、归纳、整理、提炼并从中发现有价值的信息，能熟练的使用信息工具和各种相关软件，能了解科研的一般流程和方法，能规范的撰写科研小报告，能准确的表达自己的见解和观点等。这种课程模式可以有效的消除当前学科教学中存在的种种弊端，能够培养学生的创新精神和实践能力。 二、学科研究性学习的实施步骤 学科研究性学习中教师是组织者、参与者、指导者，在研究方法和学习条件方面教师要给学生必要的支持和帮助。 1、提出问题 学生根据自己学到的学科知识和自己的能力水平，选择和确定几个可行性的研究专题，去发现问题和提出问题。这些问题可以是教师提供的，也可以是学生自己选择和确定的；可以是课堂内教材内容的拓展延伸，也可以是对校外各种自然和社会现象的探究。 2、组织研究 课题确定以后，要指定研究计划，划分课题小组，明确研究任务、目标及时间安排，作好一切准备工作。课题小组一般由2--5人组成，由学生自己推选研究和组织能力强的同学担任组长，并根据所选课题聘请在此一领域中有一定专长的教师作为指导教师。要求每一位小组成员要明确应如何进行调查，需要那些信息，通过哪些途径获取信息。成员之间的分工要科学合理，要最大限度的发挥人力物力的作用。几个小组之间学生的知识、能力要尽可能的均衡，组内各成员在各个方面可有差异。目标的设立要以小组成员的总体水平为依据。 学生这种研究是以转变学生的学习方式为出发点，以培养今天的学生能适应明天社会的需要为任务。要求学生从全部的只是获得书本知识和间接?验，到同时重视通过实践活动、体验来获得直接?验并解决问题；从单纯的关注学生对学科知识体系的掌握程度，学生模仿和再现书本知识的能力，从仅仅追求教学的"知识目标"，转向重视包含知识在内学生素质的全面提高。 3、撰写论文 学生?过一段实践的研究，把研究的结果、得出的结论撰写成论文或设计方案，论文要有自己的感受、联想、建议，要有理有据，设计方案力求能对今后的工作有一定的参考价值。然后将论文或设计方案在一定范围内交流、总结，给学生提供互相学习、共同提高的机会，为今后的研究性学习打下良好的基础。当然，不要过分看重学生的研究成果。学生最后的研究成果可能幼稚可笑，不足称道。但这不是重要的，重要的是学生通过诸如设计课题、查找资料、动手实验、社会调查等亲身实践，获得了对社会的直接感受，了解了科研的一般流程和方法，尝试了与他人的交往和合作。知道了除教材以外还有很多获取信息的渠道，试图综合已有的知识来解决正在研究的课题等。能够让学生获得上述感受和体验，正是开设研究性学习的主要目的。 三、学科研究性学习的评价 1、指导思想 学科研究性学习评价重在考察学生分析问题解决实际问题的水平。所以，对有创意的研究性论文或有创新的设计方案应给予优秀等级，等级一般分为优秀、良好、及格。 2、评价方法 评价方法可分为学生评价和教师评价。学生评价包括学生自评和所在组内各成员之间的评价；教师评价是对研究小组的总体评价以及对小组内学生个人的评价。 总之，学科研究性学习重在学习过程，而不是研究成果；重在知识技能的应用，而不是掌握知识的深度；重在亲身参与探索性实践活动，而不是一般的接受别人传授的?验；重在全员参与，而不是只关注少数尖子学生。只有真正作到以上几点，才能从容应对新世纪学科教学所面临的挑战，才能培养出具有创新意识和实践能力的合格人才。
中学数学思想方法的教学研究 发表时间：2013-03-14T14:50:22.857Z 来源：《少年智力开发报》2012-2013学年21期供稿作者：盖玉顺 [导读] 美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理． 山东省东营市陈庄镇中学盖玉顺 １．数学思想方法教学的意义 美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理．”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的．”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分．第一，“懂得基本原理使得学科更容易理解”．心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习．”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了．下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳 入到学生已有的认知结构中去．学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容． 第二，有利于记忆．布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记．”“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来．高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具．”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的．无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生．” 第三，学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”．布鲁纳认为，“这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识．”曹才翰教授也认为，“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的，”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移．”美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中．”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力． ２．中学数学教学内容的层次 中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识．表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法． 表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识．学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识． 深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识．教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”，从而使数学教学超脱“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性．那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛．因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质． ３．中学数学中的主要数学思想和方法 数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识．由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高．我们认为，在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想．其理由是： （１）这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容； （２）符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握； （３）在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多； ４．数学思想方法的教学模式 数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系，这就决定了他们在教学中的辩证统一性．基于上述认识，我们给出数学思想方法教学的一个教学模式： 操作——掌握——领悟。对此模式作如下说明： （１）数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识，以保证在教学过程中有明确的教学目的； （２）“操作”是指表层知识教学，即基本知识与技能的教学．“操作”是数学思想、方法教学的基础； （３）“掌握”是指在表层知识教学过程中，学生对表层知识的掌握．学生掌握了一定量的数学表层知识，是学生能够接受相关深层知识的前提； （４）“领悟”是指在教师引导下，学生对掌握的有关表层知识的认识深化，即对蕴于其中的数学思想、方法有所悟，有所体会；
摘要 中学数学教学是学校学科教学的重要组成部分，随着社会的发展，人们对数学教学的要求也变得越来越高。但目前中学数学教学中存在的一些问题却又在某种意义上阻碍了中学数学教学的平稳发展，文章通过对教学中存在的几个问题进行了分析，并对如何解决这些问题提出了相应的对策方案，使中学数学课程改革深入进行并达到预期目的。关键词：数学教学；存在问题；对策
Abstract The middle school mathematics teaching is the school discipline and important part of teaching, with the development of society, people in mathematics teaching requirements are becoming more and more high. But now the middle school mathematics some problems in teaching the but again in allaying the middle school mathematics teaching the steady development, based on some problems existing in the teaching are analyzed, and how to solve these problems, advances some corresponding countermeasures scheme, the middle school mathematics curriculum reform to achieve the expected purpose in-depth. Keywords: Mathematics Teaching Problems Countermeasures
小学数学教育教学方法刍议 [摘要]随着我国教育体制的全面改革，学生在学习中的主体地位已初见端倪。在数学课堂教学中，培养学生的创新精神、自主学习能力，必然成为数学课堂教学的主流，本文就对小学数学教育教学现状的分析，提出解决措施。 [关键词]小学数学；教育教学：现状；措施 中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）45-0108-01 一、对小学数学教育教学现状的分析 1.新课程背景下小学数学教师素养的现状 新一轮课程改革的实施，除了数学课程标准内容更新的力度较大之外，更主要的原因是学生的主体性被激活了。在传统教学中，是教师忠实执行教材，照本宣科，学生的思维相对狭窄，课前预设方案比较周到，通常足以应付。现在，新课改理念在课堂上得到了体现，学生学习的积极性、主动性不断增强，加上学生知识的来源渠道更为丰富多样。于是，学生质疑问难、节外生枝的频率与教师素养缺失的显露同步增长。 2.小学数学教学课堂提问的现状 小学数学课堂提问是数学教学的重要组成部分，也是
教学中使用频率最高的手段之一。课堂中提问的常见模式为“问-答-评”三个环节。然而，课堂提问是一把双刃剑，如果提问的不科学，同样也能扼杀学生的学习热情。接下来是对目前存在现状的分析： 3.课堂提问模式单一 提问“量多质差”：部分教师经常会采取“群众式”的回答模式，比如在讲完一个问题时，用“是不是”、“对不对”之类无思考的模式来提问，价值不高。还有部分老师分不清要点，总是漫无目的的提问，使学生处于消极被动状态。 4、教学目标不明确 教学目标明确是对教师的最基本要求。每位教师都承认自己每节课的教学目标是明确了，然而这远远不是我们教学任务的全部。老师的任务不仅仅是教给学生知识，而应该让学生明白为什么要学、要怎样去学；不仅仅是让学生学会知识、学会学习，更应该学会做人。这一问题反映在课堂教学上就是：老师每节课只是在力求完成教材的任务，而不是帮助学生完成学习任务。表现为教学中，教师占据了课堂的绝大部分时间，导致教学中的教师中心化。一节课中教师的说话、活动时间占了课堂的一大半，为板书而板书、为演示而演示的现象也不少见。反映在教师的态度上就是生硬急躁，为教学而教学。上起课来就忘了自己的行为态度对学生
浅谈高中数学解题策略张忠传 发表时间：2018-11-07T10:05:53.660Z 来源：《教育学》2018年10月总第157期作者：张忠传 [导读] 只有将知识的学习与解题技巧相互结合，才能够在考试中更好地解决问题，学习的效率才会大大提高。安徽省金寨第一中学237322 摘要：在教学过程中，教师要注重对学生解题思维的教授与培养，引导学生在解题的过程中不断总结方法与规律，提高学生解题时的准确率与效率，从而减轻学生学习的压力，在解题方面能够更加自如。只有将知识的学习与解题技巧相互结合，才能够在考试中更好地解决问题，学习的效率才会大大提高。 关键词：高中数学解题策略有效性 一、多元方程的问题——逆向思维解题策略 在解决多元方程的问题中，最为常用的就是逆向思维的方法。在多元方程的解题中，如果仅仅是通过题目条件，正常地进行问题的分析与解决，就会遇到许多新的不必要的麻烦，导致问题不能及时地解决；并且多元方程的解决要求学生思维的转变，这对于很多同学来说存在一定的困难，因为惯性思维会阻碍其纵深发展。因此，在对多元方程的解决中就应该有意识地采取逆向思维的方法。新课改要求的过程和方法，需要让同学们打破常规，积极改变自己的思维模式，思维也要有所突破，老师在教学引导中应该鼓励同学们用逆向思维去解答。 例1：实数l，m，n，满足m-n=8，且mn+l2+16=0。求证：m+n+l=0。 分析：用顺推法直接求得l、m、n的值，运算量很大且容易出现运算错误。简单的方法是用韦达定理的逆定理，从题目中的两个条件来结合进行计算，求出m、n的关系，然后进行关系的转换，将其转变为x的关系，再带入到原式中进行求解。 证明：由m-n=8可以得到m+（-n）=8，由mn+l2+16=0得到m（-n）=l2+16，那么根据m和n的关系就能够将两者通过一个新的未知数x来代替，则m、-n即为一元二次方程x2-8x+l2+16=0的两个根。又因为m、-n为实数，所以，△=（-8）2-4（l2+16）≥0，解得4l2≥0，所以l=0，则m，-n即为一元二次方程x2-8x+16=0的两个根，解得m=-n=4，则有m+n+l=0成立。 以上就是通过逆向思维的方法，由此也能够看出在面对这种多元函数的证明问题时，通过逆向思维就能够有效地解决。 二、函数与方程问题——分类讨论解题策略 1.在解方程中的应用。 在高中初级阶段解方程中最为常见的就是所给的未知数或者条件有着两方面的情况，此时就需要借助分类讨论的方法对每一个未知的情况分几个方面进行讨论求解。 2.在函数题目中的应用。 例2：当m=____时，函数y=（m+5）x2m-1+7x-3（x≠0）是一个一次函数。 解：当（m+5）x2m-1是一次项时，2m-1=1，m=1，整理为y=13x-3。当（m+5）x2m-1是常数项时，2m-1=0，m=1/2，整理为y=7x+5/2。m+5=0，m=-5，整理为y=7x-3。 在讨论（m+5）x2m-1的情况时，就需要分为两种情况，第一种就是为一次项，第二种就是结果为常数。而通过不同的m值也就能够得到不同的解果，最终进行整理就能够得出正确的答案。 三、不等式证明问题——构造函数解题策略 在解决不等式问题时最为适合采用构造函数的解题策略。通过构造函数的方法，能够将不等式的问题转化为函数方程的问题，并根据题目中的信息，来求出相应方程的单调性、值域、定义域，从而结合多种条件来证明不等式的正确。 例3：如已知a、b、c∈R，|a|<1，|b|<1，|c|<1，证明ab+bc+ca+1>0。 对于该不等式的解题过程：构造函数f（x）=（b+c）x+bc+1，证明x（-1，1）时函数f（x）>0恒成立。当b+c=0时，f（x）=1-b2>0恒成立。当b+c≠0时，函数f（x）=（b+c）x+bc+1在区间（-1，1）上是单调的。由于f（1）=bc+b+c+1=（b+1）（c+1）>0，f（-1）=bc-（b+c）+1=（1-b）（1-c）>0，因此f（x）=（b+c）x+bc+1在区间（-1，1）上恒大于零。 综上可知，当|a|<1、|b|<1、|c|<1时，ab+bc+ca+1>0恒成立。 所以，通过以上的解题，就能将一些不等式的问题通过函数的方法来解决，更加有效。 总之，高中数学对于学生的逻辑思维方面有着更高的要求，高中数学的学习阶段也要更加重视对学生数学思维以及解题思维的培养，培养学生做题时的应变性以及灵活性，从而提高解题的效率。教师在教学过程中也要不时地将自己多年解题经验中得来的解题方法教授给学生，渗透学习思维。数学题目的形式千变万化，但是核心不会改变，只要学生能够熟练地掌握解题技巧，并且灵活地运用，相信不管遇到什么问题都能迎刃而解，更好地达到学习的目标。 参考文献 [1]梅松竹冷平王燕荣城乡数学教师对新课程的解题教学的研究——函数解题技巧[J].教育与教学研究，2010，（08）。 [2]马玉武探究数形结合思想在高中数学教学中的应用[J].中国校外教育（下旬刊），2012，（12）。 [3]李文婕解题思维在高中数学教学中的应用探析[J].中华少年教育论坛，2017，（03）。 [4]吴冬香探究高中数学解题教学方法的应用研究[J].中国考试教育周刊（上、下旬），2017，（12）。
刍议中学数学教学交流分析 【摘要】初中教学是建立在学生数学观念和模型的特殊时期，对学生高中乃至以后的学习都有着十分重要的作用.因此在教学中教会学生建立数学思想，掌握思想方法，使学生在解题时寻求出已知和未知的联系，提高学生分析问题的能力是十分重要的. 本文主要从交流教学经验的价值以及如何教学两方面进行讲述，倡议教师应当重视数学教学，从根本上改变教学模式，提高教学质量. 【关键词】初中数学；交流分析；倡议 数学是人一生当中不可缺少的一门课程，不仅能够帮助学生建立数学模型，锻炼逻辑思维能力，而且在生活上也对学生有极大的帮助. 正是因为如此，国家才格外重视数学教学，将数学教学列为重点培养课程之一. 初中时期的学生是可塑性最强的时期，思维比较活跃，记忆力比较好，创新性也比较强，因此初中数学教学在整个教学过程中起着非常重要的承前启后的作用. 由此可见，做好数学教学工作是现在教师的主要任务和责任. 一、课堂教学的数学交流现状及价值 很大一部分学生学习目的不明确，对学习报无所谓的态度，或学习只是为了应付初三毕业时的那次考试，缺乏钻研精神，平时思想上怕吃苦，不肯开动脑筋多思考，有的作
业靠抄袭完成，更多的是遇到问题一笔带过，懒于思考，不会提问，无法解答，认为所学的数学知识等自己踏上社会后不会用到或不常用到. 有些教师确实是为应试而教，这表现在课堂教学缺乏激情，缺乏创新能力，不利于学生数学素质的形式和数学能力的提高. 布鲁纳指出：掌握数学思想方法可以使数学更容易理解和记忆，更重要的是，领会数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路”. 教师在课堂上单纯的教学思路和方法会让学生觉得枯燥乏味. 在课堂上主动和学生进行交流，及时地了解学生的理解程度和所需要的教学方式，可以促进学生更好地掌握课程知识，提高教育水平. 同时，也使教师真正从学生出发，掌握以学生为本的数学教学思想，达到教学与学习双赢的局面. 二、课堂上数学交流的实现 （一）创建交流环节 初中的学习不同于小学，小学中只是简单的数学计算和一些简单逻辑思维的应用题.初中数学在概念上就比较抽象，像有理数、无理数这些概念，可能学生在学习的时候就比较生涩难懂，如果老师在教学的时候一味地讲述概念，学生会觉得脱离生活实际，不易理解，会一开始就从心理上排斥学习这些抽象的概念和题目. 建立课堂交流环节，及时了解学生学习情况和理解程度，有助于显著提高教学质量.
初中教师数学教学方法1 初中教师数学教学方法1 结合初中数学大纲 就初中数学教材进行数学思想方法的教学研究,要通过对教材完整的分析和研究，理清和把握教材的体系和脉络，统揽教材全局，高屋建瓴。然后，建立各类概念、知识点或知识单元之间的界面关系，归纳和揭示其特殊性质和内在的一般规律。例如，在“因式分解”这一章中，我们接触到许多数学方法—提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法等。这是学习这一章知识的重点，只要我们学会了这些方法，按知识──方法──思想的顺序提炼数学思想方法，就能运用它们去解决成千上万分解多项式因式的问题。又如：结合初中代数的消元、降次、配方、换元方法，以及分类、变换、归纳、抽象和数形结合等方法性思想，进一步确定数学知识与其思想方法之间的结合点，建立一整套丰富的教学范例或模型，最终形成一个活动的知识与思想互联网络。 初中教师数学教学方法2 以数学知识为载体 将数学思想方法有机地渗透入教学计划和教案内容之中教学计划的制订应体现数学思想方法教学的综合考虑，要明确每一阶段的载体内容、教学目标、展开步骤、教学程序和操作要点。数学教案则要就每一节课的概念、命题、公式、法则以至单元结构等教学过程进行渗透思想方法的具体设计。要求通过目标设计、
创设情境、程序演化、归纳总结等关键环节，在知识的发生和运用过程中贯彻数学思想方法，形成数学知识、方法和思想的一体化。 应充分利用数学的现实原型作为反映数学思想方法的基础。数学思想方法是对数学问题解决或构建所做的整体性考虑，它来源于现实原型又高于现实原型，往往借助现实原型使数学思想方法得以生动地表现，有利于对其深人理解和把握。例如：分类讨论的思想方法始终贯穿于整个数学教学中。在教学中要引导学生对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级)，然后逐类讨论(即对各类问题详细讨论、逐步解决)，最后归纳总结。教师要帮助学生掌握好分类的方法原则，形成分类思想。 数学思想方法的渗透应根据教学计划有步骤地进行。一般在知识的概念形成阶段导入概念型数学思想，如方程思想、相似思想、已知与未知互相转化的思想、特殊与一般互相转化的思想等等。在知识的结论、公式、法则等规律的推导阶段，要强调和灌输思维方法，如解方程的如何消元降次、函数的数与形的转化、判定两个三角形相似有哪些常用思路等。在知识的总结阶段或新旧知识结合部分，要选配结构型的数学思想，如函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化，分数讨论思想体现了局部与整体的相互转化。在所有数学建构及问题的处理方面，注意体现其根本思想，如运用同解原理解一元一次方程，应注意为简便而采取的移项法则。 初中教师数学教学方法3 重视课堂教学实践
?叶邑镇中课堂教学评价原则 一、评价指引思想 课堂教学活动是师生积极参加、交往互动、共同发展过程。高效数学课堂是学生学与教师教统一，学生是数学学习主体，教师是数学学习组织者、引导者与合伙者。 数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引起学生数学思考，勉励学生创造性思维；要注重培养学生良好数学学习习惯，掌握有效数学学习办法。 学生学习应当是一种生动活泼、积极和富有个性过程。除接受学习外，动手实践、自评摸索与合伙交流也是学习数学重要方式。学生应有足够时间和空间经历观测、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。 二、数学课堂评价基本内容 （一）教学目的评价 1.知识与技能 实行素质教诲，对数学课堂教学质量提出了更高规定，这就规定教师在教学中把知识形成过程放在首位，使学生经历知识发生和发展过程，获得具备生命力、有用知识，掌握具备可迁移、生动活泼知识构造。 （1）“感知、理解新知”评价内容 为呈现新知能提供包罗新知本质属性感知材料；引导与否便于学生尽快进入新知近来发展区，展开未知摸索；教师点拨与否有助于激发学生思维碰撞，顺利完毕认知“同化”或“顺应”；教学辅助手段使用与否有助于学生省时有效地发现和理解新知本质。 （2）“抽象、概括新知”评价内容 ①思维阶梯设计有助于学生在摸索新知本质过程中，展开高效分析、判断、推理、概括；并在归 纳总结新知过程中经历一种以详细思维为支柱，向抽象逻辑思维过渡，又将已理解抽象概念详细化认知来回历程； ②学生对已概括新知理解与否全面、进一步；表述与否详细严谨；与否达到了学时教学规定教学 目的； 2.过程与办法 （1）学生数学学习过程与否是建立在已有经验基本上一种积极建构过程。 （2）学生数学学习过程与否是布满观测、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多彩数学活动。 （3）学生数学学习过程与否富有个性、体现多样化。
浅谈初中数学有效教学 ： 浅谈初中数学有效教学 初中数学是义务教育阶段最重要的一门学科，它对于学好其它学科有 着举足轻重的地位。长期以来，数学给许多学生的印象是枯燥的计算、刻板的公式，学生怕学，甚至厌学，作为一线教师，我们应当努力提 高教学质量，实施有效教学，力求改变这种现象。 一、何为有效教学 所谓“有效”指的是学生在教师教学一段时间后，获得了具体的发展 和进步。如学生对知识和技能从不会到会，从知少到知多，从解决问 题能力较弱到较强，最终从被动学习到主动学习。教学是否有效，是 指学生有没有学会或学得怎么样。 二、实现有效教学，教师必须提升学科知识素养 教师的学科专业素养指的是所任教学学科以及相关学科的基本知识和 素养。如果教师只有半瓶水，那么给学生的就微乎其微了。因此，教 师要不断提高专业知识水平，优化知识结构。 （一）钻研任教学科，丰富本体性知识 数学知识结构中，既包括具体知识，也包括数学方法论知识，也就是说，既要了解具体的概念原理、解决问题的方法为何，又要知道从一 个知识到另一个知识是怎样过来的，知识之间从方法论上的关系是怎 样的。因此，对知识结构的研究非常有利于教师对数学学科知识的深 入理解和认识。 （二）养成读书习惯，积累文化知识
培根说过，读书使人明智，读诗使人聪慧，学习数学使人精密。教师 为了顺利实施有效教学，应该博览群书，具有渊博的知识，用自己的 才情影响学生。 三、实现有效教学，老师必须提升教材解读和处理能力 教学设计有效的课堂教学，要求老师有深厚的教学功底和教材解读能 力 （一）关注学生的现有知识 在教材的解读与处理中关注学生的现有知识，对教材进行再加工、再 创造，关注学生的学习方法，避免对学生灌输，径直获得答案。 例如，我在“一元一次不等式?M与盈余问题”的教学中设计了这样一个问题：学校要为我们七年级新生安排住宿，如果每间住4人，则20 人没床位；如果每间住8人，则最后一间宿舍不满也不空，问宿舍有 几间？学生有多少人？在备课时，我认为学生的难点应该是找不等关系，然而在教学中，学生找不等关系没有丝毫障碍。实际上，找不等 关系是这节课的新问题，而学生的困难却是在将最后一间宿舍的人数 表示出来。学生的困难不在于新知识，而困难在于教师看来已经学过、学生应该掌握的知识上。 （二）兼顾预设与生成的内容 教材是静止的，但课程是动态的。“凡事预则立”，教师精心备课能 保证课堂教学目标的完成，教师又应该具有课堂生成意识，能够灵活 地应对学生的问题。教师在课堂上把握教学契机，灵活地调整教学行为，让学生的个性得到发展。 “二元一次方程组”单元的第一课时笔者所使用的沪科版教科书给出 了这样的一个实际问题：某班同学在植树节时植樟树和白杨树共45棵，已知樟树苗每棵2元，白杨树每棵1元，购买这些树苗用了60元，问 樟树、白杨树苗各买了多少棵？教科书中，这一问题的提出旨在揭示 知识的价值，既当遇到求两个未知数的问题时，可直接设两个未知数，
浅谈中学数学中的若干变形技巧-中学数学论文 浅谈中学数学中的若干变形技巧 江苏高邮市三垛中学赵静 变形是数学解题的基石，变形能力的强弱直接制约着解题能力的高低。变形是为了达到某种目的而采用的“手段”，是化归、转化的准备阶段。本文旨在通过探讨变形技巧在数列问题、不等式问题、因式分解等问题中的若干应用，来揭示中学数学常见的一些变形技巧，帮助学生掌握变形的一般规律与特点，培养良好的发散性思维与创新精神。 一、掌握变形技巧的意义 在代数运算中变形是用来帮助解答疑难问题时，在原代数式基础之上进行转换的方法。我们在解题时，由于条件不充分或者不明显，常常需要求助于变形做适当的转换。变形的意义在于把题目中的已知与求解的有关性质联系起来，从而使题目中分散的元素集中，把问题转化为另一种形式，便于利用有关的定义、公理、定理等达到解题的目的；当题中的条件与结论之间的关系不够明确时，变形还可以把所需的关系揭露出来，使隐蔽的条件显现，把复杂的问题化简，从而找到解决问题的途径。 二、变形技巧在数列中的应用 （一）给定初始条件，数列的递推方程为：an+1=pan+q（p≠1）型
等形式的变形，在不等式中还可以通过变元与消元、增、减项变成“积”一定以及放缩法等形式来变形，在因式分解中还可以通过主元变形等，这里就不再一一叙述。总之变形是为了便于利用某些理论进行运算架设的桥梁，是把代数式中固有的但不很明显的性质得以明确地显示出来的催化剂。变形的用途很广，虽然题目千差万别，解题方法多种多样，变形也因题而异．只要我们大胆探索，深入
研究，就会找到其内在的规律。 参考文献： [1]马永传．递推数列通项公式求法及技巧[J]．六安师专学报，1999. [2]郭立军．运用基本不等式的变形技巧[J]．数学学习与研究(教研版)，2008. [3]候有歧.运用均值不等式解题的变形技巧[J].中学数学杂志，2007. [4]李开丁.在证明不等式中几种常用的等价变形形式[J].高等数学研究，2004. [5]郭茂华．因式分解中常用的几类变形技巧[J]．时代数学学习，1998.
浅谈初中数学思想方法在教学中的渗透 数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识;基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。 摘要：随着新一轮课程改革的开展与推进，人们越来越重视数学思想方法的渗透. 结合自己的教学经验，阐述了思想方法如何渗透入初中数学教学中的一些想法。 关键词：初中数学渗透数学思想 数学思想方法是初中数学教学的重要组成部分，是比数学知识传授更为重要的教学内容，因为知识的作用是有限的，而方法的作用往往能够涉及整个数学领域。正是因为其有着广泛的普遍适用性，有着超越知识层面，并且能够让人们在数学探究的征途上从未知到已知的可能性，因此在新课程改革中被赋予了相当的重要性。 事实上，2011年新颁布的《义务教育数学课程标准》，再一次将基本思想写入其中。当然令人瞩目的是初中数学还进一步提出了“基本数学活动经验”――其与数学思想方法也有着密切的关系。这样就将传统上的“双基”扩展为了“四基”，使得初中数学教学的内涵与外延都得到了进一步的丰富。
随着新一轮课程改革的开展与推进，人们越来越重视数学思想方法的渗透。那么，在初中数学教学中有哪些思想方法需要我们去重视呢? 其一是数学方法。顾名思义，这一类的思想方法与数学内容有着密切的关系，也可以认为是离开了数学知识就谈不上这些方法的运用。比如解方程中常常用到的配方法，其是通过将一元二次方程配成完全平方式，以得到一元二次方程的根的方法，其经典运用是一元二次方程求根公式的得出;再如换元法、消元法，前者是指把方程中的某个因式看成一个整体，然后用另一个变量去代替它，从而使问题得到解决。后者是指通过加减、代入等方法，使得方程中的未知数变少的方法。在复杂方程中运用这些方法可以化难为易。再如几何中的辅助线方法也是解决许多几何难题的灵丹妙药。 其二是普遍适用性的科学方法。例如我们数学中常用的归纳法，就有完全归纳法和不完全归纳法两种，数学上的很多规律其实最初都来自于不完全归纳法，因此在探究类的知识发生过程中，都可以用不完全归纳法来进行一些规律的猜想。再如类比、反证等方法，也是初中数学常用的方法，运用这些方法的最大好处是，可以让学生领略到在初中数学中进行逻辑推理的力量与美感。根据笔者的不完全调查，学生在进行推理后如果能够成功地解决一个数学难题，其心情是十分喜悦的，而最大的感受就是通过一环套一环的推理，能够顺利地由已知抵达未知。 其三就是我们常说的数学思想。我国当代数学教育专家郑毓信、
新课程标准下的中学数学教学方法探索 发表时间：2010-11-18T17:00:56.393Z 来源：《教育学文摘》2011年第1期供稿作者：张常青 [导读] 学习兴趣是学生学习主动性的体现，也是学生学习活动的动力源泉。 张常青（陕西省周至县哑柏镇初级中学710406） 摘要：在数学新课程改革中，教师应改变传统的灌输式教学模式，培养学生健全的人格和积极向上的价值观，培养学生的自信心、责任感、合作意识、创新意识、求实态度和科学精神，最大限度地满足每一个学生的需要，倡导学生自主学习、合作学习、探究学习，引导学生主动参与到整个学习过程中，从而想学、乐学，使学生的自主性、能动性得到充分发挥。 关键词：新课程数学教学方法探索 随着新课改的逐步深入，原有单一被动的学习方式应逐步转向培养学生自主、探究、合作的学习方式，从而激发学生的智慧、潜能，变苦学为乐学，切实减轻学生的学习负担，这是目前数学教学的发展趋势，是人们普遍的共识。长期以来，传统的数学教学方法中存在着“四重四轻”，即：重知识传授，轻引导启发；重教学设计，轻学法指导；重课堂训练，轻实践应用；重教师讲授，轻学生参与。因此，我们在吸取经验的同时，要敢于突破传统教育观念的束缚，在教学方法上不断探索、创新，以适应我国现行教育改革发展的需要。 下面我粗浅地谈谈在数学教学方法上的一点认识。 一、明确数学教学目的，不断改进教学方法 数学教学目的，就是规定了数学教学应当完成的知识传授、能力培养、思想、个性品质等方面的教育任务，是根据我国教育的性质、任务和课程目标，并结合数学学科的特点和中学生的年龄特征而制定的。特别是现行初中数学的教学目的，就明确提出要“运用所学知识解决问题”，“在解决实际问题的过程中要让学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练”，“形成用数学的意识”。 作为数学教师，必须对教学目的有明确的认识，并紧紧围绕教学目的展开教学，因为它是考核学生成绩和检查、评估教师教育教学质量的重要标准。因此，我们必须全面、深刻地掌握数学教学目的，并在教学过程中，经常以此来检查和评价自己的教学水平和教学效果，从而不断改进数学教学方法。 二、切实抓好课堂教学，进一步提高教学效果 课堂教学过程是师生相互交流的互动过程。师生均以一种积极的心态进入教学过程，是学生主动参与学习并取得教学效果的前提。 1、培养学生的学习兴趣，充分调动学生的能动性 学习兴趣是学生学习主动性的体现，也是学生学习活动的动力源泉。古往今来，很多教育家都非常重视对学生学习兴趣的培养、引导和利用。孔子曰“知之者，不如好之者”，说明了“好学”对教育的重要性。作为教师要做到以“趣”引路、以“情”导航。 在教学活动中，教师的讲授和学生的学习总是或多或少地带有一些感情色彩，即教育的情感性。任何学生对教师的第一节课都会产生期待心情，这种期待主要表现为：①对教师外表形象的期待；②对教师言谈举止的期待；③对教师课堂教学的期待。在教学实践中，我们发现有许多学生对于自己喜爱的教师、感兴趣的教学内容、引人入胜的教学方法等都会表现出极大的投入性，其学习思维就会与教师的教学保持着和谐、完美的统一。学生通过这种方式学会了运用知识解决问题，并从中体验到成功的乐趣，从而产生了进一步学习的愿望。作为教师就应该认真研究学生的这种心理倾向，并通过这种途径培养学生的求知欲望，引导学生形成良好的意识倾向，要充分相信每一位学生的潜能，鼓舞每一位学生主动参与学习。 2、改革课堂教学结构，发挥学生的主体作用 长期以来，许多学校的课堂教学存在一个严重问题，即只注重教师与学生之间的“教”与“学”，而忽视了学生与学生之间的交流和学习，从而导致学生自主学习空间萎缩。长此以往，学生在学习上依赖性增强，缺乏独立思考问题和解决问题的能力，最终会导致厌学情绪，致使学习效率普遍降低。因此，要充分发挥学生的主体作用，就必须做到：①课堂上多给学生留出一些让他们自主学习和讨论的空间，使他们有机会进行独立思考、相互讨论，并发表各自的意见。②利用教师的主导作用，引导学生积极主动地参与教学过程。教师的主导作用主要在于教学生去学，既要帮助学生学会，也要帮助学生会学。不仅要鼓励学生参与，而且要引导学生主动参与，才能使学生的主体性得到充分的发挥和发展，进而不断提高数学教学效果。③运用探究式教学。教学中，要在教师的主导下，坚持学生是探究的主体，引导学生对知识的发生、形成、发展全过程进行探究活动，让学生学会发现问题、提出问题，并逐步培养他们分析问题、解决问题的能力，从而激起他们强烈的求知欲和创造欲，让学生从思想上产生由“要我学”到“我要学”的转变，真正实现主动参与。 3、重视学生数学能力的培养 数学能力实际上是学生在数学学习活动中听、说、读、写、想等方面的能力，它们是数学课堂学习活动的前提和不可缺少的学习能力，也是提高数学课堂学习效率的保证。在数学教学活动中，“听”就是学生首先要听课。同时也要听同学们对数学知识的理解和课后的感受，这就需要有“听”的技能。因此，教师要随时了解周围学生对数学课知识要点的理解及听课的效果，同时，教师也可以向学生传授一些听课技能。 例如：①在听课过程中怎样保持注意力高度集中、思路与教师同步；②怎样才能更好地领会教师的讲解；③怎样学会归纳要点、重点；④遇到不懂的地方怎么办；⑤别的同学回答问题时，也要注意听，并积极参与讨论等。“说”就是学生对所学的数学知识能够用自己的语言进行描述，对数学中的概念能够做出解释，能与同学之间进行讨论，能向老师提出问题，使得自己的见解和提出的问题易于被别人理解。“读”就是学生的阅读能力，从某种层面上讲，也是为今后“说”的技能打基础。学生通过阅读课本和课外资料，既拓宽了知识面，又养成了自学的习惯，从而增强了学生学习过程中的独立性。“写”就是学生将学到的知识具体运用到学习活动中去，它是学生学习知识、巩固知识的重要途径。 例如数学中的一些证明题，有很多学生都知道它的证明方法，知道其中考查的知识点，但总不能够很好地以“写”的形式将其证明过程展现出来；或者即使写了，各知识点之间的逻辑关系也较为混乱，推理过程也不够严密。这些都是教学中学生普遍存在的问题，从某一侧面也体现了培养学生“写”的能力的重要性。“写”的能力的高低，直接影响到他们对数学思想、数学方法和数学知识的理解和掌握，并决定着他们数学思维能力的发展。“想”就是要发挥学生思维的“自由想象”。例如：我们在讲完“圆的有关性质”后，提出“车轮为什么要做成圆形的”，让学生充分发挥自由想象，在想象中去感受、体验，这样既活跃了课堂气氛，又让学生在想象中对所学知识得到了进一步的巩固。因此，在课堂教学中要尽量为学生创造有利于形成听、说、读、写、想能力的条件，并不断摸索培养的规律和方法。